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Elementidi

Statistica

Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Elementi di statistica MarcoMarco Dreucci

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1... diamo un

senso


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… cosa e’ la Fisica delle Particelle Elementari ?

Spiega il complesso mediante il semplice

nel mondo dell’infinitamente nel mondo dell’infinitamente piccolopiccolo …


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all’attacco !!! …

… applicando la ben nota manovra a tenaglia :

il metodo scientificoil metodo scientifico sperimentali …sperimentali …

… … teoriciteorici


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piu’ son piccoli piu’ son piccoli ……


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… cosa si misura nella HEP ?

Altro Altro (ma di supporto)(ma di supporto)

• quantita’ di moto q di una particella ;• energia E rilasciata in un calorimetro da una particella ;• angoli e direzioni delle particelle che si producono ;• intervalli temporali, t ;• efficienza di un rivelatore ;• contaminazione in un campione ;• ……

• Branching ratio (BR)• vita media ()• massa (m) • costanti di accoppiamento • ……

Parametri fondamentaliParametri fondamentali

, e+e-


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N=200 lanci N=2000 lanci

BR, branching ratio BR, branching ratio

…e il determinismo dove e’ finito ?K+K- (~ 49 %)

KSKL (~ 34 %)

(~ 15 %)

(~ 1.3%)

Canali BR


- Nel mondo dell’infinitamente piccolo le condizioni iniziali non possono essere determinate in modo completo (principio di indeterminazione). Ne segue che nel mondo delle particelle elementari le leggi sono sempre leggi di probabilita’.

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una cosiddetta misura ‘semplice’ …Misura spessore cavo elettricoMisura spessore cavo elettrico

s (mm)

frequenza N=100000

Istogramma

• Errori casuali

• Errori sistematici


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una cosiddetta misura ‘difficile’ … Misura massa KMisura massa KLL

M (MeV)

frequenza N=21132


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il risultato di unaoperazione di misura …e’ una variabile aleatoria !e’ una variabile aleatoria !

sperimsperim

teorteor

sperimsperim

teorteor

• Le incertezze (sperimentali e/o teoriche) possono

essere diminuite ;

• La situazione puo’ cambiare nel tempo…


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2Variabile aleatorie

efunzioni di distribuzione


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Indicatori fondamentaliIndicatori fondamentali

N

xm

N

i i 1Valor medioValor medio

1

)( 2

1

N

xmN

i iDeviazione standardDeviazione standard

x = m

ex = /m


~

m

x

Si formano sempre istogrammi regolari, anche troppo ! Ogniistogramma segue qualche funzione di distribuzionefunzione di distribuzione

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Tipi di variabili aleatorie (I)Tipi di variabili aleatorie (I)VA : gaussianagaussianaFDD: gaussiana o normale o ‘campana’

Misura di una grandezza ‘ben definita’, in presenza di errori casualierrori casuali.

tempo di caduta di un oggetto;spessore cavo elettrico ;massa di una particellamassa di una particella ;durata di un macchinario ;misura di un intervallo di tempomisura di un intervallo di tempo

VA : binomialebinomialeFDD: binomiale

Si immagini una prova che abbia 2 possibili risultati: successo o insuccesso. Su N prove effettuate, il numero k di volte in cui si manifesta il successo e’ una variabile aleatoria, e ovviamente 0 k N.

risultato lancio di una moneta ;risultato lancio di un dado ;rivelazione di una data particellarivelazione di una data particella ; canale di decadimento per una particella ;canale di decadimento per una particella ; misura dello spin di un elettrone

VA : poissonianapoissonianaFDD: poissoniana

Caso particolare di variabile binomiale :1- il successo e’ un evento raro, p 0 ( p<0.1 )2- numero infinito di prove, N ( N>50 )

# incidenti stradali in un anno ;# nascite al mese all’ospedale ;# decadimenti in 5 min di una # decadimenti in 5 min di una sostanza radioattivasostanza radioattiva ;# di eventi in un “bin” di un istogramma


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Tipi di variabili aleatorie (II)Tipi di variabili aleatorie (II)VA : poissonianapoissonianaFDD: poissoniana

p = probabilita’ successo

m

pNm

• Nascite in un Nascite in un ospedaleospedale Se m=25/mese su N=15207:=5/mese ; p=0.0016/mese

• Sostanza radioattivaSostanza radioattivase p=1.510-8/min e N=109:m=6.7/min ; =2.6/min

• Entries/binEntries/binEs.: misura massa KL (next)

VA : gaussianagaussianaFDD: gaussiana o normale o ‘campana’

p = ?

m

• Misura Misura massa massa particella particella

Se m=139 ; =2 :

P(m) 0.683

P(m2) 0.955

P(m3) 0.997Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Elementi di statistica MarcoMarco Dreucci


p = probabilita’ successo

)1( pNp

pNm

• RivelatoreRivelatore - p=0.62 ;N=50 -> m=31; =3 (10%)N=103 -> m=620; =15 (2.4%)N=106 -> m=620000; =485 (0.08%)

• Canale di decadimentoCanale di decadimento KS KL : se N=200 e p=0.34 :m=68 ; =7

Nm pNpNp 1)1(

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una cosiddetta misura ‘difficile’ … Misura massa KMisura massa KLL

M (MeV)

frequenza N=21132


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Misura massa particella … fdd fdd gaussianagaussiana

M

(MeV)

f f

M

(MeV)

f

M

(MeV)

M

(MeV)

f fRm=497.7m=497.7=1.5=1.5

m+

m+2

m-

m-2

m

M (MeV)


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Risultati della schedina … fdd fdd binomialebinomiale

frequenzarelativa

krisultati indovinati


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Sostanza radioattiva …

k (dec/min)

frequenza

fdd fdd poissonianapoissoniana

Tipo B Tipo B N=200000N=200000m=9.7 dec/min m=9.7 dec/min =3.1=3.1

Tipo A Tipo A N=60000N=60000m=2.6 dec/minm=2.6 dec/min=1.6=1.6


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Misura intervallo temporale …

~ 4 m

~ 37 m

Riv 0

Riv1

Riv2

ab

t (ns)

f (entries/1ns)


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Teoria sottostante …Teoria sottostante …

VA : gaussianagaussianaFDD: gaussiana o normale


VA : poissonianapoissonianaFDD: poissoniana

2

2

2

)(

21)m, ; (

xm

exf

knk ppk

npkP

)1()n, ; (

!) ; (

k

emmkP

mk

10

0

p

nk


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3Curva di

accostamento(Fit)


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relazione matematica=legge fisica=grafico :i valori sperimentali si adattano ad esso ?

Fare un fit : trovare la funzione che meglio si adatta ai dati


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Allungamento di una Allungamento di una molla (I)molla (I)

kxy

cm/g 03.020.0 k

A scuola si fa amano …


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Allungamento di una molla Allungamento di una molla (II)(II)

kxy

Ma esistono vari programmini …


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Spessore di un cavo elettrico Spessore di un cavo elettrico (I)(I)

2

2

2

)(

2

mx

eA

y

gaussiana


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Spessore di un cavo elettrico Spessore di un cavo elettrico (II)(II)

gaussianabigaussiana

Errori casuali dadue sorgenti …


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Spessore di un cavo elettrico Spessore di un cavo elettrico (III)(III)

gaussiana bigaussiana

Disturbo di tiponon casuale, e dunque non gaussiano, ne’ bigaussiano …


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Misura vita Misura vita mediamedia

Un fit non e’ fatto sempre per verificare l’adattamento, ma per trovare qualche trovare qualche parametroparametro …

esponenziale

t

Aey

t(s)

Legge stranota,ma voglio trovarela vita media


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Quale e’ il criterio per dire che Quale e’ il criterio per dire che un fit e’ OK ?un fit e’ OK ?

• Se il fenomeno in studio e’ ben noto, la funzione y = f (x; y = f (x; )) e’ gia’ decisa. Lo scopo del fit e’ allora di determinare i valori dei parametri (e in questo caso) che corrispondono al miglior adattamentomiglior adattamento della curva ai dati sperimentali .

• I valori che corrispondono al miglior adattamento sono quelli che rendono minima la quantita’ seguente :

2

),;(

21

2

2

N

xfy

N

N

i i

ii

valore sperimentasperimenta

lele

valore teoricoteorico

~ 1 O.K. !

> 1 K.O. !


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4La propagazione

deglierrori


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Le misure indirette Le misure indirette (I)(I)

12 VVV 2r

MmGF

Misure indirette, ovvero grandezze calcolate …

12 VVV r

r

m

m

M

M

G

G

F

F

2

• visione pessimistica …

22

21 VVV

2222

2

r

r

m

m

M

M

G

G

F

F… visione realistica

21 VVV

r

r

m

m

M

M

G

G

F

F2


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1) i = Q/t corrente elettrica

2) K = ½ mv² energia cinetica

3) m = m1+m2+m3 massa totale

4) A = ·r² area di un cerchio

5) p = p1 + p2 pressione totale

6) P = ·A·T4 potenza irradiata

7) I = kA(T2-T1)/d calore trasmesso

Le misure indirette (II)Le misure indirette (II)


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Esempio 1 Esempio 1 (raggi (raggi cosmici)cosmici)

nsttt

nsttt

0.4

7.13

2112

1212

t (ns)

(123.5 2.1) ns

(137.2 3.4) ns

smt

t

s

s

sms

m

t

s

/1083.0vv

/1077.2107.13

8.3v

8

12

12

89

12

~ 30%~ 2%


perche’ piu’ largo?

Riv 0

Riv1

Riv2

v = ?

s

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Esempio 2 Esempio 2 (branching (branching ratio)ratio)

CUTSELtrig

BKGOBS

trig

CUTSEL

BKGOBS

trig

SIG

N

NN

N

NN

N

NKBR

0

sigbkg

cut

EfficienzaCUT= 0.94

E (MeV)

K+ ee

trigger

Rivelatore

EfficienzaSEL= 0.52

Ntrig

Nobs

Vertice

K+

se non ne tenessi conto ?


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5Combinazione

dimisure


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Scrivere i risultatiScrivere i risultati

• Ogni misura, normalmente, riporta separatamente due errori: statistico e sistematico :

BR ( K+ ) = 0.21 0.01stat 0.02sist

• La precisione della misura in questo esempio sara’ :eBR = BR/BR = (0.01 0.02)/0.21 ~ 0.11


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Perché combinare insieme più misure ? Da più misure indipendenti del tipo (xi ± i) di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile ?

tot

xp

1

tot

i ii

p

xpx

2

1

i

Combinare insieme le Combinare insieme le misuremisure

10000p )01.047.0(

1111p )03.049.0(

22

11

x

x

472.011111

47.01000049.01111

x 009.0

11111

1)( x

)009.0472.0( x


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