1

ELEKTROMAGNETIZAMELEKTROMAGNETIZAM

MeđuindukcijaMeđuindukcijaEnergija u magnetskom poljuEnergija u magnetskom polju

2

Međusobna indukcija (Međusobna indukcija (međuindukcijameđuindukcija))

• Ukoliko su dvije petlje ili dvije zavojnice smještene tako da dio toka jedne petlje (zavojnice) prolazi kroz drugu petlju (zavojnicu) doći će do pojave MEĐUINDUKCIJE

• Prema Faradayevu zakonu promjenjivi tok jedne petlje (zavojnice) uzrokovat će inducirani napon u drugoj petlji (zavojnici) – NAPON MEĐUINDUKCIJE

3

• struja i1 stvara magnetski tok ψ11=N1φ11

• tok ψ21 je dio toka ψ11 koji prolazi drugom zavojnicom –tok međuindukcije

• tok ψr1 nazvat ćemo rasipni tok

4

12111 rψψψ +=

1111 iL=ψ

• tok međuindukcije ψ21 je proporcionalan struji koja ga stvara i1, a koeficijent proporcionalnosti je koeficijent međuindukcije - MEĐUINDUKTIVITET

12121 iM=ψ

5

• kod vremenske promjene struje i1 inducirat će se napon međuindukcije na zavojnici 2

dtdiMeM

12121

−=

• na zavojnici 1 će se inducirati napon samoindukcije usljed promjene strruje i1

dtdiLeL

111

−=

6

• struja i2 stvara magnetski tok ψ22=N2 φ22

• tok ψ12 je dio toka ψ22koji prolazi prvom zavojnicom – tok međuindukcije

• tok ψr2 - rasipni tok druge zavojnice

7

21222 rψψψ +=

2222 iL=ψ

• tok međuindukcije ψ12 je proporcionalan struji koja ga stvara – i2

21212 iM=ψ

8

• kod vremenske promjene struje i2 inducirat će se napon međuindukcije na zavojnici 1

dtdiMeM

21212

−=

• na zavojnici 2 će se inducirati napon samoindukcije usljed promjene struje i2

dtdiLeL

222

−=

9

• Može se dokazati da su uvijek M12 i M21 jednaki

MMM == 2112

• uz121 Mi=ψ

11 L

Mk =11121 ψψ k=

1111 iL=ψ

10

11 L

Mk =

• uz

212 Mi=ψ

21

2

21 LLMkk =

22 L

Mk =22212 ψψ k=

2222 iL=ψ

21LLkM =

11

21LLkM =

• k – koeficijent magnetske sprege (veze)• 0 ≤ k ≤ 1• kada je k=1 – potpuna sprega• kada je k=0 – nema magnetske sprege između

zavojnica

12

Naponi na induktivno vezanim zavojnicama

• na svakoj zavojnici inducira se napon samoindukcije i napon međuindukcije

• smjer napona međuindukcije na pojedinoj zavojnici ovisi o smjeru struje i o smjeru namatanja zavoja – to određuje smjer magnetskog toka

• ako magnetski tokovi dviju zavojnica imaju isti smjer tada naponi samoindukcije i međuindukcije imaju ISTI smjer,

• ako magnetski tokovi dviju zavojnica imaju suprotan smjer naponi međuindukcije imaju SUPROTAN smjer naponima samoindukcije na pojedinoj zavojnici

13

• priključnice koje osiguravaju isti smjer toka kroz sve induktivno vezane zavojnice označavamo kao istoimene ili istopolarne priključnice

14

Serijski vezane zavojnicea) suglasno vezane zavojnice (struja ulazi u jednako

označene priključnice) – tokovi se pomažu

dtdiM

dtdiLiRu a ++= 111

uL1uM1

uL2uM2

dtdiM

dtdiLiRu a ++= 222

dtdiMLLiRR

uuu aaa

)2()( 2121

21

++++=

+=

MLLL 221 ++=

15

b) nesuglasno vezane zavojnice (struja ulazi u nejednako označene priključnice) – tokovi se odmažu

dtdiM

dtdiLiRu a −+= 111

uM1

uM2

uL1

uL2

dtdiM

dtdiLiRu a −+= 222

dtdiMLLiRR

uuu aaa

)2()( 2121

21

−+++=

+=

MLLL 221 −+=

16

Energija magnetskog poljaEnergija magnetskog polja• Prvo ćemo razmotrit energiju akumuliranu u magnetskom

polju u zavojnici protjecanom strujom I

uL

uR

Kod priključenja na istosmjerni izvor struja raste od i=0 do i=I=E/R – pri tome se postepeno “gradi” magnetsko polje

17

)1(t

LR

eREi

−−=

• Energija Wi koju pri tome daje izvor troši se na magnetsko polje i Joulovu toplinu na otporniku

∫∫∞∞

⋅==00

)()( dttiEdttpW ii

• uz

dtdiLiRE +=

18

• slijedi

∫∞

+⋅=0

)( dtdtdiLiRiWi

∫ ∫∞

⋅+=0 0

2I

i diiLdtRiW

• Interesira nas energija ugrađena u magnetsko polje, odnosno drugi član u izrazu za energiju izvora

2

2

0

ILdiiLWI

M⋅

=⋅= ∫Energija uskladištena u polju zavojnice kojom teče struja I

19

• Magnetsku energiju možemo izračunati i preko veličina magnetskog polja H i B

dtdNiRE φ

+=

∫∞

+⋅=0

)( dtdtdNiRiWiφ

∫∞=

⋅=t

M diNW0

φ

20

NIHlSdBd

==φ• uz

∫=B

M SdBHlW0

• za homogeno polje H se ne mijenja po volumenu, pa slijedi

∫=B

M HdBVW0

• možemo definirati prostornu gustoću magnetske energije wm

∫==B

MM HdB

VWw

0

21

• za nehomogeno polje energiju možemo izračunati

∫∫∫∫∫∫∫ ==V

B

VMM dVHdBdVwW

0

• Prostornu gustoću magnetske energije (volumnu) u neferomagnetskom materijalu sa µ = µ0 bit će jednaka

0

2

0 00 2µµBdBBHdBw

BB

M === ∫∫

2220

2

0

2 µµ

HHBBwM =⋅

==

22

Prikaz promjene magnetske energije u BPrikaz promjene magnetske energije u B--H H dijagramudijagramu

• linearni magnetski materijal

∫∫ ==0

0 B

B

M HdBHdBw

23

• nelinearni magnetski materijal – gubici zbog histereze

∫∫ ≠0

0 m

m

B

B

HdBHdB