electicit.si magnetism

52
III. Electricitate şi magnetism. § 3.1. Noţiuni generale. Experienţa arată că în afară de interacţiunea gravitaţională mai există şi alte tipuri de interacţiuni ireductibile la interacţiunea gravitaţională. Una din aceste interacţiuni este interaţiunea electromagnetică care se manifestă prin diferite fenomene electrice şi magnetice studiate în teoria cîmpului electromagnetic elaborată de Maxwell (1831-1879). Pentru a prezice comportarea corpurilor participante în intercţiunea electromagnetică este necesar de stabilit pentru aceste corpuri o lege tot aşa de fundamentală cum este legea atracţiei universale stabilită de Newton. Însă, înainte de aceasta trebuie de stabilit proprietatea fundamentală a particulelor (corpurilor) care determină participarea lor în interacţiunea electromagnetică. O atare proprietate este sarcina electrică care se notează prin q şi care în SI se exprimă în Coulombi ( ). Experienţa acumulată în decursul studiilor sarcinilor electrice demonstrează că: 1. Există două tipuri de sarcini electrice: a.) sarcini pozitive , care apar pe o bară de sticlă frecată cu o bucată de lînă. b.) sarcini negative , care apar pe o bară de ebonită frecată cu o bucată de blană naturală. 2. Sarcinele electrice de acelaşi semn se resping , iar de semn contrar se atrag . 3. Cea mai mică sarcină electrică care există în natură este sarcina elementară , notată prin litera ℮. Purtătorii de sarcină electrică elementară sînt particulele elementare care intră în componenţa tuturor corpurilor: electronii (-℮) şi protonii (+℮). Experienţa arată (Millikan) că sarcina electrică elementară are valoarea ℮=1,6∙10 -19 C. Deci, orice sarcină electrică reprezintă un multiplu al sarcinei electrice elementare: q=n∙℮ (n=1,2,3,…). Se spune că sarcina electrică este cuantificată (poate varia nu continuu, dar discret, prin salturi). 4. Corpurile care nu participă în interacţiunea electrică sînt numite corpuri neutre din punct de vedere electric. Evident că aceste corpuri conţin acelaşi număr de sarcini electrice elementare negative şi pozitive. 5. Sarcina electrică a unui sistem de corpuri izolat din punct de vedere electric (nu este acţionat de alte sarcini electrice) nu se schimbă cu timpul: q i =const. Această concluzie reprezintă enunţul legii conservării sarcinei electrice . 1

Upload: gabriela-jelehovschi

Post on 29-Jun-2015

491 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Electicit.si magnetism

III. Electricitate şi magnetism.

§ 3.1. Noţiuni generale.

Experienţa arată că în afară de interacţiunea gravitaţională mai există şi alte tipuri de interacţiuni ireductibile la interacţiunea gravitaţională. Una din aceste interacţiuni este interaţiunea electromagnetică care se manifestă prin diferite fenomene electrice şi magnetice studiate în teoria cîmpului electromagnetic elaborată de Maxwell (1831-1879).

Pentru a prezice comportarea corpurilor participante în intercţiunea electromagnetică este necesar de stabilit pentru aceste corpuri o lege tot aşa de fundamentală cum este legea atracţiei universale stabilită de Newton. Însă, înainte de aceasta trebuie de stabilit proprietatea fundamentală a particulelor (corpurilor) care determină participarea lor în interacţiunea electromagnetică.

O atare proprietate este sarcina electrică care se notează prin q şi care în SI se exprimă în Coulombi (). Experienţa acumulată în decursul studiilor sarcinilor electrice demonstrează că:

1. Există două tipuri de sarcini electrice:a.) sarcini pozitive , care apar pe o bară de sticlă frecată cu o bucată de lînă.b.) sarcini negative , care apar pe o bară de ebonită frecată cu o bucată de blană naturală.

2. Sarcinele electrice de acelaşi semn se resping, iar de semn contrar se atrag.3. Cea mai mică sarcină electrică care există în natură este sarcina elementară, notată prin litera . Purtătorii

de sarcină electrică elementară sînt particulele elementare care intră în componenţa tuturor corpurilor: electronii (-) şi protonii (+). Experienţa arată (Millikan) că sarcina electrică elementară are valoarea =1,6∙10-19C. Deci, orice sarcină electrică reprezintă un multiplu al sarcinei electrice elementare: q=n∙ (n=1,2,3,…). Se spune că sarcina electrică este cuantificată (poate varia nu continuu, dar discret, prin salturi).

4. Corpurile care nu participă în interacţiunea electrică sînt numite corpuri neutre din punct de vedere electric. Evident că aceste corpuri conţin acelaşi număr de sarcini electrice elementare negative şi pozitive.

5. Sarcina electrică a unui sistem de corpuri izolat din punct de vedere electric (nu este acţionat de alte sarcini electrice) nu se schimbă cu timpul: ∑qi=const. Această concluzie reprezintă enunţul legii conservării sarcinei electrice.

6. Orice sarcină electrică produce în jurul său un cîmp electric: forma de existenţă a materiei prin intermediul căreia interacţiunea electrică se transmite la depărtare.

7. Forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice punctiforme (dimensiunile purtătorilor de sarcină electrică pot fi neglijate în condiţiile problemei date) este determinată de legea fundamentală a lui Coulomb (1785).

,

unde , iar este permitivitatea electrică a vidului.

8. Orice sarcină electrică în mişcare, în afară de cîmp electric mai produce şi un cîmp magnetic (experinţa lui Oersted, 1820).

§ 3.2. Electrostatică.

Electrostatica este partea electromagnitismului care studiază fenomenele electrice imobile în raport cu un sistem de referinţă inerţial. Sarcina electrică q poate fi repartizată:1. De-a lungul unui conductor arbitrar de lungime ℓ. În acest caz se defineşte densitatea liniară de sarcină

electrică λ:

de unde .

1

Page 2: Electicit.si magnetism

2. Pe o suprafaţă S. În acest caz se defineşte densitatea superficială de sarcină electrică σ:

de unde

3. Într-un volum V. În acest caz se defineşte densitatea volumică de sarcină electrică ρ:

de unde .

Cîmpul electric creat de o sarcină electrică imobilă se numeşte cîmp electrostatic.Toate corpurile din natură pot fi clasificate în două grupe:

1) Conductori electrici , corpuri în care există sarcini electrice libere (de exemplu electroni) ce se pot deplasa liber la macrodistanţe.2) Dielectrici sau izolatorii, corpuri lipsite de sarcini electrice libere. În dielectrici purtătorii de sarcină electrică pot să se deplaseze la distanţe mici (microdistanţe) deaceea acestea sunt numite sarcini electrice legate .

§ 3.3.2. Intensitatea şi potenţialul cîmpului electric în vid.

Interacţiunea electrică poate fi evidenţiată cu ajutorul sarcinii de probă (corp punctiform slab încărcat electric) care poate fi deplasată cu uşurinţă în orice punct al cîmpului electric studiat.

În cursul preuniversitar de fizică a fost demonstrat că câmpul electric al unei sarcini electrice staţionare este caracterizat de intensitatea câmpului electric (caracteristică de forţă) şi potenţialul lui electric (caracteristică energetică) determinate respectiv de relaţiile

(1),

(2)

Unde : q este sarcina electrică punctiformă care generează cîmpul electric, q0 este sarcina de probă situată la distanţa r de sarcina q, este forţa cu care cîmpul electric creat de sarcina q acţionează sarcina q , iar E este

energia potenţială asarcinei q în punctul dat.

Cîmpul electrostatic este un cîmp potenţial de forţe, adică forţa este o forţă potenţială

(conservativă) lucrul căreia nu depinde de forma drumului. Acest lucru depinde numai de poziţia iniţială şi finală a sarcinei q0 (fig. 1): Lucrul elementar efectuat de cîmpul electric creat de sarcina q la deplasarea sarcinei de probă q este

Rezultă că circulaţia CE vectorului intensităţii cîmpului electric, ca şi circulaţia vectorului intensităţii cîmpului gravitaţional este nulă:

(3).

Prin urmare, cîmpul electric staţionar (independent de timp), ca şi cîmpul gravitaţional este un cîmp potenţial sau irotaţional. Rezultă că este o forţă potenţială sau conservativă. Un cîmp de forţe se numeşte nepotenţial, irotaţional sau turbionar dacă liniile lui de cîmp sunt închise. Cîmpul magnetic,

de exemplu, este un cîmp turbionar.În mecanică a fost arătat că orice forţă potenţială care acţionează asupra unui corp poate fi prezentată ca

gradientul energiei potenţiale a acestui corp luat cu semnul minus:

2

Page 3: Electicit.si magnetism

(4),

În cazul câmpului electric Ep este energia potenţială a sarcinei q0 plasată în punctul dat al cîmpului electric generat de sarcina punctiformă q.

Este uşor de observat că relaţiile (1), (2) şi (4) ne conduc la relaţia:

,

unde

Dacă cîmpul electric este creat de un ansamblu de sarcini electrice

qi de raze vectoare atunci intensitatea şi potenţialul cîmpului electric

în punctul dat respectiv este :

, .

În SI, unitatea de măsură a potenţialului cîmpului electric este voltul (V), iar a lui E este V∙m-1.Cîmpul electric, ca şi cîmpul gravitaţional, poate fi caracterizat cu ajutorul liniilor de cîmp (linii de forţe

sau linii ale vectorului ) care reprezintă curbe tangente în fiecare punct la direcţia

locală a vectorului . Convenţional aceste curbe încep la sarcinile pozitive şi au sfîrşit la sarcinele negative (fig.2).

Un cîmp electric se numeşte omogen sau uniform dacă =const în toate punctele acestuia (fig. 3).

§ 3.2.3. Fluxul vectorului cîmp electric . Legea lui Gauss pentru cîmpul electric în vid în formă integrală şi diferenţială.

Considerăm o sarcină electrică punctiformă q situată în interiorul unei suprafeţe închise S (fig.4). Fluxul elementar al vectorului cîmp electric prin elementul de suprafaţă dS al suprafeţei închise S se numeşte mărimea fizică scalară definită prin relaţia

,

atunci fluxul vectorului cîmp electric printr-o suprafaţă oarecare S este:

(5).

Dacă suprafaţa S este închisă (fig.4) relaţia (5) devine:

,

unde raportul defineşte unghiul solid elementar dΩ, iar reprezintă ungiul

solid total. Astfel, din ultima relaţie rezultă:

(6),

sau (7),

dacă în interiorul suprafeţei închise S se află un ansamblu de sarcini electrice qi. Fie sarcina electrică q se află în afara suprafeţei închise S (fig.5). În acest caz pentru orice pereche de

suprafeţe elementare dS1 şi dS2 se obţine cosα1<0 şi cosα2>0 sau invers. Din acest motiv relaţia (7) devine:

3

Page 4: Electicit.si magnetism

(8)

(8).Relaţiile (7) şi (8) reprezintă expresia matematică a legii lui

Gauss pentru cîmpul electric în vid în forma integrală: fluxul vectorului cîmp electric printr-o suprafaţă închisă S de formă

arbitrară numeric este egal cu înmulţit cu suma algebrică a

sarcinilor electrice qi aflate în interiorul suprafeţei S, sau este egal cu zero cînd sarcinele qi se află în afara suprafeţei S. Dacă ansamblul de sarcini qi se află pe suprafaţa S, atunci

ceea ce ne conduce la concluzia că fluxul electric prin această suprafaţă este :

.

Dacă sarcina ∑qi este repartizată într-un volum V, atunci relaţia (7) devine:

(9).

§3.2.4. Forma diferenţială (locală) a legii lui Gauss pentru cîmpul electric în vid.Legea lui Gauss pentru vectorul cîmp electric în formă integrală demonstreată în paragraful precedent

stabileşte legătura dintre fluxul vectorului printr-o suprafaţă închisă macroscopică şi sarcinele electrice din

interiorul acestei suprafeţe. Pentru a caracteriza fluxul vectorului cîmp electric produs, de exemplu, de o sarcină punctiformă q, prin diferite suprafeţe închise (fig.5) se introduce noţiunea de densitate a fluxului

vectorului cîmp electric (densitatea volumică de flux):

,

unde V este un volum limitat de suprafaţa închisă S. Cum a fost arătat * limita densităţii fluxului vectorului cîmp electric cînd spaţiul care conţine sarcina q tinde către punctul unde se află sarcina q, adică cînd V→0, se numeşte împrăştiere sau divergenţă a vectorului cîmp electric (div ):

(10).Se poate demonstra că divergenţa vectorului cîmp electric reprezintă suma derivatelor parţiale de la

proiecţiile vectorului pe axele de coordonate x, y, z* :

(11).

Relaţiile (10) şi (11) arată că divergenţa vectorului este o măprime fizică scalară, spre deosebire de gradientul potenţialului cîmpului electric, care este o mărime fizică vectorială.

Cunoscînd divergenţa unui vector oarecare inclusiv şi a vectorului în toate punctele spaţului se poate de calculat fluxul acestui vector prin orice suprafaţă finită care limitează acest spaţiu. Pentru aceasta ne vom folosi de teorema integrală a lui Gauss (fără demonstrare) pentru vectorul cîmp electric * :

(12).

Comparând relaţiile (9) şi (12) obţinem:

(13).

4

Page 5: Electicit.si magnetism

Relaţia (13) reprezintă expresia matematică a legii lui Gauss sub forma diferenţială (locală), din care rezultă că, semnificaţia fizică a divergenţei vectorului cîmp electric este dată de densitatea volumică a

sarcinilor electrice : dacă în punctul dat div =0, atunci din acest punct nu pornesc linii de cîmp şi ρ=0,

dacă însă în punctul dat div ≠0, atunci acest punct reprezintă o sursă de cîmp electric.

§ 3.2.5. Rotorul cîmpului electric staţionar (independent de timp).

În § 3.2.2. a fost demonstrat că cîmpul electric staţionar este un cîmp potenţial, irotaţional sau neturbionar, concluzie care rezultă din relaţia (3):

,

unde ℓ este conturul pe care se sprijină o suprafaţă arbitrară S aflată în cîmpul electric (fig.6). Pentru a obţine forma diferenţială (locală) echivalentă cu forma integrală a condiţiei (3) se introduce noţiunea de densitate superficială a circulaţiei vectorului :

.

Considerăm limita densităţii superficiale a circulaţiei vectorului în punctul dat A de pe suprafaţa S, cînd S tinde către punctul A, adică cînd S→0 (ℓ→0):

(13),

Cum a fost arătat limita (13) defineşte proiecţia unui vector pe normala la conturul ℓ, care se numeşte rotorul vectorului (rot ):

.

unde vectorul rot poate fi exprimat în felul următor:

.

*)______________

Conform teoremei integrale a lui Stokes pentru orice vector inclusiv şi pentru vectorul este valabilă egalitatea:

(14).

Comparînd relaţiile (2) şi (14) obţinem:

5

Page 6: Electicit.si magnetism

rot =0 (15).Semnificaţia relaţiei (15) este ca cîmpul electric independent de timp este un cîmp irotaţional, neturbionar.

Cu alte cuvinte relaţia (15) reprezintă forma diferenţială (locală) echivalentă cu relaţia (2).Exerciţiul 1: Folosind teorema lui Gauss să se studieze cîmpul electric creat de o sarcină electrică

distribuită uniform pe o suprafaţă plană nelimitată cu densitatea superficială σ.În calitate de suprafaţă închisă (suprafaţă gausiană) se consideră o

suprafaţă cilindrică cum este indicat în fig.7. În acest caz fluxul vectorului prin suprafaţa cilindrică închisă este:

sau

de unde , deoarece

Rezultă că cîmpul electric creat de o suprafaţă plană indefinită încărcată cu densitatea superficială de sarcină σ nu depinde de poziţia punctului în spaţiu şi prin urmare cîmpul electric este uniform.

Exerciţiul 2: Folosind teorema lui Gauss să se studieze câmpul electric creat de o sarcină electrică distribuită uniform de-a lungul unui conductor rectiliniu indefinit.

Procedînd analog cazului precedent putem scrie :

unde este densitatea liniară a sarcinei electrice distribuite uniform pe

conductor.

sau .

Ţinînd seama că Slat=2πr∙Δℓ şi =0 din ultima relaţie obţinem:

de unde .

Rezultă că cîmpul electric în acest caz este simetric în jurul conductorului şi variază invers proporţional cu distanţa de la acesta.

§ 3.2.6. Cîmpul electric al unui dipol electric.

Un interes deosebit prezintă cîmpul electric creat de două sarcini egale, de semn opus situate la o distanţă mică ℓ una de alta. Un aşa sistem se numeşte dipol electric, iar distanţa ℓ se numeşte braţul dipolului (fig.8). Dipolul electric este caracterizat de momentul electric:

.

Vectorul este orientat de-a lungul vectorului de la sarcina negativă spre sarcina pozitivă.Se poate demonstra* că cîmpul electric produs de un dipol electric în

punctul dat al spaţiului este determinat de relaţia:

.

Un dipol electric întrodus într-un cîmp electric uniform suferă acţiunea unui cuplu de forţe (fig.9). În mecanică a fost arătat că momentul cuplului de forţe este:

sau .

Dipoli electrici se obţin, de exemplu, la întroducerea atomilor într-

6

Page 7: Electicit.si magnetism

un cîmp electric. În rezultatul acţiunii cîmpului electric asupra sarcinilor electrice ale atomilor, centrele de greutate ale acestora se separă şi se obţin dipoli electrici microscopici. (fig.10).

Se spune că atomul se polarizează devenind un dipol electric. În natură există molecule nepolare (centrele de greutate ale sarcinilor pozitive şi negative coincid) care se polarizează ca şi atomii, şi moleculele polare care posedă un moment electric permanent (centrele de greutate ale sarcinilor pozitive şi negative nu coincid). La întroducerea unei molecule polare într-un cîmp electric, momentul ei electric se va orienta de-a lungul cîmpului electric exterior. Se spune că moleculele nepolare se polarizează prin deformaţie, iar cele polare — prin orientare.

§ 3.2.7. Polarizarea substanţei. Vectorul polarizaţie. Susceptivitatea electrică.

Întroducem o substanţă într-un cîmp electric omogen (fig.11). Cum a fost menţionat în paragraful precedent moleculele nepolare ale substanţei se vor polariza de-a lungul cîmpului electric exterior. În cazul

dacă substanţa este alcătuită din molecule polare ele se vor orienta de-a lungul cîmpului . Se spune că

substanţa se polarizează electric. Substanţele care au proprietatea de a se polariza într-un cîmp electric se numesc dielectrici.

Datorită efectului de polarizare pe suprafeţele opuse ale substanţei apar sarcine electrice pozitive şi negative, numite sarcini electrice de polarizare sau legate, în sensul că ele pot să se deplaseze numai în limitele unei molecule. Astfel, substanţa întrodusă într-un cîmp electric devine un dipol electric macroscopic, momentul căruia este:

unde este momentul electric al unei molecule. Dacă cîmpul electric este

neuniform, atunci substanţa se va deplasa în sensul creşterii cîmpului electric, dacă însă cîmpul este uniform substanţa rămîne imobilă.

Mărimea fizică vectorială:

unde V este volumul substanţei se numeşte vector polarizaţie electrică. În SI mărimea vectorului polarizaţie electrică se măsoară în C∙m-2.

Din ultima relaţie rezultă:.

____________* A.A Detlaf, B.M. Iavorskii „Curs de fizică” §13.5

Pe de altă parte conform definiţiei: .

Comparînd ultimele două relaţii obţinem:

sau de unde sau .

Ultima relaţie obţinută pentru un caz particular are o valabilitate generală. Astfel, densitatea superficială σ a sarcinelor electrice de polarizare defineşte vectorul polarizaţie electrică .

Este uşor de verificat că: .Rezultă că mărimele fizice P şi ε0E sunt direct proporţionale. Coeficientul de proporţionalitate dintre

aceste mărimi K (capa) se numeşte susceptivitate electrică:P=Kε0E.

§ 3.2.8. Vectorul inducţie electrică. Permitivitatea dielectrică.

7

Page 8: Electicit.si magnetism

Cum a fost arătat în paragraful precedent (fig.11), pe feţele laterale ale dielectricului întrodus într-un cîmp apar sarcini legate de densitate superficială p. Evident că densitatea rezultantă de sarcină electrică este :

sau şi atunci , cîmpul electric rezultant în interiorul dielectricului va fi:

de unde .

Densitatea superficială de sarcină electrică liberă σℓ, ca şi σp, defineşte o mărime fizică vectorială numită

inducţie sau deplasare electrică: .

Din ultimele două relaţii rezultă:

(16).

Ţinînd seama de relaţia relaţia (16) pentru vectorul devine:

,

unde 1+K=εr este permitivitatea dielectrică relativă a substanţei.

§ 3.2.9. Legea lui Gauss generalizată. Particularităţile vectorilor şi .

Din cele expuse mai sus rezultă că fluxul vectorului printr-o suprafaţă închisă S (fig. 12) care conţine o armatură a unui conductor încărcat, umplut cu un dielectric este:

.

Astfel, fluxul vectorului printr-o suprafaţă închisă este egal cu sarcina electrică liberă din interiorul suprafeţei şi nu depinde de sarcinele electrice legate:

(17).

Relaţia (17) exprimă legea lui Gauss generalizată, valabilă şi pentru medii omogene, deoarece ΦD nu depinde de qp.Analog cum au fost obţinute relaţiile (13) şi (15) se obţine formula locală a legii lui Gauss generalizată şi rotorul vectorului :

; .

Substituind relaţia în relaţia (17) obţinem:

,

de unde , .

Astfel, intensitatea cîmpului electric, forţa de interacţiune dintre sarcinele elctrice şi potenţialul cîmpului electric într-un dielectric se micşorează de εr ori.Dacă intensitatea cîmpului electric la trecerea din vid în dielectric se schimbă, atunci inducţia D la o astfel de trecere nu se schimbă:

.

Astfel, prima particularitate a vectorilor şi este Evide Esubst, Dvide=Dsubst. A doua particularitate constă în

aceea că dacă liniile vectorului pot să înceapă şi să se termine atît pe sarcini libere cît şi pe sarcini legate,

apoi liniile vectorului , conform relaţiei (17) pot să înceapă şi să se termine numai pe sarcini libere. A treia

8

Page 9: Electicit.si magnetism

particularitate constă în în aceea că vectorii şi se comportă diferit la trecerea dintr-un dielectric în altul. Se

poate demonstra*) că la trecerea dintr-un dielectric în altul componentele tangenţiale ale vectorului şi

componentele normale ale vectorului nu se schimbă:

.

§ 3.2.10. Energia cîmpului electric.

Considerăm procesul de încărcare al unui condensator. Din cursul preuniversitar de fizică se ştie că sarcina electrică q, tensiunea U dintre plăcile condensatorului şi capacitatea lui C sunt legate prin relaţia: q=CU, care se verifică în orice moment al procesului de încărcare.

La sfârşitul acestui paragraf trebuie de menţionat că relaţia nu este

fundamentală, adică nu întotdeauna se verifică, de pildă această relaţie nu se verifică în medii anizatropice transparente, ceea ce conduce la refracţia dublă a luminii**).

În timpul încărcării condensatorului, pentru a mări sarcina condensatorului cu dq ceea ce conduce la ridicarea tensiunii dintre plăci cu dU se cheltuie lucrul: dL=Udq=CUdU. De unde pentru energia potenţială a condensatorului se obţine:

.

Avînd în vedere relaţiile U=E∙d şi pentru energia potenţială a condensatorului obţinem:

unde V este volumul condensatorului.

Astfel, energia condensatorului încărcat se exprimă prin intensitatea cîmpului electric dintre plăcile ____________*) A.A Detlaf, B.M. Iavorskii „Curs de fizică” §15.4____________**) Д. В. Сивухин „Оптика” §75

condensatorului. Experienţa arată că propagarea câmpului electromagnetic în spaţiu este însoţită de un transport de energie. Prin urmare se poate considera că purtătorul energiei condensatorului este cîmpul lui electric şi nu sarcinele electrice de pe armaturile lui.

Energia cîmpului electric este caracterizată de densitatea volumică de energie:

.

3.3. Electrocinetică.

§3.3.1.Curentul electric. Intensitatea curentului electric ca fluxul vectorului densităţii de curent.

Din cursul preuniversitar de fizică se ştie că curentul electric reprezintă o mişcare ordonată a purtătorilor de sarcină electrică. Deplasarea ordonată a purtătorilor liberi de sarcină electrică (electroni, ioni) într-un conductor sub acţiunea unui cîmp electric se numeşte curent de conducţie. În afară de curent de conducţie există şi un curent de convecţie condiţionat de deplasarea corpurilor electrizate. Deplasarea sarcinilor electrice este caracterizată de densitatea fluxului purtătorilor de sarcină electrică sau densitatea de curent , care este o mărime fizică vectorială valoarea căreia în fiecare punct este egală cu cantitatea de sarcină electrică care

străbate, într-o unitatea de timp 0, unitate de suprafaţă normală pe direcţia de deplasare (fig. 13):

9

Page 10: Electicit.si magnetism

Pe de altă parte, aria suprafeţei dS în unitatea de timp va fi străbătută toată sarcina electrică din interiorul volumului dV şi deci:

.Din ultimele două relaţii rezultă:

,

unde n este concentraţia purtătorilor de sarcină, de exemplu electronii e în metale, iar q el este sarcina elementară. Astfel, pentru densitatea de curent în metale obţinem:

sau sub formă vectorială. (18).Sarcina totală ce trece în unitate de timp prin aria secţiunii transversale a conductorului se numeşte

intensitatea curentului electric I:

.

Din ultima relaţie rezultă că intensitatea curentului electric reprezintă fluxul vectorului densităţii curentului electric.

Un curent electric care nu-şi schimbă mărimea şi direcţia se numeşte curent electric continuu. În acest caz ultima relaţie devine:

.

Unitatea SI de curent este amperul (A): , convenţional, sensul curentului electric este sensul deplasării sarcinilor pozitive.

§ 3.3.2. Legea lui Ohm şi legea lui Joule-Lenz sub formă diferenţială (locală).

Considerăm un conductor străbătut de un curent electric (fig. 14). Electronii în metale în decursul mişcării interacţionează cu ionii pozitivi din reţeaua cristalină a conductorului şi le cedează energia cinetică acumulată în cîmpul electric. Astfel, între două ciocniri succesive viteza electronului creşte de la zero pînă la :

.

Rezultă că viteza medie a mişcării ordonate este:

(19)

unde me este masa electronului.Din relaţiile (18) şi (19) rezultă:

(20).

Factorul de proporţionalitate dintre J şi E se numeşte conductivitate electrică σ şi atunci relaţia (20) devine sau (21) sub formă vectorială.Relaţia (21) reprezintă expresia matematică a legii lui Ohm sub formă diferenţială (locală). Semnificaţia

acestei legi constă în aceea că şi din relaţia (21) se aplică unui punct dat din interiorul conductorului pe cînd cunoscuta relaţie U=IR (legea lui Ohm sub formă integrală) se aplică la secţiunea transversală a unui conductor străbătut de un curent continuu.

Cum a fost menţionat, energia cheltuită pentru menţinerea curentului electric este cedată reţelei cristaline a conductorului care se încălzeşte. Aceasta este căldura lui Joule-Lenz. Evident că lucrul efectuat asupra unui electron într-o unitate de timp este .

Respectiv, puterea degajată într-o unitate de timp , într-o unitate de volum (densitate de putere sau puterea specifică a curentului) va fi:

10

Page 11: Electicit.si magnetism

.

Relaţia ω=σE2 reprezintă expresia matematică a legii lui Joule-Lenz sub formă diferenţială (locală).Pentru puterea degajată într-un volum oarecare avem:

.

Astfel, am obţinut legea lui Joule-Lenz sub formă integrală.

3.3.3 Originea rezistenţei electrice.

Mişcarea ordonată a purtătorilor de sarcină electrică, de exemplu mişcarea ordonată a electronilor în metale, este însoţită de apariţia diferitor forţe care se opun acestei mişcări. Aceasta se explică prin faptul că electronii în decursul mişcării lor ordonate mereu îşi schimbă direcţia mişcării datorită interacţiunii lor cu diferite defecte ale reţelei cristaline a metalului dat cum sunt, diferite impurităţi, vacansii, fluctuaţiile distanţelor dintre ioni, care oscilează în jurul poziţiilor lor de echilibru. În rezultatul acţiunii a acestor forţe electronul dat în unele intervale de timp poate chiar să se mişte în sens invers (fig. 15).

fig. 15Pentru a înving forţele indicate mai sus electronul împrumută energie de la câmpul electric o fracţiune din

care o restituie reţelei cristaline. Peste un timp oarecare (destul de mic) se va stabili o stare staţionară în care viteza electronilor este:

Este rezonabil de admis că influenţa defectelor reţelei cristaline asupra conductibilităţii electrice este independentă de temperatură cu excepţia oscilaţiilor ionilor în jurul poziţiilor lor de echilibru(nodurile reţelei cristaline). Amplituda acestor creşte cu creşterea temperaturii, ceea ce se confirmă experimental. Experienţa arată că rezistivitatea depinde liniar de temperatură:

unde este rezistivitatea la 0oC, iar α este coeficientul termic de rezistenţă a metalului dat. Pentru majoritatea

metalelor coeficientul termic de rezistenţă este . Este uşor de observat că din ultimele două relaţii

rezultă

Astfel, experimental se constată că, rezistivitatea metalelor creşte direct proporţional cu temperatura.Pe de altă parte, conform teoriei clasice, cum a fost arătat, rezistivitatea metalelor este determinată de

relaţia:

unde λm=Vet este parcursul mediu liber al electronului. „Gazul de electroni” din metale aproximativ se supune legilor gazelor ideale.

Prin urmare viteza medie a electronilor în metale este de ordinul

11

Page 12: Electicit.si magnetism

Este uşor de observat că ultimele două relaţii ne conduc la concluzia că conform teoriei clasice dată cu creşterea temperaturii rezistivitatea creşte direct proporţional cu .

Contrazicerea dintre teoria clasică ( ~ ) şi experienţă ( ~T) este depăşită de teoria cuantică a conductibilităţii electrice. Conform acestei teorii dependenţa rezistivităţii metalelor de temperatură este liniară (curba 1 fig. 16). Mai pe urmă s-a observat că rezistivitatea multor metale (Al, Pb, Zn,...) şi a aliajelor lor la temperaturi foarte mici, numite temperaturi critice Tc (0,14-20K), caracteristice pentru fiecare metal, brusc se micşorează până la 0 (curba 2 fig. 16). Acest fenomen se numeşte supraconductibilitate, care la fel se explică de către teoria cuantică. Până ce efectul supraconductibilităţii electrice nu este aplicat pe larg din cauză că obţinerea temperaturilor mici de ordinul Tc este foarte costisitoare. Fig. 16

§ 3.3.4. Circuite ramificate. Legile lui Kirchhoff.

Circuitele electrice reale conţin combinaţii de conductori, consumatori şi generatoare uniţi în serie şi paralel. Aşa circuite se numesc circuite ramificate. Aceste circuite, în general, pot fi calculate folosind legea lui Ohm şi legea conservării sarcinei electrice. În scopul simplificării acestor calcule Kirchhoff a propus două legi pe larg folosite în electro-radiotehnică. Prima lege se referă la nodurile unui circuit (puncte unde se întîlnesc trei sau mai mulţi conductori (fig.17.a)).

Conform legii conservării sarcinei electrice pentru fiecare nod trebuie să se verifice relaţia: ∑qi=const.

Derivînd această relaţie obţinem:

.

Rezultă că suma algebrică a curenţilor într-un nod este nulă. Această concluzie şi reprezintă enunţul legii întîi a lui Kirchhoff.

A doua lege a lui Kirchhoff se referă la ochiuri de reţea, sau circuite elementare închise (ABDA, ABCDA, BCDB — fig. 17.b). Pentru a obţine a doua lege a lui Kirchhoff se admite un sens pozitiv de parcurgere a circuitului (de exemplu, sensul acelor de ceasornic). Curenţii sensul cărora coincide cu sensul de parcurgere sunt consideraţi pozitivi, iar curenţii care circulă în sens opus sensului de parcurgere sunt consideraţi negativi. F.e.m. se consideră pozitivă dacă parcurgerea circuitului are loc de la “-“ la “+”. Dacă parcurgerea circuitului are loc de la “+” la “-“ atunci f.e.m. se consideră negativă. Aplicînd aceste reguli împreună cu legea lui Ohm pentru porţiunile de circuit ale unui ochi, de exemplu ale ochiului BCDB putem scrie:

.

Adunând aceste relaţii obţinem ecuaţia:

∑IiRi=∑εi

care exprimă expresia matematică a legii a doua a lui Kirchhoff: într-un ochi de reţea suma algebrică a căderilor de tensiune este egală cu suma algebrică a forţelor electromotoare.

12

Page 13: Electicit.si magnetism

3.4. Magnetostatică.

§ 3.4.1. Cîmp magnetic.

Încă în antichitate s-a observat că unele minereuri de fier, cum este magnetita (Fe3O4) au proprietatea de a atrage fragmente mici de fier, cobalt etc. Această proprietate ireductibilă la interacţiunea gravitaţională sau interacţiunea electrică se numeşte magnetism. Regiunile corpului unde magnetismul se manifestă maximal se numesc poli magnetici, iar însuşi un aşa corp se numeşte magnet. Denumirea de magnetism vine de la denumirea localităţii din Asia Medie, Magnesia unde fenomenul a fost observat prima dată.

S-a constatat că există doi poli magnetici care nu pot fi separaţi, deoarece ei există numai în pereche. Aceşti poli, notaţi prin N şi S corespund orientării unui magnet uşor (ac magnetic) spre polul nord şi sud al Pămîntului. Experienţa arată că interacţiunea dintre polurile opuse este atractivă. Mai tîrziu, la fel experimental au fost observate următoarele fenomene:

1. Interacţiunea dintre un curent şi un magnet (experienţa lui Oersted): devierea acului magnetic în vecinătatea unui conductor străbătut de curent electric continuu.

2. Interacţiunea curenţilor: curenţi de acelaşi sens se atrag, iar de sens opus se resping.

Aceste fenomene se explică prin faptul că sarcinele electrice în mişcare ordonată generează un nou tip de forţe numite forţe magnetice, care diferă esenţial de cele coulombiene. Cîmpul forţelor magnetice constituie cîmpul magnetic. Rezultă că în împrejurimea unei sarcini electrice în mişcare întotdeauna există un cîmp magnetic prin intermediul căruia, din aproape în aproape, se transmite interacţiunea magnetică.

§ 3.4.2. Forţa magnetică care se exercită asupra unei sarcini electrice în mişcare în vid.

S-a observat că o sarcină electrică, mişcându-se într-un câmp magnetic, este acţionată de o forţă magnetică adiţională la forţele gravitaţională şi elelctrică. Experienţa arată că forţa magnetică exercitată de un cîmp

magnetic asupra unei sarcini electrice în mişcare este direct proporţională cu sarcina q şi cu viteza ei fiind perpendiculară direcţiei de mişcare a sarcinei electrice (fig.18).

Coeficientul de proporţionalitate B reprezintă modulul unui vector definit în fiecare punct de valorile observabile F, q şi V. Vectorul variază de la un punct la altul, însă în acelaşi punct el are acelaşi modul pentru orice sarcină q în mişcare cu orice viteză V. Astfel, vectorul descrie o proprietate caracteristică cîmpului

magnetic şi este numit vector câmp magnetic sau inducţie magnetică. Dacă sarcina q se deplasează într-un spaţiu unde există

cîmp electric şi un cîmp magnetic, forţa rezultantă care acţionează sarcina q este:

13

Page 14: Electicit.si magnetism

.

Aceasta este expresia matematică a forţei numită forţa lui Lorentz. Pornind de la expresia FL=qvB sinα se poate de definit unitatea de măsură a inducţiei magnetice:

.

Această unitate poartă denumirea de Tesla: inducţia unui cîmp magnetic care exercită o forţă de 1N asupra unei sarcini electrice de 1C în mişcare cu viteza de 1m/s.

Ca şi cîmpul electric, cîmpul magnetic poate fi caracterizat grafic cu ajutorul liniilor de forţe (de cîmp, de inducţie magnetică) care sunt linii tangente vectorului în orice punct al cîmpului. Cu ajutorul piliturilor de

fier sau a unui ac magnetic se poate demonstra că liniile cîmpului magnetic sunt închise (fig. 19).Convenţional se consideră că liniile cîmpului magnetic iese din polul nord şi intră în polul sud.Forţa FL, fiind perpendiculară pe direcţia deplasării sarcinei q, nu produce lucru mecanic. Din cursul

preuniversitar de fizică se ştie că traiectoria de mişcare a sarcinei q într-un câmp magnetic depinde de unghiul α dintre şi . Dacă:1. α=0 — traiectoria este o linie dreaptă.2. α =900 — traiectoria este o circumferinţă, planul căreia este perpendicular vectorului .

3. 0<α<900 — traiectoria este o linie elicoidală cu axa paralelă cu .

§ 3.4.3. Cîmpul magnetic al unei sarcini electrice în mişcare cu viteză nerelativistă constantă.

Cum a fost arătat:1. O sarcină electrică în mişcare, în afară de cîmp electric mai produce şi cîmp magnetic (experienţa lui Oersted).2. Cîmpul magnetic (formă de existenţă a materiei prin intermediul căreia se transmite interacţiunea magnetică) este caracterizat de mărimea fizică vectorială numită inducţia cîmpului magnetic .

3. Liniile de forţă ale cîmpului magnetic (linii tangente în fiecare punct vectorului ) sunt închise (experienţa cu pilitura de fier)Considerăm câmpul magnetic produs de o sarcină electrică q care se mişcă cu o viteză constantă nerelativistă (v<<c) (fig. 20).

Experimental s-a constatat că intensitatea cîmpului electric şi inducţia cîmpului magnetic creat de sarcina q în mişcare într-un punct al spaţiului respectiv sunt determinate de relaţiile:

(22)

(23)

unde este vectorul unitar în direcţia vectorului : .

Factorul de proporţionalitate 10-7 obţinut experimental, convenţional a fost egalat cu : , de

unde se obţine constanta μ0=4π∙10-7 F∙m-1 numită permitivitate magnetică a vidului. Ţinînd seama de constanta μ0 relaţia (23) devine:

14

Page 15: Electicit.si magnetism

(24).

Este uşor de observat că relaţiile (22) şi (24) conduc la relaţia:

(25)

unde este viteza luminii în vid.

Dacă V≠const atunci legătura dintre şi este mai complicată. Este important de menţionat că relaţia (24) este valabilă numai pentru viteze nerelativiste pe cînd relaţia

(25) este valabilă pentru orice viteză.

§ 3.3.4. Electromagnetismul şi principiul relativităţii.

Conform principiului relativităţii pentru vectorii şi trebuie să existe relaţii de trecere de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Considerăm două sisteme de referinţă: unul imobil S şi altul mobil Sl. Admitem cazul cel mai simplu cînd Sl se deplasează cu viteza V=const de-a lungul axei Ox care coincide cu Olxl în momentul t=0. Admitem la fel că sarcina electrică Q se află în originea sistemului Sl, iar sarcina q este imobilă în Sl, adică se admite că ambele sarcini sunt imobile în Sl (fig. 21).

Experimental se constată că la trecerea dintr-un sistem de referinţă inerţial la altul sarcina electrică rămîne

neschimbată:

q=ql; Q=Ql.

1. Din punct de vedere a observatorului imobil în Sl sarcinele q şi Q sunt imobile şi se manifestă numai interacţiunea electrică, de exemplu cîmpul electric creat de sarcina Q influienţează sarcina q cu forţa.

Proiecţiile acestei forţe sunt: , , (26)2. Din punct de vedere a observatorului imobil în S sarcina Q se mişcă cu viteza V şi deci, în afară de cîmp

electric ea mai produce şi un câmp magnetic care acţionaeză sarcina q în mişcare cu viteza . Rezultă că sarcina q este acţionată de forţa lui Lorentz:

(27).

Conform proprietăţii produsului vectorial putem scrie:

(28)

deoarece Vx=V; Vy=Vz=0; Bx=0.Ţinînd seama de relaţiile (28), pentru proiecţiile forţei Lorentz (27) pe axele x, y, z putem scrie:

15

Page 16: Electicit.si magnetism

(29).

În teoria relativităţii restrînse se demonstrează că componenta longitudinală a forţei la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul rămîne neschimbată:

pe cînd proiecţiile transversale se schimbă conform relaţiilor:

,

Ultimele trei relaţii reprezintă transformările lui Lorentz pentru forţă. Aceste transformări împreună cu relaţiile (26) şi (29) ne conduc la relaţiile:

, , (30).

Astfel, am obţinut relaţia de trecere de la S la Sl pentru intensitatea cîmpului electric. Analog pot fi obţinute şi relaţiile de trecere de la Sl la S:

, , (31).

Dacă Q şi q, sau ambele sunt mobile în Sl, atunci relaţiile (30) şi (31) devin dependente de ambele viteze.Semnificaţia relaţiilor (30) şi 31) constă în aceea că cîmpul electric şi cel magnetic nu pot exista

separat unul de altul. Aceste cîmpuri există ca o singură antitate fizică numită câmp electromagnetic. La fel interacţiunea electrică şi magnetică există împreună ca o interacţiune electricomagnetică. Separarea cîmpului sau a interacţiunii electricomagnetice în componentele sale nu este o operaţie absolută, dar depinde de mişcarea sarcinii electrice relativ observatorului.

§ 3.4.5. Contur parcurs de curent electric într-un cîmp magnetic. Momentul magnetic (momentul dipolar magnetic).

Pentru simplitate admitem că conturul parcurs de curent electric aflat într-un cîmp magnetic este dreptunghiular fiind orientat faţă de cîmpul magnetic aşa cum este orientat în fig. 22. Fie ℓ şi ℓ 1 sunt laturile

conturului, iar I este intesitatea curentului electric ce străbate acest contur. Din cursul preuniversitar de fizică se ştie că orice conductor parcurs de curent electric situat într-un câmp magnetic este acţionat de forţa (forţa lui Ampere):

unde φ este ungiul dintre şi .Folosind regula mîinii stîngi ne putem convinge că forţele

lui Ampere care acţionează laturile dreptunghiului sunt orientate aşa cum este prezentat în figura. Este uşor de observat că forţele

, deformează conturul, pe cînd forţele , formează un

16

Page 17: Electicit.si magnetism

cuplu de forţe momentul căruia tinde să rotească conturul aşa cum este indicat în figură. Cum se ştie momentului cuplului de forţe este :

.

unde α este unghiul dintre vectorul şi vectorul unitar perpendicular pe suprafaţa conturului.

Mărimea fizică se numeşte moment magnetic. Sensul vectorului corespunde sensului

deplasării burghiului de dreapta rotit în sensul curentului din contur. Astfel, pentru momentul cuplului vom obţine relaţia:

sau (32).

Formula (32) obţinută pentru un caz particular este generală, adică este valabilă pentru orice contur de orice formă situat în orice cîmp magnetic.

Lucrul elementar efectuat de cuplu se cheltuie la creşterea energiei potenţiale a circuitului:.

De unde .Dacă α=0 atunci energia potenţială a conturului este minimală şi el se află în stare de echilibru stabil

(vectorii şi sunt paraleli). Dacă însă vectorii şi sunt antiparaleli(α=π) atunci conturul se află în stare

de echilibru instabil. Însfârşit dacă , atunci fluxul magnetic care străbate conturul este nul prin urmare şi

energia lui potenţială este nulă. Astfel, pentru energia potenţială a conturului cu curent situat într-un câmp magnetic vom obţine relaţia:

sau .Fie conturul parcurs de curent (de data aceasta circular) se află într-un cîmp magnetic neomogen cum este

indicat în figura 23. În acest caz forţele , deplasează conturul cu curent în direcţia creşterii cîmpului

magnetic. Dacă sensul curentului din contur se schimbă pe invers, atunci conturul se va deplasa în direcţia micşorării cîmpului magnetic.

Cum a fost arătat sau .

Dacă orientarea conturului faţă de cîmpul magnetic nu se schimbă (cosα=cost) atunci Ep depinde numai de x, adică derivatele parţiale relativ lui y şi z sunt nule. Din cele expuse rezultă că forţa care acţionează conturul cu curent situat într-un cîmp magnetic variabil este:

(33).

Astfel, un contur parcurs de curent electric situat într-un cîmp magnetic este acţionat de momentul de rotaţie (32) şi de forţa (33) care deplasează conturul în

sensul cîmpului dacă şi sunt paraleli, sau în sens opus dacă şi sunt

antiparaleli.

§ 3.4.6. Legea lui Biot-Savart-Laplace.

Cîmpul magnetic staţionar a fost studiat experimental de către Biot şi Savart (1820) care au stabilit că într-un punct A (fig. 24) situat la distanţa r de un conductor rectiliniu infinit de lung, străbătut de un curent de intensitate I, apare un cîmp magnetic inducţia căruia este:

(34).

17

Page 18: Electicit.si magnetism

Relaţia (34) a fost generalizată de Laplace care a arătat că cîmpul magnetic creat de un curent ce străbate un conductor de formă arbitrară poate fi exprimat ca suma vectorială a cîmpurilor create de porţiunile elementare dℓ ale conductorului (fig. 25), pentru cîmpul magnetic creat în punctul A de către elementul de conductor dℓ Laplace a găsit formula:adică câmpul magnetic, ca şi cel electric, se supune principiului superpoziţiei:

, sau ,

unde este inducţia câmpului magnetic creat de elementul de conductor dℓ. În baza relaţiei ( ) putem

scrie :

( )

unde dq = endv este sarcină electrică din elementul de volum dV, n este concentraţia electronilor e, iar v este viteza lor medie. Astfel, den relaţia ( ) rezultă

,

de unde (35)

sau ,

unde este vectorul elementului de conductor în sensul curentului, iar α este unghiul dintre vectorii şi

(fig. 25).Relaţiile (35) reprezintă expresiile matematice ale legii lui Biot-Savart-Laplace respectiv în formă

vectorială şi scalară. Cu ajutorul acestei legi poate fi calculată inducţia câmpului magnetic creat de diferiţi curenţi.

Exerciţiul 1: Cîmpul magnetic al unui curent rectiliniu finit (fig. 26).Din figură rezultă:

; dℓsinα=rdα .

Ţinînd seama de aceste relaţii şi folosind legea lui Biot-Savart-Laplace obţinem:

.

18

Page 19: Electicit.si magnetism

Dacă conductorul rectiliniu este infinit (1=0; 2=), atunci din ultima relaţie rezultă:

.

Exerciţiul 2: cîmpul magnetic al unui curent circular (fig. 27).Vom calcula inducţia cîmpului magnetic al curentului circular numai în punctele situate pe axa curentului,

deoarece pentru restul punctelor acest calcul este destul de complicat.Datorită simetriei componentele se

compensează reciproc, deaceea aport în cîmpul magnetic are numai componenta:

.

Şi atunci pentru inducţia cîmpului magnetic în punctul A obţinem:

.

În centrul conturului (h=0) inducţia cîmpului magnetic este . Sensul vectorului este sensul

mişcării progresive a burghiului de dreapta cînd acesta este rotit în sensul curentului (fig. 27).

Exerciţiul 3: Cîmpul magnetic al unui curent solenoidal (fig. 28).Fie solenoidul de lungimea ℓ este alcătuit din N spire, atunci numărul de spire pe o unitate de lungime este

, iar numărul de spire în elementul de solenoid dr este

. Atunci pentru inducţia câmpului magnetic creat în

punctul A de către elementul de solenoid dl obţinem:

(5).

Din fig. 28 se observă că:r =Rctgβ; dr = -Rcscβ dβ; r2+R2=Rcsc2β.

Prin substituţie în relaţia (36) obţinem:

.

Şi atunci pentru cîmpul rezultat în punctul A putem scrie:

.

Dacă solenoidul este infinit de lung (β1=π; β2=0) atunci avem: B=μoIn.

În cazul cînd punctul A se află la una din extremităţile solenoidului

( şi β2=0 sau β1=π şi ) avem .

19

Page 20: Electicit.si magnetism

§ 3.4.7. Legea lui Ampere (legea circuitului magnetic) pentru cîmpul magnetic în vid.

Considerăm un contur ℓ plan de o formă arbitrară, ce înconjoară un conductor rectiliniu infinit parcurs de curentul I (fig. 29). Se calculează circulaţia vectorului cîmp magnetic de-a lungul conturului ℓ.

.

Dacă conturul ℓ înconjoară mai mulţi curenţi atunci ultima relaţie devine:

(37).

Relaţia (37) exprimă legea circuitului magnetic în forma integrală: Circulaţia vectorului cîmp magnetic de-a lungul unui contur închis care înconjoară curenţii I1, I2, … este proporţională cu suma algebrică a

curenţilor respectivi. Legea lui Ampere obţinută pentru un curent rectiliniu are un caracter general fiind valabilă şi pentru curenţi de forma arbitrară.

Cum a fost arătat, intensitatea curentului poate fi exprimată ca fluxul vectorului densităţii curentului electric:

(38).

Substituind (38) în (39) obţinem: (39).

Scriem teorema integrală a lui Stokes pentru vectorul : (40).

Comparînd relaţiile (39) şi (40) obţinem: (41).

Relaţia (10) exprimă forma diferenţială a legii lui Ampere pntrucâmpul magnetic în substanţă; această lege evidenţiază caracterul turbionar (rotaţional) al cîmpului magnetic: deplasarea sarcinilor electrice crează “vîrtejuri” de cîmp magnetic, adică liniile inducţiei magnetice sunt închise. Se poate arăta că din legea lui Ampere rezultă legea lui Biot-Savart-Laplace şi reciproc.

Exerciţiu:Cîmpul magnetic al unui curent toroidal (fig. 40).

În acest caz legea lui Ampere se scrie , unde N este

numărul de spire. Pe de altă parte

deoarece cîmpul magnetic în interiorul torului este omogen (B=const). Din ultimele două relaţii rezultă:

.

§ 3.4.8. Fluxul inducţiei magnetice. Legea lui Gauss pentru cîmpul magnetic.

Fluxul elementar al inducţiei magnetice în vid dФm care străbate suprafaţa elementară dS (fig. 31) se defineşte analog cu fluxul vectorului cîmp electric :

(42)

20

Page 21: Electicit.si magnetism

unde α este unghiul dintre vectorul şi normala elementului de suprafaţă dS în punctul dat. Fluxul

inducţiei magnetice printr-o suprafaţă arbitrară poate fi obţinut integrînd relaţia (42): .

În SI fluxul inducţiei magnetice se exprimă în T•m2, unitatea numită weber (Wb):.

Cum a fost arătat: liniile inducţiei cîmpului electrostatic pornesc şi se termină pe sarcini electrice, adică sunt linii deschise liniile inducţiei cîmpului magnetic sunt curbe închise şi ca urmare fluxul inducţiei magneticec ce intră

într-o suprafaţă închisă este egal cu fluxul magnetic ce iese din această suprafaţă. Dacă se mai ţine seama de faptul că valorile cosα la intrare şi la ieşire din suprafaţa închisă S sunt egale şi au semne opuse (fig. 32) rezultă: fluxul inducţiei magnetice printr-o suprafaţă închisă este întotdeauna nul:

(43).

Relaţia (12) reprezintă expresia matematică a legii lui Gauss pentru cîmpul magnetic în forma integrală.În conformitate cu teorema integrală a lui Gauss şi avînd în vedere relaţia (43), obţinem:

sau (44),

rezultat care reprezintă legea lui Gauss pentru cîmpul magnetic în formă diferenţială (locală) . Relaţia (44) indică că în natură nu există sarcini magnetice, cu alte cuvinte în natură nu există puncte din care liniile inducţiei ar putea diverge ceea ce înseamnă că cîmpul magnetic este un cîmp turbionar (nepotenţial).

3.5. Substanţa în cîmp magnetic.

Experienţa arată că cîmpurile magnetice create de un conductor, străbătut de un curent electric, situat mai întîi în vid, apoi într-un mediu oarecare nu sunt identice. Acest lucru se explică prin faptul că în substanţă cîmpul magnetic este excitat nu numai de curenţi electrici care circulă prin conductoare (curenţi de conducţie), dar şi de mişcarea ordonată a particulelor de sarcină electrică din interiorul atomilor şi moleculelor care excită nişte curenţi închişi microscopici numiţi curenţi moleculari sau curenţii lui Ampere. Ca şi curenţii de conducţie, curenţii moleculari excită un cîmp magnetic care, în dependenţă de natura substanţei, amplifică sau slăbeşte cîmpul magnetic rezultat din substanţa situată într-un cîmp magnetic. Rezultă că orice substanţă dispune de proprietăţi magnetice, adică se polarizează magnetic (se magnetizează) sub acţiunea unui cîmp magnetic.

Se poate stabili un paralelism între polarizarea dielectricilor şi magnetizarea substanţelor cu excepţia faptului că în natură nu există sarcini magnetice. Dacă polarizarea dielectricilor se exprimă printr-o distribuţie anumită a curenţilor lui Ampere a sarcinilor electrice, atunci magnetizarea substanţei se exprimă printr-o distribuţie.

§ 3.5.1. Momentul magnetic al electronilor şi atomilor. Vectorul magnetizaţie. Substanţe diamagnetice şi paramagnetice.

Cum a fost indicat, mişcarea ordonată a electronilor în interiorul atomilor constituie un curent I microscopic (molecular) închis, în cel mai simplu caz

21

Page 22: Electicit.si magnetism

circular (fig. 33). Conform teoriei clasice raportul dintre momentul megnetic orbital şi momentul cinetic orbital al electronului este:

.

Acest raport a fost numit raport magnetomecanic orbital al electronului. Semnul “–“ indică că vectorii

şi au sensuri opuse.

În afară de aceasta, s-a constatat (experienţele lui Einstein, de Haase şi Barnett) că electronul în afară de moment cinetic orbital mai dispune şi de un moment cinetic propriu Ls,e numit spin (din engleză – fus) şi de un moment magnetic propriu Pm,s,e. Pentru ca rezultatele teoretice să coincidă cu cele experimentale s-a admis că raportul magnetomagnetic propriu al electronului este:

.

În mecanica cuantică se demonstrează că momentul cinetic propriu al electronului este determinat de relaţia

unde (h=6,62*10-34J*S constanta lui Plane) şi atunci pentru momentul propriu magnetic al

electronului vom obţine:

unde este magnetonul lui Bohr.

Din cele expuse rezultă că pentru momentul magnetic rezultant al electronului putem scrie:

.

Este evident că pentru moment magnetic al atomului putem scrie: , unde este

momentul magnetic al nucleului. Sa constatat că Pm,n<<∑Pm,e,i şi deaceea pentru momentul magnetic al atomului obţinem:

.

Respectiv, pentru momentul magnetic al unei substanţe de volum V von obţine

.

Mărimea fizică se numeşte vector magnetizaţie.

În condiţii obişnuite (Bex=0) atomii substanţelor, în dependenţă de structura acestora, pot să dispună sau nu

de moment magnetic :

Dacă (H2,N2,…) atunci substanţele respective se numesc

substanţe diamagnetice . evident că vectorul magnetizaţie a substanţelor diamagnetice în condiţii obişnuite este nul:

, deoarece .

Dacă (O2,Al…) atunci substanţele respective se numesc

substanţe paramagnetice. Vectorii în condiţii normale sunt

orientaţi haotic deaceea şi prin urmare vectorul magnetizaţie

a substanţelor paramagnetice în condiţii obişnute este nul:22

Page 23: Electicit.si magnetism

, deoarece .

§ 3.5.2. Curent de magnetizaţie. Diamagnetismul. Magnetiszarea substanţelor diamagnetice şi paramagnetice.

Întroducem într-un cîmp magnetic o substanţă, pentru simplitate, de formă cilindrică. Datorită prezenţei cîmpului magnetic exterior, curenţii moleculari excitaţi de mişcarea ordonată a electronului în jurul nucleului, vor fi acţionate de momentul de rotaţie:

.

Sub influenţa acestui moment de rotaţie electronii substanţei situate într-un câmp magnetic efectuează o mişcare ordonată suplimentară în aşa

mod încât vectorii şi descriu nişte suprafeţe conice axa cărora este

paralelă vectorului (fig. 34). Această mişcare ordonată suplimentară a

electronului excitată de cîmpul magnetic exterior se numeşte mişcare de precesie. Mişcarea de precesie a electronilor induce un curent suplimentar cîmpul magnetic al căruia este opus cîmpului magetic exterior. Aceşti

curenţi suplimentari produc la suprafaţa substanţei un curent rezultant Im care se comporta ca un curent solenoidal (curenţii interni se anulează reciproc)(fig. 35). Curentul Im, numit curent de magnetizaţie excită un

cîmp magnetic vectorul magnetizaţie al căruia este orientat opus vectorului (fig. 35).

Efectul apariţiei curentului Im la suprafaţa substanţei întroduse într-un cîmp magnetic este comun tuturor substanţelor şi se numeşte diamagnetism.

Fie substanţa întrodusă în cîmpul magnetic este o substanţă diamagnetică. În acest caz, cu toate că

a b

, vectorul este diferit de zero, fiind orientat în sens opus vectorului . Rezultă că cîmpul

magnetic rezultant în interiorul unei substanţe diamagnetice introduse într-un cîmp magnetic este inferior cîmpului magnetic exterior (fig. 36.a). în aceasta şi constă magnetizarea substanţelor diamagnetice.

Dacă substanţa întrodusă în cîmpul magnetic este o substanţă paramagnetică ( ), atunci au loc

două fenomene:

primul este diamagnetismul, adică apariţia cîmpului opus cîmpului .

al doilea fenomen, numit paramagnetism, reprezintă orientarea vectorilor dea lungul vectorului

. Paramagnetismul excită vectorul paralel vectorului .

23

Page 24: Electicit.si magnetism

Experienţa arată că >> , deaceea cîmpul magnetic rezultant în interiorul unei substanţe

paramagnetice introduse într-un cîmp magnetic este superior cîmpului magnetic exterior (fig. 36.b). În acesta şi constă magnetizarea substanţelor paramagnetice.

§ 3.5.3 Legea lui Ampere pentru cîmpul magnetic în substanţă.

Cum a fost arătat, expresia matematică a legii lui Ampere pentru cîmpul magnetic în vid este:

unde reprezintă suma algebrică a curenţilor ce străbat o suprafaţă S limitată de conturul

închis ℓ. Acest curent este un curent de conducţie deoarece el este produs de mişcarea ordonată a electronilor de conducţie din conductoare şi atunci ultima relaţie devine:

sau

(45).Considerăm cîmpul magnetic în interiorul unei

substanţe paramagnetice. În acest scop admitem că substanţa fiind de formă cilindrică este introdusă într+un solenoid străbătut de un curent continuu intensitatea căruia este Icond.

(fig. 37). În acest caz trebuie să ţinem seama de curenţii de magnetizare Im şi atunci relaţia (45) devine:

(46).

Potrivit definiţiei momentul magnetic al substanţei este: .

Pe de altă parte, conform definiţiei: .

Comparând ultimele două relaţii obţinem: (47), de unde rezultă că modulul vectorului magnetizaţie numerice este egal cu intensitatea rezultantă a

curentului de magnetizaţie dacă L=1m.

Considerăm circulaţia vectorului magnetizaţie de-a lungul conturului închis ℓ=ABCDA (fig. 37).

deoarece primul termen este nul din cauza faptului că AB se află în regiunea spaţiului unde Mm=0, iar al

doilea şi al treilea termen sunt egali cu zero fiindcă AD şi BC sunt perpendiculari vectorului şi atunci cosα.

Ţinând seama de relaţia (34) ultima relaţie devine:

(48).

Substituind relaţia (48) în relaţia (46) obţinem:

sau (49).

Vectorii şi sunt de acelaşi sens, deaceea expresia defineşte o mărime fizică vectorială

nouă numită intensitate a cîmpului magnetic notată prin : (50).

Comparând relaţiile (49) şi (50) obţinem:

(51).Relaţia (51) obţinută pentru substanţele paramagnetice este valabilă şi pentru substanţele diamagnetice.

Această relaţie reprezintă expresia matematică a legii lui Ampere în formă integrală pentru cîmpul magnetic

24

Page 25: Electicit.si magnetism

în substanţă: circulaţia vectorului de-a lungul unui contur închis ℓ este egală cu intensitatea rezultantă a curenţilor de conducţie care străbat o suprafaţă S limitată de conturul ℓ.

Teorema integrală a lui Stokes pentru vectorul şi ţinînd seama că intensitatea curentului reprezintă fluxul vectorului densităţii curentului electric putem scrie:

şi .

Din ultimele două relaţii rezultă:

(52).

Relaţia (52) reprezintă forma diferenţială a legii lui Ampere pentru câmpul magnetic în substanţă şi ca şi relaţia (41) evidenţiază caracterul turbionar al cîmpului magnetic. Din relaţia (51) şi (52) rezultă că introducerea vectorului elimină curentul de magnetizaţie Im lăsînd numai curentul de conducţie produs de

mişcarea ordonată a sarcinilor electrice libere. În acest sens vectorul joacă acelaşi rol ca şi vectorul în electrostatică care elimină sarcinile electrice de polarizaţie şi lasă numai sarcinele electrice libere.

3.5.4. Susceptivitatea magnetică şi permabilitatea magnetică relativă.

Experimental se constată că pentru substanţele cu proprietăţi magnetice pronunţate cum sunt substanţele

diamagnetice şi paramagnetice vectorul este direct proporţional cu vectorul : ~ .

Rezultă că în acest caz putem scrie:

=Km (52).

Coeficentul de proporţionalitate Km se numeşte susceptivitate magnetică a substanţei. Pentru substanţele

paramagnetice Km>0 (vectorii şi sunt paraleli), iar în cazul diamagneticilor m<0 (vectorii şi sunt

antiparaleli deoarece momentul magnetic indus este opus cîmpului magnetic exterior).Substituind relaţia (53) în (50) obţinem:

=0( + )=0( +m )=0(1+m) =0r (54),

unde mărimea fizică r=1+ se numeşte permiabilitate magnetică relativă a substanţei. Este uşor de observat că r>1 pentru substanţele paramagnetice şi r<1 pentru substanţele diamagnetice.În cazul cînd relaţia (54) se verifică (adică în cazul magneticilor liniari) relaţiile (51) şi (52) respectiv devin :

,

Aceste relaţii reprezintă alte expresii ale legii lui Ampere pentru cîmpul magnetic în substanţă respectiv sub formă integrală şi diferenţială.În scopul evidenţierii sensului fizic al permiabilităţii magnetice a substanţei r considerăm cîmpul magnetic în interiorul unui solenoid străbătut de un curent continuu de intensitate I situat în vid şi apoi într-o substanţă oarecare. Evident că pentru aceste cazuri putem scrie:

.

Rezultă că permiabilitatea magnetică relativă r indică de cîte ori inducţia cîmpului magnetic în substanţă se deosebeşte de inducţia cîmpului magnetic creat de aceeaşi sursă în vid.

25

Page 26: Electicit.si magnetism

Pe de altă parte: .

Odată în plus rezultă că vectorul în magnetostatică joacă acelaşi rol ca şi vectorul în electrostatică

(Dsubst=Dvid). Vectorul principal este vectorul care este o caracteristică de forţă şi joacă în magnetostatică

acelaşi rol ca şi vectorul în electrostatică (Esubst≠Evid). Din acest motiv, vectorul ar trebui să fie numit

intensitate a cîmpului magnetic, însă din motive istorice intensitate a cîmpului magnetic este numit vectorul ,

iar vectorul a primit denumirea nereuşită de inducţie a cîmpului magnetic.

Vectorii şi la trecerea dintr-un magnet în altul se comportă analog vectorilor şi la trecerea dintr-un

dielectric în altul. Cum a fost arătat vectorii şi se comportă diferit la trecerea dintr-un dielectric în altul:

Relaţii identice există şi pentru vectorii şi :

.

3.5.5. Substanţe feromagnetice.

Cum a fost arătat pentru substanţele paramagnetice r>1. În natură există astfel de paramagnetici pemitivitatea magnetică a cărora este foarte mare r>>1. Aceste substanţe se numesc substanţe feromagnetice (Fe, Ni, Fe-Ni-Al, Fe-Ni ş.a.). Proprietatea dominantă a feromagneticilor constă în aceea că spinii electronilor sunt paraleli în regiuni macroscopice numite domenii dimensiunile cărora sunt de ordinul 10-8 – 10-12 m3. Cu alte cuvinte structura microscopică a substanţelor feromagnetice este astfel încît energetic este convenabil ca momentele magnetice ale atomilor să fie paralele în limitele fiecărui domen. Rezultă că domenele substanţelor feromagnetice reprezintă regiuni magnetizate permanent. În lipsa cîmpului magnetic exterior momentele magnetice ale domenelor sunt orientate haotic, deaceea momentul magnetic rezultat al substanţei feromagnetice este nul (fig. 38).

Sub influienţa cîmpului magnetic exterior momentele magnetice ale atomilor se orientează de-a lungul

vectorului . Astfel substanţa feromagnetică se magnetizează

devenind un magnet.Experimental se constată că magnetizarea feromagneţilor

depinde nu numai de Bex dar şi de starea anterioară a feromagneticului (fig. 39). Creşterea inducţiei cîmpului magnetic exterior este urmată de creşterea modulului vectorului magnetizaţie Mm (curba OA, dacă magnetizarea are loc prima dată). Cînd Bex=Bex,s

modulul vectorului magnetizaţie atinge valoarea maximală Mm,s. Şi 26

Page 27: Electicit.si magnetism

rămîne constantă chiar dacă Bex continuă să crească. Magnetizarea feromagnetucului atinge starea de saturaţie

deoarece toate momentele magnetice ale atomilor sunt orientate de-a lungul vectorului . La micşorarea

cîmpului magnetic exterior demagnetizarea are loc de-a lungul curbei Abc. Se observă că la anularea cîmpului magnetic exterior (Bex=0) substanţa rămîne magnetizată fiind caracterizată de vectorul magnetizaţie remanentă

. Pentru demagnetizarea de mai departe a feromagneticului trebuie ca cîmpul magnetic exterior să crească

în sensul invers. Demagnetizarea este completă cînd Bex=Bc (câmp magnetic coercitiv). La creşterera de mai departe a cîmpului Bex în sens invers feromagneticul se magnetizează în sens invers atingînd starea de saturaţie în punctul Al. Dacă cîmpul magnetic exterior invers se va micşora pînă la zero, apoi va creşte pînă la B ex, atunci demagnetizarea şi remagnetizarea feromagneticului va avea loc de-a lungul curbei . Această comportare a feromagneticilor într-un cîmp magnetic variabil se numeşte histerizis magnetic, fenomen, analog histerismului electric pentru segnetoelectrici.

O altă particularitate caracteristică a feromagneticilor este dependenţa complicată a permiabilităţii magnetice relative a feromagneticilor de cîmpul exterior Bex, prezentată în fig. 40. Experienţa arată că în condiţii normale μmax poate atinge multe sute şi mii de unităţi, iar pentru unele aliaje μmax poate atinge valori de ordinul 106. Aici trebuie de menţionat că pentru obţinerea cîmpurilor magnetice superputernice (B≥1T) folosirea feromagneticilor este inutilă, chiar dăunătoare, din cauza pierderilor suplimentare de energie. Cîmpuri magnetice superputernice se obţin numai cu ajutorul bobinelor străbătute de curent fără miezuri feromagnetice.

Încă o proprietate importantă caracteristică feromagneticilor constă în aceea că pentru fiecare feromagnetic există aşa o temperatură Tk numită temperatura sau punctul Curie la care substanţă feromagnetică suferă tranziţie de fază de speţa a doua. Substanţa are proprietăţi feromagnetice numai la temperaturi T<Tk; dacă T>Tk substanţa feromagnetică devine un paramagnetic obişnuit. Pentru Ni, de pildă, Tk=633 K. La această temperatură agitaţia termică a atomilor este suficientă pentru distrugerea domenelor, adică pentru învingerea forţelor de aliniere a momentelor magnetice ale atomilor în domen.

Experimental s-a stabilit că în vecinătatea temperaturii Tk susceptivitatea magnetică se supune legii lui Curie-Weisse:

Km= (55),

unde Cîmp magnetic este constanta lui Curie care depinde de natura substanţei.În cazul substanţelor paramagnetice relaţia (55) trece în expresia matematică a legii lui lui Curie

Km= .

Elemente de electrodinamică (cîmpuri electrice şi magnetice variabile în timp).

1. Fenomenul inducţiei electromagnetice. Legea lui Fraday.

Cum a fost menţionat, principiul relativităţii impune o legătură biunivocă între componentele magnetice şi electrice a câmpului electromagnetic. Cu alte cuvinte, dacă un curent electric crează în jurul său un cîmp magnetic, atunci conform principiului relativităţii trebuie să aibă loc şi fenomenul invers: un cîmp magnetic poate să producă un curent electric. Această concluzie teoretică a fost demonstrată experimental (1831) de către Faraday care a descoperit că orice variaţie a fluxului inducţiei magnetice prin suprafaţa limitată de un contur închis este urmată de apariţia în acest contur a unui curent electric: la deplasarea bruscă a magnetului în sus sau în jos galvanometrul care închide conturul conductor ℓ indică prezenţa unui curent electric, sensul căruia depinde de sensul deplasării magnetului. Acest fenomen se numeşte inducţie electromagnetică, iar curantul apărut, curentul indus. Prezenţa curentului indus impune existenţa unei f.e.m.

indusă εi. Experienţa arată că εi depinde de viteza variaţiei fluxului magnetic , fiind determinată de relaţia

27

Page 28: Electicit.si magnetism

(56).

Relaţia (56) reprezintă expresia matematică a legii lui lui Faraday referitor fenomenului inducţiei electromagnetice, unde semnul “-“ indică sensul f.e.m. induse care este astfel încît cîmpul magnetic creat de curentul indus se opune variaţiei fluxului magnetic (regula lui Lentz). Această lege schematic este prezentată în fig. 42.

Conform definiţiei f.e.m. reprezintă lucrul forţelor imprimate la deplasarea unei unităţi de sarcină electrică pe un drum închis:

unde este intensitatea cîmpului electric imprimat care pune în mişcare electronii în conductor pe o traiectorie închisă.

Pe de altă parte, conform legii lui Faraday avem: deoarece operaţiile

de derivare şi de integrare pot fi schimbate cu locurile. Din ultimele două relaţii rezultă:

(57).Relaţia (57) reprezintă legea lui Faraday pentru inducţia electromagnetică în formă integrală. Este

important de menţionat că liniile cîmpului electric din relaţia (57) sunt închise, electronii se află într-o mişcare ordonată în interiorul conductorului închis ℓ deaceea circulaţia vectorului intensităţii cîmpului electric imprimat nu este nulă. Rezultă că cîmpul , spre deosebire de cîmpul electric staţionar, nu este potenţial ci turbionar.

O altă importanţă care trebuie menţionată este că relaţia (57) este universală, ea este valabilă care n-ar fi natura variaţiei cîmpului magnetic mai mult decît atît, această relaţie este valabilă chiar dacă-n cîmpul magnetic variabil lipseşte conductorul închis ℓ. În acest caz legea lui Faradaz se enunţă în felul următor:

28

Page 29: Electicit.si magnetism

Un cîmp magnetic variabil impune existenţa unui cîmp electric astfel că circulaţia untensităţii acestui cîmp electric de-a lungul unui contur închis arbitrar este egală cu derivata în raport cu timpul, luată cu semnul minus, a fluxului magnetic care străbate o suprafaţă oarecare limitată de conturul dat.

Astfel s-a constatat că dacă un cîmp magnetic variază cu timpul, atunci în spaţiul ocupat de acest cîmp magnetic trebuie să existe un cîmp electric turbionar, aceste cîmpuri fiind legate prin relaţia (57).

Pentru a obţine legea lui Faraday în formă diferenţială scriem teorema integrală a lui Stokes pentru vectorul

: (58).

Comparând relaţiile (57) şi (58) obţinem legea lui Faraday pentru inducţia electromagnetică în formă

diferenţială: .

2. Curentul de deplasare. Legea lui Ampere-Maxwell.

În conformitate cu principiul relativităţii relaţia (57) obţinută în paragraful precedent sugeră existenţa unei

relaţii similare între circulaţia vectorului : şi fluxul vectorului : . Întradevăr, cum a fost

arătat, dacă cîmpul magnetic este staţionar , atunci legea lui Ampere pentru cîmpul magnetic în vid sub

forma integrală este:

(59),

unde este vectorul densităţii curentului de conducţie. Această lege nu este valabilă dacă cîmpul magnetic

este nestaţionar: . De pildă, la încărcarea sau descărcarea unui condensator între armaturile lui se

constată existenţa unui cîmp magnetic, care este prelungirea cîmpului magnetic exterior din jurul firelor străbătute de curentul de conducţie nestaţionar Icond. (fig. 43), însă conform relaţiei (59) între armaturile condensatorului n-ar trebui să existe cîmp magnetic, deoarece în spaţiul dintre armaturile condensatorului curentul de conducţie este nul.

Mai mult decît atît, relaţia (59) precizează numai conturul ℓ şi nu precizează care din suprafeţele S1 sau S2

(fig. 44) limitate de conturul ℓ trebuie să fie considerate. Dacă considerăm suprafaţa plană S1, atunci ea este străbătută de curent electric, deaceea un cîmp magnetic de-a lungul acestui contur există. Dacă însă vom considera suprafaţa S2, atunci ea nu este străbătută de curent electric şi din nou conform relaţiei (59) nici un cîmp magnetic de-a lungul conturului ℓ nu trebuie să existe ceea ce contrazice realităţi. Această contrazicere a fost înlăturată de către Maxwell care a admis că cîmpul electric variabil între armaturile condensatorului produs de cîmpul magnetic variabil (legea lui Faraday) este condiţionat de variaţia sarcinilor q(t) de pe armaturile condensatorului, care, la rîndul său, defineşte între armaturile condensatorului un curent variabil intensitatea căruia este

.

29

Page 30: Electicit.si magnetism

Acest curent, care prelungeşte curentul de conducţie în spaţiul dintre armaturile condensatorului a fost

numit de către Maxwell curent de deplasare: I(t)=Idepl.. Densitatea acestui curent este ,

unde S este aria suprafeţei unei armaturi a condensatorului.

Pe de altă parte ,

de unde .

Astfel, pentru densitatea curentului de deplasare putem scrie: .

Rezultă că curenţii de deplasare există în spaţiul umplut de un câmp electric variabil inclusiv şi-n conductoarele străbătute de curent electric alternativ. Din acest motiv Maxwell a întrodus noţiunea de curent total densitatea căruia este J=Jcond.+Jdepl. şi care, spre deosebire de curentul de conducţie, întotdeauna este închis. Din cele de mai sus rezultă că relaţia (59) în cazul general trebuie să fie înlocuită cu relaţia:

sau (60).

Relaţia (60) a fost obţinută de către Maxwell care a modificat legea lui Ampere pentru cîmpul staţionar, din care motiv această relaţie este numită legea lui Ampere-Maxwell în forma integrală.

Dacă spaţiul unde există un cîmp electric nestaţionar este umplut cu o substanţă şi acest spaţiu nu este străbătut de curenţi de conducţie, atunci relaţia (60) devine:

sau (61).

Relaţia (30) arată mai convingător că orice cîmp electric variabil produce un cîmp magnetic variabil, care, la rîndul său, conform legii lui Faraday, produce un cîmp electric variabil ş.a.m.d.

Folosind teorema integrală a lui Stokes pentru vectorul : şi comparînd-ocu relaţia

(60) obţinem:

(62).

Relaţia (62) reprezintă expresia matematică a legii lui Ampere-Maxwell în formă diferenţială.

2. Ecuaţiile lui Maxwell.

Cum a fost arătat, interacţiunea electromagnetică se realizează prin intermediul cîmpului electromagnetic caracterizat de vectorii şi astfel că forţa care acţionează sarcina electrică q situată într-un cîmp

electromagnetic este .

A fost arătat la fel că separarea cîmpului electromagnetic în componentele sale electrică şi magnetică nu este o operaţie absolută, ea depinde de mişcarea relativă a observatorului sau a sarcinei electrice care produce cîmpul sau . Mai mult decît atît a fost arătat că cîmpurile şi sunt legate între ele prin legile lui Faraday

30

Page 31: Electicit.si magnetism

şi Ampere-Maxwell. Toate acestea se află la baza teoriei cîmpului electromagnetic care poate fi condensată în patru legi analizate mai sus, prezentate în tabela de mai jos.

Legea Forma integrală Forma diferenţialăLegea lui Gauss pentru cîmpul

electric

Legea lui Gauss pentru cîmpul magnetic

Legea lui Faraday

Legea lui Ampere-Maxwell

Aceste patru ecuaţii poartă numele de ecuaţiile lui Maxwell, care în plus deaceea că a modificat legea lui

Ampere a arătat că aceste patru ecuaţii împreună cu relaţiile , , constituie baza

electrodinamicii clasice a mediilor imobile.Cum va fi arătat mai pe urmă ecuaţiile lui Maxwell conduc la concluzia teoretică despre existenţa undelor

electromagnetice care se propagă în spaţiu avînd viteza egală cu viteza luminii. Astfel, ecuaţiile lui Maxwell reprezintă fundamentul teoriei electromagnetice a luminii. Abia după 15 ani de la publicarea vestitului tractat al lui Maxwell despre electricitate şi magnetism undele electromagnetice au fost descoperite şi studiate de către Hertz şi încă peste 7 ani a fost descoperit radioul – una din cele mai importante realizări tehnice ale omenirii.

Mai trebuie de menţionat că ecuaţiile lui Maxwell, în anumite cazuri concrete, reprezintă obiectul radiotehnicii şi radiofizicii clasice.

Circuite electrice în regim nestaţionarPînă aici au fost studiate circuite electrice în care f.e.m. ε şi intensitatea curentului I erau mărimi fizice

staţionare . În realitate însă, în multe cazuri ε şi I variază cu timpul ceea ce dă naştere unor

fenomene noi care reprezintă cazuri particulare ale cu fenomenul inducţiei electromagnetice.

1. Fenomenul de autoinducţie.Considerăm un conductor închis străbătut de un curent de intensitatea I (fig. 45 a). Conform legii lui

Ampere curentul de intensitate I crează un cîmp magnetic, care în fiecare punct este proporţional cu I:

B~I ~I (63).

Coeficientul de proporţionalitate L depinde de forma circuitului şi se numeşte inductanţă. Unitatea de

măsură în SI pentru inductanţa unui circuit se numeşte henry (H): .

31

Page 32: Electicit.si magnetism

În cazul unui solenoid format din N spire de lungime ℓ şi aria secţiunii transversale S putem scrie

unde este inducţia cîmpului magnetic în interiorul solenoidului. Din ultimele două relaţii

rezultă , unde este numărul de spire pe unitate de lungime a

solenoidului, iar V=ℓS este volumul acestuia.Dacă curentul electric în circuit variază cu timpul (fig. 45 b) atunci fluxul magnetic care străbate suprafaţa

S limitată de circuit la fel variază, şi atunci, în conformitate cu legea lui Faraday în circuit se va excita o f.e.m. numită f.e.m. de autoinducţie. Astfel, prin autoinducţie se înţelege fenomenul de apariţie a unei f.e.m. nu ca urmare a variaţiei cîmpului magnetic exterior, ci ca urmare a variaţiei intensităţii curentului electric în circuitul dat.

Folosind legea inducţiei electromagnetice şi relaţia (63) pentru f.e.m. de autoinducţie obţinem:

(64).

Astfel se constată că f.e.m. de autoinducţie într-un circuit este direct proporţională cu viteza de variaţie a intensităţii curentului electric din circuitul respectiv.

Dacă mărimea L depinde I ceea ce este caracteristic pentru feromagnetici atunci: (65).

Substituind (65) în (64) obţinem: .

Astfel, f.e.m. de autoinducţie depinde de factorul care în cazul bobinelor cu miezuri din substanţe

feromagnetice poate excita un curent de auto inducţie considerabil.

2. Extracurenţi de conectare şi de deconectare.

Fenomenul de autoinducţie se manifestă în următoarele exemple:Exemplul 1: Extracurenţi de conectare.

Considerăm circuitul prezentat în fig.46. Rezistenţele R1, R2

şi becurile electrice B1, B2 sunt identice. La închiderea înrerupătorului K becul B2 se aprinde practic momentan, pe cînd becul B1 se aprinde treptat şi peste un timp oarecare el luminează la fel ca şi becul B2. Acest fenomen este datorat faptului că

curentul variabil prin inductanţa L excită f.e.m. εa.i. care se opune creşterii intensităţii curentului şi care există atît timp cît creşte curentul prin inductanţa L. în acest caz R=R1; RL0 şi legea a doua a lui Kirchoff pentru ochiul aLB1ba este:

,

de unde

sau .

Integrînd această relaţie obţinem: . Termenul

se micşorează cu timpul, iar curentul prin inductanţă se

apropie asimptotic de (fig.47).

Exemplul 2: Extracurenţi de deconectare.

32

Page 33: Electicit.si magnetism

În acest caz considerăm circuitul prezentat în fig. 48. Întrerupătorul K la început este conectat. Direcţia curentului în circuit este indicată de săgeţile continue. Evident că intensitatea curentului prin inductanţa L este

. După deschiderea întrerupătorului K, închis rămîne numai circuitul aR0Bba. Curentul iniţial din

inductanţă treptat începe să se micşoreze ceea ce provoacă excitarea f.e.m.

εa.i., care, la rîndul său, excită un curent de inducţie sensul căruia este indicat de săgeţile punctate. Acest curent se numeşte extracurent de deconectare. Datorită acestui curent intensitatea luminii emise de becul B se micşorează treptat şi nu brusc.

Fie R este rezistenţa totală a ochiului aR0Bba, atunci, pentru legea a doua a lui Kirchhoff putem scrie:

.

Pentru a obţine intensitatea curentului în momentul de timp t integrăm ultima relaţie:

(66).

Relaţia (33) arată că curentul după deconectarea circuitului tinde asimptotic către zero (fig. 49.).

În acest caz pentru f.e.m. εa.i. putem scrie:

(67).

Din relaţia (67) rezultă, că dacă R>>RL atunci εa.i.>> ε ceea ce poate conduce la străpungerea electrică care se observă uneori la deconectarea circuitelor care conţin inductanţe mari.

Să calculăm timpul în decursul căruia intensitatea în circuit la deconectarea lui se micşorează de “e” ori:

.

Mărimea are dimensiunea timpului şi caracterizează viteza de micşorare sau de creştere a curentului

la deconectarea sau conectarea circuitelor.

3. Energia cîmpului electromagnetic.

Considerăm circuitul prezentat în fig. 50. Cum a fost arătat, la închiderea întrerupătorului K curentul în

circuit creşte de la “o” pînă la “I”, iar în inductanţa L se excită o f.e.m. de autoinducţie εa.i. În acest caz conform legii a doua a lui Kirchhoff putem scrie:

.

Înmulţind ultima relaţie cu I obţinem puterea disipată în circuit de

sursa de curent ε:

(68).

Termenul I2R din relaţia (68) exprimă puterea disipată în circuit pentru

menţinerea curentului electric. Cu alte cuvinte, acest termen exprimă energia cheltuită de sursa ε în unitate de timp pentru deplasarea electronilor prin conductori. Această energie se transmite substanţei conductoarelor care

se încălzeşte (căldura lui Joule). Al doilea termen reprezintă energia cheltuită în unitatea de timp pentru

33

Page 34: Electicit.si magnetism

creşterea curentului în circuit ded la “0” la “I”, sau pentru crearea cîmpului magnetic asociat acestui curent. Acest cîmp magnetic concentrat în interiorul solenoidului ca şi cîmpul electric concentrat între armaturile unui

condensator dispune de energie. Rezultă că termenul reprezintă creşterea energiei cîmpului magnetic Em

în interiorul inductanţei L în unitate de timp:

(69).

În cazul solenoidului şi atunci relaţia (69) devine:

.

Aceasta şi este energia cîmpului magnetic înmagazinat în interiorul solenoidului. Deoarece câmpul magnetic în interiorul solenoidului este omogen energia acestui cîmp este distribuită uniform în tot volumul cu densitatea volumică de energie:

.

Se poate arăta că acest rezultat obţinut în cazul particular al unui solenoid are un caracter general fiind valabil pentru orice cîmp magnetic.

Dacă în spaţiu simultan există un cîmp electric şi un cîmp magnetic, atunci densitatea volumică de energie a cîmpului electromagnetic este:

34