Kapitel 1

Elementare Funktionen undGleichungen

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die lineare Funktion, welche durch die Punkte A und B verlauft, undskizzieren Sie diese.

(a) A = (1,�1), B = (�1, 3)

(b) A = (�1,�1), B = (2, 2)

(c) A = (�1, 1), B = (1, 1)

(d) A = (0, 2), B = (2, 0)

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Nullstellen sowie k und d der folgenden linearen Funktionen undskizzieren Sie diese.

(a) y = x� 1

(b) y = �x� 1

(c) y = �2x+ 1

(d) y = �2x� 1

(e) y = �x

2

+ 2

(f) y = x

2

� 2

(g) y = �3x� 1

2

(h) y = x

4

� 1

2

Aufgabe 3. Uberprufen Sie, ob die folgenden Punkte auf einer gemeinsamen Gerade zu liegen kom-men, und geben Sie gegebenenfalls die Funktionsgleichung an. Skizzieren Sie den Sachverhalt.

(a) (1, 2), (3, 3), (6, 4), (7, 5)

(b) (0, 0), (1, 2), (2, 4), (4, 7)

(c) (�2,�2), (1, 1), (4, 1), (6, 0)

(d) (�1, 4), (0, 2), (1, 0), (3,�4)

Aufgabe 4. Losen Sie die folgenden Gleichungen nach x 2 .

(a) (3x+ 5)2 � (2x� 3)2 = 5x2 + 7(x� 12)

(b) (4x+ 1)2 + (3x+ 9)2 = (5x+ 8)2

(c) (4x� 2)(1� x) = 1� (2x+ 1)2

(d) 30 + x2 = 12� (x� 2)(3� x)

Aufgabe 5. Bestimmen Sie die rationale Zahl der folgenden periodischen Dezimalzahlen:

(a) 2,6

(b) 2,16

(c) 0,15

(d) 32,115

(e) 5,1234

(f) 54,22334

Aufgabe 6. Losen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in zwei Variablen.

(a) 3x+ 7y = �3

9x� 14y = �114

(b) 11x+ 5y = 149

7x+ 10y = 13

(c) 3x� 11y = �183

7x+ 5y = 33

(d) 35x� 18y = 139

25x+ 27y = 179

Aufgabe 7. Losen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in zwei Variablen.

(a) 4x� 18y = �18

2x� 9y = �10

(b) 3

x

� 1

y

= 5

8

1

x

� 7

y

= 3

8

(c) x

10

+ y

3

= �1

3x+ 10y = �30

(d) 22

x

+ 3

4y�1

= 3

�11

x

+ 6

4y�1

= 1

Aufgabe 8. Losen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in zwei Variablen.

(a) 4x+ 3y = 14

2x� y = 12

(b) �4x� y = 40

x+ 5y = 9

(c) 2x� 6y = 6

5x+ 3y = 42

(d) 4x+ 2y = 4

�6x+ 3y = 33

Aufgabe 9. Losen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in zwei Variablen.

(a) 12x+ 9y = 15

2x+ 3y = 5

(b) x� 4y = 3

�5x+ 20y = 10

(c) 4x+ 6y = 7

6x+ 9y = 10

(d) 6x� 2y = �8

�15x+ 5y = 20

Aufgabe 10. Losen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in zwei Variablen.

(a) 2x+ 3y + 5 = 5x+ 6y � 1

x� 4y � 2 = 2x� 2y

(b) 3(x+ 5) = 2(2y � 1)

4(3x� 6) = 3(y + 4)

(c) 5(2x+ y) = 4(3y � 5x) + 13

6(8x� 2y + 6) = 4(2y � 3x)� 4

(d) 2(3x+ 3y) = 3(3x� y) + 5

4(3x� 4y) = 2(x+ y)� 10

(e) (x+ 5)(y + 1) = (x+ 8)(y � 3)

(x� 3)(y � 1) = (x� 1)(y + 3)

(f) (x+ 2)(y � 3) = (x� 3)(y + 4)

(x� 6)(y + 9) = (x+ 4)(y � 5)

Aufgabe 11. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion f : ! , x 7! y = f(x) fur:

(a) y = x2

(b) y = �x2

(c) y = x2 � 2

(d) y = x2 + 3

(e) y = �x2 � 1

(f) y = �x2 + 2

(g) y = (x� 2)2

(h) y = (x+ 2)2

(i) y = �(x� 1)2

(j) y = �(x+ 2)2

(k) y = �x2 + 3

2

(l) y = x2 � 1

2

(m) y = �x2 + 1

(n) y = �x2 � 4

(o) y = �1

2

x2 + 3

(p) y = 1

3

x2

Hinweis: Zeichnen Sie mehrere Graphen in ein Koordinatensystem, um qualitative Vergleiche anstellenzu konnen.

Aufgabe 12. Sei f : ! W, x 7! y = f(x) eine quadratische Funktion. Ermitteln Sie die Koordi-naten des Scheitelpunktes, die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x–Achse, Intervalle I, auf denendie Funktion ein Monotonieverhalten aufweist, die Wertemenge W und skizzieren Sie die Funktion.

(a) y = x2 + 2x� 3

(b) y = x2 � 4x� 5

(c) y = 3x2 � 6x

(d) y = x

2

2

� 2

(e) y = �x

2

3

+ 1

(f) y = x2 + 2x+ 1

(g) y = �9 + 6x� x2

(h) y = 2(x� 1

2

)2 � 1

Aufgabe 13. Vereinfachen Sie durch Herausheben:

(a) 21u+ 28v

(b) 15ab� 20a

(c) �18a� 24b

(d) 8u2v + 12uv2

(e) 13x3y2 � 26x2y3

(f) �9xy2 � 12x2y2

(g) (x� y)a+ (x� y)b

(h) ax+ ay � x� y

(i) �a(x� y)� x+ y

(j) xy + xz + y + z

(k) rs� rt+ su� tu

(l) ab� b2 + ac� bc

Aufgabe 14. Berechnen und vereinfachen Sie:

(a) (6a� 3b)2

(b) (�5u+ 2v)2

(c) (5x+ 3y)(5x� 3y)

(d) (�2r � s)(�2r + s)

(e) (8x� 7y)2 � (8x+ 7y)2

(f) (4r + 5s)2 � (r � 3s)2

(g) (3a� b)2 � (2a+ b)(2a� b)

(h) (3a� b)(3a+ b)� (2a+ b)2

Aufgabe 15. Kurzen Sie passend:

(a) 3xy

2

9xy

(b) 4x

2y

2xy

(c) 3a�18b

3

(d) 5a+10b

5

(e) 4by

2�2bc

2by

(f) 5a

2b�10ab

2

10ab

(g) 24ad�48bd+96cd

48ad

(h) �6b+2b�8x

4bx

Aufgabe 16. Losen Sie die folgenden Gleichungen fur x 2 .

(a) (x� 5)(x+ 5) = 24

(b) (1� 5x)(5x+ 1) = �24

(c) (2x+ 1)(x+ 2) + (x� 3)(2x+ 1) = 195

(d) (4x� 1)(2x� 1) + (2x+ 8)(x� 1) = 153

(e) (x+ 1)2 = 52� (x� 1)2

(f) 17� (3� 2x)2 = (1 + x)(4x+ 8)

(g) (5x+ 3)2 + (5x� 3)2 = 818

(h) (2x+ 3)2 = (x� 3)2

Aufgabe 17. Losen Sie die folgenden Gleichungen fur x 2 .

(a) (2x� 4)(2x+ 4)� (3x� 5)2 = (2x� 7)2 � (2x+ 5)(2x� 3)� 217

(b) (3x� 4)(1� 2x)� (4x� 5)2 = (5x� 8)(2x+ 3)� (3x� 5)2 + 20� x

Aufgabe 18. Zerlegen Sie die folgenden Terme in Linearfaktoren:

(a) x2 � 4x� 21

(b) x2 � 3x� 4

(c) 6x2 + x� 15

(d) 2x2 + x� 6

(e) 42x2 + 11x� 3

(f) 15x2 + 45x� 150

(g) 16x2 � 72x+ 81

(h) 6x2 + x� 35

(i) 4x2 � 4x

(j) x2 � x� 6

(k) 4x2 � 2x� 7

4

(l) x

2

4

� x+ 1

(m) x

2

4

� x� 3

(n) x

2

9

+ x

6

� 15

16

(o) x

2

9

+ 2x+ 9

(p) x

2

4

+ 4x+ 16

Aufgabe 19. Geben Sie zu den gegebenen Losungen x1

, x2

eine zugehorige quadratische Gleichungan.

(a) x1

= 0, x2

= 0

(b) x1

= �3, x2

= 5

(c) x1

= 2, x2

= �7

(d) x1

= 1, x2

= 4

(e) x1

= 0, x2

= �6

(f) x1

= 2, x2

= 2

(g) x1

= �2

3

, x2

= 3

(h) x1

= 4

5

, x2

= �6

5

(i) x1,2

= 2±p5

Aufgabe 20. Betrachten Sie die quadratische Gleichung x2 + px+ q = 0 mit den Losungen x1

undx2

. Berechnen Sie jeweils den fehlenden Koe�zienten p bzw. q sowie die Losung x2

.

(a) p = 7, x1

= �9

(b) p = �3

2

, x1

= �2

(c) q = 0, x1

= 5

3

(d) q = �3, x1

= �2

Aufgabe 21. Betrachten Sie die quadratische Gleichung ax2 + bx+ c = 0 mit den Losungen x1

undx2

. Berechnen Sie jeweils die fehlenden Großen.

(a) a = 2, b = 9, x1

= 3

2

(b) b = �25, c = 6, x1

= 1

4

(c) a = 2, c = �6, x1

= 3

10

(d) a = 25, b = 25, x1

= �8

5

(e) c = 12, x1

= 3

4

, x2

= 4

3

(f) a = 3, x1

= �7

3

, x2

= �1

Aufgabe 22. Losen Sie die folgenden Bruchgleichungen fur x 2 und geben Sie jeweils dieDefinitions– und Losungsmenge an.

(a)24

x2� 5x� 7

x= 2 +

7� x

x

(b)x

2x� 1+

x

1 + 2x=

4

3

(c)x+ 1

x� 2+

2x+ 3

x+ 2=

8

x2 � 4

(d)3x+ 1

4+

2

4� x= 9

(e)3x+ 2

x� 9+

1� 2x

x+ 3=

19

x2 � 6x� 27

(f)2x+ 3

2x+ 5� 2x� 5

2x� 3=

9x2 � 12x+ 20

4x2 + 4x� 15

Aufgabe 23. Losen Sie die folgenden Gleichungen fur x 2 .

(a) x4 � 13x2 + 36 = 0

(b) �1

2

x3 � 2x2 + 4x = 0

(c) (x2 � 3)2 + 4(x2 � 3)2 = 5

(d) x5 � 2x3 + x = 0

Aufgabe 24. Bestimmen Sie in Abhangigkeit von a 2 die Losungsmenge der folgenden Gleichun-gen:

(a) (ax� 1)2 + (x� a)2 = x2 � 2 + a2

(b) (ax+ 1)2 + (ax� 1)(ax+ 1) = 4

(c) (1� a)x2 + x+ a = 0

(d) (12

� a)x2 � x+ 4a = 0

Aufgabe 25. Bestimmen Sie k 2 so, dass die folgenden Gleichungen eine Doppellosung haben:

(a) x2 � kx+ (3� k) = 0

(b) x2 � (k + 3)x+ 4 = 0

(c) x2 + kx� (2k � 5) = 0

(d) x2 � (k � 2)x� (2k � 9) = 0

Aufgabe 26. Vereinfachen Sie und stellen Sie das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar:

(a)⇣

2a

2

3b

�2

⌘4

·⇣�9a

�2

4b

�1

⌘3

(b)⇣�5x

9y

⌘�3

·⇣10x

3y

⌘2

(c)⇣2a

�2

6x

2y

⌘�3

:⇣�6xy

�1

a

�1

⌘3

(d)⇣x

2y

�3

a

�1b

4

⌘2

: x

�2y

3

a

�2b

�3

(e)

✓(4x

�1y

3)

2

z

4 :⇣

3y

�3

4xz

�1

⌘�3

◆· yz

�1

9x

�5

(f)⇣(x

�2y)

3

(2xy

2)

3 : 2a

�1x

3by

�3

⌘· a

�1b

�3

6(x

�3y

�1)

�1

Aufgabe 27. Vereinfachen Sie indem Sie nur Potenzen mit rationalen Exponenten angeben:

(a)p

9px (b) 4

p2px (c) 6

qb

12

a

6(d) 5

p32x10y15

Aufgabe 28. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f : ! , x 7! y = f(x) mit den folgendenFunktionsvorschriften in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

(a) y = x2 + 1

(b) y = 2x3 � 1

(c) y =px+ 1

(d) y = 3px

Aufgabe 29. Stellen Sie die folgenden Bruchterme mit wurzelfreiem Nenner dar und bestimmen Siejeweils die Definitionsmenge.

(a) 4r

2�s

2p2r�s

(b) 25a

2�49b

2p5a�7b

(c) r�spr

2�s

2 (d) 2v�3wp4v

2�9w

2

Aufgabe 30. Losen Sie die folgenden Gleichungen nach x 2 und geben Sie jeweils die Definiti-onsbereiche und Losungsmengen der Gleichungen an:

(a)px� 1�

px� 3 = 1

(b)p4x+ 50 + 2

px+ 6 = 13

p2

(c)p

(x� 2)(x+ 3) + 1 = x

(d)px+ 5�

px = 1

(e)px+ 5 +

px+ 12 =

p4x+ 33

(f) 3px+ 13 + 4

px� 2 =

p49x+ 109

(g)px+ 4�

px+ 11 =

px� 4�

px� 1

(h)px+ 14�

px+ 2 =

px+ 7�

px� 1

Aufgabe 31. Losen Sie die folgenden Gleichungen nach x 2 und geben Sie jeweils die Definiti-onsbereiche und Losungsmengen der Gleichungen an:

(a)

p10 + x

12�p10 + x

+12�

p10 + xp

10 + x= 2

(b)p

28� 3p3x+ 7 = 4

(c)

px� 2px+ 4

=

px� 1px+ 8

(d) 2 +px2 � 3x� 3 = x

Aufgabe 32. Bestimmen Sie alle Nullstellen und zugehorigen Vielfachheiten der folgenden Poly-nomfunktionen, wobei jeweils die erste Nullstelle schon gegeben ist.

(a) f(x) = x3 � 3x2 � 6x+ 8, x1

= 1

(b) f(x) = x3 + 2x2 � 5x� 6, x1

= �3

(c) f(x) = 2x3 � 3x2 � 4x+ 6, x1

= 3

2

(d) f(x) = 2x3 + 5x2 + 4x+ 1, x1

= �1

2

Aufgabe 33. Beweisen Sie den folgenden Satz:

Symmetriesatz f

¨

ur Polynomfunktionen. Sei p : ! , x 7! p(x) eine Polynomfunktion n–tenGrades.

(a) Tritt in p das Argument x nur mit geraden Exponenten auf, so ist der Graph von p zur Ordinateachsialsymmetrisch und p ist eine gerade Funktion.

(b) Tritt in p das Argument x nur mit ungeraden Exponenten auf, so ist der Graph von p bezuglich(0, 0) punktsymmetrisch und p ist eine ungerade Funktion.

Aufgabe 34. Berechnen Sie:

(a) (15x3 � 52x2 + 30x+ 2) : (3x� 8)

(b) (�6x3 + 3x2 + 10x� 5) : (1� 2x)

(c) (9x3 + 9x2 + 8x+ 2) : (3x2 + 2x+ 2)

(d) (3x4 + x3 � 11x2 � 5x+ 2) : (x2 � 2)

(e) (11x2 � 6x+ 4x3 + 3 + 6x4) : (2x2 � 3)

(f) (a4 � b4) : (a� b)

(g) (2x6 � 5x5 � x4 + 3x3 � 9x2 + 18x� 8) : (x3 � 2x2 � 3x+ 4)

Aufgabe 35. Bestimmen Sie die Polstellen, deren Ordnung, die Definitionsbereiche und Asymptotender folgenden rationalen Funktionen:

(a) f(x) = 2x�1

x

2+1

(b) f(x) = x

2

x�1

(c) f(x) = x

3�8

x�2

(d) f(x) = x

3�3x+2

2x�3x

3

Aufgabe 36. Berechnen Sie:

(a) 2x+3y�z

5

� 5x+y+4z

3

� 3x

(b) 8x+4y�z

8

� 6x�2y�4z

3

+ 2z

(c) 2x

x�3

� 7x

2

x

2�9

� 5x

3�x

(d) 4x

x�2

� x�2

(2�x)

2 � 3x

2�x

(e) 4x�1

3x+3

� 1�2x

x

2�1

(f) 3x+2

x+1

� 4�x

1�x

2

(g) 1

a

2+a

� a

a

2�1

� 1

a

(h) 2

b�b

2 � 2b

1�b

� 1+b

b

(i) 1+x

1�x

� 1�x

1+x

+ 2x

1�x

2

Aufgabe 37. Losen Sie die folgenden Bruchgleichungen nach den auftretenden Variablen und gebenSie Definitions– sowie Losungsmenge an.

(a) 7

3a

= 5

6a

� 1

4

(b) 5

6b

� 7

15b

= 1

9

(c) 11

4c

+ 11

12c

= 11

9

(d) 4

a+5

= 1

3

(e) 2b+4

3b�5

= 5

2

(f) 3

c�2

= 12

c+7

(g) 2d

d+1

+ 3

2d

= 2� 1

d

(h) 4

a+1

= 7

4a+4

+ 3

2a�2

(i) 20b+2

6b+6

� 1 = 6b�4

2b+2

(j) 11c�2

2c+2

� 3c�1

c+3

= 5c+15

2c+6

(k) 1

x+2

= 9

x

2�4

(l) 2

x+3

+ 2

x�3

= 24

x

2�9

Aufgabe 38. Losen Sie die folgenden Bruchgleichungen nach x 2 , geben Sie Definitions– undLosungsmenge an.

(a) x�1

2x�6

� x

2�1

2x

2�18

= 6x+11

6x

2+18x

(b) 3x�1

3x�6

� 10x+3

6x

2+12x

= 3x

2+7

3x

2�12

(c) 4x�5

6x�15

� 3x+1

8x�20

= 3

4

(d) x+6

(x�3)

2 = 2

x+3

� x

x

2�9

(e) x

2

x

2�1

� x�1

x+1

= 1�2x

1�x

2

(f) 3x�x

2

x

� 4+4x

2

= �45x

3

15x

2+5x

+ 2

Aufgabe 39. Bestimmen Sie die reellen Partialbruchzerlegungen der folgenden rationalen Funktio-nen:

(a) f(x) = x

2+1

x

3�2x

2+x

(b) f(x) = 1

x

4�1

(c) f(x) = x

3

(x�1)

2

(d) f(x) = x

2�1

x

3+1

(e) f(x) = �x

2+x+4

(x�1)(x

2+2x�3)

(f) f(x) = 1

x

2(x+1)

(g) f(x) = x

2+x+1

(x�1)

3(x�2)

(h) f(x) = 6x

2�x+1

x

3�x

(i) f(x) = 5x

2�4x+16

(x�3)(x

2�x+1)

2

Aufgabe 40. Fertigen Sie eine Skizze des Graphen der Funktion f : ! +, x 7! y auf demIntervall I an.

(a) y = 2x, I = [�3, 3]

(b) y = 10x, I = [�3, 7

10

]

(c) y = ex, I = [�3, 3]

(d) y = e�x, I = [�3, 3]

Aufgabe 41. Fertigen Sie eine Skizze des Graphen der Funktion f : + ! , x 7! y auf demIntervall I an.

(a) y = log2

x, I = (0, 3]

(b) y = log10

x, I = (0, 5]

(c) y = log 13x, I = (0, 5]

(d) y = lnx, I = (0, 3]

Aufgabe 42. Berechnen Sie x:

(a) logx

9 = 2

(b) logx

8 = 3

(c) logx

1

625

= �4

(d) logx

729

8

= 3

(e) log3

x = 2

(f) log20

x = 3

(g) log4

x = �1

(h) log 49x = �2

Aufgabe 43. Zerlegen Sie den jeweiligen Ausdruck mit den Rechenregeln fur Logarithmen so weitwie moglich.

(a) log(2x2y)

(b) log(a 3pb)

(c) log(pc 3pd)

(d) log 3x

2

y

3

(e) log a

2pab

3pb

3

(f) log4p2a

3pb

2

4b

pa

(g) log x

2�y

2px�y

(h) log(r2 � r)

Aufgabe 44. Stellen Sie die folgenden Ausdrucke als Logarithmus eines einzigen Termes dar. Ver-einfachen Sie dabei so weit wie moglich.

(a) log 2� log a+ 1

2

log b

(b) log(1� x) + log(1 + x)� 2 log x

(c) 2 log x+ 1

4

(log a� log(a� b))

(d) 1

3

(5 log x+ 2 log(x� y))� 1

2

log y

(e) lg(2a2)� 3(lg(ab2) + 2 lg(4b)) + lg(b2)

(f) lg(32a) + 2(lg(ab)� lg(3b2))� lg(a2)

(g) lg(2a3)� 3 lg(ab2)� (2� lg(2b3))

(h) 3(1� lg(2ab))� 2(lg(ab2) + 1� lg(2a2b))

Aufgabe 45. Losen Sie die Gleichungen nach x 2 .

(a) 3x = 1

9

(b) 41�x = 32

(c) 2161�2x = 36

(d)�4

9

�x�2

= 8

27

(e) 32x�1 = 2x+3

(f) 5x+1 = 7x�1

(g) 63�4x = 87�x · 54x�7

(h) 4x+2 · 7x�3 = 92x�1

(i) 4x+32 · 6

x�13 = 23x+1

(j) 32x+1

3 · 5x�4 = 8x�12

Aufgabe 46. Losen Sie die Gleichungen nach x 2 .

(a) lg x+ lg(4x) = lg(36)

(b) lg(8x) + lg(3x) = lg(96)

(c) lg x+ lg(2x) + lg(4x) = �3

(d) lg x+ lg(2x)� lg(4x) = lg 2

(e) lg(x+ 3)� lg(x� 3) = lg 4

(f) lg x+ lg(x+ 1) = 2 lg(1� x)

Aufgabe 47. Losen Sie die Gleichungen nach x 2 .

(a) xlg x�3 = 1

100

(b) 1000 · xlg x = x4

(c) xlnx�1 = e2

(d) e4 · xlnx = x4

(e) ln(2 · lnx) = 1

2

(f) (1� lnx)2 = ln�x

e

�

Aufgabe 48. Losen Sie die Gleichungen nach x 2 .

(a) 6x + 6x�3 = 217

(b) 5x�1 � 16 · 5x�3 = 3x � 4 · 3x�2

(c) 2 · 7x�1 � 7x�2 = 13

49

(d) 32x�4 � 4 · 7x�1 = 9x�4

(e) 4x�1 � 5 · 5x = 5x�1 + 4x�2

(f) 3x + 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 4x + 4x+1 + 4x+2

Aufgabe 49. Ein bekanntes schmerzstillendes Mittel, enthalt als Wirksto↵ Acetylsalicylsaure, dievom Korper mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden exponentiell abnehmend ausgeschieden wird. An-genommen einem Patienten wird um 6 Uhr, 12 Uhr und 18 Uhr je eine Tablette mit 0,5g Wirksto↵verabreicht. Zeichnen Sie einen Graphen, der angibt, wieviel Wirksto↵ jeweils zu den angegebenenZeiten im Korper vorhanden ist und berechnen Sie weiters wie viel Wirksto↵ um 23 Uhr im Korpernachzuweisen ist.

Aufgabe 50. Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Funktionen

f : [�⇡, 2⇡] ! , x 7! y.

(a) y = 2 sinx

(b) y = �3 cosx

(c) y = 1

3

sinx+ 1

(d) y = sin(2x)

(e) y = 1

2

cos(3x)

(f) y = sin(x+ ⇡

6

)

(g) y = 2 cos(x� ⇡

2

)

(h) y = � sin(⇡ � x)

(i) y = cos(⇡4

� x) + 1

Aufgabe 51. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke so weit wie moglich.

(a)sinx

tanx

(b)cosx · tanx

sinx

(c)1

cosx� sinx tanx

(d)cosx

1 + tan2 x

(e)

s1� cos2 x

1� sin2 x

(f)sin4 x� cos4 x

sin2 x� cos2 x

Aufgabe 52. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke so weit wie moglich.

(a) (sinx+ cosx)2 � 2 sinx cosx

(b)p

(3 cosx� 4 sinx)2 + (3 sinx+ 4 cosx)2

Aufgabe 53. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke so weit wie moglich.

(a) cos(x� y) cos y � sin(x� y) sin y

(b) cos

2x�sin

2x

cos(x+y) cos(x�y)

(c) sin(x+ y) cos y � cos(x+ y) sin y

(d)q

cos(x+y) cos(x�y)

cos

2y�sin

2x

Aufgabe 54. Formen Sie die folgenden Ausdrucke auf Terme der Form a sin(x+ b) mit a, b 2 um.

(a) 3 sinx+ 2 sin(x+ ⇡

3

)

(b) sinx+ 1

2

cosx

(c) 3 sinx+ 2 cosx

(d) 5 sin(2x+ 1)� 14 cos(2x� 3⇡

2

)

Aufgabe 55. Beweisen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichungen.

(a) sin(3x) + sin(5x) = 2 sin(4x) cosx

(b) 1� sinx = 2 cos2(⇡4

+ x

2

)

(c) 1 + cos(2x) = 2 cos2 x

(d) cosx� sinx =p2 sin(⇡

4

� x)

Aufgabe 56. Losen Sie die folgenden trigonometrischen Gleichungen uber [0, 2⇡).

(a) tanx = 3 sinx

(b) tanx · sin(2x) = 1

(c) tanx = 2� 1

tanx

(d) sinx� 1 = cosx� tanx

(e) sin(2x) + sin(3x) = 3 sinx

(f) 2 sin2 x+ 4 cos2 x = 3

(g) sinx+ sin(2x) + sin(4x) + sin(5x) = 0

(h) 2 sin(2x) = cosx

Aufgabe 57. Betrachten Sie ein allgemeines Dreieck und berechnen Sie alle fehlenden Großen.

(a) a = 4, b = 6, � = 74�

(b) a = 45, ↵ = 34,56�, � = 65,18�

(c) a = 197, � = 31,88�, � = 8,17�

(d) b = 136, c = 99, ↵ = 61,56�

Aufgabe 58. Ein allgemeines Viereck ABCD ist durch die Lange der drei Seiten

AB = a = 634, BC = b = 620, DA = d = 153

und durch die beiden Winkel ↵ = 87,3� (am Eckpunkt A) und � = 115,6� (am Eckpunkt B) gegeben.Berechnen Sie alle fehlenden Großen.

Aufgabe 59. Geben Sie einige elementare Funktionen an, die gerade (achsialsymmetrisch) bzw.ungerade (punktsymmetrisch) Funktionen sind.

Aufgabe 60. Fertigen Sie eine Skizze der Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus Funk-tion an und bestimmen Sie Definitions– und Wertebereich aller vier Hyperbelfunktionen.

Beispiele in Maple T.A. Beachten Sie die Beispiele im E–Learning–System Maple T.A. im gleich-namigen Kapitel online und uben Sie diese selbststandig! Es werden Beispiele zu den Themen Ge-radengleichung, Nullstellen, quadratische Funktionen, Exponential– und Logarithmusfunktion, sowieWinkelfunktionen bereitgestellt. Einige Auszuge sind im Folgenden dargestellt.