ELASTİK DALGA YAYINIMI

(7. Ders - 2016)

Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA

Geçtiğimiz ders; Yansıyan ve iletilen dalgalar Yansıma (R) ve İletme katsayıları (T) Enerjinin ve frekansın korunması, genlik ve

dalga boylarındaki değişim Bu derste; Elastisite teorisi Gerilme ve bileşenleri Deformasyon ve bileşenleri

2 E.YALÇINKAYA

Önceki bölümlerde bir ip üzerinde Newton’ın hareket denklemini uygulayarak, deforme edilen ipin yayılan dalgalara neden olduğunu bulmuştuk. Benzer şekilde deformasyona uğrayan katı yer küre, yayılan sismik dalgalara neden olur. Bu bölümde, elastik ortamda gerilme-deformasyon ilişkilerini kullanarak yer küre içinde yayılan dalga özelliklerini belirlemeye çalışacağız.

ELASTİSİTE TEORİSİ Stress – Strain

Gerilme - Deformasyon

3 E.YALÇINKAYA

Hooke Kanunu

εσ E=Gerilme Elastik

parametre

Deformasyon

4 E.YALÇINKAYA

Gerilme (stress) ve Bileşenleri Gerilme ; S alanı üzerine etkiyen F kuvvetinin bu alan bölümü şeklinde tanımlanır. Gerilme, kuvvetin şiddeti olarak düşünülebilir (sivri uçlu bir çekiç ve düz yüzeyli bir çekiç ile bir kaya parçalamayı düşünün). Gerilmenin matematiksel tanımı :

barPascalm

newtonSF 5

2 10−====σ

Gerilme vektörel bir büyüklüktür, yani genliği ve yönü vardır. Yatayda ve düşeyde bileşenlerine ayrılabilir.

5 E.YALÇINKAYA

Bir hacim elemanı yüzeyleri üzerinde gerilme dokuz bileşeni olan tensör ile tanımlanır :

z

y

x

zzσ

yzσxzσ

zxσ

xxσ yxσ

zyσ

yyσxyσ

6 E.YALÇINKAYA

Cisim içinde herhangi bir O noktasına etkiyen gerilme dokuz bileşeni olan bir tensördür ;

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σσσσσσσσσ

σ =

Gerilme bileşenlerinin hepsi birbirinden bağımsız değildirler. Herhangi bir hareket söz konusu olmadığından küp denge konumundadır, dolayısı ile kübe etkiyen kuvvetlerin denge halinde olması gerekir.

7 E.YALÇINKAYA

Örneğin kübü, merkezinden geçen ve z eksenine paralel bir eksen etrafında döndürmeye çalışan gerilmeleri göz önüne alırsak (σxy, σyx) küp denge durumunda olduğuna göre eşit olmaları gerekir :

z

y

x

xyσyxσ

yxxy σσ =

8 E.YALÇINKAYA

Benzer şekilde x ve y eksenlerine paralel olan dönme eksenlerine göre momentlerin toplamını sıfır yaparsak;

zxxz

zyyz

σσ

σσ

=

=

Bu sebeple, daha önce tanımladığımız 9 gerilme bileşeninden sadece altısı birbirinden bağımsızdır.

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

σσσσσσσσσ

σ =

9 E.YALÇINKAYA

Kübün yüzeylerine dik olan σxx, σyy ve σzz gerilmeleri normal gerilmeler olarak bilinirler ve pozitif iseler çekme gerilmeleri, negatif iseler basınç gerilmeleri olarak adlandırılırlar.

zzσ

yyσ

xxσ

Diğer bileşenler σxy, σyx, σyz, σzy, σzx ve σxz kayma gerilmeleri olarak adlandırılırlar.

10 E.YALÇINKAYA

yyσ−

zzσ−

xxσ−

Kayma gerilmelerinin tümünün sıfır olması ve σxx, σyy ve σzz gerilmelerinin birbirine eşit ve negatif olması hali “hidrostatik basınç” olarak bilinir.

11 E.YALÇINKAYA

Deformasyon (strain) ve Bileşenleri Bir cismin birim miktarında gerilmeye karşı meydana gelen şekil ve hacim değişmesine strain (birim deformasyon veya yamulma) denir. Strain, bir noktanın komşu noktalara göre yer değiştirme miktarının, başlangıçtaki yeri ile referans noktası arasındaki uzaklığa bölümü şeklinde tanımlanabilir.

12 E.YALÇINKAYA

δu

δx

xu

xx δδε =

δ x → 0 durumunda ;

xu

xx ∂∂

=ε

zwyv

zz

yy

∂∂

=

∂∂

=

ε

εz

x

Hacimsel deformasyon;

13 E.YALÇINKAYA

zvyvxu

zz

yy

xx

∂∂

≡

∂∂

≡

∂∂

≡

ε

ε

ε x

y

z Uzunluktaki değişim miktarları ;

Pozitif işaretli iseler “genleşme” Negatif işaretli iseler “sıkışma”

14 E.YALÇINKAYA

δu

δz

δw δx

θ2

θ1

ψ

212θθψπγ +=−=xz

Kayma (shear) deformasyonu;

)(tan 11 açıçılarküçükçokxw θδδθ ⇒=

)(tan 22 açıçılarküçükçokzu θδδθ ⇒=

)(21

21

21 θθεγ +== xzxz

)(21

zu

xw

xz ∂∂

+∂∂

=ε

boyutlar → 0 durumunda ;

zx

15 E.YALÇINKAYA

)(21

)(21

)(21

zv

yw

xw

zu

xv

yu

zyyz

xzzx

yxxy

∂∂

+∂∂

≡≡

∂∂

+∂∂

≡≡

∂∂

+∂∂

≡≡

εε

εε

εε

Kayma deformasyonları ;

A D

B C

C’

D’

B’

z

y

16 E.YALÇINKAYA

)(21

)(21

)(21

yu

xv

xw

zu

yw

zv

z

y

x

∂∂

−∂∂

≡

∂∂

−∂∂

≡

∂∂

−∂∂

≡

θ

θ

θ

Dönme deformasyonları ;

A D

BC

C’

D’

B’

z

y

17 E.YALÇINKAYA

Böylece, bir nokta için

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ,,,,,,,,

gibi dokuz büyüklük bilinirse komşu noktaların rölatif yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir. Deformasyon katsayıları aşağıdaki gibi tanımlayalım :

zvyvxu

zz

yy

xx

∂∂

≡

∂∂

≡

∂∂

≡

ε

ε

ε

)(21

)(21

)(21

zv

yw

xw

zu

xv

yu

zyyz

xzzx

yxxy

∂∂

+∂∂

≡≡

∂∂

+∂∂

≡≡

∂∂

+∂∂

≡≡

εε

εε

εε

)(21

)(21

)(21

yu

xv

xw

zu

yw

zv

z

y

x

∂∂

−∂∂

≡

∂∂

−∂∂

≡

∂∂

−∂∂

≡

θ

θ

θ

18 E.YALÇINKAYA

Bu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (εxx, εyy, εzz) 2. Şekil değişimi (εxy, εyx, εxz, εzx, εyz, εzy) 3. Dönme (θx, θy, θz)

A D

BC

C’

D’

B’

A D

B C

C’

D’

B’

19 E.YALÇINKAYA

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

εεεεεεεεε

ε =

zw

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

xu

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

21

21

21

21

21

21

ε

20 E.YALÇINKAYA

Dilatasyon Dilatasyon; birim hacime tekabül eden hacim artmasıdır;

VV

V

∆=∆

→0lim

zw

yv

xu

zzyyxx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

++=∆ εεε

21 E.YALÇINKAYA

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

εεεεεεεεε

ε =

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σσσσσσσσσ

σ =

STRESS STRAIN

εσ E=Hooke Kanunu

22 E.YALÇINKAYA