elektromagnetische feldtheorie i (elektromagnetische ... · elektromagnetische feldtheorie i...

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1 Elektromagnetische Feldtheorie I ( Elektromagnetische Feldtheorie I ( Elektromagnetische Feldtheorie I ( Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) Electromagnetic Field Theory I (EFT I) Electromagnetic Field Theory I (EFT I) Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd Lecture / 3 3rd Lecture / 3 3rd Lecture / 3 3rd Lecture / 3. Vorlesung . Vorlesung . Vorlesung . Vorlesung University of Kassel University of Kassel University of Kassel University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) (FB 16) (FB 16) (FB 16) Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory (FG TET) (FG TET) (FG TET) (FG TET) Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmshö ö öher Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 Office: Room 2113 / 2115 Office: Room 2113 / 2115 Office: Room 2113 / 2115 D D D- - -34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel Universit Universit Universit Universitä ä ät Kassel t Kassel t Kassel t Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) (FB 16) (FB 16) (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) (FG TET) (FG TET) (FG TET) Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmshö ö öher Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 B B ü üro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 D D D- - -34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel Dr. Dr. Dr. Dr.- - -Ing. Ren Ing. Ren Ing. Ren Ing. René é é Marklein Marklein Marklein Marklein marklein@uni marklein@uni marklein@uni marklein@uni- - -kassel.de kassel.de kassel.de kassel.de http://www.tet.e http://www.tet.e http://www.tet.e http://www.tet.e- - -technik.uni technik.uni technik.uni technik.uni- - -kassel.de kassel.de kassel.de kassel.de http://www.uni http://www.uni http://www.uni http://www.uni- - -kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /EFT I) /EFT I) /EFT I) /Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

3rd Lecture / 33rd Lecture / 33rd Lecture / 33rd Lecture / 3. Vorlesung. Vorlesung. Vorlesung. Vorlesung

University of KasselUniversity of KasselUniversity of KasselUniversity of Kassel

Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16)(FB 16)(FB 16)(FB 16)

Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory

(FG TET)(FG TET)(FG TET)(FG TET)

WilhelmshWilhelmshWilhelmshWilhelmshööööher Allee 71her Allee 71her Allee 71her Allee 71

Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115

DDDD----34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel

UniversitUniversitUniversitUniversitäääät Kasselt Kasselt Kasselt KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)(FB 16)(FB 16)(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)(FG TET)(FG TET)(FG TET)WilhelmshWilhelmshWilhelmshWilhelmshööööher Allee 71her Allee 71her Allee 71her Allee 71BBBBüüüüro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115

DDDD----34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel

Dr.Dr.Dr.Dr.----Ing. RenIng. RenIng. RenIng. Renéééé MarkleinMarkleinMarkleinMarkleinmarklein@unimarklein@unimarklein@[email protected]

http://www.tet.ehttp://www.tet.ehttp://www.tet.ehttp://www.tet.e----technik.unitechnik.unitechnik.unitechnik.uni----kassel.dekassel.dekassel.dekassel.dehttp://www.unihttp://www.unihttp://www.unihttp://www.uni----kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 2

Math: Requirements & Recommendations Math: Requirements & Recommendations Math: Requirements & Recommendations Math: Requirements & Recommendations / / / / Mathe: Voraussetzungen & EmpfehlungenMathe: Voraussetzungen & EmpfehlungenMathe: Voraussetzungen & EmpfehlungenMathe: Voraussetzungen & Empfehlungen

Analysis / AnalysisAnalysis / AnalysisAnalysis / AnalysisAnalysis / Analysis

Vector Analysis / Vector Analysis / Vector Analysis / Vector Analysis / VektoranalysisVektoranalysisVektoranalysisVektoranalysis

Algebra / AlgebraAlgebra / AlgebraAlgebra / AlgebraAlgebra / Algebra

Differential GeometryDifferential GeometryDifferential GeometryDifferential Geometry / Differentialgeometrie/ Differentialgeometrie/ Differentialgeometrie/ Differentialgeometrie

Differential EquationsDifferential EquationsDifferential EquationsDifferential Equations / Differentialgleichungen/ Differentialgleichungen/ Differentialgleichungen/ Differentialgleichungen

Special FunctionsSpecial FunctionsSpecial FunctionsSpecial Functions / Spezielle Funktionen/ Spezielle Funktionen/ Spezielle Funktionen/ Spezielle Funktionen

Integral TransformsIntegral TransformsIntegral TransformsIntegral Transforms / Integraltransformationen/ Integraltransformationen/ Integraltransformationen/ Integraltransformationen

Prof. Dr. rer. nat. KarlProf. Dr. rer. nat. KarlProf. Dr. rer. nat. KarlProf. Dr. rer. nat. Karl----JJJJöööörg Langenbergrg Langenbergrg Langenbergrg Langenberg

Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I & IIIIIIII

⇒⇒⇒⇒

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 3

Different Coordinate SystemsDifferent Coordinate SystemsDifferent Coordinate SystemsDifferent Coordinate Systems / / / / Verschiedene KoordinatensystemeVerschiedene KoordinatensystemeVerschiedene KoordinatensystemeVerschiedene Koordinatensysteme

● Cartesian (Rectangular) Coordinate SystemCartesian (Rectangular) Coordinate SystemCartesian (Rectangular) Coordinate SystemCartesian (Rectangular) Coordinate System / / / / Kartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches Koordinatensystem

● Cylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate System / / / / ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

● Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / / / / KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

What is the benefit of the Use of a Problem Matched What is the benefit of the Use of a Problem Matched What is the benefit of the Use of a Problem Matched What is the benefit of the Use of a Problem Matched Coordinate SystemsCoordinate SystemsCoordinate SystemsCoordinate Systems ? / ? / ? / ? /

Was ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenWas ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenWas ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenWas ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenKoordinatensystemen ?Koordinatensystemen ?Koordinatensystemen ?Koordinatensystemen ?

(Easier) Solution of the Problem under Concern!(Easier) Solution of the Problem under Concern!(Easier) Solution of the Problem under Concern!(Easier) Solution of the Problem under Concern! / / / / (Einfachere) L(Einfachere) L(Einfachere) L(Einfachere) Löööösung des betrachteten Problems?sung des betrachteten Problems?sung des betrachteten Problems?sung des betrachteten Problems?

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 4

Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)

( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( )

x y z

x y zx y z

x y z

R R R

x y z

= + +

+ +

= + +

R R R R R R R

R e R e R e

e e e

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem

Vectorial Vector ComponentsVectorial Vector ComponentsVectorial Vector ComponentsVectorial Vector Components / / / / Vektorielle VektorkomponentenVektorielle VektorkomponentenVektorielle VektorkomponentenVektorielle Vektorkomponenten

( ) ( , , )

( ) ( , , )

( ) ( , , )

xx x x

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zz z z

R x y z x

R x y z y

R x y z z

= =

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R R e e

R R e e

R R e e

Scalar Vector ComponentsScalar Vector ComponentsScalar Vector ComponentsScalar Vector Components / / / / Skalare VektorkomponentenSkalare VektorkomponentenSkalare VektorkomponentenSkalare Vektorkomponenten

( , , )

( , , )

( , , )

x

y

z

R x y z x

R x y z y

R x y z z

=

=

=

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

, ,

| | | | | | 1

x y z

x y z x y z⊥ ⊥ = = =

e e e

e e e e e e

CoordinatesCoordinatesCoordinatesCoordinates / Koordinaten/ Koordinaten/ Koordinaten/ Koordinaten , , ; , ,x y z x y z−∞ < < ∞

y

z

x

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zze

R

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 5

Field VectorField VectorField VectorField Vector / Feldvektor/ Feldvektor/ Feldvektor/ Feldvektor

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / / / / Kartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches Koordinatensystem

x

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

, ,

| | | | | | 1

x y z

x y z

x y z

⊥ ⊥

= = =

e e e

e e e

e e e

CoordinatesCoordinatesCoordinatesCoordinates / / / / KoordinatenKoordinatenKoordinatenKoordinaten , ,x y z

( ) ( ) ( ) ( )

= A ( , , ) A ( , , ) A ( , , )

x y z

x y zx y zx y z x y z x y z

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+ +

A R A R A R A R

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y

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R

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−∞ < < ∞−∞ < < ∞−∞ < < ∞

LimitsLimitsLimitsLimits / / / / GrenzenGrenzenGrenzenGrenzen

Arbitrary Vector FieldArbitrary Vector FieldArbitrary Vector FieldArbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld

: Perpendicular / Senkrecht⊥

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 6

Notation and Field Quantities / Notation and Field Quantities / Notation and Field Quantities / Notation and Field Quantities / Notation und FeldgrNotation und FeldgrNotation und FeldgrNotation und Feldgrößößößößenenenen

( ) ( ) ( ) ( )

3

1 2 3

1

1 2 3

3 Vector Components /3 Vektorkomponenten

, , , ,

= E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )

= E ( , , , )

= E ( , , , )

i i

i i

x y z

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x x x t

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9 Dyadic Components /9 dyadische Komponenten

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+ ( , , , ) (

xx xy xz

yx yy yz

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xx xy xzx x x y x z

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t t t

t t t

x y z t x y z t x y z t

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ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

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+ + +

+ + +

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R R R R

R R R

R R R

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e e

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3 3

1 2 3

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1 2 3

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+ ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , )

( , , , )

i j i j

i j i j

yzy y y z

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x x x xi

x x x x

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x y z t x y z t x y z t

x x x t

x x x t

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ε

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+

+ +

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∑∑

e e e e

e e e e e e

e e

e e

Vector / Vektor: Vector / Vektor: Vector / Vektor: Vector / Vektor: Electric Field StrengthElectric Field StrengthElectric Field StrengthElectric Field Strength / Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldstäääärkerkerkerke

DyadDyadDyadDyad / Dyade: / Dyade: / Dyade: / Dyade: Permittivity DyadPermittivity DyadPermittivity DyadPermittivity Dyad / / / / PermittivitPermittivitPermittivitPermittivitäääätsdyadetsdyadetsdyadetsdyade

with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention

Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.

1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x= 1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x=mit mit

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 7

Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)

( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

r z

r zr z

r z

R R R

r z

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

= + +

+ +

= +

R R R R R R R

R e R e R e

e e

Cylindrical Coordinate System Cylindrical Coordinate System Cylindrical Coordinate System Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem/ Zylinderkoordinatensystem/ Zylinderkoordinatensystem/ Zylinderkoordinatensystem

Vectorial Vector ComponentsVectorial Vector ComponentsVectorial Vector ComponentsVectorial Vector Components / / / / Vektorielle VektorkomponentenVektorielle VektorkomponentenVektorielle VektorkomponentenVektorielle Vektorkomponenten

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

rr r r

zz z z

R r r

R z z

ϕ

ϕ ϕ= =

=

= =

R R e e

R R 0

R R e e

Scalar Vector ComponentsScalar Vector ComponentsScalar Vector ComponentsScalar Vector Components / / / / Skalare VektorkomponentenSkalare VektorkomponentenSkalare VektorkomponentenSkalare Vektorkomponenten

( , , ) ( )

( , , ) 0

( , , )

r r

z z

R r z r

R r z

R r z z

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

=

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e

e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

( ), ( ),

( ) ( ) | ( ) | | ( ) | | | 1

r z

r z r z

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⊥ ⊥ = = =

e e e

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y

z

x

( )rr ϕe

zz eR

ϕ

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 8

Field Vector Field Vector Field Vector Field Vector / Feldvektor/ Feldvektor/ Feldvektor/ Feldvektor

Cylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate System / / / / ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) = A ( , , ) ( , , ) ( , , )

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r zr zr z A r z A r z

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= + +

+ +

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Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

( ), ( ),

( ) ( )

( ) ( ) 1

r z

r z

r z

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⊥ ⊥

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e e e

e e e

e e e

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, ,r zϕ

y

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x

( )rr ϕe

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ze

( )ϕ ϕe

00 2

r

zϕ π

≤ < ∞≤ <

−∞ < < ∞

LimitsLimitsLimitsLimits / / / / GrenzenGrenzenGrenzenGrenzen

Arbitrary Vector FieldArbitrary Vector FieldArbitrary Vector FieldArbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld

: Perpendicular / Senkrecht⊥

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 9

Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)

( ) ( ) ( )

= ( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( )

( , )

R

R R

R

R R

R

R

ϑ ϕ

ϑ ϑ

ϕ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ

ϕ

ϑ ϕ

= + +

+

+

=

R R R R R R R

R e R e

R e

e

Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem/ Kugelkoordinatensystem/ Kugelkoordinatensystem/ Kugelkoordinatensystem

Vectorial Vector ComponentsVectorial Vector ComponentsVectorial Vector ComponentsVectorial Vector Components / / / / Vektorielle VektorkomponentenVektorielle VektorkomponentenVektorielle VektorkomponentenVektorielle Vektorkomponenten

( ) ( , , ) ( , ) ( , )

( ) ( , , ) ( , )

( ) ( , , ) ( )

RR R RR R R

R R

R R

ϑϑ ϑ

ϕϕ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ ϕ

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= =

R R e e

R R e 0

R R e 0

Scalar Vector ComponentsScalar Vector ComponentsScalar Vector ComponentsScalar Vector Components / / / / Skalare VektorkomponentenSkalare VektorkomponentenSkalare VektorkomponentenSkalare Vektorkomponenten ( , , ), ( , , ), ( , , )RR R R R R Rϑ ϕϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren , ,

| | | | | | 1

R

R R

ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ⊥ ⊥ = = =

e e e

e e e e e e

CoordinatesCoordinatesCoordinatesCoordinates / Koordinaten/ Koordinaten/ Koordinaten/ Koordinaten , , ; 0 , 0 ;0 2R Rϑ ϕ ϑ π ϕ π≤ < ∞ ≤ ≤ ≤ <

y

z

x

ϕ

( ),RR ϑ ϕe

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 10

Field VectorField VectorField VectorField Vector / Feldvektor/ Feldvektor/ Feldvektor/ Feldvektor

Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / / / / KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,

= A ( , , ) , ( , , ) , ( , , )

R

R R

t

R A R A R

ϑ ϕ

ϑ ϕϑ ϕϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

= + +

+ +

A R A R A R A R

e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ,

, ,

| , | | , | | | 1

R

R

R

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

⊥ ⊥

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e e e

e e e

e e e

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, ,R ϑ ϕ

y

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x

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( ),RR ϑ ϕe

( )A R

( )ϕ ϕe

( ),R ϑ ϕe

( ),ϑ ϑ ϕe

Arbitrary Vector FieldArbitrary Vector FieldArbitrary Vector FieldArbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld/ Beliebiges Vektorfeld

LimitsLimitsLimitsLimits ////GrenzenGrenzenGrenzenGrenzen

: Perpendicular / Senkrecht⊥

000 2

Rϑ πϕ π

≤ < ∞≤ ≤≤ <

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 11

Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /

Kartesischen Koordinatensystemen: KoordinatenflKartesischen Koordinatensystemen: KoordinatenflKartesischen Koordinatensystemen: KoordinatenflKartesischen Koordinatensystemen: Koordinatenfläääächen, chen, chen, chen, Einheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, Fläääächenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelement

xeye

ze

( , , )P x y z

const.z =

const.y =

const.x =

xzdS

xydS

yzdS

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 12

Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /ZylinderkZylinderkZylinderkZylinderkoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystem: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfläääächen, chen, chen, chen,

Einheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, Fläääächenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelement

( )r ϕe

( )ϕ ϕeze

const.z =

const.ϕ =

const.r =

rzdS

xydS

zϕdS

d rdr ϕ

( , , )P r zϕ

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 13

Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /KugelkKugelkKugelkKugelkoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystem: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfläääächen, chen, chen, chen,

Einheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, Fläääächenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelement

const.ϕ =

const.R =

( ),ϑ ϑ ϕe

( )ϕ ϕe

( ),R ϑ ϕe

rϑdS

ϑϕdS

rϕdS

sin d R ϑ ϕ

sinR ϑ

d R ϑ

( , , )P R ϑ ϕ

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 14

Metric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line Elements / / / / Metrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle Linienelementementementemente

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / / / / Kartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches Koordinatensystem

1, 1, 1x y zh h h= = =

Cylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate System / / / / ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / / / / KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

1, , 1r zh h r hϕ= = = 1, , sinRh h R h Rϑ ϕ ϑ= = =

d

d

d

d

d

d

d

d

d

r

rr

r

z

zz

z

R

h r

r

R

h

r

R

h z

z

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dR s

e

e

dR s

e

e

dR s

e

e

d

d

d

d

d

d

d

d

sin d

R

RR

R

R

h R

R

R

h

R

R

h

R

ϑ

ϑϑ

ϑ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϑ

ϑ

ϕ

ϑ ϕ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dR s

e

e

dR s

e

e

dR s

e

e

d

d

d

d

d

d

d

d

d

x

xx

x

y

yy

y

z

zz

z

R

h x

x

R

h y

y

R

h z

z

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dR s

e

e

dR s

e

e

dR n

e

e

Page 15: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 15

Metric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface Elements / / / / Metrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle Volumen---- und Flund Flund Flund Fläääächenelementechenelementechenelementechenelemente

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / / / / Kartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches Koordinatensystem

1, 1, 1x y zh h h= = =

Cylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate System / / / / ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / / / / KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

1, , 1r zh h r hϕ= = = 1, , sinRh h R h Rϑ ϕ ϑ= = =

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

r z

r z

z

zz

r

rz

r zz r

r

rr

z

V h r h h z

h h h r y

r r z

S

h h z

r y z

S

h h r z

r z

S

h h r

r r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

2

2

d d d d

d d d

sin d d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

d d

R

R

R

r

RR

R

RR

V h Rh h

h h h R

R R

S

h h

R

S

h h R

R R

S

h h R

R R

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑϕ

ϑ ϕϑ ϕ

ϕ

ϕϕ

ϑ

ϑ

ϑϑ

ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϑ ϕ

ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϑ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

x y z

x y z

yz

y zy z

x

xz

x zz x

y

xy

x yx y

z

V h xh y h z

h h h x y z

z x z

S

h h y z

y z

S

h h x z

x z

S

h h x y

x y

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

Page 16: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 16

Spherical CoordinatesSpherical CoordinatesSpherical CoordinatesSpherical Coordinates ////

KugelkoordinatenKugelkoordinatenKugelkoordinatenKugelkoordinaten

CylindricalCylindricalCylindricalCylindrical CoordinatesCoordinatesCoordinatesCoordinates ////

ZylinderkoordinatenZylinderkoordinatenZylinderkoordinatenZylinderkoordinaten

CartesianCartesianCartesianCartesian CoordinatesCoordinatesCoordinatesCoordinates ////

Kartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische Koordinaten

x

y

z

cos

sin

r

r

z

ϕ

ϕ

sin cos

sin sin

cos

R

R

R

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

2 2

arctan

x y

y

x

z

+ r

z

ϕsin

cos

R

R

ϑ

ϕ

ϑ

2 2 2

2 2

arctan

arctan

x y z

x y

z

y

x

+ +

+

2 2

arctan

r z

r

z

ϕ

+R

ϑ

ϕ

Transformation Table / Transformation Table / Transformation Table / Transformation Table / UmrechnungstabelleUmrechnungstabelleUmrechnungstabelleUmrechnungstabelle

z

y

x

ϕ

Coordinates of Different Coordinates of Different Coordinates of Different Coordinates of Different Coordinate Systems /Coordinate Systems /Coordinate Systems /Coordinate Systems /

Koordinaten verschiedenen Koordinaten verschiedenen Koordinaten verschiedenen Koordinaten verschiedenen KoordinatensystemenKoordinatensystemenKoordinatensystemenKoordinatensystemen

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 17

cos sin cosx r Rϕ ϑ ϕ= =

1. Formulate x as a function of the cylinder and spherical coordinates. / Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.

2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.

3. Formulate as a function of the cylinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.

2 2 sinr x y R ϑ= + =

2 2 2 2 2 2

1

( cos ) ( sin ) cos sinx y r r r rϕ ϕ ϕ ϕ=

+ = + = + =�������

2 2x y+

2 2x y+

Examples / Examples / Examples / Examples / BeispieleBeispieleBeispieleBeispiele

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 18

Spherical CoordinatesSpherical CoordinatesSpherical CoordinatesSpherical Coordinates ////

KugelkoordinatenKugelkoordinatenKugelkoordinatenKugelkoordinaten

Cylindrical CoordinatesCylindrical CoordinatesCylindrical CoordinatesCylindrical Coordinates ////

ZylinderkoordinatenZylinderkoordinatenZylinderkoordinatenZylinderkoordinaten

Cartesian CoordinatesCartesian CoordinatesCartesian CoordinatesCartesian Coordinates ////

Kartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische Koordinaten

x y zx y zA A A= + +A e e e r zr zA A Aϕϕ= + +A e e e

RRA A Aϑ ϕϑ ϕ+ +A = e e e

x

y

z

A

A

A

cos sin

sin cos

r

r

z

A A

A A

A

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+

sin cos cos cos sin

sin sin cos sin cos

cos sin

R

R

R

A A A

A A A

A A

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϑ ϑ

+ −

+ +

cos sin

sin cos

x y

x y

z

A A

A A

A

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+

− +

r

z

A

A

A

ϕ

sin cos

cos sin

R

R

A A

A

A A

ϑ

ϕ

ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

+

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos

x y z

x y z

x y

A A A

A A A

A A

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

ϕ ϕ

+ +

+ −

− +

sin cos

cos sin

r z

r z

A A

A A

ϑ ϑ

ϑ ϑ

+

RA

A

A

ϑ

ϕ

Transformation Table / Transformation Table / Transformation Table / Transformation Table / UmrechnungstabelleUmrechnungstabelleUmrechnungstabelleUmrechnungstabelle

Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen KoordinatensystemenSkalare Vektorkomponenten in verschiedenen KoordinatensystemenSkalare Vektorkomponenten in verschiedenen KoordinatensystemenSkalare Vektorkomponenten in verschiedenen Koordinatensystemen

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 19

Example: Coordinate Transformation of the Position VectorExample: Coordinate Transformation of the Position VectorExample: Coordinate Transformation of the Position VectorExample: Coordinate Transformation of the Position Vector / / / / Beispiel: Koordinatentransformation des OrtsvektorBeispiel: Koordinatentransformation des OrtsvektorBeispiel: Koordinatentransformation des OrtsvektorBeispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor

( )�

( )�

( )�, ,, , , , zx y

x y zR x y zR x y z R x y z

x y z= + +R e e e

Position Vector in the Cartesian Coordinate System Position Vector in the Cartesian Coordinate System Position Vector in the Cartesian Coordinate System Position Vector in the Cartesian Coordinate System / / / / Ortsvektor im Kartesischen KoordinatensystemOrtsvektor im Kartesischen KoordinatensystemOrtsvektor im Kartesischen KoordinatensystemOrtsvektor im Kartesischen Koordinatensystem

( , , , , , ) cos sin

( , , , , , ) sin cos

( , , , , , )

r x y z x y

x y z x y

z x y z z

R r z R R R R R

R r z R R R R R

R r z R R R Rϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ

= += − +=

( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin

( , , ) ( , , )

x

y

z

R r z x r z rR r z y r z r

R r z z r z z

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

= == == =

( ) ( ) ( )�, ,, , , ,

cos sin

zx y

x y zR r zR r z R r z

r r z

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ= + +R e e e��� ���

Transformation of the Coordinates Transformation of the Coordinates Transformation of the Coordinates Transformation of the Coordinates / / / / Transformation der KoordinatenTransformation der KoordinatenTransformation der KoordinatenTransformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a

Function of Cylinder Coordinates Function of Cylinder Coordinates Function of Cylinder Coordinates Function of Cylinder Coordinates / / / / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der

ZylinderkoordinatenZylinderkoordinatenZylinderkoordinatenZylinderkoordinaten

Transformation of the Scalar Vector Components Transformation of the Scalar Vector Components Transformation of the Scalar Vector Components Transformation of the Scalar Vector Components / / / / Transformation der skalaren VektorkomponentenTransformation der skalaren VektorkomponentenTransformation der skalaren VektorkomponentenTransformation der skalaren Vektorkomponenten

2 2

1

cos cos sin sin

(cos sin )

cos sin sin cos

0

r

z z

R r r

r r

R r r

R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ=

= +

= + =

= − +==

�������� �( )

r z

r zR R

r zϕ= +R e e

Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System / / / / Ortsvektor in dem ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor in dem ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor in dem ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem

( ) ( ) ( )

( , , , , , )

, , ( ) , , ( ) , ,

r z

r zr z

r y R R R

R r y R r y R r y

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + +

R

e e e

????Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System / / / / Ortsvektor im ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor im ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor im ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor im Zylinderkoordinatensystem

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 20

FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)

( ) ( ) ( )S t C t S t= ∂

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t=∂= − −∫ ∫∫ ∫∫E R dR B R dS J R dSi i i�

FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Laws Induction Laws Induction Laws Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz

Time Dependent Surface /Time Dependent Surface /Time Dependent Surface /Time Dependent Surface /ZeitabhZeitabhZeitabhZeitabhäääängige Flngige Flngige Flngige Fläääächechecheche

Time Dependent Contour /Time Dependent Contour /Time Dependent Contour /Time Dependent Contour /ZeitabhZeitabhZeitabhZeitabhäääängige Konturngige Konturngige Konturngige Kontur

Page 21: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 21

FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Form ////Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)

FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Laws Induction Laws Induction Laws Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz

[ ]( ) ( )C t S t=∂∫ dR� i�

( , )tE R

dR

( , )tE R dRiScalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / / / / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR

[V][V][V][V]

Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles LinienelementLinienelementLinienelementLinienelement

[m][m][m][m]

Electric Field Strength Electric Field Strength Electric Field Strength Electric Field Strength / Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldstäääärkerkerkerke[V/m][V/m][V/m][V/m]

Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Geschlossenes KurvenintegralGeschlossenes KurvenintegralGeschlossenes KurvenintegralGeschlossenes Kurvenintegral[m][m][m][m]

dR=dR s

Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / VektoriellesVektoriellesVektoriellesVektorielles differentiellesdifferentiellesdifferentiellesdifferentiellesLinienelementLinienelementLinienelementLinienelement

Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangentialer EinheitsvektorTangentialer EinheitsvektorTangentialer EinheitsvektorTangentialer Einheitsvektor

Scalar Differential Line ElementScalar Differential Line ElementScalar Differential Line ElementScalar Differential Line Element / Skalares / Skalares / Skalares / Skalares differentielles Linienelementdifferentielles Linienelementdifferentielles Linienelementdifferentielles Linienelement

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t=∂= − −∫ ∫∫ ∫∫E R dR B R dS J R dSi i i�

Page 22: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 22

Different Products / Different Products / Different Products / Different Products / Verschiedene ProdukteVerschiedene ProdukteVerschiedene ProdukteVerschiedene Produkte

C = A BiScalar Product / Scalar Product / Scalar Product / Scalar Product / SkalarproduktSkalarproduktSkalarproduktSkalarprodukt

=C A B

=C A ×BVector Product / Vector Product / Vector Product / Vector Product / VektorproduktVektorproduktVektorproduktVektorprodukt

Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / DyadischesDyadischesDyadischesDyadisches PPPProduktroduktroduktrodukt

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 23

Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)

cos ( , )

cos

AB

ABAB

φ

φ

= ∠

=

A B A B A Bi�����

cos ABB φ=

ABφ

A

B

cos ABA φ=

ABφEnclosed Angle / Enclosed Angle / Enclosed Angle / Enclosed Angle / Eingeschlossener WinkelEingeschlossener WinkelEingeschlossener WinkelEingeschlossener Winkel

cos

cos

BA

AB

BA

AB

φ

φ

=

=

=

A B B Ai i

( ) ( )cos c osAB ABφ φ= −

cos

arccos

AB

AB

φ

φ

=

=

A B

A B

A B

A B

i

i

Page 24: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 24

Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)

� �

� �

1 00

0 1 0

10 0

( ) ( )

+

+

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A

= ==

= = =

== =

= + + + +

= + +

+ +

+ +

=

A B e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

i i

i i i���

i i i��� ��� ���

i i i���

x x y y z zB A B A B+ +

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

3

1

( ) ( )

( ) ( )

i i

x y z x y zx y z x y z

x x y y z z

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x

x x

i

A A A B B B

A B A B A B

A A A B B B

A B A B A B

A B

=

= + + + +

= + +

= + + + +

= + +

=∑

A B e e e e e e

e e e e e e

i i

i

x y z⊥ ⊥e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

1

0

0

x x

x y

x z

=

=

=

e e

e e

e e

i

i

i

0

1

0

y x

y y

y z

=

=

=

e e

e e

e e

i

i

i

0

0

1

z x

z y

z z

=

=

=

e e

e e

e e

i

i

i

1

2

3

x x

y x

z x

=

=

=

Cartesian Coordinates / Cartesian Coordinates / Cartesian Coordinates / Cartesian Coordinates / Kartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische Koordinaten

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 25

Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)

3 3

1 1

3 3

1 1

3 3

1 1

( ) ( )

or/oder

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i j i j

ij

i j

xi

x y z x y zx y z x y z

x xx xi j

x xx xi j

x x x xi j

x x x x

x x ij

B

A A A B B B

A B

A B

A B

A B

A B

δ

δ

δ

= =

= =

= ==

=

=

= + + + +

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑∑

∑∑

A B e e e e e e

e e

e e

e e

e e

i i

i

i

i���

i���

��� �

i j

x j

x xj j

i i

x ij x

A

A B

x x

A B

A B

δ

=

=

=

�����

1

0ij

i j

i jδ

==

Kronecker Delta / Kronecker Delta / Kronecker Delta / Kronecker Delta / KroneckerKroneckerKroneckerKronecker----DeltaDeltaDeltaDelta

with Einsteinwith Einsteinwith Einsteinwith Einstein’’’’s Summation Convention / s Summation Convention / s Summation Convention / s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonvention

EinsteinEinsteinEinsteinEinstein‘‘‘‘s Summation Conventions Summation Conventions Summation Conventions Summation Convention: If a index appears two : If a index appears two : If a index appears two : If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche SummenkonventionEinsteinsche SummenkonventionEinsteinsche SummenkonventionEinsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird daranderen nicht), wird daranderen nicht), wird daranderen nicht), wird darüüüüber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert.

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 26

Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Betrag eines VektorsBetrag eines VektorsBetrag eines VektorsBetrag eines Vektors

� �

� �

1 00

0 1 0

10 0

(A A A ) (A A A )

A A A A A A

+ A A A A A A

+ A A A A A A

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

= ==

= = =

== =

=

= + + + +

= + +

+ +

+ +

A A A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

i

i

i i i���

i i i��� ��� ���

i i i���

1

2

2 2 2

A A A A A A

A A A

A

x x y y z z

x y z

= + +

= + +

=

3 3

1 1

2

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i

x xx xi j

x xx x

x x x x

x

A B

A A

A A

A

δ

= =

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

A A A

e e

e e

e e

i

i

i

i���

Page 27: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 27

Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Beispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstäääärkevektorrkevektorrkevektorrkevektor

( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )

x y zx y z

x y z

x y z x y z x y z x y z

x y z

= + +

= + +

R e e e

e e e

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem

( , ) ( , , , )

E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z

t x y z t

x y z t x y z t x y z t

=

= + +

E R E

e e e

Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärkevektor rkevektor rkevektor rkevektor

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

x y z

x y zx y z

x y zx y z

x y z

=

+ +=

+ +

RR

R

e e e

( ) ( )2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z

=

= + + + +

= + +

R R R

e e e e e e

i

i

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

E E E

E E E

x y zx y z

x y z

x y zx y z

x y z=

+ +=

+ +

EE

E

e e e

( ) ( )2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

E E E E E E

E E E

x y z x y zx y z x y z

x y z

x y z x y z x y z=

= + + + +

= + +

E E E

e e e e e e

i

i

Position Vector / Position Vector / Position Vector / Position Vector / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor

Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)

Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / (Strength) / (Strength) / (Strength) / Betrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische Feldstäääärkevektors rkevektors rkevektors rkevektors

(St(St(St(Stäääärke)rke)rke)rke)

Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / OrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektor (Richtung)(Richtung)(Richtung)(Richtung)

Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung)

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 28

Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / VektorVektorVektorVektorproduktproduktproduktprodukt (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (1)eres Produkt) (1)eres Produkt) (1)eres Produkt) (1)

sin ( , )

sin

AB

AB

AB

C

AB

S

φ

φ

=

= ∠

=

=

C A×B

A B A B�����

ABφ

A

B

C

ABS

and /

und⊥ ⊥C A C B

Surface / Surface / Surface / Surface / FlFlFlFläääächechecheche

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 29

Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (2)eres Produkt) (2)eres Produkt) (2)eres Produkt) (2)

= −A×B B× A

0

0

( ) ( )

+

+

yz

z x

y x

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y zz x z y

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A

= =−=

=− = =

= =−

= + + + +

= + +

+ +

+ +

ee

e e

e e

A × B e e e × e e e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e

��� ������

��� ��� ���

��� ���0

( ) ( ) ( )

z z z

y z z y z x x z x y y xx x y z

B

A B A B A B A B A B A B

=

= − + − + −

e ×e

e e e e

���

=A × A 0

x y z⊥ ⊥e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

x x

x y z

x z y

y x z

y y

y z x

z x y

z y x

z z

=

=

= −

= −

=

=

=

= −

=

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0

Page 30: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 30

Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (3)eres Produkt) (3)eres Produkt) (3)eres Produkt) (3)

( )

+ ( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z x y

x y z x y

x y z x y

y z z y x

z x x z y

x y y x z

A A A

B B B

A A A A A

B B B B B

A B A B

A B A B

A B A B

=

=

= −

+ −

e e e

A×B

e e e e e

e

e

e

Add the first two ColumnsAdd the first two ColumnsAdd the first two ColumnsAdd the first two Columns / / / / Addiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten Spalten

SarrusSarrusSarrusSarrus LawLawLawLaw ////Regel von Regel von Regel von Regel von SarrusSarrusSarrusSarrus

[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 31

Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / DyadischesDyadischesDyadischesDyadisches PPPProduktroduktroduktrodukt

3 3

1 1

3 3

1 1

i ji j

i ji j

i ji j

i j i j

i j i j

x xx x

i j

x xx x

i j

x xx x

x x x x

x x x x

x xi jD

A B

A B

A B

A B

D

= =

= =

=

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑ ∑

A B e e

e e

e e

e e

e e

D

�����

≠B A A B

=

=

D ε E

B µ H

i

i

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 05/06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 32

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder(ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder(ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder(ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

Page 33: Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 33

Electrostatic Field Problem Electrostatic Field Problem Electrostatic Field Problem Electrostatic Field Problem –––– Example: Parallel Plate Capacitor / Example: Parallel Plate Capacitor / Example: Parallel Plate Capacitor / Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches FeldproblemElektrostatisches FeldproblemElektrostatisches FeldproblemElektrostatisches Feldproblem –––– Beispiel: Paralleler PlattenkondensatorBeispiel: Paralleler PlattenkondensatorBeispiel: Paralleler PlattenkondensatorBeispiel: Paralleler Plattenkondensator

Scalar Field: Electrostatic PotentialScalar Field: Electrostatic PotentialScalar Field: Electrostatic PotentialScalar Field: Electrostatic Potential ////Skalarfeld: Elektrostatisches PotenzialSkalarfeld: Elektrostatisches PotenzialSkalarfeld: Elektrostatisches PotenzialSkalarfeld: Elektrostatisches Potenzial

Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische FeldstVektorfeld: Elektrostatische FeldstVektorfeld: Elektrostatische FeldstVektorfeld: Elektrostatische Feldstäääärkerkerkerke

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 34

e

( ) 0

( ) ( ) d

C S

S V VVρ

=∂

=∂

=

=

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

e

( )

( ) ( )ρ

∇ =

∇ =

× E R 0

D R Ri

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

e

( ) ::( )

( ) :ρ

E R

D RR

Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

Electric Flux Density / Elektrische Flussdichte

Electric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

∂≡

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 35

e

e

( ) 0

( ) ( ) d

C S

S V VV

Q

ρ

=∂

=∂

=

=

=

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

e

( )

( ) ( )ρ

∇ =

∇ =

× E R 0

D R Ri

Integral Form / Integral Form / Integral Form / Integral Form / IntegralformIntegralformIntegralformIntegralform

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

0( ) ( )ε=D R E R

0 r( ) ( )ε ε=D R E R

Vacuum / Vacuum / Vacuum / Vacuum / VakuumVakuumVakuumVakuum

Electric Field Constant / Electric Field Constant / Electric Field Constant / Electric Field Constant / Elektrische FeldkonstanteElektrische FeldkonstanteElektrische FeldkonstanteElektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)Permittivity of Free SpacePermittivity of Free SpacePermittivity of Free SpacePermittivity of Free Space / / / / PermittivitPermittivitPermittivitPermittivitäääätttt des Freiraumesdes Freiraumesdes Freiraumesdes Freiraumes

Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen Fäääällenllenllenllen

Permittivity / Permittivity / Permittivity / Permittivity / PermittivitPermittivitPermittivitPermittivitäääätttt

2

3e

( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C]

[As/ m ]( )

( ) [As/m ]ρ

=E R

D R

R

Differential Form /Differential Form /Differential Form /Differential Form /DifferentialformDifferentialformDifferentialformDifferentialform rMaterial

1.006

Paper / Papier 2...4

Wet Earth / Nasse Erde 5...15

Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13

Seawater / Seewasser 70

Air / Luft

ε

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 36

( ) [ ](2)e

12

(1)e

212

1 N

4 R

Q Q

πε= RF R

CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Law / s Law / s Law / s Law / CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetzCharles Augustin de Charles Augustin de Charles Augustin de Charles Augustin de CoulombCoulombCoulombCoulomb (1736 (1736 (1736 (1736 –––– 1806)1806)1806)1806)

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz

(1)e

(2)e

Force /( ) [N]

Kraft

Electric Point Charge /[As]

Elektrische Punktladung

Electric Point Charge /[As]

Elektrische PunktLadung

Distance /[m]

Abstand

Distance Unit Vector /[1]

Abstandseinheitsvektor

Pe

Q

Q

R

RF

R

rmittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumesε

12R

(2)eQ

(1)eQ

12R

[ ] 1R

= =R R

RR

[ ]= mR = R R Ri

( ) (2)

12

(1)

1

ee

224

QQ

Rπε=R RF

( )

2 2 2

2 2 2,

x y z

x y z

R

x y z

R x y z

x y z

x y z

ϑ ϕ

= + +

= = + +

+ += =

+ +e

R e e e

R R

e e eR

i

1R2R

12 2 1= −R R R

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 37

( )( ) [ ]

(1)e

(2) 2e

N/C or V/m4

Q

Q Rπε= =

RR

FE R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladung

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz

(2)e

(1)e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische Feldstärke

Force /( ) [N]

Kraft

Electric Charge /[As]

Elektrische Ladung

Electric Test Charge /[As]

Elektrische Testladung

Distance /[m]

Abstand

Distance

Q

Q

R

R

R

E

F

Unit Vector /[1]

Abstandseinheitsvektor

Permittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumesε

R

R

(2)eQ

(1)eQ

R

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

Move … / Bewege...

Radial Field / Radialfeld

(2)eQ

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

( )( )

(1)e

)

2

(2e

4

Q

Q

Rπε

=

=

EF R

R

R

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 38

( ) [ ]

e

2

e V/m44 RR

R

Q Q

πεπε= =

=

R RE R

R R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladung

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric FieldFieldFieldField StrengthStrengthStrengthStrength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz

e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische Feldstärke

Electric Charge /[As]

Elektrische Ladung

Distance /[m]

Abstand

Distance Unit Vector /[1]

Abstandseinheitsvektor

Permittivity of Free-Space /

Permitt

Q

R

R

R

E

[As/Vm]ivität des Freiraumes

ε

ReQ

R

Radial Field / Radialfeld

( ) 2

e

e

4

4

R

Q

R

Q

πε

πε

=

=

R RE

R

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 39

e

( ) 0

( ) ( ) d

C S

S V VVρ

=∂

=∂

=

=

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

e

( )

( ) ( )ρ

∇ =

∇ =

× E R 0

D R Ri

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Method of Gauss’ Electric Law /Methode des Gaußschen elektrischen Gesetzes

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

e

( ) ::( )

( ) :ρ

E R

D RR

Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

Electric Flux Density / Elektrische Flussdichte

Electric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

∂≡

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen

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Source Distribution Source Distribution Source Distribution Source Distribution / Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung

se

s

0( )

0

V

≠ ∈=

= ∈/

RR

R

sV

e ( ) 0ρ >R

Source Volume Source Volume Source Volume Source Volume / / / / QuellvolumenQuellvolumenQuellvolumenQuellvolumen

C S= ∂Integration Contour Integration Contour Integration Contour Integration Contour / / / / IntegrationskonturIntegrationskonturIntegrationskonturIntegrationskontur

( ) 0C S=∂

=∫ E R dRi�

( )E R

ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----Felder Felder Felder Felder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 41

Source Distribution Source Distribution Source Distribution Source Distribution / Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung

se

s

0( )

0

V

≠ ∈=

= ∈/

RR

R

( ) ( )( )

d

nD

S=

R

D R dS D R ni i�����

sV

e ( ) 0ρ >R

e ( ) 0ρ =R

Source Volume Source Volume Source Volume Source Volume ////QuellvolumenQuellvolumenQuellvolumenQuellvolumen

V

Integration Volume Integration Volume Integration Volume Integration Volume / / / / IntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumen

e ( ) 0ρ =Re

e

( ) ( ) de S V VV

Q

ψ ρ=∂

= =

=

∫∫ ∫∫∫D R dS RiTotal Electric Charge in V /

Elektrische Gesamtladung in V

( )

e

( ) d

Total electric charge inside thevolume with the cl

Summation of all = Contributions /Summation aller = -Beiträge

( ) ( ) d

eS V

Dn

n

n

S V V

QS

VD

D

=∂

=∂=

∫∫

∫∫ ∫∫∫

R

D R n

n D

n D

D R dS R

i�����

ii

i��������� �������

���������

osed surface /Gesamte elektrische Ladung im Volumen mit der geschlossenen Oberfläche

S V

V S V

=∂

=∂

�������

e

e

Flux of through in /Fluss von durch in

S Q VS Q V

==

D

D

ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----Felder Felder Felder Felder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 42

S V= ∂

Integration Volume Integration Volume Integration Volume Integration Volume / / / / IntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumen

e

e

( ) ( ) d

S V VV

Q

ρ=∂

=

=

∫∫ ∫∫∫D R dS Ri

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law /Law /Law /Law /

Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----FelderFelderFelderFelder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

0 source- free / quellenfrei

( ) 0 Source / Quelle

0 Sink / SenkeS V=∂

=

> <

∫∫ D R dS

i

e ( )ρ R

SS1S

2S

2n

1n

1 1

2 2

1

2

e

( ) d

( ) d

( ) d

S SSS V

S V

S V

S

S

S

Q

=∂

=∂

=∂

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

D R n

D R n

D R n

i

i

i

Sn

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 43

sVSource Volume Source Volume Source Volume Source Volume / / / / QuellvolumenQuellvolumenQuellvolumenQuellvolumen

S V= ∂Integration Surface (Closed Surface) Integration Surface (Closed Surface) Integration Surface (Closed Surface) Integration Surface (Closed Surface) / / / / IntegrationsflIntegrationsflIntegrationsflIntegrationsflääääche (geschlossene Oberflche (geschlossene Oberflche (geschlossene Oberflche (geschlossene Oberflääääche)che)che)che)

v ( )

v

( ) ( ) d

v ( ) d

n

S V S V

nS V

S

S

ψ

=∂ =∂=

=∂

=

=

=

∫∫ ∫∫

∫∫

i i�����

R

v R dS v R n

R

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law /Law /Law /Law /

Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

Example: Fluid MechanicsExample: Fluid MechanicsExample: Fluid MechanicsExample: Fluid Mechanics –––– Spring of WaterSpring of WaterSpring of WaterSpring of Water / / / / Beispiel: StrBeispiel: StrBeispiel: StrBeispiel: Ströööömungsmechanik mungsmechanik mungsmechanik mungsmechanik –––– WasserquelleWasserquelleWasserquelleWasserquelle

vv

v

Spring of Water Spring of Water Spring of Water Spring of Water / / / / WasserquelleWasserquelleWasserquelleWasserquelle

Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface / / / / Gesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene Oberfläääächechecheche

v

n

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 44

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law Law Law Law ---- Example /Example /Example /Example /

Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzes schen Gesetzes schen Gesetzes schen Gesetzes ---- BeispielBeispielBeispielBeispiel

Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /ribution /ribution /ribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichtedichtedichtedichte

e0 00e e

0

( ) ( )

0

RR R

RR

R R

ρρ ρ

<

= = >

R

Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Vorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

+++

+

+

++

+ + + ++

+

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

+

+

+

+

+

ϕ

ϑ

0RR

R

R

0R

0R

e0 ( )Rρ

( )RD R

sin dR ϑ ϕ

dR ϑdR

e

e

( )

( ) ( ) d ( ) d

n

S V S V VD

Q

S Vρ=∂ =∂

==

= =∫∫ ∫∫ ∫∫∫i i����� �������

R

D R dS D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) Fall

Radial Symmetry /Radial Symmetry /Radial Symmetry /Radial Symmetry /RadialsymmetrieRadialsymmetrieRadialsymmetrieRadialsymmetrie

!!!!

Charged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius R0000 / / / / Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius RRRR0000

Solution for D(Solution for D(Solution for D(Solution for D(RRRR) / ) / ) / ) / LLLLöööösung fsung fsung fsung füüüür r r r D(D(D(D(RRRR))))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n R

R

D D

n RD D

= =

=

=

R R

D R n D R e

R R

i i����� �����

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 45

Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element / / / / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement (1)chenelement (1)chenelement (1)chenelement (1)

d S=d S nDefinition:Definition:Definition:Definition:

Surface /Surface /Surface /Surface /FlFlFlFläääächechecheche

y

z

x

( )1 2,σ σR

( )1 1 2,dσ σ σ+R1σ

d S1σdR

( )

( )

( )

1

2

1 2

1 2

1 1 2

1 2 2

,

,

d ,

, d

σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ σ

σ σ σ

+

+

R

R

R

dR

dR

Surface Parameters Surface Parameters Surface Parameters Surface Parameters / / / / FlFlFlFläääächenparameterchenparameterchenparameterchenparameter

Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor

Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor

Vector Differential Line Vector Differential Line Vector Differential Line Vector Differential Line Elements / Elements / Elements / Elements / Vektorielle Vektorielle Vektorielle Vektorielle differentielle differentielle differentielle differentielle LinienelementeLinienelementeLinienelementeLinienelemente

( )1 2,σ σR

2σ2σdR

Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor

n

Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / Ortsvektor/ Ortsvektor/ Ortsvektor/ Ortsvektor

Tangential Vectors Tangential Vectors Tangential Vectors Tangential Vectors / Tangentialvektoren/ Tangentialvektoren/ Tangentialvektoren/ Tangentialvektoren ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 211

1 2 1 222

, ,

, ,

σ σ σ σσ

σ σ σ σσ

∂=

∂=

σ R

σ R

( )1 2 2, dσ σ σ+R

d S

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 46

Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement (2)chenelement (2)chenelement (2)chenelement (2)

( )

( )1

2

1 2 11

1 2 22

, d

, d

σ

σ

σ σ σ

σ σ σ

=

=

dR σ

dR σ

Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles Linienelement

( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , d d

S σ σ

σ σ σ σ σ σ

=

=

dR × dR

σ ×σ

Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Skalares differentielles FlSkalares differentielles FlSkalares differentielles FlSkalares differentielles Fläääächenelementchenelementchenelementchenelement

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

, ,

, ,

σ σ σ σ

σ σ σ σ=σ ×σ

nσ ×σ

Normal UnitNormal UnitNormal UnitNormal Unit----Vector / Vector / Vector / Vector / NormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektor

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 21 2 1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , , , d d

, ,

, , d d

S

σ σ σ σσ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

=

=

=

dS n

σ ×σσ ×σ

σ ×σ

σ ×σ

Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement chenelement chenelement chenelement

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 47

GaussGaussGaussGauss’’’’ Electric Law Electric Law Electric Law Electric Law / Gau/ Gau/ Gau/ Gaußßßßsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetz

e eQψ =

Closed Surface Integral /Geschlossenes Flächenintegral Summation of all Normal Componentes of

at the Closed Surface of the Volume /

Summation a

( )

( ) ( ) d

n

S V S V

S= VV

D

S=∂

=∂=

=∫∫ ∫∫i i��������������

R

D

D R dS D R n

e

Volume In

ller Normalkomponenten von auf der geschlossenen Oberfläche des

Volumens

Flux Through the Colsed Surface /Fluss durch die geschlossene Oberfläche

e ( ) d

S= VV

VV

ψ

ρ

=

= ∫∫∫

�����

���

�������

�����

���

D

R

e

tegral /Volumenintegral

Summation of all charges inside the Volume /

Summation aller Ladungen in dem Volumen

V

V

Q=

�����

������

��

���

�����

����

z

S∈R

y

x

Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve

: ktor

n

S V= ∂

nD

nD = D ni

Sphere/Kugel: V

dS=dS n

dS

nn D=D n

ExampleExampleExampleExample / Beispiel:/ Beispiel:/ Beispiel:/ Beispiel:

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 48

Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius a a a a / / / / Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius aaaa (1)(1)(1)(1)

( )2

2

0 0( ) [ ( , , )][ ( , , )]

e

( ) ( ) d [ ( , , )] , sin d d

=

n R

n

RS V S VD D R a

D R a

S R a a

π π

ϕ ϑ ϑ ϕϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ

ψ

=∂ =∂= == = =

= =

= = =∫∫ ∫∫ ∫ ∫i i i����� �������������

R R

R

D R dS D R n D R e

z

S∈R

y

x

Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve

: ktor

n

S V= ∂

nD

nD = D ni

Sphere/Kugel: V

dS=dS n

dS

nn D=D n

( ) ( )2 2

d d

d ( d d )

, sin d d , sin d dR R

S SR a

S h h

R a

ϑ ϕϑϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ

=

= =

= =������� ������������ �����

n n

dS n n

e e

0

0 2

ϑ π

ϕ π

≤ ≤

≤ <

( )

e

( ) d

( ) d

n

S VD

V

S

=∂=

=

∫∫

∫∫∫

i�����

R

D R n

R

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 49

Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius a a a a / / / / Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius aaaa (2)(2)(2)(2)

z

S∈R

y

x

Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve

: ktor

n

S V= ∂

nD

nD = D ni

Sphere/Kugel: V

dS=dS n

dS

nn D=D n

0

0

0 2

R a

ϑ π

ϕ π

≤ ≤

≤ ≤

≤ <

( )

e

( ) d

( ) d

n

S VD

V

S

=∂

=

∫∫

∫∫∫

i�����

R

D R n

R

( )2d sin d d d d d d RV R R h h h Rϑ ϕϑ ϑ ϕ ϑ ϕ= =

22

e e

0 0 0

e

( )d [ ( , , )] sin d d d

a

VR

V R R R

Q

π π

ϕ ϑ

ρ ρ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ= = =

=

=

∫∫∫ ∫ ∫ ∫R R

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 50

Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /ribution /ribution /ribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichtedichtedichtedichte

e0 00e

0

( )

0

RR R

R

R R

ρρ

<

= >

RElectric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Elektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

+++

+

+

++

+ + + ++

+

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

+

+

+

+

+

ϕ

ϑ

0R R

R

R

0R

0R

e0ρ

RD

sin dR ϑ ϕ

dR ϑdR

e

( )

( ) d ( ) d

n

S V VD

S Vρ=∂

=

=∫∫ ∫∫∫i�����

R

D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen Fall

Radial Symmetry / Radial Symmetry / Radial Symmetry / Radial Symmetry / RadialsymmetrischRadialsymmetrischRadialsymmetrischRadialsymmetrisch !!!!

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End of Lecture 3 /Ende der 3. Vorlesung