elektrodinamika-drugi del prof.dr. bojan grčar doc.dr ... · elektrodinamika-ii prof.dr. bojan...
TRANSCRIPT
Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan GrčarDoc.dr. Jože Ritonja
Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in analizi časovno zveznih dinamičnih sistemov na področju elementarnih elementov, električnih vezij, elektromagnetnih in elektromehanskih naprav.
1
Področje in cilj:
Elektromagnetne in elektromehanske naprave (transformatorji, motorji, generatorji, pogone,...) in sisteme (elektroenergetski sistemi) lahko obravnavamo v ustaljenih ali prehodnih stanjih. Ustaljena stanja karakterizira ravnotežje dovedene in porabljene moći, prehodna stanja pa nastopijo pri spremembah ravnotežnih stanj zaradi: spremembe obremenitve, spreminjanja krmilnih (vhodnih, vzbijalnih) količin, vpliva okolice (motnje), spremenjene strukture in parametrov, pri vklopih, izklopih in kratkih stikih, pri nastanku nesimetrije v trifaznih sistemih, ...
Obravnava prehodnih stanj zahteva poznavanje fizikalnega dogajanja in matematičnih postopkov za analizo. Drugi del predmeta je zato namenjen splošnim matematičnim postopkom in metodam, ki jih potrebujemo v analizi prehodnih stanj elektromagnetnih in elektromehanskih naprav in sistemov. V obravnavi se bomo omejili na kavzalne, časovno zvezne sisteme pri katerih je izhod: odvisen le od trenutnih in predhodnih vzbujanj, in notranja stanja so zvezne funkcije časa.
2
Vsebina, obveznosti in preverjanje:
Predavanja: Uvod T.1. Energija, energijski akumulatorji, spremenljivke stanja, modeli
elementarnih elementov in vezij. Lagrangeova funkcija, Euler-lagrangeova metoda
T.2. Lineaenost, linearizacija, T.3. Oblike modelov, pretvorbe T.3. Stabilnost, T.4. Analitična rešitev, homogena in partikularna rešitev, standardni
vzbujalni signali T.5. Obravnava primerov iz področja elektromehanskih sistemov. Pričakovano predznanje: osnove matrične algebre, diferencialne
enačbe, Laplace-ova transformacija
Vaje: Uporaba programskega orodja
MATLAB/SIMULINK v analizi dinamičnih sistemov
......
Obveznosti: sodelovanje na predavanjih, opravljene domače naloge, prisotnost na vajah, poročilo o vajah.
Preverjanje znanja:
a.)Zagovor vajKolokvij (>40%) Domače naloge (20 %)Ustni zagovor
b.)Zagovor vaj, pisni izpit ((>50%), ustni izpit
3
Dinamični sistemi:
Tehnološki proces je zbirka elementov in notranjih povezav, ki omogočajo energijsko-masne pretvorbe. Tehnološke procese opisujemo s fizikalnimi količinami. Tehnološki procesi so praviloma v interakciji s svojo okolico.
Na energijsko-masne pretvorbe v obravnavanem sistemu lahko vplivamo preko aktorjev in krmilnih vhodov, stanja sistema opazujemo preko senzorjev, okolica pa na sistem vpliva preko motenj.
Poleg tehnoloških velja omeniti še npr. biološke, kemijske, in nematerialne sisteme kot npr. sociološke, ekonomske, informacijske, ......
Dinamika sistemov- znastvena disciplina, ki opisuje obnašanje sistema ob prehajanju iz ravnotežnih stanj pod vplivom sprememb (krmilnih) vhodov, motenj, parametrov ali notranje strukture. Proučevanje dinamike sistemov zahteva:
definiranje sistema, njegovih vhodov, izhodov in interakcij z okolico,
postavitev matematičnega modela, ki ga izpelejemo na osnovi fizikalnih zakonitosti,
analizo dinamičnega obnašanja, vplivnih veličin, strukturnih lastnosti,
na snovi spoznanj iz analize morebitne spremebe konstrukcije, strukture ali parametrov sistema.
Sistemi pri katerih so izhodi in notranja stanja vsak trenutek odvisni le od trenutnih vhodov (vzbujanj) so statični sistemi.
Sistemi pri katerih so izhodi in notranja stanja vsak trenutek odvisni od trenutnih in vseh predhodnih vhodov (vzbujanj) so dinamični sistemi.
Dinamični sistemi vsebujejo energijske akumulatorje oziroma elemente, ko omogočajo hranjenje različnih vrst energije.
Spremenljivke, ki opisujejo stanja neodvisnih energijskih akumulatorjev imenujemo spremenljivke stanja sistema.
Tehnološki proces
SenzorjiAktorji
Krmilno-regulacijske naprave
Energijsko-masni tok
Informacijski tok
Začetno stanje
Konćno stanje
OKOLICAMotnje (veličine na ketere na moremo vplivati s krmilno’regulacijskimi napravami)
4
Dinamični sistemi:
Klasifikacija dinamičnih sistemov: eno- ali večvhodni, linearni ali nelinearni, s koncentriranimi ali porazdeljenimi parametri, časovno zvezni ali časovno diskretni in s konstantnimi ali spremenljivimi parametri.
Dinamične sisteme pa lahko razdelimo tudi glede na fizikalno naravo spremenljivk in parametrov s katerimi je sistem opisan, npr. elektriški, mehanski, termični, hidravlični, elektromehanski, .....
Matematična obravnava dinamičnih sistemov: sisteme s koncentriranimi parametri opišemo z linearnimi
ali nelinearnimi diferencialnimi enačbami. sisteme s porazdeljenimi parametri opišemo s
parcaialnimi diferncialnimi enačbami. če se omejimo na analizo ravnotežnih stanj opišemo
takšne sisteme z linearnimi ali nelinearnimi algebrajskimi enačbami.
Izhodiščna faza pri obravnavi dinamičnih sistemov je (fizikalno) modeliranje, ki povzema “bistvene” lastnosti sistema in vodi na določeno obliko matematičnega modela. Matematični modeli so lahko parametrični (parametri sistema nastopajo v eksplicitni obliki) ali neparametrični (utežna funkcija, impulzni odziv), kjer
se vpliv parametrov obravnavanega sistema kaže v implicitni obliki. Modeliranje je pogosto iterativni proces v katerem matematični model postopno dopolnjujemo, da dovolj natančno opišemo lastnosti sistema, ki jih želimo analizirati. Matematični modeli,ki temeljijo na vpeljanih abstrakcijah in poenostavitvah vedno predstavljajo le približek realnih fizikalnih sistemov.
Sistemska teorija nam omogoča, da za sisteme z različno fizikalno naravo izpeljemo enakovredne oblike matematičnih modelov, ki jih lahko formalno analiziramo na poenoten način, tako v smislu dinamičnega obnašanja kot tudi z vidika njihovih strukturnih lastnosti.
Analiza
Vrednotenje ?model ni ustrezen
Matematični model
Modeliranje (hipoteze, poenostavitve,
struktura,parametri)
Fizikalni sistem
Analitična
Numerična
5
Linearni
)(,,,, sGDCBAΣ
Nelinearni
),(
)0(;),(
uxgy
xuxfx
==
Dinamični sistemi:
a.) Postavitev matematičnega modela -klasični pristop: ravnotežne enačbe (Kirchoff , Newton, ), ohranitveni
zakoni (mase, energije) konstitutivne enačbe (podajajo zveze med količinami) v primeru sestavljenih (kompleksnih) sistemov
strukturiramo celoto v več smiselnih podsitemov in določimo njihove medsebojne povezave izpeljan matematični model zapišemo v obliki, ki je
najbolj primerna za nadaljno analizo
b.) Postavitev matematičnega modela -energijski pristop; izhaja iz temeljnega zakona o
ohranitvi energije
.....
6
i1 + i4 = i2 + i3 v1 + v2 + v3 + v4 =
0
energijenotranje spremembamoč
porabljenamočdovedena
Edt
dPP pd =−
volumnaspremembapretok
izstopnipretokvzstopni
Vdt
dqq outin =−
0
posp.silasil vsota
=−∑ amFi
i 0
navorposp.
navorov vsota
=α−∑ JTi
i
0
konst.!
=
→=−=
dt
dL
VTL
Sistem s konstantno notranjo energijo
Konzervativni sistem= brez izgub in aktivnih izvorov
kinetična
potencialna
energijska funkcija
Model elektromehanskega sistema (EMS):
-mehanski podsistem:
•Gibanje membrane duši zrak; d-koeficient dušenja, M masa gibljivih delov (boben in navitje), k-koeficient elestičnosti membrane;
•Vzbujalna sila je proporcionalna toku skozi navitje
•Mehanska ravnotežna enačba:
∑
−−=×
iiF
xkxbicxM
vpetja elast.dušenje
silavzbujalna
pospešek masa
)/1(
-električni podsistem:
• napetost izvora je proporcionlna zvočnemu signalu iz ojačevalnika
• inducirana protinapetost e je proporcionalna hitrosti gibanja, posledica gibaja membrane v polju permenentnega magneta
napetostna ravnotežna enačba
e -napetost inducirana
napetostvzbujalna
xcviRiL −=+
R
L x
e
v
i
vhod izhod
Permanentni magnet
Boben
MembranaNavitje
Elastično vpetje
7
EMS-nadaljevanje:
)())/1()()(((
)(
))/1()()(((
))/1()()(((
_________________________
)(
))/1((
....,:,:
)(
22
22
22
2
22
2
sVkscbMsRLs
csX
sD
vkDcbMDRLD
cx
cvxkDcbMDRLD
cDxviRLD
icxkbDMD
Ddt
dD
dt
d
sG
++++=
→
++++=
=++++
−=+=++
→==
L
Vhodno-izhodni opis sistema podaja zvezo med vzbujalno napetostjo in pomikom membrane. Omogoča nam, da z izbiro parametrov oblikujemo ustrezno frekvenčno karakteristiko.
)(DG)(tv )(tx
)(sG)(sV )(sX
Operatorski polinom !
8
EMS-simulacijski diagram:
_________________________
)(/1)(
))/1((/1))/1(( 22
→
+−−=→−=++−−=→=++vcDxRiLDicDxviRLD
cixkbDxMxDicxkbDMDStanja sistema !
L/1
R
)(ti
c
c)(tF
M/1
b
k/1
)(tx
)(tv )(tx)(tx
Električni podsistem Mehanski podsistem
9
Obravnavan model je torej definiran z:
vhodom in izhodom
s stanji sistema
in vektorjem parametrov
Model je tretjega reda zaradi treh neodvisnih energijskih akumulatorjev (integratorjev), ki jih opisjejo spremenljivke stanja sistema. Model izražen s stanji sistema v matrični obliki je torej:
EMS-nadaljevanje:
)(tx)(tv
[ ] T)()()( titxtx
[ ] T/1 kcbMRL
4,5 N/AMagnetna konstanta (c)
N/m
Koeficient elestičnosti (1/k)
1,3 kg/sDušenje (b)
11 gMasa gbljivih delov (M)
4,5 Upornost tuljave (R)
0,2 mHInduktivnost tuljave (L)
Ω
3102,1 •
Podatki za simulacijo:
buA
v
Li
x
x
L
R
L
cM
c
M
b
kMi
x
x
+=
→
+
−−
−−=
xx
10
0
0
1010
10
Model mehanskega sistema:
- kinetična energija v trenutku
dt
dvmvFvP
dt
d
vm
0000
0
200 2
1
===
=
E
E Ker je energija vsak trenutek odvisna od hitrosti vozila, jo izberemo kot spremenljivko stanja.
0
0
sila pogonska
)(1
)()( vdFm
tvtFvdt
dm
t
pp +=→∫= ∫ ττ
hitrostpogonska sila
trenjetrenje
zračni upor
0t
-če zanemarimo zračni upor in kotalno trenje dobimo z odvajanjem nergije po času:
-če je: ?)(konst.)( =→= tvtFp- kakšna bo hitrost : ?)( =→∞→ tvt
-če upoštevamo zračni upor in kotalno trenje velja:
0
0
2
00
2
upor zracni
trenje kotalno
sila pogonska
)()()(1
)()()()(
)()()(
vdvm
kdv
m
kdF
mv
tvktvtktF
tFtFtFvdt
dm
tzu
tt
t
p
zutp
zuktp
+−−=
→−−=
=−−=
∫∫∫ ττττττ
- prevožena razdalja: ττ dvtxt
∫=1
0
)()(
- pri konstantni pogonski sili bo vozilo doseglo končno (konstantno) hitrost:
0;.2
42
==++−
=dt
dvkonst
k
Fkkkv
zu
pzutt
k
)(tv)(tx
0v 0x
tk
zuk
pF
m/1
pospešek hitrost
razdalja
Stanje v katerem so odvodi spremenljivk stanja enaki nič imenujemo ravnotežno stanje. Kaj opazimo v obravnavanem primeru ?
11
ygmVymT == 2
2
1
Euler-Lagrangeova metoda:
x
y
f
gm
mgfym
fymi
i
−=
= ∑
Ravnotežna enačba:
Kinetična (T) in potencialna energija (V):
Lagraneova funkcija :
Joseph-Louis de Lagrange1 736 – 1813diferencialne enačbe, variacijski račun,...
ygmymL −= 2
2
1
mgmgyyy
V
y
L
ymymyy
T
y
L
−=∂∂−=
∂∂−=
∂∂
=∂∂=
∂∂=
∂∂
)(
)2
1( 2
gibalna količina
sila teže
Euler-Lagraneova enačba: fy
L
y
L
dt
d =∂∂−
∂∂
mgfym
fmgymdt
d
−=
→=+
srememba gibalne količine po času=sila
VTL −=:
Leonhard Euler, švicarski matematik, fizik in astronom,, 1707-, 1783,algebra,diferencialni račun, izrek o ohranitvi kinetične in potencialne energije
12
položaj in hitrost energ.stanje s premenljivki stanja
Euler-Lagrangeova metoda:
gmfy
mgfym
−=−=/
NDE:
Ravnotežje:
13
yyymf /
g
ryy
y
mgfy
==
=→=0
0
Izraženo s stanji sistema:
gfm
xx
xx
yxyx
−
+
+
=
=
→==
1
0
/1
0
00
10
;
2
1
21
Euler-Lagrangeova metoda:
Izhajamo iz ravnotežnega stanja, tako da velja
Kinetična (T) in potencialna energija (V):
2
00
2
2
1
2
1ykydykydFVymT
yy=′′=′== ∫∫
Lagraneova funkcija L :
22
2
1
2
1ykymVTL −=−=
kykyyy
V
y
L
ymymyy
T
y
L
−=∂∂−=
∂∂−=
∂∂
=∂∂=
∂∂=
∂∂
)2
1(
)2
1(
2
2
Euler-Lagraneova enačba:
fy
L
y
L
dt
d =∂∂−
∂∂
fykym
fkyymdt
d
=+
→=+
y
f
m
kravnotežno
stanje00 =→= fyVpliv težnosti lahko tako zanemarimo, f predstavlja vzbujalno silo.
NDE 2 stopnje (2 energ. akumolatorja):
14
y1s
1s
1/m
k
f
Euler-Lagrangeova metoda:
)(/1
/)/(
fykmy
mfymky
fykym
+−==+
=+
u
[ ] xcxy
xbuAxfm
xmkx
xx
T==
+=
+
−
=
=
01
;/1
0
0/
100
2
1
m
kj
m
kmj ±=±=2,1λ
Re+
Im+
Lastne vrednosti sistemske matrike A :
0,]N/m[2],Kg[1 0 === xkm]N[)(tu
)(st
1,0
1
Za primer :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
)s(t
)(ty
s4,4=T
-6 -4 -2 0 2 4 6
x 10-3
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
]m[y
]m/s[y
15
2x1x
Rezultat fizikalnega modeliranja je matematični model, ki ga dobimo v obliki linearne ali nelinearne diferencialne anačbe (ali sistema takšni enačb). Z vpeljavo koncepta spremenljivk stanj, ki se navezujejo na energijske akumulatorje sitema, lahko tovrstne ančbe pretvorimo v sistem linearnih ali nelinearnih enačb prvega reda. Večina realnih fizikalnih sistemov je v osnovi nelinearna, linearni modeli predstavljajo praviloma le aproksimacijo realnih sistemov v izbranem in omejenem področju obratovanja.
Matematična oblika modelov:
16
),(
;),( 0
uxgy
xuxfx
==
DuCxy
xBuAxx
+=+= 0;
)()()( sUsGsY =
Nelinearni sistemi
Linearni sistemi
I/O opis
Linearna aproksimacija
Pretvorba (?!)stopnja=n
stopnja=n
stopnja=
Izpejane modele potrebujemo za:
• določitev ravnotežnih stanj• analizo strukturnih lastnosti• analizo dinamičnega obnašanja• analizo stabilnosti • analizo vpliva začetnih pogojev • vpliv parametrov• načrtovanje vodenja
(.),(.))( ,,, gfsG DCBA∑ ⊃⊃
nm ≤
Linearne sisteme v “prostoru stanj” rešujemo bodisi analitično ali numerično. Dobljena rešitev podaja “gibanje” sistema, ki je rezultat začetnih pogojev x(0) in zunanjega vzbujanja u(t). Za časovno invariantne linerne sisteme so A, B, C in D konstantne matrike, ke se nanašajo na strukturo in parametre obravnavanega sistema. Do dimenzije n=3 lahko gibanje, ki ga opisuje vektor stanja x(t) tudi grafično prikažemo :
Običano bomo predpostavili:p-štev. vhodov, q-štev. izhodov, z n pa bomo označevali stopnjo sistema oziroma dimenzijo vektorja spremenljivk stanja. Sledi, da so dimenzije sistemske -A, vhodne-B , izhodene –C in prehodene -D matrike za multivariabilne sisteme (MIMO):
Za univariabilne sisteme se modeli seveda poenostavijo, saj velja da je p=q=1
Matematična oblika modelov:
17
A
10x
20x
30x
1x
3x
2x
0x )( ktx
)(tx
trajektorija
pqD
nqC
pnB
nnA
×=×=×=×=
dim
dim
dim
dim3X∈x
oziroma
3R∈x
Evklidski prostor je realni topološki vektorski prostor v katerem je definirana metrika na osnovi skalarnega produkta: norma (dolžina), kot med dvema vektorjema in razdalja. Dimenzija prostora je definirana s številonm baznih vektorjev oziroma s številom komponent vektorja stanja x. Lastnosti vektorjev in njihove medsebojne zveze so neodvisne (invariantne) glede na vse nesingularne linearne transformacije tipa
Evklidski prostor
oziroma
0det; ≠=′ TxTx
∑
∑
∑
=
−
=
=
−=−=
><=θ
=><=
++=>=<
n
iii
n
ii
nn
n
iii
yxyxyxd
yx
yx
xxxx
yxyxyxyxyx
1
2
1
1
2
22111
)(),(
).
(cos
)(.
....skalarni produkt
norma (dolžina)
kot med x in y
razdalja med x in z
0x)(tu
+)(tx
B C
D)(ty)(tx
+
Opis dinamičnih sistemov temelji na osnovnih (elementarnih) elementih, ki definirajo energijsko stanje sistema, pretoke energije znotraj sistema in energijsko bilanco med sistemom in okolico. Zakon o ohranitvi energije predstavlja temelj pri definiranju osnovnih elementov. Naj velja, da si sistem lahko izmenjuje energijo z okolico preko končnega števila sponk (portov). Nadalje predpostavljamo, da sistem tvorijo samo osnovni (pasivni) elementi, torej je sistem brez notranjih energijskih izvorov. Potem velja za (notranjo) energijo sistema:
kjer je P(t) trenutna moč izmenjav z okolico. Za p povezav sistema z okolico velja bilanca moči:
Pozitivni predznak moči pomeni povečevanje notranje energije sistema, negativni predznak pa njeno zmanjševanje.
Energija, moč, stanja:
Če ima sistem n enargijskih akumulatorjev potem velja za (totalno) notranjo energijo:
in dalje:
Spremenljivke stanja ( krajše: stanja sistema ali samo: stanja ) definirajo energijsko stanje osnovnih elementov sistema. Ker se energijsko stanje elementov lahko spreminja le časovno zvezno, so tudi spremenljivke stanja časovno zvezne veličine.
0
0
E)()(EE
)( +=↔= ∫ ττ dPtdt
dtP
t
∑=
=+++=p
iip tPtPtPtPtP
121 )()(...)()()(
∑=
=+++=n
jjn ttEttt
121 )(E)(...)(E)(E)(E
Dinamični sistem
)(1 tP)(2 tP
)(3 tP
)(4 tP )(5 tP
)(tPp
∑∑==
=n
j
jp
ii dt
tdtP
11
)(E)(
http://teachers.stupidchicken.com/files/active/0/Work,%20Energy%20&%20Power.ppt
18
Spremembo notranje energije elektriškega sistema v času dt lahko izrazimo kot:
V elektriških sistemih definiramo dve vrsti energije:
- magnetno, ki je akumulirana v magnetnem polju tuljave
-električno, ki je akumulirana v električnem polju kondenzatorja
V primeru, da elektriški sistem tvorijo samo idealni elementi brez izgub lahko vloženo (akumulirano) magnetno ali električno energijo kadarkoli dobimo vrnjeno, oziroma jo sistemu v celoti zopet odvzamemo. Za električno moč velja:
Notranje energijo sistema izrazimo kot:
V elektriških.sistemih vpeljemo še dve spremenljivki- električni naboj q [C] ali [As]:
in magnetni sklep [Wb] oziroma [Vs]:
Elektriški sistemi:
)()()( tutitP = [ ] [ ] [ ]V,A,W −−− uiP
0
00
)()()( EduidPEtt
+τττ=ττ= ∫∫
dtidqqditqt
=→+= ∫ )0()()(0
ττ
dtuddutt
=→+= ∫ ψψττψ )0()()(0
dqudtiudiudtdE ==→= )(E/ električle
dtiudiudtdE )(E/ adisipativn =→=
Sprememba energije kot posledica spremembe magnetnega sklepa .
Sprememba energije kot posledica spremembe naboja..
Sprememba energije kot posledica električmih izgub zaradi električne upornosti. Pri tem pride do pretvorbe električne energije v toplotno, ki prehaja v okolico. Spremeba je nepovratna (ireverzibilna), v toploto pretvorjene energije ni več mogoče vrniti elektriškemu sistemu električne izgube.
)()()( tutitP =
)(tu
)(ti
ψdidtuidiudtdE ==→= )(E/ magnetna
ψ
+ →
19
Idealna tuljava; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med magnetnim sklepom in tokom:
Ob predpostavljeni linearni zvezi :
kjer je L proporcionalna konstanta (induktivnost) v [H] oziroma [Vs/A], velja za akumulirano magnetno energijo:
Za zvezo med napetostjo na tuljavi in tokom velja:
Elektriški sistemi-osnovni elementi: (
)(if=ψ
iL=ψ
22
00 2
1
2
11E Li
Ld
Ldi ==== ∫∫ ψψψψ
ψψ
Idealni kondenzator; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med nabojem q in napetostjo u:
Ob predpostavljeni linearni zvezi:
kjer je C proporcionalna konstanta (kapacitivnost) v [F] oziroma [C/V] velja za akumulirano električno energijo:
Za zvezo med tokom in napetosrjo na kondenzatorju velja:
)(ufq =
uCq =
22
00 2
1
2
11E Cuq
Cdqq
Cdqu
==== ∫∫
21 uuu −=
)(1 tu
)(ti
C
u
q
)(ufq =Akumulirana
energija v električnem
polju
refu
)(2 tu
21 uuu −=
)(1 tu
)(ti
L
i
ψ)(if=ψAkumulirana
energija v magnetnem
polju
refu
)(2 tu
dt
diLui
dt
diLiLi
dt
d
dt
duiP =→==== :/)
2
1(
E 2
dt
duCiu
dt
duCuCu
dt
d
dt
duiP =→==== :/)
2
1(
E 2
20
Idealni izvori; v elektriških sistemih uporabljamo idealne napetostne in tokevne izvore, kjer sta vzbujalna napetost ali tok neodvisna od stanja v točki priključitve izvora. Idealni izvori lahko sprejemajo ali oddajajo neskončno električno moč. Realnejše razmere dobimo če na ustrezen način razširimo idealne izvore z notranjo upornostjo.
Idealni upor; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med tikom in napetostjo:
Ob predpostavljeni linearni upornosti :
kjer je R proporcionalna konstanta (upornost) v [ ] oziroma [V/A], velja za izgubno (disipativno) električno moč:
Elektriški sistemi-osnovni elementi: (
)(ufi =
uR
i1=
22 1P u
RRiiu ===
21 uuu −=
)(1 tu
)(ti
R
u
i)(ufi =
refu
)(2 tu
Ω
)(2 tu
)(tis
)(1 tu )(2 tu
)()()( 21 tututus −=
)(1 tu+
21
Spremembo notranje energije meganskega sistema v času dt lahko izrazimo kot:
V mehanskih sistemih definiramo dve vrsti energije:
- kinetično, ki je posledica gibanja elementov s končno maso in
- potencialno, ki je posledica elestičnih deformacij elementov
V primeru, da mehanski sistem tvorijo samo mehanski elementi brez izgub lahko vloženo (akumulirano) kinetično ali potencialno energijo kadarkoli dobimo vrnjeno, oziroma jo sistemu v celoti zopet odvzamemo. Za mehansko moč velja:
Notranje energijo sistema, ki jo izkoristimo za opravlajnje mehanskega dela izrazimo kot:
V translatornih mehanskih.sistemih vpeljemo še dve spremenljivki- (linearni) pomikx [m]:
in gibalno kolićino p [Ns]
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)
)()()( tvtFtP = [ ] [ ] [ ]m/s,,W −−− vNFP
τττττ dvFdPEtt
)()()(00∫∫ ==
dtvdxxdvtxt
=→+= ∫ )0()()(0
ττ
dtFdppdFtpt
=→+= ∫ )0()()(0
ττ
dpvdtFvdFvdtdE ==→= )(E/ kinetičin
dtvFdFvdtdE )(E/ adisipativn =→=
Sprememba energije kot posledica spremembe položaja zaradi elestične deformacije elementa.
Sprememba energije kot posledica spremembe gibalne količine, ki je povezan z gibanjem mase..
Sprememba energije kot posledica mehanskih izgub zaradi trenja (dušenja). Pri tem pride do spremembe mehanske energije v toplotno, ki prehaja v okolico. Spremeba je nepovratna (ireverzibilna), v toploto pretvorjene energije ni več mogoče vrniti mehanskemu sistemu mehanske izgube.
refx)()()( tvtFtP =
)(tv
)(tF
)(tx
dxFdtvFdFvdtdE ==→= )(E/ apotencialn
Lep pregled SI sistema merskih enot najdete na: http://physics.nist.gov/cuu/Units/
22
Idealna vzmet; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med silo in pomikom:
Akumulirana energija:
Za linearno vzmet velja:
kjer je K konstanta vzmeti v [N/m]
Za zvezo med silo in hitrostjo velja:
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)
)(Ffx =
1
021 lxxx −−=
)(1 tv
)(tF
1x
)(2 tv
2x
0l
)(tF
K
2
F
x)(Ffx =
Akumulirana energija
dxFx
∫=0
E
xKF =
22
00 2
1
2
1E F
KxKdxxKdxF
xx
==== ∫∫
)( 21 vvKxdt
dKF
dt
d −==
Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)
f
1e
2ef –posplošena vzdolžna variabla
e –posplošena prečna variablaL~
KL
eefdt
dL
/1~
~21
=
−=Predstavitev s simulacijskim diagramom:
f
1e
2e
L~
/1
0f
refx
23
Masa: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med gibalno količino p in hitrostjo v:
Predpostavimo, da je v << c, kjer je c hitrost svetlobe
Za akumulirano energijo mase m, ki se giblje s hitrostjo v velja:
Za zvezo med silo in hitrostjo velja:
oziroma:
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)
)(vfp =)(tv
2x
)(tF
m
v
p
)(vfp =Akumulirana
energija
dt
dvmF =
Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)
fe f –posplošena vzdolžna variabla
e –posplošena prečna variablaC~
0
0
)(~1
~
edfC
e
dt
deCf
t
+=
=
∫ ττ
vmp =
22
00 2
1
2
1E vmp
mdp
m
pdpv
pp
==== ∫∫
0
0
)(1
vdFm
vt
+= ∫ ττ
Pri velikih hitrostih velja za gibalno količino:
2)/(1 cv
vmp
−=
V izvajanju predpostavljamo, da je telo togo (se ne deformira pod vplivom zunanjih sil) in da je masa m kostantna.
Predstavitev s simulacijskim diagramom:
ef
C~
/1
0e
refx
24
Dušenje-trenje: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med silo trenja/dušenja in hitrostjo v:
Če predpostavimo linearno zvezo med silo in hitrostjo (viskozno dušenje/trenje) potem velja:
kjer je B koeficient dušenja v [Ns/m]. Moč, ki se nepovratno izgublja pri dušenju je:
Idealni dušilni element je torej brez dinamike, saj ne akumulira mehanske energije. Zveza med hitrostjo in silo je podana s statično karakteristiko. Poleg linearnega (viskoznega) dušenja v mehanskih sistemih pogosto upoštevamo nelinearne karakteristike, ki opisujejo Culombovo trenje, hitrostno odvisno trenje, zračni upor,.....
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)
)(vfF =)(1 tv
21 vvv −=
)(tFB
v
F)(vfF =
Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)
f –posplošena vzdolžna variabla
e –posplošena prečna variabla
BR
fRee
/1~
~21
=
=−
)( 21 vvBvBF −==
22 1P F
BvBvF ===
)(2 tv
)(tF
f2e
R~1e
Predstavitev s simulacijskim diagramom:
1e
2eR~
/1v
F
f
refx
25
Vzbujanje mehanskih sistemov; kot vzbujalni veličini nastopajo v mehanskih sistemih sile in/ali hitrosti, ki jih generirajo idealni izvori. So neodvisni od stanja v točki kjer delujejo na sistem in lahko oddajajo ali sprejemajo neskončno moč. Realne izvore opišemo tako, da jim na ustrezen način dodamo dušilne elemente.
Mehanski sistemi: (translatorni)
)(1 tv
)(tF
)(2 tv
1 2
)(1 tv
)(tV
)(2 tv
1 2
− +
V translatornih mehanskih sistemih so položaj, hitrost, pospešek, vzbujalna sila in obremenitev vedno povezani v integratorski (kinematični) verigi.
)(tv )(tx)(ta
)(tFb
)(tFa
m/10v 0x
vzbujalna sila
obremenitev
pospešek hitrost
položaj
)(tu )(ty
)(tF K m B
Sistem je enorazsežen (ena prostostna stopnja), zaradi dveh energijskih akumulatorjev pa drugega reda. Ravnotežna enačba:
ymvmamFi
i ===∑Za silo vzmeti in dušenje velja:
yBF
yuKF
d
v
−=−= )(
NDE/,/;
:/
001001
====++=++
mKbamBaubyayay
muKyKyBym
yyyu 0y0y
0a
1a
Spremenljivki stanja sta očitno položaj in hitrost oziroma izhoda iz obeh integratorjev
0b
1x2x
refx
26
Mehanski sistemi: (translatorni)
Zapišemo v matrični obliki:
→===→==
yxxyx
yxyx
221
21
,
,
[ ] xcy
buAxubx
x
aax
xx
T
02
1
102
1
01
010
==
+=
+
−−
=
=
Z vpeljavo spremenljivk stanja smo NDE drugega reda pretvorili v sistem diferencialnih enačb prvega reda.. Tako zapisan sistem, ki ga podajajo sistemska matrika A, vhodna matrika (vektor) b in izhodna matrika (vektor) c bomo imenovali “model v prostoru stanj-MPS”.
Ali je to edina možna oblika modela v prostoru stanj ?
Ne, MPS lahko zapišemo na mnogo načinov, le nekatere značilne (normalne) oblike pa uporabljamo v analizi in sintezi dinamičnih sistemov.
yyaubya
ubyayay
x
−−+−=→=++
=
100
001
1
0
2x=
0=
[ ] xy
ub
xa
ax
xaxx
ubxax
yxyx
yaxxyaxx
ubyax
10
01
0
0
0
1
0
2112
0201
22
112112
001
=
+
−−
=
−=+−=
−−−−−−−−−−−−−−−−
→
=∫ ∫→−=
−=∫→−=
+−=
y2x1xu
0a 1a
10x20x
27
V rotacijskih mehanskih sistemih prav tako nastopata dve vrsti energije:
- kinetična, ki je posledica vrtenja elementov s končno maso okrog rotacijske osi in
- potencialna, ki je posledica torzijske elestičnosti
V primeru, da rotacijski mehanski sistem tvorijo samo mehanski elementi brez izgub lahko vloženo (akumulirano) kinetično ali potencialno energijo kadarkoli dobimo vrnjeno, oziroma jo sistemu v celoti zopet odvzamemo. Za mehansko moč velja:
kjer je T mahanski navor in kotna hitrost. Notranjo energijo rotacijskega mehanskega sistema je:
V rotacijskih mehanskih.sistemih vpeljemo še dve spremenljivki- (linearni) zasuk [rad]:
in vrtilno kolićino h [Nms]
Spremembo notranje energije rotacijskega sistema v času dt lahko izrazimo kot:
Mehanski sistemi: (rotacijski
)()()( ttTtP Ω= [ ] [ ] [ ]rad/s,Nm,W −Ω−− TP
τττττ dTdPtt
)()()(E00
Ω== ∫∫
dtddtt
Ω=Θ→Θ+Ω=Θ ∫ )0()()(0
ττ
dttTdhhdTtht
)()0()()(0
=→+= ∫ ττ
dhdtTdTdtdE Ω=Ω=→Ω= )(E/ kinetičin
dtTdTdtdE )(E/ adisipativn Ω=→Ω=
Θ=Ω=→Ω= dTdtTdTdtdE )(E/ apotencialn
Ω
Θ
)()()( ttTtP Ω=
)(tT)(tΩ
r
F
rFT ×=os vrtenja
r
v
rv /=Ωos vrtenja
refΩ
28
Torzijska vzmet; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med navorom in zasukom:
:
Akumulirana energija:
Za idealno torzijsko vzmet velja:
kjer je K konstanta vzmeti v [Nm/rad]
Za zvezo med navorom in vrtilno hitrostjo velja:
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (rotacijski)
)(Tf=Θ)(1 tΩ
)(tT)(tT
K
T
Θ)(Tf=Θ
Akumulirana energija
Θ= ∫Θ
dT0
E
TK
1=Θ
22
00 2
1
2
1E T
KKdKdT =Θ=ΘΘ=Θ= ∫∫
ΘΘ
)( 21 Ω−Ω=Θ= Kdt
dKT
dt
d
Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)
f
1e
2ef –posplošena vzdolžna variabla
e –posplošena prečna variablaL~
KL
eefdt
dL
/1~
~21
=
−=Predstavitev s simulacijskim diagramom:
f
1e
2e
L~
/1
0f
)(2 tΩ
)()()( 21 ttt Ω−Ω=Ω
refΩ
29
Rotacijska vztrajnost: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med vrtilno količino h in krožno hitrostjo :
Če predpostavimo linerno odvisnost med med vrtilno količino in vrtilno hitrostjo
kjer smo z J označili vztrajnostni moment v . Za akumulirano energijo velja:
Za zvezo med navorom in vrtilno hitrostjo velja:
oziroma:
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (rotacijski)
)(Ω= fh
)(tΩ
)(tTJ
Ω
h)(Ω= fh
Akumulirana energija
dt
dJT
Ω=
Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)
fe f –posplošena vzdolžna variabla
e –posplošena prečna variablaC~
0
0
)(~1
~
edfC
e
dt
deCf
t
+=
=
∫ ττ
Ω= Jh
22
00 2
1
2
1E Ω===Ω= ∫∫ Jh
Jdh
J
hdh
hh
0
0
)(1 Ω+=Ω ∫
t
dTJ
ττ
refΩ
Ω
[ ]2mkg
30
Rotacijsko dušenje: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med dušilnim navorom in vrtilno hitrostjo:
Če predpostavimo linearno zvezo med navorom in vrtilno hitrostjo (viskozno dušenje/trenje) potem velja:
kjer je B koeficient dušenja v [Nm/s]. Moč, ki se nepovratno izgublja pri dušenju je:
Idealni rotacijski dušilni element je torej brez dinamike, saj ne akumulira mehanske energije. Zveza med vrtilno hitrostjo in navorom je podana s statično karakteristiko. Poleg linearnega (viskoznega) dušenja v rotacijskih mehanskih sistemih pogosto upoštevamo nelinearne karakteristike, ki opisujejo Culombovo dušenje, ventilatorsko karakteristiko,.....
Mehanski sistemi-osnovni elementi: (rotacijski)
)(Ω= fT
)(1 tΩ
21 Ω−Ω=Ω
)(tT
B
Ω
T)(Ω= fT
Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)
f –posplošena vzdolžna spremenljivka
e –posplošena prečna spremenljivka
BR
fRee
/1~
~21
=
=−
)( 21 Ω−Ω=Ω= BBT
22 1P T
BBT =Ω=Ω=
)(2 tΩ
f2e
R~1e
Ω
T
refΩ
)(tT
31
2 2 20
2 2
1 1
2 2(1 cos ), the change in elevation
is (1 cos )
1( ) (1 cos ) 0
2
T J m
U mg
d dT U m mg
dt dt
θ θ
θθ
θ θ
= =
= −−
+ = + − = ÷
l
l
l
l l
Mehanski sistemi: (rotacijski)
( )2
2
2
(sin ) 0
(sin ) 0
(sin ) 0
( ) sin ( ) 0
( ) ( ) 0 n
m mg
m mg
m mg
gt t
g gt t
θθ θ θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ θ ω
+ =
⇒ + =
⇒ + =
⇒ + =
⇒ + = ⇒ =
l l
l l
l l
l
l l
l2lmJ =
gm
m
θ
32
Ker zanimarimo izgube mora biti notranja energija konstantna, torej je njen časovni odvod enak nič.
Če predpostavimo majhna odstopanja okrog naravne ravnotežne lege, kjer velja:
⇒≈ )()(sin tt θθ
1x=θ2x=θθ
lg /
0θ0θ
0;0/
10xx
lgx
−
=
lgj
lg
/
0/
2,1
2
±=
→=+
λ
λ→=− 0)det( AIλ
Rešitev karakteristične enačbe:
možno le, če je izraz v oklepaju
enak nič:
Vzbujanje rotacijskih mehanskih sistemov; kot vzbujalni veličini nastopajo v rotacijskih mehanskih sistemih navori in/ali vrtilne hitrosti, ki jih generirajo idealni izvori. So neodvisni od stanja v točki kjer delujejo na sistem in lahko oddajajo ali sprejemajo neskončno moč. Realne izvore opišemo tako, da jim na ustrezen način dodamo dušilne elemente.
Mehanski sistemi: (rotacijski)
)()()( 12 ttt Ω−Ω=Ω− +
V rotacijskih mehanskih sistemih so zasuk, vrtilna hitrost, kotni pospešek, vzbujalni in bremenski navor vedno povezani v integratorski (kinematični) verigi.
)(tΩ )(tΘ)(tα
)(tTb
)(tTa
J/10Ω 0Θ
vzbujalni navor
bremenski navor
kotni pospešek
vrtilna hitrost
zasuk
Ravnotežna enačba:
bbbbbm
bmmmmmm
ii
BJK
KBJT
mmJT
Θ+Θ=Θ−Θ
Θ−Θ+Θ+Θ=
→Θ=Ω==∑
)(
)(
α
)(1 tΩ
)(tT
)(2 tΩ )(1 tΩ )(2 tΩ
KbJ
mB)(tTm
)(
)(
t
t
m
m
ΘΩ
)(
)(
t
t
b
b
ΘΩ
mJbB
pogonska stran
bremenska stran
Zgled: Dvomasni rotacijski sistem (elektromotorski pogoni, turbina-generator,...):
Stanja sistema:
→
Θ==Θ=
Θ==Θ=
mb
bb
xxx
xxx
343
121
,
,
2213
1344
)(
)(
xBxJxxK
xxKxBxJT
bb
mmm
+=−−++=
33
1/s1/s
1/s1/s
1
1
1
1
1
Mehanski sistemi: (rotacijski)
Dalje sledi:
→
+−−==
+−−==
mmmmmm
bbbb
TJxJKxJBxJKx
xx
xJKxJBxJKx
xx
/1///
///
3414
43
3212
21
ubxA
T
J
x
JBJKJK
JKJBJKx m
mmmmm
bbbb
+=
=
+
−−
−−=
/1
0
0
0
//0/
1000
0///
0010
mT mJ/1
bJ/1
mB
bB
bΘ
K
mΘmm Ω=Θ
bb Ω=Θ 0bΘ0bΘ
0mΘ0mΘ
34
Zgled; na osnovi analogij zapišimo model mehanskega sistema s posplošenim vezjem
Analogije-zgled:
1m 2m 2B1B K
sF
1v 2v
0=refv
0;0 321 =−−=−− ffffff LLs
1
~C
0=refu
2
~C
)(tf s
)(~
2 tR)(~
1 tR L~
)(1 tf )(2 tf
)(3 tf
1e2e
Ravnotežne enečbe
vozliščne
0;0 22211 =−=−−− RLR eeeeee zančne
∫
∫∫
=
==
==
t
LL
RLR
tt
deL
f
fRefRe
dfC
edfC
e
0
32211
0
2
2
2
0
1
1
1
~1
~~~1
~1
τ
ττ
sf
1
~/1 C
1e
2e
Lf
1
~R
2
~/1 R
2
~/1 C
L~
/110e0Lf
20e
1f
35
Analogije-zgled:
Ob upoštevanju stanj sistema :
→= T21 ][ Lfeex
[ ] 2
0
1
2
1
1
222
1
2
1
010
;
0
0
~/1
~/
~~/1
~/1
~/1
~~/10
~/100
excxy
xubxA
f
C
f
e
e
LRLL
CRC
C
f
e
e
x
T
s
LL
===
+=
=
+
−−−
−=
=
36
Lagrange-ovo funkcijo (L) izrazimo kot razliko med kinetično (T) in potencialno energijo (V) v posplošenih koordinatah:
Zakon o ohranitvi energije za konzervativne sisteme (brez disipacije in znanjih vzbujanj):
Ker bomo v nadaljevanju obranavali sisteme z različno fizikalno naravo si najprej izberimo posplošene koordinate pri čemer bomo izhajali iz analogij med različnimi sistemi in njihovimi predstavitvami.
Euler-Lagrangeova metoda:
energ. pot.energ. kin.
)(),(),( qVqqTqqL −=
EL metoda omogoča opisovanje linearnih in nelinearnih dinamičnih sistemov na osnovi energijskih funkcij, ki jih izrazimo v “posplošenih koordinatah”. Primerna je za opisovanje mehanskih sistemov, elektriških vezij, elektromagnetnih pretvornikov in lektromehanskih sistemov.
Izbira posplošenih koordinat je deloma intuitivna, kljub temu pa lahko za vse energijske akumulatorje obravnavenega sistema praviloma najdemo konsistenten nabor koordinat.
Poleg poslošenega položaja potrebujemo za opis sistema tudi prve odvode (posplošene “hitrosti”) in druge odvode (posplošeni “momenti”).
Postopek: izberemo koordinate, ki določajo konfiguracijo sistema, za posamične energijske akumulatorje zapišemo kinetično energijo v izbranih koordinatah in poiščemo pripadajoče prve odvode določimo še potencialno energijo in posplošene sile (vzbujalne, disipacijske) sistem zapišemo v obliki EL enačbe in ga prevedemo v standardno obliko:
),(
ali,,,
uxfxDCBA
=∑
posplošene koordinate (položaji v meh sist.)
posplošene “hitrosti”
0
konst.!
=
→=−=
dt
dL
VTL
37
Euler-Lagrangeova metoda:
el.1
1
meh.
=+
=+
−−−−−−−−−−
=+
=+
iL
C
uqC
qL
TKJ
fxKxm
ψψ
θθ
ψi CL
L
uCq
θ
T
K
Jm
K
x
f
Torej lahko kot posplošene koordinate privzamemo:•položaj oziroma kot zasuka v mehanskih sistemih in• naboj oziroma magnetni sklep v elektriških sistemih. Napetosti in toki, ki jih običajno uporabljamo za opisovanje elektriških vezij, predstavljajo torej odvode pospološenih koordinat (“posplošene hitrosti”):
(navor)
(naboj)
Ravnotežne enačbe:
uiq == ψ ,
38
Euler-Lagrangeova metoda:
Na osnovi posplošenih koordinat lahko postavimo naslednje analogije:
Posplošene koordinate
Posplošene hitrosti
Kinetična energija
(T)
Potencialna
energija (V)
Posplošene gibalne količine
(momenti ) (p)
Potencialne sile
Posplošene vzbujalne sile
Translacija položaj hitrost
Rotacija zasuk kotna hitr.
Zaporedno naboj tok
Vzporedno magnetni sklep
napetost
θ
x x
θ
qiq =
ψ u=ψ
2
2
1xm
2
2
1 θJ
2
2
1qL
2
2
1 ψC
2
2
1xK
2
2
1 θK
2
2
1q
C
2
2
1 ψL
xm
θJ
qL
ψC
xK
θK
qC
1
ψL
1
f
T
u
i
39
Euler-Lagrangeova metoda:
Kinetično in potencialno energijo lahko dobimo z integracijo posplošenih gibalnih količin oziroma potencialnih sil::
i
q
i
N
i
i
q
i
N
i
qdqfqV
qdqqpqqT
′′=
′′=
∫∑
∫∑
=
=
0 1
0 0
)()(
),(),(
1q′
2q′
3q′
)0,0,( 1q)0,,( 21 qq
),,( 321 qqq
2q
3q
oziroma::
∂∂
∂∂
=∂∂=
∂∂
∂∂
=∂∂=
NN q
V
q
V
q
Vqf
q
T
q
T
q
Tqqp
11
)(;),(
Ker je rezultat neodvisen od poti integracije velja za primer N=3
3
0
3213
2
0
2121
0
11
3
21
),,,(
)0,,,()0,0,,(),(
qdqqqqp
qdqqqpqdqqpqqT
q
′′′′+
+′′′+′′=
∫
∫∫
40
Euler-Lagrangeova metoda:
Za primer na sliki izberemo kot posplošene koordinate:
[ ]T321
321 ,,
qqqq
qqqqxq ba
=
→===
K1qx =
m
av bv)( 1qM ab
aR bR
2qqa =3qqb =
C
)( 1qLa )( 1qLb
Posplošeni momenti:
++=
2131
3121
1
)()(
)()(),(
qqMqqL
qqMqqL
qm
qqp
abb
aba
Kinetično energijo dobimo z integracijo posplošenih momentov:
321231
221
21
321
0
312
0
211
0
1
0
3
0
)()(2
1)(
2
1
2
1
))()(()(
),(),(
321
qqqMqqLqqLqm
qdqqMqqLqdqqLqdqm
qdqqpqqT
abba
ab
q
b
q
a
q
i
q
ii
+++=
=′+′+′′+′′=
=′′=
∫∫∫
∫∑= • Posamezni členi so odvisni od več
kot ene spremenljivke kar je značilno za povezane elektromehanske sisteme
• Lastne in medsebojne induktivnosti so poleg snovno-geometrijskih lastnosti odvisne tudi od posplošene koordinate x (položaj).
• Predpostavili smo magnetno linearnost
P1:
41
Euler-Lagrangeova metoda:
Potencialno energijo dobimo z integracijo potencialnih sil:
22
2122
0
11
0
2
1
2
1
2
11
0
1)(
21
qC
KqqdqC
qdqKV
qC
qK
qf
+=′′+′′=
→
=
∫∫
Lagrange-ova funkcija je potem:
))(2)()((2
1 221
222 CuKxiixMixLixLxm
VTL
baabbbaa −−+++=
=−=
2222 2
1
2
1Cuq
CCuq =→=
42
Euler-Lagrangeova metoda:
VTL
xxKxKxKV
xmxmT
−=
−++=
+=
2213
222
211
222
211
)(2
1
2
1
2
12
1
2
1
P2:
2K
2x
1x
1K 3K1m
2m
43
Euler-Lagrangeova enačba:
sile)(vzbujalne
zunanje
silekedisipacijs
sileepotencialn
sile nepospeševal
kol. gibalne posplošene
)(),(),(f
q
qD
q
qqL
q
qqL
dt
d =∂
∂+∂
∂−
∂∂
Pri tem za Rayleightovo disipacijsko funkcijo D velja:
kjer M podaja število disipacijskih elementov in pripadajoče dušilne koeficiente.
∑
∑
=
=
=∂
∂
=
M
iii
M
iii
qD
qqD
1
1
2
)(
2
1)(
β
β
iβ
Z EL enačno torej opišemo gibanje sistema na osnovi ravnotežja med pospoeševalnimi, potencalnimi, disipacijskimi in zunanjimi, vzbujalnimi silami. Omogoča nam, da na sistematičen, fizikalno utemeljen način opišemo obravnavan sistem v obliki linearnih ali nelinearnih diferencialnih enačb drugega reda. Ker postopek temelji na energijskem konceptu je na ta način omogočena njabolj naravna povezava s spremenljivkami stanja. Modeli zapisani v obliki sistema diferencialnih enačb prvega reda na osnovi stanj sistema, omogočajo namreč vpeljavo množice formalnih postopkov za analizo oziroma sintezo.
44
Euler-Lagrangeova metoda:
2
2122
11
223
2212
211
222
211
)(2
1
2
12
1)(
2
1
2
12
1
2
1
θθθ
θθθθ
θθ
−+=
+−+=
+=
BBD
KKKV
JJT
P2:
1K2K 3K
1θ 2θ
11,TJ
22 ,TJ1B
2B
vrstni red ni pomemben, ker gre za relativno hitrost
EL enačbo razvijemo po komponentah, posebaj za in :1θ 2θ
)(
)(
212111
212111
111
111
θθθθ
θθθθ
θθ
θθ
−+=∂∂
−+=∂∂
=
∂∂→=
∂∂
BBD
KKV
JT
dt
dJ
T
1212112121111 )()( TBBKKJ =−++−++ θθθθθθθ
za :1θ
In podobno za :2θ
21223312222 )()( TBkKJ =−++−+ θθθθθθ
45
Euler-Lagrangeova metoda:
P2:
Energijsko stanje sistema je torej odvisno od zasukov in kotnih hitrosti obeh cilindrov zato je naravna izbira spremenljivk stanja sistema :
[ ] [ ]T4321
T
2211 xxxxx == θθθθ
1K2K 3K
1θ 2θ
11,TJ
22 ,TJ1B
2B
Vzbujanje je podano z obema navoroma: [ ] [ ]T21
T21 uuTTu ==
( )
( )
→
+−−−−−=
=
+−−−−−−=
=
2242331322
4
43
142211312111
2
21
)()(1
)()(1
uxxBxKxxKJ
x
xx
uxxBxBxxKxKJ
x
xx
0
2
1
2
1
4
3
2
1
2
2
2
32
2
2
2
2
1
2
1
1
1
21
1
21
;
10
00
01
00
1000
0010
xuBxAx
u
u
J
J
x
x
x
x
J
B
J
KK
J
B
J
K
J
B
J
K
J
BB
J
KK
x
+=
→
+
−+−
−−+−+−=
46
Euler-Lagrangeova metoda:
Pri postavitvi energijske L funkcije je potrebno izbrati nabor posplošenih koordinat, ki mora biti konsistenten, posamezne koordinate pa med seboj linearno neodvisne. Če ima obravnavan sistem N neovisnih energijskih akumulatorjevj e seveda potrebno izbrati tudi N posplošenih koordant, ki na enoumen način opisujejo energijsko stanje celotnega sistema. V nekaterih primerihso lahko posplošene koordinate med seboj vezane z dodatnimi pogoji (omejitvami) v obliki algebrajskih ali diferencialnih enačb:
Omenjeni dodatni pogoji definirajo število prostorskih stopenj, ki ga ne smemo zamenjevati s stopnjo sistema. Poglejmo primer:
0),...,,....(ali0),....( 111 == NNN qqqqgqqf
1x
m
K
2x
a.)
21 xxx ==m
K
b.)
0
ali0
21
21
=−=−
xx
xx
V primeru a.) imamo dva energ. akumolatorja in deve neodvisni posplošeni koordinati. Stopnja sistema je 2, prav tako je tudi število prostorskih stopenja enako 2.
V primeru b.) lahko izberemo le eno posplošeno koordinato kar pomeni, da ima sistem le eno prostorsko stopnjo.
V splošnem velja, da je število posplošenih koordinat in s tem število prostostnih stopenj podano kot razlika med številom energijskih akumulatorjev in številom dodatnih pogojev (omejitev):
pps NNN −=Štev.pospl. Koord.
Štev.pospl. koord.
Štev. omejitev
Štev.energ. Akum.
47
Euler-Lagrangeova metoda:
+=
0
)(),( 12111 qLqqL
qqp
Očitno velja omejitev:
P3:
2L
3=N
0oz. 3131 =−= qqqq
Izberemo lahko le dve posplošeni koordinati , sistem ima torej dve prostostni stopnji. Izhajamo iz posplošenih momentov:
21, qq
“Kinetično “ energijo dobimo z integracijo posplošenih momentov:
2120 1111 2
1)(
1
qLqdqqLTq
+′′′= ∫Za potencialno energijo velja:
222
1q
CV =
in za disipacijo:
222
2211 2
1)(
2
1qRqqRD +−=
Za komponento velja:1q
)()()(
)(in0
)(
)(
211121
111
21111
121
111
1
121111
auqqRqLq
LqL
qqRq
D
q
V
qLq
LqL
q
T
dt
d
qLqqLq
T
=−+
+
∂∂+
→
−=∂∂=
∂∂
+
∂∂+=
∂∂
+=∂∂
Za komponento velja:2q
)(01
)(
)(
1;0
211221
112212
222
bqC
qRqRR
qRqRRq
D
qCq
V
q
T
=+−+
→
−+=∂∂
=∂∂=
∂∂
1q
3q
2q
)( 11 qL
1R
2R
Cu
oe
48
Euler-Lagrangeova metoda:
Enačbi (a ) in (b) podajata nelinearni model vezja. Če se v obravnavi omejimo na linearno področje potem velja:
P3:
konst.!0 11
1 =→=∂∂
Lq
L
( )
2
211221
211121
1
01
)(
)(
qC
e
qC
qRqRR
uqqRqLL
o =
=+−+
=−++
Enačba (a ) postane linearna tako da lahko zapišemo linerani model:
Ker v modelu ne nastopajo izberemo kot spremenljivke stanja:21 in qq
→
=
=
C
qx
qx
22
11 ( )→
=+−+
=−++
0)(
)(
211221
211121
xxRxCRR
uCxxRxLL
[ ]xy
uLLx
RRCRRC
RRRLL
R
RRLL
RR
x
10
0
1
)(
1
)(
))(())((21
2121
1
2121
1
2121
21
=
++
+−
+
++++=
49
)( 11 qL
1q
Euler-Lagrangeova metoda:
P4:
50
Ob predpostavljeni magnetni linearnosti velja za pospološeni moment:
ixL )(=ψMagnetno energijo dobimo z integracijo posplošenega momenta po toku:
2
0
)(2
1)( ixLidixLT
i
mag =′′= ∫Silo, ki deluje na gibljiv element z maso m lahko izrazimo kot spremembo magnetne energije glede na pomik x:
Ku
B
i m
x xd −
dl
g
g
m
x
xLi
x
Tf mag
∂∂−=
∂∂
−= )(
2
1 2
Ker velja:
ixLi
Tmag )(=∂
∂
sledi za elektromagnetni podsistem:
))(
)(()( xx
xLiixL
i
T
dt
d mag ∂
∂+=∂
∂
Če upoštevamo še ohmsko upornost navitja dobimo:
uiRxx
xLiixL =+
∂∂+ )(
)(
Euler-Lagrangeova metoda:
P4:
51
Za mehanski podsistem velja:
Za, od položaja x odvisno, induktivnost velja:
fxBKxxm
xBDxKVxmTmeh
=++→
===
222
2
1;
2
1;
2
1
g
xdlNxL
2
)()(
20 −= µ
od koder dobimo izraz za mehansko silo:
22202
4
)(
2
1iCiN
g
l
x
xLif
C
==∂
∂−=
µ
Euler-Lagrangeova metoda:
P4:
52
Kot spremenljivke stanja izberemo tok, položaj in hitrost:
[ ] →= xxix
0
2123
3
311
;),(
)(
1
)(
1)(
)(
xuxfx
xm
CX
m
Kx
m
Bx
uxL
xxxLdx
xdLx
xL
R
x
=
→
+−−
+−−
=
Euler-Lagrangeova metoda:
P5:
53
Za mehanski podsistem velja:
u
mg
i
f0x
x
→== xmgVxmTmeh ;2
1 2
),(
),()(
ixfmgxm
ixfx
V
x
T
dt
d meh
−=−
→−=∂∂−
∂∂
Za električni podsistem velja:
ixL )(=ψ
2
0
)(2
1)( ixLidixLT
i
mag =′′= ∫
x
xLi
x
Tixf mag
∂∂−=
∂∂
−= )(
2
1),( 2
Zaradi ohmske upornosti je disipacija :
2
2
1RiD =
EL enečba elektromagnetnega podsistema je potem:
uRixx
xLiixL
ui
DixL
dt
d
ui
D
i
T
dt
d mag
=+∂
∂+
→=∂∂+
=∂∂+
∂∂
)()(
))((
)(
Euler-Lagrangeova metoda:
P5:
54
Za odvisnost :induktivnosti od položaja krogle velja:
20000
1
)()(
x
xL
x
xL
x
xLLxL −=
∂∂→+=
Induktivnost brez krogle:
Induktivnost z kroglo v ravnotežnem položaju:
Za silo, ki deluje na kroglo velja:
2
2
2
200
2002
2
22
1
)(
2
1
x
iC
x
ixL
x
xLi
x
xLi
x
Tf
C
mag
==
−−
=∂
∂−=∂
∂−=
=
Kot spremenljivke stanja izberemo::
→==== ixxxxxx 3121 ;;
1
0
132
1
1
13
1
21
23
2
;),(
)(
1)(
)(
1
)(
xy
xuxfx
uxL
xxdx
xdL
xLx
xL
Rx
x
m
Cg
x
x
==
→
+−−
−=
Nelinerani model v prostoru stanj: