Elementos de Análise de DecisõesAplicada a um Problema do Setor Agrícola

Lauro T. G. FortesCoordenador-Geral de Desenvolvimento e Pesquisa

INMET, março de 2008

Questão Central:Como posso utilizar a informação

probabilística em meu processo de tomada de decisões?

Resposta:Fazendo uso da metodologia de

Análise de Decisões

O que é Análise de Decisões ?

• Disciplina consolidada a partir da segunda metade dos anos 60, pode ser definida como “Teoria da Decisão Aplicada”.

• Reúne um conjunto de conceitos e técnicas quantitativas que facilitam o tratamento lógico de situações envolvendo incerteza, permitindo que se tomem boas decisões.

• É particularmente útil para o tratamento de problemas complexos e únicos (que não se repetem), mas seus princípios aplicam-se também a situações corriqueiras.

Alguns Conceitos e Pressupostos Básicos

• Bons Resultados são resultados desejáveis

• O objetivo da Análise de Decisões é aumentar as chances de Bons Resultados por meio da tomada de Boas Decisões

• Boas Decisões são decisões logicamente consistentes com as informações disponíveis e as preferências do Decisor

• Uma decisão se traduz em uma alocação efetiva de recursos, que não pode ser revertida sem incorrer em um custo significativo

• O Decisor é a pessoa (na organização) com a competência e responsabilidade pela efetiva alocação de recursos.Assumimos que é um ser racional capaz de explicitar de forma lógica suas preferências em relação aos possíveis resultados de suas decisões.

Síntese (simplificada) da Teoria da Decisão ),...,,( 00

201 nddd

),...,,( 112

11 nddd

A decisão ótima será dada pela n-upla

que maximiza o valor Esperado de U(R)

maxD { E[U(R)] = U(ri). P(ri) }

onde U é a função utilidade, que reflete as Preferências do Decisor frente ao Risco ( Von Neumann & Morgenstern, 1943)

Modelo

D1 D2 Dn

Variáveis de Decisão

S1

S2

Sm

...

...R

Variáveis de Estado

Resultado0

0,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,45

10 20 30 40 50

Sj

P(S

j)

),...,,( **2

*1 nddd

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

-6000 0 1500 3000 10000

R ( em $)

P(

R )

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-6000 0 1500 3000 10000

R (em $)

P(

R )

Escolhendo entre Loterias

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

-6000 0 1500 3000 10000

R ( em $)

P(

R )

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-6000 0 1500 3000 10000

R (em $)

P(

R )

-6.000

0

1.500

3.000

10.000

0,1

0,3

0,3

0,25

0,05

R

-6.000

0

1.500

3.000

10.000

0

0,6

0,3

0,08

0,02

R

E( R ) = 0,1x(-6.000) + 0,3x0 + 0,3x1.500

+0,25x3.000 + 0,05x10.000 = 1.100

1.100

E( R ) = 0x(-6.000) + 0,6x0 + 0,3x1.500

+0,08x3.000 + 0,02x10.000 = 890

880

Aversão ao Risco

Quando os resultados são números reais (por exemplo, Lucro), uma função utilidade muito usada na prática é a exponencial, definida por:

U(x) = c [1- Exp (- x)]

onde é denominado coeficiente de aversão ao risco

Função Utilidade Exponencial

E.C. < Valor Esperado Aversão ao Risco

E.C. = Valor Esperado Indiferença ao Risco

E.C. > Valor Esperado Atração pelo Risco

10.000

-5.000

0,5

0,5

2.500

~-500

Lauro

Piquet

2.000

A Exponential e a Linear satisfazem a Propriedade Delta: Adicionando-se um valor constante a todos os Resultados,

a Decisão ótima não se altera

Função Utilidade Exponencial Padronizada

U(x)=(1- Exp(- r.x/xmax))/(1- Exp(-r))

-4,00

-3,50

-3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Lucro Normalizado X/Xmax

Uti

lid

ade

U(x

)

r=0r=2

r=6r=10

Escolhendo entre Loterias (cont.)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

-6000 0 1500 3000 10000

R ( em $)

P(

R )

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-6000 0 1500 3000 10000

R (em $)

P(

R )

-6000

0

1500

3000

10.000

R-6000

0

1500

3000

10.000

0,1

0,3

0,3

0,25

0,05

R

1.100

0

0,6

0,3

0,08

0,02

880

U( R )-2,68

0,00

0,30

0,52

1,00

-2,68

0,00

0,30

0,52

1,00

U( R )

E[U( R)] =0,0 E[U( R)] =0,15

0 700

Considere que U é a função utilidade exponencial normalizada com coeficiente de aversão ao risco normalizado r = 2

Exemplo do Amendoim

Emerson tem uma propriedade de 800 acres em Jackson, na Flórida, onde vem plantando amendoim sem irrigação. Este ano em função da presença da La Niña e tendo uma oferta para arrendar sua propriedade, considera três possibilidades:

•Plantar sem irrigação

•Plantar com irrigação

•Arrendar a propriedade

Para ajudá-lo nessa decisão, recorre ao Professor Maurício que, antes de mais nada, visita o site do AgClimate, seu velho conhecido, e levanta um conjunto de informações.

(http://www.agclimate.org/Development/apps/agClimate/controller/perl/agClimate.pl?function=phpyieldTool&location=local&type=php&primary=1&major=2&sub=6&suppressMenu=true)

Parâmtros e Variáveis

Produtividade Esperada com Irrigação ( lb/ac)

Classe Valor Prob (%) Valor Prob (%) Valor Prob (%)

Baixa 1898 6 1780 0 1907 17

Média 2512 29 2523 50 2523 8

Alta 2954 65 3284 50 2947 75

Produtividade Esperada SEM Irrigação ( lb/ac)

Classe Valor Prob (%) Valor Prob (%) Valor Prob (%)

Baixa 1898 45 1780 33 1907 17

Média 2512 24 2523 34 2523 50

Alta 2954 31 3284 33 2947 33

Custo da Irrigação por Acre

Custo sem Irrigação por Acre

Custo com Irrigação por Acre ($)

Preço do Produto ($/ton)

Preço do Produto ($/lb)

Lucro Esperado por Acre Com Irrigação

Lucro Esperado por Acre SEM Irrigação

2.373 2.540 2.558

320,0

2.800 2.904 2.736

97 68

270,0 270,0 270,0

440 360 360

305,0 315,0

141 90 93

35,0 45,0 50,0

0,17 0,14 0,14

180

Valores Médios para o Plantio de Amendoim em Solo "Dothan Loamy Sand" no Condado de J ackson, FL

Ano Neutro El Niño La Niña

Árvore de Decisões

800 Aversão ao Risco 6,56Vmax 200.000

Decisão CLIMA Prob R U( R )88.073 N 0,3 144.031 0,9925278

Irriga E.N. 0,3 77.249 0,92194490,9072581 L.N. 0,4 54.223 0,8322908

85.074 N 0,3 112.832 0,9766817Não Irriga E.N. 0,3 72.000 0,9070150

0,9303836 L.N. 0,4 74.061 0,9131864

80.000 Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,9288028

X U( X )V.E. 50.000 X1 0,5 100.000 0,9637363E.C. 20.000

E[U(X)] 0,4819 X2 0,5 0 0,00U(E.C.) 0,4818

Determinação do Coeficiente de Aversão ao Risco

Área da FazendaParâmetros

O Oráculo(ou o Valor Esperado da Informação Perfeita)

144.081

80.000

Irriga

Aluga

“N” “O Oráculo diz que será Ano Neutro”

Por exemplo, se “E.N” então será El Niño com certeza, isto é, Pr ( E.N | “E.N.”) = 1.

Portanto se “E.N.” então a melhor decisão é Alugar

Questão : Pr(“E.N.”) =? Resposta : Pr(“ E.N.”) = Pr(E.N.)= 0,3

99.209

Valor Esperado COM Informação do Oráculo = 99.209

Valor Esperado SEM Informação do Oráculo = 85.074

Valor Esperado da Informação do Oráculo =14.135

Aluga

0,3

0,3

0,4

“N”

“E.N”

“L.N” 80.000

Valor Esperado da Informação Perfeita

0,3 R ($) U( R )"N" IRRIGA 144.031 0,9925278

0,3V.E. 99.209 "E.N." ALUGA 80.000 0,9288028U.E. 0,948E.C. 89.500 0,4

U(C.E.) 0,948 "L.N." ALUGA 80.000 0,9288028

99.209

85.074

14.135

89.500

80.650

8.850

EC SEM a Informação Perfeita

EC DA Informação Perfeita

Valor Esperado COM a Informação PerfeitaValor Esperado SEM a Informação Perfeita

Valor Esperado DA Informação Perfeita

EC COM a Informação Perfeita

Valor Esperado da Informação Imperfeita

Expedito pode prever a fase do ENSO com 80% de acerto, e seus erros são igualmente distribuídos entre as demais alternativas. Ele está disposto a vender essa informação para o Emerson. Qual é o preço máximo que Emerson estaria disposto a pagar?

Caracterização do Previsor:

Pr(“N” | N)= 0,8 ; Pr(“E.N” | N) = 0,1; Pr(“L.N” | N) = 0,1

Pr(“N” | E.N)= 0,1; Pr(“E.N” | E.N) = 0,8; Pr(“L.N” | E.N) = 0,1

Pr(“N” | L.N)= 0,1; Pr(“E.N” | L.N) = 0,1; Pr(“L.N” | E.N) = 0,8

Valor da Informação Imperfeita:

Estrutura do Problema

NIrriga E.N.

L.N.

NNão Irriga E.N.

L.N.

Aluga Qualquer

NIrriga E.N.

L.N.

NNão Irriga E.N.

L.N.

Aluga Qualquer

NIrriga E.N.

L.N.

N"L.N" Não Irriga E.N.

L.N.

Aluga Qualquer

U.E.E.C.V.E. 85.074

COMPRA INFORMAÇÃO

"N"

"E.N"

80.650NÃO COMPRA NÃO IRRIGAProblema Original 0,9304

Árvore de Probabilidades: Teorema de Bayes

A AB0,8"N" 0,24

0,3 0,1N "E.N" 0,03

0,1"L.N" 0,03

0,1"N" 0,03

0,3 0,8E.N "E.N" 0,24

0,1"L.N" 0,03

0,1"N" 0,04

0,4 0,1L.N "E.N" 0,04

0,8"L.N" 0,32

B | A B AB0,7742

N 0,240,31 0,0968"N" E.N 0,03

0,1290L.N 0,04

0,0968N 0,03

0,31 0,7742"E.N" E.N 0,24

0,1290L.N 0,04

0,0789N 0,03

0,38 0,0789"L.N" E.N 0,03

0,8421L.N 0,32

A|B

Árvore Invertida

Pr R U( R )125.980 N 0,774194 144.031 0,9925278

X Irriga E.N. 0,096774 77.249 0,92194490,9650 L.N. 0,129032 54.223 0,8322908 1

0,31 125.980 103.878 N 0,774194 112.832 0,9766817"N" Não Irriga E.N. 0,096774 72.000 0,9219449

0,9650 0,9632 L.N. 0,129032 74.061 0,9131864 180.000Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,928880.740 N 0,096774 144.031 0,9925278Irriga E.N. 0,774194 77.249 0,9219449

0,9172 L.N. 0,129032 54.223 0,8322908 1

94.483 0,31 80.740 76.217 N 0,096774 112.832 0,9766817X COMPRA INFORMAÇÃO "E.N" Não Irriga E.N. 0,774194 72.000 0,9219449

0,9400 0,9288 0,9261 L.N. 0,129032 74.061 0,9131864 180.000

X Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,928863.131 N 0,078947 144.031 0,9925278Irriga E.N. 0,078947 77.249 0,9219449

94.483 0,8520 L.N. 0,842105 54.223 0,8322908 10,9400

85.000 0,38 80.000 76.959 N 0,078947 112.832 0,97668170,9398 "L.N" Não Irriga E.N. 0,078947 72.000 0,9219449

0,9288 0,9189 L.N. 0,842105 74.061 0,9131864 180.000

X Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,9288

U.E.E.C.V.E.

94.483 85.00085.074 80.650

9.409 4.350

85.074

EC COM Informação ImperfeitaEC SEM Informação Imperfeita

Valor Esperado DA Informação Imperfeita

Valor Esperado COM Informação ImperfeitaValor Esperado SEM Informação ImperfeitaValor Esperado DA Informação Imperfeita

80.650NÃO COMPRA NÃO IRRIGA 0,9304

Problema Original

Anexos

A Função Utilidade – Breve Introdução

John von Neumann and Oskar Morgensternem Theory of Games and Economic Behavior (1944).

Teoria da Escolha Racional sob Incerteza

Se as preferências (atitudes) do Decisor em situações de risco forem consistentes com um conjunto básico de axiomas, então existirá uma função Utilidade definida sobre os Resultados das decisões tal que, em uma situação complexa, a melhor decisão para ele é aquela que maximiza a sua Utilidade Esperada.

Loteria: Um conjunto de resultados incertos e suas respectivas probabilidades.

L1L2 significa “L1 preferível a L2” L1~ L2 significa “L1 e L2 são indiferentes”

Um Resultado A é equivalente a uma Loteria L que tem Prêmio A com probab. 1

Ex:

B

p

1- p

L:

A

A1A ~

Conceitos Primários:

Axiomas da Teoria de Utilidade Ordenação: O Decisor é sempre capaz de ordenar os resultados em ordem de preferência

•Comparabilidade: Para quaisquer resultados A e B, ou AB ou BA ou A~B

•Transitividade: Se A~B e B~C então A~C

Continuidade

Se AB e BC então existe uma probabilidade p tal que B ~ L: [(p, A) , (1- p, C)].

Nesse caso B é chamado de equivalente certo de L.

Monotonicidade:

Se AB e p>q então Lp Lq onde Lt : [ (t, A) , (1- t, B)]

Decomposição (“no fun in gambling” axiom )

Uma Loteria Composta é equivalente a uma Loteria Simples com iguais probabilidades em relação aos Prêmios, isto é [(p, [(q, A), (1- q, B)]) , (1- p, B)]~ [(pq, A) , (1- pq, B)]

Substituição:

Se L é uma loteria e CE é o seu equivalente certo então o Decisor sempre aceitará trocar o CE por L e vice-versa.

Propriedades da Função Utilidade

1. O resultado não se altera se U for submetida a uma transformação linear positiva, isto é U a + bU onde b>0

2. A utilidade de qualquer loteria é igual à utilidade esperada de seus resultados ou seja U(L)= U(x)f(x)dx

3. A loteria preferida é sempre aquela que tem a maior utilidade

Corolário:

O Equivalente Certo de uma loteria L é igual ao inverso da Utilidade de L:

EC(L) = U-1 (L)

Teorema de Bayes)(Pr}{ AeobabilidadA

n

jjj

iii

ABA

ABABA

1

|

||

Notação:

Considere um conjunto exaustivo de eventos de eventos mutuamente exclusivos

(Doenças)

mutuamente exclusivos

conjunto exaustivo

onde é o conjunto de todas as possibilidades (Identidade):

e um outro evento (Sintoma)

Conhecemos todas as probabilidades

Conhecemos também, portanto,

Questão: Qual a probabilidade de determinada “Doença”, dado o “Sintoma”?

njiAA ji 1,

ni AAA ...,, 2

IAAA ni ...2

IB

ii ABeA |

iii ABABA |

ABBA BABA

I

Resposta:

1}{ I

Exemplos de Variáveis de Decisão e de Estado

• Lançar ou não um novo produto

• Realizar testes

• Data de início do plantio

• Quantidade de irrigação utilizada

• Número de especialistas contratados

• Orçamento para P&D

• Gastos com Propaganda

• Demanda de um novo produto

• Preço dos produtos concorrentes

• Taxa de Juros

• Início da estação de chuvas

• Quantidade de precipitação no período

• Custo de Desenvolvimento

• Gastos em P&D

• Produtividade

Decisão Estado

Bibliografia Sugerida

1. Readings in Decision Analysis, Decision Analysis Group, Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson, SRI International, Menlo Park, California, 1977.

2. READINGS on The Principles and Applications of Decision Analysis, (Volumes I and II), Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson, Strategic Decisions Group, Menlo Park, California, 1984.

3. Howard Raiffa. Decision analysis: introductory lectures on choices under uncertainty. Addison-Wesley, 1968.

4. http://groups.msn.com/DecisionModeling/decisionanalysis1.msnw

5. http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd042/analise_decisao.pdf Em http://www.northworks.net/w_pub.htm:6. The Decision to Seed Hurricanes

(with R.A. Howard and J.E. Matheson), Science, Vol. 176, p. 1191-1202, 1972. 782k

7. Limitations, definitions, principles, and methods of risk assessmentScientific and Technical Review, International Office of Epizootics, 1995. 468k

8. The Invariance Approach to the Probabilistic Encoding of InformationPh. D. Thesis, Department of Operations Research, Stanford University, 1970. 5.9mb