Elementarily Definable Analysis by A. GrzegorczykReview by: Paul LorenzenThe Journal of Symbolic Logic, Vol. 23, No. 4 (Dec., 1958), pp. 444-445Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2964036 .

Accessed: 17/06/2014 13:56

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444 REVIEWS

intuitionistic negation of X as XN, intuitionistic disjunction of X and Y as XNN U yNN, intuitionistic conjunction of X and Y as XNN n yNN, intuitionistic implication of Y by X as (X n YN)N.

Proofs are sketched purporting to show that, under the above interpretations, the system L is an S5 Lewis system and also a Heyting intuitionistic system, and that T is an S4 Lewis system. There appears to be an error, however, in the claim that L is a Heyting intuitionistic system, as has been pointed out by Heyting himself in his review of this paper in Mathematical reviews (vol. 15 (1954), p. 278). The trouble is that the element (XNN n XN)N can be shown to be equal to 1 in L, and this would mean that the double negation of a proposition would imply the proposition itself in intuitionistic logic. FREDERIC B. FITCH

ANTONIO MONTEIRO. Axiomes inddpendants pour les alg&res de Brouwer. Re- vista de la Uni6n Matemdtica Argentina y de la Asociaci6n Fisica Argentina, Bd. 17 (1955), S. 149-160.

Ein Verband (A, A, v) heilft implikativ oder eine generalisierte Brouwersche Algebra, wenn in ihm eine weitere Verknuipfung -k mit der Eigenschaft

a A X ? b dann und nur dann wenn x ? a -* b eingefuhrt werden kann. In jedem solchen Verband gilt bekanntlich (z.B. Curry, XIX 146):

Al) a -a = b --b A2) (a -b) Ab = b A3) aA(a-->b)=aAb

A4) a -3(bAc) = (a-c) A (a b) AS) (avb)- c = (a -c) A (b c)

Verf. beweist, daB durch Al -AS als Axiome fur die drei VerknIUpfungen A, v, -- eine generalisierte Brouwersche Algebra gekennzeichnet werden kann, und - durch Angabe geeigneter Matrizen fMr die Verknupfungen - daf3 diese Axiome voneinander un- abhangig sind. HELMUTH GERICKE

A. GRZEGORCZYK. Elementarily definable analysis. Fundamenta mathematicae, Bd. 41 Heft 2 (1955), S. 311-338.

Die Grundlagenkrise der modernen Mathematik ist bekanntlich nicht uiberwunden, sie ist nur - psychologisch gesprochen - "verdrangt." Es ist daher auBerst begrilBens- wert, daB Verf. sich der Aufgabe annimmt, den Weylschen Ideen zur Begruindung der Analysis (vgl. 1922) eine prazise Fassung zu geben.

Dazu wird zunachst eine KMasse "elementarer" Formeln definiert. Als Variable treten auf: x, y, . .. Mfur ganz Zahlen und g, h, ... fur zahlentheoretische Funktionen. Primformeln sind:

x=y+ 1, x=O, x> O, x=Y AZ A O, y=g(x1. x)

und zur Zusammensetzung sind die aussagenlogischen Partikeli und die Quantoren mit ganzzahligen Variablen (nicht: Quantoren mit Funktionsvariablen) zugelassen. Ist A (xL, . . ., x , y) eine solche Formel ohne Funktionsvariable, so heiBt die Funktion g mit g(x, * * *, xn) = pvA (xL - *, xn. , y) eine "elementare" Funktion.

Fur eine el. Formel A (gL . . gim; XL ... , xn . y) heiBt dagegen das Funktional Z mit cD(g * gn; xL. xn) =pvA (g]L . ,m; xL. xn, y) ein el. Funk- tional.

Die el. Folgen von Funktionen 9k sind durch eine el. Function g gegeben, so daB gk(XL. - - - ,xn) = g(k, xL, * * ., xc). Zu jeder reellen Zahl (im modernen Sinne)

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REVIEWS 445

gibt es eine Funktion g mit

An a- On) < n+1 'n+1I

Es werde hierfUr kurz a = p(g) geschrieben. Ist g el., so werde p(g) eine el. reelle Zahl genannt. FUr

fa_ 4| a-_ < -

gilt a = p(f) und fur el. a ist auch fa el. Fur eine el. Folge von Funktionen gk bilden ak = p(gk) eine el. Folge reeller Zahlen. Fur diese Folgen gelten die ublichen Satze, z.B. ist der Grenzwert einer el. Kon-

vergenten Folge el., jede beschrankte el. Folge hat el. konvergente Teilfolge usw. Eine (etwa in einem Intervall definierte) reelle Funktion 9 heil3t el., wenn ffir ein

el. Funktional D gilt: D(1) = /P(41) fur alle a. Verf. schrankt hierbei die reellen Zahlen a nicht auf die el. Zahlen ein. Es konnte also 'D1(a) = 2(fa) fur alle el. a sein, trotz 01 =A 02. Verf. beweist, daB diese Moglichkeit fUr gewisse el. Funktionale eintritt und weicht deshalb von dem Weylschen Ansatz ab.

Fur stetige Funktionen ist die Abweichung belanglos: es ergeben sich die Satze der modernen Theorie. Eine stetige Funktion ist namlich durch p(r) mit rationalen r bestimmt. Durch eine el. Abzahlung der rationalen Zahlen r1, r2, ... ergibt sich aus P =r- gn eine Funktion g, die p bestimmt. Es gibt ein el. Funktional D, so daB fUr D(g) gilt: D(g)(/a) - f(a) fur alle a. Es folgt, daB fir el. stetige Funktionen q, auch q' und fa 9p el. Funktionen sind.

Die moderne Theorie der Mengen reeller Zahlen laIt sich ein Stuck weit ubertragen. Die el. Mengen Z werden definiert durch el. Formeln A (g), so daB a e Z * A (fa).

Auch hier wird a nicht auf el. reelle Zahlen eingeschrankt. Eine Folge von Mengen Z. heil3t el., wenn fur eine el. Formel A (g; n) gilt a Z. A (/a; n). Die el. Mengen reeller Zahlen bilden einen Booleschen Verband, der insofern "el.-vollstandig" ist als fur jede el. Folge von Mengen Zn auch UJZ. el. ist.

Alle el. Mengen sind Borelsche Mengen endlichen Grades. Alle el. reellen Funktionen sind Borel-meBbar.

Verf. konstruiert dann aber mit HIilfe einer nicht-el. Abzahlung aller el. zahlentheore- tischen Funktionen eine nicht-el. reelle Zahl a0, so daf3 ZO = {a0} el. ist. Daraus ergibt sich auch eine el. reelle Funktion, die fur a den Wert 1 hat, sonst aber uber- all 0 ist.

Zum SchluB nennt Verf. einige Probleme, die bei seiniem Ansatz offen bleiben, z.B. ob das MaB einer el. Menge stets elementar ist. PAUL LORENZEN

S. JASKOWSKI. Undecidability of first order sentences in the theory of free groupoids. Fundamenta mathematicae, Bd. 43 (1956), S. 36-45.

J. Pepis hatte gezeigt, daB das Erfullbarkeitsproblem fur den Prddikatenkalkiil der ersten Stufe sich auf das Erfuillbarkeitsproblem fur Ausdriicke der Form IIyIlzxPxyz-Ilz... .x5n (x1, . .. , X5, P. E) reduzieren la3t. Eine analoge Reduktion wird hier gegeben, falls sich die Ausdrucke auf ein freies Gruppoid beziehen, und zwar so, daI3 der Pepissche Satz als Spezialfall dieser Reduktion erscheint. Es ergibt sich daraus, dajB das Erfiillbarkeitsproblem fur die Ausdriicke eines freien Gruppoids ebenfalls nicht allgemein l6sbar ist. W. ACKERMANN

JOHN MYHILL. Solution of a problem of Tarshi. The journal of symbolic logic, vol. 21 (1956), pp. 49-51.

ANDRZEJ EHRENFEUCHT. Two theories with axioms built by means of pleonasms. Ibid., vol. 22 no. 1 (1957), pp. 36-38.

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