9/10/2020

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Electromagnetics:

Electromagnetic Field Theory

Electromagnetic Wave Polarization

Lecture Outline

•Definition of Electromagnetic Wave Polarization

•Orthogonality & Handedness•Polarization Classification: Linear, Circular & Elliptical•Poincaré Sphere•Polarization Explicit Form•Dissection of a Plane Wave

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Definition of Electromagnetic Wave 

Polarization

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What is Polarization?

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Polarization is that property of a electromagnetic wave which describes the time‐varying direction and relative magnitude of the electric field vector.

jk rE r Pe

Polarization Vector

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Why is Polarization Important?

• Different polarizations can behave differently in a device•Orthogonal polarizations will not interfere with each other• Polarization becomes critical when analyzing devices on the scale of a wavelength

• Focusing properties of lenses can depend on polarization• Reflection/transmission can depend on polarization

• Frequency of resonators can depend on polarization• Cutoff conditions for filters, waveguides, etc., can depend on polarization

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Orthogonality & Handedness

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Plane Waves in LHI Media are TEM

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In linear, homogeneous and isotropic (LHI) media, the electric field 𝐸, magnetic field 𝐻, and direction of the wave 𝑘 are all perpendicular to each other. These are called transverse electromagnetic (TEM) waves.

E k H

Further 𝐸, 𝐻, and 𝑘 follow a right‐hand rule.

Proof That 𝐸 ⊥ 𝑘

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Start with Gauss’ law.

0D

Put this in terms of the electric field intensity    .E

0E 0E

0E

Substitute in expression for a plane wave.

0jk rPe

0jk rjk Pe

0k P

According to the dot‐product test, if                   then            .0k P

k P

E k

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Proof That 𝐻 ⊥ 𝑘

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Start with Gauss’ law for magnetic fields.

0B

Put this in terms of the magnetic field intensity    .H

0H 0H

0H

Substitute in expression for a plane wave.

0 0jk rH e

0 0jk rjk H e

0 0k H

According to the dot‐product test, if                     then              .0 0k H

0k H

H k

Proof That 𝐸 ⊥ 𝐻

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Start with Faraday’s law.

E j H

Substitute in expression for a plane wave.

0 0jk r jk rE e j H e

00

k EH

0 0jk r jk rjk E e j H e

0 0k E H

According to the properties of cross products, 𝐻will be perpendicular to both 𝑘 and 𝐸.

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Polarization Classification:

Linear, Circular & Elliptical

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Linear Polarization (LP)

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An electromagnetic wave has linear polarization if the electric field oscillation is confined to a single plane.

0 ˆ jkzxE E a e

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Linear Polarization (LP)

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0 ˆ jkzyE E a e

An electromagnetic wave has linear polarization if the electric field oscillation is confined to a single plane.

Linear Polarization (LP)

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0 ˆ ˆcos sin jkzx yE E a a e

An electromagnetic wave has linear polarization if the electric field oscillation is confined to a single plane.

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Circular Polarization (CP)

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Suppose two LP waves are brought together…

1 0 ˆ jkzxE E a e

2 0 ˆ jkzyE E a e

Circular Polarization (CP)

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…and then one LP wave is phase shifted by 90.

0 0

1

0

2

0

Before phase shift (LP)

After phase shift (Rˆ C

ˆ

ˆ

ˆ P)

jkzx

z

z

jky

jkzjkx y

EEE a e

E a e

a e

jE a eE

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Circular Polarization (CP)

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The overall electric field will appear to rotate with respect to both time and position.

1 2 0 ˆ ˆ jkzx yE E E a ja e

Circular Polarization (CP)

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An electromagnetic wave has circular polarization if the direction of the electric field rotates with time and has a constant magnitude.

0 ˆ ˆ jkzx yE E a ja e

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Right Circular Polarization (RCP)

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An electromagnetic wave has right circular polarization if the electric field rotates clockwise when viewed from behind.

0 ˆ ˆ jkzx yE E a ja e

Left Circular Polarization (LCP)

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0 ˆ ˆ jkzx yE E a ja e

An electromagnetic wave has left circular polarization if the electric field rotates counterclockwise when viewed from behind.

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Elliptical Polarization (EP)

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An electromagnetic wave has elliptical polarization if the electric field rotates with time to form an ellipse.

Continuum of LP+LP Polarizations

Slide 22

As the phase difference  between the two LP waves changes, the resulting polarization…

00 ˆ ˆLPLP j jkzjkzx xy yE a e E e a e

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Continuum of LP+LP Polarizations

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As the phase difference  between the two LP waves changes, the resulting polarization oscillates between RCP, LCP, LP45, LP‐45, and EP.

0

0

0

ˆ

ˆL L

ˆ1

ˆPP

j jkz

j jkzy

kyx

x y

j zx E e a

E a e a e

eE a e

Continuum of CP+CP Polarizations

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0 0ˆ ˆR P ˆ ˆLC 1 1C P j jkzjkzx y x yE a ja E a ja e ee

As the phase difference  between the two CP waves changes, the resulting polarization is...

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Continuum of CP+CP Polarizations

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As the phase difference  between the two CP waves changes, the resulting polarization is LP where the phase  translates into a tilt angle.

0 0

0 ˆ ˆcos si

ˆ ˆRCP 1 1

n

ˆ ˆLCP

jkz

yjkz

x yj jkz

x

x y

E a j E a ja e

E a

a e e

a e

Poincaré Sphere

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Poincaré Sphere

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The polarization of a wave can be mapped to a unique point on the Poincaré sphere.

Points on opposite sides of the sphere are orthogonal.

See Balanis, Chap. 4.

RCP

LCP

+45° LP0° LP

90° LP‐45° LP

Continuum of All Polarizations

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Polarization Explicit Form

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k

a

bˆˆa bp a bP p

Possibilities for Wave Polarization

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Recall that 𝐸 ⊥ 𝑘 so the polarization vector 𝑃 must fall within the plane perpendicular to 𝑘.

The polarization can be decomposed into two orthogonal directions, 𝑎 and 𝑏.

Rules for Choosing  and  a b

1. Orthogonality 

2. Handedness 

ˆa k b

ˆ ˆa b k

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Explicit Form to Convey Polarization

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The expression for the electromagnetic wave can now be written as

ˆˆjk r jk ra bE r Pe p a p b e

pa and pb are in general complex numbers in order to convey the relative phase of each of these components.

a bj ja a b bp E e p E e

ˆˆ b a aj j jk ra bE a E e b e e

Substituting pa and pb into the wave expression gives

Interpret a as the phase common to both pa and pb.

b a a

Interpret b – a as the phase difference between pa and pb.

ˆˆ j j jk ra bE r E a E e b e e

The final expression is: 

ˆˆa bj j jk ra bE r E e a E e b e

Determining Polarization of a Wave

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To determine polarization, it is most convenient to write the expression for the wave that makes polarization explicit.

ˆˆ j j jk ra bE r E a E e b e e

ˆamplite along

ˆamplite along

phase difference

common phase

a

b

E a

E b

Polarization Designation Mathematical Definition

Linear Polarization (LP) = 0°

Circular Polarization (CP) = ± 90° and Ea = EbRight‐Hand CP (RCP) = + 90° and Ea = EbLeft‐Hand CP (LCP) = - 90° and Ea = Eb

Elliptical Polarization Everything else

Given 𝐸 , 𝐸 , and 𝛿 the following table can be used to identify the polarization of the wave…

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Dissection of aPlane Wave

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Dissection of a Plane Wave

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0

0

, cos

, cos

H r t H t k r

E r t E t k r

0

0

E

H

Impedance

Wavelength in Medium

2k

Free Space Wavelength

00c f

0

0

0

0ˆ ˆ

ˆ

H k P

E P

H

E

Complex Amplitudes

Ordinary Frequency

2 f

Direction

kk

k

Refractive Index

0 0

vn

c

Speed

v f

Constitutive Parameters

0

rr r

r

rr

0

0

0

nn

n

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Reading Off the Parameters

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9ˆ ˆ, 3 7 cos 2.4 10 5.1 3.5 V mx yE r t a a t x z

Vˆ ˆ3 7

mx yP a a

Polarization Vector Angular Frequency9 rad

2.4 10 sec

Wave Vector

Step 1 – Factor out negative sign.

, cos V mE r t t rP k

Standard Form

9 9cos 2.4 10 5.1 3.5 cos 2.4 10 5.1 3.5t x z t x z Step 2 – Set expression in parentheses equal to  x y zk r k x k y k z

5.1 3.5x y zk x k y k z x z

Step 3 – Read off components of  k

1ˆ ˆ5.1, 0, 3.5 5.1 3.5 mx y z x zk k k k a a