elemente de mecanica sistemelor de control al miscarii

ELEMENTE DE MECANICA SISTEMELOR DE CONTROL AL MICRII

5.1. Fore i momente

Structura unui sistem de control a micrii a evideniat faptul c cel mai utilizat element n blocul de acionare este motorul electric rotativ. n consecin, n studiul elementelor de mecanic a sistemelor de control al micrii vom porni de la studiul forelor i momentelor acionnd la nivelul arborelui acestui motor. Principiul conservrii energiei impune echilibrul cuplurilor la arborele motorului electric de acionare. n regim staionar se poate scrie:

00 =>r

MMDaca (5.1)

unde: - viteza unghiular a arborelui motor; M momentul motor (momentul dezvoltat la nivelul arborelui motor); Mr momentul rezistent al sarcinii. n regim dinamic:

dr MMM = (5.2)

unde: Md cuplu dinamic sau cuplu inerial

Conform legii fundamentale a dinamicii, aplicat pentru micarea de rotaie, vom avea:

( )JdtdM d = (5.3)

ddJ

dtdJ

dtd

ddJ

dtdJM d

2+=+= (5.4) unde J reprezint momentul de inerie axial al maselor aflate n micare de rotaie, raportat la arborele motorului. n majoritatea cazurilor practice J = constant. n consecin relaia (5.4) devine:

dtdJMM

r

= (5.5)

Dac M, au acelai sens micarea este accelerat, iar dac M, au sensuri contrare micare este decelerat. Cuplul rezistent Mr poate fi de dou tipuri: reactiv: dac este de frecare, deformare plastic, iar efectul este de frnare pentru

c acioneaz n sens contrar micrii; potenial: se datoreaz aciunii cmpului gravitaional sau deformrii elastice a

metalelor. Aciunea lor nu depinde de sensul micrii.

La sistemele cu micare de translaie ecuaia micrii se poate exprima n puteri sau fore:

( )dldm

vdtdv

mdtdl

dldm

vddv

mdtmvdFFF dr 2+=+== =

(5.6) Uzual m = constant, caz n care rezult:

dtdv

mFFr

= (5.7)

Momentul de inerie axial al unui corp fa de o ax de rotaie care trece prin centru de greutate este:

= dmrJ 2 (5.8)

=

=

n

xxx

rmJ1

2 (5.9)

unde masa elementului de volum este dm, respectiv mx la o repartizare discret a acesteia. Considernd masa m concentrat ntr-un punct la distana r de axa de rotaie se poate scrie relaia:

22

2

==

DmmrJ (5.10)

unde: r raza de giraie; D diametrul de giraie. nlocuind n relaia (5.10) greutatea G = mg se obine:

gGDJ4

2

= respectiv gJGD 42 = (5.11)

Produsul GD2 se numete momentul de giraie sau de volant i este dat n cataloage pentru motoarele electrice. Viteza de rotaie se poate exprima n funcie de turaie:

602 npi

= (5.12)

n aplicaiile practice se poate utiliza ecuaia micrii sub forma:

dtdnGDMM

r 375

2

= (5.13)

5.1.1 Raportarea cuplurilor i forelor la arborele motorului

Echilibrul cuplurilor exprimat prin ecuaia micrii trebuie raportat la acelai arbore, de obicei la arborele motorului electric de acionare. Motorul electric acioneaz ns de obicei maina de lucru (sarcina) prin intermediul unui sistem de transmisii. Ca urmare, componentele n micare ale ansamblului motor-sarcin avnd viteze diferite, apare necesitatea raportrii la acelai arbore a cuplurilor, forelor, momentelor de inerie sau maselor. Raportarea trebuie s respecte principiul conservrii energiei. Arborele de raportat este cel motor, deci al motorului de acionare. Prezena transmisiei (T) este impus de faptul c turaia motorului este mult mai mare dect turaia mainii de lucru (sarcinii), deci se va utiliza un reductor n mai multe trepte. Se consider de exemplu un reductor cu n trepte, reprezentat n figura 5.1. Cuplurile determinate de maina de lucru raportate la arborii 0, 1, ... , n, care au vitezele 1, ... , n sunt Mr, Mr1 , ... , Mrn, iar momentele de inerie sunt J1, ... , Jn . Rapoartele de transmisie ntre trepte sunt i1, ... , in i randamentele 1, ... , n . Se determin randamentul global i raportul total de transmisie conform relaiilor:

n = ...21 (5.14)

11

Mi = ; 2

12

=i ; ... ;

n

n

ni 1

= (5.15)

n

n

M iiii == ...21

(5.16)

Fig.5.1. Raportarea cuplurilor i momentelor de inerie la arborele motor

Se egaleaz puterile la arbori succesiv:

Mrr MM =11

1

1

11

11

1

1

iMMM r

M

r

r

== (5.17)

Celelalte cupluri rezistente se calculeaz cu relaii similare:

22

21 i

MM rr

= ; ... ; nn

rn

rn iMM

=1 (5.18)

nmulind relaiile anterioare ntre ele se obine cuplul la nivelul arborelui motor:

iM

M rnr

= (5.19)

La frnare se inverseaz fluxul de energie:

iMM

rnr

= (5.20)

Unele sisteme de control al micrii au componente mecanice cu micare de translaie. Schema unui mecanism de ridicare cu transmisie (Z) i tambur (T) este dat n figura urmtoare. Ridicarea unei greuti G -= FR cu tamburul T impune egalitatea puterilor.

vFMPrMrr ==

1

(5.21)

Cuplul rezistent redus la arborele motor este:

M

r

r

vFM

= (5.22)

Fig.5.2. Transmisia la un mecanism de ridicare

La coborre:

M

r

r

vFM

= (5.23)

5.1.2. Raportarea momentelor de inerie i a masei la acelai arbore

Pe baza relaiei de conservare a energiei cinetice, raportarea momentelor de inerie J1, J2, ... , Jn la arborele motorului electric se face considernd un moment de inerie total echivalent Jt corespunztor unei piese fictive (de ex. volant):

2:|

2...

222

2221

1

22 nn

MM

Mt JJJJ +++= (5.24)

22

11 ...

++

+=

M

n

n

MMt JJJJ

(5.25)

221

21

1...

1...

1n

nMt iiJ

iJJJ

+++= (5.26)

n cazul mecanismelor cu micare de translaie:

22

21

21

mvJ Mt = respectiv 2

=

Mt

vmJ

(5.27)

Expresia general a momentului de inerie echivalent se obine prin nsumarea efectelor maselor aflate n micare de rotaie i a celor aflate n micare de translaie:

222

11 ...

+

++

+=

MM

n

n

MMt

vmJJJJ

(5.28)

n continuare se vor prezenta relaiile de calcul pentru determinarea momentului total raportat la arborele motor, pentru cteva cazuri particulare ntlnite frecvent n practic. n toate cazurile este valabil relaia:

dinstt MMM += (5.29)

unde: Mt momentul total raportat la arborele motorului; Mst momentul total static, datorat efectului momentelor, respectiv forelor rezistente cu aciune static, raportat la arborele motorului; Mdin momentul rezistent dinamic, datorat variaiei energiei cinetice a maselor aflate n micare de rotaie i/sau translaie, raportat la arborele motorului.

Transmisie prin angrenaje (fig. 5.3)

Fig. 5.3. Transmisie prin angrenaje

S

Mangi

= (5.30)

]/[ sradi SangM = (5.31)

][radi SangM = (5.32)

][ 2mkgJJJJ MSangMt ++= (5.33)

][ 22 mkgiJJang

SMS = (5.34)

][ mNi

MMangang

s

st

=

(5.35)

][ mNJM Mtotaldin = (5.36)

Band transportoare (fig. 5.4)

][1

11int m

pnDC

p

idPP == pi (5.37)

Fig. 5.4. Band transportoare

][1

radCx

P

LM = (5.38)

][1

radCv

P

LM = (5.39)

][ 222

3

13

2

12

1mkgJ

DDJ

DDJ

JJJ MSP

P

B

P

P

P

B

PPMt +

+

++=

(5.40)

][2

)( 22

1 mkgDmmJ P

B

BsMS

+=

(5.41)

][2

1 mNDFFF

M PB

ifrrtst

++=

(5.42)

Lsi amF = (5.43)

][ mNJM Mtdin = (5.44)

Transmisie prin curele (fig. 5.5)

1

2

rc

rc

c DD

i = (5.45)

]/[ sradi ScM = (5.46)

Fig. 5.5. Transmisie prin curele

]/[ sradi ScM = (5.47)

][1 22 21 mkgJJ

iJJJJ MS

c

rc

c

McrcMt ++++= (5.48)

][2

2

2

1 mkgDmJ rc

c

c

Mc

=

(5.49)

][1 22 mkgJ

iJ

c

s

c

MS = (5.50)

][ mNiMM

cc

sst

=

(5.51)


Mecanism urub-piuli (fig. 5.6)

][radxp LsbM = (5.53)

]/[ sradvp LsbM = (5.54)

Fig. 5.6. Mecanism urub-piuli

][ 2mkgJJJJJ MSsbCMt +++= (5.55)

2

2

= pi

sbsMS

pmJ (5.56)

][2

)(mNM

pFFFM pr

sb

sbfrirtst +

++=

pi (5.57)

Lsi amF = (5.58)


Mecanism pinion-cremalier (fig. 5.7)

Fig. 5.7. Mecanism pinion-cremalier

][mpn

DCp

dppp == pi (5.60)

][radCx

p

LM = (5.61)

][radCv

p

LM = (5.62)

][ 2mkgJJJJ MSpMt ++= (5.63)

][2

2

2

mkgD

mJ pSMS

= (5.64)

++=

2p

pc

ifrrtst

DFFFM

(5.65)

Lsi amF = (5.66)


Semnificaiile notaiilor de mai sus sunt:

M deplasarea unghiular a motorului [rad]; M viteza unghiular a motorului [rad/s]; M acceleraia unghiular a motorului [rad/s2] xL deplasarea liniar a sarcinii [m]; vL viteza liniar a sarcinii [m/s]; aL acceleraia liniar a sarcinii [m/s2]; s viteza unghiular a sarcinii; JM momentul de inerie axial al motorului [kgm2]; Js momentul de inerie axial al sarcinii [kgm2];

Jt momentul de inerie total echivalent raportat la arborele motorului [kgm2]; JSM momentul de inerie axial al sarcinii raportat la arborele motorului [kgm2]; Jang - momentul de inerie axial al angrenajului [kgm2];

1rcJ - momentul de inerie axial al roii de curea 1 [kgm2];

2rcJ - momentul de inerie axial al roii de curea 2 [kgm2]; JcM momentul de inerie axial al curelei raportat la arborele motor [kgm2]; Jsb momentul de inerie axial al urubului [kgm2]; JC momentul de inerie axial al cuplajului dintre urub i motor [kgm2]; Jp momentul de inerie axial al pinionului [kgm2]; iang raportul de transmitere al angrenajului; ic raportul de transmitere al curelelor; ang randamentul transmisiei prin angrenaje; B randamentul benzii transportoare; c randamentul transmisiei prin curele; sb randamentul mecanismului urub-piuli; pc randamentul mecanismului pinion cremalier;

1pC - circumferina roii 1 de antrenare a benzii transportoare [m]; ndini numrul de dini al roii 1 de antrenare a benzii transportoare;

1pp - pasul danturii roii 1 de antrenare a benzii transportoare [dini/m];

1pD - diametrul roii 1 de antrenare a benzii transportoare [m];



1rcD - diametrul roii de curea 1 [m];

2rcD - diametrul roii de curea 2 [m]; psb pasul urubului [m]; Cp circumferina pinionului [m]; pp pasul danturii pinionului [dini/m]; ms masa sarcinii [kg]; mB masa benzii transportoare [kg]; mc masa curelelor [kg]; Frt fora rezistent tehnologic [N]; Ffr fora de frecare [N]; Fi fora de inerie [N]; Mpr moment de prestrngere al mecanismului urub-piuli [Nm].

5.2 Elemente de cinematic a micrii

Dup cum s-a precizat n capitolul 4, n cazul deplasrilor pe o singur ax, profilul trapezoidal de vitez este cel mai utilizat datorit compromisului pe care acesta l ofer, evideniat de urmtoarele aspecte:

- din punct de vedere termic, cldura dezvoltat de motor este mai mic dect n cazul profilului triunghiular, dar mai mare dect n cazul profilului parabolic;

- din punct de vedere al uurinei de generare profilul trapezoidal de vitez este mai uor de generat dect cel parabolic, regsindu-se ca standard n toate sistemele industriale de tip controller de micare;

- profilul trapezoidal este mai dezavantajos dect cel parabolic datorit apariiei fenomenului de "smucitur" (derivata acceleraiei are valoare infinit), fapt

eliminat n cazul utilizrii unor profiluri de vitez de tip parabolic sau de grad mai mare

n practic ns, fenomenul de smucitur este mult diminuat, datorit faptului c, dei profilul de referin de vitez utilizat este trapezoidal, efectele de ntrziere introduse de diferite elemente din sistemul de reglare automat al avansului, fac ca forma real de variaie a vitezei s fie apropiat de cea parabolic, dup cum se poate observa n figura 5.8.

Fig. 5.8: Referina i viteza obinut pentru profilul trapezoidal de vitez

n figura 5.9 este prezentat diagrama de variaie a vitezei n cazul profilul trapezoidal de vitez pe care s-au evideniat:

Fig. 5.9. Profilul trapezoidal de vitez

vmax viteza maxim atins pe ciclu; ta perioada de accelerare; tct perioada de deplasare cu vitez constant; td perioada de decelerare; T durata ciclului.

Considernd acceleraia egal n valoare absolut pe fazele de accelerare, respectiv decelerare i de asemenea considernd timpii ta i td egali, se pot evidenia urmtoarele relaii ntre parametri cinematici ai micrii dup un profil de vitez trapezoidal:

a

vtt da

max== (5.68)

)(max

dact

ct ttTv

st +== (5.69)

22maxmax da

datvtv

ss

=

== (5.70)

a

vss da

==

2max

(5.71)

ctct tvs = max (5.72)

unde: a acceleraia, egal ca valoare absolut pe fazele de accelerare, respectiv decelerare; sa spaiul parcurs pe perioada de accelerare; sd spaiul parcurs pe perioada de decelerare; sct spaiul parcurs pe perioada de deplasare cu vitez constant; n figura 5.10 sunt prezentate formele de variaie ale parametrilor cinematici (vitez, spaiu acceleraie) att pentru un profil trapezoidal de vitez ct i pentru un profil parabolic de vitez. Pe baza legilor mecanicii, relaii de legtur ntre parametri cinematici pot fi deduse cu relativ uurin i pentru profilul parabolic.

Fig. 5.10. Forma de variaie a parametrilor cinematici pentru profilul trapezoidal de vitez (a) i pentru profilul parabolic de vitez (b)

5.3. Calculul unui sistem de control al micrii pe o ax

n figura 5.11 este prezentat schema unui sistem de control al micrii pe o ax, care asigur deplasarea saniei port-scul conform unui ciclu de tip AR-AT-RR (apropiere rapid-avans tehnologic-retragere rapid).

Fig. 5.11. Sistem de control al micrii pe o ax

n figura 5.12 este prezentat tahograma ciclului de lucru, pe care se pot evidenia urmtoarele faze:

Fig. 5.12. Tahograma ciclului de lucru - faza de apropiere rapid compus din: accelerare pn la viteza maxim de apropiere rapid vR (pe durata ta-AR), mers cu vitez constant pe durata tct-AR, decelerare i oprire (pe durata td-AR) i timp de staionare to1; - faza de avans tehnologic compus din: accelerare pn la viteza maxim de avans tehnologic ( pe durata ta-AT), mers cu vitez constant pe durata tct-AT, decelerare i oprire (pe durata td-AT) i timp de staionare to2;

- faza de retragere rapid compus din: accelerare pn la viteza maxim de retragere rapid -vR (pe durata ta-RR), mers cu vitez constant pe durata tct-RR, decelerare i oprire (pe durata td-RR);

Tahograma de vitez prezentat n figura 5.12 nu este optim. Decelerarea pn la oprire n faza de apropiere rapid, urmat de o nou accelerare pentru atingerea vitezei de avans tehnologic solicit suplimentar motorul prin introducerea unui moment dinamic rezistent n faza de avans tehnologic pe poriunea de accelerare. O variaie optim a vitezei, care exclude poriunea de accelerare pe faza de avans tehnologic este prezentat n figura 5.13.

Fig. 5.13. Tahogram optimizat (utilizarea acesteia poate ridica mult costul sistemului)

Se va lua n considerare ns n calculul de alegere al motorului de acionare varianta prezentat n figura 5.12, deoarece acest tip de profil de vitez nu presupune modificarea vitezei n timpul funcionrii, modificare necesar n cazul profilului optim.

Modificarea vitezei n timpul funcionrii este o facilitate accesibil numai unor anumite tipuri controllere de poziie din clasele superioare (a cror utilizare poate ridica semnificativ preul sistemului), n timp ce profilul de vitez din figura 5.12 este realizabil cu aproape toate tipurile de controllere standard industriale.

5.3.1 Calculul forelor i momentelor rezistente. Alegerea motorului

Se vor calcula momentele static i dinamic necesare a fi dezvoltate de ctre motor conform schemei de mai jos (fig. 5.14):

Fig. 5.14. Schem pentru calculul momentului motor necesar

Notaiile din figur reprezint: JM momentul de inerie al motorului electric [kgm2] JZ1 momentul de inerie al roii dinate 1 (pinion) [kgm2] JZ2 momentul de inerie al roii dinate 2 [kgm2]

Jsb momentul de inerie al urubului [kgm2] vL viteza liniar a sarcinii [m/s] aL acceleraia liniar a sarcinii [m/s2] M viteza unghiular a motorului [rad/s] sb viteza unghiular a urubului [rad/s] Frt fora rezistent tehnologic [N] Fi fora de inerie [N] Ffr fora de frecare [N] Fpr fora de prestrngere al piuliei [N] Mpr momentul de prestrngere al piuliei [Nm] psb pasul urubului [m]

Momentul static necesar, raportat la arborele motorului se calculeaz din condiia egalitii puterilor la nivelul arborelui motor (micare de rotaie) i la nivelul sarcinii (micare de translaie), innd cont de randamentul transmisie prin angrenaje i al transmisiei urub-piuli.

t

LtMst

vFM

= (5.73)

unde: Mst momentul static necesar la arborele motorului [Nm] Ft fora rezistent total pe direcie axial [N] t randamentul total al transmisiilor mecanice Avem:

)( gamFFFFFFFsprrtprfrirtt +++=+++= (5.74)

unde: ms masa total a sarcinii aflat n micare [kg] - coeficientul de frecare n ghidaje Pentru valoarea t avem relaia:

sbangt = (5.75)

unde: ang randamentul transmisiei prin angrenaje (vom considera ang = 0.9) sb randamentul transmisiei urub-piuli cu bile (vom considera sb = 0.9) Cu aceste consideraii obinem pentru Mst relaia:

sbangM

Lsprrtst

vagmFFM

)]([ +++

= (5.76)

ntre viteza unghiular a urubului i viteza liniar a sarcinii a sarcinii avem relaia:

pi 2sb

sb

L pv= (5.77)

Raportul de transfer al angrenajului este:

sb

Mi

= (5.78)

deci:

ipv sb

M

L

pi 2= (5.79)

nlocuind relaia de mai sus n relaia (5.76), obinem:

sban

sbsprrtst gi

pgamFFM

pi

2)]([ +++

= (5.80)

sau n cazul n care cunoatem Mpr n locul Fpr

prsbang

sbsrtst Mi

pgamFM +++=pi

2)]([

(5.81)

Observaie: n cazul n care nu se cunosc valorile Fpr sau Mpr se poate face urmtoare estimare:

)]([31)(

31 gamFFFFF srtfrirtpr ++=++= (5.82)

Momentul dinamic necesar (redus la arborele motorului) se calculeaz cu relaia:

Mtd JM = (5.83)

unde: Jt momentul de inerie echivalent total redus la arborele motorului [kgm2] M acceleraia unghiular a motorului [rad/s2] Vom prezenta n continuare modul de calcul al Jt. Pentru aceasta vom egala energiile cinetice ale corpurilor aflate n micare de rotaie i translaie cu energia cinetic a unui corp echivalent, aflat n micare de rotaie cu viteza unghiular a arborelui motorului, avnd momentul de inerie egal cu Jt:

222222

22222221 LssbsbsbZMZMMMt vmJJJJJ ++++=

(5.84)

innd cont raportul de transfer al angrenajului i de relaia (5.79) putem scrie:

2

22 22

1

++++=

ip

miJ

iJ

JJJs

sbZZMt pi

(5.85)

Pentru calculul momentelor de inerie al roilor dinate i al urubului (considerate ca i corpuri cilindrice) avem relaia:

42222

321

21

21

21 dLrrLVrmrJ pipi ==== (5.86)

unde: m masa corpului [kg] r,d raza respectiv diametrul corpului [m] L lungimea corpului [m] - densitatea corpului [kg/m3], pentru oel =7800 kg/m3 Pentru urubul cu bile vom considera pentru d valoarea diametrului exterior, iar pentru L lungimea total a cursei plus lungimea de lgruire. Pentru roile dinate (cu dantur dreapt) vom considera pentru d valoarea diametrului de divizare, iar pentru L, limea danturii, astfel:

Zmd n = (5.87)

nnd mZmL += 5.11 pentru pinion (Z1) (5.88)

1ZmL nd = pentru roat (Z2) (5.89)

unde: d coeficient de lime a danturii. Acceleraia unghiular se calculeaz innd cont de relaia:

pi 2sb

sb

L pa= (5.90)

i de faptul c

isbM = (5.91)

Rezult:

ip

a

sb

LM

pi

2= (5.92)

Motorul trebuie ales astfel nct momentul dezvoltat pe perioada accelerrii (Ma) s fie egal cu suma dintre momentul static i cel dinamic:

dsta MMM += (5.93)

iar pe perioada mersului cu vitez constant momentul dezvoltat (Mct) trebuie s fie egal cu momentul static:

stct MM = (5.94)

5.3.2 Exemplu numeric

Vom parcurge etapele de calcul prezentate mai sus pe baza urmtoarelor date iniiale: - turaia maxim a motorului electric nmax=1000 rot/min; - cuplare direct a motorului la axul urubului cu bile (fr angrenaj); - pasul urubului cu bile psb = 10 mm = 1010-3 m; - diametrul urubului cu bile dsb = 32 mm = 3210-3 m; - lungimea total a urubului cu bile L = 1000 mm = 1 m - momentul de prestrngere al urubului cu bile Mpr = 1.3 Nm; - viteza liniar maxim a sarcinii (unitii de lucru) pe perioada fazei de apropiere rapid, respectiv retragere rapid vR:

min/10/6010

6010101000

60

3max msm

pnv sbR ==

==

(5.95)

- viteza liniar maxim a sarcinii (unitii de lucru) pe perioada fazei de avans tehnologic (rezultat din calcule tehnologice) vT = 1/60 m/s = 1 m/min; - acceleraia liniar pe perioada fazei de apropiere rapid, respectiv retragere rapid aAR = aRR = 2 m/s2 - acceleraia liniar pe perioada fazei de avans tehnologic aAT = 1 m/s2 - masa unitii de lucru (sanie + port scul + scul) ms = 30 kg - coeficientul de frecare n ghidaje =0.01 (s-a luat n calcul o valoare acoperitoare, considernd varianta ghidajelor cu elemente de rulare de tipul buce cu bile); - fora rezistent tehnologic pe perioada fazei de apropiere rapid Frt_AR = 0 N; - fora rezistent tehnologic pe perioada fazei de avans tehnologic Frt_AT = 10000 N; Momentul static pe perioada fazei de apropiere rapid:

Nm

MpgamF

M prsb

sbARsARrtARst

40.13.19.02

1010)]81.901.02(300[2

)]([

3

_

_

=+

++

=+++

=

pi

pi

(5.96)

Momentul static pe perioada fazei de retragere rapid are Mst_RR aceeai valoare i semn contrar. Momentul static pe perioada fazei de avans tehnologic:

Nm

MpgamF

M prsb

sbATATrtATst

03.193.19.02

1010)]81.901.01(3010000[2

)]([

3

_

_

=+

++

=+++

=

pi

pi

(5.97)

Deoarece aceast valoare reprezint valoarea maxim admis a momentului rezistent (parametri cinematici trebuie astfel alei nct pe perioada achierii momentul static s nu se nsumeze cu cel dinamic, altfel spus, perioada de accelerare a fazei de avans tehnologic s se ncheie nainte ca scula s intre n contact cu piesa) se va alege preliminar un servomotor cu urmtoarele caracteristici: - turaie n = 2000 rot/min, putere nominal Pn = 3500 W, moment nominal Mn = 16.7. Nm, moment maxim Mmax = 50.1 Nm, moment de inerie JM = 8210-4 kgm2 Conform relaiei (5.85), n absena angrenajului, momentul de inerie total este:

2

2

+++=

pisb

sbCsbMtp

mJJJJ (5.98)

Se observ c, fa de relaia (5.85), s-a luat n considerare, suplimentar, un moment de inerie al cuplajului dintre urub i motor, JC=200 10-6 kgm2 (dat de catalog). Conform relaiei (5.86) pentru momentul de inerie al urubului avem:

24

434

100296.8

)1032(17800321

321

mkg

dLJsbsb

=

==

pipi (5.99)

Momentul de inerie total devine astfel:

2423

6

442

1078.9221053010200

100296.810822

mkg

pmJJJJ sb

sCsbMt

=

++

+=

+++=

pi

pi (5.100)

Conform relaiei 5.92, acceleraia unghiular a motorului pe perioada fazei de apropiere rapid, respectiv retragere rapid are valoarea:

23__ /63.12561010

222srad

pa

sb

ARRRMARM =

===

pipi (5.101)

Pentru acceleraia unghiular a motorului pe perioada fazei de avans tehnologic avem:

23_ /31.6281010

122srad

pa

sb

ATATM =

==

pipi (5.102)

Conform relaiei (5.83), pentru momentul dinamic pe perioada fazei de apropiere rapid, respectiv retragere rapid avem:

Nm

JMM ARMtRRdARd66.1163.12561078.92 4

___

=

===

(5.103)

Pentru momentul dinamic pe perioada fazei de avans tehnologic, avem:

NmJM ATMtATd 83.531.6281078.924

__

=== (5.104)

5.3.3 Verificarea motorului

Se va prezenta metodologia de verificare a motorului exemplificnd n continuare pe baza valorilor numerice prezentate n paragraful anterior. Pentru verificarea motorului trebuie s determinm viteza medie pe ciclu:

=

i

iimed t

tvv (5.105)

unde pentru fazele de deplasare cu vitez constant vom lua n considerare valoarea vi iar pentru fazele de accelerare, respectiv decelerare, valoarea vi /2. Conform figurii 5.12 vom avea:

987654321

99

8877

66

5544

33

2211

222222ttttttttt

tv

tvtv

tv

tvtv

tv

tvtv

vmed++++++++

++++++++

=

(5.106) unde: v1 = v2 = v3 = v7 = v8 = v9 = vR = 10 m/min; v4 = v5 = v6 = vT = 1 m/min; t1 = ta-AR = 0.0833 s; t2 = tct-AR = 2.9106 s; t3 = td-AR = 0.0833 s; t4 = ta-AT = 0.0166 s; t5 = tct-AT = 0.6433 s; t6 = td-AT = 0.0166 s; t7 = ta-RR = 0.0833 s; t8 = tct-RR = 2.9766 s; t9 = td-RR = 0.0833 s; T = t1 + t2+ t3+ t4+ t5+ t6+ t7+ t8 + t9 = 6.8973 s S-a considerat: - distana total scul pies L = 500 mm; - cursa total de apropiere rapid xAR = L 1 = 499 mm; - cursa total de avans tehnologic xAT = 11 mm; - cursa total de retragere rapid xRR = 510 mm. nlocuind n relaia (5.106) obinem: vmed = 0.14788 m/s = 8.8729 m/min, respectiv nmed = 887.29 rot/min Urmtorul pas presupune calcularea cuplului termic echivalent, conform formulei:

TtMM ii

echiv

=

2

(5.107)

adic:

TtMtMtMtMtMtMtMtMtMM

echiv9

298

287

276

265

254

243

232

221

21 ++++++++

=

(5.108) Avem: M1 = Mst-AR + Md-AR = 13.06 Nm M2 = Mst-AR = 1.40 Nm M3 = Mst-AR - Md-AR = -10.25 Nm M4 = Mst-AT0 + Md-AT = 7.18 Nm M5 = Mst-AT = 19.3 Nm M6 = Mst-AT - Md-AT = 13.20 Nm M7 = Mst-AR + Md-AR = 13.06 Nm M8 = Mst-AR = 1.40 Nm M9 = Mst-AR - Md-AR = -10.25 Nm

nlocuind n relaia (5.108) obinem: Mmed = 6.53 Nm Va trebui s verificm dac n diagrama turaie/moment a motorului ales (prezentat n cataloagele motoarelor), punctul de coordonate nmed, Mmed se afl sub curba de variaie a momentului nominal, pentru regimul continuu de funcionare, condiie verificat n acest caz, conform figurii 5.15.

Fig. 5.15. Diagrama turaie/moment pentru motorul ales

elemente de mecanica sistemelor de control al miscarii

Documents