elektromanyetİk dalgalar ders 2015-2016 yaz...
TRANSCRIPT
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ
1
ELEKTROMANYETİK DALGALAR DERSİ2015-2016 YAZ DÖNEMİ
Yrd. Doç. Dr. Seyit Ahmet [email protected] , MMF 7. kat, ODA No: 3,Dahili: 5703
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ
2
Ders İçeriği : Vektörel işlemlerin hatırlatmasıyla başlanıp, elektrostatikve magnetostatikin temel teorem ve eşitlikerinden bahsedilecek, dahasonra dersin tamamına yakınında elektrodinamik konuları işlenecektir.Bu bağlamda işlenmesi planlanan konular: Maxwell denklemleri,düzlemsel dalgalar (plane waves), Dalgaların farklı ortamlara arasındayayılımında davranışları (örn. yansıma, kırımla ...), Işıma ve antenler(sadece temelleri verilecek, spesifik antenlere girilmeyecek)
• Vize % 40, Final % 60
Ders Kaynakları:
1) Fawwaz Ulaby,Eric Michielssen and Umberto Ravaioli “Fundamentals of AppliedElectromagnetics” 5th or 6th edition.
2) Schaum’s ‘Elektromanyetik’, 2. baskıdan çeviri3) David Cheng, “Fieild and Wave Electromagnetics” (Türkçeside mevcuttur)4) Davif J. Griffiths “Introduction to Electrodnamics”
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ
3
1. Ders
2. Ders3. Ders4. Ders5. Ders Vektör analizi, elektrostatik temellerinin kabaca tekrarı6. Ders
7. Ders8. Ders9. Ders10. Ders
11. Ders
12. Ders13. Ders
4
VEKTÖR ANALİZİ
• Elektrik ve Manyetik alanlar vektörel büyüklüklerdir• Bu bağlamda lisans düzeyinde hâli hazırda verilmiş olan vektör
analizi üzerinden kısaca geçmenin faydası vardır
Vektörün Matematiksel İfadesi
Birim Vektör (Unit Vector)
5
VEKTÖR ANALİZİ
x,y ve z kordinatları, baz vektörü olarak isimlendirilen, birim vektörleriyle gösterilirler Ax, Ay ve Az A
vektörünün izdüşümleridir !
6
VEKTÖR ANALİZİ
VEKTÖRÜN BOYU:
BİRİM VEKTÖR: A vektörünün yönünü gösteren boyu 1 birim olan vektör:
Dolayısıyla, kartezyen kordinatlarda tanımlanan bu A vektörü kendi birim vektörüyle aşağıdaki gibi de gösterilir.
7
VEKTÖR ANALİZİ
VEKTÖR TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ
8
VEKTÖR ANALİZİ
VEKTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİBASİT ÇARPMA İŞLEMİ, SKALAR ÇARPMA İŞLEMİ, VEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ
BASİT ÇARPMA İŞLEMİ
Bir vektörün bir skalarla çarpımıdır:
AkA
k pozitif ve 1 den büyükVektörün boyu k kadar artar, yönü ise k pozitif ise A yönündedir. k negatif ise – A yönündedir.
9
VEKTÖR ANALİZİ
VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİSKALAR ÇARPMA İŞLEMİ (NOKTA ÇARPIMI)
İki vektörün aynı bileşenlerinin genliklerininçarpılıp toplanmasıdır. Çarpım sonucu bir vektördeğil skalar bir büyüklüktür. Bu nedenle 2 tanevektör çarpımı olsada bu işleme skalar çarpımdenmektedir
Geometrik manada skalarçarpım: vektörlerden biriningenliği ile diğer vektörün buvektör üzerine iz düşmübüyüklüğünün çarpımıdır.
10
VEKTÖR ANALİZİ
VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİVEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ (ÇAPRAZ ÇARPIM)
DOLAYISIYLA
Yada :
NOT: Çarpımın sonucu yine bir vektördür. Bu yüzden buna vektörel çarpım denir
Geometrik manada: Çarpımın sonucu, yönüiki çarpan vektörün olduğu düzleme dikolanve genliğide, bu iki çarpan vektörünoluşturduğü paralel kenarın eşit olan birvektördür.
Sağ el kuralıyla yönü bulabiliriz!
11
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
• Elektromanyetikte fiziksel nitelikler (örn E, H) zamana ve konuma bağlı büyüklüklerdir. Değişim yönleride birim vektörler vasıtasıyla gösterilir.
• Uzayda bir konumun yerini, yada bir vektörel büyüklüğün (örn E ve H) yönünü 3 boyutlu kordinat sistemlerini kullanarak tanımlarız.
KORDİNAT SİSTEMLERİ
Ortagonal Kordinat Sistemleri Ortagonal Olmayan Kordinat Sistemleri
• Bütün kordinatlar birbirine dik• EM problemlerin çözümünde
sıklıkla kullanılır• 3 tür ortagonal kordinat sistemi
vardır: • Kartezyen kordinat sistemi• Silindirik kordinat sistemi• Küresel kordinat sistemi
• Kordinatların kimisi birbirine dik olmayabilir• Çok özel durumlarda kullanılır ve nadiren
pratik problemlerin çözümüyle ilgilidir.
12
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KARTEZYEN KORDİNAT SİSTEMİ
Birim kordinatlar x, y ve z ile gösterilirler. diferansiyel uzunluk
diferansiyel alan
Diferansiyel hacim
13
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİSilindirk kordinatlarda bir vektör aşağıdaki gibi gösterilir:
yönlerindeki bileşenlerdir
Diferansiyel uzunluk, diferansiyel yüzey ve diferansiyel hacim:
14
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİÖRN: Aşağıdaki matematiksel ifadeyle belirlenen silindirik yüzeyin alanını bulunuz !
CEVAP:
Görüldüğü üzere bahsedilen alanı bulmak için aldığımızintegral silindirik kordinatlarda alınmıştır. Aynı alanıkartezyen kordinatlarda integralini alarak bulmak oldukçazordur ! Dolayısıyla, problemin türüne göre en uygunkordinat sisteminin seçilip işlem yapılması gerekmektedir.
15
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİÖRN: Aşağıdaki A vektörünün birim vektörünü bulunuz !
16
KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ• Herhangibir nokta R, ve değişkenleriyle gösterilir.• Birim vektörler, yada diğer bir deyişle baz vektörler ve
θ φ
Aşağıdaki kurala uyarlar:
Bir vektör aşağıdaki şekilde ifade edilir:
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
17
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ
18
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİÖRN: Yarıçapı 2 cm olan bir kürenin içindeki yük yoğunluğu dur.
Bu kürenin içerisindeki toplam yükü bulunuz.
CEVAP:
19
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ ÖZETİ
20
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
DEL OPERATÖRÜ
• Del operatörü, yada kimi yerde Nabla operatörü olarak da bilinir, bir vektörel kısmi türev operatörüdür.
• Kendisi bir vektördür• Diğer vektörel yada skalar büyüklüklere uygulanır. • Sembolü
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİNDE DEL OPERATÖRÜ AŞAĞIDAKİ GİBİDİR
Kartezyen Silindirik
Küresel
21
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
GRADYAN (GRADIENT)
• Del operatörü bir skalar büyüklüğe (fonksiyona) basit çarpım şeklinde uygulanır ve sonucu bir vektörel büyüklüktür.
Gradyan, yada DEL operatörü:
Bir T (x,y,z) skalar fonksiyonuna uygulandığında:
22
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİDİVERJANS (DIVERGENCE)
• Diverjans DEL operatörünün bir vektörle noktasal çarpımıdır. İki vektörün noktasal çarpımı skalar büuükül olduğu için, divejansın sonucu skalardır.
ROTASYON (CURL)
• Rotasyon DEL operatörüyle bir vektörün çapraz çarpımıdır. Sonuç yine vektörel bir büyüklüktür.
23
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
DEL OPERATÖRÜNÜN İŞLEMLERİ
24
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
VEKTÖR ANALİZİ, OPERATÖRLER VE KORDİNAT SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ BAZI ÖDEVLER
1) Yarı çapı 5 cm olan, ve z= -3 cm den z= 3 cm ye uzana silindirin alanını silindirikkordinatlarda integralini alarak bulunuz ! NOT: Silindirin hacim formülünü kullanarakyapmayınız. Silindirik kordinatlarda integrali alarak yapınız!
2) Aşağıda kartezyen, silindirik ve küresel kordinatlarda birim vektörlerin birbirleri ile çaprazçarpımları verilmektedir. Bu çarpımların doğruluğunu önceki slaytlarda gördüğümüz (slayt 10)çapraz çarpımın sonucunun yönünü sağ el kuralıyla tayin edebileceğimizi görmüştük. Aşağıdakibirim vektör çarpımlarının doğruluğunu kağıt üzerine çizerek sağ el kuralını düşünerekgözleyiniz !
kartezyen silindirik küresel
3) Aşağıdaki fonksiyonunun gradyenti, diverjansı yada rotasyonundan hangisi alınabilir.Yapılabilen işlemi yapınız !
25
ELEKTROSTATİK(ZAMANLA DEĞİŞMEYEN ELEKTRİK ALAN)
ELEKTROSTATİK
HATIRLATMA !
26
ELEKTROSTATİKCOULOMB KUVVETİ
(Newton)
• Aralarında r mesafesi olan q1 ve q2 yüklerinin birbirlerine uyguladıkları kuvvet. Gerçekmanada, yani mekaniksel olarak bu yükler birbirlerini iter yada çeker. Elektrostatikte sabityükler üzerinden hesaplamalar yapılır. Bu yüzde Elektrostatik denmektedir. Haraketliyüklerinde itme çekme kuvveti vardır. Fakat bunların incelemesi elektrostatik içerisinde değililerleyen kısımlarda elektromanyetik de açıklanacaktır.
ELEKTRİK ALAN• Bir q yükünün oluşturduğu elektrik alan (E) ise, o q yükünün 1 C luk birim yüke uyguladığı
Coulomb kuvvetidir. Yani elektrik alan dediğimiz şey Coulomb kuvvetinin özel hali gibidir.
Bir q yükünden dolayı 1 C luk bir yüke uygulana Coulomb kuvvetidir !
X 1
27
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
q yükünün oluşturduğu elektrik alan vektörleri gösterilmektedir !
İKİ YÜK TEK YÜK
28
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
Birden fazla yükün bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)
En genel halde:
29
ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN
Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)
• Sürekli dağılımlı en genel haldeki diferansiyelyük yoğunluğunun (dq) bir noktadaoluşturduğu diferansiyel elektrik alan (dE)
• Hacimsel yük yoğunluğu ile ilgileniyorsak:
• Verilen hacimdeki toplam yükün bahsedilennoktada oluşturduğu elektrik alan:
30
ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN
Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)
• Yüzey yada çizgisel yük yoğunluğu olan yük kaynaklarından bahsediyorsak:
Deplasman Vektörü (Displacement Vector, D)
31
ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN
Gauss Yasası Diferansiyel Formu
Gauss Yasası İntegral Formu
Kapalı bir hacimin içerisindeki toplam yük
Hacimin yüzeyi Toplam Yük= Q CYük yoğunluğu ise= ρv C/m3
(birim hacimdeki yük)
D = εE = ε0 εrEMalzemenin özelliği !
32
ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN
33
ELEKTROSTATİKELEKTRİK ALAN
34
ELEKTROSTATİK
Gauss Yasası Diferansiyel Formu
Gauss Yasası İntegral Formu