elementos de matemática básica - equações e inequações
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Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01TRANSCRIPT
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Valor Numérico de Expressões Algébricas
Considerando que , calcule y quando x = -1
𝑦=𝑥3−2.x+1
𝑦=(−𝟏)3−2.(−𝟏)+1
𝑦=−1+2+1
𝑦=2
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Exercícios – Calcule:
1) + 1, para x = 12) , para x = -13) , para x = 24) , para x = -25) , para x = -2
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Produtos Notáveis
¿
¿
¿
¿
(a+b ) . (a−b )=𝑎2−𝑏2
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Exercícios – Desenvolva os Produtos
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Fatoração
É o processo de decomposição de uma expressão algébrica como produto de outras expressões algébricas, usando a propriedade distributiva.
Propriedade Distributiva 𝑎 .𝑏+𝑎 .𝑐=𝑎 . (𝑏+𝑐 )
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O que significa Fatorar?
É escrever uma equação algébrica de uma forma mais simples
6bx7 =4ay2
M.D.C.
2 ( 2 ay2 + 3bx7 )
Máximo Divisor Comum
Divisores de 4 → 2 , 1
Divisores de 6 → 3 , 2 , 1 O MDC entre 4 e 6 é 2
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Exercícios – Fatore as Expressões:
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Exercícios - Simplificação
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Equações do 1º Grau
Forma Geral
Solução
𝐴 .𝑥=𝐵 onde A ≠ 0
𝑥=𝐵𝐴
4 𝑥=8❑⇒
𝑥=84
❑⇒
𝑥=2
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Exercícios – Resolva as Equações
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Inequações do 1º Grau
Forma Geral
Solução
𝐴 .𝑥≤𝐵
𝑥≤𝐵𝐴
ou
𝐴 .𝑥≥𝐵
𝑥≥𝐵𝐴
4 𝑥≥8❑⇒
𝑥≥84❑⇒
𝑥≥2
0 1 2 x
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Exercícios – Resolva as Desigualdades:
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Equações do 2º Grau
𝐴 .𝑥2+𝐵 . 𝑥+𝐶=0Forma Geral
Solução x=−𝐵±√𝐵2−4.𝐴 .𝐶2.𝐴
Fórmula de Báskara
Se , a equação tem duas raízes reais distintas
Se , a equação tem duas raízes reais e iguais
Se , a equação não tem raízes reais
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Equações do 2º Grau
𝑥2−5. 𝑥+6=0A = 1B = -5C = 6
x=−𝐵±√𝐵2−4.𝐴 .𝐶2.𝐴
x=− (−5 )±√ (−5 )2−4. (1 ) . (6 )
2.(1)→𝑥=5±√25−24
2
x=5±12 X2 = 3
X1 = 2
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Exercícios – Resolva as Equações:
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Sinal do Trinômio do 2º Grau
Se , a equação tem duas raízes reais distintas
x1 x2
Mesmo sinal de A Mesmo sinal de ASinal diferente de A
𝑨<𝟎 𝑨>𝟎
- - - +++
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∆=𝐵2−4 𝐴𝐶>0
𝑦=𝑥2−7. 𝑥+12A = 1B = -7C = 12
∆=𝐵2−4 . 𝐴 .𝐶
∆=(−7)2−4 .(1) .(12)
∆=49−48
∆=1
X1 = 3 X2 = 4
2 raízes reais e distintas
𝑨>𝟎
- ++ 3 4
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Sinal do Trinômio do 2º Grau
Se , a equação tem duas raízes reais e iguais
X1 = x2
Mesmo sinal de A Mesmo sinal de A
𝑨<𝟎
𝑨>𝟎
- -
++
X1 = x2
X1 = x2
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∆=𝐵2−4 𝐴𝐶=0
𝑦=4.𝑥2A = 4B = 0C = 0
∆=𝐵2−4 . 𝐴 .𝐶
∆=(0)2−4 .(4) .(0)
∆=0−0
∆=0
X1 = 0 X2 = 0
2 raízes reais e iguais
𝑨>𝟎
++ 0
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Sinal do Trinômio do 2º Grau
Se , a equação não tem raízes reais
Mesmo sinal de A
𝑨<𝟎
𝑨>𝟎
- -
++
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∆=𝐵2−4 𝐴𝐶<0
𝑦=𝑥2+𝑥+1A = 1B = 1C = 1
∆=𝐵2−4 . 𝐴 .𝐶
∆=(1)2−4 .(1) .(1)
∆=1−4
∆=−3Não tem raízes reais
𝑨>𝟎
++
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Inequações do 2º Grau
𝑥2−5 𝑥+6<0
Negativo
𝑥2−2 𝑥−15>0
Positivo
X1 = 2X2 = 3
X1 = -3X2 = 5
𝑨>𝟎
- ++ -3 5
𝑨>𝟎
- ++ 2 3
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Inequações do 2º Grau
𝑥2−5 𝑥+6<0
Exclui o 0 Inclui o 0
𝑨>𝟎
- ++ 2 3
𝑨>𝟎
- ++ 2 3
𝑥2−5 𝑥+6≤0
“Bolinha aberta” “Bolinha fechada”
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Exercícios – Resolva as Inequações do 2º Grau
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Sistema de Equações do 1º Grau
Forma Geral
Exemplo
𝐴 .𝑥+𝐵 . 𝑦=𝐶𝐴 ′ .𝑥+𝐵 ′ . 𝑦=𝐶 ′
5.𝑥+3. 𝑦=13−4.𝑥+9. 𝑦=1
3 Formas de Resolução• Por adição• Por comparação• Por substituição
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Por adição
5.𝑥+3. 𝑦=13−4.𝑥+9. 𝑦=1
Multiplicando-se a 1ª equação por (-3)
−15. 𝑥−9. 𝑦=−39−4.𝑥+9. 𝑦=1
Somando membro a membro as 2 equações
−19. 𝑥=−38 𝒙=𝟐
Fazendo x = 2 na 2ª equação, temos −4.(2)+9. 𝑦=1
9. 𝑦=9 𝒚=𝟏
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Por comparação
5.𝑥+3. 𝑦=13−4.𝑥+9. 𝑦=1
𝑦=13−5.𝑥3
𝑦=1+4. 𝑥9
13−5.𝑥3
=1+4. 𝑥9
9.(13−5. 𝑥)3
=1+4. x
39−15. 𝑥=1+4.𝑥
𝒙=𝟐𝑦=1+4. (2)9
𝒚=𝟏
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Por substituição
5.𝑥+3. 𝑦=13−4.𝑥+9. 𝑦=1
𝑦=13−5.𝑥3
Substituindo o valor de y na 2ª equação
−4.𝑥+9. (13−5.𝑥3 )=1 𝒙=𝟐
𝒚=𝟏
Substituindo o valor de x na equação
𝑦=13−5.(2)
3
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Exercícios – Resolver os Sistemas
= 101