elementos de análise numéricadif.e int. numéricas - derivação numérica: -aproximação das...
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Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
- derivação numérica:-aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas-diferenças finitas de primeira ordem-diferenças finitas de segunda ordem-formulas com precisão elevada-derivação com pontos não igualmente espaçados
- integração numérica:-Integração Newton-Cotes:
-regra de trapézios-regra de Simpson 1/3-regra de Simpson 3/8-integração com pontos não equidistantes
-Integração de funções:-método de Romberg-quadratura Gaussiana
Derivação e integração numéricas
Pontos mais importantes:
1
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente:-uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou trigonométrica- uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente impossível de ser derivada ou integrada directamente- conjunto dos pontos
Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada numericamente usando métodos aproximados!
Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço
e/ou tempo -------> derivação
- as leis de natureza são dadas por equações diferenciais
(mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.),
solução ------------> integração
2
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Derivação numérica de primeira ordem:
(i) diferença dividida finita progressiva:-a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma
função contínua:
f x f x f x x xf x
x xf x
nx x Ri i i i i
ii i
ni
i in
n( ) ( ) ( )( )( )
!( ) ...
( )
!( )( )
( ) ( )
11
1
2
12
12
-truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá:
f xf x f x
hh
f
hhi
i i i( )( ) ( )
( ) ( )1 0 0
-h=xi+1-xi (passo)-o erro é proporcional a h-o operador representa as diferença finitas progressivas
eq. *
3
truncatura
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
- Exemplo
1 0 0,54
2 0,25 0,49
3 0,5 0,32
4 0,75 0,01
x f(x)h
fii
2,025,0
54,049,0
h
)x(f)x(f
h
f
dx
df 121
0x
68,025,0
49,032,0
h
)x(f)x(f
h
f
dx
df 232
25,0x
24,125,0
32,001,0
h
)x(f)x(f
h
f
dx
df 343
5,0x
4
-0,2
-0,68
-1,24
-
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(ii) diferença dividida finita regressiva:
-duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um
ponto anterior:
f x f x f x hf x
h Ri i ii
n( ) ( ) ( )( )( )
!...( )
( )
11
22
2eq. **
- eq. ** pode ser rearrangada para a derivada:
f xf x f x
hh
f
hhi
i i i( )( ) ( )
( ) ( )1 0 0
-o erro é proporcional a h-o operador representa as diferença finitas regressivas
5
truncatura
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(iii) diferença dividida finita central:
-subtracção de eq.** na eq. * resulta:
f x f x f x hf x
hi i i( ) ( ) ( )( )( )
....( )( )
1 11
332
3
- rearrangando para a derivada temos:
f xf x f x
hh
f
hh
fhi
i i i( )( ) ( )
( ) ( )( )
....( )
1 1 2 23
2
20
20
3
6
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
7
- Exemplo
1 0 0,54
2 0,25 0,49
3 0,5 0,32
4 0,75 0,01
x f(x)i
2,025,0
54,049,0
h
)x(f)x(f
h
f
dx
df 122
25,0x
68,025,0
49,032,0
h
)x(f)x(f
h
f
dx
df 233
5,0x
24,125,0
32,001,0
h
)x(f)x(f
h
f
dx
df 344
75,0x
44,05,0
54,032,0
h2
)x(f)x(f
h2
f
dx
df 132
25,0x
96,05,0
49,001,0
h2
)x(f)x(f
h2
f
dx
df 243
5,0x
h
fih
fih2
fi
-0,2 - -
-0,68 -0,2 -0,44
-1,24 -0,68 -0,96
- -1,24 -
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Derivação numérica de segunda ordem:
(i) diferença dividida finita progressiva:
-a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h:
f x f x f x hf x
hi i ii( ) ( ) ( )( )
( )
!( ) ...( )
( )
21
222
22
-multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na formula seguinte para a segunda derivada:
eq. ***
f xf x f x f x
hh
f
hhi
i i i i( )( ) ( ) ( )
( ) ( )2 12
2
2
20 0
8
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
(ii) diferença dividida finita regressiva:
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
f xf x f x f x
hh
f
hhi
i i i i( )( ) ( ) ( )
( ) ( )2
0 01 22
2
2
(iii) diferença dividida finita central:
f xf x f x f x
hh
f
hhi
i i i i( )( ) ( ) ( )
( ) ( )1 12
22
222
0 0
9
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
- Exemplo
1 0 0,54
2 0,25 0,49
3 0,5 0,32
4 0,75 0,01
x f(x)i
10
92,10625,0
54,049,0232,0
h
)x(f)x(f2)x(f
h
f
dx
fd2
1232
22
25,0x
2
2
92,10625,0
54,049,0232,0
h
)x(f)x(f2)x(f
h
f
dx
fd2
1232
12
0x
2
2
24,20625,0
49,032,0201,0
h
)x(f)x(f2)x(f
h
f
dx
fd2
2342
22
25,0x
2
2
92,10625,0
54,049,0232,0
h
)x(f)x(f2)x(f
h
f
dx
fd2
1232
32
5,0x
2
2
24,20625,0
49,032,0201,0
h
)x(f)x(f2)x(f
h
f
dx
fd2
2342
42
75,0x
2
2
24,20625,0
49,032,0*201,0
h
)x(f)x(f2)x(f
h
f
dx
fd2
2342
32
5,0x
2
2
2i
2
h
f2
i2
h
f2
i2
h
f
-1,92 - -
-2,24 - -1,92
- -1,92 -2,24
- -2,24 -
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Formulas com precisão elevada:
-o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns termos da expansão de Taylor:
f x f x f x x xf x
x xi i i i ii
i i( ) ( ) ( )( )( )
!( ) ...( )
( )
11
1
2
12
2 truncatura
-rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:
f xf x f x
h
f xh h
f x f x
h
f x f x f x
hh h
f x f x f x
hh
ii i i i i i i i
i i i
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
1 2 1 2 12
2
2 1 2
20
2
20
4 3
20 =
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica
Derivação com pontos não igualmente espaçados:
-às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ---->
os métodos anteriores não podem ser usados
-solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto
de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador:
f x
x x x
x x x xf x
x x x
x x x xf x
x x x
x x x xf xi i
i i i ii
i i
i i i ii
i i
i i i ii( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
2 2 21
1 11
1 1
1 1
1
1 1 11
-vantagem: x pode ter qualquer valor-desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin.
13
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Diferenciação numérica
- a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os
dados ------> a primeira aproximação com regressão seguida de derivação
- também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo
essencialmente instável -------> pode conduzir a erros importantes
14
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-substituir uma função muito complicada ou conhecida apenas sob forma
discreta por uma função de aproximação facilmente integrável:
sendo fn(x) um polinómio de grau n (bom aproximador e facilmente
integrável)
-formulas fechadas: os valores de função são conhecidas nos limites
(interpolação)
-formulas abertas: os limites de integração são fora do intervalo dos
dados disponíveis (extrapolação)-usado mais para a solução de
equações diferenciais ordinárias
I f x dx f x dxa
b
n
a
b
( ) ( )
15
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regra dos trapézios:
-o polinómio aproximador de função é uma recta (grau 1)
-a área de baixo do aproximador é a área de um trapézio calculado:
A=[(b+B)/2]hb- base menorB-base maiorh-altura
-aplicando a esta regra para o aproximador:
I f x dxf a f b
b aa
b
( )( ) ( )
( )2
16
Erro
In
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-um polinómio de grau um pode ser escrito:
f x f af b f a
b ax a( ) ( )
( ) ( )( )
-integrando esta função entre a e b temos que:
2
ab
ab
)a(f)b(f)b(af)a(bf
2
x
ab
)a(f)b(fx
ab
a)b(fb)a(f
2
x
ab
)a(f)b(fx
ab
)a(af)b(afx
ab
a)a(fb)a(f
axab
)a(f)b(f
2
x
ab
)a(f)b(fx)a(fdx)ax(
ab
)a(f)b(f)a(fI
22b
a
2
b
a
2
b
a
b
a
2
17
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
I bf a af bf b f a
b a
b abf a af b
f b f a
b a
b a b a
bf a af bbf b bf a af b af a bf a af b bf b af a
b f a f b a f b f a f a f b
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(
2 2
2 2
2 2
2 2b a )
-erro da regra dos trapézios:
-a segunda derivada de uma função linear é zero ------> exacto
E f b at 1
123( )( )
18
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Aplicação múltipla da regra dos trapézios:
c- ponto médio do intervalo de interesseh=(b-a)/2
2
h
2
baf)a(fdx)x(fI
ha
a
1
2
h
2
baf)b(fdx)x(fI
b
ha
2
I I I f x dxh
f a fa b
f ba
b
1 2 2
22
( ) ( ) ( )
19
In
Erro
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-quando temos n+1 pontos igualmente espaçados (x0,x1,...,xn):
I f x dx f x dx f x dx f x dx
f x f xh
f x f xh
f x f xh
x
x
x
x
x
x
x
x
n n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
0 0
1
1
2
1
0 1 1 2 12 2 2
onde h=(b-a)/n
I f x f x f xh b a
nf x f x f xi
n
n i
n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02
1
02
1
22 2
2
-erro de integração: -o erro para cada intervalo pode ser somado
En
b a f En
b a fti
nf
f
n
ii
n
1
12
1
1233
12
31
( ) ( ) ( )
( )
20
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
0 0 0.54
1 0.25 0.49
2 0.5 0.32
3 0.75 0.01
4 1 0.3
5 1.25 0.5
x f(x)i
13.05.0)3.001.032.049.0(254.052
025.1)x(f)x(f2)x(f
n2
abI n
1n
2i0
21
- Exemplo
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regras de Simpson:
-uma maneira para melhorar a aproximação é aumentar o grau da função
aproximadora (mais pontos necessários)
-regra de Simpson 1/3: pol. de grau 2 ----> 3 pontos
-regra de Simpson 3/8: pol. de grau 3 ----> 4 pontos
Regra de Simpson 1/3:
-na expressão anterior f2(x) é um polinómio de Lagrange, por isso:
I f x dx f x dxa
b
a
b
( ) ( )2
Ix x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x xf x dx
x
x
1
0 1
2
0 20
0
1 0
2
1 21
0
2 0
1
2 12
0
2
( ) ( ) ( )
22
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-a solução do integral do polinómio é dado por a eq. seguinte (após algumas manipulações):
Ih
f x f x f x 3
40 1 2( ) ( ) ( )
onde: x0=a ; x2=b ; x1=(b+a)/2 ; h=(b-a)/2
-erro:
-curioso que o resultado é correcto até ao terceiro grau (exacto para uma função cúbica) usando uma parábola
E f b at 1
28804 5( ) ( )( )
23
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3:
-para n (h=(b-a)/n) intervalos igualmente espaçados:
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
I f x dx f x dx f x dx f x dx
hf x f x f x
hf x f x f x
hf x f x f x
x
x
x
x
x
x
x
x
n n n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
0 0
2
2
4
2
34
34
340 1 2 2 3 4 2 1
ou
Ib a
nf x f x f x f xi
i
n
ii
n
n
34 20
1 3 5
1
2 4 6
2
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,
-o erro é dado pelo soma dos erros de cada intervalo:
-obrigatório o número de intervalos ser par
En
f b at 1
180 44 5( ) ( )
24
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
0 0 0.54
1 0.25 0.49
2 0.5 0.32
3 0.75 0.01
4 1 0.3
5 1.25 0.5
6 1.5 0.8
x f(x)i
- Exemplo
548.08.0)3.032.0(2)5.001.049.0(454.063
05.1
)x(f)x(f2)x(f4)x(fn3
abI n
2n
,6,4,2ii
1n
,5,3,1ii0
25
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regra de Simpson 3/8:
-na expressão anterior f3(x) é um polinómio de Lagrange, por isso
precisamos 4 pontos
I f x dx f x dxa
b
a
b
( ) ( )3
-o resultado de integração é dado por:
Ih
f x f x f x f x 3
83 30 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )
onde: x0=a ; x3=b ; h=(b-a)/3
-mesmo que usemos um aproximador de grau superior do que na regra de Simpson 1/3, o erro de integração têm a mesma grandeza:
E f b at 1
64804 5( ) ( )( )
26
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
0 0 0.54
1 0.25 0.49
2 0.5 0.32
3 0.75 0.01
4 1 0.3
5 1.25 0.5
x f(x)i
- Exemplo
164.05.03.0301.0332.08
25.03
)x(f)x(f3)x(f3)x(f8
h3I 3210
27
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Pontos desigualmente espaçados:
-temos que avaliar o integral para cada intervalo individualmente (par de
pontos), depois somar o resultado------->regra de trapézios:
I f x dx f x dx f x dx f x dx
f x f xh
f x f xh
f x f xh
x
x
x
x
x
x
x
x
n nn
n
n
n
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
0 0
1
1
2
1
0 11
1 22
12 2 2
-se alguns segmentos têm amplitudes iguais, agrupamento é possível-----> regra de Simpson
28
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, integração de equações
- os métodos discutidos até este ponto (formulas de Newton-Cotes) são
particularmente úteis quando os dados estão disponíveis como um
conjunto dos valores
- o erro cometido com a aproximação diminui com o aumento do número
de intervalos/pontos (n)
- mas para um número de intervalos muito elevado, os erros de
arredondamento tornam-se dominantes ------> pouca precisão
- quando a função é conhecida existem outros métodos mais eficientes
29
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, integração de equações
Quadratura Gaussiana:
-anteriormente, o integral de uma função foi determinado usando (várias)
funções de aproximação e intervalos fixos, e.g.:
-agora, suponha-se que escolhemos outros dois pontos na curva (xo e x1),
por forma a que os erros de aproximação negativos e positivos se
anulem:
If a f b
b a
( ) ( )
( )2
x
f(x)
a b
f(a)
f(b)
x0 x130
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
-a expressão da regra de trapézios pode ser escrita:
I c f a c f b 0 1( ) ( )
-as constantes c0 e c1 podem ser determinadas baseadas no facto de que o resultado deve ser exacto para uma constante e uma recta, e.g.:
c f a c f b dx b a c f a c f b xdxb a
b a
b a
b a
0 12
2
0 12
2
1 0( ) ( ) ( ) ( )( )/
( )/
( )/
( )/
e
onde
c cb a
0 1 2
-agora, suponha que os pontos da função também são desconhecidos:
I c f x c f x 0 0 1 1( ) ( )
Integração numérica, integração de equações
31
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, integração de equações
-4 incógnitas ------> precisamos 4 condições-agora suponha-se que a fórmula anterior é exacta para uma constante (y=1), uma recta (y=x), uma parábola (y=x2) e uma cúbica (y=x3):
c f a c f b dx
c f a c f b xdx
c f a c f b x dx
c f a c f b x dx
0 11
1
0 11
1
0 12
1
1
0 13
1
1
1 2
0
2
3
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
c0=c1=1
x
x
0
1
1
30577350629
1
30577350629
. ...
. ...
I f f
( ) ( )1
3
1
3fórmula de Gauss-Legrende com dois pontos
32
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, integração de equações
-a expressão anterior só funciona, se os limites de integração são -1 a 1 (generalidade)-qualquer limite pode ser transformado usando uma mudança de variável:
x=a0+a1xd
x=a ---> xd=-1x=b ---> xd=1
a=a0-a1
b=a0+a1
a0=(a+b)/2a1=(b-a)/2
xa b b a x b a
dxdd
( ) ( )
2 2 dx
Formulas com mais pontos:
I c f x c f x c f xn n 0 0 1 1 1 1( ) ( ) ... ( )
-2n incógnitas ------> 2n equações
33
-os valores de ci em função de número de pontos encontram-se em livros!
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
n Peso (ci) Valor de xi
2 c1 = 1.000000000
c2 = 1.000000000
x1 = -0.577350269
x2 = 0.577350269
3 c1 = 0.555555556
c2 = 0.888888889
c3 = 0.555555556
x1 = -0.774596669
x2 = 0.000000000
x3 = 0.774596669
4 c1 = 0.347854845
c2 = 0.652145155
c3 = 0.652145155
c4 = 0.347854845
x1 = -0.861136312
x2 = -0.339981044
x3 = 0.339981044
x4 = 0.8611363125 c1 = 0.236926885
c2 = 0.478628670
c3 = 0.568888889
c4 = 0.478628670
c5 = 0.236926885
x1 = -0.906179846
x2 = -0.538469310
x3 = 0.000000000
x4 = 0.538469310
x5 = 0.906179846
6 c1 = 0.171324492
c2 = 0.360761573
c3 = 0.467913935
c4 = 0.467913935
c5 = 0.360761573
c6 = 0.171324492
x1 = -0.932469514
x2 = -0.661209386
x3 = -0.2386191860
x4 = 0.2386191860
x5 = 0.661209386
x6 = 0.932469514
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, integração de equações
Erro da quadratura Gaussiana:
En
n nf
nn
2 1
2 3 2 2
2 3 4
32 2!
( ) ( )!( )( )
n -número de pontos menos um (nº de segmentos)
11,
f n( ) ( )2 2 -derivada de ordem (2n+2) da função após mudança de variáveis
35
n=2 )(f1094,4)(f
)!6()9(
!32E )6(5)6(
3
47
3
t )ab)((f12
1E
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
Integração numérica, integração de equações
- Exemplo
H=5 m
3 m
x0= 1 m
Agua
0
gIApdxxxx2)xhH(gApF 0
x
0
20f0
0
hf= 1 m
202)( iiifi xxxxhHf
36
Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas
- ExemplogI2Apdxxxx)xhH(g2ApF 0
x
0
20f0
0
ddddd dx5.0dx
2
abdx )x(1
2
1
2
x)01()10(
2
x)ab()ba(x
1
1
d
2
d0ddf
1
0
20f dx5.0)x(1
2
1x)x(1
2
1))x(1
2
1hH(dxxxx)xhH(I
)x(fc)x(fc)x(fc)x(fcI 33221100
5.0)x(1 2
1x)x(1
2
1))x(1
2
1hH()x(f
2
d0ddf
-0,86113 0,49956 0,34785
-0,33998 0,86284 0,65214
0,33998 0,78291 0,65214
0,86113 0,39011 0,34785
xd f(x) ci
0
1
2
3
I=1,3827
N1,1056693827,181,91024
10gI2ApF 350
37