Électricité et magnétisme.pdf

African Virtual universityUniversité Virtuelle AfricaineUniversidade Virtual Africana

Électricité Magnétisme 2

Preparé par Henri RASOLONDRAMANITRA

Université Virtuelle Africaine Université Virtuelle Africaine

NoteCe document est publié sous une licence Creative Commons 2.5 de paternité (la moins restrictive).

http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abbreviated “cc-by”), Version 2.5.

Université Virtuelle Africaine

I. Électricité-Magnétisme2____________________________________ 3

II. Prérequis________________________________________________ 3

III. Temps___________________________________________________ 3

IV. Matérielsdidactiques _______________________________________ 3

V. Justification______________________________________________ 4

VI. Contenu__________________________________________________ 4

6.1 Résumé ____________________________________________ 4 6.2 Grandeslignes_______________________________________ 5 6.3 Représentationgraphique_______________________________ 5

VII. ObjectifsGénéraux_________________________________________ 6

VIII. Objectifsspécifiques _______________________________________ 7

IX. Activitésd’enseignementetd’apprentissage_____________________ 10

X. Activitésd’apprentissage ___________________________________ 20

XI. Concepts-clé(glossaire)___________________________________ 162

XII. Lecturesobligatoires______________________________________ 165

XIII. Liensutiles_____________________________________________ 168

XIV. Synthèsedumodule______________________________________ 190

XV. Évaluationsommative ____________________________________ 192

XVI. Références ____________________________________________ 264

XVII.Auteurdumodule _______________________________________ 267

Table des maTières


I. Électricité - magnétisme 2par Dr. Henri RASOLONDRAMANITRA

ii. Cours d’introduction ou connaissances de base requises

Pour suivre ce cours, l’apprenant(e) doit avoir suivi avec succès le module

Electricité- Magnétisme 1 et maîtriser les notions suivantes :

La loi d’Ohm ;Les lois de Kirchoff ;l’action d’un champ électrique sur une particule chargée ;l’action d’un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement ; le flux magnétique ;le théorème d’Ampère.

iii. Temps120 heures réparties entre les unités d’apprentissage comme suit :

1. Les circuits à courant alternatif- Les ponts en courant alternatif : 30heures2. Le champ magnétique et les particules chargées- Inductance : 30heures3. Les propriétés magnétiques de la matière : 30heures4. Les équations de Maxwell- Les ondes électromagnétiques : 30heures

iV. matérielOrdinateur avec connexion Internet, imprimante, Microsoft office, logiciel Ma-thType.


V. Justification du module L’électromagnétisme est une partie de la physique dont les applications dans la vie quotidienne sont innombrables et fascinantes. On peut citer entre autres la télévi-sion, la radio, la téléphonie mobile qui utilisent les ondes électromagnétiques pour leur fonctionnement. Le présent module aidera l’apprenant(e) à acquérir quelques bases indispensables pour la compréhension de ce domaine. Il permettra également à l’apprenant(e) de renforcer ses compétences dans la perspective de l’enseignement de cette discipline.

Vi. Contenu

6.1 Aperçu général

La première partie de ce module aborde les circuits en courant alternatif, circuits comportant diverses combinaisons de résistance, d’inductance et de capacité.

La deuxième partie est consacrée au mouvement des particules chargées dans un champ électrique et dans un champ magnétique. Elle décrit et explique l’expérience de J.J. Thompson, l’effet Hall, et le principe de fonctionnement des accélérateurs de particules tels que les cyclotrons et les synchrotrons. Elle est suivie d’une section qui étudie le phénomène d’induction électromagnétique, la loi de Lenz, les phénomènes d’autoinduction et d’induction mutuelle et les applications qui s’y rapportent. La troisième partie décrit et analyse les propriétés des trois classes de substances ma-gnétiques : le paramagnetique, le ferromagnétique et le diamagnétique. La dernière partie du module expose les quatre équations fondamentales (équations de Maxwell) qui soustendent l’électromagnétisme et traite les ondes électromagnétiques, leur polarisation et l’énergie qu’elles transportent.


6.2 Contenu/contour

Le module comprend quatre parties dont la progression est ainsi qu’il suit :

1. Les circuits à courant alternatif- Les ponts en courant alternatif2. Le champ magnétique et les particules chargées- Inductance3. Les propriétés magnétiques de la matière4. Les équations de Maxwell- Les ondes électromagnétique

6.3 Plan graphique

6

CIRCUITS ET PONTS EN COURANT ALTERNATIF

CHAMP MAGNETIQUE ET PARTICULE CHARGEE

INDUCTANCE

PROPRIETES MAGNETIQUES DE LA MATIERE

EQUATIONS DE MAXWELL

ONDES ELECTROMAGNETIQUES

ELECTRICITE ET MAGNETISME 2


Vii. Objectifs Généraux

L’apprenant(e) doit être capable de :

- Comprendre les relations de phase entre la tension appliquée aux bornes d’un circuit à courant alternatif et le courant qui le parcourt

- Comprendre la notion d’impédance- Comprendre le phénomène de résonance dans un circuit RLC série- Connaître l’Effet Hall- Comprendre le principe de fonctionnement d’un cyclotron- Connaître la loi de Lenz- Connaître le phénomène d’autoinduction- Connaître le phénomène d’induction mutuelle- Connaître les propriètés magnétiques de la matière- Connaître les equations de Maxwell- Comprendre le phénomène de transport d’énergie par une onde électroma-

gnétique- Comprendre la notion de polarisation d’une onde électromagnétique


Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage (Objectifs d’apprentissage)

Unité Objectif(s) d’apprentissage

1. Circuits en courant alternatif-Ponts en courant alternatif : 30 heures

- Déterminer la résultante de deux ou plusieurs vecteurs par la construction de Fresnel

- Etablir le déphasage entre tension et courant dans un circuit comprenant une résistance

- Etablir le déphasage entre tension et courant dans un circuit comprenant une bobine

- Etablir le déphasage entre tension et courant dans un circuit comprenant un condensateur

- Etablir le déphasage entre tension et courant dans un circuit RLC

- Calculer l’impédance d’un circuit RLC- Calculer le facteur de qualité d’un circuit RLC série- Calculer la bande passante d’un circuit RLC série- Calculer la fréquence de résonance- Distinguer les valeurs efficaces et les valeurs ins-

tantanées de la tension et de l’intensité du courant électrique

- Calculer la valeur instantanée de l’intensité du courant traversant un circuit

- Calculer la valeur instantanée de la tension aux bornes d’un circuit

- Rappeler la relation entre la valeur efficace de l’inten-sité et l’amplitude du courant qui traverse un circuit

- Rappeler la relation entre la valeur efficace et l’ampli-tude de la tension aux bornes d’un circuit


2.Champ magnétique et particule chargée – Inductance : 30 heures

- Rappeler la loi de Lenz.- Appliquer la loi de Lenz.- Décrire l’Effet Hall.- Interpréter l’Effet Hall.

- Déterminer le rapport

em

- Calculer le rayon de la trajectoire d’un porteur de charge en mouvement dans un cyclotron.

- Calculer la vitesse d’une particule chargée à la sortie d’un cyclotron.

- Calculer l’inductance d’un circuit- Calculer le coefficient d’induction mutuelle de deux

circuits

3. Propriétés magnéti-ques de la matière : 30 heures

- Décrire le phénomène de paramagnétisme - Interpréter le phénomène de paramagnétisme- Décrire le phénomène de diamagnétisme - Interpréter le phénomène de diamagnétisme- Décrire le phénomène de ferromagnétisme - Interpréter le phénomène de ferromagnétisme- Rappeler la relation entre les vecteurs champ d’in-

duction magnétique, excitation magnétique et aiman-tation

- Rappeler le phénomène d’Hystérésis- Calculer l’aimantation d’une substance magnétique


4.Equations de Maxwell- Ondes électromagnétiques : 30 heures

- Appliquer les équations de Maxwell- Déterminer la polarisation d’une onde électomagné-

tique plane- Déterminer le vecteur de Poynting associé à une onde

électomagnétique plane- Déterminer la densité d’énergie d’une onde électro-

magnétique plane- Déterminer l’intensité d’une onde électromagnétique

plane- Déterminer la pression de radiation d’une onde élec-

tromagnétique

Université Virtuelle Africaine 0

iX. activites d’enseignement et d’apprentissage

9.1 Evaluation prédictive

Titre de l’évaluation prédictive :

Test des Prerequis

Electricite-magnetisme 2

Justification : Ce test permet de verifier la maîtrise des connaissances préalables pour comprendre ce module. Il est donc obligatoire pour tous/toutes les apprenant(e)s

Questions

Dans tout ce qui suit, cocher les bonnes réponses

Exercice 1

On considère le circuit ci-dessous

L’intensité du courant I qui parcourt le circuit et la différence de potentiel VAB

aux bornes de R

1 sont :

q 1 : I = 2A et VAB

= 6 V

q 2 : I = 1A et VAB

= 3 V

q 3 : I = 1,33A et VAB

= 3,99 V


Exercice 2 :

On considère le circuit

La différence de potentiel VAB

aux bornes de la résistance R2 et l’intensité du courant

I2 qui parcourt cette résistance sont :

q 1 : VAB

= 2 V et I2 = 12A

q 2 : VAB

= 4 V et I2 = 24A

q 3 : VAB

= 12 V et I2 = 2A

Exercice 3 :

Soit le circuit ci-dessous :

G1 et G

2 sont deux générateurs de f.é.m. ε

1 et ε

2. On parcourt la maille G

1AG

2BG

1

dans le sens

G1 → A → G

2 → B → G

1. La loi de Kirchhoff relative à cette maille donne :

q 1 : ε1 - ε

2 = R

1 I

1 + R

3 I

3

q 2 : ε1 + ε

2 = R

1 I

1 + R

3 I

3

q 3 : ε2 - ε

1 = R

1 I

1 + R

3 I

3


Exercice 4

Considérer la figure ci-dessus. Un électron pénètre avec une vitesse V→

horizontale

dans une région où règnent un champ électrique E→

et un champ magnétique B→

.

B→

est perpendiculaire à la direction de V→

comme l’indique la figure. Sachant que

l’électron n’est pas dévié de sa trajectoire initiale, E→

est dirigé suivant :

q 1 : l’axe des y dans le sens positif

q 2 : l’axe des y dans le sens négatif

q 3 : l’axe des z dans le sens négatif

Exercice 5

Un électron est placé entre les armatures d’un condensateur plan chargé comme l’indique la figure. On suppose qu’il est initialement ou repos et on néglige son

poids. La force qui s’exerce sur l’électron est F→

= e E→

.

q 1 : vrai

q 2 : faux


Exercice 6

Dans le système international, le flux magnétique est exprimé en Wb

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 7

Dans le système international, l’induction magnétique B→

est exprimée en Wb

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 8

Une spire, d’aire égale à 5,0cm2 est placée dans un champ magnétique B→

=

(40 i→

- 18 k→

) 10- 4 T et parallèlement au plan xy. Le flux qui traverse cette spire est 900nWb

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 9

Une spire de section S→

= 30 k→

m2 est placée dans un champ magnétique B→

=

2 x10- 2 i→

T . Le flux de B→

=à travers cette spire est 60 x 10-2 Wb

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 10

Une bobine circulaire de rayon 3cm, comportant 50 spires est placée dans un champ magnétique uniforme B = 0,10 T et parallèle à la normale à sa section. Le flux ma-

gnétique qui traverse cette bobine est 2,83 x 10-4 Wb

q 1 : vrai

q 2 : faux


Exercice 11

La loi d’Ampère est :

Bur

(C)—∫ • dlur

= 0

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 12

Un conducteur rectiligne, linéique, infini est parcouru par un courant d’intensité I. Le module du champ magnétique en un point situé à une distance r du fil est :

B =

μ0 I

2 π r

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 13

Un conducteur cylindrique C1, de longueur infinie et de rayon a est parcouru par un

courant d’intensité I. Il est placé à l’intérieur d’un cylindre métallique creux C2 de

même axe. C2 a pour rayon intérieur b, et c pour rayon extérieur (b < c).

Le courant d’intensité I circulant dans C1 revient avec la même intensité dans C

2. Le

champ magnétique créé par ce système est nul en un point situé à une distance r de l’axe et tel que r > c.

q 1 : vrai

q 2 : faux

Exercice 14

Reprendre l’exercice précédent (exercice n°13). Le champ en un point situé à une distance r de l’axe telle que a < r < b est nul

q 1 : vrai

q 2 : faux


Exercice 15

Reprendre l’exercice n° 13. Le champ en un point situé à une distance r telle que r < a est nul.

q 1 : vrai

q 2 : faux

Réponses clés

Solution de l’exercice 1

La bonne réponse est « 2 : I = 1A et VAB

= 3 V »

En effet nous avons ici un groupement en série. La résistance équivalente du circuit

est R = R1 + R

2 + R

3 = 12 Ω. Le courant qui parcourt le circuit est

I =

12 V12 Ω

= 1 A

et la différence de potentiel aux bornes de R1 est VAB

= R1 I = (3Ω)(1A) = 3V .

Solution de l’exercice 2 :

La bonne réponse est « 1 : VAB

= 12 V et I2 = 2A ».

En effet nous avons ici des résistances branchées en parallèle aux bornes du gé-nérateur de f.é.m. 12V. La différence de potentiel V

AB est donc 12 V et le courant

I2 est donné par

I2 =

VAB

R2

=12V6Ω

= 2A


La bonne réponse est « 1 : ε1 - ε

2 = R

1 I

1 + R

3 I

3 »

En effet lorsqu’on parcourt la maille G1AG

2 BG

1 dans le sens G1 → A → G2 → B

→ G1, on sort du générateur G1 par sa borne positive et du générateur G

2 par

sa borne négative. Les deux résistances R1 et R

3 sont traversées dans le sens du

courant. On obtient donc :

ε1 - ε

2 - R

1 I

1 - R

3 I

3 = 0 ⇒ ε1

- ε2 = R

1 I

1 + R

3 I

3 .



La réponse est « 2 : l’axe des y dans le sens négatif »

En effet l’électron est soumis à la force F→

= - e E→

- e v→

∧ B→

. Comme Il reste sur

sa trajectoire initiale ⇒ e E→

= - e v→

∧ B→

. Il s’ensuit que E→

= - v→

∧ B→

. E→

est

perpendiculaire au plan défini par v→

et B→

alors il est dirigé suivant l’axe des y et à cause du signe « moins », il prend le sens négatif de l’axe y.


La bonne réponse est « 2 : faux »

En effet l’électron est chargé négativement, donc la force qu’il subit est :

F→

= - e E→


La réponse est « 1 : vrai »

En effet le flux magnétique est Φ = B→

⋅ S→

, or le champ B est en

Wb

m2 et la surface

S en m2


Le Weber est l’unité du flux magnétique et l’unité du champ magnétique est le Tesla ou le Weber par mètre carré. La bonne réponse est donc « 2 : faux »


Le flux qui traverse la spire est donné par Φ = B→

⋅ S→

. Le vecteur S→

est ici dirigé

suivant z, la spire étant placée parallèlement au plan xy. Le vecteur S→

s’écrit donc :

S→

= (5,0) x 10-4 k→

m2. On a alors :

Φ = B→

⋅ S→

= (40 i→

- 18 k→

) 10- 4 ⋅ (5,0) x 10-4 k→

= − 900nWb.

La bonne réponse est donc « 2 : faux ». (Remarquez bien le signe « moins »)



La bonne réponse est « 2 : faux »

En effet le flux est Φ = B→

⋅ S→

. Comme B→

et S→

sont perpendiculaires entre eux,

Φ = 0


Soit Φ1 le flux à travers une spire. Le flux à travers la bobine est Φ = 50 Φ

1. La

valeur

(2,83 x 10-4Wb) est égale au flux Φ1. En effet B

→

et S→

étant parallèles entre, le flux Φ

1 est :

Φ1 = B S = (0,10T) (3,14) (0,03)2m2 = 2,83 x 10-4Wb

La bonne réponse est donc « 2 : faux ».


La loi d’Ampère dit que : la circulation du champ magnétique B→

le long d’une courbe fermée (C) est égale au produit par µ

0 de la somme algébrique des intensités I des

courants qui traversent une surface Σ définie par (C). Le signe de I est lié au sens de parcours sur (C). Un exemple est donné ci-dessous.

B→

.dl→

= μ0 (I1 − I2 )(C )—∫

La bonne réponse ici est donc « 2 : faux ».



Appliquons le théorème d’Ampère. On prend comme courbe fermée (C) une ligne de champ : un cercle ayant pour axe le fil et de rayon r.

On a :

B→

(C)—∫ ⋅dl→

= μ0 I . Ici B

→

et dl→

sont parallèles. Le module de B→

est le même

en tout point de (C) ⇒ B

dl(C)—∫ = μ

0 I

On obtient après l’intégration :

B (2π r) = µ0 I ⇒

B =

μ0 I

2 π r

La réponse est donc « 1 : vrai »


Appliquons le théorème d’Ampère sur la circonférence (C) de rayon r > c. La somme

algébrique des courants enlacés par (C) ici est nulle, d’où :

B→

(C)—∫ ⋅dl→

= 0 ⇒ B = 0

La réponse est donc « 1 : vrai »



Appliquons la loi sur la circonférence (C) de rayon r avec a < r < b. Tout le courant

I est enlacé par (C) ,donc on a

B→

(C)—∫ ⋅dl→

= μ0 I ⇒ B ne peut pas être nul.

La bonne réponse ici est alors « 2 : faux ».


Le champ B n’est pas nul car une fraction du courant I est enlacée par (C).

La bonne réponse est « 2 : faux ».


Commentaire pédagogique pour les étudiants (100-200 mots).

Vous avez au moins 75 %, votre intérêt pour le module est évident, Je vous encourage à persévérer dans le travail.

Vous avez entre 50 % et 75 %, votre résultat est très encourageant. Alors Bon cou-rage.

Vous avez entre 35 % et 50 %, bien sûr ce n’est pas parfait. Mais vous avez vraiment la volonté de réussir dans ce domaine il me semble. C’est cette volonté dont nous aurons besoin. Je ne vous le cache pas, le domaine que vous avez choisi est très passionnant, mais il demande beaucoup de travail. Pour commencer, il y a un certain nombre de rattrapages que vous devez faire. C’est à ce prix que nous pourrons réussir.

Vous avez moins de 35 %, vous avez de gros efforts à faire, puisqu’en plus du module vous devez revoir vos précédents cours..

X. activités d’apprentissage

Unité 1 : Circuits à courant alternatif

Activité d’apprentissage 1-1

Titre de l’activité

Déphasage entre la tension appliquée aux bornes d’un circuit et le courant qui le parcourt - Impédance d’un circuit

Temps d’apprentissage : 15H

Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.

Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures proposées et refaire l’activité.

Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait

du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.


Objectifs spécifiques

A l’issue de cette activité, l’apprenant(e) être capable de (d’):

• Représenter par la construction de Fresnel le déphasage entre la tension ap-pliquée aux bornes d’un circuit et le courant qui le parcourt

• calculer le déphasage entre la tension appliquée aux bornes d’un circuit et le courant qui le parcourt

• établir l’expression du courant instantané qui parcourt un circuit comportant diverses combinaisons de résistance, d’inductance et de capacité

• calculer les amplitudes de tension

• calculer les amplitudes de courant qui parcourt un circuit

• rappeler la relation qui décrit la réactance capacitive

• rappeler la relation qui décrit la réactance inductive

• calculer l’impédance d’un circuit comportant diverses combinaisons de ré-sistance, d’inductance et de capacité

• déterminer l’impédance d’un circuit à partir de la représentation de Fresnel

• établir l’expression de l’impédance complexe d’un circuit

• déduire l’impédance d’un circuit connaissant son impédance complexe

Résumé de l’activité

Cette activité est consacrée à l’étude des circuits à courant alternatif et comportant diverses combinaisons de résistance, d’inductance et de capacité. Vous aurez à exa-miner les courants I qui s’établissent dans ces circuits lorsqu’ils sont alimentés par des f.é.m. sinusoïdales U. L’accent sera en particulier mis sur les oscillations de I et de U pour dégager le déphasage entre eux. En courant alternatif, l’impédance joue le même rôle qu’une résistance en courant continu et il existe plusieurs démarches pour la trouver. Vous apprendrez à déterminer l’impédance d’un circuit en :

• considérant la relation qui lie les amplitudes de la tension U et du courant I ou la relation qui lie leurs valeurs efficaces

• construisant la représentation de Fresnel qui lui correspond

• utilisant son impédance complexe

Lectures appropriées

RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Circuits à courant alternatif. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.


Ressources appropriées

BEISER, A.(1979). Physique appliquée : Cours et problèmes.Serie Schaum . Traduc-tion française par LOBENBERG M. McGraw-Hill, Paris

BRAMAND, P., FAYE, P. et THOMASSIER, G. (1983). Physique- Terminales C et E. Collection Eurin-Gié. Hachette, Paris.

BREITHAUPT, J. (2000). New Understanding : Physics for Advanced Level. Fourth Edition, Stanley Thornes Publishers Ltd,England ,

HALPERN, A. (1991) Maxi Schaum Physique 2. Traduction française par BABES,V. McGraw-Hill, Paris

KALACHNIKOV, S. (1980). Electricité. Traduction française. Editions Mir, Moscou, Réédition :1983

NELKON, M. and PARKER, P. (1998). Advanced Level Physics. Seventh Edition, Heinemann, (Oxford ?)

RESNICK, R. et HALLIDAY, D. (1979). Electricité et magnétisme, physique 2. Traduit par André Lebel et Claudine Thériault. Editions du Renouveau Pédago-gique. Inc. Montréal (Québec) Canada

SEARS.F.W., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1987). University Physics. Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, USA.

SEARS.F.W., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG, H. D. (1974). College Physics. Fourth Edition. Addison-Wesley Publishing Company, USA.

TIPLER, P.-A. and Company. (1999). Physics for Scientists and Engineers. Fourth Edition. W.H. FREEMAN and company. Worth Publishers Inc., New York, USA

TIPLER, P. A. (1982). Physics. Second Edition. Worth Publishers Inc, New York,

USA

Liens utiles

http://perso.orange.fr/daniel.robert9/tension_alternative0.html


http://www.walter-fendt.de/ph11f/accircuit_f.htm

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/rlcsinus.html


Description de l’activité

Cette activité comporte deux exercices sous forme de QCM et des exercices à correc-tion subjective (exercices à réponses divergentes) qui vont permettre à l’apprenant(e) de savoir son degré de maîtrise des thèmes d’étude : Circuits à courant alternatif - Déphasage entre la tension appliquée aux bornes d’un circuit et le courant qui le parcourt – Impédance, et des résumés de ce qu’il faut retenir après chaque exercice résolu. L’exercice 1 comporte deux parties

Les exercices sont obligatoires. Chaque réponse fausse des deux premiers exerci-ces est associée à un exercice de remédiation résolu permettant à l’apprenant(e) de connaître l’origine de son erreur.

Évaluation formative

Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les exercices en travail collaboratif. La note du groupe est commune aux différents membres du groupe.

L’exercice 1 compte pour 60% des points et l’exercice 2 pour 40% des points

Exercice 1

Cocher la bonne réponse.

On dispose d’une bobine d’inductance L = 0,3H, d’une résistance R = 80Ω et d’un condensateur de capacité C = 50 µF.

a- La bobine et la résistance sont montées en série avec une tension U = Um

sinωt de valeur efficace 120V et de fréquence 60Hz. L’impédance de ce circuit est :

q 113 Ω

q 53 Ω

q 80 Ω


q 138,5 Ω

q 96 Ω

q 100 Ω

b- La bobine, la résistance et le condensateur sont montées en série avec la source U. le courant instantané qui parcourt ce circuit est :

q I = 1,70 sin (120 πt – 0,6458)

q I = 1,70 sin (120 πt + 0,6458)

Exercice 2

Une résistance R et une inductance L sont montées en série aux bornes d’une source de tension alternative U = U

m sinωt. L’impédance complexe de ce circuit est :

q R +

1jCù

q R + jLω

q

1R

+1

jLù


Activités d’apprentissage

- consulter les objectifs à atteindre pour identifier les points essentiels dans les cours à lire

- lire attentivement les « lectures appropriées »

- procéder à un travail collaboratif pour résoudre les exercices

Les apprenants seront répartis en groupe de travail suivant leur nombre. Chaque groupe désigne un rapporteur. Tous les groupes cherchent en même temps l’exercice 1. Au bout d’une heure de temps et sous la direction d’un tuteur, les rapporteurs échangent par chat les solutions proposées par leur groupe. Les autres membres du groupe ont accès au chat. Le chat est enregistré. Le professeur titulaire du cours ou le tuteur corrigeront le chat ensuite rendront accessible le corrigé de l’exercice 1 dans l’espace de travail réservé aux apprenant(e)s.

Pour l’exercice 2, les groupes cherchent séparément la solution qu’ils envoient par leurs rapporteurs au professeur titulaire du cours par e-mail en fichier attaché. Après correction des différentes productions, le professeur met à la disposition des différents groupes le corrigé dans un espace de travail réservé aux apprenant(e)s

Le schéma suivant résume l’itinéraire qui vous est proposé dans cette activité.

Une mise en situation par le biais de lectures obligatoires

Des exercices sous forme de Questions à choix multiple (QCM)

Un corrigé avec commentaires sur chaque choix

Une batterie d’exercices complémentaires

Un corrigé + une visite de sites

Un résumé

Evaluation des apprentissages


Réponses clés

Exercice 1-a

q 113 Ω. Ce n’est pas la bonne réponse. Cette valeur correspond à la réactance inductive de la bobine d’inductance L = 0,3H branchée aux bornes de la source de tension alternative U = U

m sinωt de fréquence 60Hz.

Pour en savoir plus et pour renforcer vos acquis :

- établissez la relation de phase entre la tension aux bornes de l’inductance L et le courant qui la traverse.

- Donnez l’expression de la réactance inductive et calculez- la.

q 53 Ω. Mauvaise réponse. Cette valeur est la réactance capacitive du condensateur de capacité C = 50µF relié à la source de tension U = U

m sinωt.


- établissez la relation de phase entre la tension aux bornes du condensateur et le courant qui traverse le circuit.

- Donnez l’expression de la réactance capacitive et calculez la

q 80 Ω. Cette valeur correspond au cas où le circuit ne comporte que la résistance R = 80 Ω branchée aux bornes de la tension U = U

m sinωt.


- Etablissez la relation de phase entre la tension aux bornes de R et le courant qui la traverse.

q 138,5Ω. Bonne réponse. C’est bien l’impédance que l’on cherche. Pour renforcer vos acquis :

- Donnez la représentation de Fresnel qui correspond à ce circuit et en déduire son impédance Z et la relation de phase entre la tension appliquée U et le courant.

q 96 Ω. C’est l’impédance du circuit ci-dessous

U = Um sinωt ; f = 60Hz.


Pour renforcer vos acquis, utilisez la représentation de Fresnel pour établir l’ex-pression de son impédance et décrire la relation de phase entre la tension appliquée U et le courant.

q 100 Ω. C’est l’impédance du circuit R-L-C série ci-dessous

U = Um sinωt ; f = 60Hz.

Pour renforcer vos acquis, donnez la représentation de Fresnel qui correspond à ce circuit et en déduire son impédance Z et le déphasage entre la tension appliquée et le courant.


Exercices de remédiation

113Ω. Relation de phase entre la tension aux bornes de l’inductance L et le courant qui la traverse.

La différence de potentiel instantanée bornes de la bobine est :

VL = L

dIL

dt= U m sinωt

IL est le courant instantané qui parcourt le circuit.

En intégrant, on obtient :

IL = -

U m

ω Lcosωt =

U m

ω Lsin (ωt-

π

2) = I

Lm sin

(ωt-

π

2).

La tension est en avance sur le courant de 90°.

ILm

= U m

ω L =

U m

X L

(1) est l’amplitude de courant. Cette relation (1) nous rappelle

la forme de la loi d’Ohm (U = RI).

X L = ω L est appelée Réactance inductive et joue le rôle d’une résistance.

A.N. X L = 2πfL = 2π x 60Hz x 0,3H = 113 Ω.


53Ω. Relation de phase entre la tension aux bornes du condensateur et le courant qui traverse le circuit.

VC =

qC

= Umsinωt (d.d.p aux bornes du condensateur)

Le courant instantané qui parcourt ce circuit est : IC =

dqdt

On obtient :

IC = ωCU

m cos ωt = ωCU

msin (ωt +

π

2)

Le courant est en avance sur la tension de 90°.

ICm

= ωCUm=

Um

( 1ωC

)=

Um

XC

(amplitude de courant).

XC est appelée réactance capacitive.

A.N. XC

=

1ω C

=1

2π f C=

1

2π x 60Hz x 5010-6F≈ 53Ω.


80Ω. Relation de phase entre la tension aux bornes de la résistance et le courant qui la parcourt.

La d.d.p aux bornes de cette résistance dans ce cas est :

VR = RI

R = mU sinωt ⇒ I

R =

Um

R sinωt. Le courant et la tension sont en phase.

Ou IR = I

Rm sinωt avec I

Rm =.

U m

R

R = 80Ω d’après l’énoncé


138,5 Ω : Etude du circuit LR : représentation de Fresnel, impédance et relation de phase.

VL est en avance de 90° sur le courant.

VR est en phase avec le courant.

La représentation de Fresnel correspondant à ce circuit est :

En utilisant le théorème de Pythagore, on a :

U m2 = VRm

2 + VLm2

Mais VRm

= R Im et V

Lm = X

L I

m

⇒ U m2 = Im

2 (R2 + XL2 )

Um = I

m R2 + XL

2 = Im

Z avec

Z = R2 + XL2


A.N. : Z = (80)2 + (113)2 = 138,5Ω

tanΦ = VLm

VRm

=XL

R=

11380

= 1,4125.

Le courant est en retard de Φ = 54°,70 sur la tension appliquée.


96 Ω : Etude du circuit CR.

VC est en retard de 90° sur le courant

VR est en phase avec le courant.

La représentation de Fresnel donne :

U m2 = I

m2 (R2 + X

C2 )

Um = Im

R2 + XC2 = Im Z avec

Z =

R2 + XC2

A.N. : Z = (80)2 + (53)2 ≈ 96Ω.

tanΦ = VCm

VRm

=XC

R=

5380

= 0,6625.

Le courant est en avance de Φ = 33°52 sur la tension appliquée.


= 100 Ω : Etude du circuit R-L-C série

VL est en avance de 90° sur le courant

VC est en retard de 90° sur le courant.

VR est en phase avec le courant

XL = 113 Ω et X

C = 53Ω ⇒ X

L > X

C

La représentation de Fresnel correspondant à ce circuit est :

VLm

- V

Cm = (X

L – X

C) I

m


Le théorème de Pythagore donne :

U m2 = [R2 + (XL -XC )2 ] Im

2

Um = I

m R2 + (XL − XC )2 = Im Z avec Z = R2 + (XL − XC )2

A.N. : Z + (80)2 + (113 − 53)2 = 100Ω

tanΦ =VLm − VCm

VRm

.

= XL − XC

R =

113 − 5380

= 0,75

Le courant est en retard de Φ = 37° sur la tension appliquée.

Remarquez aussi que cosΦ = RZ

Exercice 1-b

I = 1,70sin (120πt – 0,6458). Bonne réponse. Confrontez votre solution à celle proposée ci-dessous.

Solution détaillée

Reprenons les résultats que nous avons trouvés dans l’étude du circuit R- L- C série :

Z = 100Ω

tanΦ = 0,75 ⇒ Φ = 37°

ou Φ = 0,6458 rad

tanΦ est positif, donc la tension est en avance de Φ sur le courant.

Le courant instantané qui parcourt le circuit est alors : I = Im

sin(ωt- Φ) (1) avec Φ ici exprimé en radian : ω = 2πf = 2π x 60 Hz = 120πrads-1.

Im =

Um

Z

( Im : amplitude de courant ; U

m : amplitude de tension)


On a : Um = U

eff x 2 = (120 V) x 2

D’où Im =

120 2100

= 1,70 A

La relation (1) devient :

I = 1,70 sin (120πt -0,6458)

I = 1,70sin (120πt + 0,6458) Faux ! En effet cette expression, décrit un courant qui est en avance de phase par rapport à la tension appliquée or c’est juste le contraire qui se passe ici : le courant est en retard de Φ = 0,6458 rad sur la tension.

Visite de sites

Les sites suivants vous proposent des animations des phénomènes physiques relatifs au thème de votre étude. Deux recommandations pour mieux progresser :

- observez chaque animation attentivement

- ce que vous remarquez lors de ces animations, tâchez de le mettre en relation avec tout ce que vous avez appris au cours des étapes précédentes.

http://perso.orange.fr/daniel.robert9/tension_alternative0.htmlhttp://perso.orange.fr/daniel.robert9/tension_alternative1.html

Ces deux sites abordent respectivement l’étude des caractéristiques des circuits ca-pacitifs et inductifs et expliquent en détails les réactances capacitive et inductive et le déphasage entre la tension et le courant dans ces circuits.

http://perso.orange.fr/daniel.robert9/tension_alternative1.htmlhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/accircuit_f.htm

Vous pouvez visualiser sur ces sites les diagrammes de Fresnel et les oscillations de tension et de courant qui correspondent à :

- un circuit comportant uniquement une résistance- un circuit comportant uniquement une inductance- un circuit comportant uniquement une capacité


Il s’agit ici d’une étude des circuits RLC série. Ce site montre :

- une animation des oscillations de tension et d’intensité - des courbes d’intensité et de déphasage


Résumé 1

Soit un circuit branché à une source de tension alternative U = Um sinωt et I le

courant d’amplitude Im qui le parcourt.

Ce qu’il faut retenir :

Le circuit ne contient qu’une résistance R.

- U et I sont en phase

- Im =

Um

R

Le circuit ne contient qu’une inductance L dont la résistance est négligea-ble.

- U est en avance de 90° sur I.

- Im =

Um

XL

; XL = Lω = réactance inductive.

Le circuit ne contient qu’une capacité C.

- U est en retard de 90° sur I.

- Im =

U m

XC

; XC =1

Cω= réactance capacitive.

Le circuit est une résis-tance R et une inductance L montées en série avec U.

- L’angle de déphasage entre la tension U et

le courant I est Φ tel que tanΦ = XL

R- U est en avance de Φ sur I

- Im =

Um

Z ; impédance Z = R2 + XL

2

- cosΦ = RZ


Le circuit est une résis-tance R et une capacité C montées en série avec U.

- L’angle de déphasage entre U et I est Φ tel

que tanΦ = XC

R- U est en retard de Φ sur I

- Im =

Um

Z ; impédance Z = R 2 + XC

2

- cosΦ = RZ

Le circuit est constitué d’une résistance R, d’une inductance L et d’une ca-pacité C montées en série avec U.

- L’angle de déphasage entre la tension U et

le courant I est tel que tanΦ = XL − XC

R .

Si tanΦ est positif alors U est en avance de Φ sur I ; si tanΦ est négatif alors U est en retard de Φ sur I.

- Im=

Um

Z ; Z = R2 + (XL -XC )2

- cosΦ = RZ

Corrigé de l’exercice 2

R +

1jCù

. Ceci ne peut être la bonne réponse car le circuit ne comporte pas de

capacité. Cette expression représente plutôt l’impédance complexe d’un circuit composé d’une résistance et d’une capacité connectées en série et branché aux bornes d’une source de tension U = U

m sinωt.

R + jLω. Bravo. Bonne réponse. Nous avons ici un montage en série. Dans un montage en série, les impédances complexes des différents éléments s’ajoutent. Rappelez-vous aussi que le module de l’impédance complexe donne l’impédance

du circuit. Ce module est ici

R2 + L2ù2 = R2 + XL2 : c’est bien le résultat que

nous avons trouvé dans l’exercice 1

(consultez de nouveau la solution de cet exercice).


1R

+1

jLùest relié à l’impédance complexe d’un circuit constitué d’une résis-

tance et d’une inductance montées en parallèle aux bornes d’une source de tension alternative U = U

msin ωt. Ce n’est donc pas la bonne réponse.

Exercice complémentaire : pour en savoir plus, cherchez l’impédance de ce circuit.

Corrigé de l’exercice complémentaire

1ère méthode

Utilisons l’impédance complexe Z .

Nous avons

1

Z=

1R

+1

jLω=

1R

+1

jXL

Z =1

1R

+1

jXL

=jRXL

R + jXL

=jRXL (R − jXL )

R 2 + XL2

Z =RXL

2 + jR2 XL

R2 + XL2

L’impédance Z est le module de Z


Z = RXL

2

R2 + XL2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

+R2 XL

R2 + XL2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

=R2 XL

2 (R2 + XL2 )

(R2 + XL2 )2

Z = RXL

R2 + XL2

2ème méthode :

On utilise la représentation de Fresnel pour les courants.

Remarquons que VL = V

R = U, V

L et V

R étant respectivement les différences de

potentiel aux bornes de l’inductance et de la résistance.

IR et V

R sont en phase.

VL est en avance de 90° sur I

L donc il s’ensuit que I

L est en retard de 90° sur I

R

(voir VL = V

R et I

R et V

R sont en phase).

Φ

IL

IR

I

On a alors : I2 = I R2 + I L

2 = UR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+UXL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

I = U 1

R2 +1

XL2

On en déduit l’impédance Z :


Z = 1

1R2 +

1XL

2

=1

R2 + XL2

R2 XL2

=R2 XL

2

R2 + XL2 =

RXL

R2 + XL2

Résumé 2


Pour trouver l’impédance complexe Z d’un circuit en courant alternatif il faut dans ce circuit :

- Remplacer chaque inductance L par son impédance complexe jLω.

- Remplacer chaque capacité C par son impédance complexe1

jωC.

- Garder inchangées les résistances Ohmiques R.

- Additionner les impédances complexes de ces différents éléments pour un montage en série.

- Additionner les inverses des impédances complexes de ces diffé-rents éléments pour un montage en parallèle.

Le module de Z donne l’impédance du circuit. L’argument Φ de Z est

l’avance de phase de la tension appliquée sur le courant : si Z = x + j y

alors tanΦ =yx

.

Auto évaluation

Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche des solutions des exercices afin de pouvoir les éviter plus tard. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours qu’ils n’ont pas bien comprises et pré-parer l’évaluation sommative.

Guide de l’enseignant

Le Professeur corrigera les productions des groupes. Il dépose la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction est accompagnée d’un feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 10% de l’évaluation finale du module.


Unité 1 : Circuits à courant alternatif

Activité d’apprentissage 1-2


Résonance série : bande passante et facteur de qualité







A l’issue de cette activité, vous devez être capable de :

• décrire les caractéristiques de l’état de résonance d’un circuit RLC série • décrire la variation du courant qui parcourt un circuit RLC série en fonction

de la pulsation de la tension appliquée • décrire la variation de l’impédance du circuit en fonction de la pulsation de

la tension appliquée • déterminer graphiquement la bande passante d’un circuit RLC série • tracer la réactance capacitive en fonction de la pulsation• tracer la réactance inductive en fonction de la pulsation• établir l’expression littérale de la bande passante en fonction de R et L

• établir l’expression littérale du facteur de qualité en fonction de R, L et C


Cette activité porte encore sur les circuits à courant alternatif. Il s’agit cette fois - ci d’étudier le phénomène de résonance dans un circuit comportant en série une résis-tance, une capacité et une inductance et aux bornes duquel on fait agir une tension sinusoïdale dont on fait varier la pulsation tout en gardant son amplitude constante. Vous aurez à analyser les effets de cette variation sur l’amplitude du courant et sur l’impédance du circuit. Vous aurez à dégager les caractéristiques de l’état de réso-nance. Un complément de cours sur les notions de « bande passante » et de « facteur de qualité » vous est aussi proposé.



RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Circuits à courant alternatif. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Ressources pertinentes








SEARS.F.W., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1987). University Physics. Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, USA.




USA

Liens utiles

http://labo.ntic.org/RLC_serie/RLC.html

http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos-phy/applets/RLC_serie/RLC.htm

http://perso.orange.fr/olivier.granier/electro/simul/cour_rlc/circuitRLC4.htm


http://www.fundp.ac.be/sciences/physique/didactique/elec/RLC4.phphttp://www.fundp.ac.be/sciences/physique/didactique/elec/RLC3.phphttp://perso.orange.fr/olivier.granier/electro/simul/cour_rlc/circuitRLC3.htmhttp://sitelec.free.fr/cours/rlcseries.pdfhttp://www.physique-eea.unicaen.fr/enseignement/deug-st/sm/dsm153/poly/

dsm153-e.pdf

http://www.unilim.fr/pages_perso/frederic.louradour/Oscillo_2.PDF


Dans cette activité :

1. une lecture sur le thème de « résonance » vous est proposée en vue d’une première imprégnation

2. intervient alors un complément de cours sur la notion de « bande passante » et « facteur de qualité » afin de consolider les apports des étapes précéden-tes ; vous prendrez une part active au cours de cette étape en établissant les expressions mathématiques correspondant à ces deux notions

3. vous aurez ensuite à résoudre un certain nombre d’exercices dans le but de vérifier ce que vous avez retenu à l’issue de ces deux premières étapes.

4. puis par des liens vous serez guidé vers des sites qui traitent le thème de votre étude et/ou qui proposent des animations

5. Un résumé de ce qu’il faut retenir vous est proposé

Votre parcours peut être visualisé ainsi :

Lire le thème de votre étude

Etablir des relations mathématiques

(complément de cours)

S’entraîner

S’évaluer



Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les exercices en travail collaboratif. La note du groupe est commune aux différents membres du groupe.

L’exercice 1 compte pour 30% des points et l’exercice 2 pour 70% des points

Complément de cours : Bande passante et facteur de qualité

Soit le circuit suivant. On fait varier la pulsation ω tout en gardant l’amplitude de la tension constante

Pour ce qui va suivre, on raisonnera sur les valeurs efficaces. La courbe ci-dessous décrit I

eff en fonction de ω. Cette courbe présente un maximum pour ω = ω

0.

A- Bande passante


Repérons les pulsations ω1 et ω

2 qui provoquent des courants d’intensité efficace :

Ieff

(ω1) = I

eff (ω

2) = I

eff ( ω

0 ) / 2

La différence Δω = ω2 – ω

1 est appelée bande passante du circuit ( RLC ).Elle

s’exprime en radian par seconde.

Plus la bande passante est étroite, plus la résonance est aigue. Dans ce cas les sources de tensions sinusoïdales qui ont des pulsations ω comprises entre ω

1 et ω

2 provoquent le passage d’un courant d’intensité élevée dans

le circuit. Les fréquences capables d’exciter le circuit se trouvent dans un domaine très étroit. On dit que le circuit est sélectif

Pour une résistance plus grande, la courbe est plus aplatie et la résonance est floue


B- Facteur de qualité

Le rapport Q = ω0 / Δω est appelé facteur de qualité.

Plus la résonance est aigue, plus le facteur de qualité est élevé

Expressions de la bande passante et du facteur de qualité

Consigne :

Montrez que :

- la bande passante a pour expression Δω = ω2- ω

1 = R / L

- le facteur de qualité s’écrit : Q = ω0 / Δω = L ω

0 / R = 1 / (CR ω

0 ) = (1 / R)(

L / C )1/2

Démonstration

A : Bande passante

Rappelez comment la Bande passante a été définie :

La bande passante est :

Δω =ω2- ω

1

où ω1 et ω

2 sont les pulsations pour lesquelles on a :

Ieff

(ω1) = I

eff(ω

2)= I

eff(ω

0)/ 2 (1)

Ieff

(ω0) et ω

0 sont respectivement l’intensité efficace et la pulsation à la réso-

nance Il s’agit donc de déterminer ω

2 – ω

1. Analysez la relation (1): elle contient des inten-

sités efficaces évaluées en ω0, ω

1 et ω

2. Quelle est la relation entre I

eff et Z(ω) ?

L’impédance du circuit et l’intensité efficace varient avec la pulsation ω:

Z(ω ) = R 2 + (Lω −1

Cω)2


Ieff

(ω) =

U eff

Z(ω )

⇒ • à la résonance

ω = ω0

Z(ω 0 ) = R

Ieff

(ω0) =

U eff

Z(ω 0 ) =

U eff

R (2)

⇒ • pour ω = ω1

Ieff

(ω1) =

U eff

Z(ω1 )

⇒ • pour ω = ω2

(3)

Ieff

(ω2) =

U eff

Z(ω 2 )

Portez les relations (2) et (3) dans (1)


U eff

Z(ω1 ) =

U eff

Z(ω 2 ) =

U eff

R 2 ⇒ Z(ω1 ) = Z(ω 2 ) = R 2 (4)

Il faut maintenant déduire de l’expression (4) une relation qui permet de trouver ω

1 et ω

2

La relation (4) permet d’écrire :

Z 2 (ω ) = 2 R 2


R 2 + (Lω −1

Cω)2 = 2 R 2

(Lω −1

Cω)2 = R 2

(Lω −1

Cω) = ±R (5)

Que peut-on obtenir de la relation (5) ?

La relation (5) donne deux équations du second degré :

LCω 2 + RCω − 1 = 0 (6)

LCω 2 − RCω − 1 = 0 (7)

Résolvez ces deux équations

Ces deux équations ont un discriminant positif :

Δ = R 2C 2 + 4LC > 0 ( remarquez aussi que ∆ > RC )

Les solutions de l’équation (6) sont :

ω1 =−RC + ∆

2LC > 0 et ω1

0 =−RC − ∆

2LC < 0

Les solutions de l’équation (7) sont :

ω 2 =RC + ∆

2LC > 0 et ω 2

0 =RC − ∆

2LC < 0


On ne retient que les valeurs positives car la pulsation est une grandeur positive. La bande passante est donc :

∆ω = ω 2 − ω1 =RL

B : Facteur de qualité

Le facteur de qualité est : Q = ω 0

∆ω

Remplacez Δω

Q = ω 0

∆ω =

Lω 0

R

A la résonance XL = X

C ⇒ Lω 0 =

1Cω 0

Q = ω 0

∆ω =

Lω 0

R=

1CRω 0

Remplacez ω0

ω 0 =1LC

Q = ω 0

∆ω =

Lω 0

R=

1CRω 0

= 1R

LC


Exercice 1Soit un circuit série R-L-C branché aux bornes d’une source de tension alternative U = U

m sinωt. On fait varier la pulsation ω tout en gardant constante l’amplitude

Um.

1- Rappeler les caractéristiques de l’état de résonance de ce circuit

2- Tracer en fonction de ω et dans le même repère la résistance R, la réactance capacitive X

C et la réactance inductive X

L.

3- Utiliser le graphique obtenu pour retrouver les caractéristiques de l’état de résonance.

Exercice 2Une résistance R = 200 Ω, un condensateur de capacité C = 0,7µF et une bobine d’inductance L = 1,43H sont montés en série aux bornes d’une source de tension sinusoïdale de valeur efficace constante U

eff = 24V et de pulsation variable ω.

Les valeurs de l’intensité efficace Ieff

pour différentes pulsations sont consignées dans le tableau ci-dessous.

1. Complétez et commentez le tableau 2. Tracez R, Z, X

C et X

L en fonction de ω et dans le même repère

3. Tracez Ieff

en fonction de ω et déterminez graphiquement la pulsation à l’état de résonance, la bande passante et le facteur de qualité Q. Retrouvez les valeurs de R, L, C.

ω

(rad.s-1)

Ieff

( 10-3 A)

Z

( Ω )

R

( Ω )

XL

( Ω )

XC

( Ω )100 1,7300 5,6500 11,3600 15,8700 22,8800 36850 47,7900 66,8950 971000 1201050 98,71100 71,41150 541200 43,11300 30,91400 24,21500 20,11600 17,22000 11,32500 8,13000 6,4



- Lire attentivement les lectures appropriées et le complément de cours

- Donner les expressions littérales de la bande passante en fonction de R et L et du facteur de qualité en fonction de R, L et C

- Echanger en chat ce qui n’est pas compris en demandant des explications aux autres apprenant(e)s. Un tuteur supervise le chat et rectifie au besoin.

Si tout est au point, les apprenant(e)s commenceront par faire les exercices.

Pour cela, les apprenants seront divisés en groupe pour un travail collaboratif.

- Pour chaque exercice, chaque groupe désigne un rapporteur et cherche la solution pour un temps fixé par le tuteur.

- Les rapporteurs sous la supervision des autres membres des groupes envoient les solutions au professeur titulaire par e-mail en fichier attaché.

- Lire les résumés proposés et les imprimer au besoin

Réponses clés


1) Caractéristiques de l’état de résonance

A la résonance :

• la pulsation ω est égale à la pulsation propre ω0 =

1LC

,• les réactances inductive et capacitive sont égales : X

L = X

C

• l’impédance du circuit est Z = R

• l’amplitude Im du courant est maximale : Z I

m = U

m

• le déphasage entre le courant et la tension aux bornes du circuit est nul. Le courant est en phase avec la tension

2) R, XL et X

C en fonction de ω

Traçons R, XC =

1Cω

et XL = Lω en fonction de ω.


R ne dépend pas de ω. On obtient une droite parallèle à l’axe Oω.

R

XL

XC

0 0

XC

XL

R

XL est une droite passant par l’origine et X

C varie en

1

ω. Ces deux courbes se

coupent en ω = ω0.

L’impédance de notre circuit est Z = R2 + (XL − XC )2 . Comment varient en

fonction de ω cette impédance et le courant I qui parcourt le circuit ? Pour le voir, portons notre attention sur (X

L – X

C) quand on fait augmenter ω. (X

L – X

C) est re-

présenté sur la fi gure par les lignes en pointillés.

Quand on fait augmenter ω à partir de zéro (XL – X

C) diminue et s’annule pour

ω = ω0 puis augmente de nouveau pour ω > ω

0.

Consignons les résultats de notre observation dans le tableau ci-dessous.

0 0

XL - XC

Z

I = Z

U

0

R

Maximum

On a la résonance quand le courant I atteint sa valeur maximale. Cette valeur apparaît quand la fréquence angulaire est égale à ω

0. A cette fréquence :


XL = X

C ⇒ Lω

0 =

1Cù

0

⇒ LCω 02 = 1 ⇒ ω

0 =

1LC

.

Or ω0 = 2πf

0 ⇒ f

0 =

12π LC

.

Remarquons aussi qu’à la résonance Z = R.

Le déphasage Φ est tel que :

tanΦ = X L − XC

R et cosΦ =

RZ

⇒ tanΦ = 0 et cosΦ = 1

Il s’ensuit que Φ = 0 ⇒ le courant et la tension sont en phase

Corrigé de l’exercice 2

1- Rappel des expressions de l’impédance Z, des réactances XL et X

C :

Z = U eff

I eff

; XL = Lω ; X

C =

1Cω

U eff = 24V ; L = 1,43 H ; C = 0 ,7µF ; R = 200Ω

Après calcul, on obtient :

ω

(rad.s-1)

Ieff

( 10-3 A)

Z

( Ω )

R

( Ω )

XL

( Ω )

XC

( Ω )100 1,7 14117,6 200 143 14285,7300 5,6 4285,7 200 429 4761,9500 11,3 2123,9 200 715 2857,1600 15,8 1519 200 858 2380,9700 22,8 1052,6 200 1001 2040,8800 36 666,7 200 1144 1785,7850 47,7 503,1 200 1215,5 1680,7900 66,8 359,3 200 1287 1587,3950 97 247,4 200 1358,5 1503,81000 120 200 200 1430 1428,61050 98,7 243,2 200 1501,5 1360,51100 71,4 336,1 200 1573 1298,71150 54 444,4 200 1644,5 1242,21200 43,1 556,8 200 1716 1190,5


1300 30,9 776,7 200 1859 1098,91400 24,2 991,7 200 2002 1020,41500 20,1 1194 200 2145 952,41600 17,2 1395,3 200 2288 892,92000 11,3 2123,9 200 2860 714,32500 8,1 2963 200 3575 571,43000 6,4 3750 200 4290 476,2

Commentaires

Il ressort du tableau que :

- La résistance R est indépendante de la pulsation ω

- Pour une valeur de ω = ω0 = 1000 rad.s-1

• l’intensité efficace est maximale : Ieff

(ω0 ) = 120 mA

• l’impédance est minimale et elle est égale à R

Z ( ω0) = R = 200 Ω

• les réactances capacitive et inductive sont égales

XL ( ω

0) = X

C ( ω

0) ≈ 1430 Ω

On retrouve ici les propriétés de l’état de résonance

On peut aussi dégager du tableau que :

• pour des pulsations ω < ω0 ⇒ X

L < X

C

dans ce cas l’angle de déphasage φ entre tension et courant est tel que :

tanφ = ( XL - X

C ) / R est < 0 ⇒ la tension est en retard sur le courant

le circuit a un comportement capacitif

• pour des pulsations ω > ω0 ⇒ X

L > X

C

dans ce cas tan φ = ( XL - X

C ) / R est > 0 ⇒ la tension est en avance sur le courant


le circuit a un comportement inductif

• pour ω = ω0 ⇒ X

L = X

C et R = Z , dans ce cas

tanφ = 0

⇒ φ = 0

cosφ = ( R / Z ) = 1

la tension et le courant sont en phase

2. représentations graphiques de R, Z, XL et X

C

Les représentations graphiques de R, Z, XL et X

C ci-dessous décrivent bien ces

résultats :

A la résonance:

ω = ω0 = 1000 rad.s-1

Z = R = 200 Ω

XL = X

C ≈ 1430 Ω

Pour ω < ω

0 ⇒ X

L < X

C

Pour ω > ω0 ⇒ X

L > X

C


3-Intensité efficace en fonction de la pulsation

On déduit de la courbe de l’intensité efficace :

• la bande passante Δω = ω2 – ω

1 = 140 rad.s-1

• la fréquence de résonance ω0 = 1000 rad.s-1

• Ieff

(ω0) =

U eff

R = 120x10-3A

⇒ R =U eff

I eff

= 24V

120x10−3 A = 200Ω


• le facteur de qualité

Q = ω 0

∆ω =

1000rad.s−1

140rad.s−1 = 7,14

• l’expression de la bande passante permet de calculer l’inductance L

∆ω =RL

⇒ L =R

∆ω=

200Ω

140rad.s−1

⇒ L = 1,43H

• on utilise l’expression du facteur de qualité pour calculer la capacité C

Q = ω 0

∆ω =

Lω 0

R =

1CRω 0

⇒ 1

CRω 0

= 1000140

⇒ C =140

1000Rω 0

= 0 ,7µF


Visite de sites

Consultez les sites suivants et mettez ce que vous visualisez en relation avec ce que vous avez appris au cours de votre activité d’apprentissage.

• http://labo.ntic.org/RLC_serie/RLC.html

• http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos- phy/applets/RLC_serie/RLC.htm

Ces deux applets permettent de consolider vos acquis sur les circuits RLC série. Elles vous proposent de visualiser :

• les oscillations de tension et de courant

• l’impédance Z, les réactances capacitive XC et inductive X

L en fonction de la

fréquence de la source de tension

• l’intensité du courant en fonction de la fréquence de la source

• le déphasage entre la tension appliquée et le courant qui parcourt le circuit en fonction de la fréquence

Vous pouvez déduire de ces graphiques :

• les propriétés de l’état de résonance

• la bande passante

Vous pouvez varier indépendamment les valeurs des paramètres pertinents (R, L, C, f ) et suivre l’effet de cette variation.

• http://perso.orange.fr/olivier.granier/electro/simul/cour_rlc/circuitRLC4.htm

• http://www.fundp.ac.be/sciences/physique/didactique/elec/RLC4.php

Ces deux liens donnent un exercice interactif basé sur la fréquence de résonance et le facteur de qualité avec illustration graphique.

• http://www.fundp.ac.be/sciences/physique/didactique/elec/RLC3.php• http://perso.orange.fr/olivier.granier/electro/simul/cour_rlc/circuitRLC3.

htm

Il s’agit ici d’une applet qui propose de suivre dans un circuit RLC l’évolution de l’am-plitude de la tension aux bornes d’un condensateur en fonction de la fréquence.

• http://sitelec.free.fr/cours/rlcseries.pdf

C’est un chapitre sur les circuits RLC série. Il examine en particulier les points suivants :

- calcul des réactances et de l’impédance- tension aux bornes des éléments du circuit- représentations temporelles et vectorielles des tensions et du courant- résonance série


C’est une très bonne lecture pour compléter ce que vous avez appris jusqu’ici.

• http://www.physique-eea.unicaen.fr/enseignement/deug-st/sm/dsm153/poly/dsm153-e.pdf

Ce lien vous propose des protocoles de manipulation pour l’étude de la bobine R-L en courant continu et en courant alternatif et pour l’étude de la résonance. Il met en évidence, entre autres, le phénomène de résonance dans un circuit électrique simple : circuit résonant en série, surtension, bande passante et facteur de qualité.

• http://www.unilim.fr/pages_perso/frederic.louradour/Oscillo_2.PDF

Ce site donne des protocoles de manipulation pour l’étude des circuits RLC série et parallèle


Résumé


Résonance

Quand une tension U = Um sin2πft de fréquence variable f est appliquée aux bornes

d’un circuit série RLC, l’intensité du courant est maximale à la fréquence f0 =

12π LC

ou quand la pulsation est égale à ω0 =

1LC

. On donne le nom d’état

de résonance à cet état.

A la résonance : f0 =

12π LC

X

C = X

L

Z = R

Im =

U m

Z est maximale

Ieff

= U eff

Z est maximale

I et U sont en phase

Bande passante

La bande passante ∆ω caractérise l’acuité de la résonance. Elle correspond à la

différence des pulsations ∆ω = ω 2 − ω1 , pulsations pour lesquelles :

I (ω1 ) = I (ω 2 ) =I (ω 0 )

2où I (ω1 ) , I (ω 2 ) et I (ω 0 ) sont respectivement les

intensités efficaces évaluées enω1 , ω 2 etω 0 , ω 0 étant la pulsation à l’état de résonance.

∆ω = RL

Plus la bande passante est étroite, plus la résonance est aigue.


Facteur de qualité

Le facteur de qualité Q caractérise aussi l’acuité de la résonance. Il est défini par

Q = ω 0

∆ω =

Lω 0

R=

1CRω 0

=1R

LC

Plus le facteur de qualité est élevé, plus la résonance est aigue.

Autoévaluation

Les apprenant(e)s prennent note des difficultés rencontrées au cours de l’activité d’apprentissage. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours concernées afin de mieux cerner l’origine de leurs difficultés et erreurs.


Le Professeur corrigera les productions des groupes. Il/Elle déposera la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction sera accompagnée d’un feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 10% de l’évaluation finale du module.


Activité d’apprentissage 2


- Mouvement des particules chargées dans un champ magnétique et ses applications pratiques.

- Loi de Lenz, auto-induction et circuit RL

Temps d’apprentissage : 30 H



Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.


A l’issue de cette activité, vous devez être capable de (d’) :

• Objectifs spécifiques de la 1ère partie

- rappeler l’action d’un champ électrique sur une particule chargée - rappeler l’action d’un champ magnétique sur une particule chargée en mou-

vement

- citer diverses méthodes pour mesurer le rapport em

pour l’électron

- expliquer la « mesure de em

par déflexion magnétique »

- déterminer le rapport em

en utilisant la méthode de la déflexion magnétique

- expliquer la « mesure de em

par la méthode du tube à gaz raréfié »

- déterminer em

en utilisant la méthode du tube à gaz raréfié.


- décrire le principe du fonctionnement d’un spectromètre de masse.

- décrire le principe du fonctionnement d’un sélecteur de vitesse.

- décrire un cyclotron

- utiliser la tension de Hall pour calculer le nombre de porteurs de charge par unité de volume dans un conducteur

- calculer le rayon de la trajectoire d’une particule chargée qui pénètre dans un champ magnétique uniforme orthogonal à sa vitesse

• Objectifs spécifiques de la 2ème partie

- rappeler la loi de Faraday- utiliser la loi de Faraday pour calculer la f.é.m. induite.- rappeler la loi de Lenz- utiliser la loi de Lenz pour déterminer le sens du courant induit- rappeler la notion de « flux propre »- rappeler le phénomène d’auto-induction- calculer l’inductance d’un circuit en utilisant la relation Φ = L i- appliquer la loi des mailles de Kirchhoff pour établir l’équation différentielle

correspondant à un circuit RL.- effectuer la résolution des équations différentielles du premier ordre avec

second membre- expliquer l’évolution du courant en fonction du temps dans un circuit RL- tracer i = f (t) pour un circuit RL- rappeler la constante du temps d’un circuit RL- calculer l’inductance propre d’une bobine- calculer le taux de croissance du courant qui parcourt un circuit RL- utiliser la tension de Hall pour calculer le nombre de porteurs de charge par

unité de volume dans un conducteur



Cette activité comporte deux parties :

1) la première partie concerne l’étude du mouvement des particules chargées dans un champ magnétique. Il s’agit essentiellement d’aborder quelques applications pratiques de ce mouvement. Vous aurez à :

• analyser diverses méthodes utilisées pour déterminer le rapport (e / m) pour l’électron

• examiner : - les principes de fonctionnement d’un spectromètre de masse et d’un cy

clotron - l’effet Hall qui a permis de déterminer le signe des porteurs de charge

dans un conducteur 2) la deuxième partie approfondit le phénomène d’induction électromagnétique

par :

• une description microscopique appliquée à un cas particulier simple• l’examen de la loi de Lenz qui permet de déterminer le sens du courant induit• l’analyse du phénomène d’auto-induction

Dans le traitement du cas particulier, vous aurez à faire émerger l’origine du courant induit et le sens du courant induit.

L’étude d’un circuit RL termine cette partie


RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Champ magnétique et particules char-gées en mouvement - Inductance. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.


BARUCH, P., HULIN, M. et PETROFF J.-F. (1972). Electricité- Magnétisme. Cours. Hermann, Paris,

BEISER, A.(1979). Physique appliquée : Cours et problèmes.Serie Schaum . Traduction française par LOBENBERG M. McGraw-Hill, Paris




BRUHAT, G. (1967).Cours de Physique Générale : Electricité. Huitième Edition Révisée (2e tirage) par G.GOUDET, Masson et Cie., Editeurs, Paris




RESNICK, R. et HALLIDAY, D. (1979). Electricité et magnétisme, physique 2. Traduit par André Lebel et Claudine Thériault. Editions du Renouveau Pédagogique. Inc. Montréal (Québec) Canada

SEARS. F.W, ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1987). University Physics. Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, USA.




USA

Liens utiles

• http://wwwens.uqac.ca/chimie/Physique_atom/Chap_htm/CHAP_3.html• http://www.unige.ch/sciences/physique/tp/tpe/E9.htm• http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/esurm.html• http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/

hall.html• http://membres.lycos.fr/physicisss/labos/effet_hall.pdf• http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/

cyclotron.html• http://perso.orange.fr/physique.chimie/Cours_de_physique/Physique_12_

PARTICULE_CH ARGEE_DANS_UN_CHAMP_MAGNETIQUE.htm • http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Induction_electromagnetique.html• http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Induction_electromagnetique0.html• http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/lenz.html• http://jf-noblet.chez-alice.fr/bobine/index.htm



Un même itinéraire vous est proposé pour les deux parties de cette activité :

Etape 1 : des lectures sur les thèmes à étudier qui requièrent de votre part une im-plication active

Etape 2 : une série d’exercices obligatoires à faire

Etape 3 : une visite de sites pour comparer des contenus relatifs aux thèmes étudiés et / ou visualiser des animations


Cette évaluation formative comprend des compléments de cours à lire avant de faire les exercices. Chaque exercice représente 1% des points


Compléments de cours :

Partie 1 : Diversesapplicationspratiques

A) Principe de fonctionnement d’un spectromètre de masse

La figure ci-dessous décrit ce principe :

On soumet un faisceau d’ions de même charge mais de masses différentes à une

tension accélératrice U. Ces particules ont la même vitesse v→

0 quand elles pénètrent

dans la région où règne le champ B→

.

B→

est orthogonal à v→

0 .

Sous l’action de B→

, leurs trajectoires sont circulaires.

Après avoir décrit un demi-cercle, elles sont reçues sur la plaque photographique. Une particule de charge q et de masse m

i parcourt un demi-cercle de rayon R

i =

mi v0 qB

et arrive en un point de la plaque photographique, point situé à la distance

2R

i = D

i de la fente F :


Di =

2mi v0 qB

(1)

On obtient v0 en utilisant :

12

miv02 = q U

⇒ v0 =

2qU mi

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

12


Di =

2mi qB

2qU mi

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

12

Il s’ensuit que :

Di2 =

4mi2

q2B2

2qUmi

=8miUqB2

⇒ q

mi

=8 U

Di2B2

On déduit de cette relation qu’on peut séparer des ions de même charge et de masses différentes


B) Mesure de em par déflexion magnétique

1) Action simultanée d’un champ B→

et d’un champ E→

.

Des électrons pénètrent avec une vitesse v→

0 dans une région où règnent un champ

magnétique B→

et un champ électrique E→

. E→

et B→

sont uniformes et perpendiculaires

entre eux et orthogonaux à v→

0 .

Quand E→

= O→

et B→

= O→

, le faisceau n’est pas dévié et frappe l’écran (E) en O’.

On applique le champ B→

tout en maintenant E→

= O→

: les électrons subissent une déflexion magnétique vers le bas :

Dm

= O’ P =L l B

v0

em

(1)

On applique ensuite le champ E→

. Sous l’action de E→

, les électrons sont déviés vers le haut. On agit sur la valeur de E pour ramener le faisceau en O’. Dans ce cas, les forces magnétique et électrique se compensent et on a pour les modules :


F→

e = F→

m

−eE→

= −e v→

0 Λ B→

On obtient : E = v0B ⇒ v

0 =

EB

La relation (1) devient alors

Dm =

L l B2

E e

m ⇒ e

m=

EL l B2 Dm

L et l sont les paramètres géométriques du dispositif et sont supposés connus. E et

B sont ajustés de telle manière que EB

= v0. On mesure D

m sur l’écran et on en

déduit em

b) Action d’un champ B→

uniquement

Sous l’action de B→

, on obtient une déflexion magnétique

Dm =

L l Bv0

em

La vitesse v0 peut-être déduite de la tension accélératrice U (le dispositif comprend

une tension accélératrice qui communique la vitesse v0 aux électrons) :

12

mv02 = e U

⇒ v0 =

2eU m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12


D’où : Dm =

L l B 2U

em

⇒em

=2U

(L l B)2 Dm2

Connaissant U, B et Dm (D

m est mesurée sur l’écran), on calcule

em

.

c) Méthode du tube à gaz raréfié.

Cette méthode met à profit le mouvement circulaire dans un champ magnétique uniforme.

Le dispositif utilisé est constitué d’une ampoule sphérique munie d’un canon à électrons et qui contient un gaz sous très faible pression. Le canon envoie un faisceau d’électrons dont la vitesse est contrôlée par une tension accélératrice U. Le faisceau ionise le gaz sur son passage, ce qui rend visible la trajectoire. L’ampoule est placée entre deux bobines de Helmholtz qui créent un champ magnétique

uniforme B→

au niveau de la trajectoire des électrons.

On oriente la sphère de telle manière que la vitesse v→

des électrons sortant du

canon soit normale à B→

et on agit convenablement sur B→

et sur la tension accé-

lératrice pour avoir une trajectoire circulaire de rayon R = mveB

Tube à gaz raréfié pour la mesure de e/m

On a ici :

12

mv2 = e U ⇒ v2 = 2 U (em

) (1)


e v B = m v2

R⇒ v = BR (

em

) (2)

Elevons la relation (2) au carré

v2 = B2 R2 (em

)2 (3)

(1) et (3) donnent :

B2 R2 (em

)2 = 2 U (

em

)

Ainsi : em

= 2 U

B2R2

Connaissant B, U et R, on calculeem

.

C) Détermination du signe et du nombre des porteurs de charges par unité de volume dans un conducteur

Relisez la partie du cours concernant l’Effet Hall

D) Accélération des particules chargées

Relisez le paragraphe « Cyclotron » du cours


Partie 2

Champ électromoteur d’induction

Considérons une tige métallique MN placée sur deux rails conducteurs et parallèles dont les extrémités P et Q sont liées à un galvanomètre.

Lorsqu’on déplace la tige avec une vitesse v→

, le galvanomètre décèle le passage d’un courant. L’apparition de ce courant induit est liée à l’existence d’une force magnétique

rFm = - e

rv ∧

rB qui s’exerce sur chaque électron libre de la tige. On associe à

cette force un champ électromoteur d’induction F→

m tel que F

→

m = - e E

→

m.

E→

m, contrairement à un champ électrostatique, peut entretenir le mouvement des

porteurs de charges dans un circuit fermé

Il ressort de cette association que :

a) - e rv ∧

rB = - e

rEm ⇒

rEm =

rv ∧

rB

rv ,

rB et

rEm forment un trièdre direct.

Le sens de E→

m donne le sens du courant induit. En effet, comme F

→

m = - e E

→

m les

électrons se déplacent dans le sens opposé à E→

m.


Circuit RL – Taux de croissance du courant

Considérons le circuit ci-dessous.

L’évolution de l’intensité du courant traversant le circuit est décrite par l’équation différentielle :

ε- L

didt

− ri = 0 ⇒ L didt

= ε − ri

didt

donne la vitesse de croissance du courant.

• A l’instant t = 0, i = 0. on a alors :

Ldidt

= ε ⇒ didt

=ε

L.

C’est le taux de croissance initial du courant :

didt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t = 0

=ε

L

• Au fur et à mesure que l’intensité du courant augmente, r i augmente et

Ldidt

= ε- r i diminue.

Le taux d’augmentation du courant diminue : la courbe i = f (t) s’aplatit progres-sivement.


• Au bout d’un temps suffisamment long ( t → ∞ ) le taux de croissance s’annule :

Ldidt

= 0 ⇒ r i = ε

L’intensité du courant atteint sa valeur maximale : im =

ε

r

• A l’instant t = 0, i.e. à l’origine, la courbe i = f(t) est tangente à la droite de

pentedidt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t = 0

=ε

L.

En introduisant la constante de temps du circuit défini par τ = Lr

on remarque que :

im

τ=

im

Lr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=rL

im =rL

ε

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=ε

L=

didt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t = 0

A l’origine, la courbe i = f (t) est donc tangente à la droite de penteim

τ.

On aura donc la représentation graphique suivante :


• Calculons i (τ).

L’intensité du courant est donnée par :

i (t) = ε

r(1- e

−r

Lt) = i

m (1 - e

−r

Lt)

A l’instant τ, on a :

i (τ) = im (1 - e

−rL

τ)= i

m [1- e

−r

L

L

r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ]

i (τ) = im (1 -

1e

) = im (e − 1e

) = 0,63im

i (τ) = (63%) (im)

Après un temps τ = Lr

secondes, l’intensité du courant atteint 63% de sa valeur finale i

m.

Exercice 1

Action d’un champ magnétique uniforme sur une particule chargée

Considérer le montage ci-dessous. Une particule de charge q positive, de vitesse

initiale v→

0 et de masse m pénètre en 0 dans une région de largeur l où règne

un champ magnétique B→

uniforme et constant. Le champ B→

est perpendiculaire au

plan de la figure et orienté vers l’avant de ce plan. La vitesse v→

0 est dirigée suivant

00’ et est normale à B→

.

1) Analyser le mouvement de la particule dans la région où règne le champ B→

2) Un écran (E) perpendiculaire à 00’ est placé à une distance L>> l comme

l’indique la figure. En l’absence du champ B→

, la particule décrit une trajectoire

rectiligne et frappe l’écran en 0’. Lorsque B→

est appliqué, ce point d’impact est dévié et se trouve en P. la déviation 0’P est appelée déflexion magnétique


Dm. Dans le cas d’une faible déviation, exprimer D

m en fonction de L, l, B, m,

v0 et q.

3) L’analyse de Dm suggère quelques applications pratiques. Donner des appli-

cations de ce dispositif tout en justifiant vos propositions.

Exercice 2

Dans une expérience sur l’effet Hall, un ruban métallique d’épaisseur a = 0,1mm et de largeur b = 5mm est parcouru par un courant d’intensité I = 5A. La tension de Hall mesurée est V

H = 6,25 µV lorsque le champ magnétique utilisé a une

grandeur B = 0,2 T.

1- Calculer le nombre n d’électrons de conduction par unité de volume.

2- Calculer la vitesse d’entraînement de ces électrons.

Exercice 3

Un proton initialement au repos est soumis à une tension accélératrice de 20 kV.

Il pénètre ensuite dans une région où règne un champ magnétique B→

uniforme


et de grandeur égale à 0,5 T. Le champ B→

est orthogonal à la vitesse du proton. Déterminer le rayon de la trajectoire de ce proton.

Exercice 4

Loi de Lenz

1) Un faisceau d’électrons pénètre dans une région où règne un champ magnétique

uniforme et constant avec une vitesse v→

comme l’indique la figure. Le champ

B→

est perpendiculaire au plan de la figure et est dirigé vers l’arrière de ce plan.

Décrivez ce qui va se passer

2) On remplace le faisceau d’électrons par une tige métallique MN. La tige se dé-

place vers la droite avec une vitesse v→

sous l’action d’une force appliquée.

Analysez ce qui va se passer au sein de la tige.


3) La tige métallique MN de longueur l est maintenant placée sur deux rails pa-rallèles et horizontaux dont les extrémités P et Q sont reliés à un galvanomètre

G. on fait déplacer MN vers la droite avec une vitesse v→

. Le galvanomètre décèle le passage d’un courant alors que le circuit constitué par la tige, les rails et le galvanomètre ne comporte aucun générateur.

Expliquez l’origine du courant qui circule dans le circuit.

Précisez le sens de ce courant et reliez le à la loi de Lenz.

Exercice 5

Une spire rectangulaire est placée dans un champ magnétique uniforme B→

comme l’indique la figure (2 – a) et dont la norme varie selon la figure (2 –b). Cocher les bonnes réponses


5-1

1 Un courant induit parcourt la spire quel que soit t.

1 Un courant induit parcourt la spire au bout d’un temps t > 1s.

1 Un courant induit parcourt la spire pour ∈ t [ 0, 1s]

5-2

1 Le courant induit parcourt la spire dans le sens MNOP

1 Le courant induit parcourt la spire dans le sens MPON

Exercice 6

Auto-induction et circuit RL

Considérer le circuit ci-dessous.

L1 et L

2

sont deux lampes identiques. La branche AB comporte un conducteur ohmique de résistance r en série la lampe L

1. La branche CD contient une bobine en série

avec la lampe L2. Le conducteur ohmique et la bobine ont la même résistance r.

Quand on ferme l’interrupteur K, L1 brille instantanément tandis que L

2 brille pro-

gressivement.

1- Expliquez pourquoi il en est ainsi.2- Etudiez les courants qui circulent dans la bobine d’inductance et dans le

conducteur ohmique et représentez les graphiquement. Commentez vos résultats.

3- Décrivez ce qui se passe lorsqu’on ouvre l’interrupteur.


Exercice 7

1- Soit une bobine maintenue fixe face à un solénoïde parcouru par un courant d’intensité I. Expliquer pourquoi une f.é.m. induite est engendrée dans la bobine quand on fait varier I.

Exercice 8

On considère la figure ci-dessous

Le champ d’induction magnétique B→

est uniforme et perpendiculaire au plan de

la figure. La tige métallique CD se déplace vers la droite avec une vitesse v→

. La f.é.m. induite dans CD est 2,40V. On donne : EF = CD = l = 0,40m et B = 1,2 T. La résistance totale du circuit est 1,2Ω.

Déterminer :

1- la vitesse v de la tige CD.2- le sens et l’intensité du courant induit3- la direction et le module de la force qui s’exerce sur CD.


Exercice 9

On considère la figure ci-dessous

Le champ d’induction magnétique B→

est uniforme et perpendiculaire au plan

de la figure. La tige métallique CD se déplace vers la droite avec une vitesse v→

perpendiculaire à B→

. Un courant induit traverse le circuit dans le sens C → D.

1) Analysez l’apparition de ce courant selon le point de vue d’un observateur S au repos par rapport à la tige.

2) Même question mais avec l’observateur S lié à la tige.

Exercice 10

Soit un solénoïde de section S, comportant N spires et dont la longueur l est supposée grande par rapport à son diamètre. On fait varier le courant qui traverse ce solénoïde de 0 à I. Trouver son inductance propre.

Exercice 11

Une f.é.m. induite de 10V s’établit dans une bobine lorsque le taux de croissance du courant qui la traverse est 50 As-1. Calculer l’inductance de la bobine.

Supposons que cette bobine comporte 500 spires et que l’intensité du courant qui la traverse est 2,5A. Déterminer le flux moyen enlacé par une spire.


Exercice 12

Une bobine d’inductance L = 5 H et de résistance 10 Ω est reliée à une pile de 10V. Calculer :

- le taux initial de croissance du courant- l’intensité du courant à l’instant où son taux de croissance est 1 A s-1

- l’intensité finale du courant.

Exercice 13

On considère un circuit série composé d’une bobine d’inductance L = 0,2 H dont la résistance est négligeable, d’un résistor de 9 Ω , d’une batterie de 1,5 V et de résistance interne 1Ω. Calculer :

- le taux initial de croissance du courant- le taux de croissance du courant quand l’intensité du courant est 0,1A- le taux de croissance du courant quand l’intensité du courant est 0,15A

Exercice 14

On considère un circuit série composé d’une bobine d’inductance L, d’une résis-tance R, , d’une pile de f.é.m. V

0 et d’un interrupteur K. On ferme l’interrupteur.

Déterminer :

1- l’intensité du courant et la f.é.m. induite à l’instant t = 0

2- l’intensité du courant et la f.é.m. induite à l’instant t =12

τ, τ étant la constante du temps de ce circuit.



- Lire les lectures appropriées et les compléments de cours- ensuite faire les exercices- s’organiser pour un travail collaboratif : les apprenant(e)s sont réparti(e)s en

groupe sous la supervision d’un tuteur.- Chaque groupe choisit un rapporteur.- le tuteur organise le travail en indiquant l’ordre de résolution des exercices et

la durée de recherche de solution pour chacun- les rapporteurs déposent les solutions des exercices dans un espace de travail

réservé aux apprenant(e)s.

Réponses clés


1) Mouvement de la particule

v→

0 est orthogonale à B→

.

Dans la région où règne B→

, la force F→

= q v→

Λ B→

qui s’exerce sur la particule est

toujours perpendiculaire à v→

. Donc le travail produit par cette force est toujours

nul et en conséquence la vitesse v→

reste constante en grandeur (v = v0). Voir ci-

dessous la démonstration

EC =

12

m v→ 2

⇒ dEc = m v→

d v→

dEc = F→

.v→

dt = 0 car F→

est perpendiculaire à v→

⇒ EC est constant ⇒ v est constant

La force F→

reste aussi constante en module (F = q v B = qv0B) car v et B sont

constants. La particule se déplace donc sous l’action de la force F→

dont le module

est constant et dont la direction est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse v→

: elle prend alors un mouvement circulaire uniforme.

La force F→

est une force centripète :

qv0B =

mv02

R


Le rayon de la trajectoire est :

R = mv0

qBDans la région où règne B, la particule décrit l’arc de cercle CA

∩

de centre C et

de rayon CO = CA =mv0

qB.

2) Déviation O’P

Lorsque la particule sort de la région où règne B→

, sa trajectoire est rectiligne suivant

la tangente au point A à l’arc de cercle OA∩

. Cette tangente coupe OO’ en D.

L’angle α est tel que :

α =OA

∩

R

tanα =0 'PL

Pour une faible déviation :

OA∩

≈ l et tg α ≈ α = 0 'PL

On a donc :

α = lR

=0'PL

⇒ 0'P =L lR

=L l q B

mv0

0’P est la déviation du point d’impact sur l’écran. Cette déviation est appelée : « Déflexion magnétique » D

m.

Dm =

L l mv0

q B


3) Applications d’un tel montage

La déflexion magnétique dépend des paramètres L, l, B, qm

et v0. Les paramètres L

et l sont des paramètres géométriques (ce sont des caractéristiques géométriques de l’appareil). Ils sont en principe donnés.

1ère application

Considérons un faisceau de particules qui pénètrent en O. Supposons que toutes ces

particules ont la même vitesse v0 et qu’elles ont le même rapport

qm

.

On a dans ce cas :

Dm =

L lv0

qm

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟B = K

1 B

Constante K1

La déviation Dm est proportionnelle au champ B. Connaissant D

m , on peut déter-

miner B : le dispositif permet de mesurer des champs magnétiques.

2ème application

Supposons que :

- le rapport qm

est le même pour toutes les particules constituant le faisceau incident

- les particules pénètrent en O avec des vitesses initiales v0 différentes

- le champ B→

est donné.

Dans ce cas, on a :

Dm = L l B q

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1v0

= K2

1v0

La déviation Dm est proportionnelle à

1v0

car L l B qm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1v0

= K2 est une constante.


On peut avec ce dispositif, trier des faisceaux monocinétiques. On peut séparer des faisceaux qui pénètrent en O avec des vitesses initiales différentes.

3ème application

Supposons qu’un faisceau de particules positives homocinétiques de même charge

mais de masses différentes pénètre en 0 et que le champ B→

est donné.

On a alors :

Dm =

L l Bv0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟qm

= K3

qm

L l B

v0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= K3 est une constante pour toutes ces particules. La déviation D

m est

proportionnelle au rapportqm

. Le dispositif permet dans ce cas de séparer des ions de même charge mais de masses différentes. On a ici un spectromètre de masse.


1) nombre n d’électrons de conduction par unité de volume

Nous savons qu’à la tension de Hall VH est associé un champ électrique transversal

EH tel que :

EH =

v B (1) v étant la vitesse d’entraînement (relisez le cours si nécessaire).

Utilisons cette équation (1) pour faire apparaître VH et n.

EH et V

H sont liés par la relation :

EH =

VH

b, b étant la largeur du ruban

b

a

Ainsi, on a : VH

b= v B

⇒ V

H = v B b (2)


Pour faire apparaître n, remplaçons la vitesse d’entraînement v.

Pour cela, prenons l’intensité I :

I = j A, j étant la densité de courant et A la section du ruban.

On a : j = n e v et A = ab

D’ où I = n e v ab ⇒ v =I

n e (ab) (3)

Les équations (2) et (3) donnent :

V

H =

I B bn e (ab)

⇒ n =I B

e a VH

A.N.: e = 1,6 10-19 C ; B = 0 ,2 T ; I = 5 A ; VH = 6,25 x 10-6 V ; a = 10-4 m

n =(5)(0,2)

(1,6.10-19 )(10-4 )(6,25.10-6 )

n = 1 x 1028 m-3

2) Vitesse d’entraînement

Reprenons la densité de courant

j = n e v

IA

= n e v ⇒ v =I

n e AA.N. :

I = 5 A; n = 1 x 1028 m -3;

e = 1,6 x 10-19 C;

A = ab = (10-4 m) (5.10-3m)

v = 5

(1x1028 )(1,6.10-19 )(10-4 )(5.10-3 )

v = 0,625 x 10-2 ms-1



Dans la région où règne le champ B→

, le proton est soumis à une force :

F→

= q v→

Λ B→

F→

est ici une force centripète

q v B = m v2

R ⇒ R =

mvqB

(1)

Soit Va la tension accélératrice. On a :

qVa =

12

mv2 ⇒ v =2qVa

mLa relation (1) devient :

R = mvqB

=mqB

2qVa

m=

1B

2Vamq

A.N. : B = 0,5T ; m = 1,66 x 10-27 kg ; q = 1,6 x 10-19 C ; Va = 20 x 103 V

On trouve :

R = 4,1 cm


1) faisceau d’électrons

Chaque électron du faisceau est soumis à une force magnétique F→

= - e v→

Λ B→

.


F→

est toujours perpendiculaire à v→

et B→

et a une grandeur constante F = e v B.

La direction de la force F→

est toujours normale à la trajectoire du faisceau, au

vecteur v→

. Le faisceau subit alors une déflexion magnétique : sa trajectoire s’in-

curve. Si la force F→

est faible, cette trajectoire est un arc de cercle. On obtient une

trajectoire circulaire si la force F→

est assez forte.

2) Tige métallique

Un métal contient des électrons libres appelés électrons de conduction. Lorsque la

tige MN se déplace à la vitesse v→

, ses électrons libres sont entraînés avec elle et à la même vitesse. Chaque électron de MN se déplace donc dans un champ magnétique

avec la vitesse v→

et subit une force rFm = - e

rv ∧

rB

Sous l’action de cette force, il se déplace vers N. Des charges négatives vont s’accu-muler en N et des charges positives en M ( il y a un défaut de charges négatives en M). Il en résulte une f.é.m. induite entre les extrémités de la tige.

3) origine du courant induit

Sens de déplacement des électrons


Comme il a été établi précédemment (question 2), quand la tige se déplace vers la

droite, chaque électron subit une force rFm = - e

rv ∧

rB et est poussé vers l’ex-

trémité N. Le circuit MNPQ étant un circuit fermé, un mouvement d’ensemble des électrons libres prend naissance dans cette boucle d’où l’apparition du courant décelé par le galvanomètre.

C’est la force F→

m qui est à l’origine de ce courant.

Sens du courant induit

Le sens de ce courant induit est opposé au sens de déplacement des électrons :

Relation avec la loi de Lenz

La tige MN est maintenant parcourue par un courant Iind

dans le sens N → M et se

déplace dans le champ B→

. Une force F→

= Iind

NM→

Λ B→

s’exerce sur cette tige. Cette force est dirigée vers la gauche, dans le sens opposé au sens de déplacement de MN : elle s’oppose au déplacement de MN vers la droite.

Ce n’est autre que la loi de Lenz qui dit que : « le sens de courant induit est tel qu’il s’oppose à la cause qui le produit ».

La cause qui a produit le courant induit ici est le déplacement de la tige vers la droite. La tige, une fois parcourue par ce courant, subit une force dirigée vers la gauche.


2-1

q Un courant induit parcourt la spire quel que soit t. Réponse incorrecte

Un courant induit n’apparaît que lorsque le flux magnétique à travers la

spire varie. i.e. qu’ il n’apparaît que lorsque B→

varie . Or ici la norme de B→

reste constante pour t > 1s.


q Un courant induit parcourt la spire au bout d’un temps t > 1s. Faux

Le champ B→

ne varie plus quand t > 1s

q Un courant induit parcourt la spire pour ∈ t [ 0, 1s] Bonne réponse

En effet durant cet intervalle de temps B→

varie donc son flux à travers la spire varie.

2-2

q Le courant induit parcourt la spire dans le sens MNOP Faux

Voir l’explication ci-dessous

q Le courant induit parcourt la spire dans le sens MPON Bonne réponse

Le sens du courant induit est tel qu’il crée un champ magnétique induit B→

i qui

s’oppose à la croissance de B→

. B→

i est de sens opposé à B→

i.e. dirigé vers l’avant : I

ind parcourt la spire dans le sens MPON.


1- La lampe L1 brille instantanément, la lampe L

2 brille progressivement

Constat

Les deux lampes sont identiques, la bobine et le conducteur ohmique ont la même résistance et pourtant L

2 brille progressivement.

L’explication réside donc au niveau de la bobine.

Initialement, quand l’interrupteur est ouvert, aucun courant ne traverse la bobine : le champ à l’intérieur de la bobine est nul ainsi que le flux qui la traverse.

Quand on ferme le circuit, le courant traversant le conducteur ohmique atteint rapidement sa valeur d’équilibre alors que le courant parcourant la bobine com-mence à augmenter. Ce courant crée un champ magnétique à l’intérieur de la bobine. Le flux à travers cette dernière a donc varié et une f.é.m. induite apparaît qui, conformément à la loi de Lenz, s’oppose à la croissance du courant qui mettra alors un certain temps pour atteindre sa valeur d’équilibre.

La bobine retarde l’augmentation du courant qui circule dans la lampe L2 et en

conséquence L2 brille progressivement.

Remarque : le flux qui traverse la bobine varie. Cette variation est due à la va-riation du courant qui circule dans la bobine elle-même : la f.é.m. induite ici est une f.é.m. d’auto-induction. Le flux qui traverse la bobine est un « flux propre ».


L’étude des courants qui circule dans la bobine et dans le conducteur Ohmique met en évidence ces résultats.

2- Analyse des courants qui traversent la bobine et le conducteur ohmique

Négligeons les résistances des lampes L1 et L

2 (ou supposons qu’elles sont déjà

incluses dans les résistances r). Quand on ferme l’interrupteur K, on a pour la maille (εCDε) :

ε - Ldidt

– r i = 0

La solution de cette équation différentielle du premier ordre et à coefficients constants est :

i = ε

r1− e

−r

Lt⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Le tableau suivant montre la variation de i en fonction dv temps t.

!!"

#$$%

&'

' tL

r

e1

t

i

tL

r

e

!

0

0

0

1

0

1

r

!

∞


Il ressort de ce tableau que le courant augmente progressivement et au bout d’un certain temps atteint sa valeur maximale correspondant au régime permanent : ceci explique pourquoi la lampe L

2 brille progressivement.

Dans la branche comportant la lampe L1 on n’a que le conducteur ohmique de ré-

sistance r.

L = 0 ⇒ e−

rL

t= 0 ⇒ i =

ε

rLe courant atteint quasi instantanément sa valeur maximale.

La représentation graphique de i en fonction de t donne :

3) L’interrupteur est de nouveau ouvert

Lorsqu’on ouvre de nouveau l’interrupteur K, l’intensité du courant dans la bran-che CD diminue immédiatement mais ne s’annule pas instantanément. Une forte f.é.m. est induite dans le circuit de la bobine. Cette f.é.m. s’oppose à diminution de i. Ce courant diminue alors progressivement : il y a retard à la décroissance du courant et la lampe L

2 s’éteint progressivement contrairement à L

1.

La représentation graphique du courant qui traverse la bobine décrit clairement ce comportement.

Lorsque l’interrupteur est ouvert, le générateur est mis « hors circuit » et on a :

L didt

+ ri = 0 ⇒ dii

= −rL

dt

D’où : i = Ce- rLt

.

C est une constante déterminée par la condition initiale : à l’instant t = 0 i =ε

r


= C. On obtient alors : i =ε

re

- rLt

.

Après un certain temps, i → 0

Exercice 7

Le champ magnétique créé par le solénoïde dépend de I. Une variation de I pro-voque une variation de champ magnétique qui traverse la bobine, donc une variation du flux magnétique à travers la bobine d’où la naissance d’une f.é.m. induite.

Exercise 8

1)

Le flux initial est :

Φi = B l x

Pendant l’intervalle de temps ∆t, la tige CD s’est déplacée d’une distance v∆t et le flux enlacé est :

Φf = B l (x + v ∆t)

La f.é.m. induite lors de ce déplacement est :


εind

= ∆Φ

∆t=

Φf − Φi

∆tOn trouve :

εind

= B l v (1)

On déduit de la relation que :

v = ε ind

Bl A.N. : ε

ind = 2,40 V ; CD = EF = l = 0,40 m ; B = 1,2 T

v = 2,40

(1,2)(0,40) = 5 ms-1

2 ) sens du courant induit

Le sens du courant induit est tel qu’il s’oppose au déplacement de la tige vers la droite. Il est dirigé de C vers D.

Son intensité est :

Iind

= ε ind

R A.N.: ε

ind = 2,40V; R = 1,2 Ω

Iind

= 2,41,2

= 2 A


3 ) force qui s’exerce sur la tige

La tige est parcourue par un courant dirigé de C vers D. Elle subit donc une force :

F→

= I ind l→

Λ B→

Cette force s’oppose au déplacement de la tige vers la droite. Elle est dirigée vers la gauche.

Les vecteurs l→

et B→

étant perpendiculaires entre eux, on a :

F=IindB l

A.N.: Iind = 2 A ; l = 0,40 m; B = 1,2 T

F = (2)(0,4)(1,2) = 0,96N

Exercice 9

1 ) l’observateur S au repos par rapport à la tige

Pour S, un électron de conduction de la tige métallique se déplace avec cette dernière

vers la droite à la vitesse v→

. Cet électron subit une force :

Fm

→

= −ev→

Λ B→

Cette force provoque le déplacement de l’électron vers le bas ( D → C ). Le sens conventionnel du courant est le sens opposé au sens de déplacement de l’électron : le courant induit va de C vers D.


2 ) l’observateur S est lié à la tige

Quand S est lié à la tige, il voit que c’est le champ B→

qui se déplace. Pour lui, aucune force magnétique ne s’exerce sur l’électron pourtant il observe aussi que le même courant apparaît dans la tige métallique. Pour expliquer ce phénomène, il fait appel

à un champ électromoteur E m

→

qui provoque le déplacement de l’électron vers le bas. L’électron est soumis à la force :

Fe

→

= −eE m

→

E m

→

est dirigé de C vers D, dans le sens du courant induit. Les deux forces Fm

→

et Fe

→

produisent les mêmes effets sur l’électron :

Fe

→

= Fm

→

−eE m

→

= −ev→

Λ B→

Il s’ensuit que : E m

→

= v→

Λ B→

Exercice 10

Lorsque le courant qui traverse le solénoïde varie, il est le siège d’une f.é.m. induite qui peut s’écrire :

ε = NdΦ

dt et ε = L

dIdt

Φ étant le flux enlacé par une spire. Ces deux expressions donnent :

N∆Φ

∆t= L

∆I∆t

On obtient alors :

L = N∆Φ

∆I


Quand I = 0, le flux à travers une spire est : Φ1 = 0. Soit Φ2 le flux enlacé par une spire quand le courant est I . Lorsque le courant varie de 0 à I , on a :

∆Φ = Φ2 − Φ1 = Φ2 et ∆I = I

Il s’ensuit que :

L = NΦ2

I (1)

Mais Φ2 = BS , B étant le champ créé par I et qui règne dans le solénoïde. La lon-gueur du solénoïde étant grande par rapport à son diamètre, on a :

B = µ0 n I

n est le nombre de spires par unité de longueur. La relation (1) donne alors :

L = NBSI

= Nμ0 nIS

I= N μ0 nS

En remplaçant n par (N / l), on obtient :

L = N2 μ0 S

lExercice 11

1) La f.é.m. induite dans la bobine est donnée par :

ε = Ldidt

⇒ L = ε

(didt

)

A.N. ε = 10 V ; didt

= 50 As-1

L = 1050

= 0,2 H

2) La bobine comporte N = 500 spires. Le flux à travers la bobine est NΦ où Φ est le flux moyen enlacé par une spire. On a:

NΦ = Li ⇒ Φ = LiN

A.N. L = 0,2H; i = 2,5A; N = 500

Φ = LiN

= 10-3H


Exercise 12

1) Taux initial de croissance du courant

La loi des mailles de Kirchhoff appliquée à ce circuit donne :

ε- Ldidt

- Ri = 0 (1)

A l’instant initial t = 0, i = 0. On a alors :

ε- L (didt

)t=0

= 0 ⇒ (didt

)t=0

= ε

L=

10V5H

(didt

)t=0

= 2 A s-1

2) Intensité du courant à l’instant où son taux de croissance est 1As-1.

La relation (1) donne :

ε- Ldidt

- Ri = 0 ⇒ Ri = ε- L

didt

⇒ i = ε

R−

LR

didt

A.N. didt

= 1 As-1; ε = 10 V; R = 10 Ω et L = 5 H

i = 1010

−5

10(1)

i = 0,5 A

3) intensité finale du courant

Quand le courant atteint sa valeur finale, didt

= 0. La relation (1) donne alors :

ε = R im ⇒ i

m =

ε

R

L’application numérique donne :

im = 1A


Exercice 13

Taux initial de croissance

La loi des mailles de Kirchhoff appliqué à ce circuit donne :

ε- Ldidt

- Ri = 0 (1)

A l’instant initial : t = 0 et i = 0 d’où :

ε- L (didt

)t=0

= 0 ⇒ (didt

)t=0

= ε

L A.N. ε = 1,5 V ; L = 0,2 H

(didt

)t=0

= 7,5 A s-1

Taux de croissance quand le courant i = 0,1 A

didt

= ε

L−

RiL

avec R = 9 Ω + 1 Ω = 10 Ω

A.N. ε = 1,5 V ; L = 0,2 H ; R = 10 Ω ; i = 0,1 A

On trouve: didt

= 2,5 A s-1

Taux de croissance quand l’intensité du courant est i = 0,15 A

On a: didt

= ε

L−

RiL

avec i = 0, 15 A

A.N. ε = 1, 5 V; L = 0, 2 H; R = 10 Ω ; i = 0,15 A

On obtient : didt

= 0

On constate que lorsque l’intensité du courant augmente, son taux de croissance diminue et s’annule quand l’intensité maximale est obtenue : en effet i = 0,15 A est

l’intensité maximale égale à ε

R


Exercice 14

La loi des mailles appliquée à ce circuit donne :

V0 - L

didt

- Ri = 0

La solution de cette équation est :

i =V0

R(1− e

- RL

t) (1)

La f.é.m. induite est :

ε ind = L didt

⇒ ε ind = L V0

Le

- RL

t= V0e

- RL

t (2)

1- A l’instant t = 0


i = 0 et ε ind = V0

On comprend facilement ce résultat : en effet à t = 0, i = 0, la tension aux bornes de la résistance est nulle et toute la tension appliquée se trouve donc aux bornes de l’inductance.

2- A l’instant t = 12

τ

τ est la constante du temps : τ = LR


i = V0

R(1− e

- 12 ) avec e = 2,718

i = V0

R(1−

1e

) = 0,391V0

R

ε = V0 e

- RL

L

2 R = V0 e-

12 =

V0

e ε = 0,606 V

0


Visite de sites

Partie 1

Consultez les sites suivants et mettez ce que vous visualisez en relation avec ce que vous avez appris au cours de votre activité d’apprentissage.

1) Charge spécifique de l’électron (e/m)

http://wwwens.uqac.ca/chimie/Physique_atom/Chap_htm/CHAP_3.html

Ce site traite entre autres la détermination de la charge spécifique de l’électron. Il analyse la déflexion électrique des rayons cathodiques, la déflexion magnétique d’un faisceau d’électrons, le principe d’un sélecteur de vitesse.

http://www.unige.ch/sciences/physique/tp/tpe/E9.htm

Ce site propose un TP sur la mesure de la charge spécifique de l’électron.

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/esurm.html

C’est une applet sur la mesure de e/m par la méthode de J.J. Thomson et par la méthode du tube à gaz d’hydrogène. En suivant les consignes donnés par l’auteur, vous pouvez participer à sa détermination.

2) Effet Hall

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/hall.html

Vous visualisez ici une animation de l’effet Hall. Vous pouvez choisir le signe des charges, régler l’intensité du courant, le champ magnétique ainsi que l’épaisseur de l’échantillon

http://membres.lycos.fr/physicisss/labos/effet_hall.pdf

Vous verrez ici une proposition d’ expérience qui met en évidence l’effet Hall dans un semi-conducteur et qui aborde la détermination du nombre des porteurs de charges par unité de volume dans le cas du germanium.

3) Cyclotron

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/cyclotron.html

C’est une applet où vous pouvez visualiser le mouvement des porteurs de charge dans un cyclotron


4) Spectrographe de masse – Déflexion magnétique

http://perso.orange.fr/physique.chimie/Cours_de_physique/Physique_12_PARTI-CULE_CHARGEE_DANS_UN_CHAMP_MAGNETIQUE.htm

Ce site donne un problème sur le spectrographe de masse et un problème sur la dé-flexion magnétique ainsi que leurs solutions.

Partie 2

Vous trouverez dans les adresses qui suivent des informations qui renforcent et com-

plètent ce que vous avez appris au cours de cette activité d’apprentissage.

http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Induction_electromagnetique.html

Ce site traite une leçon sur l’induction électromagnétique. Il examine essentiellement les points suivants : la f.é.m. induite, le courant induit et la loi de Lenz, les phéno-mènes d’auto-induction et d’induction mutuelle.

http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Induction_electromagnetique0.html

Il s’agit ici de l’énergie emmagasinée par une bobine d’inductance L.

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/lenz.html

C’est une applet qui montre une simulation de la loi de Lenz

http://jf-noblet.chez-alice.fr/bobine/index.htm

Ce site présente des simulations de circuits R en rapport avec ce que vous avez étudié jusqu’ici :

- simulation de l’établissement du courant dans un circuit RL- rupture de courant dans un circuit RL- mesure de l’inductance d’une bobine


Résumé

Ce qu’il faut retenir

Sur les particules chargées dans un champ électromagnétique

• Une particule de charge q qui se déplace avec une vitesse v→

dans un

champ magnétique B→

subit une force F→

= q v→

Λ B→

.• Une particule chargée qui pénètre dans un champ magnétique uniforme

avec une vitesse orthogonale au champ prend un mouvement circulaire uniforme.

• De nombreux dispositifs expérimentaux mettent à profit la déflexion ma-gnétique et le mouvement circulaire des particules chargées dans un champ magnétique.

- Les spectromètres de masse

- Les dispositifs pour la mesure de em

par déflexion magnétique, mesure de

em

par la méthode de J .J . Thomson, par la méthode du tube à gaz raréfié - Les cyclotrons.

Sur les phénomènes d’induction électromagnétique et loi de Lenz

• Une variation dans le temps du flux du champ magnétique à travers un circuit produit dans ce circuit une f.é.m. d’induction, quelle que soit la cause de cette variation.

• La f.é.m. induite disparaît dès que la variation du flux magnétique cesse.

• A une f.é.m. induite dans un circuit fermé correspond un courant induit.

• Loi de Lenz : « le sens du courant induit est tel qu’il s’oppose à la cause qui le produit ».

• Une f.é.m. induite apparaît dans une tige métallique en mouvement de

translation uniforme de vitesse v→

dans un champ B→

normal v→

. Chaque

électron libre de ce conducteur subit une force F→

m = −ev→

Λ B→

. Cette force provoque un mouvement d’ensemble des électrons libres et est à l’origine

du courant induit dans le circuit fermé contenant la tige. A la force F→

m

est associé un champ électromoteur E→

m tel que F→

m = −ev→

Λ B→

= - e E→

m .

• Un champ électromoteur peut entretenir le mouvement des porteurs de charges dans un circuit fermé.


Sur les phénomènes d’auto-induction et circuit RL

• Flux propre

Soit un circuit (C) parcouru par un courant i. Ce courant crée un champ magnétique donc un flux de champ magnétique à travers (C) lui-même : ce flux est appelé « flux propre ».

Le flux propre à travers un circuit est proportionnel à l’intensité du cou-rant I qui traverse ce circuit : la constante de proportionnalité est appelée « Inductance du circuit ».

Φ = L I , L = inductance du circuit.

Phénomène d’auto-induction

Toute variation de l’intensité du courant dans un circuit quelconque (donc toute variation du flux propre) engendre une f.é.m. d’induction qui fait circuler dans ce circuit un courant complémentaire dont le sens est tel qu’il s’oppose à la cause qui le produit.

Circuit RL

L’équation différentielle qui décrit l’évolution du courant dans un circuit RL série branché aux bornes d’une source de tension continue ε est :

ε - dIdt

- RI =0

et le courant traversant le circuit est :

I = ε

R( 1- e

−R t

L )

Ce courant n’atteint pas immédiatement sa valeur maximale mais augmente pro-gressivement.

• (dIdt

) est le taux de croissance du courant

• A l’instant initial t = 0, (dIdt

)t=0

= ε

L

• Quand le régime permanent s’établit, (dIdt

) = 0 et le courant atteint sa valeur

maximale Im =

ε

R


• A l’instant t = 0, la courbe I = f (t) est tangente à la droite de pente

(dIdt

)t=0

= ε

L

• La constante du temps d’un circuit (RL) est définie par τ =LR

. Cette constante est homogène à un temps ; elle caractérise la rapidité avec laquelle le régime permanent est atteint. Les circuits fortement inductifs ont une constante de temps élevé.

Autoévaluation



Le Professeur corrigera les productions des groupes. Il/Elle déposera la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction sera accompagnée d’un feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de l’évaluation finale du module.




Aimantation et courant moléculaire ; les vecteurs magnétiques B→

, H→

et M→

; les substances paramagnétiques, diamagnétiques et ferromagnétiques.







A l’issue de cette activité, l’apprenant(e) doit être capable de :

• rappeler l’origine des courants moléculaires• déterminer par le calcul le moment magnétique d’une boucle de courant

• rappeler la relation qui lie le champ B→

, l’excitation magnétique H→

et l’aiman-

tation M→

• calculer l’aimantation M d’une substance magnétique• rappeler la loi de Curie pour les paramagnétiques• Calculer la perméabilité d’un matériau• Utiliser le champ coercitif pour déterminer le courant nécessaire pour déma-

gnétiser un matériau magnétisé

• Calculer le magnéton de Bohr



Cette activité est consacrée à l’étude des propriétés magnétiques de la matière : le paramagnétisme, le diamagnétisme et le ferromagnétisme. L’accent sera mis sur leur interprétation microscopique. Vous découvrirez que :

- l’aimantation des substances magnétiques est liée à l’existence de courants moléculaires dans ces substances. Vous analyserez l’origine de ces courants et leur comportement en présence d’un champ magnétique excitateur

- lorsqu’on place des substances magnétiques dans un champ B→

, leurs dipôles magnétiques élémentaires créent leur propre champ qui modifie le champ

initial. Deux autres vecteurs, en plus de B→

, sont introduits pour décrire le

phénomène : l’excitation magnétique H→

et l’aimantation M→

. Vous apprendrez la relation qui existe entre ces vecteurs et comment on les détermine.


RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Les propriétés magnétiques de la matière. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.





FRANCIS W. S., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1987). University Physics. Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, USA.

FRANCIS W. S., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1974). College Physics. Fourth Edition. Addison-Wesley Publishing Company, USA.

GERL, M. et JANOT, C. (1970). Physique MP2 – PC

2, 1. Relativité – Electroma-

gnétisme. Collection Hachette Université.









TIPLER, P. A. (1982). Physics. Second Edition. Worth Publishers Inc, New York, USA

Liens utiles

http://www.thyssenfrance.com/documents/mut%20devt%20text%20doc%20tech%20aim_MAGNETISME%20-%20QUELQUES%20RAPPELS.pdf

http://perso.univ-lr.fr/vmathe/16_annexeA.pdf

http://semainescience.u-strasbg.fr/magnetisme/fondement.html

http://www.grasp.ulg.ac.be/cours/2cm/elec5.pdf

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/weisli_j.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/praimh.html


Dans ce parcours d’apprentissage, vous êtes invité à passer par quatre étapes pro-gressives.

Etape 1 : au départ, vous aurez à effectuer des lectures sur le thème à étudier

Etape 2 : suite à cette phase de familiarisation globale, des compléments de cours développeront à votre attention certains points importants. Des exercices adéquats incorporés dans ces compléments vous aideront à maîtriser ces concepts.

Etape 3 : afin de mettre en perspective tout ce qui précède, vous serez guidé vers des visites de sites avec pour objectifs de vous faire accéder à des animations relatives au thème et d’aiguiser votre sens de l’observation.

Etape 4 : un enchaînement d’exercices vous sera proposé pour vous permettre de tester, réinvestir et renforcer vos acquis.


Le schéma suivant résume cette progression.

LECTURES

COMPLEMENTS DE COURS

VISITE DE SITES

EVALUATION FORMATIVE


Cette évaluation formative comprend des compléments de cours à lire avant de faire les exercices. Chaque exercice représente 1% des points

Compléments de cours 1

Aimantation et courant moléculaire – Champ magnétique créé par un dipôle magnétique

Dipôle magnétique dans un champ magnétique

1-1 : Courant moléculaire

Diverses substances placées dans un champ magnétique deviennent elle mêmes sources de champ magnétique. On dit qu’elles s’aimantent. Cette aimantation est liée à l’existence de courants électriques microscopiques qui circulent à l’intérieur des atomes.

En effet, chaque atome possède des électrons qui, dans le modèle classique, gravitent autour de son noyau. Ces électrons, dans leur mouvement, représentent des petites boucles de courants électriques que l’on appelle courants moléculaires et produisent leur propre champ magnétique.


Un courant moléculaire, qui est un courant fermé, possède un moment magnétique

m→

tel que m→

= i S n→

où i est l’intensité du courant, S la surface balayée par le

courant et n→

un vecteur unitaire normal à cette surface. Le sens de n→

est donné par la règle du tire-bouchon.

Un courant moléculaire constitue un dipôle magnétique

1-2 : Champ magnétique créé par un dipôle magnétique.

Supposons que, dans son mouvement autour du noyau, un électron suit une orbite circulaire (modèle classique). Désignons par O le centre de cette orbite et par a son rayon. Déterminons le champ magnétique créé au point O par le courant mo-léculaire ainsi constitué. Pour ce faire, on placera l’orbite circulaire dans le plan x o y d’un repère O x y z comme l’illustre la figure ci-dessous.

Champ magnétique au point O

ϕ→

0 est un vecteur unitaire tangent à l’orbite circulaire. Un élément de longueur d l→

de la trajectoire peut s’écrire :

d l→

= (a dϕ) ϕ→

0 , a étant le rayon.

L’élément de courant I d l→

crée au point O un champ d B→

tel que :

d B→

= -μ0

4πI d l

→

∧ r→

0

a2 (1) (Remarquons que dans cette expression r→

0 est dirigé de O vers M et non de M vers O, d’où le signe (-) ).


Nous avons : Id l→

∧ r→

0 = ( I a dϕ )(ϕ→

0 ∧ r→

0 )

Or ϕ→

0 ∧ r→

0 = - k→

, k→

étant le vecteur unitaire porté par oz. En effet les vecteurs

unitaires r→

0 et ϕ→

0 s’écrivent :

r→

0 = (cos ϕ) i→

+ (sin ϕ) j→

ϕ→

0 = (-sin ϕ) i→

+ (cos ϕ) j→

i→

et j→

sont les vecteurs unitaires sur Ox et Oy

⇒ϕ→

0 ∧ r→

0 = -( i→

∧ j→

) = - k→

La relation (1) s’écrit maintenant :

d B→

=μ0 I a dϕ

4π a2 k→

En intégrant cette dernière expression, on obtient le champ total au point O :

B→

=μ0 I

4π adϕ k

→

=0

2π

∫μ0 I

4π a2π k

→

=μ0 I2 a

k→

(2)

Si on fait intervenir le moment dipolaire m→

, on aura :

m→

= I S→

= (I π a2 )k→

car m→

est ici dans la direction de k→

.

⇒ I k→

==m→

π a2 (3)

Les expressions (2) et (3) donnent :

B→

=μ0

2 am→

π a2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⇒ B→

=μ0

2 π a3 m→

.

Il s’ensuit que B→

et m→

ont la même direction et le même sens.


1-3 : Dipôle dans un champ magnétique B→

ex

* Lorsqu’un dipôle magnétique de moment m→

est placé dans un champ magnétique

uniforme B→

ex , il subit un couple de moment Γ

→

donné par :

Γ→

= m→

∧ B→

ex.

Remarque : Cette expression est tout à fait analogue à celle qui donne le moment

du couple appliqué à un dipôle électrique placé dans un champ électrique (Γ→

=

P→

∧ E→

)

Ce couple tend à faire tourner le dipôle.

* Cette interaction « Champ - dipôle » est décrite par l’énergie potentielle :

U = - m→

∧ B→

ex

U est minimale B→

ex // m

→

U est maximale si B→

ex et m

→

sont antiparallèles.

La position la plus stable correspond à m→

// B→

ex


1-4 : Aimantation et courant moléculaire

Dans une substance non aimantée, i.e en l’absence d’un champ extérieur B→

ex, les

courants moléculaires ou dipôles magnétiques sont orientés de façon désordonnée et le champ résultant qu’ils produisent est nul.

Lorsqu’une substance prend une certaine aimantation, ses courants moléculaires deviennent partiellement ou totalement ordonnés et le champ résultant n’est plus nul.

La figure ci-dessous décrit ce modèle de courants moléculaires dans un matériau uniformément aimanté.

Remarquons que les courants des portions de circuits adjacents sont opposés et s’annulent.

Le courant en tout point à l’intérieur de la substance est alors nul et il reste un courant de surface équivalent. Ce courant de surface est appelé « courant am-périen ».


Un courant de surface équivalent apparaît donc dans une substance aimantée.

Ce courant de surface crée un champ induit B→

ind qui s’ajoute vectoriellement au

champ magnétisant B→

ex.

On peut remarquer ici l’analogie aux charges de surface liées dans les diélec-triques polarisés. La différence réside dans le fait que le champ électrique dû aux charges de polarisation s’oppose (en sens) au champ créé par les charges excitatrices libres.


Compléments de cours 2

Relation entre le vecteur B→

, le vecteur intensité magnétique H→

et le vecteur aiman-

tation M→

- Loi d’Ampère pour un milieu aimanté - Susceptibilité magnétique.

Rappelons que lorsqu’un matériau est aimanté, un courant de surface apparaît. Ce

courant induit un champ B→

ind qui s’ajoute au champ magnétisant, appelé aussi

champ excitateur. Le champ total dans le matériau est alors :

B→

= B→

ex + B

→

ind

Considérons un solénoïde long comportant n spires par unité de longueur et parcouru par un courant I

C. Enroulons les spires de ce solénoïde sur un matériau

magnétique en forme de tige cylindrique de section S et Déterminons l’aimantation d’une longueur l de la tige et le champ total dans ce système.

En l’absence du matériau, le champ à l’intérieur du solénoïde et éloigné de ses extrémités est uniforme et parallèle à l’axe du solénoïde. Ce champ est :

B0 = µ

0 n I

C

où n IC est le courant par unité de longueur avec I

C le courant qui parcourt chaque

spire.

Lorsque le matériau est inséré, il est aimanté et un courant de surface I apparaît

et crée un champ B→

ind.

Prenons une portion de longueur l de la tige cylindrique.

Son volume et son moment magnétique sont respectivement V = S l et m = I S, S étant sa section.

L’aimantation M (le moment magnétique par unité de volume) à de la tige est alors :

M = mV

=I Sl S

=Il

Remarque : L’aimantation s’exprime donc en Am-1.

On constate que l’aimantation M est égale au courant de surface par unité de longueur.

M et n IC jouent le même rôle : courant par unité de longueur. Il s’ensuit que le

champ Bind

qui résulte de cette aimantation prend une expression analogue à B0

= µ0 n I

C.


On a :

Bind

= µ0 M

Le champ total dans le système est alors :

B = B0 + B

ind si le matériau est paramagnétique

B = B0 - B

ind si le matériau est diamagnétique

Si la tige est paramagnétique, le courant de surface I et le courant excitateur IC ont

le même sens. Dans ce cas B→

0 et B

→

ind sont orientés dans le même sens et on a B

= B0 + B

ind

Si la tige est diamagnétique, I et IC sont le sens opposés de même que B

→

0 et B

→

ind et on obtient B = B

0 - B

ind

En notation vectorielle, on aura :

B→

0 est ici le champ excitateur

2-1 : Relation entre le vecteur B→

l’intensité magnétique H→


On définit l’intensité magnétique

* H→

= B→

μ0

- M→

Les trois vecteurs, H→

, B→

et M→

sont liés par cette relation. L’intensité magnétique s’exprime en Am-1.On peut retrouver cette relation à partir de la loi d’Ampère pour un milieu aimanté.

Rappel de la loi d’Ampère

La loi d’Ampère exprime que la circulation de B→

le long d’une courbe fermée (C) est égale à la somme algébrique des courants enlacés par (C) multipliée par µ

0.

C = µ0Σ I


I2

I3

I1

(C)

ldr

Σ I = I1 – I

2 + I

3

Cette loi permet de calculer le champ B→

produit par les courants I. En appliquant le théorème de Stokes, on obtient :

C =

(∇→

∧ B→

).dS→

(S)∫

(S) est une surface ouverte limitée par (C).

En posant ∑ I = J→

.dS→

S∫ , J→

étant la densité de courant, on aura :

(∇→

∧ B→

).dS→

( S )∫ = µ0 J

→

.dS→

S∫

De là, on tire :

∇→

∧ B→

= μ0 J→

(1)C’est la loi d’Ampère sous forme différentielle.

2-2 : Loi d’Ampère et milieu aimanté

Le champ induit B→

ind. qui apparaît dans un milieu aimanté est produit par un courant

équivalent (courant ampérien) d densité J→

a défini par :

J→

a = ∇→

∧ M→

(2)


On peut comprendre l’expression (2) en

appliquant la relation (1) à B→

ind :

∇→

∧ B→

ind . = µ0 J→

a

Mais B→

ind . = µ0 M→

⇒ ∇→

∧ (µ0 M→

) = µ0 J→

a

⇒ ∇→

∧ M→

= J→

a

Dans un milieu aimanté, le champ B→

est dû essentiellement :

- au courant excitateur de densité j→

ex

- au courant équivalent de densité J→

a

La loi d’ampère s’écrit donc :

∇→

∧ B→

= µ0 j→

= µ0 ( j

→

ex + j→

a )

En développant cette relation, on obtient :

∇→

∧ B→

= µ0 j→

ex+ µ

0 j→

a = µ0 j→

ex + µ

0 (∇

→

∧ M→

)

⇒ ∇→

∧ ( B→

- µ0 M

→) = µ

0 j→

ex

⇒ ∇→

∧ (B→

μ0

- M→

) = j→

ex

On définit : H→

= B→

μ0

- M→

La loi d’Ampère devient

∇→

∧ H→

= j→

ex


2-3 : Susceptibilité magnétique

Dans les matériaux magnétiques isotropes et linéaires, l’aimantation M→

et l’intensité

magnétique H→

sont proportionnelles.

M→

= Xm H→

Xm est appelé susceptibilité magnétique.

La susceptibilité magnétique est positive pour les substances paramagnétiques et négative pour les substances diamagnétiques.

Pour les diamagnétiques donc, le vecteur aimantation est opposé au vecteur in-tensité magnétique.

Remarque :

Xm est un nombre

Le tableau ci-dessous donne les valeurs des susceptibilités de quelques matériaux à 20°C.

Matériau Xm

Aluminium 2.3 x 10-5

Bismuth -1,66 x 10-5

Cuivre -0,98 x 10-5

Magnésium 1,2 x 10-5

Sodium -0,24 x 10-5

Perméabilité

Reprenons H→

=B→

μ0

− M→

et M→

= Xm H→

On en déduit que :

B→

= µ0 ( H

→

+ M→

) = µ0 ( H

→

+ Xm H

→) = µ

0 (1 + X

m) H

→

Posons µ = µ0 (1+ X

m) d’où B

→

= µ H→

µ est la perméabilité du matériau. On peut aussi écrire :


µ = µ0 µ

r avec µ

r = (

1 + X

m)

µr est appelé perméabilité relative

Dans le vide ou dans un matériau non magnétique, on a :

Xm = 0 ⇒ μr =

μ

μ0

= 1

•Pour les matériaux paramagnétiques

Xm > 0 ⇒ µ

r > 1

•Pour les matériaux diamagnétiques

Xm < 0 ⇒ µ

r < 1

•Pour les matériaux ferromagnétiques :

M→

n’est plus proportionnel à H→

B→

n’est plus proportionnel à H→

On a un phénomène d’hystérésis

[Voir phénomène d’hystérésis dans « lectures appropriées »]


Exercices

Exercice 1

Un solénoïde long, sans noyau de fer, comporte 12 spires par cm. Il est parcouru par un courant d’intensité I = 0,50A.

1- Déterminer l’intensité magnétique H et le champ B au centre du solé-noïde.

2- Lorsqu’on introduit dans le solénoïde un noyau de fer, le champ B prend la valeur 1,36 T.

- calculer de nouveau l’intensité magnétique H - trouver l’aimantation M, la perméabilité et la perméabilité relative du noyau.

Exercice 2

Un tore de fer, de circonférence moyenne égale à 0,5m, de perméabilité relative µr =

5000 a un enroulement de 500 spires parcouru par le courant I = 0,15A. Déterminer l’aimantation M et le moment magnétique moyen par atome de fer.

On donne :

- la densité du fer ρ =7850 kg/ m3

- la masse molaire Mmol

= 55,8 x 10-3kg/ mol

- le nombre d’Avogadro NA = 6,02 x 1023 atomes/ mol

Exercice 3

Soit une bobine toroïdale de circonférence moyenne l = 0,8m, comportant N = 1200 spires et parcouru par un courant d’intensité I = 1,5A

1- Calculer B et H en admettant que le noyau est vide.

2- On suppose maintenant que la bobine est enroulée sur un noyau de bismuth de susceptibilité magnétique X

m = -1,66 10-5

- Calculer la perméabilité de ce matériau et comparer avec la perméabilité pour l’espace vide.

- Calculer de nouveau B et H. Conclure

3- On remplace le bismuth par le magnésium de susceptibilité Xm = 1,2 10-5.

Répondre de nouveau à la question 2.

On prendra π = 3,1415926


Exercice 4

Un barreau aimanté a un champ coercitif de 4 x 103 Am-1. On l’insère dans un solénoïde de longueur 12cm et qui comporte 60 spires. Quel doit être le courant qui parcourt le solénoïde pour démagnétiser ce barreau.

Exercice 5

Le tableau ci-dessous donne la susceptibilité magnétique de l’alun d’ammonium de fer en fonction de la température.

T, ° C Xm

- 258,15

- 173

- 73

27

129 x 10-4

19,4 x 10-4

9,7 x 10-4

6,5 x 10-4

Tracer 1

Xm

en fonction de la température exprimée en degré Kelvin. La loi de Curie

est-elle vérifiée ? Si oui, déterminer la constante de Curie.

Exercice 6

En admettant que le moment de dipôle magnétique de chaque atome de fer est de un magnéton de Bohr, déterminer l’aimantation maximale et le champ magnétique qui en résulte.

On donne :

- la densité du fer ρ = 7850 kg/m3

- la masse molaire Mmol

= 55,8 10-3kg/mol

- le nombre d’Avogadro NA = 6,02 x 1023 atomes /mol

- un magnéton de Bohr µB = 9,27 x 10-24 Am2


Exercice 7

Selon le modèle classique, un électron dans un atome suit une orbite circulaire autour du noyau.

1- Calculer le moment magnétique associé à ce mouvement si son moment cinétique orbital est égal à 1,05 x 10-34 Js.

2- Un électron a un moment magnétique intrinsèque de 0,928 x 10-23A.m2. On le

place dans un champ magnétique B→

de grandeur 1,2T. Calculer la différence d’énergie magnétique potentielle ∆U entre les deux orientations suivantes

du spin : parallèle à B→

et antiparallèle à B→

.

3- Quelle soit être la température absolue pour que ∆U = 12

kT.

On donne la constante de Boltzmann k = 1,38 10-23 J/K.

Exercice 8

Considérer un électron dans un atome qui suit une orbite circulaire autour du

noyau en présence d’un champ B→

uniforme et perpendiculaire au plan de l’or-bite. Supposer que la force électrique qui s’exerce sur cet électron est N fois plus grande que la force magnétique. Déterminer les deux vitesses angulaires possibles de l’électron. Application numérique : N = 100 et B = 0,427 T.

Exercice 9

Le magnéton de Bohr est µB =

e2m

e

h2π

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

h étant la constante de Planck : h = 6,63x 10-34 J.s ; me est la masse de l’électron

1- Calculer µB

2- Montrer que µB peut aussi être exprimé en

JT



- Lire les compléments de cours- échanger par chat sous la supervision d’un tuteur pour s’approprier le contenu

des compléments de cours- ensuite faire les exercices- s’organiser pour un travail collaboratif : les apprenant(e)s sont réparti(e)s en

groupe sous la supervision d’un tuteur.- Chaque groupe choisit un rapporteur.- le tuteur organise le travail en indiquant l’ordre de résolution des exercices et

la durée de recherche de solution pour chaque exercice- les rapporteurs déposent les solutions des exercices dans un espace de travail

réservé aux apprenant(e)s.

Réponses clés

Solution de l’exercice 1:

1- Calcul de H et B

Rappelons que H→

=B→

μ0

− M→

⇒ B→

= μ0 H→

+ μ0 M→

En l’absence du noyau de fer (i.e. dans le vide): M→

= O→

⇒ B→

= μ0 H→

B→

et H→

sont parallèles à l’axe du solénoïde. Désignons par B0 le champ B en l’ab-

sence du noyau de fer. On a en un point éloigné des extrémités du solénoïde :

B0 = µ

0 n I et H = n I

A.N.: µ0 = 4 π x 10-7

TmA ; I = 0,50A ; n = 1200 m-1

• B0 = (4 π x 10-7) (1200) (0,50)

B0 = 7,54 10-4 T

• H = (1200) (0,50) H = 600 Am-1


Intensité magnétique H

L’intensité magnétique ne change pas :H = n I = 600 Am-1

Perméabilité du noyau

En présence du noyau de fer on a :

B = µ H ⇒ µ = BH A.N. : B = 1,36 T ; H = 600 Am-1

µ = 1,36600

µ= 0,00226 TmA

Perméabilité relative du noyau

En l’absence du noyau de fer : B0 = µ

0 H

En présence du noyau de fer : B = µ H

On en déduit :

BB0

=μ

μ0

= µr

A.N. : B = 1,36 T ; B0 = 7,54 10-4 T

µr =

1,367,54 x 10−4

µr = 1800

ou

A.N. : µ = 0,00226TmA

; µ0 = 4π x 10-7

TmA

μr =μ

μ0

=0,00226

4 π x 10-7

µr = 1800


Aimantation

Prenons B = µ0H + µ

0 M

Mais µ0 H = B

0 ⇒ B = B

0 + µ

0M

Il s’ensuit que :

M = B-B0

μ0

A. N. : B = 1,36T ; B0 = 7,54 10-4 T ; µ

0 = 4π x 10-7

TmA

M = 1,36 - 7,54 x 10-4

4 π x 10-7

M = 1,08 x 106 A m-1


Aimantation

Partons de la relation :B = µ

0H + µ

0 M

⇒ B = B0 + µ

0M (1) avec B

0 = µ

0H

B0 est le champ en l’absence du noyau de fer.

On déduit de la relation (1) :

M = B-B0

μ0

a) Calculons d’abord B0 et B

* B0 = µ

0H = µ

0 n I avec n =

Nl

le nombre de spires par unité de longueur, N et l étant respectivement le nombre total de spires et l la circonférence moyenne du tore.

* B = µH = µ n I = µ0 µ

r n I = µ

r B

0

µr est la perméabilité relative

A.N. : N = 500 ; l = 0,5m ; µr = 5000 ; I = 0,15 A ; µ

0 = 4π x 10-7

TmA


⇒B0 = (4π x 10-7) (

5000,5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(0,15) B

0 = 1,88 10-4 T

⇒B = (5000) (1,88 x 10-4) B = 9,42 x 10-1 T

b) Calculons maintenant M

M = B-B0

μ0

= 9,42 x 10-1 - (1,88)(10-4 )

4 π x 10-7

M = 7,5 x 105 Am-1

Moment magnétique moyen par atome

M est le moment magnétique par unité de volume. Le moment magnétique moyen par atome est alors :

m =Mna

, na étant le nombre d’atomes de fer par unité de volume.

c) Calculons na

On a na = (N

A) (ρ/ Mmol)

ρ est la densité du fer, Mmol sa masse molaire et NA le nombre d’Avogadro.

A.N.: NA = 6,02 x 1023 atomes / mol; Mmol = 55,8 x 10-3 Kg/mol; ρ = 7850 kg/m3

na = (6,02 x 1023)

785055,8

na = 8,47 1028 atomes /m3

d) calculons maintenant le moment magnétique moyen par atome m

m = Mna

avec M = 7,5 105 Am-1 et na = 8,47 1028 atomes / m3

m = 8,85 10-24 A.m2



1) B et H correspondant à l’espace vide

B0 = µ

0 n I avec n =

NlH = n I

A.N.: µ0 = 4π10-7

TmA ; N = 1200 ; l = 0,8m ; I = 1,5A

* B0 = 4(3, 1415926)10-7

12000,8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(1,5) B

0 = 2,827433 x 10-3 T

* H = 12000,8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(1,5) ⇒ H = 2250 Am-1

2) Perméabilité du bismuth

µ = µ0µ

r, µ

r étant la perméabilité relative.

Mais µr = (1 + X

m) ⇒µ= µ

0(1 + X

m)

A.N.: µ0 = 4π10-7

TmA ; Xm = -1, 66 x 10-5

µ = 4(3, 1415926) 10-7 (1-1, 66 x 10-5)

µ = 1,256616 x 10-6 TmA

Pour l’espace vide on a :

µ0 = 4(3,1415926) 10-7

TmA

µ0 = 1,256637 x 10-6

TmA

Le bismuth est un matériau diamagnétique (Xm < 0) : µ est légèrement inférieur

à µ0.


B et H

H est toujours égal à n I

H = 2250 Am-1 (sa valeur n’a pas changé)

B = µ H

B = (1,256616 x 10-6TmA ) (2250

Am

)

B = 2,827386 10-3 T

B est légèrement inférieur à B0

3) Perméabilité du magnésium

µ = µ0 (1 + X

m) avec X

m = 1,2 10-5

µ = (4 (3,1415926)10-7 TmA

(1+ 1,210-5)

µ = 1,256652 x 10-6 TmA

Le magnésium est paramagnétique (Xm > 0) : µ est légèrement supérieur à µ

0

B et H

* H est toujours égal à 2250 Am-1

* B = µ H

B = (1,256652 x 10-6TmA ) (2250

Am

)

B = 2,827467 T

B est légèrement supérieur à B0.



Le champ coercitif est le champ qu’il faut pour démagnétiser le barreau. Le cou-rant qui parcourt le solénoïde doit être tel qu’il produise une intensité magnétique égale à cette valeur.

Hcœrcitif

= n I, n étant le nombre de spires du solénoïde par unité de longueur.

On a alors :

I = Hcoercitif

n=

Hcoercitif

Nl

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N est le nombre de spires et l la longueur du solénoïde.

A.N.: Hcoercitif

= 4 x 103 Am-1; N = 60; l = 0,12m

I = 4 x 103 x 0,12

60

I = 8 A


On a le tableau de valeurs ci-dessous :

T ; K 1Xm

15

100,15

200,15

300,15

77,52

515,46

1030,93

1538,46

(O°C = 273,15 K)


1

Xm

= f (T) (voir graphique ci-dessous) est une droite passant par l’origine.

Prenons la loi de Curie pour les paramagnétiques. Cette loi dit que :

M = A BT

où A est une constante. Une augmentation de B tend à accroître l’aligne

ment des dipôles magnétiques du matériau paramagnétique. Une augmentation de la température T provoque une plus grande opposition à cet alignement.

Cette loi peut aussi s’écrire :

Xm =

CT

où C est appelée constante de Curie.

Xm =

CT

⇒ 1

Xm

= TC

Cette dernière relation montre que 1

Xm

est proportionnel à T. Si l’on trace 1

Xm

en fonction de la température T on doit obtenir une droite passant par l’origine et

dont la pente est 1C

La pente obtenue avec la droite expérimentale est :


1C

= 1538,46 - 515,46

(300,15 −100,15)K= 5,115 K-1

⇒C = 1

5,115K

C = 0,195 K


Aimantation maximale

La valeur maximale Ms de l’aimantation est obtenue lorsque tous les dipôles ma-

gnétiques s’alignent. Dans ce cas on a :

Ms = n m

où n est le nombre d’atomes par unité de volume et m le moment magnétique de chaque atome.

•Calculons n :

On a :

n = NA ρ/Mmol

ρ est la densité du fer, Mmol sa masse molaire et NA le nombre d’Avogadro.

A.N.: ρ = 7850kg/m3;Mmol = 55,8 10-3kg/mol; NA = 6,02 x 1023 atomes / mol

n = (6, 02 x 1023) 7850

55,8x10−3

n = 8, 47 1028 atomes /m3

•Connaissant n, on peut maintenant calculer Ms

Ms = n m

A.N. : n = 8,47 1028 atomes/m3 ; m = µB= 9,27 x 10-24 Am2

Ms = (8,47 1028) (9,27 x 10-24)

Ms = 7,85 x 105 Am-1


Champ magnétique

Le champ magnétique qui en résulte est :

B = µ0M

s

A.N.: µ0 = 4 π x 10-7

TmA

B = (4π x 10-7) (7, 85 x 105)

B = 0,986 T


1- Moment magnétique

Supposons que l’électron suit une orbite circulaire de rayon r avec la vitesse v. le moment magnétique associé à ce mouvement est :

ml = I S (1) avec S = π r2 et I =

eT

où T est la période de révolution.

On a : vT = 2πr ⇒ 1T

=v

2 π r⇒ I = e

T =

ev2 π r


ml = I S =

ev2 π r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(π r2 ) ⇒ ml =e2

vr

⇒ ml =

e2 m

(mvr)

A.N. : e = 1,6 10-19 C ; m = 9,11 x 10-31 kg ; mvr = 1,05 x 10-34 J.s

ml =

1,6 x 10-19

2(9,11 x 10-31 )(1,05 x 10−34 )

ml = 9,22 10-24 Am2


2- Différence d’énergie potentielle

Soit m→

s le moment magnétique intrinsèque. Lorsque m→

s et B→

sont parallèles, l’énergie potentielle est :

U1 = - m

→

s . B→

= - ms B

Lorsque m→

s et B→

sont antiparallèles, cette énergie est :

U2 = - m

→

s . B→

= ms B

Il s’ensuit que :

∆U = U2 – U

1 = 2m

s B

A.N. : ms = 0,928 x 10-23A.m2 ; B = 1,2 T

∆U = 2 (0,928 x 10-23) (1,2)

∆U = 2,23 10-23 J.

3- Température à laquelle ∆U = 12

kT

∆U = 12

kT ⇒ T = 2∆U

k

A.N. : k = 1,38 10-23 JK

T = 2(2,23 x 10-23 )

1, 3810−23

T = 3,23 K



Considérons les deux possibilités, c’est-à-dire, l’électron qui tourne dans le sens horaire et dans le sens antihoraire.

Supposons que B→

est dirigé comme l’indique la figure

On a ici :

FE ± F

B = m ω2r avec r le rayon de la trajectoire et ω la vitesse angulaire.

D’après l’hypothèse : FE = NF

B ⇒ (N ± 1) F

B = mω2r = m

v2

rMais F

B = e v B, d’où:

(N ± 1) e v B = m v2

r

⇒ v = (N ± 1) e B r

m

ω = (N ± 1) e B m

A.N. : B = 0,427 T ; N = 100 ; e = 1,6 10-19 C ; m = 9,11 10-31kg

* ω1 = (100- 1) (

(1,6 10-19 )(0,427)9,11x10-31

ω1 = 7,42 1012 rads-1

* ω2 = (100+ 1) (

(1,6 10-19 )(0,427)9,11x10-31

ω2 = 7,57 1012 rads-1



1) µB =

e2me

h2π

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

•h

2π=

6,63x 10-34 J.s2π

= 1,056 x10-34 J.s

• e = 1, 6x10-19 C ; me = 9,11 x10-31kg

• µB =

(1,6x 10-19 C)2 (9,11 x 10-31 kg)

x (1,056 x10-34 J.s)

µB = 9, 27 x10-24

C J skg

TransformonsC J skg

. On a :

C = As

J = Nm = (kg m s-2) (m) = kg m2 s-2

D’où C J skg

=(A s)(kg m2s-2 )(s)

kg = Am2

On voit que le moment magnétique s’exprime bien en Am2 (voir m = I S)

µB = 9,27 x10-24 Am2

2) Le magnéton de Bohr peut aussi s’exprimer en JT

. On a vu que :

J = kg m2 s-2 (1)

Transformons le Tesla. Pour ce faire, partons de F = q v B (force qui s’exerce sur une particule qui se déplace avec une vitesse v dans un champ B).

⇒ B = Fqv

Dans le système international B est en Tesla, F en Newton, q en Coulomb et v en mètre par seconde. On a alors :


T = N

Cms-1

N = (kgms-2) ⇒T= (kg m s-2 )(A s) m s-1 =

kgA s2 (2)

C = (As)

(1) et (2) donnent

JT=

kg m2s-2

kg/A s2 : = Am2

On a donc aussi µB = 9,27x 10-24

JT

Visite de sites

Vous trouverez dans les adresses qui suivent des informations qui renforcent et com-plètent ce que vous avez appris au cours de cette activité.


Ce site donne quelques rappels sur le magnétisme


Le présent lien développe quelques rappels des notions de base des propriétés ma-gnétiques de la matière. Il rappelle en particulier :

• les grandeurs magnétiques fondamentales B, H et M• le paramagnétisme, le diamagnétisme et le ferromagnétisme• le phénomène d’hystérésis

http://semainescience.u-strasbg.fr/magnetisme/fondement.htmlCe site traite les fondements théoriques du magnétismehttp://www.grasp.ulg.ac.be/cours/2cm/elec5.pdfC’est un document sur les milieux magnétiques. Il décrit la magnétisation (ou aiman-

tation), la susceptibilité magnétique et la relation qui lie les vecteurs B→

, H→

et M→

.http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/weisli_j.htmlUne animation des domaines de Weiss est proposée ici. On peut visualiser le dépla-cement des parois de ces domaines. Les cas de déplacement réversible et irréversible sont considérés.http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/praimh.htmlLa courbe de première aimantation, l’aimantation rémanente et le champ coercitif sont abordés ici.


Résumé

Ce qu’il faut retenir

Les trois vecteurs B→

, H→

et M→

• Les phénomènes magnétiques dans l’espace vide peuvent être décrits à l’aide

d’un seul vecteur : le vecteur B→

• Pour décrire les phénomènes magnétiques dans un milieu matériel, on intro-duit deux autres vecteurs : l’intensité magnétique (ou l’excitation magnétique)

H→


. Les vecteurs B→

, H→

et M→

sont liés par la relation :

H→

=B→

μ0

− M→

⇒ B→

= μ0 H→

+ μ0 M→

B→

comporte deux contributions :

- une contribution H→

indépendante des propriétés microscopique du milieu

- une contribution M→

qui dépend des propriétés microscopiques du milieu

Dans le système international, H→

et M→

sont exprimés en A/m ou J/Tm3.

La susceptibilité magnétique et les perméabilités

• Pour un milieu isotrope et linéaire

• M→

= Xm H

→ ; X

m est appelé « susceptibilité magnétique »

C’est une grandeu sans dimension.

• B→

= μ0 H→

+ μ0 M→

= μ0 H→

(1+ Xm) = μH

→

avec μ = μ0 (1+Xm) = μr

est appelé « perméabilité relative ». C’est aussi une grandeur sans dimension.


Courants moléculaires

Les courants moléculaires sont des courants électriques microscopiques qui existent dans toutes les substances. Ils ont une double origine liée au mouvement des élec-trons dans les atomes constitutifs de ces atomes : le mouvement orbital des électrons et la rotation des électrons sur eux-mêmes. Ces boucles de courant constituent de petits dipôles magnétiques et possèdent des moments magnétiques.

Paramagnétisme, diamagnétisme et ferromagnétisme

Il existe trois classes de substances magnétiques : les paramagnétiques, les diama-gnétiques et les ferromagnétiques.

Les paramagnétiques sont constitués d’atomes qui possèdent des moments magné-tiques permanents. En l’absence de champ magnétique, ces moments magnétiques élémentaires sont orientés au hasard et leur résultante est nulle. Par contre, pla-cés dans un champ magnétique excitateur, ils tendent à s’aligner avec le champ. L’agitation thermique tend à détruire cet alignement et d’autant plus fortement que la température est élevée. Les paramagnétiques sont aussi caractérisés par une susceptibilité magnétique positive.

Les atomes constitutifs d’un diamagnétique n’ont pas de moment magnétique propre. Quand on leur applique un champ magnétique, des moments magnétiques opposés à ce champ sont induits sur ces atomes. La susceptibilité magnétique des diamagnétiques est négative.

Le champ B→

produit par un courant est modifié par la présence d’un matériau magnétique. Habituellement cette variation est faible. Une légère augmentation

de B→

apparaît dans un paramagnétique et une légère diminution dans le cas d’un diamagnétique. Par contre, dans les substances ferromagnétiques, i.e. dans les substances susceptibles de prendre de fortes aimantations, il se produit une forte

augmentation de B→

. Un ferromagnétique est aussi constitué d’atomes ayant de mo-ments magnétiques permanents. Il contient un grand nombre de domaines aimantés appelés domaines magnétiques ou domaines de Weiss. La forme de ces domaines est modifiée en présence d’un magnétique extérieur. Autoévaluation



Le Professeur corrigera les productions des groupes. Il/Elle déposera la correc-tion dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction sera accompagnée d’un feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de l’évaluation finale du module.




Polarisation- Vecteur de poynting d’énergie

Pression de radiation

Temps d’apprentissage



Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.


L’apprenant(e) doit être capable de(d’) :

• Étudier l’évolution d’une onde électromagnétique• Déterminer l’état de polarisation d’une onde électreomagnétique• Déterminer le vecteur de Poynting associé à une onde électromagnétique

plane• Déterminer la densité d’énergie associée à une onde électromagnétique• Déterminer l’intensité d’une onde électromagnétique

• Déterminer la pression de radiation d’une onde électromagnétique


Cette activité se consacre sur l’étude des quatre équations fondamentales qui sous tendent l’électromagnétisme. Elle met aussi l’accent sur la polarisation d’une onde électromagnétique et l’énergie qu’elle transporte lors de cette propagation. Vous apprendrez à :

- dégager les caractéristiques d’une onde plane en particulier la relation qui lie le champ électrique, le champ magnétique et le vecteur de propagation associés à cette onde

- analyser l’état de polarisation d’une onde électromagnétique- examiner le vecteur de Poynting et sa relation avec l’énergie transportée par

une onde



RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Les équations de Maxwell ; Les ondes élec-tromagnétiques. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.



FRANCIS, W. S., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1987). University Physics. Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, USA.

FRANCIS, W. S., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG, H. D. (1974). College Physics. Fourth Edition. Addison-Wesley Publishing Company, USA.








Liens utiles

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/oem1.htmlhttp://www.walter-fendt.de/ph11f/emwave_f.htmhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/2pcirc_

j.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/polond_

j.html


Descriptions de l’activité

Votre itinéraire dans cette activité d’apprentissage comprend trois étapes :

Étape 1 : des lectures sur les thèmes à étudier vous sont proposées

Étape 2 : dans cette phase, vous aurez à résoudre une série d’exercices pour vous aider à évaluer vos acquis

Étape 3 : vous êtes ensuite guidé vers des sites qui traitent les thèmes de votre étude et qui vous permettent de visualiser quelques animations


Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les exercices en travail collaboratif. La note du groupe est commune aux différents membres du groupe. Chaque exercice compte pour 10% des points

Exercices

Exercice 1

On considère les ondes suivantes :

E→

1 = i→

E sin(kz-ω t)+ j→

E cos(kz-ω t)

E→

2 = i→

E cos(kz-ω t)+ j→

E cos(kz-ω t+π4

)

E→

3 = i→

E sin(kz-ω t)- j→

E sin(kz-ω t)

a) Etudier les évolutions de E→

1(0,t) , E→

2 (0,t) et E→

3(0,t) au cours du temps

b) Déterminer les états de polarisation de E→

1 , de E→

2 et de E→

3

Exercice 2

Soit une onde électromagnétique dont le champ électrique est défini par :

E→

(z,t) = E0

i→

cos(kz-ω t) - j→

sin(kz-ω t)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥


Déterminer le vecteur de Poynting P→

et la densité d’énergie U associés à cette onde.

On donne a→

∧ ( b→

∧ c→

) = ( a→

⋅ c→

) b→

- ( a→

⋅ b→

) c→

.

Exercice 3

Soit, en notation complexe, un champ électrique E→

= e→

x j ω A0 e j ( k z - ω t ) et un

champ magnétique B→

= e→

y j k A0 e j ( k z - ω t ) , ex

→

et e→

y étant respectivement les

vecteurs unitaires suivant l’axe des x et l’axe des y. Vérifier que E→

et B→

représentent respectivement le champ électrique et le champ magnétique d’une onde électroma-gnétique plane dont l’axe de propagation et la polarisation sont à préciser

Exercice 4

Rappeler la signification de chacune des équations de Maxwell.

Exercice 5

Cocher la bonne réponse.

Soit E→

= Ex ( z , t ) i

→

le champ électrique d’une onde électromagnétique plane. Il est :

q polarisé suivant l’axe x

q polarisé suivant l’axe y

q polarisé suivant l’axe z

Exercice 6

Cocher la bonne réponse

Soit E→

= Ex ( z , t ) i

→

le champ électrique d’une onde électromagnétique plane. Le champ magnétique associé à cette onde est :

q B→

= Bx ( z , t ) i

→


q B→

= By ( z , t ) j

→

q B→

= Bz ( z , t ) k

→

Exercice 7

Cocher les bonnes réponses

1 - Les équations de Maxwell ne s’appliquent qu’aux champs électriques et magné-tiques qui ne varient pas au cours du temps.

q vraiq Faux

2 - Les ondes électromagnétiques sont des ondes longitudinales.

q vrai

q Faux

3 - Les densités d’énergie emmagasinée dans le champ électrique et dans le champ magnétique d’une onde électromagnétique sont égales.

q vrai

q Faux

Exercice 8

Soit une onde électromagnétique décrite par E→

= E→

0 cos(kx - ω t) et qui se propage dans le vide. Etablir l’expression de l’intensité de cette onde. Calculer cette intensité

sachant que l’amplitude du champ E→

est 100

Vm

. On donne la permittivité du vide

ε0 = 8,85 x 10- 12 C2 N- 1 m- 2 .

Exercice 9

Une station radio R a une puissance moyenne rayonnante de 50kW.

1- Déterminer l’intensité de l’onde à 50km de la station et sa pression. Pour ce faire, on suppose que le rayonnement est uniforme sur une sphère de centre R.


2 – Déterminer, à cette distance, les amplitudes des champs E→

et B→

associés à cette onde.

Exercice 10

Soit une onde polarisée circulairement dont l’axe de propagation est suivant l’axe

Oz. Cette onde est telle que E→

(0,0) = E

0

2 ( e

→

x + 3 e→

y ) , e→

x et e→

y étant respec-tivement les vecteurs unitaires suivant l’axe x et l’axe y. Trouver son expression

E→

(z,t)



- Les apprenant(e)s doivent lire les lectures appropriées avant de faire les exercices.- Le tuteur les organisera en groupe pour un travail collaboratif. - Ils discutent en chat les différents points qu’ils ou elles n’auraient pas compris

sous la supervision du tuteur.- Quand le tuteur jugera que les apprenants(es) ont un niveau de compréhen-

sion satisfaisant des lectures, alors ils pourront commencer à résoudre les exercices.

- Tous les groupes cherchent le même exercice en même temps sous la super-vision du tuteur qui fixera la durée.

- Chaque groupe cherche en son sein un rapporteur qui mettra les noms de tous les membres du groupe sur le compte rendu de l’exercice avant de l’envoyer

par e-mail en fichier attaché au professeur titulaire du cours.

Réponses clés

Exercice 1

a ) Les évolutions de E→

1(0,t) , E→

2 (0,t) et E→

3(0,t) au cours du temps

Evolution de E→

1(0,t) et polarisation de E→

1

On peut écrire :

E→

1 = i→

E sin(kz-ω t)+ j→

E cos(kz-ω t) = i→

E1x+ j

→

E1y

avec E1x

= E sin(kz-ω t) et E1y

= E cos(kz-ω t)

Pour z = 0, et en remplaçant ω par 2π f , f étant la fréquence de l’onde on a :

E1x(0,t)= - E sinω t=-E sin 2π ft

E

1y(0,t)= E cosω t=E cos 2π ft

Étudions maintenant les évolutions de E1x(0,t) , de

E

1y(0,t) et de E

→

1 (0,t) en fonction du temps et consignons les valeurs dans le tableau ci-dessous. Les axes x et y sont illustrés ci-dessous :


x

y

T

0

E

1x(0,t)

0 −E sin

π4

−E −E sin

3π4

0 −E sin

5π4

E1y

(0,t)

E E cos

π4

0 E cos

3π4

−E E cos

5π4

E→

1 (0,t)

E→

1 tourne dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre et son amplitude est constante. Son extrémité décrit un cercle. Cette onde est donc polarisée circulairement à gauche. On peut le vérifier en prenant :

E

1x2 + E

1y2 = E2 . C’est l’équation d’un cercle de rayon E.

Évolution de E→

2 (0,t) et polarisation de E→

2

E→

2 = i→

E cos(kz-ω t)+ j→

E cos(kz-ω t+π4

) = i→

E2x+ j

→

E2y

avec E2x

= E cos(kz-ω t) et E2y

= E cos(kz-ω t+

π4

)

Pour z = 0, et en remplaçant ω par 2π f , on a :

E2x(0,t)= E cosω t=E cos 2π ft

E

2y(0,t)= E cos(

π4−ω t) = E cos(

π4

- 2π ft)

Les évolutions de E2x(0,t) , de

E

2y(0,t) et de E

→

2 (0,t) en fonction du temps sont décrites dans le tableau ci-dessous :

18 f

28 f

38 f

48 f

58 f


x

y

T 0

E2x

(0,t)

E E cos

π4

0 E cos

3π4

−E

E2y

(0,t) E cos

π4

E E cos

π4

0 E cos

3π4

E→

2 (0,t)

On voit que le vecteur E→

2 tourne mais son module n’est pas constant . l’extrémité

de E→

2 décrit une ellipse : on a ici une polarisation elliptique.

Évolution de E→

3(0,t) et polarisation de E→

3

E→

3 = i→


E sin(kz-ω t) = i→

E3x+ j

→

E3y

avec E3x

= E sin(kz-ω t) et E3y

= -E sin(kz-ω t)

Pour z = 0 , on a :

E3x(0,t) = - E sinω t = - E sin 2π ft

E

3y(0,t) = E sinω t = E sin 2π ft

18 f

28 f

38 f

48 f


x

y

T 0

E

3x(0,t)

0

- E sin

π4

- E - E sin

3π4

E3y

(0,t)

0 E sin

π4

E E sin

3π4

E→

3 = i→


E sin(kz-ω t) (0,t)

Nous avons ici une polarisation rectiligne. On peut le vérifier en écrivant :

E→

3 = i→


E sin(kz-ω t) = ( i→

- j→

) E sin(kz-ω t)

Exercice 2

Vecteur de Poynting

E→

(z,t) = E0

e→

x cos(kz-ω t) - e→

y sin(kz-ω t)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Rappelons l’expression le vecteur de Poynting :

S→

= 1μ

0

(E→

∧ B→

)

18 f

28 f

38 f


Nous avons ici une onde plane qui se propage dans la direction des z. Son vecteur

de propagation k→

s’écrit donc :

k→

= k e→

z

On a alors :

B→

=k→

ω∧ E

→

= kω

(e→

z∧ E→

)

Mais k =

ωc⇒ B

→

= 1c

( e→

z∧ E→

)

Le vecteur de Poynting s’écrit donc :

S→

= 1

μ0 c

(E→

∧ ( e→

z ∧ E→

)

En appliquant la relation a→

∧ ( b→

∧ c→

) = ( a→

⋅ c→

) b→

- ( a→

⋅ b→

) c→

, on obtient

S→

= 1

μ0 c

E→2

e→

z

Mais E→2

= E02 ⇒

S→

= E

02

μ0 c

e→

z

On voit que le vecteur de Poynting a la direction de propagation de l’onde.

Densité d’énergie

La densité d’énergie transportée par une onde électromagnétique est donnée par :

U =

12

ε0 E2 +

12 μ

0

B2


Ici E2 = E

02

Reprenons B→

= 1c

( e→

z∧ E→

)

⇒ B

→

= 1c

e→

z E→

sin( e→

z , E→

)

Ma i s sin ( e

→

z , E→

) = sin π2

d ’où on a

⇒ B

→

= 1c

E→

⇒ B =

Ec

e t

B2 =

1

c2 E2

La densité d’énergie devient donc :

U =

12

ε0 E2 +

12 μ

0

B2 =

(

12

ε0 +

1

2 μ0 c2

) E02

Mais c2 =

1μ

0 ε

0

⇒ 1

c2 = μ

0 ε

0. En remplaçant c

2 on obtient :

U = (

12

ε0 +

μ0 ε

0

2 μ0

) E02 = ε

0 E

02

Exercice 3

Si E→

et B→

sont respectivement le champ électrique et le champ magnétique d’une onde électromagnétique plane, alors ils vérifient la relation :

B→

=1ω

( k→

∧ E→

)

Calculons ( k→

∧ E→

) . Ici E→

et B→

se propagent dans la direction des z ⇒ k→

= e→

z k On obtient :

( k→

∧ E→

) = e→

z k ∧ e→

x j ω A0 e j ( k z - ω t ) = e

→

z ∧ e→

x j k ω A0 e j ( k z - ω t )


Mais e→

z ∧ e→

x = e→

y , d’où on a :

( k→

∧ E→

) = e→

y j k ω A0 e j ( k z - ω t )

k→

∧ E→

ω = e

→

y j k A0 e j ( k z - ω t )

Ce n’est autre que le champ rB

Exercice 4

Les équations de Maxwell sous forme intégrale sont :

(1)

(V) est un volume enveloppé par (S) et ρ la densité des charges. C’est la loi de Gauss : le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est relié à la charge nette (i.e à la somme algébrique de toutes les charges) située à l’intérieur de S.

(2)

C’est l’équivalent de la loi de Gauss en magnétisme. Il reflète le fait qu’il n’existe pas de pôle magnétique isolé.

(3)

S est une surface délimitée par la courbe C. C’est la loi de Faraday.

(4)

C’est la loi d’Ampère généralisée.


Exercice 5

q polarisé suivant l’axe x : Bonne réponse. En effet E→

n’a pas de composantes suivant y et z

q polarisé suivant l’axe y : Faux. Analysez de nouveau l’expression de E→

q polarisé suivant l’axe z : Incorrect. L’axe z est plutôt la direction de propagation de l’onde électromagnétique

Exercice 6

q B→

= Bx ( z , t ) i

→

: Faux. E→

et B→

ne sont pas polarisés suivant la même direc-tion.

q B→

= By ( z , t ) j

→

: Bonne réponse. En effet E→

et B→

sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation. Ici la direction de

propagation est l’axe z. E→

est polarisé suivant l’axe x, donc B→

est nécessairement polarisé suivant l’axe y.

q B→

= Bz ( z , t ) k

→

: Faux. Pour une onde électromagnétique plane, B→

est per-pendiculaire à la direction de propagation de l’onde qui est ici l’axe z.

Exercice 7

1- Faux. En effet les équations de Maxwell sous forme intégrale sont :

(1)

(2)

(3)

(4)

Les équations (3) et (4) montrent que ces équations s’appliquent à des champs va-riables : un champ magnétique variable au cours du temps crée un champ électrique et vice-versa.


2- Faux. Dans une onde électromagnétique, les vecteurs champ électrique E→

, champ

magnétique B→

et le vecteur d’onde k→

qui définit la direction de propagation

de l’onde sont liés par la relation B→

=1ω

( k→

∧ E→

) et E→

est orthogonal à B→

.

Les vecteurs k→

, E→

et B→

forment un trièdre direct.

E→

et B→

sont perpendiculaires à k→

⇒ une onde électromagnétique est une onde transversale.

3- Vrai. En effet la densité d’énergie électrique et la densité d’énergie magnétique sont respectivement:

u

E =

12

ε0 E2 et u

B =

12 μ

0

B2 .

En vertu de la relation E = B c , on a u

B =

12 μ

0

E2

c2. Mais

c2 =

1ε

0 μ

0

. Il s’ensuit que :

u

B =

12 μ

0

E2 ε0 μ

0 =

12

ε0 E2 = u

E

Exercice 8

Soit I cette intensité: I = < S > où < S > est la valeur moyenne de la norme du

vecteur de Poynting. Cherchons d’abord le vecteur de Poynting S→

:

S→

= E→

∧ B→

μ0

avec B→

= k→

∧ E→

ω.

Nous avons ici une onde qui se propage dans la direction de l’axe x. Il s’ensuit que

k→

= k e→

x , e→

x étant le vecteur unitaire suivant l’axe x. On a alors:


B→

= k e

→

x∧ E→

ω =

e→

x∧ E→

c

B→

= 1c

e→

x ∧ E→

0 cos(kx - ω t) = B→

0 cos(kx -ω t) avec B→

0 = e→

x ∧ E→

0

c.

e→

x , E→

0 et B→

0 forment un trièdre direct ⇒ B

0 =

E0

c .

Le vecteur de Poynting s’écrit donc:

S→

= E→

∧ B→

μ0

= E→

0∧ B→

0

μ0

cos2(kx - ω t)

S→

= S = 1μ

0

E→

0 ∧ B→

0 cos2(kx - ω t) = 1μ

0

E0 B

0 cos2(kx - ω t)

S =

1μ

0 c

E02 cos2(kx - ω t)

L’intensité de l’onde est:

I = < S > =

1μ

0 c

E02 < cos2(kx - ω t) > =

E02

2 μ0 c

= c2

ε0 E

02 car la

valmoyenne < cos2(kx - ω t) > =

12

.

Application numérique:

ε0 = 8,85 x 10- 12 C2 N- 1 m- 2 ,

E

0 = 100

Vm

et c = 3 x 108 m s-1

I =

c2

ε0 E

02 =

12

(3 x 108 ) (8,85 x 10- 12 ) (1002 )

I = 13,3

W

m2


Exercice 9

Intensité de l’onde

L’intensité de l’onde est I = < S > où < S > est la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting. S est une énergie par unité de temps et par unité de surface. La puissance est une énergie par unité de temps. On a donc:

I =

PA

, P étant la puissance rayonnante et A l’aire de la sphère de rayon R =

50km . l’aire de cette sphère est A = 4 π R2 . On obtient alors:

I =

50 x 103

4 π (50 x 103)2

I = 1,59 x 10-6 Wm-2


Soit Pr cette pression

P

r =

Ic

⇒ P

r =

1,59 x 10-6

3 x 108

Pr = 0,53 x 10-14 Pa

Amplitudes de E→

et B→

En reprenant le résultat de l’exercice précédent, on a :

I =

c2

ε0 E

02 , E0

étant l’amplitude du champ E→

. On obtient donc:

E

0 =

2 Ic ε

0

Application numérique :

ε0 = 8,85 x 10- 12 C2 N- 1 m- 2 ; I = 1,59 x 10-6 Wm-2 ; c = 3 x 108 m s-1

E

0 =

2 x 1,59 x 10-6

3 x 108 x 8,85 x 10-12 = 3,5 x 10-2

Vm


En vertu de la relation B

0 =

E0

c l’amplitude du champ B

→

est:

B

0 =

E0

c =

3,5 x 10-2

3 x 108 = 1,17 x 10-10 T

Exercice 10

On a ici une polarisation circulaire, alors d’une façon générale E→

(z,t) a pour ex-pression :

E→

(z,t) = E0 e

→

x cos(kz - ω t + ϕ ) ± e→

y sin(kz - ω t + ϕ )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Il faut déterminer la valeur de la phaseϕ . On a à z = 0 et t = 0 :

E→

(0,0) = E0 e

→

x cos(ϕ ) ± e→

y sin(ϕ )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (1)

Mais par hypothèse:

E→

(0,0) = E

0

2 ( e

→

x + 3 e→

y ) (2)

Par identification, on déduit des relations (1) et (2) que:

E

0 cosϕ =

E0

2 et

E

0 sinϕ =

E0 3

2 ⇒

cosϕ =

12

et sinϕ = 3

2

Ceci est vérifié pour ϕ =

π3

et par conséquent l’ expression de E→

(z,t) est :

E→

(z,t) = E0 e

→

x cos(kz - ω t + π3

) ± e→

y sin(kz - ω t + π3

)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥


Visite de sites

Vous trouverez dans les adresses qui suivent des informations qui renforcent et com-plètent ce que vous avez appris au cours de cette activité.

http://www.walter-fendt.de/ph11f/emwave_f.htm

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/oem1.html

Ces deux sites proposent une animation de la propagation d’une onde électroma-gnétique plane.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/2pcirc_j.html

Ce lien montre la superposition de deux polarisations circulaires gauche et droite.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/polond_j.html

Il s’agit ici d’une animation d’une polarisation elliptique.

Auto évaluation

Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche de solution des exercices afin de pouvoir les éviter plus tard. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours qu’ils n’ont pas bien comprises et pré-

parer l’évaluation sommative.


Le Professeur corrigera les productions des groupes et déposera la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction sera accompagnée d’un feedback adéquat expliquant toutes les erreurs commises. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de l’évaluation finale du module.


XI. Liste compilée de tous les concepts-clé (glossaire)

Effet Hall

Lorsqu’un métal parcouru par un courant est introduit dans un champ magnétique perpendiculaire à la direction de ce courant, il apparaît dans le métal un champ électrique. Ce champ électrique est perpendiculaire à la fois à la direction du courant et du champ magnétique. On appelle Effet Hall l’apparition d’un tel champ.

Induction électromagnétique

Une variation dans le temps du flux de champ magnétique Φ à travers un circuit a pour effet de produire une f.é.m. qui fait circuler dans celui-ci un courant induit. Ce phénomène est appelé induction électromagnétique. Ce phénomène s’observe toutes les fois que le flux magnétique à travers un circuit varie quelle que soit la cause de cette variation.

Auto induction

Un circuit quelconque parcouru par un courant d’intensité I est traversé par un flux magnétique Φ produit par ce courant lui-même. Φ est proportionnel à I. Toute variation de I ,donc de Φ, a pour effet de produire une f.é.m. d’induction qui fait circuler dans ce circuit un courant complémentaire. C’est à ce phénomène qu’on donne le nom de « auto induction » ou « self-induction ».

Induction mutuelle de deux circuits

Soient deux circuits C1 et C

2 parcourus par des courants d’intensité I

1 et I

2. Si

l’intensité I1 varie dans le circuit (C

1), le flux magnétique à travers C

2 varie et il

apparaît dans (C2) une f.é.m. d’induction appelée f.é.m. d’induction mutuelle.

5- Paramagnétisme

C’est une propriété des substances dont les atomes constitutifs possèdent chacun un

moment magnétique élémentaire permanentμ→

. En l’absence de champ magnétique

excitateur B→

ex , ces moments magnétiques sont orientés au hasard et leur moment

résultant est nul. En présence d’un champ excitateur B→

ex , les dipôles magnétiques


μ→

tendent à s’aligner avec B→

ex . L’agitation thermique empêche un alignement parfait mais le moment magnétique résultant est différent de zéro . Les substances qui représentent une telle propriété sont appelées corps paramagnétiques.

Ferromagnétisme

C’est une propriété des substances susceptibles de prendre de fortes aimantations. Comme les paramagnétiques, les ferromagnétiques sont constitués d’atomes ayant des moments magnétiques permanents mais ces moments magnétiques peuvent être alignés même en l’absence de champ excitateur.

Diamagnétisme

C’est une propriété des substances dont les atomes constitutifs n’ont pas de mo-

ment magnétique propre. Quand on applique un champ excitateur B→

ex , des moments

magnétiques orbitaux sont induits dont le sens s’oppose à celui de B→

ex .

8- Aimantation

L’aimantation caractérise l’état magnétique d’un corps aimanté. C’est le moment magnétique résultant par unité de volume. Elle exprime en Am-1 dans le système

d’unités international. On utilise un vecteur M→

appelé vecteur aimantation pour décrire cet état.

M→

= ∑μ

→

V, ∑μ

→

étant le moment magnétique résultant et V le volume du corps aimanté.

Hystérésis

Lorsqu’on aimante un corps ferromagnétique primitivement non aimanté, son aimantation croît avec le champ appliqué B

app ou champ d’aimantation et finit

par atteindre une valeur limite appelée intensité d’aimantation à saturation. On parle ici de première aimantation de ce corps. Si on fait ensuite décroître B

app,

l’aimantation diminue mais pour chaque valeur de Bapp

elle conserve une valeur supérieure à celle qu’elle avait au cours de la première aimantation. C’est le phénomène de l’hystérésis magnétique. La variation de l’aimantation présente un retard sur la variation du champ d’aimantation. « Hystérésis » est un substantif grec qui signifie retard.


Aimantation rémanente

Si après qu’un corps ferromagnétique a été aimanté, on fait décroître progressi-vement le champ d’aimantation, ce corps garde une certaine aimantation même quand le champ appliqué B

app redevient nul : c’est l’aimantation rémanente.

Champ coercitif

Pour rendre nulle l’aimantation rémanente, il faut appliquer un champ magnétique Bc

de sens contraire à celui du champ d’aimantation initiale. Bc est appelé « champ

coercitif ».

Point de Curie

L’aimantation d’un ferromagnétique décroît quand la température augmente et s’annule à une certaine température T

c appelée « point de curie ».

Equations de Maxwell

Equations, au nombre de quatre, qui sous tendent l’électromagnétisme et régissent le comportement des ondes électromagnétiques

Vecteur de Poynting

Le transport de l’énergie dans un champ électromagnétique peut-être décrit / défini à l’aide d’un vecteur flux d’énergie électromagnétique appelé vecteur de Poyn-

ting S→

. Le flux du vecteur S→

à travers une surface représente la quantité d’énergie électromagnétique traversant cette surface par unité de temps; Sa direction indique le sens de propagation de l’énergie.


XII. Liste compilée des lectures obligatoires

Lecture #1

Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Circuits à courant alternatif. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Résumé : Ce chapitre analyse les oscillations de tension et de courant dans les cir-cuits comportant diverses combinaisons de résistance, d’inductance et de capacité. Il étudie les impédances de ces circuits, le phénomène de résonance dans un circuit RLC série, la puissance en courant alternatif.

Justification : Cette lecture prépare l’apprenant(e) à l’activité d’apprentissage 1. Il(elle) mobilisera ses acquis lors de cette lecture :

- pour calculer le déphasage entre tension et courant, l’impédance d’un cir-cuit

- pour établir l’impédance complexe d’un circuit- pour établir et calculer le courant instantané qui parcourt un circuit et la tension

instantanée à ses bornes

Lecture #2

Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Champ magnétique et particules chargées en mouvement. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Résumé : Ce chapitre décrit et interprète l’expérience de Thomson qui a contribué à la découverte de l’électron, l’effet Hall qui a permis de déterminer le signe des porteurs de charge dans un conducteur. Il étudie aussi les accélérateurs de particules tels que le cyclotron et le synchrotron.

Justification: Les points développés ici aideront l’apprenant(e) à déterminer le rapport

em

par la méthode de la déflexion magnétique, à mieux appréhender le fonctionnement d’un spectromètre de masse, à déterminer le nombre de porteurs de charge par unité de volume dans un conducteur, à calculer le rayon de la trajectoire d’une particule chargée qui pénètre dans un champ magnétique et la vitesse d’une particule chargée à la sortie d’un cyclotron.


Lecture #3

Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H.(2007).Inductance.Madagas-car.Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Résumé : Ce chapitre :

- énonce et explique la loi de Lenz- explique le phénomène d’auto-induction , d’induction mutuelle- définit l’inductance d’un dispositif et montre comment on peut la calculer- étudie quelques applications pratiques du phénomène d’induction électroma-

gnétique- montre que de l’énergie est emmagasinée dans un champ magnétique

Justification: Cette lecture aide l’apprenant(e) à appliquer la loi de Lenz pour déter-miner le sens du courant induit dans un circuit, à calculer l’inductance d’un circuit et le coefficient d’induction mutuelle de deux circuits, à consolider ses acquis sur le phénomène d’induction électromagnétique.

Lecture #4

Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Les propriétés ma-gnétiques de la matière. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Résumé : Ce chapitre commence par un rappel des lignes de champ magnétique et électrique et par une discussion de la loi de Gauss appliquée au magnétisme. L’aiman-tation des substances magnétiques est ensuite abordée. Cette étude est suivie de la description et de l’interprétation des propriétés des paramagnétiques, diamagnétiques et ferromagnétiques.

Justification: Cette lecture amène l’apprenant(e) à s’approprier les points essentiels pour la compréhension du processus d’aimantation et la compréhension des phéno-mènes de paramagnétisme, de diamagnétisme et de ferromagnétisme.

Lecture #5

Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H. (2007).Les équations de Mawxell.Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Résumé : Ce chapitre rappelle au début qu’un champ magnétique variable crée un champ électrique. Il considère après l’effet inverse ,i.e. qu’ un champ électrique variable induit un champ magnétique. Il introduit le courant de déplacement et la loi d’Ampère généralisée. Les équations de Maxwell sont ensuite présentées et analysées.

Justification: L’apprenant découvre et apprend par le biais de cette lecture que les équations de Maxwell résument les lois de l’électricité et magnétisme et qu’elles constituent les équations fondamentales de l’électromagnétisme.


Lecture #6

Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H. (2007).Les ondes électroma-gnétiques.Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

Résumé : Ce chapitre établit les équations de propagation(ou équations d’onde)

des champs E→

et B→

associés à une onde électromagnétique. Il traite aussi l’énergie transportée par une onde électromagnétique et introduit le vecteur de Poynting. La polarisation d’une onde électromagnétique est aussi discutée.

Justification: Cette lecture donne à l’apprenant(e) les éléments qu’il faut mobiliser pour déterminer :

- l’état de polarisation d’une onde électromagnétique- le vecteur de Poynting associé à une onde électromagnétique- la densité d’énergie associée à une onde électromagnétique- l’intensité d’une onde- la pression de radiation


XIII. Liste compilée des liens utiles

Lien utile # 1

Titre : http://membres.lycos.fr/physicisss/labos/effet_hall.pdf

URL : http:www.

Impression d’écran:

Description: Il s’agit ici d’une proposition d’expérience sur l’effet Hall dans les semiconducteurs. Il aborde, entre autres, la détermination du nombre de porteurs de charges par unité de volume.

Justification: Une lecture de ce lien permettra à l’apprenant(e) de vérifier, renforcer et consolider ses acquis relatifs à l’Unité 2 du module.


Lien utile # 2

Titre : http://jf-noblet.chez-alice.fr/bobine/index.htm

URL : http:www.


Description: Ce site présente des simulations de l’établissement et de rupture de courant dans un circuit RL ainsi qu’une simulation de mesure de l’inductance d’une bobine.

Justification: Ces simulations sont en rapport avec ce que l’apprenant(e) apprend dans l’Unité 2 du module


Lien utile # 3

Titre : http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Tension_alternative0.html

URL : http:www.


Description:Ce site étudie le déphasage entre la tension et le courant dans un circuit capacitif et la réactance capacitive.

Justification: La lecture de ce lien est suggérée mais non obligatoire. Elle peut aider l’apprenant(e) à comprendre l’Unité 1 du module.


Lien utile # 4

Titre : http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Tension_alternative1.html

URL : http:www.


Description: Ce site étudie le déphasage entre la tension et le courant dans un circuit inductif et la réactance inductive.

Justification: La lecture de ce lien est suggérée mais non obligatoire. Elle peut aider l’apprenant(e) à comprendre l’Unité 1 du module.


Lien utile # 5

Titre : http://sitelec.free.fr/cours/rlcseries.pdf

URL : http:www.


Description:Ce site analyse un circuit RLC série raccordé à une source alternative et étudie son comportement lorsque la fréquence de la source varie. Il examine en détails le phénomène de résonance, les impédances, les réactances capacitive et inductive,le déphasage entre oscillations de courant et de tension aux bornes des différents éléments

Justification: Une visite de ce lien est suggérée et permettra à l’apprenant(e) de vérifier, renforcer et consolider ses acquis relatifs à l’activité d’apprentissage 1-2 de l’Unité 1 du module.


Lien utile # 6

Titre : http://www.walter-fendt.de/ph11f/accircuit_f.htm

URL : http:www.


Description: Il s’agit ici d’une animation des diagrammes de Fresnel et des oscilla-tions de tension et de courant qui correspondent à un circuit comportant uniquement une résistance, une inductance et uniquement une capacité. L’apprenant(e) peut agir sur les paramètres R, L, C et tension.

Justification: Ce lien illustre par le biais d’une animation les points développés dans l’activité d’apprentissage 1-1 de l’Unité 1 de ce module


Lien utile # 7

Titre : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/rlcsinus.html

URL : http:www.


Description:C’est une étude des circuits RLC série . Le site montre des courbes d’intensité de courant et de déphasage, une animation des oscillations de tension et d’intensité de courant.

Justification: L’apprenant(e) peut vérifier ici ses acquis sur les points développés dans l’activité d’apprentissage 1-1 de l’Unité 1 de ce module.


Lien utile # 8

Titre : http://perso.orange.fr/olivier.granier/electro/simul/cour_rlc/circuitRLC3.htm

http://www.fundp.ac.be/sciences/physique/didactique/elec/RLC3.php

URL : http:www.


Description: Ces liens proposent la même activité. Il s’agit de suivre dans un cir-cuit RLC l’évolution de l’amplitude de la tension aux bornes d’un condensateur en fonction de la fréquence.

Justification: Une visite de ces sites est suggérée pour l’activité d’apprentissage 1-2 de l’Unité 1 de ce module et peut aider l’apprenant(e) dans son apprentissage.


Lien utile # 9

Titre :http://perso.orange.fr/olivier.granier/electro/simul/cour_rlc/circuitRLC4.htm


URL : http:www.


Description:Ces deux liens donnent le même exercice interactif concernant un circuit RLC et basé sur la fréquence de résonance et le facteur de qualité avec une illustration graphique.

Justification: L’apprenant(e) peut tester ici ses acquis sur la fréquence de résonance et le facteur de qualité développé dans l’activité d’apprentissage 1-2 de l’Unité 1 du module.


Lien utile # 10

Titre : http://labo.ntic.org/RLC_serie/RLC.html

http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos- phy/applets/RLC_serie/RLC.htm

URL : http:www.


Description : Ces deux applets proposent une étude des caractéristiques des circuits RLC série ( Z, X

L, X

C, I, oscillations de tension et d’intensité de courant, déphasage

entre tension et courant, bande passante) en fonction de la fréquence de la source.

Justification: L’apprenant(e) peut tester ici ses acquis sur le phénomène de résonance, sur la notion de bande passante développés dans l’activité d’apprentissage 1-2 de l’Unité 1 de ce module.


Lien utile # 11

Titre : http://www.physique-eea.unicaen.fr/enseignement/deug-st/sm/dsm153/poly/dsm153-e.pdf

URL : http:www.


Description:Ce site propose des protocoles de manipulation pour l’étude d’une bobine en courant continu et en courant alternatif. Il étudie le phénomène de résonance , la bande passante et le facteur de qualité.

Justification: Une visite de ce site initie l’apprenant(e) aux démarches expérimentales et peut l’aider à renforcer et consolider ses acquis sur les points développés dans l’activité d’apprentissage 1-2 de l’Unité 1 de ce module.


Lien utile # 12

Titre : http://www.unilim.fr/pages_perso/frederic.louradour/Oscillo_2.PDF

URL : http:www.


Description: Ce site donne des protocoles de TP pour l’étude des circuits RLC série et parallèle.

Justification: Une visite de ce site initie l’apprenant(e) aux démarches expérimentales et peut l’aider à renforcer et consolider ses acquis sur les points développés dans l’activité d’apprentissage 1-2 de l’Unité 1 de ce module.


Lien utile # 13

Titre : http://www.thyssenfrance.com/documents/mut%20devt%20text%20doc%20tech%20aim_MAGNETISME%20-%20QUELQUES%20RAPPELS.pdf

URL : http:www.


Description: Ce site développe quelques rappels sur le magnétisme

Justification: La lecture de ce site est suggérée pour l’Unité 3 de ce module.


Lien utile # 14

Titre : http://perso.univ-lr.fr/vmathe/16_annexeA.pdf

URL : http:www.


Description: Ce lien donne quelques rappels sur les propriétes magnétiques de la matière , en particulier sur les grandeurs magnétiques fondamentales B, H et M, sur le paramagnétisme, le diamagnétisme et le ferromagnétisme, sur le phénomène d’hystérésis.

Justification: La visite de ce site est suggérée. L’apprenant(e) peut mettre en relation ce qu’il lit ici avec ce qu’il a appris au cours de l’activité d’apprentissage 3 – Unité 3 de ce module.


Lien utile # 15

Titre : http://semainescience.u-strasbg.fr/magnetisme/fondement.html

URL : http:www.


Description: Ce site traite les fondements théoriques du magnétisme. Il met l’ac-cent sur l’interprétation au niveau microscopique des propriétés magnétiques de la matière.

Justification: La visite de ce site est suggérée. L’apprenant(e) peut mettre en relation ce qu’il lit ici avec ce qu’il a appris au cours de l’activité d’apprentissage 3 – Unité 3 de ce module.


Lien utile # 16

Titre : http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/weis-li_j.html

URL : http:www.


Description: Ce site présente une animation des domaines de Weiss. On peut visua-liser le déplacement des parois de ces domaines. Les cas de déplacement réversible et irréversible sont considérés.

Justification: Ce lien illustre par le biais d’une animation les points développés dans la section « ferromagnétisme » de l’Unité 3 de ce module.


Lien utile # 17

Titre : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/praimh.html

URL : http:www.


Description: La courbe de première aimantation, l’aimantation rémanente et le champ coercitif sont abordés ici.

Justification:Une visite de ce site est suggérée. L’apprenant(e) peut mettre en relation ce qu’il visualise ici avec les points développés dans les sections « courbe de première aimantation » et « hystérésis » de l’Unité 3 de ce module.


Lien utile # 18

Titre : http://www.grasp.ulg.ac.be/cours/2cm/elec5.pdf

URL : http:www.


Description: C’est un document sur les milieux magnétiques. Il décrit la magnétisa-tion (ou aimantation), la susceptibilité magnétique et la relation qui lie les vecteurs

B→

, H→

et M→

.

Justification: L’apprenant(e) peut confronter ce qu’il a appris dans l’activité d’ap-prentissage 3 de l’Unité 3 de ce module avec ce qu’il lit ici.


Lien utile # 19

Titre : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/oem1.html

URL : http:www.


Description: Ce site propose une animation de la propagation d’une onde électro-magnétique plane.

Justification: L’apprenant(e) peut visualiser ici que les champs qui constituent cette onde vibrent simultanément et tel qu’à tout instant ils restent perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.


Lien utile # 20

Titre : http://www.walter-fendt.de/ph11f/emwave_f.htm

URL : http:www.


Description: Ce site propose une animation de la propagation d’une onde électro-magnétique plane.

Justification:L’apprenant(e) peut visualiser ici que les champs qui constituent cette onde vibrent simultanément et tel qu’à tout instant ils restent perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.


Lien utile # 21

Titre : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/2pcirc_j.html

URL : http:www.


Description: Il s’agit ici d’une animation de la superposition de deux ondes polari-sées circulairement.

Justification: La visite de ce site peut renforcer les acquis de l’apprenant(e) sur la polarisation des ondes électromagnétiques.


Lien utile # 22

Titre : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/po-lond_j.html

URL : http:www.


Description: Ce lien montre une animation d’une onde polarisée elliptiquement.

Justification: La visite de ce site peut renforcer les acquis de l’apprenant(e) sur la polarisation des ondes électromagnétiques.


XIV. Synthèse du Module

Le module a été divisé en quatre parties.

1- Dans la première partie, l’apprenant(e) aborde l’étude des circuits à courant alternatif et comportant diverses combinaisons de résistance, d’inductance et de capacité. Il(elle) apprend notamment à :

- analyser les oscillations de tension et de courant et calculer le déphasage entre eux ;

- déterminer l’impédance d’un circuit - décrire, interpréter et dégager les caractéristiques de l’état de résonance d’un

circuit RLC série- déterminer par le calcul et graphiquement la bande passante d’un circuit RLC

série.

2- Dans la deuxième partie, l’apprenant(e) se concentre sur le mouvement des particules chargées dans un champ électrique et un champ magnétique et étudie l’expérience de Thomson, l’effet Hall, le principe de fonctionnement des accé-lérateurs de particules. Il approfondit ensuite le phénomène d’induction électro-magnétique par l’étude de la loi de Lenz et des phénomènes d’auto induction et d’induction mutuelle. Il(elle) apprend entre autres à :

- déterminer le rapport

em

- décrire et interpréter l’effet Hall

- calculer la vitesse d’un porteur de charge à la sortie d’un cyclotron

- appliquer la loi de Lenz

- f aire des calculs d’inductance et de coefficient d’induction mutuelle.

3- Dans la troisième partie, l’apprenant(e) se consacre à l’étude des substances magnétiques : le paramagnétique, le diamagnétique et le ferromagnétique. Il apprend :

- l’origine de l’aimantation

- la relation qui lie B→

, H→

et M→

- le phénomène d’hystérésis


- à calculer le moment magnétique d’une boucle de courant, l’aimantation d’une substance

- à déterminer le champ coercitif

4- Les équations de Maxwell et les ondes électromagnétiques font l’objet de la der-nière partie. L’apprenant(e) étudie la polarisation d’une onde électromagnétique plane, l’énergie qu’elle transporte. Il(elle) apprend entre autres à :

- décrire, interpréter et appliquer les équations de Maxwell

- déterminer la polarisation d’une onde, son vecteur de Poynting, son intensité et sa pression de radiation


XV. Évaluation sommative

Exercice 1

Un circuit comportant une résistance pure R = 40 Ω est connecté aux bornes d’une source de tension alternative sinusoïdale U = U

m sinωt de fréquence variable. On

maintient l’amplitude de tension constante et égale à 21,21V.

1- Déterminer l’intensité efficace du courant qui traverse le circuit quand la fréquence de la source est 100Hz et quand elle est 100kHz.

2- Quelle est cette intensité si l’on remplace la résistance par

- un condensateur de capacité C = 0,3µF - une bobine d’inductance L = 2mH

Exercice 2

Une bobine d’inductance L = 0,1H et de résistance R = 10Ω est branchée aux bornes

d’une source de tension alternative sinusoïdale U = 10 2 cos100πt.

1- Déterminer le déphasage du courant qui parcourt ce circuit par rapport à la tension appliquée.

2- Donner l’expression du courant instantané

Exercice 3

Une bobine de résistance égale à 5Ω est alimentée en courant sinusoïdal de fréquence 50Hz. Le retard Φ du courant sur la tension appliquée est tel que cosΦ = 0,8.

Calculer l’inductance de la bobine.

Exercice 4

Une bobine alimentée sous une tension continue de 120V, est parcourue par un courant d’intensité 2A ; alimentée sous une tension sinusoïdale de fréquence 50Hz, de valeur efficace 100V, elle est parcourue par un courant d’intensité efficace 0,5A.

1- Calculer l’inductance de la bobine2- Donner la valeur en degrés du déphasage de la tension sur le courant pour une

telle tension alternative sinusoïdale appliquée aux bornes de cette bobine. Donner les expressions des valeurs instantanées du courant traversant cette bobine et de la tension.


Exercice 5

Une résistance R = 20 Ω et une bobine d’inductance L = 40 mH sont branchées en série aux bornes d’une tension sinusoïdale d’amplitude 150V et de fréquence f = 60Hz.

1- A l’instant t =T6

, calculer les valeurs instantanées :

- du courant I qui parcourt le circuit

- de la source de tension sinusoïdale U

- de la tension VR aux bornes de la résistance

- de la tension VL aux bornes de la bobine

2- Comparer U et (VR + V

L) à l’instant t =

T6

et conclure.

3- Exprimer l’amplitude de U en fonction des amplitudes de tension VRm

et VLm

aux bornes de la résistance et de la bobine.

Exercice 6

On considère le circuit ci-dessous :

1- Donner l’ expression du courant instantané I qui parcourt le circuit et les expressions des tensions instantanées V

R, V

L et V

C.

2- Calculer VR + V

L + V

C et comparer avec U.

On donne la relation trigonométrique :

A sin α + B cos α = (A2 + B2)1/2 sin (α + β) où tg β =BA

.


Exercice 7

On considère le circuit ci-dessous :

1- Trouver les courants instantanés I

L , I

C , I

R et I

2- Quelle est l’impédance de ce circuit3- Trouver l’angle de déphasage entre la tension appliquée et le courant prin-

cipal IOn donne la relation trigonométrique :

A sin α + B cos α = (A2 + B2)1/2 sin (α + β) avec tg β = BA

Exercice 8

Soit le montage ci-dessous

1- Trouver l’impédance complexe de ce circuit et en déduire son impédance.

2- La tension appliquée est-elle en avance ou en retard par rapport au courant ?


Exercice 9

Une résistance R = 10Ω, une bobine d’inductance L = 0,4H, un condensateur de capacité C = 0,4µF et une lampe sont branchés en série aux bornes d’une source de tension alternative de valeur efficace U

eff = 10-2 V. On néglige la résistance de la

lampe. On fait augmenter la fréquence f de la source tout en maintenant constante son amplitude.

1- Décrire et expliquer comment varie la luminosité de la lampe.

2- Calculer :

- la fréquence de résonance

- l’intensité maximale du courant

- la tension aux bornes du condensateur à la résonance

3- On remplace la résistance R par une résistance R1 = R / 2 puis par R

2 = R / 4.

Calculer de nouveau l’intensité maximale.

Exercice 10

Une bobine de résistance R et d’inductance L et un condensateur de capacité C sont montés en série avec une source alternative sinusoïdale U = U

m sin (1000πt). La

fréquence de résonance de ce circuit est f0 = 718Hz. Le courant est-il en avance ou

en retard par rapport à la tension ?

Exercice 11

Un condensateur de capacité C et une bobine de résistance R, d’inductance L sont branchés en série aux bornes d’une source de tension sinusoïdale de valeur efficace 10V et de pulsation ω. On donne R = 10Ω, C = 5µF et L = 1H. Calculer :

- la fréquence de résonance de ce circuit

- l’intensité efficace à la résonance

- le facteur de qualité et la bande passante de ce circuit

- la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance

Exercice 12

Soit un circuit ( RLC) série alimenté par une source de tension sinusoïdale de fré-quence variable et de valeur efficace constante U

eff = 24V. L’intensité efficace est

maximale et égale à 150mA pour une fréquence de 800Hz. La bande passante de ce circuit est 167,5 rad.s-1.

Calculer la résistance R, l’inductance L et la capacité C.


Exercice 13

Une bobine d’inductance L = 4mH, un condensateur de capacité C = 16µF et une résistance R = 20Ω sont montés en série avec une source de tension sinusoïdale dont la fréquence est égale à 400Hz.

a- Donner la représentation de Fresnel qui correspond à ce circuit.

b- Trouver l’angle de déphasage entre tension et courant.

c- Sans la calculer explicitement, la fréquence de résonance du circuit est-elle supérieure ou inférieure à 400Hz ?

d- Calculer la fréquence de résonance.

Exercice 14

Considérer le circuit suivant :

1- Trouver l’impédance complexe du circuit.

2- Une résonance parallèle est obtenu quand la partie imaginaire de l’impé-dance complexe s’annule. Trouver l’impédance de ce circuit à la résonance parallèle dans le cas où ω2 L2 >> R2.


Exercice 15

Un électron est lancé dans une région où agissent simultanément un champ élec-trique et un champ magnétique uniformes et perpendiculaires entre eux. Ces deux champs sont aussi perpendiculaires à sa vitesse initiale. On constate que :

- sous l’action simultanée des deux champs, l’électron n’est pas dévié de sa trajectoire initiale

- quand on fait cesser l’action du champ électrique tout en gardant le champ magnétique, il décrit une trajectoire circulaire de rayon R = 1,14 cm.

Calculer le rapport em

sachant que B = 2 x 10-3 T et E = 8kV/m

Exercice 16

On considère le dispositif ci-dessous. S est une source de particules chargées. Entre

les deux plaques P1 et P

2 règnent un champ électrique uniforme E

→

et un champ

magnétique uniforme B→

. Le champ E→

est parallèle au plan de la figure et dirigé

de P1 vers P

2. B

→

est normal au plan de la figure et dirigé vers l’arrière. Les parti-cules qui sortent en O pénètrent dans une région où règne un champ magnétique

uniforme ʹB→

normal aussi au plan de la figure et dirigé vers l’arrière.


S envoie un faisceau d’ions positifs de charge q, de masse m et de vitesse v→

comme l’illustre la figure.

1- Quelle doit être la vitesse de ces ions pour qu’ils traversent l’espace com-pris entre S et O sans être déviés ?

2- Quelle partie de la plaque photographique vont-ils recouper lorsqu’ils

pénètrent dans le champ ʹB→

? Calculer la distance d à laquelle ils recoupent la plaque photographique.

3- Supposons que le faisceau envoyé par S est constitué d’isotopes de l’élé-ment étain (Sn) dont les isotopes de masses 116 u et 120 u. déterminer La différence des distances d correspondant à ces deux isotopes .

A.N. : E = 15 kV/m, B = B’ = 0,15 T

1 u = une unité de masse atomique = 1,66 x 10-27 kg

q = e

Exercice 17

Dans un cyclotron on accélère des protons de charge q = 1,6 x 10-19 C et de masse m = 1,6610-27 kg. Les dés de ce cyclotron sont placés dans un champ magnétique uniforme, normal à leur plan et de grandeur B = 1,5 T

1. Quelle doit être la fréquence du champ électrique oscillant qui règne dans l’espace entre les dees et qui accélère ces protons ?

2. Calculer l’énergie cinétique des protons à la sortie du cyclotron sachant que juste avant cette sortie leur trajectoire a un rayon R = 50cm.

3. Quel est le nombre d’accélérations effectuées par un proton si la différence de potentiel entre les dee est 40 kV ?


Exercice 18

La figure ci-dessous montre un ruban métallique de section rectangulaire de côtés a et b. Il possède n électrons de conduction par unité de volume et est

parcouru par un courant d’intensité dont la densité j→

est uniforme et dirigée comme l’indique la figure.

1- Donner le sens de la vitesse d’entraînement des électrons de conduction. Déterminer cette vitesse.

2- Quand le ruban est placé dans un champ magnétique B→

perpendiculaire

à la densité de courant j→

, des électrons s’accumulent sur l’une de ses faces. Expliquer pourquoi et indiquer cette face sur la figure.

3- Il s’établit rapidement un régime permanent où les électrons ne dérivent plus latéralement. Expliquer pourquoi.

4- Quelle est la relation qui lie E→

et B→

quand le régime permanent est atteint.

5- Calculer la différence de potentiel entre les bords arrière et avant du ru-ban

On donne : B = 2 T ; I = 2A ; a = 2 10-3 m ne = 2.1010 C m-3


Exercice 19

1- Juste après la fermeture de l’interrupteur K, calculez :

- les intensités des courants i1 et i

2

- l’intensité du courant i qui traverse l’interrupteur K - la différence de potentiel aux bornes de R

2

- la différence de potentiel aux bornes de la bobine - le taux de croissance du courant i

2

2- Calculer de nouveau ces quantités quand le régime permanant est atteint.

Exercice 20

Une bobine d’inductance L = 0,1 mH et de résistance r est connectée en série avec une résistance R

1 = 0,5 Ω, un générateur de f.é.m. ε = 20 V et un interrupteur K.

1) Écrire l’équation différentielle donnant l’évolution de l’intensité i du courant en fonction du temps après la fermeture de K.

2) Vérifier que la solution de cette équation différentielle est :

i = ε

R(1− e

- RL

t) avec R = R

1 + r


1) Calculer la résistance r de la bobine sachant que l’intensité du courant

atteint les 999

1000 de sa valeur finale au bout de 6,9 10- 4 s.

Exercice 21

Un solénoïde de longueur infinie et de rayon R comporte n spires par unité de longueur. Les spires sont parcourues par un courant d’intensité I.

1- Donner l’induction magnétique B→

à l’intérieur et à l’extérieur du solé-noïde

2- Trouver le coefficient d’auto induction du solénoïde

3- On place maintenant autour du solénoïde une bobine plate composée de N spires de rayon supérieur à R. Cette bobine admet pour axe l’axe ∆ du solénoïde.

a) Trouver le coefficient d’induction mutuelle des deux circuits

b) Le courant est maintenant variable dans le temps. Trouver la force élec-tromotrice induite ε dans la bobine en utilisant la loi de Faraday.

c) En un temps très court, le courant dans le solénoïde est ramené à zéro. Trouver la charge qui traverse la bobine plate de résistance r. donner le sens du courant induit.


Exercice 22

Une bobine toroïdale de circonférence moyenne l = 40cm, comportant N = 400

spires est parcourue par un courant d’intensité I = 2A. La mesure du champ B→

qui règne à l’intérieur de la bobine donne 1T. Déterminer :

- l’intensité magnétique

- l’aimantation

- la susceptibilité magnétique

- le courant de surface équivalent

- la perméabilité relative.

Exercice 23

Soit un toroïde de rayon moyen R = 20cm, comportant 2000 spires et parcouru par un courant I = 15A. Il contient de l’oxygène liquide dont la susceptibilité magnétique est 4 x 10-3.

Déterminer l’aimantation de cette substance et le champ magnétique.

Exercice 24

Un courant rectiligne I circule suivant l’axe d’un cylindre de rayon a. A l’extérieur du cylindre, on a le vide. Déterminer :

1- l’intensité magnétique excitatrice H→

dans tout l’espace

2- Le champ B→


3- Le vecteur d’aimantation M→


4- Le courant ampérien Ia dont la densité est définie par j

→

a = ∇→

ΛM→


Exercice 25

1- Montrer que la loi de Curie M = 13

mBapp

kTMs implique que la susceptibilité

d’une substance paramagnétique peut s’écrire : Xm = m μ0Ms

3kT m est le moment magnétique d’un atome de la substance paramagnétique,

Bapp

le champ appliqué, µ0 la perméabilité du vide, M

s la valeur maximale

de l’aimantation.

2- Supposons que la substance magnétique ici est l’aluminium et admettons que le moment magnétique d’un atome d’aluminium est de un magnéton de Bohr : µ

B = 9,27 x 10-24 Am2. Déterminer la susceptibilité X

m à la température

absolue T = 300K

On donne : la densité de l’aluminium :

ρ = 2,7g/cm3

sa masse molaire :

M = 27g/mol

la constante de Boltzmann : k = 1,38 10-23 J/K

Exercice 26

1- Définir le champ coercitif.

2- On place un certain barreau aimanté à l’intérieur d’un solénoïde de 15cm de longueur et comportant 600 spires. L’intensité du courant qui doit parcourir le solénoïde pour démagnétiser ce barreau est 11A. Calculer le champ coercitif correspondant.

Exercice 27

On place une certaine substance magnétique à l’intérieur d’un long solénoïde. Le solénoïde comporte 50 spires par cm et est parcouru par un courant d’intensité I = 0,2A. Le champ magnétique qui règne dans ce système est 1,58T. Calculer :

1- le champ magnétique appliqué2- l’aimantation M3- la perméabilité relative


Exercice 28

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de H et de B pour une certaine substance ferromagnétique. Tracer en fonction de H le champ B, la perméabilité µ, µ

0H, µ

0M

et la perméabilité relative Km.

H (Am-1) B (T) 0 0 10 0,050 20 0,15 40 0,43 50 0,54 60 0,62 80 0,74 100 0,83 150 0,98 200 1,07 500 1,27 1000 1,34 10 000 1,65 100 000 2,02 800 000 2,92

Exercice 29

Soit une onde électromagnétique dont le champ électrique est décrit par:

E→

(x,t) = E0 sin(kx-ω t) e

→

y + E0 cos(kx-ω t) e

→

z

e→

y et e→

z étant les vecteurs unitaires suivant l’axe y et l’axe z.

1- Déterminer le champ B→

associé à cette onde.

2- Étudier les évolutions de E→

(0,t) et B→

(0,t) au cours du temps et donner l’état de polarisation de l’onde .

3- Déterminer le vecteur de Poynting Sr

associé à cette onde.

On donne a→

∧ ( b→

∧ c→

) = ( a→

⋅ c→

) b→

- ( a→

⋅ b→

) c→


Exercice 30

Une onde électromagnétique traversant l’espace vide est décrite par :

E→

= E→

0 cos( k→

⋅ r→

- ω t)

B→

= B→

0 cos( k→

⋅ r→

- ω t)

Trouver l’intensité de cette onde.

Exercice 31

Une source de lumière monochromatique, de puissance 30W, rayonne uniformément dans toutes les directions.

1- Calculer l’intensité et la pression de radiation de l’onde lumineuse en un point M situé à 2m de la source.

2- Déterminer les amplitudes du champ électrique et du champ magnétique associés à cette onde au point M.

Réponses clés


1) Pour une résistance pure, quelle que soit la fréquence, on a :

U eff = RIeff

Ieff

=U eff

R=

U m

R 2

U eff = U m

2

A.N. U m = 21,21V; R = 40Ω

U eff = 21,21

2= 15V ⇒ I

eff =

1540

= 0,375A


2) On remplace la résistance pure par un condensateur de capacité C = 0,3µF

On a :

U eff = XC I

eff , d’où I

eff =

U eff

XC

avec : XC =

1Cω

et ω = 2π f , f étant la fréquence de la source

a) pour f = 100Hz

XC =

1

(0,3.10−6 F )(200π rad.s−1)= 5308Ω

D’où Ieff

= U eff

XC

=15V

5308Ω = 2,83x10-3A ⇒ I

eff = 2,83mA

b) pour f = 100kHz

Ieff

= U eff

XC

= U eff (Cω ) = U eff ( 2π f C )

Lorsque la fréquence est 1000 fois plus grande, l’intensité efficace est multipliée par 1000. on aura donc :

Ieff

= 2,83A

On remplace la résistance pure par une bobine d’inductance L = 2mH

Dans ce cas Ieff

=U eff

X L

avec X L = Lω

a) pour f = 100Hz

Lω = (2x10-3H)(200π rad.s-1) = 1,256Ω

Ieff

=15V

1,256Ω= 11,9A ⇒ I

eff = 11,9A


b) pour f = 100kHz

Ieff

=U eff

Lω=

U eff

L(2π f )

Lorsque la fréquence est 1000 fois plus grande, l’intensité efficace est divisée par 1000, d’où :

Ieff

= 11,9mA


1- L’angle de déphasageΦ entre la tension appliquée et le courant est tel que :

tanΦ =

X L

R X L = Lω avec ω = 100π rad.s-1 et L = 0,1 H ⇒ Lω = 31,4Ω

On obtient :

tanΦ = 31,4Ω10Ω

= 3,14⇒ Φ = 72,3° ou Φ = 1,26 rad

Le courant est en retard de 72,3° par rapport à la tension

3- Expression du courant instantané

I = Im cos( 100π t- Φ) avec Φ ici exprimé en radian et I

m l’amplitude de courant.

On a :

Im = I

eff 2 et Ieff

=U eff

Z

U eff = U m

2 avec U m = 10 2 d’où U eff = 10V


Z = R 2 + X L2 = R 2 + L2ω 2 = 100 + (31,4)2 = 32,95Ω

L’intensité efficace est donc:

Ieff

=U eff

Z=

10V32,95Ω

= 0,303A

On obtient finalement

I = Im cos( 100π t - Φ) = I

eff 2 cos( 100π t - Φ) = 0,303 2 cos( 100π t – 1,26)


L’impédance de ce circuit est :

Z = R 2 + L2ω 2 ⇒ L2 =Z 2 − R 2

ω 2 ⇒ L = Z 2 − R 2

ω 2 (1)

R = 5Ω ; ω = 2π f = 2π x 50Hz = 100π rad.s-1

On a aussi :

cos Φ = RZ

= 0,8 ⇒ Z =R

cosφ ⇒

5Ω0,8

= 6,25 Ω

Portons les valeurs de Z , R et ω dans (1). On obtient :

L = (6,25)2 − (5)2

(100π )2 ⇒ L = 1,19.10-2H



1) Inductance de la bobine

En courant alternatif l’impédance est :

Z = R 2 + L2ω 2 ⇒ L2 =Z 2 − R 2

ω 2 ⇒ L = Z 2 − R 2

ω 2

Ici ω = 2π f = 2π x 50Hz = 100π rad.s-1

Z = U eff

I eff

= 100V0,5A

= 200 Ω

Déterminons la résistance de la bobine. Quand elle est alimentée sous la tension conti-nue de 120V, elle est parcourue par un courant I = 2A. Sa résistance est donc :

R = 120V

2A = 60 Ω

L’inductance est alors :

L = (200)2 − (60)2

(100π )2 ⇒ L = 0,61H

2) Déphasage Φde la tension sur le courant

tanΦ =X L

R=

LωR

= (0,61)(100π )

60 = 3,192 ⇒ Φ= 72,6° = 1,26 rad

La tension est en avance de 72,6° sur le courant

Tension instantanée

Soit U = Um sinωt la tension instantanée aux bornes de la bobine :

Um = 100 2 et ω = 2π f = 2π x 50Hz = 100π rad.s-1, d’où:

U = 100 2 sin(100π t )


Courant instantané

I = Im sin(100π t-Φ) avec Φ exprimé en radian

Im = I

eff 2

Ieff

= 0,5A ⇒ I = 0,5 2 sin(100π t - 1,26)

Φ = 1,26 rad


1) Cherchons d’abord le déphasage Φ entre tension et courant. Pour ce faire, calculons la réactance inductive X

L et traçons la représentation de Fresnel qui

correspond au circuit. Nous avons :

ω = 2πf = 120πrad/s

XL = Lω = L x (2πf) = (40 x 10-3) 2π x 60 = 15,07Ω.

tan Φ = VLm

VRm

=XL

R=

15,0720

= 0,754

⇒Φ = 37°

L’angle de déphasage est positif ⇒ la source de tension est en avance de 37° sur le courant.


• Courant instantané à t = T6

Le courant instantané s’écrit alors :

I = Im sin (ωt-Φ) = I

m sin (2πft - Φ) (1) avec Φ en radian .

Ici

ZIm = U

m ⇒ I

m =

Um

Z

Z = R2 + XL2 Ω ⇒ I

m =

150 V(20)2 + (15,07)2

= 6 A

Um = 150 V

L’équation (1) devient :

I = 6 (sin 2πft- Φ)

A l’ instant t = T6

I = 6 sin (

2∂T

T6− O)

Ö)


I = 6 sin (

∂3−ö)

⇒ 6 sin (60° - 37°) = 6sin 23°

I = 2,34 A

• Valeur de la source de tension sinusoïdale à l’instant t =T6

.

U = Um sin ωt ⇒ U = 150 sin

2πT

T6

= 150 sin π3

= 150 sin 60°

U = 130V

•Tension instantanée aux bornes de la résistance

La projection de VRm

sur l’axe vertical donne la tension instantanée VR aux bornes

de la résistance

VR = V

Rm sin (ωt-Φ)

et VRm

= RIm = 20 x 6 = 120 V.

Remarque : On peut aussi utiliser tout simplement le fait que VR et I sont en

phase

On a VR = 120 sin (2πft -Φ)

et à l’instant t = T6

⇒ VR = 120 sin 23° = 46,88V

•Tension instantanée aux bornes de la bobine

VL est la projection de V

Lm sur l’axe vertical

VL = V

Lm cos (ωt-Φ)

Remarque : On peut aussi utiliser directement le fait que VL est en avance de 90°

sur le courant.

⇒VL = X

LI

m cos (2πft -Φ)

à t = T6

on a :


VL = 15,07 x 6 cos 23° = (15,07) (6) (0,920)

VL = 83,23 V

2) Comparons VR + V

L et U à l’instant t =

T6

VR + V

L = 46,88 V + 83,23 V = 130, 11 V ⇒U = V

R + V

L

U = 130 V

Les tensions instantanées s’ajoutent algébriquement.

3) Calculons l’amplitude de U

Le diagramme de Fresnel montre qu’en appliquant le théorème de Pythagore, on a :

Um2 = VRm

2 + VLm2 ⇒ Um = (RIm )2 + (XL Im )2

Um = I

mZ = 6 (20)2 + (15,07)2 ≈ 150 V

Solution de l’ exercice 6


1) Déterminons d’abord le déphasage entre la tension appliquée et le courant qui parcourt le circuit. On a :

tanΦ =X

L-X

C

RX

L= Lù

XC

=1

Cωω = 400rads-1

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⇒

XL = 0,16 x 400 = 64 ;

XC = 1

(30x10−6 )x400= 83,33 ;

tan =64 − 83,333

20 = - 0,96665

L’angle de déphasage est négatif donc la tension est en retard de Φ sur le cou-rant.

•Courantinstantané: Le courant s’écrit donc :

I = Im sin (400t + θ) avec θ = - Φ. θ est ici exprimé en radian :

tan Φ = - 0,96665 ⇒ Φ. = - 0,7685 rad d’où I = Im sin (400t + 0,7685)

Calculons maintenant Im :

Um = ZI

m ⇒ I

m =

Um

ZUm = 250 V

Z =

R2 + (XL-X

C)2 = (20)2 + (64-83,333)2 = 27,82Ω

Im = 8 ,99 A

On obtient finalement

⇒ I = 8,99 sin (400t + 0,7685)

•TensioninstantanéeVR

VR et I sont en phase d’où l’on a :

VR = V

Rm sin (400t + 0,7685) avec V

Rm = RI

m = 20 x 8,987 = 179,8Ω

⇒ VR=179,8sin(400t+0,7685)

•TensioninstantanéeVL

VL est en avance de 90° sur I


D’où VL = V

Lm sin (400t + 0,7685 +

π

2) = V

Lm cos (400t + 0,7685)

Avec VLm

= XL I

m = 64 x 8,978 = 575,17Ω

⇒ VL = 575,17 cos( 400t + 0,7685)

•TensioninstantanéeVC

VC est en retard de 90° sur I

D’où VC = V

Cm sin (400t + 0,7685 -

π

2) = - V

Cm cos (400t + 0,7685)

Avec VCm

= XC I

m = 83,333 x 8,987 = 748,91Ω

⇒ VC=- 748,91cos(400t+0,7685)

2) Calcul de VR + V

L + V

C

Posons V = VR + V

L + V

C

V = 179,8 sin (400t + 0,7685) +(575,17 – 748,91) cos (400t + 0,7685)

Appliquons la relation trigonométrique

A sin α + B cosα = (A2 + B2)1/2 sin(α + β) avec tan β = BA

On obtient :

V = [(179,8)2 + (-173,74)2]1/2sin (400t + 0,7685 + β)

tanβ = (−173,74)

179,8= - 0,9665 ⇒ β = - 0,7685

V = 250 sin (400t + 0,7685 + β) = 250 sin (400t)

On constate que V = VR + V

L + V

C = U



1)Courants instantanés IL, I

C, I

R et I

Les tensions instantanées VL, V

C et V

R aux bornes de la bobine, du condensateur

et de la résistance sont égales.

VL =

LdIL

dt= U ; V

C =

qC

= U ; VR = RI

R = U

ExpressiondeIL

LdIL

dt= U ⇒ dI

L =

1L

Udt ⇒ IL =

1L

∫ Umsinωt dt

D’où IL =

−

Um

Lù cosω t = -

Um

XL

cosω t =U

m

XL

sin(ω t-π2

= ILm

sin (ω t −

π2

)

ExpressionIC

qC

= U ⇒1C

dqdt

=dUdt

⇒I

C

C=

dUdt

⇒ CωUm

cosω t

On a alors : IC

=

Um

XC

cosω t =U

m

XC

sin(ω t +π2

) = ICm

sin (ω t +π2

)

ExpressiondeIR

RIR = U ⇒ I

R =

Um

Rsin ωt = I

Rm sin ωt


ExpressiondeI

Le courant principal I est :

I = IR

+ IL + I

C

⇒ I = Um

Rsin ωt -

Um

XL

cos ωt + Um

XC

cos ωt

⇒ I = Um

1R

sinω t +1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟cosω t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

En utilisant la relation trigonométrique :

A sin α + B cosα = (A2 + B2)1/2 sin(α + β) avec tan β = BA

On peut mettre I sous forme I = Im sin (ωt+Φ)

Ici α = ωt

β = Φ

A =1R

B = 1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

tanβ = tan Φ = 1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟/

1R

Φ est l’angle de déphasage entre la tension appliquée et le courant principal

Im = U

m [(

1R

)2 + 1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2]1/2

2) Impédance du circuit

Z =U m

I m


⇒ Z = [(1R

)2 + 1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2] -1/2

3) Angle de déphasage

On obtient cet angle à partir de :

tan Φ = 1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟/

1R

= R 1

XC

−1

XL

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟


L’impédance complexe de ce circuit est Z tel que :

1Z

= 1R

+ 11

jω C⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1R

+ jω C

D’où Z = 1

1R

+ jω C =

1R

- jω C

1R

+ jω C⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1R

- jω C⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Z =

1R

- jω C

1R2 + ω 2C2

Z = R - jω C R2

1 + ω 2C2R2 = X + jY

l’impédance de ce circuit est Z = X 2 + Y 2

Z = R1 + ω 2C2R2

l’argument ϕ de Z est tel que tan ϕ =

YX

= - ω c R

l’angle ϕ est négatif et on en déduit que la tension est en retard de ϕ sur le courant.


1- Luminosité de la lampe

Quand on fait augmenter la fréquence de la source, l’impédance Z du circuit diminue, passe par un minimum puis croît de nouveau. Le minimum de Z correspond à l’état de résonance

Z = R 2 + (X L − XC )2

A la résonance X L = XC et f = f0 ⇒ Z = R


L’intensité efficace ( Ieff

) qui parcourt le circuit est Ieff

= U eff

ZI

eff est inversement proportionnelle à Z pour U eff constante. Quand Z diminue I

eff

augmente et vice-versa. Donc quand f augmente, Ieff

augmente, passe par un maximum lorsque Z = R i.e lorsque f = f

0 puis diminue

La luminosité de la lampe varie suivant la variation de Ieff

: la lampe brille d’un éclat de plus en plus vif lorsqu’on augmente la fréquence f. L’éclat le plus vif est obtenu pour

f = f0, ensuite la lampe brille de moins en moins quand f continue de croître.

2- Fréquence de résonance

A la résonance X L = XC ⇒ 0L = 1

Cω 0

⇒ L(2π f

0) =

1C (2π f

0)

D’où f0 = 1

2π LC =

12π 0,4(0,4.10−6 )

f0 = 103

2π (0, 4) ≈ 400 Hz

Intensité maximale du courant

Ieff

=U eff

Z( f ). I

eff est maximale quand Z( f ) = Z( f0 ) = R

1Cω 0


( Ieff

)m =

U eff

R =

10−2 V10Ω

( Ieff

)m = 10-3A = 1mA

Tension aux bornes du condensateur à la résonance

Soit UC cette tension : U

C = XC I

eff

A la résonance XC = 1

Cω 0

=

1C (2π f

0)

= 1

(0,4)10−62π (400) = 1000Ω

⇒ XC = 1000Ω

⇒ UC = XC ( I

eff )

m = 1000Ω x 10-3 A = 1V

( Ieff

)m = 10-3A

3- Intensité efficace pour différentes valeurs de la résistance

Pour R1 =R2

, le courant maximum devient:

( Ieff

)m=

U eff

R1

=U eff

R2

=2U eff

R = 2mA

Pour R2 =R4

, le courant maximum devient:

( Ieff

)m =

U eff

R2

=U eff

R4

=4U eff

R = 4mA

Quand la résistance diminue, la résonance est plus aigue.



Le déphasage Φ entre tension et courant est tel que :

tan Φ = X L − XC

R

cos Φ = RZ

Si tan Φ > 0 i.e X L > XC alors la tension est en avance de phase Φ par rapport au courant.

Si tan Φ < 0 i.e X L < XC alors la tension est en retard de phase Φ par rapport au courant.

La tension et le courant sont en phase si tan Φ = 0 et cos Φ = 1. Cette situation ap-paraît quand :

X L = XC

Ceci correspond à la condition de résonance

Z = R

Cherchons le signe de ( X L - XC ). Pour cela, traçons les allures de X L et XC en fonction de f.

X L = Lω = L 2π f

XC = 1

Cω =

1C (2π ) f

XL

XC

f f0 0

XL , XC


X L est supérieur à XC si la fréquence f de la source de tension alternative est su-

périeure à la fréquence de résonance f0. X L est inférieur à XC dans le cas contraire.

Comparons donc f avec f0 = 718Hz

:

U = Um sin (1000πt) = U

msinωt = U

msin2πft ⇒ 2πf =1000π ⇒ f = 500Hz

On voit que f < f0 ⇒ X L < XC :

tan Φ = X L − XC

R < 0 ⇒ la tension est retard de Φ par rapport au courant

le circuit a un comportement capacitif


• Fréquence de résonance

f0 = 1

2π LC =

12π (1)(5.10−6 )

f0 = 71,2Hz

• Intensité efficace à la résonance

A la résonance, l’impédance Z du circuit est égale à la résistance R : Z( f0 ) = R

Soit Ieff

(f0) l’intensité efficace à la résonance :

Ieff

(f0) =

U eff

Z( f0 ) ⇒ I

eff( f0 ) =

U eff

R =

10V10Ω

Ieff

( f0 ) = 1A

• Facteur de qualité

Q = ω 0

Δω =

Lω 0

R avec ω 0 = (2π ) f0 = 2π (71,2) = 447,14 rad.s-1


On obtient donc :

Q = Lω 0

R =

(1H )(447,14rad.s−1 )10Ω Q = 44,7

• Bande passante

Δω = ω 0

Q =

447,14rad.s−1

44,7Δω = 10 rad.s−1

• Tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance

Soit (UC)

eff cette tension :

(UC)

eff = X

C(ω 0 )I

eff( f0 ) , X

C(ω 0 ) étant la réactance capacitive à la résonance.

XC(ω 0 ) =

1Cω 0

D’où (UC)

eff =

1Cω 0

Ieff

( f0 ) = 1A

(5.10−6 )(2π )(71,2)

(UC)

eff = 447,3V

Cette tension est très supérieure à la tension efficace de la source qui est de 10V


• Résistance R

L’intensité efficace est maximale à la résonance et est égale à (I eff )m = 150mA.

La fréquence de résonance est donc f0 = 800Hz.

On a : (I eff )m = U eff

Z( f0 ) avec Z( f0 ) = R l’impédance du circuit à la résonance.


On obtient donc : (I eff )m = U eff

Z( f0 ) =

U eff

R⇒ R =

U eff

(I eff )m

= 24V

150.10−3 A

R = 160Ω

• Inductance L

La bande passante est : Δω = RL

⇒ L = R

Δω =

160Ω

167,5rad.s−1

L = 0,995H

• Capacité C

Le facteur de qualité de ce circuit est :

Q = ω 0

Δω =

1CRω 0

⇒ C = 1

QRω 0

mais ω 0 = (2π ) f0 = 2π (800Hz) = 1600π rad.s−1

Δω = 167,5 rad.s−1

On a donc Q = 1600π .rad.s−1

167,5.rad.s−1 = 30

On obtient alors :

C = 1

QRω 0

= 1

(30)(160Ω)(1600π .rad.s−1 )

C = (4,14) 10-8 F



1- Représentation de Fresnel.

Calculons et comparons les réactances inductive et capacitive XL et X

C :

XL = Lω = L (2πf)

XC =

1Cù

=1

C(2π)f

avec ω = 2πf, f= 400Hz, L = 4.10-3H et C = 1,6.10-5F

Après application numérique, on obtient :

XL = 10 Ω ⇒ X

C > X

L

XC = 25 Ω

La représentation de Fresnel qui correspond au circuit a donc pour allure :

(XC - XL) Im VCm-VLm =

VRm = R Im

Um = Z Im

VCm = XC Im

VLm = XL Im


La tension est en retard de Φ sur le courant :

2- Angle de déphasage Φ

tan Φ = VLm - VCm

R=

XL - XC

R=

10 - 2520

= - 0,75 ⇒ Φ = - 37°

L’angle de déphasage est négatif ⇒ la tension est en retard sur le courant.

3- Fréquence de résonance

Traçons XL et X

C en fonction de la fréquence f

XL = L (2πf)

XC =

1C(2π )f

XL

XC

f f0 0

XL , XC


A la résonance f0 on doit avoir X

L = X

C ; à la fréquence f = 400Hz nous avons vu

que XL < X

C : ( X

L = 10Ω et X

C = 25Ω)

On déduit du graphique ci-dessus que f < f0 : la fréquence de résonance f

0 est

supérieure à 400Hz.

4. Valeur de la fréquence de résonance.

XL = X

C ⇒ L (2πf

0) =

1C(2π ) f0

D’où f0 =

12π LC

f0 =

16,28 4.10-3 (16.10-6 )

= 629Hz.

Solution de l’ exercice 14

1) Impédance complexe du circuit.

Soit Z1 et Z2 respectivement les impédances complexes des branches AB et EF.


On a : Z1 = R + jLω et Z2 =1

jCω

Nous avons ici un montage en parallèle, d’où :

1Z

=1Z1

+1

Z2

, Z étant l’impédance complexe du circuit.

⇒

1

Z=

1R + jLù

+ jCù = 1+ (jCù)(R + jLù)

R + jLù

⇒ Z =

R + jLù1+ (jCω)(R + jLω)

= R + jLù

(1+ LCù2 ) + jRCω

⇒ Z =

(R + jLù (1-LCω2 )-jRCω (1- LCω2 )2 + R2C2ω2

⇒ Z =

R + jù L(1-LCω2 )-R2C (1- LCω2 )2 + R2C2ω2

2) La résonance parallèle est obtenue quand la partie imaginaire de Z s’annule, c’est-à-dire quand L (1 - LCω2) – R2C = 0

Dans le cas où ω2L2 >> R2, cette condition est réalisée pour une valeur ω0 de ω telle

que L (1 - LCω02) = 0 ⇒ ω

0 =

1LC

(valeur de ω à la résonance). L’impédance devient :

Z =

R

ù02R2C2

=1

ù02RC2

=LC

RC2=

LRC

A la résonance l’impédance du circuit est le module Z qui n’est autre que L

RC

Zrésonance

=L

RC.



En présence de E→

et B→

, l’électron subit une force :

F→

e + F→

m = -eE→

- ev→

Λ B→

= 0 ⇒ E→

= v→

Λ B→

⇒ E = vB

La force qui s’exerce sur l’électron quand le champ E→

est enlevé est :

m v2

R= e v B

v étant La vitesse de l’électron R le rayon de sa trajectoire. Ainsi, on obtient :

R = mveB

En remplaçant v parEB

, le rayon devient :

R = meB

EB

=mEeB2

Il s’ensuit que :

em

=E

RB2

A.N. : E = 8 kV/m ; R = 1,14cm ; B = 2 x 10-3 T

em

=8.103

(1,14x10-2 )(2x10-3 )2

em

= 1,75 x 1011 C/kg



1- Vitesse des ions

Dans l’espace compris entre S et O, un ion est soumis à la force :

F→

= F→

E + F→

B = qE→

+ q v→

Λ B→

Pour qu’il traverse cet espace sans être dévié de sa trajectoire initiale, il faut que

F→

= o→

i. e. F→

E = - F→

B ⇒ qE = qvB (remarque v→

⊥ B→

)

On obtient alors :

v =EB

Seuls les ions qui ont cette vitesse sortent en O.

2- Distance d sur la plaque photographique.

• Lorsqu’un ion pénètre dans la région où règne ʹB→

, il est soumis à la force :

F→

' = qv→

Λ ʹB→

avec v→

⊥ ʹB→

La charge q étant positive, l’ion subit une déflexion magnétique vers la gauche.

Les ions qui pénètrent dans le champ ʹB→

recoupent donc la partie OM de la plaque photographique.

• Les ions se meuvent suivant un demi-cercle de diamètre d.

F→

' est une force centripète.


mv2

R = q V B’

Le rayon de la trajectoire d’un ion est donc :

R=

mvqB'

Il s’ensuit que

d = 2R =

2mvqB'

3- Isotopes de l’étain

Ces isotopes ont la même charge q mais n’ont pas la même masse. Soit d1 la

distance à laquelle l’isotope de masse m1 = 116 u coupe la plaque photographique

et d2 la distance correspondant à l’isotope de masse m

2 = 120 u.

On a alors :

d2 – d

1 =

2vqB'

(m2

- m1)

ou ∆ d =

2vqB'

∆m avec ∆d = d2 – d

1 et ∆ m = m2 - m1

En remplaçant v =

EB

, on obtient :

∆ d =

2EqBB'

∆m

A.N. : E = 15 kV/m; B = B’ = 0,15 T

1 u = 1,66 x 10-27 kg

q = e = 1,6 x 10-19 C ; ∆m = 4 u

∆d = 2(15x103 )(4)(1,66x10-27 )

(1,6x10-19 )(0,15)2

∆d = 55,3 mm



1- Fréquence du champ oscillant

A l’intérieur d’un dee, un proton décrit un demi-cercle de rayon R =

mvqB

, v étant sa vitesse d’entrée dans ce dee. Il est accéléré chaque fois qu’il passe d’un dee à l’autre si la demi période du champ électrique oscillant est égale au temps t qu’il met pour parcourir un demi-cercle.

Calculons ce temps t.

Pour effectuer une révolution complète, il faut un temps T tel que :

vT = 2πR ⇒ T =

(2π )Rv

=2πv

(mvqB

) =(2π )m

qB

Ainsi : t = T2

=(π )m

qB

La période du champ électrique est donc :

2 t = (2π )m

qB= T

Ce n’est autre que la période de révolution du proton.

La fréquence du champ électrique oscillant est alors :

f = 1T

=qB

(2π )m

A.N. q = 1,6 10- 19 C ; B = 1,5 T ; m = 1,66 x10-27 kg

f = (1,6x10-19 )(1,5)2π (1,6610-27 k)

f = 23 MHz


2- Energie cinétique

Calculons la vitesse du proton à la sortie du cyclotron :

Rs =

mqB

vs ⇒ vs =qBR s

m

A.N. q = 1,6 10- 19 C ; B = 1,5 T ; m= 1,66 x10-27 kg ; R = 0,5m

vs =

(1,610-19 )(1,5)(0,5)

(1,6610-27 )

vs = 72,3 106 ms-1

L’énergie cinétique est donc :

EC =

12

mvs2

A.N. m= 1, 66 x10-27 kg; vs = 72, 3 106 ms-1

EC = 43,38 x 10-13 J ⇒ E

C = 27,11 MeV

3- Nombre d’accélérations effectuées

La différence de potentiel entre les dés est 40 kV. Chaque fois que le proton passe d’un dé à l’autre, il gagne une énergie de 40 keV = 4 x 104 eV.

L’énergie finale étant EC, le nombre d’accélérations est :

N = Ec

40keV=

27,11x103keV40keV

N = 27110

40 ≈ 678

Le proton traverse 678 fois l’espace entre les dee.

1Cω 0



1) Vitesse d’entraînement

La densité de courant est :

j→

= - n e v→

d , v→

d étant la vitesse d’entraînement.

La vitesse et le vecteur densité de courant sont de sens contraire. Nous avons en module :

j = n e vd ⇒ v

d =

jne

(1)

L’intensité du courant est : I = j ab. Il s’ensuit que :

vd =

Ineab

(2)

2) Accumulation d’électrons sur une des faces

Chaque électron subit une force F→

m = -ev→

d ∧ B→

et dérive vers le bord avant N comme l’indique la figure ci-dessous. Il y a donc accumulation d’électrons sur le bord N et un manque d’électrons sur le bord arrière M.

3) Régime permanent

L’accumulation de charges entraîne l’apparition d’une différence de potentiel


entre les bords M et N donc d’un champ électrique orienté vers les potentiels décroissants, de M vers N.

Une force électrique F→

e = -eE→

s’exerce alors sur les électrons en plus de la force magnétique. Cette force s’oppose à l’accumulation des électrons sur le bord avant N.

Un régime permanent s’établit lorsque F→

e et F→

m se compensent :

F→

e + F→

m = o→

4) Relation entre E→

et B→

Quand le régime permanent s’établit :

-eE→

+ (-e v→

d Λ B→

) = 0→

⇒ E→

= - v→

d Λ B→

B→

et v→

d étant perpendiculaire entre eux, on obtient

E = vd B (3)

5- Différence de potentiel VM

- VN

La différence de potentiel entre les bords arrière et avant du ruban est reliée à la

circulation de E→

le long du trajet M ® N

VM

– VN = E

→

.dlM

N

∫E→

est uniforme entre ces deux bords. Il s’ensuit que :

VM

– VN = E dl

M

N

∫ = Eb⇒ E b = V

M - V

N

Remplaçons E en utilisant la relation (3). On obtient :

vd B b = V

M - V

N (4)

Mais vd =

Ineab


La relation (4) donne alors :

I B bneab

= VM - VN

I B

(ne)a= VM - VN

A.N. I = 2 A; B = 2 T; ne = 2 1010 Cm-3; a = 2 10-3 m

VM

- VN = 10-7 Volt


La loi des mailles de Kirchhoff donne :

Maille GABG : ε - R1 i

1 = 0 (1)

Maille GCDG : ε - L di2

dt- R2i2 = 0 (2)

1) Juste après la fermeture de l’interrupteur K.

• Intensité i1

La branche traversée par i1 est une résistance pure :

ε - R1 i

1 = 0 ⇒ i

1 =

ε

R1

=10V5Ω

= 2A

• Intensité i2

A cet instant initial i2 = 0

• Intensité i traversant l’interrupteur K

La loi des nœuds donne :

i = i1 + i

2 ⇒ i = 2A + 0A

i = 2 A


• Différence de potentiel aux bornes de R2

VR 2= R

2 i

2 ⇒ VR 2

= 0

• Différence de potentiel aux bornes de la bobine

VL = L

di2

dt

Reprenons la relations (2) : ε - L di2

dt - R

2 i

2 = 0

Comme i2 = 0 ⇒ ε = L

di2

dt= V

L

VL = 10V

• Taux de croissance de courant i2


ε = L di2

dt⇒

di2

dt =

ε

L=

10V5H

di2

dt= 2 A .s-1.

2) Quand le régime permanent est atteint

• Intensité i1

i1 n’a pas changé ⇒ i

1 = 2 A

• Intensité i2

Le courant i2 atteint sa valeur maximale

ε = R2 i

2 ⇒ i

2 =

ε

R2

=10V10Ω

i2 = 1A

• Intensité i

La loi des nœuds donne : i = i1 + i

2 = 2A + 1A

i = 3 A


• Différence de potentiel aux bornes de R2

VR 2= R

2 i

2 = 10 Ω x 1 A

VR 2= 10 V

• Différence de potentiel aux bornes de la bobine.

De la relation (2) on obtient :

ε - L di2

dt- R

2 i

2 = 0 ⇒ L

di2

dt= 0

(Car ε = R2 i

2)

VL = O V

• Taux de croissance du courant i2,

L’intensité n’augmente plus

di2

dt= 0 As-1


1) La loi des mailles de Kirchhoff appliquée à ce circuit donne

ε - Ldidt

- (R1 + r) i = 0 (1)


2) Vérifions que i = ε

R(1- e

- RL

t) est la solution de l’équation différentielle.

i = ε

R(1- e

- RL

t) ⇒

didt

= ε

Le

- RL

t

Portons maintenant i et didt

dans l’équation (1) :

ε - L (ε

Le

- RL

t)-(R1 + r)[ ε

R(1- e

- RL

t)]

= ε - ε e-

RL

t-R ε

R(1- e

- RL

t) car R

1 + r = R

= ε - ε e-

RL

t-ε + (ε)e

- RL

t = 0

i = ε

R(1-e

- RL

t) est bien la solution de l’équation différentielle

3) Calcul de la résistance r de la bobine

La valeur finale de i est observée au bout d’un temps suffisamment long, ce qui équivaut ici à t → ∞. Ainsi :

if =

ε

R

On a :

9991000

if =

ε

R(1-e

- RL

t1 ) avec t1 = 6,9.10 – 4 s

9991000

ε

R=

ε

R(1-e

- RL

t1 )

0,999 = 1 - e-

RL

t1 ⇒

RL

t1= ln 1000

RL

t1= 3 ln 10 ⇒ R = 3 L ln 10

t1

⇒ R1 + r =3 L ln 10

t1

⇒ r =3 L ln 10

t1

- R1


A.N. L = 0,1 mH ; ln 10 = 2,3, t1 = 6,910 - 4s ; R

1 = 0,5 Ω

r = 3 x 10-4 x 2,3

6,9.10-4 - 0,5

r = (1 -0,5 Ω)

r = 0,5 Ω


1) Champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde

Le solénoïde est de longueur infinie :

⇒ B→

est uniforme à l’intérieur : B = µ0 n I

⇒ B→

est zéro à l’extérieur

2) Coefficient d’auto-induction

Soit S l’aire de la section du solénoïde. Le flux magnétique à travers une spire est :

Φ1 = B S = µ

0 n I S

Le flux total à travers toutes les spires est :

Φ = µ0 n N’I S N’ nombre total des spires

Φ = L I ⇒ L = µ0 n N’ S avec S = π R2

3) Coefficient d’induction mutuelle

a) la bobine est traversée par le flux Φ de champ B→

créé par le solénoïde

B→

est uniforme à l’intérieur du solénoïde : B = µ0 n I et nul à l’extérieur

Φ = µ0 n I π R2 N

flux à travers une spire de la bobine plate

nombre total de spires de la bobine


Φ = MI

⇒ M = µ0n Nπ R2

b) f.é.m. induite

Quand I varie, le flux varie et une f.é.m. induite apparaît dans la bobine :

εind

= - dΦ

dt= -μ0 nNπ R 2 dI

dt

c) courant induit

Le courant induit dans la bobine est :

i =dqdt

=ε in

r= -

μ0 nNπ R 2

rdIdt

r est la résistance de la bobine plate. En intégrant cette dernière relation, on ob-tient :

q = -μ0 nNπ R 2

rI

0

∫ dI

q = μ0 nNπ R 2 I

r

D’après la loi de Lenz le sens du courant induit est tel qu’il s’oppose à la diminu-

tion de Φ c’est-à-dire à la diminution de B→

⇒ le sens du courant induit est alors le même que le sens du courant qui parcourt les spires du solénoïde.



Intensité magnétique

La loi d’Ampère donne

Hur

(C)—∫ • dlur

= NI (1)

Soit R le rayon moyen de la bobine.

La relation (1) donne H (2πR) = NI

ou H l = N I, l = 2π R étant la circonférence moyenne de la bobine.

Ainsi : H = NIl

A.N : N = 400 ; I = 2A ; l = 0,40m

H = 400 x 2

0,4

H = 2000 Am-1


Aimantation

Utilisons la relation B→

= μ0 H→

+ μ0 M→

⇒ M =B-μ0H

μ0

A.N. : B = 1 T ; H = 2000 Am-1 ; µ0 = 4π x 10-7

TmA

M = 1- (4π )10-7 x 2000

4π10-7

M = 7,94 x 105 Am-1

Susceptibilité magnétique

M→

et H→

sont liés par la relation M→

= Xm H→

d’où

M = Xm H ⇒ X

m =

MH

A.N. : M = 7,94 x 105 Am-1 ; H = 2000Am-1

Xm =

7,94 x 105

2000

Xm = 397

Courant de surface équivalent

L’aimantation M ici n’est autre que le courant de surface par unité de longueur. Soit I

s ce courant de surface.

M = Is

l ⇒ I

s = M l

A.N. : M = 7,94 x 105 Am-1 ; l = 0,40m

Is = 7,94 x 105 x 0,4

Is = 317 x 103A.


Perméabilité relative

La perméabilité relative µr est donné par µ

r = 1+ X

m

Ici Xm = 397 d’où : µ

r = 398


Aimantation

L’aimantation M→

et l’intensité magnétique H→

sont liées par la relation :

M→

= Xm H

→

⇒ M = Xm H (X

m est positif)

Mais H = n I ⇒ M = Xm n I

n est le nombre de spires par unité de longueur .

Ici n = Nl

avec N le nombre de spires et l la circonférence moyenne du tore

On a alors:

M = Xm Nl

I

A.N.: Xm = 4 x 10-3; N = 2000 ; l = 2πR = 2π(0,2) m; I = 15A

M = (4 x 10-3) x 2000

2π (0,2)15

M = 95, 54 Am-1

Champ B

B→

= μ0 H→

+ μ0 M→

⇒ B = µ0 (H + M)

H = n I =Nl

I

D’où B = µ0 (

Nl

I + Xm Nl

I)


B = µ0 (1+ X

m)

NIl

A.N.: µ0 = 4π x 10-7

TmA ; X

M = 4 x 10-3; N = 2000; l = 2π (0, 2) m; I = 15A

B = 4πx 10-7 (1 + 0,004) 2000

2π (0,2)x 15

B = 0,0301 T


1- Intensité magnétique H→


r < a :

Désignons H→

i l’intensité magnétique dans cette région

On sait que ∇→

∧ H→

i = j→

ex

Intégrons cette relation sur une surface entourée par (C) :


(∇→

∧ H→

i )dS→

= j→

ex .dS→

= I(S)∫

( S )∫

D’après le théorème de stokes, on a :

(∇→

∧ H→

i )dS→

= H→

i .dl→

(C)∫

( S )∫

D’où H→

i .dl→

= I(C )∫

dl→

est tangent au cercle (C)

H→

i est tangent au cercle (C)

⇒ Hi (2πr) = I

Hi =

I2π r

ou H→

i =I

2 π rϕ→

0

ϕ→

0 est un vecteur unitaire sur le cercle (C)

r > a

Soit H→

e le champ dans cette région. On refait la même démonstration et on

obtient :

He (2πr) = I ⇒ H

→

e =

Iϕ→

0

2 π r

2- Champ B→

en tout point de l’espace

r < a

B→

i = µ H

→

i ⇒ B

→

i = µ

I2 π r

ϕ→

0

µ étant la perméabilité du milieu matériel constituant le cylindre.

r > a : B→

e = µ

0 H→

e =

I2 π r

ϕ→

0 (car on a le vide à l’extérieur du cylindre).


3- Vecteur d’aimantation M→

On a la relation : B→

= µ0 H

→+ µ

0 M→

⇒ M→

= B→

µ0

- H→

r < a

M→

i =

B→

i

µ0

- H→

i

Remplaçons B→

i et H

→

i; on obtient :

M→

i =

μ

µ0

I2 π r

ϕ→

0 -I

2 π rϕ→

0

M→

i =

I2 π r

( μ

μ0 - 1)ϕ

→

0

r > a

M→

e = 0

→

car on est dans le vide

4- Courant ampérien Ia

C’est le courant équivalent dû à l’aimantation à l’intérieur.

On a j→

a = ∇→

∧ M→

i

Ia =

j→

a .dS→

=( S )∫ (∇

→

∧ M→

i ).( S )∫ dS

→

= M→

i

(C )—∫ .dl

→

(en appliquant le théorème de stokes)

M→

i et dl

→

sont parallèles entre eux. Après intégration, on obtient :

Mi (2π r) = I

a ⇒ I

a =

I2π r

( μ

µ0

- 1)(2π r)

Ia = I ( μ

μ0

-1)



1- Expression de la susceptibilité

Partons de la loi de Curie : M = 13

mBapp

kTMs

Mais Bapp

= µ0 H et M = X

m H, d’où :

Xm H =

13

m µ0 HkT

Ms

⇒ Xm =

13

m µ0HkT

Ms

2- Calcul de la susceptibilité Xm à T = 300K

• Calculons d’abord Ms :

Ms= n m où n est le nombre d’atomes d’aluminium par unité de volume. On a :

n = NA ρ/ M, ρ étant la densité de l’aluminium, M la masse molaire et N

A le

nombre

d’Avogadro.

Il s’ensuit que :

Ms = N

A ρ/ M m

A.N.: NA = 6,02 x 1023 atomes / mol; ρ = 2700kg /m3,

M = 27x10-3 kg/mol ; m = µB = 9,27 x 10-24 Am2

Ms =

(6,02 x 1023 )(2700)(9,27 x 10-24 )27x 10-3

Ms = 5,58 x105

Am


• Calculons maintenant Xm

Xm =

13

m μ0Ms

kT

A.N. : m = µB = 9,27 x 10-24 Am2 ; µ

0 = 4 π x 10-7

TmA

Ms = 5,58 105

Am ; k = 1,38 x10-23

JK ; T = 300K

Xm =

13

(9,27 x10-24 )(4π10-7 )(5,58x 105 )(1,38 x 10-23 )(300)

Xm = 5,23 x 10-4


1- Champ coercitif

Le champ coercitif ou force coercitive est le champ magnétique appliqué nécessaire pour ramener le champ B à zéro le long de la courbe d’hystérésis.

2- Calcul du champ coercitif

Bcoercitif

= µ0 n I

A.N. : µ0 = 4 π x 10-7

TmA ; n =

6000,15 m

; I = 11A

Bcoercitif

= (4 π x 10-7) (600

0,15 ) (11)

Bcoercitif

= 5,53 x 10-2 T



Le champ total qui règne dans la substance est :

B = Bapp

+ µ0 M (1) , B

app étant le champ appliqué

1- Champ appliqué

Bapp

= µ0 n I

A.N.: µ0 = 4 π x 10-7

TmA ; n = 5000 spires par m; I = 0,2A

Bapp

= (4 π x 10-7) ( 5000) (0,2)

Bapp

= 1,26 x 10-3T

2- Aimantation M


M = B - Bapp

µ0

A.N.: B = 1,58 T; Bapp

= 1,26 x 10-3 T ; µ0 = 4 π x 10-7

TmA

M = 1,58 - (1,26 x 10-3 )

4 π x 10-7

M = 1,26 x 106 Am


3- Perméabilité relative

µr =

BBapp

µr =

1,58 T1,26 x 10-3T

dans le tableau c

µr = 1254


Calculons µ =BH

, µ0H, µ

0M = B - µ

0H et K

m =

µµ0

et consignons leurs valeurs dans

le tableau ci-dessous.

H (Am-1) B (T)

µ =BH

(TA-1m)

µ0H(T) µ

0M = B - µ

0H

(T)K

m =

µµ0 0 0

10 0,050 0,005 1,256 x 10-5 0,04998 3,98 x 103

20 0,15 0,0075 2,512 x 10-5 0,14997 5,971 x 103

40 0,43 0,01075 5,024 x 10-5 0,42995 8,558 x 103

50 0,54 0,0108 6,28 x 10-5 0,53993 8,598 x 103

60 0,62 0,01033 7,536 x10-5 0,61992 8,224 x 103

80 0,74 0,00925 10,048 x 10-5 0,73989 7,364 x 103

100 0,83 0,0083 12,56 x 10-5 0,82987 6,608 x 103

150 0,98 0,00653 18,84 x 10-5 0,97981 5,199 x 103

200 1,07 0,00535 25,12 x 10-5 1,06975 4,259 x 103

500 1,27 0,00254 62,80 x 10-5 1,26937 2,022 x 103

1000 1,34 0,00134 125,60 x 10-5 1,3387 1,066 x 103

10 000 1,65 0,000165 1256 x 10-5 1,63744 1,31 x 102

100 000 2,02 2,02x10-5 12560 x 10-5 1,8944 1,6 x 101

800 000 2,92 3,6x10-6 100480 x 10-5 1,9152 2,87 x101


Commentaires :

• B = f (H)

La courbe B = f (H) montre une variation non linéaire de B en fonction de l’intensité magnétique (ou excitation magnétique) H. On constate une croissance rapide de B au début et cette croissance devient de plus en plus lente au fur et à mesure que la substance ferromagnétique s’aimante.

• µ0M = f (H)

µ0M croît aussi rapidement au début, puis de plus en plus lentement et tend vers une

valeur maximale qui correspond à la saturation magnétique.

• µ = f (H)

La perméabilité µ n’est pas constante. Lorsque H augmente, µ augmente depuis une valeur initiale voisine de 3x10-3TA-1m, atteint ensuite un maximum égal à 10,8x10-

3TA-1m puis décroît et tend vers une valeur voisine de 10-3TA-1m.


• Km = f (H)

Km =

µµ0

et µ0 reste égale à 4 π x 10-7

TmA alors K

m = f (H) et µ = f (H) ont la

même allure.



Champ B→

Le champ B→

associé à cette onde électromagnétique est défini par :

B→

= k→

∧ E→

ω

k→

est le vecteur d’onde et définit la direction de propagation de l’onde. Nous avons

ici une onde qui se propage suivant l’axe x, alors on a k→

= k e→

x , e→

x étant le vecteur unitaire suivant l’axe x. On a donc:

B→

= k→

∧ E→

ω =

kω

e→

x ∧ E→

Mais

kω

= 1c

d’où B→

= e→

x ∧ E→

c . Déterminons e

→

x ∧ E→

:

e→

x ∧ E→

= e→

x ∧ E0 sin(kx - ω t) e

→

y + E0 cos(kx - ω t) e

→

z⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= e→

z E0 sin(kx - ω t) - e

→

y E0 cos(kx - ω t)

= ( e→

x ∧ e→

y ) E0 sin(kx - ω t) + ( e

→

x ∧ e→

z ) E0 cos(kx - ω t)

On obtient :

B→

(x,t) = - E

0

c cos(kx - ω t) e

→

y + E

0

c sin(kx -ω t) e

→

z

Evolution de E→

(0,t) au cours du temps

On a :

E→

(0,t) = - E0 sin(ω t) e

→

y + E0 cos(ω t) e

→

z


E

y (0,t) = - E

0 sin(ω t) = - E

0 sin 2π ft

Ez (0,t) = E

0 cos(ω t) = E

0 cos 2π ft

f est la fréquence de l’onde. Les évolutions de E

y (0,t) , de Ez

(0,t) et de E→

(0,t) sont décrites dans le tableau qui suit. Les directions des axes y et z sont aussi illus-trées ci-dessous.

y

z

t

0

18 f

28 f

38 f

48 f

58 f

Ey(0,t)

0 -E

0 sin

π4

-E0

-E0 sin

3π4

0 -E

0 sin

5π4

Ez(0,t)

E0 E

0 cos

π4

0 E

0 cos

3π4

-E0

E

0 cos

5π4

E→

(0,t)

On voit que E→

(0,t) tourne dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre

et son amplitude est constante. On peut vérifier que E

y2 + E

z2 = E

02 . C’est l’équation

d’un cercle de rayon E0.

Évolution de B→

(0,t) au cours du temps

Reprenons B→

(x,t) = - E

0

c cos(kx - ω t) e

→

y + E

0

c sin(kx -ω t) e

→

z . Posons


B

0 =

E0

c. On a alors:

B→

(x,t) = - B0 cos(kx - ω t) e

→

y + B0 sin(kx -ω t) e

→

z

B→

(0,t) = - B0 cos ω t e

→

y + B0 sin ω t e

→

z

B

y (0,t) = - B

0 cos ω t = - B

0 cos 2π ft

Bz (0,t) = B

0 sin ω t = B

0 sin 2π ft

Les évolutions de B

y (0,t) , de Bz

(0,t) et de B→

(0,t) sont décrites ci-dessous.

y

z

t

0

18 f

28 f

38 f

48 f

58 f

By(0,t)

- B0 - B

0 cos

π4

0 - B

0 cos

3π4

B0 - B

0 cos

5π4

Bz(0,t)

0 B

0 sin

π4

B0 B

0 sin

3π4

0 B

0 sin

5π4

Bur

(0,t)

B→

(0,t) tourne dans le sens des aiguilles d’une montre et son amplitude est constante.

On peut vérifier que B

y2 + B

z2 = B

02 . C’est l’équation d’un cercle de rayon B0

Cette onde électromagnétique a une polarisation circulaire. Pour une valeur déterminée

de x les vecteurs E→

et B→

tournent suivant un cercle dans un plan perpendiculaire à

la direction de propagation qui est ici l’axe x. E→

est polarisé circulairement à gauche


et B→

circulairement à droite.

Vecteur de Poynting associé à cette onde

Le vecteur de Poynting S→

est :

S→

= E→

∧ B→

μ0

Déterminons Eur

∧ Bur

:

E→

∧ B→

= e→

y E0 sin(kx - ω t) + e

→

z E0 cos(kx - ω t)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ∧ - e

→

y B0 cos(kx - ω t) + e

→

z B0 sin(kx - ω t)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Rappelons que :

e→

y ∧ e→

y = e→

z ∧ e→

z = 0r

e→

y ∧ e→

z = e→

x

e→

z ∧ e→

y = - e→

x

En appliquant ces relations , on obtient :

E→

∧ B→

= e→

x E0B

0 sin2(kx - ω t) + e

→

x E0B

0 cos2(kx - ω t) = e

→

x E0B

0

Le vecteur de Poynting s”écrit donc :

S→

= E→

∧ B→

μ0

= E

0B

0

μ0

e→

x = E

02

μ0 c

e→

x

Le vecteur de Poynting a la direction de propagation de l’onde.


Autre méthode

On peut aussi partir des relations suivantes :

S→

= E→

∧ B→

μ0

avec B→

= k→

∧ E→

ω =

kω

e→

x ∧ E→

= 1c

e→

x ∧ E→

On a donc :

S→

= 1

c μ0

E→

∧ ( e→

x ∧ E→

)

En utilisant a→

∧ ( b→

∧ c→

) = ( a→

⋅ c→

) b→

- ( a→

⋅ b→

) c→

, on obtient:

S→

= E

02

μ0 c

e→

x


Le vecteur de Poynting associé à cette onde est :

S→

= E→

∧ B→

μ0

= 1μ

0

E→

0 ∧ B→

0 cos2(k→

⋅ r→

- ω t)

Mais E→

0 ⊥ B→

0 et E0 = B

0 c . On a donc :

S→

= S = 1μ

0

E→

0 ∧ B→

0 cos2(k→

⋅ r→

- ω t)

S =

1μ

0

E0B

0 cos2(k

→

⋅ r→

- ω t) = 1

μ0 c

E02 cos2(k

→

⋅ r→

- ω t)


L’intensité I de l’onde est la valeur moyenne de

S→

. Soit < S > cette valeur moyenne. On a:

I = < S > =

1μ

0 c

E02 < cos2(k

→

⋅ r→

- ω t) >

La valeur moyenne < cos2(k→

⋅ r→

- ω t) > est < cos2(k

→

⋅ r→

- ω t) > = 12

. On obtient alors :

I = < S > =

12 μ0 c

E02

Comme

c = 1

ε0 μ

0

, cette intensité peut aussi s’écrire :

I = < S > =

12 μ

0 c

E02 =

c

2 μ0 c2

E02 =

c E02

2 μ0

(μ0 ε

0) =

12

c ε0 E

02


Intensité de l’onde

Soit S→

le vecteur de Poynting associé à cette onde. Posons S→

= S . L’intensité I est

la valeur moyenne < S > de S. Mais S est la puissance P de l’onde par unité de sur-

face. On a donc P

I = A

; A est ici l’aire d’une sphère ayant pour centre la source de lumière et pour rayon r la distance qui sépare le point M de cette source. On obtient alors :

I =

PA

= P

4 π r2

Application numérique : P = 30W ; r = 2m

I =

PA

= 30W

4 π (2m)2

2

WI = 0,6

m



Soit rP cette pression :

r

IP =

c

Application numérique : 2

WI = 0,6

m; 8 m

c = 3 x 10 s

r 8

0,6P =

3 x 10

-8rP = 0,2 x 10 Pa

Amplitude du champ électrique

Désignons par 0E cette amplitude. On a :

I =

12

c ε0 E

02 ⇒ P

r =

Ic

= 12

ε0 E

02

Il s’ensuit que :

r0

0

2 PE =

Application numérique : -8rP = 0,2 x 10 Pa ; ε0

= 8,85 x 10- 12 C2 N- 1 m- 2

-8

0 -12

2 (0,2 x 10 )E =

8,85 x 10

0

VE = 21,26

m


Amplitude du champ magnétique

Soit 0B cette amplitude. On déduit 0B de la relation 0 0E = B c :

00

EB =

c

Application numérique : 0

VE = 21,26

m; 8 m

c = 3 x 10 s

0 8

21,26B =

3 x 10-8

0B = 7,09 x 10 T


XVI. Références

BARUCH, P., HULIN, M. et PETROFF J.-F. (1972). Electricité- Magnétisme. Cours. Hermann, Paris,





FRANCIS, W. S., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG. H. D. (1987). University Phy-sics. Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, USA.

FRANCIS, W. S., ZEMANSKY, M. W. and YOUNG, H. D. (1974). College Physics. Fourth Edition. Addison-Wesley Publishing Company, USA.

GERL, M. et JANOT, C. (1970). Physique MP2 – PC2, 1. Relativité – Electroma-gnétisme. Collection Hachette Université.




RESNICK, R. et HALLIDAY, D. (1979). Electricité et magnétisme, physique 2. Tra-duit par André Lebel et Claudine Thériault. Editions du Renouveau Pédagogique. Inc. Montréal (Québec) Canada




TIPLER, P.-A (1999). Physics for Scientists and Engineers. Fourth Edition. FREE-MAN, W.H, and . and Company. Worth Publishers Inc., New York, USA.


http://sitelec.free.fr/cours/rlcseries.pdf



http://www.walter-fendt.de/ph11f/accircuit_f.htm


http://labo.ntic.org/RLC_serie/RLC.html

http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos-phy/applets/RLC_serie/RLC.htm





http://sitelec.free.fr/cours/rlcseries.pdf

http://www.physique-eea.unicaen.fr/enseignement/deug-st/sm/dsm153/poly/dsm153-e.pdf

http://www.unilim.fr/pages_perso/frederic.louradour/Oscillo_2.PDF

http://wwwens.uqac.ca/chimie/Physique_atom/Chap_htm/CHAP_3.html

http://www.unige.ch/sciences/physique/tp/tpe/E9.htm

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/esurm.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/hall.html

http://membres.lycos.fr/physicisss/labos/effet_hall.pdf

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/cy-clotron.html

http://perso.orange.fr/physique.chimie/Cours_de_physique/Physique_12_parti-

cule_chargee_dans_un_champ_magnetique.htm http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Induction_electromagnetique.html

http://perso.orange.fr/daniel.robert9/Induction_electromagnetique0.html

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/lenz.html

http://jf-noblet.chez-alice.fr/bobine/index.htm




http://semainescience.u-strasbg.fr/magnetisme/fondement.html

http://www.grasp.ulg.ac.be/cours/2cm/elec5.pdf

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/weisli_j.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/praimh.html

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/oem1.html

http://www.walter-fendt.de/ph11f/emwave_f.htm

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/2pcirc_j.html

http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/polond_j.html


XVII. Auteur principal du module

Dr. Henri RASOLONDRAMANITRA

Maître de ConférencesFilière Physique – ChimieEcole Normale Supérieure (ENS)Université d’AntananarivoMadagascarCourriel : [email protected]

Ph.D en Physique, Oregon State University (USA), 1985

Enseignant Chercheur à l’ENS ; Responsable pédagogique de la filière Physique-Chimie ; Membre du conseil scientifique de l’ENS depuis 1998 ; Membre du Conseil d’Etablissement de l’ENS, 1998-2006 ; Membre de la Cellule d’Evaluation et Coor-dination des Projets de l’ENS.

Il encadre les élèves professeurs dans la préparation de leurs mémoires de fin d’études et les étudiants de DEA en Didactique des Sciences expérimentales.

Électricité et magnétisme.pdf

Documents