ELASTISITAS & GERAK HARMONIK SEDERHANA

Benda elastis adalah benda yang mempunyai batas kelentingan besar. Batas elastisitas setiap benda berbeda-beda, hal ini karena modulus elastisitasnya juga berbeda.

Sebagai contoh adalah jembatan. Jembatan yang terbuat dari kayu hanya bisa menahan beban yang lebih sedikit, dibandingkan dengan beton. Sebab tegangan maksimum beton lebih besar daripada kayu. Karena itu, dalam pembuatan jembatan harus diperhitungkan beban maksimum yang diperbolehkan.

A. ELASTISITAS BAHANElastisitas adalah kemampuan suatu benda untuk kembali ke bentuk semula setelah

gaya yang diberikan kepada benda itu dihilangkan. Batas kelentingan adalah batas gaya yang masih dapat diberikan hingga benda

hampir tidak dapat dikembalikan ke keadaan semula.Benda elastis adalah benda yang memiliki batas kelentingan besar. Contohnya ialah

pegas/per dan karet.Benda tak elastis adalah benda yang memiliki batas kelentingan kecil. Contohnya

ialah tanah liat, plastisin dan adonan tepung.

1. Tegangan (Stress)Tegangan didefinisikan sebagai hasil antara gaya tarik (F) dengan luas penampangya (A)Secara matematis.

σ = FA ............. (3.1)

Gaya yang dimaksud di sini adalah gaya normal, yaitu gaya yang tegak lurus dengan luas penampang.Selanjutnya kasus kedua (gambar dibawah), misalkan gaya normal penampang membuat titik sudut α dengan garis kerja gaya F.

Persamaan teganganya :

σα = FAcos α

= σ cos α ............... (3.2)

Gaya F dapat diuraikan menjadi :a. Garis kerja tegak lurus penampang (Ft = F cos α)b. Garis kerjanya terletak pada penampang (Fn = F sin α)

Selanjutnya :

ρ = FtAcos α

= F cos2αA

ρ = σ cos2 α .............. (3.3)

ρ disebut tegangan normal, bertanda positif jika gaya tarik dan bertanda negatif bila gaya tekan.

Pada gambar dapat dilihat bahwa F2 = Ft2 + Fn

2 ............... (3.4)

Sehingga σ = ρ2 + T2 ................ (3.5) dengan T adalah tegangan geser. Pengaruh ρ dan T tidak sama. Bahan-bahan struktur lebih tahan ρ daripada T .

2. Regangan (Strain)Regangan didefinisikan sebagai hasil bagi antara pertambahan panjang ΔƖ dengan panjang awalnya (Ɩ).Secara matematis:

e = ΔƖƖ .................. (3.6)

Regangan adalah besaran tanpa dimensi atau tidak memiliki satuan karena ΔƖ dan Ɩ adalah besaran yang sama.

3. Modulus Elastis (Modulus Young)Modulus elastis adalah suatu bahan yang didefinisikan sebagi perbandingan antara tegangan dengan regangan yang dialami bahan.Secara matematis :

E = σe .......................... (3.7)

Jika persamaan (3.1) dan (3.6) kita subtitusikan, maka modulus elastisitasnya menjadi :

E = FAΔ ƖƖ

= F . ƖΔƖ . A .......................... (3.8)

Keterangan :E = Modulus elastis (N/m2) Ɩ = Panjang benda mula-mula (m)

F = Gaya (N) ΔƖ = Penambahan panjang

A = Luas penampang benda (A) ΔƖ = Ɩ1 – Ɩ0

4. Elastisitas pada PegasSalah satu contoh benda elastis ialah pegas, misalkan, sebuah pegas tergantung dan diberi beban, maka akan ada pertambahan panjang Δx. Pertambahan panjang pegas ini disebabkan oleh gaya tarik F. Hal ini sesuai dengan Hukum Hooke yang berbunyi “Jika gaya tarik tidak melampaui batas elastis pegas, maka pertambahan panjang pergas berbanding lurus dengan gaya tariknya.”

Secara matematis : F = k . Δx .................... (3.9)

Keterangan :F = Gaya tarik (N)k = Konstanta pegas (N/m)Δx = Pertambahan panjang (m)

Dengan persamaan (3.8), dapat menentukan harga k.

F = F .ƖΔƖ . A atau F

A = E . ΔƖƖ

F = E . ΔƖ . AƖ

Dalam hal ini Δx = ΔƖ = perubahan/pertambahan panjang sehingga persamaanya menjadi,

k . ΔƖ = E . ΔƖ . A

Ɩ → k = E . AƖ ........................... (3.10)

Pada saat pegas meregang, pegas memiliki energi potensial. Besarnya energi potensial sama dengan usaha yang dilakukan gaya tarik atau gaya tekan F.

Ep = W = 12 k . x2 ........................... (3.11)

Keterangan :Ep = Energi Potensial (Joule)W = Usaha (Joule)k = Konstanta pegas (N/m)x = Pertambahan panjang (m)

5. Susunan Pegas

a. Susunan Pegas ParalelDua buah pegas disusun secara paralel dan diberi beban seperti tampak pada gambar. Ketika diberi beban, pegas 1 dan 2 akan bertambah panjang Δx.

Δx1 = Δx2 = ΔxDengan konstanta pegasnya k1 dan k2 maka,

F = F1 = F2

Ktotal Δx = k1 . Δx1 + k2 . Δx2

Ktotal Δx = Δx ( k1 + k2 )Ktotal = k1 + k2 ................(3.12)

Jika k1 = k2 = k, maka ktotal = n . k ............................(3.13)

b. Susunan Pegas SeriDua pegas yang disusun seri dan diberi beban, akan mengalami pertambahan panjang.

Δx = Δx1 + Δx2

Sedangkan gaya tariknya F = F1 + F2

Sehingga : F

Ktotal= F

k 1+ F

k 2

FKtotal

=F ( 1k1

+ 1k2

) → 1Ktotal = 1k 1+

1k 2 ...................... (3.14)

Jika k1 = k2 = k, maka ktotal = kn ................... (3.15)

B. GERAK HARMONIK SEDERHANA1. Gaya Pemulih

Gerak harmonik adalah gerak bolak-balik melalui titik setimbang yang disebabkan oleh gaya yang besarnya sebanding dengan simpangan dan arahnya selalu menuju titik keseimbangan.

a. Gaya Pemulih pada PegasDalam keadaan bebas gaya pemulih F = 0, sehingga simpangan pegas juga nol (y=0). Ketika pegas tertarik kebawah gaya pemulih (F) postif sedangkan simpangan negatif. Dan kebalikanya. Besar gaya pemulih dituliskan dengan :

F = -ky ....................... (3.16)

Tanda negatif menyatakan bahwa gaya yang dikerjakan pegas selalu berlawanan arah dengan simpangan pegas.

b. Gaya Pemulih pada Ayunan SederhanaPerhatikan gambar! Tegangan tali T sama dengan mg cos Ө, sehingga gaya pemulihnya adalah :

F = - mg sin Ө ................................ (3.17)Percepatan benda pada ayunan sederhana menurut hukum II Newton :

-mg sin Ө = m . a

a = -g sin Ө

Jika sudut simpangan Ө < 10o , maka percepatanya adalah

α = gxƖ

Keterangan :F = Gaya pemulih (F)m = Massa bandul (kg)g = Percepatan gravitasi (m/s2)α = Percepata ayunan (m/s2) Ө = Sudut simpanganx = Simpangan tali (m)Ɩ = Panjang tali (m)

2. Persamaan Besaran Gerak Harmonik SederhanaGerak harmonik sederhana didefinisikan sebagai gerak harmonik yang terjadi dengan mengabaikan gaya-gaya yang menghambat gerak tersebut.

Penjelasan mengenai simpangan dapat dilihat pada gambar. Posisi titik C terhadap titik seimbang O disebut simpangan (y). Simpangan terjauhnya adalah OB dan OD yang disebut amplitudo. Persamaanya yaitu :

ỹ = A sin ω t ................... (3.17)

Karena ω = 2πf = 2πT , maka persamaanya menjadi

ỹ = A sin 2πft atau ỹ = A sin 2πT . t ........................... (3.18)

Keterangan =y = Simpangan gerak (m)A = amplitudi (m)f = frekuensi (Hz)T = Periode (s)t = Waktu lamanya gerak (s)ω = Kecepata sudut (rad/s)Dengan menurunkan persamaan simpanganm kita peroleh

v = dydt = d (A sinωt)

dt

v = ω A cos ω t ........................... (3.19)

Kecepatan maksimum terjadi jika cos ωt = 1, sehingga Vmaks = ω A ............................... (3.20)

Turunan pertama dari persamaan fungsi kecepatan adalah percepatan, yaitu :

α = dvdt = d ( A cosω)

dt

α = -ω2 A sin ω t ................. (3.21)

Percepatan maksimum terjadi apabila sin ωt = 1, sehingga

αmaks = ω2 A ............................ (3.22)

a. Pada saat simpangan minimun=m yaitu y = 0, kecepatanya mencapai nilai maksimum ( vmaks = ω A) sedangkan percepatanya nol.

b. Pada saat simpangan maksimum yaitu y = A, kecepatanya minimum (v=0),

sedangkan percepatanya maksimum (αmaks = ω2A)

Jika pada saat t = 0, sudut fasenya dinyatakan dengan

Ө = ωt + Ө0 = 2πtT + Ө0 .......................... (3.23)

Maka simpanganya menjadi

Y = A sin(ωt + Ө0)

Y = A sin(2πtT + Ө0)

Y = A sin 2π ( tT + Ө02π ) ................................. (3.24)

Typeequationhere .

Dalam hal ini tT + Ө02π disebut fase getaran ( φ ), sehingga dapat ditulis

φ = tT + Ө02π ............................ (3.25)

Fase getaran tidak memiliki satuan. Beda fase (Δφ) sebuah benda yang bergetar pada saat t = t1 sampai t = t2 untuk t2 > t1 adalah

Δφ = φ2 – φ1 = t 2−t 1T .................................(3.26)

3. Periode dan Frekuensi Gerak Harmonik SederhanaPeriode adalah waktu yang diperlukan untuk satu kali gerakan. Frekuensi adalah banyak getaran dalam satu detik.

Dapat ditulis,

f = 1T atau T = 1f ......................... (3.27)

a. Periode dan Frekuensi pada PegasPada gerak harmonik sederhana, periode dapat dicari dengan menyamakan gaya pemuih dengan hukum II Newton.

k = m . ω2 atau ω = √ km .................................. (3.28)

Jika ω = 2πT maka rumus di atas menjadi

T = 2π √ mk

............................ (3.29)

Karena frekuensi merupakan kealikan dari periode, maka

f = 1T = 12π √ km .................................. (3.30)

Keterangan :f = Frekuensi (Hz)T = Periode (s)k = Konstanta (N/m)m = Massa beban (Kg)

b. Periode dan Frekuensi pada Ayunan Bandul SederhanaPada ayunan bandul sederhana, gaya pemulihanya adalah F = -mg sin φ . dengan cara yang sama pada pegas. Diperoleh

T = 2π √ Ɩg

atau f = 12π √ gƖ ............................ (3.31)

4. Energi Gerak HarmonikEnergi pada gerak harmonik adalah energi mekanin, yaitu jumlah energi potensial dan energi kinetik, yaitu :

Em = Ep + Ek ..................... (3.32)

Energi kinetik dinyatakan dengan rumus Ek = 12 m.v2

Dengan subtitusi dari persamaan (3.19) diperoleh persamaan energi kinetik,

Ek = 12 k ( A2 – y2 ) ....................... (3.33)

Energi kinetik maksimum dirumuskan

Ekmaks = 12 k A2 = 12 m ω A2

Sedangkan Energi Potensial yaitu,

Ep = 12 k A2 . sin2 ω t .............................. (3.34)

Energi potensial maksimum dirumuskan

Epmaks = 12 k A2 = 12 m ω2 A2