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ELEMENTI DI GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA
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La goniometria si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni.
La trigonometria studia i procedimenti di calcolo che
permettono di determinare la misura degli elementi di un triangolo, noti alcuni di essi.
L’angolo è la parte di piano individuata da due
semirette a e b che hanno la stessa origine.
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Angolo L’angolo è la parte di piano individuata da due
semirette a e b che hanno la stessa origine.
O B
In realtà due semirette con la stessa origine dividono il piano in due part: quindi con la notazione AÔB si può registrare un’ambiguità.
Essa scompare se usiamo la definizione di angolo
orientato.
A
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Angoli orientati Un angolo si dice orientato quando è stato scelto uno dei due lati
come lato origine e un senso di rotazione. Un angolo orientato si dice positivo quando è descritto mediante
una rotazione in senso antiorario; si dice negativo quando la rotazione è in senso orario.
lato origine
angolo negativo
angolo positivo
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Angoli orientati 2
Un angolo orientato varia da -∞ a +∞ Applet da http://www.lorenzoroi.net/mathematica/funzGonio/intro/index.html
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LA MISURA DEGLI ANGOLI
Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360a parte dell’angolo giro.
Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi, secondi è il
più antico, ma presenta il problema di non utilizzare un sistema decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo complicati
Esempio: 30° 20’ 54” + 2° 45’ 24” = 32° 65’ 78” = 33° 6’ 18”
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Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante: Data una circonferenza, si chiama radiante l’angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Quindi la misura in radianti
di un angolo al centro non è altro che il rapporto tra la misura dell’arco sotteso dall’angolo e la misura del raggio
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Misura degli angoli in radianti
angolo giro angolo piatto angolo retto
2 π r / r = 2 π π
π / 2
Relazione tra gradi e radianti α° = (360° · αrad ) / 2 π α° : αrad = 360° : 2 π αrad = (α° · 2 π ) / 360°
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LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
La circonferenza goniometrica è una circonferenza che viene rappresentata in un piano cartesiano con il centro nell’origine degli assi e il raggio di lunghezza uguale a 1
x2 + y2 = 1
Il punto A ( 1, 0 ) si dice origine degli archi
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FUNZIONI GONIOMETRICHE
SENO E COSENO n DEFINIZIONE n C (cos α, sen α) n VARIAZIONI E RELAZIONI n GRAFICI
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Funzioni seno e coseno
n Se si considerano i due triangoli OQ’A e OQB, dove A e B sono e relative proiezioni di Q’ e Q sull’asse x, cosa si nota? Cos’hanno in comune?
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Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato !.
Definiamo coseno e seno dell’angolo ! le funzioni che ad ! associano rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata del punto di intersezione tra il raggio vettore e la circonferenza stessa
DEFINIZIONE
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VARIAZIONE n Entrambe le funzioni assumono tutti i valori
compresi fra -1 e 1
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Y = SEN X
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y = cos x
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IL PERIODO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
sen ( α + 2 k π ) = sen α cos ( α + 2 k π ) = cos α con k Є Z
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LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
cos2 α + sen2 α = 1
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Definizione di tangente Consideriamo una circonferenza goniometrica, un
angolo orientato α !, la tangente geometrica alla circonferenza nel punto di coordinate (1,0). Definiamo tangente dell’angolo α ! la funzione che ad α ! associa l’ordinata del punto d’intersezione tra il prolungamento del raggio vettore e la tangente considerata
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Variazione della tangente La funzione
tangente assume tutti i valori compresi tra -∞ e + ∞
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Tangentoide Y = tg x
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Periodo della tangente La funzione tangente ha periodo π
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Significato goniometrico del coefficiente angolare
0 α 1
tg α
m = y/x = tg α / 1 = tg α
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La seconda relazione fondamentale sen α tg α = cos α
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ANGOLI PARTICOLARI
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π
2π
senα 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0 -1 0
cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1
tg α 0 √3/3 1 √3 + ∞ 0 - ∞ 0
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LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa solo se è biiettiva.
y = sen x D = [ - π/2, π/2 ] C = [-1, 1] y = arcsen x D = [-1, 1] C = [ - π/2, π/2 ] Il grafico della funzione y = arcsen x è simmetrico rispetto alla
bisettrice del 1° e 3° quadrante della funzione y = sen x
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y = arcsen x
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y = cos x D = [ 0, π ] C = [-1, 1] y = arccos x D = [-1, 1] C = [ 0, π ] Il grafico della funzione y = arccos x è simmetrico rispetto
alla bisettrice del 1° e 3° quadrante della funzione y = cos x
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y = arccos x
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y = tg x D = ] - π /2, π /2 [ C = R y = arctg x D = R C = ] - π /2, π /2 [
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y = arctg x
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trigonometria Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna
determinare le misure dei lati e degli angoli che lo compongono.
Studiamo, quindi le relazioni che intercorrono tra le misure lineari e circolari di un triangolo rettangolo
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Risoluzione dei triangoli rettangoli
Utilizzando la
similitudine dei triangoli riusciamo a risolvere facilmente i triangoli retttangoli
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Primo teorema
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo adiacente al cateto
a = c sen α = c cos β
b = c sen β = c cos α
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Secondo teorema
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al cateto o per la cotangente dell’angolo adiacente al cateto
a = b tg α = b cotg β
b = a tg β = a cotg α