elena del rey - wordpress.com · 2018-06-14 · parte de los estudiantes. ... resolución de estos...

Prácticas de economía con ordenador

Elena del Rey

Renan Goetz

Núria Planells

José Ignacio Silva

Àngels Xabadia

Con la colaboración de:

Arnau Canelles

Cristina Farràs

Capítulo 1. Introducción .................................................................................. 4

Capítulo 2. Ciclo económico ......................................................................... 10

Capítulo 3. Modelo IS-LM .............................................................................. 25

Capítulo 4. Modelo de Dornbusch ................................................................ 36

Capítulo 5. Expectativas y política económica ............................................ 48

Capítulo 6. Modelo de Fisher ......................................................................... 65

Capítulo 7. Modelos de pensiones ................................................................. 74

Capítulo 8. Modelo de equilibrio general e incidencia impositiva ............. 84

Capítulo 9. El residuo de Solow .................................................................... 99

Capítulo 10. La trampa de la pobreza ........................................................... 108

Capítulo 11. Modelo de Ramsey .................................................................... 120

Capítulo 12. Externalidades y eficiencia ....................................................... 128

Capítulo 13. Impuestos y reembolsos .......................................................... 134

Capítulo 14. Doble dividendo ......................................................................... 146

Capítulo 15. Gestión de recursos no renovables ......................................... 153

Capítulo 16. Rotación forestal óptima .......................................................... 168

Capítulo 17. Gestión pesquera ...................................................................... 174

Índice

Introducción 4

Capítulo 1. Introducción

La reestructuración de los estudios dentro del Espacio Europeo de Educación Superior plantea un reto a la comunidad universitaria y hace necesario el replanteamiento de las materias dentro de cada titulación, tanto en sus contenidos como en los métodos docentes que aplicar para conseguir los objetivos deseados. En el proceso de aprendizaje, el papel del alumno ha de evolucionar hacia una participación mucho más activa, mientras que el profesor tiene que reforzar su papel de tutor.

De manera paralela, las mejoras informáticas de las últimas décadas han sido notables. La presencia de los ordenadores personales, tanto en el ámbito doméstico como profesional, así como su mejor capacidad de memoria y velocidad de cálculo han alterado sustancialmente las posibilidades educativas.

La utilización de la informática en la enseñanza superior permite ahorrar una parte del tiempo que antes se tenía que dedicar al estudio de procedimientos analíticos específicos para resolver problemas concretos. Este tiempo se puede utilizar para reforzar aspectos más generales de la disciplina; por lo tanto, la enseñanza puede centrarse en la interpretación de los resultados más allá de su cálculo.

En las materias que tratan la economía es muy importante la realización de prácticas, a ser posible con datos reales o como mínimo simulados, que permitan replicar el comportamiento de los agentes. El trabajo de los estudiantes en las aulas de informática viene a sustituir en gran medida los laboratorios experimentales tradicionales de otras disciplinas. La función básica de estas sesiones es mejorar las habilidades de análisis de los estudiantes sin los inconvenientes de la realización de cálculos largos y tediosos. Su poder puede resumirse con las palabras de un antiguo proverbio chino: Escucho y olvido, veo y recuerdo, hago y lo entiendo.

Adicionalmente, la elaboración de material docente que facilite el aprendizaje de estas materias dentro del EEES, posibilita que los alumnos profundicen más en el conocimiento de la materia y adquieran una mayor destreza en la resolución de los ejercicios. De esta manera se consigue una mayor autonomía en el aprendizaje por

Introducción 1

Introducción 5

parte de los estudiantes. Con el diseño y la elaboración de estas prácticas informáticas se pretende que los alumnos puedan aprender a analizar datos y resolver modelos económicos con la ayuda del ordenador.

Dentro la gama de recursos disponibles, como son los paquetes estadísticos o los programas matemáticos, las hojas de cálculo se han convertido en uno de los usos más extensos de los ordenadores personales en el grado de economía. En particular, la herramienta del Microsoft Excel–Solver se ha descrito como una herramienta de optimización económica flexible y fácil de utilizar (MacDonald, 1996). Desde la introducción de ordenadores en las aulas, diversos autores han desarrollado hojas de cálculo del Excel para resolver problemas económicos (Mixon y Tohamy, 1999; Nævdal, 2003; Strulik, 2004; Gilbert y Oladi, 2011).

Los autores de este libro hemos aplicado la herramienta del Solver del Excel en la enseñanza de temas de economía aplicada. En este sentido, la experiencia docente ha sido muy positiva y por eso hemos decidido compartirla, mediante la publicación de una serie de ejercicios básicos para la enseñanza de asignaturas como la macroeconomía, la economía aplicada, la economía del medio ambiente o la economía pública. En este libro intentamos poner al alcance un número asequible de prácticas, con el detalle suficiente como para que el estudiante pueda orientarse mejor en la resolución de estos ejercicios, bien sea en las clases o bien delante del ordenador de su casa. Estas prácticas no son extensivas. La elección se ha hecho con el criterio de incluir aquellas más relevantes a las asignaturas de tercero y cuarto del grado de Economía en la Universidad de Girona. El cuaderno que tenéis en las manos está principalmente diseñado para ayudar a entender la teoría y el comportamiento de los agentes y datos económicos.

El libro consta de 16 prácticas, que se encuentran solucionadas en los capítulos 2 a 17. Aunque cada una de ellas forma una unidad en sí misma, hemos intentado que guarden un cierto orden lógico. Así, en el segundo capítulo describiremos los ciclos económicos de España, analizado los picos y fondo, la amplitud, la duración, la volatilidad y la correlación, a partir de los componentes de la demanda agregada. Esto se hace utilizando dos herramientas diferentes: las tasas de crecimiento y el filtro Hodrick-Prescott. En el tercer capítulo utilizaremos el Solver para encontrar el equilibrio del sistema de un modelo macroeconómico desde la perspectiva clásica y keynesiana (modelo IS-LM). En el cuarto capítulo trabajaremos el modelo de Dornbusch, también conocido como modelo de sobrerreacción (overshooting) del tipo de cambio. Introduciremos las expectativas y la política económica en el quinto capítulo. En el sexto capítulo trabajaremos el modelo de elección intertemporal del consumo. En el séptimo construiremos un modelo de ciclo vital para examinar cómo distintos modelos de pensiones afectan a las decisiones de ahorro individuales y al bienestar.

En el octavo capítulo introduciremos el modelo del equilibrio general. En primer lugar, definiremos los tres agentes que de manera habitual podemos encontrar en la

Introducción 6

economía tomando decisiones: las familias, las empresas y el gobierno. Analizaremos las decisiones de consumo y ocio de la familia y las de la empresa, examinando su comportamiento ante cambios en determinadas variables. Finalmente, desarrollaremos un equilibrio competitivo donde aparezcan las familias, las empresas y el gobierno, para analizar cómo interactúan simultáneamente.

En los capítulos noveno y décimo trabajaremos con el modelo de crecimiento de Solow. En primer lugar, analizaremos el residuo de Solow con la finalidad de estudiar la gran depresión de Argentina y miraremos cuál es el factor que más ha influido en esta depresión. Seguidamente, utilizaremos el modelo de Solow para estudiar el problema conocido como trampa de la pobreza. Uno de los supuestos básicos del modelo es que la tasa de ahorro viene dada y es constante a lo largo del tiempo, pero en realidad, la decisión sobre cuánto consumir y qué cantidad ahorrar se hace de forma conjunta y puede variar en cada período. En el undécimo capítulo introduciremos el modelo de Ramsey con el objetivo de incorporar las decisiones de ahorro y consumo que maximicen la función de utilidad de las familias.

En el capítulo duodécimo analizamos en qué manera la presencia de una externalidad afecta el óptimo privado de una empresa y determinamos el impuesto óptimo que corrige la externalidad. La política ambiental puede sustituir instrumentos obligatorios por instrumentos mixtos que tienen elementos obligatorios y voluntarios a la vez. En el capítulo decimotercero estudiamos el caso donde la empresa contaminante puede someterse voluntariamente a un control más restrictivo a cambio de una reducción del impuesto sobre el contaminante. En el capítulo decimocuarto nos preguntamos si existe un doble dividendo al aumentar los impuestos ambientales y reducir impuestos sobre el trabajo. En concreto, analizamos numéricamente si en presencia de un impuesto sobre el trabajo, el aumento del bienestar debido a la introducción de un impuesto ambiental compensa la pérdida del bienestar debido al aumento de los precios reales. En el capítulo decimoquinto examinamos la gestión óptima de un recurso no renovable. En concreto calculamos la trayectoria óptima de la extracción en una mina. Finalmente, en los dos últimos capítulos analizamos la gestión óptima de recursos renovables. En el capítulo decimosexto determinamos la rotación óptima de un rodal de árboles, por ejemplo, la tala y plantación de árboles, y en el capítulo decimoséptimo determinamos la captura óptima de peces en una situación de propiedad común (libre acceso) y de propiedad privada.

A lo largo de todo el libro se utiliza la negrita para los menús y nombres de variables en el Excel. Es necesario indicar que aunque las técnicas se explican con detalle, se supone que el alumno está familiarizado con el programa Excel.

Al hacer una práctica de Excel con los alumnos, es muy habitual observar diferentes maneras de diseñar las hojas de cálculo, con gran variedad de estilos y configuraciones. Pensando en esto y para evitar confusiones, hemos preferido escribir las fórmulas con el nombre de las variables en lugar de las filas y columnas. De este modo, cuando hablamos del PIB, por ejemplo, se tendrá que ir a buscar la celda

Introducción 7

específica donde figure esta variable. En determinados casos donde es necesario, escribimos el nombre de la celda acompañado de la figura donde se puede observar su contenido.

Finalmente, como el Solver es una herramienta que no figura en el Excel de manera predeterminada, es necesario explicar cómo instalarlo. Para hacerlo, hemos de ir a la pestaña de Personalizar barra de herramientas de acceso rápido y seleccionar la opción Más comandos...

FIGURA 1.1

Una vez allí vamos a la pestaña Complementos, en la parte derecha buscamos la opción Solver y una vez la tenemos seleccionada clicamos la opción Ir....

Introducción 8

FIGURA 1.2

Nos saldrá un recuadro como el de la figura 1.3. Tenemos marcar Solver, y cuando veamos que aparece con un clic azul conforme la herramienta está seleccionada ya podemos pulsar Aceptar.

FIGURA 1.3

De esta manera, la herramienta nos aparecerá en Datos, Solver.

Introducción 9

FIGURA 1.4

Referencias

Gilbert, J. y Oladi, R. 2011. Excel Models for International Trade Theory and Policy: An Online Resource. The Journal of Economic Education 42 (1): 95.

MacDonald, Z. 1996. Economic optimisation: an Excel alternative to Estelle et. al's. GAMS approach. Computers in Higher Education Economics Review 10 (3): 2-5.

Mixon, J. W. y Tohamy, S. M. 1999. The Heckscher-Ohlin model with variable input coefficients in spreadsheets. Computers in Higher Education Economics Review 13(2): 4-6.

Nævdal, E. 2003. Solving Continuous-Time Optimal-Control Problems with a Spreadsheet. The Journal of Economic Education 34 (2): 99-122.

Strulik, H. 2004. Solving Rational Expectations Models Using Excel. Journal of Economic Education 35(3): 269-283.

Ciclo Económico 10

Capítulo 2. Ciclo económico

En este capítulo describiremos el ciclo económico de España, analizando los picos y fondos, la amplitud, la duración, la volatilidad y la correlación, a partir de los componentes de la demanda agregada.

Los ciclos económicos son las fluctuaciones de la actividad económica a corto plazo alrededor de su tendencia. Los ciclos económicos se caracterizan por períodos de expansión de la actividad económica seguidos por períodos de recesión. El pico o cima determina el punto (momento) en que la economía pasa de una expansión a una recesión económica. Por su parte, el fondo o valle determina el punto en el cual la economía pasa de una recesión a una expansión económica. Para saber la duración y amplitud de un ciclo económico, es necesario tener dos picos o bien dos fondos.

Para determinar la duración de los ciclos y su amplitud e intensidad podemos utilizar dos criterios diferentes. El primer criterio se formula a partir de tasas de crecimiento, mientras el segundo criterio utiliza el filtro Hodrick-Prescott, criterio que explicaremos posteriormente en este mismo capítulo.

Empezaremos por analizar los picos y los fondos a partir del criterio 1, es decir, a partir de las tasas de crecimiento. Este criterio nos dice que un pico se produce en el trimestre que precede a dos trimestres consecutivos de reducción del PIB, después de un período de expansión económica; y que un fondo es un trimestre que precede a dos trimestres consecutivos de crecimiento positivo del PIB, después de un período de recesión.

Empezamos por obtener los datos, que cogeremos de Eurostat. Nos vamos a Eurostat, Stadistics data base (http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/portal/ statistics/search_database) y en Search in tree ponemos GDP. Vamos a Economy and finance, National accounts (including GDP), Quarterly national accounts, GDP and main components, GDP and main components – volumes. En este momento se nos cargará una nueva página. Vamos a Select data y allí tenemos que seleccionar:

Ciclo económico 2

Ciclo Económico 11

• GEO, Spain • INDIC_NA, Gross domestic product at market prices, Final consumption

expenditure of households, Final consumption expenditure of general government, Gross fixed capital formation, Exports of goods and services, Imports of goods and services.

• S_ADJ, seasonally adjusted and adjusted data by working days • TIME, all • UNIT, 12000 (significa a precios del año 2000).

Si vamos a Select overview, se puede ver todo lo que se ha seleccionado, y tendría que salir lo siguiente,

FIGURA 2.1

Ahora volemos a Select data y hacemos Update. En el lado derecho de la página, nos saldrán los datos de España. Veremos que tan solo hay datos a partir del primer trimestre de 1995. Vamos a Download, situado en un icono de la parte superior de la página, seleccionamos la casilla Full extraction [6 data tables], porque si no solo nos descargaría el PIB y marcamos Download in Excel Format.

El siguiente paso es seleccionar las filas, y en una nueva página del Excel hacemos pegado especial, y seleccionamos las casillas Valores y Transponer. Si nos quedara el último año en la primera celda, tenemos que girar los datos. Lo podemos hacer

marcando el icono 𝑨𝒁! (Hemos de saber que este icono ordenará los datos teniendo

en cuenta la columna de más a la izquierda.)

Ciclo Económico 12

2.1 Análisis del ciclo

Una vez tenemos los datos ya podemos hacer el análisis del ciclo. Para este apartado solo necesitamos el PIB (Gross domestic product at market prices). De esta manera, crearemos una nueva variable que será el logaritmo del PIB y luego haremos la tasa de crecimiento del logaritmo, es decir,

Dif(PIB)=(LN(PIBt)-LN(PIBt-1))*100

Veremos que a partir del criterio 1 observamos solo un ciclo económico en España. Se considera ciclo económico el período entre dos fondos. Este ciclo duró desde el cuarto trimestre de 2009, cuando encontramos el primer fondo, hasta el segundo trimestre de 2013, donde encontramos el siguiente fondo. Este ciclo duró 15 trimestres, es decir 3 años y 9 meses.

TABLA 2.1

Períodos PIB Ln(PIB) Dif (PIB) CRITERIO 1 1995Q1 81,2 4,3969 1995Q2 81,6 4,4018 0,4914 expansión 1995Q3 81,9 4,4055 0,3670 expansión

1995Q4 82,4 4,4116 0,6086 expansión

… … … … …

2008Q2 128,4 4,8552 0,0000 PICO 58,12%

2008Q3 127,4 4,8473 -0,7819 recesión 2008Q4 126,0 4,8363 -1,1050 recesión

2009Q1 123,9 4,8195 -1,6807 recesión

2009Q2 122,6 4,8089 -1,0548 recesión

2009Q3 122,2 4,8057 -0,3268 recesión

2009Q4 122,1 4,8048 -0,0819 FONDO -4,91%

2010Q1 122,2 4,8057 0,0819 expansión

2010Q2 122,4 4,8073 0,1635 expansión

2010Q3 122,4 4,8073 0,0000 expansión

2010Q4 122,7 4,8097 0,2448 expansión

2011Q1 122,9 4,8114 0,1629 PICO 0,65%

2011Q2 122,8 4,8106 -0,0814 recesión

2011Q3 122,4 4,8073 -0,3263 recesión

2011Q4 121,9 4,8032 -0,4093 recesión

2012Q1 121,4 4,7991 -0,4110 recesión

2012Q2 120,8 4,7941 -0,4955 recesión

2012Q3 120,3 4,7900 -0,4148 recesión

2012Q4 119,4 4,7825 -0,7509 recesión

2013Q1 119,0 4,7791 -0,3356 recesión

2013Q2 118,9 4,7783 -0,0841 FONDO -3,25%

2013Q3 119,0 4,7791 0,0841 expansión

2013Q4 119,2 4,7808 0,1679 expansión

2014Q1 119,6 4,7842 0,3350 expansión

Ciclo Económico 13

Vemos que tenemos un pico en el segundo trimestre de 2008, un fondo en el cuarto trimestre de 2009, otro pico en el primer trimestre de 2011 y finalmente encontramos el último fondo, el que marca el final del ciclo, en el segundo trimestre de 2013.

Por otro lado, el crecimiento acumulado del PIB desde el primer trimestre de 1995 hasta el pico del segundo trimestre de 2008 ha sido de un 58,12%, mientras que desde dicho pico al fondo del cuarto trimestre de 2009 la caída acumulada del PIB ha sido del 4,91%. Podemos calcular también el crecimiento o caída acumulada durante el ciclo económico, es decir de fondo a fondo, y vemos que ha habido una caída del 2,62%. Estos porcentajes se pueden calcular del siguiente modo:

{[PIB(2008Q1)- PIB(1995Q1)]/PIB(1995Q1)}*100% = 58,1%.

Pasamos a hacer un gráfico lineal del PIB, el cual permite apreciar la tendencia positiva del PIB con el pico y el fondo descritos en la tabla 2.1.

Hacemos Insertar, Líneas, Seleccionar datos, y añadimos la serie que nos interesa. En el eje X debemos poner la serie del tiempo para poden analizar mejor los resultados.

GRÁFICO 2.1. PRODUCTO INTERIOR BRUTO

Ahora pasamos a hacer el gráfico de la variación del PIB en logaritmos, donde veremos que esta variación ha seguido siempre una tendencia positiva, exceptuando la variación que corresponde al período de recesión económica de 2008.

0

20

40

60

80

100

120

140

1995

Q1

1995

Q4

1996

Q3

1997

Q2

1998

Q1

1998

Q4

1999

Q3

2000

Q2

2001

Q1

2001

Q4

2002

Q3

2003

Q2

2004

Q1

2004

Q4

2005

Q3

2006

Q2

2007

Q1

2007

Q4

2008

Q3

2009

Q2

2010

Q1

2010

Q4

2011

Q3

2012

Q2

2013

Q1

2013

Q4

Mar

ket p

rices

(200

0=10

0)

Trimestres

Ciclo Económico 14

GRÁFICO 2.2. VARIACIÓN DEL PIB EXPRESADO EN LOGARITMOS

Una vez hemos visto que a partir del criterio 1 se ha completado el ciclo económico, pasamos a hacer el mismo análisis a partir del criterio 2.

Para hacerlo hemos de conocer el funcionamiento del filtro Hodrick-Prescott, el cual permite separar el componente tendencial del componente cíclico de una serie. Lo podemos encontrar en Internet en la página www.web-reg.de. Desde allí debemos descargar el archivo comprimido (en zip).

FIGURA 2.2

Después de hacer clic en hodrick prescott filter, pulsaremos sobre download, tal como vemos en la figura 2.3,

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1995

Q1

1995

Q4

1996

Q3

1997

Q2

1998

Q1

1998

Q4

1999

Q3

2000

Q2

2001

Q1

2001

Q4

2002

Q3

2003

Q2

2004

Q1

2004

Q4

2005

Q3

2006

Q2

2007

Q1

2007

Q4

2008

Q3

2009

Q2

2010

Q1

2010

Q4

2011

Q3

2012

Q2

2013

Q1

2013

Q4

Varia

ción

Trimestres

Ciclo Económico 15

FIGURA 2.3

Una vez hecho esto, tan solo quedará clicar sobre HPFilter.zip (que aparecerá en azul) y nos saldrá la ventana de Windows por si queremos abrir o guardar el documento. Le decimos que nos lo guarde, por ejemplo, en Mis Documentos.

Ahora que lo tenemos guardado, vamos a Mis Documentos y descomprimimos el archivo (botón derecho, Extraer todo…). Seguidamente abrimos el Excel y hacemos Archivo, Opciones, Complementos, Ir, y nos saldrá una ventana en la que tendremos que hacer Examinar. Desde esta ventana tenemos que marcar Mis Documentos y seleccionar el archivo HPFilter.xla, y a continuación pulsamos Aceptar. Ya tenemos el filtro instalado y a punto para ser utilizado.

La fórmula del filtro es: =HP(serie temporal, componente lambda). La serie temporal es la serie a analizar, que en nuestro caso será el Ln(variable), mientras que el componente lambda nos dice como está expresada esta serie. Es decir, lambda será 100 cuando hablemos de años, 1.600 cuando hablemos de trimestres y 14.400 cuando los datos sean mensuales. Estos son valores estándares que provienen de la literatura y corresponden al grado de suavización de la tendencia.

Seleccionamos todas las casillas donde queremos aplicar el filtro, y luego escribimos la fórmula, por ejemplo, =HP(C34:C54,1600). Cabe advertir que una vez lo tengamos escrito hemos de pulsar a la vez Control + Shift + Enter en lugar de Enter, como es habitual. Esto es así porque el filtro trabaja con toda la serie de forma conjunta y, por lo tanto, la considera una matriz. Siempre que se trabaja con matrices, es necesario utilizar estas teclas.

Una vez sabemos cómo funciona el filtro, pasamos a exponer el criterio. Un pico es el trimestre con mayor valor del PIB durante el período de expansión, siendo el período de expansión económica un período de cuatro o más trimestres consecutivos en los que el PIB está por encima de sus valores de tendencia y en el que se observan al menos dos trimestres de crecimiento positivo. Siguiendo el mismo criterio, un fondo es el trimestre con menor valor del PIB durante el período de recesión, siendo una

Ciclo Económico 16

recesión un período de cuatro o más trimestres consecutivos en los que el PIB está por debajo de sus valores de tendencia y en el cual se observan como mínimo dos trimestres de crecimiento negativo.

De este modo, crearemos una nueva variable que será el valor tendencial de la serie (HP TREND) y otra que recogerá el componente cíclico de la serie (HP CYCLE). El valor tendencial de la serie lo calcularemos a partir del filtro. Una vez tengamos calculada la tendencia, deberemos encontrar el componente cíclico, que es simplemente la diferencia entre el logaritmo del PIB y su valor de tendencia (HP TREND).

A partir de estas nuevas variables ya podemos ver si existe o no un ciclo económico. En la tabla 2.2 se observa que a partir del segundo criterio también podemos apreciar un ciclo económico.

TABLA 2.2

Períodos PIB Ln(PIB) Dif(PIB) HP

TREND HP

CYCLE CRITERIO

2 1995Q1 81,2 4,3969 4,3823 0,0146 expansión

1995Q2 81,6 4,4018 0,4914 4,3917 0,0101 expansión

1995Q3 81,9 4,4055 0,3670 4,4011 0,0044 expansión

1995Q4 82,4 4,4116 0,6086 4,4105 0,0011 expansión

... ... ... ... ... ...

2007Q4 127,8 4,8505 0,6279 4,8217 0,0287 expansión

2008Q1 128,4 4,8552 0,4684 4,8237 0,0314 PICO 58,12%

2008Q2 128,4 4,8552 0,0000 4,8250 0,0301 desaceleración

2008Q3 127,4 4,8473 -0,7819 4,8257 0,0216 desaceleración


2009Q1 123,9 4,8195 -1,6807 4,8254 -0,0059 recesión

2009Q2 122,6 4,8089 -1,0548 4,8245 -0,0156 recesión

2009Q3 122,2 4,8057 -0,3268 4,8233 -0,0176 FONDO -4,75%

2009Q4 122,1 4,8048 -0,0819 4,8218 -0,0169 recuperación

2010Q1 122,2 4,8057 0,0819 4,8200 -0,0143 recuperación

2010Q2 122,4 4,8073 0,1635 4,8180 -0,0107 recuperación

2010Q3 122,4 4,8073 0,0000 4,8158 -0,0086 recuperación

2010Q4 122,7 4,8097 0,2448 4,8135 -0,0038 recuperación

2011Q1 122,9 4,8114 0,1629 4,8111 0,0003 expansión

2011Q2 122,8 4,8106 -0,0814 4,8085 0,0021 PICO 0,49%



2012Q1 121,4 4,7991 -0,4110 4,8002 -0,0011 recesión

2012Q2 120,8 4,7941 -0,4955 4,7974 -0,0032 recesión

2012Q3 120,3 4,7900 -0,4148 4,7945 -0,0045 recesión

2012Q4 119,4 4,7825 -0,7509 4,7915 -0,0091 recesión

2013Q1 119,0 4,7791 -0,3356 4,7886 -0,0095 FONDO -3,09%

2013Q2 118,9 4,7783 -0,0841 4,7857 -0,0074 recuperación

2013Q3 119,0 4,7791 0,0841 4,7828 -0,0037 recuperación

2013Q4 119,2 4,7808 0,1679 4,7800 0,0008 expansión

Ciclo Económico 17

2014Q1 119,6 4,7842 0,3350 4,7771 0,0071 expansión

En la tabla 2.2 vemos dos trimestre de caída (2008Q3, 2008Q4) y 4 trimestres por debajo de su tendencia (a partir de 2009Q1 y hasta 1010 Q4), con lo que si cogemos el valor más alto, una vez empezada la recesión, encontraremos el pico según el criterio 2, que coincide aproximadamente con el criterio 1, pues en el caso anterior o encontrábamos en el segundo trimestre de 2008 y en este caso lo encontramos en el primer trimestre de 2008.

En este caso haremos dos gráficos, el primero que representa la evolución del logaritmo del PIB con la tendencia del PIB, y el segundo que ilustra la evolución del componente cíclico del PIB.

De esta manera, en el gráfico 2.3 observamos como el PIB tiene una tendencia creciente a lo largo de la mayor parte del periodo, aunque a partir del primer trimestre del año 2008, la tendencia decrece ligeramente coincidiendo con el inicio de la crisis. Podemos ver al final de la serie temporal que la tendencia tiene un pendiente muy inferior respecto a períodos anteriores, incluso parecería que es negativa en algún período determinado.

GRÁFICO 2.3. GRÁFICO DE LA TENDENCIA DEL PIB

El gráfico 2.4 muestra el componente cíclico del PIB. Podemos decir que se mantiene estable, con valores de entre el 2% y el -2% de crecimiento, exceptuando el primer trimestre de 2008 que llega a crecer más de un 3%. Seguidamente, y por culpa del inicio de la crisis, llega a caer hasta un 2% a finales de 2009.

4,104,204,304,404,504,604,704,804,90

1995

Q1

1995

Q4

1996

Q3

1997

Q2

1998

Q1

1998

Q4

1999

Q3

2000

Q2

2001

Q1

2001

Q4

2002

Q3

2003

Q2

2004

Q1

2004

Q4

2005

Q3

2006

Q2

2007

Q1

2007

Q4

2008

Q3

2009

Q2

2010

Q1

2010

Q4

2011

Q3

2012

Q2

2013

Q1

2013

Q4

Ln(P

IB)

Trimestres Ln(PIB) HP TREND

Ciclo Económico 18

GRÁFICO 2.4. GRÁFICO DEL COMPONENTE CÍCLICO DEL PIB

Una vez hemos analizado la existencia del ciclo económico a partir de los dos

criterios, pasamos a ver las tres propiedades estadísticas del ciclo económico: la volatilidad, la correlación y la persistencia. Estas propiedades también las analizaremos de las dos maneras y así podremos hacer una comparación de ambos criterios.

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

1995

Q1

1995

Q4

1996

Q3

1997

Q2

1998

Q1

1998

Q4

1999

Q3

2000

Q2

2001

Q1

2001

Q4

2002

Q3

2003

Q2

2004

Q1

2004

Q4

2005

Q3

2006

Q2

2007

Q1

2007

Q4

2008

Q3

2009

Q2

2010

Q1

2010

Q4

2011

Q3

2012

Q2

2013

Q1

2013

Q4

Uni

dade

s

Trimestres

Ciclo Económico 19

2.2 Volatilidad

Pasamos a calcular la volatilidad a partir del criterio1. Para analizarla, lo que hacemos es calcular la desviación típica de la serie en diferencias. En este caso, la desviación típica muestra la variación porcentual respecto a su valor medio, ya que la serie está expresada en logaritmos. Veremos que si la desviación típica es grande, implicará que la serie es volátil, mientras que si, por el contrario, la desviación típica es pequeña, significará que la serie tiene un comportamiento muy estable.

Para calcular la desviación típica del PIB, hemos de aplicar la siguiente fórmula,

=DESVEST.M(Dif(PIBt):Dif(PIBt+66)) *100

En el caso que estamos analizando, la tasa de variación del PIB suele desviarse un 0,69% por encima o por debajo de la media del PIB durante el período analizado. Además, si queremos saber cómo es la tasa de variación del PIB de promedio, hemos de hacer:

=PROMEDIO(Dif(PIBt):Dif(PIBt+66)) *100

En este caso nos dará que la tasa de variación del PIB medio es del 0,39%.

Esto lo tendríamos de calcular para todos los componentes de la demanda agregada. En la tabla 2.3 podemos ver las tasas de variación medias de las variables y sus desviaciones típicas.

Nota: Recordemos que hay que aplicar logaritmos y hacer diferencias en las otras variables, antes de buscar la desviación típica y la media. En la tabla 2.3, la variable PIB es producto interno bruto, C es consumo privado, G es gasto del gobierno, I es inversión, X exportaciones y M importaciones.

TABLA 2.3

Variable Desviación

típica Promedio

Dif (PIB) 0,690156 0,395659

Dif (C) 0,977664 0,348568 Dif (G) 1,427647 0,749252

Dif (I) 2,340976 -0,096349 Dif (X) 2,825013 0,958245

Dif (M) 3,459038 0,716117

Una vez hemos analizado la volatilidad a partir del primer criterio, pasamos a hacerlo para el criterio 2. Aquí se han de seguir los mismos pasos pero en lugar de coger la variable en diferencias, cogeremos el componente cíclico de la serie, es decir, el HP CYCLE. A partir de este criterio tan solo calcularemos la desviación típica en relación con la tendencia. La fórmula para el criterio 2 es:

Ciclo Económico 20

=(DESVEST.M(HPcyclet:HPcyclet+66))*100 TABLA 2.4

Variable Desviación típica HPcycle (PIB) 1,07983

HPcycle (C) 1,34040

HPcycle (G) 1,46853

HPcycle (I) 3,93370

HPcycle (X) 3,66594

HPcycle (M) 5,02080

Calculando únicamente la desviación típica de la variable no podemos saber si esta es muy o poco volátil, ya que es necesario compararla con otra variable de referencia, que en este caso será el PIB. De este modo, lo que haremos es buscar la desviación relativa, que consiste en hacer una ratio entre la desviación típica de una variable y la desviación típica del PIB. En el caso del consumo,

= desviación típica (C)desviación típica (PIB)

Y para buscar el porcentaje de esta desviación relativa se tiene que hacer:

= � desviación típica (C)desviación típica (PIB) − 1�*100

Pues bien, si completamos la tabla 2.4 con las desviaciones de los componentes con relación al PIB obtenemos:

TABLA 2.5

Variable Desviación típica Desv. relativa % Desv. relativa HPcycle (PIB) 1,07983

HPcycle (C) 1,34040 1,24130 24,13030

HPcycle (G) 1,46853 1,35996 35,99620

HPcycle (I) 3,93370 3,64288 264,28806

HPcycle (X) 3,66594 3,39492 239,49159

HPcycle (M) 5,02080 4,64961 364,96089

Podemos observar que la variable gasto público, al igual que las demás variables, es más volátil que el PIB en un 35,99%. Vemos que la variable importaciones es la variable que tiene una volatilidad más elevada respecto al PIB, exactamente en un 364,96%.

Ciclo Económico 21

Para ver de manera gráfica qué variable es más volátil en relación al PIB, crearemos un gráfico de líneas donde se muestre el componente cíclico de la variable de referencia, y el componente cíclico de las importaciones, por ejemplo.

Nota: El componente cíclico lo podemos multiplicar por 100, y así lo tendremos expresado en porcentaje a la hora de interpretarlo.

GRÁFICO 2.5. GRÁFICO DE LA VOLATILIDAD DE LAS VARIABLES

A partir de este gráfico podemos apreciar como la variable importaciones es mucho más volátil que el PIB, tal como se ha visto en los valores obtenidos.

Para finalizar con el análisis de la volatilidad, podemos agrupar los resultados obtenidos a partir de los dos criterios, y por ejemplo, con referencia al PIB podemos decir que este tiende a desviarse un 1,07% respecto su tendencia a lo largo del período analizado. La tasa de variación del PIB de promedio es del 0,39% y, además, suele desviarse en 0,69 puntos porcentuales por encima o por debajo de la media del PIB durante el período analizado.

A continuación analizaremos la correlación y la persistencia de las variables. Estas dos propiedades estadísticas tan solo las analizaremos a partir del criterio 2, aunque también se puede aplicar este análisis utilizando el criterio1.

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

1995

Q1

1995

Q4

1996

Q3

1997

Q2

1998

Q1

1998

Q4

1999

Q3

2000

Q2

2001

Q1

2001

Q4

2002

Q3

2003

Q2

2004

Q1

2004

Q4

2005

Q3

2006

Q2

2007

Q1

2007

Q4

2008

Q3

2009

Q2

2010

Q1

2010

Q4

2011

Q3

2012

Q2

2013

Q1

2013

Q4

%

Trimestres

Componente cíclico del PIB Componente cíclico de las importaciones

Ciclo Económico 22

2.3 Correlaciones

Aquí lo que haremos es calcular la correlación entre una variable y la variable de referencia, el PIB, con tal de saber si una variable es procíclica (coeficiente positivo y próximo a 1), anticíclica (coeficiente negativo y próximo a -1) o acíclica (coeficiente próximo a 0).

Para calcular la correlación, necesitaremos los componentes cíclicos de todas las variables, y aplicaremos la siguiente función:

=COEF.DE.CORREL(HPcyclePIB;HPcycleVARIABLE)

El coeficiente de correlación del consumo con el PIB es de 0,848327. De este modo, podemos decir que el consumo es una variable procíclica, ya que tiene un coeficiente de correlación próximo a 1.

Con lo que respecta a las otras variables hemos de hacer lo mismo, y de esta manera obtendremos una tabla como la siguiente,

TABLA 2.6

Variable Coef. de correlación

PIB – Consumo 0,848327

PIB - Gasto 0,032424

PIB - Inversión 0,905615

PIB - Exportaciones 0,627070

PIB - Importaciones 0,765127

Aquí podemos apreciar algún hecho estilizado, y es que en el caso español, el consumo, la inversión y las importaciones son variables procíclicas y con una fuerte correlación (>0,75) con el PIB.

Otros hechos estilizados son que las exportaciones son una variable procíclica pero con una correlación más moderada. Por otra parte, observamos que el gasto público es una variable acíclica (el coeficiente de correlación es de 0,03 con el PIB).

También podríamos saber si una variable reacciona antes que el PIB (adelantada), después que el PIB (retardada) o bien al mismo tiempo que el PIB (contemporánea al PIB).

Para hacerlo debemos calcular primero la correlación entre el PIB en el período “t” y la variable en el período “t+1”. Después debemos calcular la correlación entre el PIB en el período “t” y la variable en el período “t-1”. Usaremos la siguiente función de Excel:

=COEF.DE.CORREL(HPcyclePIB,t;HPcycleVARIABLE,t+1)

Ciclo Económico 23

Nota: Debemos tener en cuenta que debe haber el mismo número de períodos en las dos series temporales. Es decir, imaginando que tenemos seis períodos, si cogemos el ejemplo del PIB en el período “t” y la variable en el período “t+1”, deberíamos coger el PIB de los períodos 1 a 5 y la variable de los períodos 2 a 6.

Se obtendrá una tabla como la siguiente:

TABLA 2.7

Consumo Gasto Inversión Exportaciones Importaciones PIBt -Variablet 0,8483 0,0324 0,9056 0,6271 0,7651 PIBt -Variablet+1 0,7107 0,0959 0,7837 0,4277 0,5368 PIBt -Variablet-1 0,8630 -0,0732 0,8943 0,7105 0,8631

Observamos de todas las correlaciones que hemos calculado cuál es la mayor. Vemos que en el caso del consumo privado la correlación más elevada es la que tienen el PIB en el período “t” y el consumo en el período “t+1”. Esto significa que el consumo reacciona antes que el PIB a cambios en el ciclo; por lo tanto, el consumo es una variable adelantada. En el caso del gasto público vemos que es mucho mayor la correlación entre el PIB en el período “t” y la variable en el período “t+1”; por lo tanto, el gasto reacciona más tarde en relación con el PIB y diremos que es una variable retardada.

Ciclo Económico 24

2.4 Persistencia

La persistencia implica que el valor de la variable en el período t no es independiente de los valores observados de la variable en t-n períodos anteriores. Con el fin de encontrar el valor hemos de calcular el coeficiente de auto correlación, que es el coeficiente de correlación de una variable con ella misma rezagada. La persistencia se expresa como: Corr(Xt,Xt-1), y para calcularlo se utiliza el componente cíclico de la variable.

De este modo, la función que hemos de utilizar en el Excel es:

=COEF.DE.CORREL(1995Q1:2011Q1;1995Q2:2011Q2)

La tabla 2.8 muestra los resultados para todas las variables:

TABLA 2.8

Variable Coef. de auto-

correlación PIB 0,926523

Consumo 0,704123

Gasto 0,595987

Inversión 0,856942

Exportaciones 0,730846

Importaciones 0,792337

Vemos, por ejemplo, que el PIB tiene una persistencia considerable, con un coeficiente de autocorrelación de 0,92. Por otro lado, el gasto público es el componente de la demanda agregada menos persistente, con un coeficiente de autocorrelación de 0,59.

Modelo IS-LM 25

Capítulo 3. Modelo IS-LM

En este capítulo buscaremos el equilibrio del sistema de un modelo macroeconómico desde la perspectiva clásica y keynesiana. Supongamos el siguiente modelo macro- económico:

𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) (Función de producción)

𝑊𝑃

= 𝐹𝐿(𝐾, 𝐿) (Demanda de trabajo)

𝐿 = 𝐿(𝑊𝑃

) (Oferta de trabajo)

𝐼 = 𝐼(𝑖) (Función de inversión)

𝐶 = 𝐶(𝑌 − 𝑇) (Función de consumo)

Y = C + I + G (Equilibrio en el mercado de bienes)

𝑀𝑃

= 𝑚(𝑖, 𝑌) (Equilibrio en el mercado monetario)

donde:

𝐶 = 2 + �𝑌 − 𝑇

2�

𝑇 = 5

𝑚(𝑖, 𝑌) =1𝑖

+ 2𝑌

𝐼 =1𝑖

𝐺 = 4

𝑀 = 20

𝐾 = 40

𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾12𝐿

12

𝐿 = 10 �𝑊𝑃

�

Modelo IS-LM 3

Modelo IS-LM 26

3.1 Modelo clásico

Empezaremos por situarnos en la perspectiva clásica, es decir, supondremos que los precios son flexibles y los mercados se equilibran, el mercado de trabajo es competitivo y, por lo tanto, no hay desempleo. Lo primero que haremos es encontrar el equilibrio de la economía, es decir, encontrar el salario real, nivel de ocupación y output, todo mediante la función Solver del Excel.

Para hacerlo, tendremos que construir una hoja de Excel donde aparezcan los parámetros, las variables, el sistema de ecuaciones y la función objetivo. Con respecto al sistema de ecuaciones, tenemos que utilizar las 7 ecuaciones del modelo macroeconómico e igualarlas a cero. A continuación las especificamos,

Cabe recordar que 𝐹𝐿(𝐾, 𝐿) es la derivada de F(K,L) respecto a L, por lo tanto, es

igual a 𝐾120,5𝐿−1

2.

Nota: Hemos de sustituir en las ecuaciones aquellos valores que nos da el modelo.

f1: 𝑌 − 𝐾12𝐿

12 = 0

f2: 𝑊𝑃

− 𝐾12 · 0,5𝐿− 12 = 0

f3: 𝐿 − 10 �𝑊𝑃

� = 0

f4: 𝐼 − 1𝑖

= 0

f5: 𝐶 − 2 − 𝑌2

+ 𝑇2

= 0

f6: Y − C − I − G = 0

f7: 𝑀𝑃

− 1𝑖

− 2𝑌 = 0

Como tenemos siete ecuaciones, la solución del sistema nos dará el valor de siete variables endógenas; estas variables serán Y, C, I, i, P, W, L. Fijaremos el valor inicial de estas variables a 0,1, pues si no fijamos un valor inicial Solver nos dará error, aunque la elección de este número es en realidad arbitrario. Las variables exógenas vienen determinadas fuera del sistema. Estas son los impuestos (𝑇), el gasto público (𝐺), las importaciones (𝑀) y el capital (𝐾), y los valores correspondientes nos lo da el enunciado,

• T = 5 • G = 4 • M = 20 • K = 40

Modelo IS-LM 27

La función objetivo nos ha de garantizar que las ecuaciones sean iguales a cero. Para que las desviaciones positivas no se compensen con las negativas, elevamos cada ecuación al cuadrado.

Nota: Función objetivo: (𝑓1)2 + (𝑓2)2 + (𝑓3)2 + (𝑓4)2 + (𝑓5)2 + (𝑓6)2 + (𝑓7)2 = 0

FIGURA 3.1

De esta manera, el Excel que nos queda es el de la figura 3.1, donde hemos puesto los valores de los cuatro parámetros que nos da el ejercicio. Por su parte, hemos puesto el valor inicial de 0,10 en las siete variables.

Con lo que respecta al sistema de ecuaciones, antes hemos igualado cada ecuación a cero y, por lo tanto, ya lo podemos escribir en formato Excel. Debe quedarnos en este formato:

f1: =(Y- ((K^(1/2))*(L^(1/2))))

f2: =(W/P-(K^(1/2))*(0,5*(L^(-1/2))))

f3: =(L- (10*(W/P)))

f4: =(I- (1/i))

f5: =(C-2-(Y/2)+(T/2))

Modelo IS-LM 28

f6: =(Y-C-I-G)

f7: =((M/P)-(1/i)-(2*Y))

Función Obj.: =(B17^2+B18^2+B19^2+B20^2+B21^2+B22^2+B23^2)

Una vez lo tenemos todo rellenado correctamente, ya podemos ir a Datos, Solver y allí nos saldrá una ventana como la de la figura 3.2. Allí tenemos que rellenar todas las casillas. Empezamos por Establecer objetivo, donde ponemos el nombre de la casilla donde se encuentra la función objetivo y clicamos Valor de 0 porque lo que queremos es que se cumplan las restricciones. Cambiando las celdas de variables, tal como dice la frase, colocamos las celdas que contienen las variables, ya que serán los valores que el Solver encontrará. En Sujeto a las restricciones colocaremos las celdas donde se encuentran las restricciones y las igualaremos a cero, porque es lo que nos interesa. Además, tenemos que seleccionar la opción Convertir variables sin restricciones en no negativas.

FIGURA 3.2

Ahora solamente nos resta clicar Resolver.

Modelo IS-LM 29

FIGURA 3.3

El programa nos pregunta si queremos que se modifiquen los valores que hemos puesto (Conservar solución de Solver) o si queremos volver a tener los valores iniciales (Restaurar valores originales). Decidimos modificar los valores y, por lo tanto, marcamos la opción Conservar solución de Solver y clicamos Aceptar. En la figura 3.4 podemos observar el equilibrio de la economía a partir del modelo clásico.

FIGURA 3.4

Modelo IS-LM 30

Implementación de una política fiscal expansiva

Ahora pasamos a ver el equilibrio de la economía después de una política fiscal expansiva con la que el gobierno decide bajar los impuestos para reactivar la economía, de manera que ahora T =3.

Para hacerlo, resolveremos el modelo directamente a partir del Solver, y lo haremos exactamente igual a como lo hemos hecho anteriormente, con la única diferencia que previamente tenemos que modificar el valor de los impuestos en la celda B2 (figura 3.5), que modificamos de 5 a 3.

FIGURA 3.5

El resultado se muestra en la figura 3.6. Si recordamos la teoría, en el modelo clásico una política fiscal expansiva conlleva un desplazamiento de la IS hacia la derecha, debido al aumento de la renta disponible por la disminución de los impuestos y el consiguiente aumento del consumo. Todo esto llevará a un exceso de la demanda agregada, que acabará provocando un incremento en los precios.

Este aumento de los precios, por un lado repercutirá en una reducción de la oferta monetaria real y en un desplazamiento de la LM hacia la izquierda, la cual llevará a un aumento de los tipos de interés, que desincentivará la inversión. Por otro lado, la subida en el nivel de precios reduce el salario real de los trabajadores de manera que el salario nominal se ajusta a la alza (precios flexibles) para mantener el poder adquisitivo de los individuos en su valor inicial. Esto aumenta los costes de las empresas, que apuestan por reducir la oferta. De este modo, el nivel de ocupación y

Modelo IS-LM 31

output se ven inalterados, y las variables que se han visto afectadas han sido los precios y los tipos de interés (ambos han aumentado).

FIGURA 3.6

Pasamos a hacer una tabla donde comparemos las variables del modelo en equilibrio, antes y después de la rebaja impositiva.

TABLA 3.1

Y C I i P W L T = 5 20 9,5 6,5 0,15 0,43 0,43 10

T = 3 20 10,5 5,5 0,18 0,44 0,44 10

Aquí podemos ver como la teoría se plasma en la práctica. La política fiscal expansiva ha hecho incrementar el consumo, los tipos de interés, el nivel de precios y el salario nominal, y ha hecho disminuir la inversión. Sobre las variables reales, como son el output y el nivel de ocupación, la política no ha tenido ningún efecto.

Modelo IS-LM 32

3.2 Modelo keynesiano

Ahora que ya hemos visto cómo reacciona una política fiscal expansiva en el modelo clásico, pasamos a verlo en un modelo keynesiano. Empezaremos para ver cuál es el equilibrio del modelo con un salario nominal (w) fijo a 0,8€.

Lo que tenemos que hacer en primer lugar es pasar el salario de ser una variable a ser un parámetro, ya que ahora no viene determinado de manera endógena, sino que está fijado. Como que tenemos seis variables, no podemos tener siete ecuaciones; por lo tanto, tenemos que eliminar una. Esta será la de la oferta de trabajo, es decir, la tercera ecuación. Recordemos que también tenemos que eliminar la tercera ecuación de la función objetivo.

Así es como nos quedará:

FIGURA 3.7

Una vez solucionado el sistema con la ayuda del Solver, obtendremos los siguientes valores:

Modelo IS-LM 33

FIGURA 3.8

La ecuación que hemos eliminado determinará el nivel de desempleo de la economía. Recordemos que en el modelo keynesiano es la demanda de trabajo la que determina el nivel de empleo. Sabemos que el nivel de desempleo es la diferencia entre la oferta y la demanda de trabajo, es decir, entre LS y Ld, respectivamente. En este caso tenemos desempleo porque el salario real (W/P ) es demasiado elevado; el salario real de la economía clásica en equilibrio era 1 (1’35>1).

Cuando el salario nominal está fijado a 0,8, la oferta de trabajo es de:

𝐿𝑠 = 10 �𝑊𝑃

� = 10 � 0′80′59

� = 10 · 1,35 = 13,5

Con estos valores de los salarios, las empresas quieren contratar solo 𝐿𝑑 = 5,52 unidades de trabajo (sustituimos en las ecuaciones iniciales los nuevos valores), con lo que el nivel de desempleo es de:

Ls – Ld = 13,5 – 5,52 = 7,98 Implementación de una política fiscal expansiva

Como en el caso clásico, podemos ver el equilibrio de la economía después de una política fiscal expansiva donde el gobierno baja los impuestos para reactivar la economía, de manera que ahora T=3.

Modelo IS-LM 34

Después de haber disminuido el valor de la celda de los impuestos, pasamos a utilizar el Solver directamente,

FIGURA 3.9

Cuando cliquemos en Resolver, nos quedará:

FIGURA 3.10

Modelo IS-LM 35

Recordemos la teoría para el caso de una política fiscal expansiva en el modelo keynesiano. Como en el caso anterior, una política fiscal expansiva conlleva un desplazamiento de la IS hacia la derecha (recordemos que aumenta la renta disponible debido a la bajada de impuestos y esto hace que suba el consumo). Todo esto llevará a un aumento de la demanda agregada, que provoca un incremento en los precios.

Este aumento de los precios repercutirá en una reducción de la oferta monetaria real y en un desplazamiento de la LM hacia la izquierda, la cual llevará a un aumento de los tipos de interés, que desincentivará la inversión. Al igual que en el modelo anterior, la subida en el nivel de precios reduce el salario real de los trabajadores, pero en este caso el salario nominal no sube, ya que está fijo, y las empresas están dispuestas a contratar más gente. Así, el nivel de ocupación y el output aumentan.

Volvemos a hacer la tabla 3.1, para poder comparar los dos casos.

TABLA 3.2

Y C I i P L T = 5 14,86 6,93 3,93 0,25 0,59 5,52

T = 3 15,07 8,04 3,04 0,33 0,60 5,68

Aquí podemos ver como la teoría se plasma en la práctica. La política fiscal expansiva ha hecho incrementar el consumo, los tipos de interés, el nivel de precios y el salario nominal, y ha disminuido la inversión, tal como pasaba en el modelo clásico. Ahora bien, las variables reales, como son el output y el nivel de ocupación, han aumentado gracias a la nueva política.

Modelo de Dornbusch 36

Capítulo 4. Modelo de Dornbusch

En este capítulo analizaremos el modelo de Dornbusch, también conocido como modelo de sobrerreacción (overshooting) del tipo de cambio. Empezaremos por considerar la siguiente versión de este modelo:

i = i* + ∆𝑒𝑒 (Condición de arbitraje)

y d = C + I + G + XN (Función de demanda de bienes)

C = 0,5(𝑦� – τ) (Función de consumo)

I = – (i – ∆𝑝𝑒) (Función de inversión)

XN = 0,4(e + p* – p) – 𝑦� (Función de la balanza comercial)

∆𝑝 = 0,25(yd – 𝑦�) (Ecuación de ajuste de los precios)

m – p = 2𝑦� – i (Equilibrio en el mercado del dinero)

donde i es el tipo de interés nominal nacional, *i es el tipo de interés nominal en el resto del mundo, e es el logaritmo del tipo de cambio que se considera

completamente flexible, dy es la demanda de bienes, C es el consumo, I es la

inversión, G es el gasto público, y es el output, τ son los impuestos, p es el

logaritmo de los precios nacionales que son fijos a corto plazo, *p es el logaritmo de los precios extranjeros y m es el logaritmo de la oferta monetaria. Para una correcta interpretación de los resultados cabe señalar que a lo largo del capítulo se ha utilizado la siguiente definición del tipo de cambio (moneda nacional/moneda extranjera).

El superíndice “e” indica el valor esperado. Supondremos expectativas racionales que se autocumplen, ∆𝑒𝑒 = ∆𝑒, ∆𝑝𝑒 = ∆𝑝. Además, supondremos la exogeneidad de

cinco variables, que tienen los valores siguientes: y =35, *p =10, *i = 0,10, τ = 0, g =30.



4.1 Sistema de ecuaciones en diferencias para los precios y el tipo de cambio

Lo que haremos en este apartado es empezar sustituyendo todos los datos que nos da el ejercicio, con el objetivo de escribir el sistema de ecuaciones en diferencias que relaciona los precios y el tipo de cambio. Para analizar el modelo es necesario que nos quede en función de la oferta monetaria, m.

1

1

( , )( , )

t t t

t t t

e f e pp f e p

+

+

= =

Nos interesa reducir el número de ecuaciones; por lo tanto, pasamos a sustituir las variables exógenas por sus valores correspondientes en el modelo, y la fórmula de las expectativas racionales. Aprovechamos para simplificar las ecuaciones.

i = 0,10 + ∆𝑒 yd = C + I + 30 + XN C = 17,5 I = – (i – ∆𝑝) XN = 0,4(e + 10 – p) – 35 ∆𝑝 = 0,25(yd – 35) m – p = 70 – i

A continuación, cogemos los componentes de la demanda de bienes (C, I, XN) y los sustituimos en la función de demanda de bienes. Después de simplificar nos queda:

i = 0,10 + ∆𝑒 Condición de arbitraje

yd = 16,5 – (i – ∆𝑝 ) + 0,4(e – p) Equilibrio en el mercado de bienes (IS)

∆𝑝 = 0,25(yd – 35) Ecuación de ajuste de precios

m – p = 70 – i Equilibrio en el mercado monetario (LM)

Sustituimos la condición de arbitraje en la curva LM, y aislamos la variación del tipo de cambio (∆𝑒𝑡). La ecuación resultante es la siguiente:

∆𝑒𝑡 = 𝑒𝑡+1 − 𝑒𝑡 = 𝑝𝑡 − 𝑚𝑡 + 69,9

Por lo tanto,

𝑒𝑡+1 = 𝑒𝑡 + 𝑝𝑡 − 𝑚𝑡 + 69,9


Por otro lado, cogeremos la curva IS y la sustituimos en la ecuación de ajuste de precios.

∆𝑝𝑡 = 0,25(16,5 − (𝑖 − ∆𝑝𝑡 = +0,4(𝑒𝑡 − 𝑝𝑡) − 35)

Necesitamos, además, aislar el tipo de interés de la curva LM e introducirlo en la ecuación anterior. La ecuación del tipo de interés aislado en la curva LM es la siguiente:

𝑖 = 𝑝 − 𝑚 + 70

Por lo tanto, una vez introducido el tipo de interés en la ecuación de ajuste de precios tenemos:

∆𝑝𝑡 = 0,25(16,5 − (70 + 𝑝𝑡 − 𝑚𝑡 − ∆𝑝𝑡) + 0,4(𝑒𝑡 − 𝑝𝑡) − 35)

Si tenemos en cuenta que ∆𝑝𝑡 = 𝑝𝑡+1 − 𝑝𝑡, y aislamos 𝑝𝑡+1 la ecuación que nos queda es:

𝑝𝑡+1 =13

(𝑚𝑡 + 1,6𝑝𝑡 + 0,4𝑒𝑡 − 88,5)

Por consiguiente, el sistema de ecuaciones en diferencias que relaciona los precios y el tipo de cambio es:

𝑒𝑡+1 = 𝑒𝑡 + 𝑝𝑡 − 𝑚𝑡 + 69,9

𝑝𝑡+1 =13

(𝑚𝑡 + 1,6𝑝𝑡 + 0,4𝑒𝑡 − 88,5)


4.2 Valores del estado estacionario

Supongamos que m se fija en 100. Con la ayuda de la función Solver del Excel, encontraremos los valores del estado estacionario (�̅�, �̅�). Recordemos que los valores del estado estacionario (�̅�, �̅�) se caracterizan por situarse en un punto donde se mantienen estables y, por lo tanto, constantes en el tiempo. En este caso, tenemos en cuenta que tanto el tipo de cambio como los precios se mantienen invariantes.

Nota: et+1 = et = �̅� y pt+1 = pt = �̅�

Con el fin de determinar el estado estacionario, utilizaremos el Solver. Además, emplearemos el sistema de ecuaciones encontrado anteriormente y añadiremos las restricciones que acabamos de desarrollar.

Antes de abrir el Excel definiremos las ecuaciones que utilizaremos. Sustituimos las condiciones del estado estacionario en las dos ecuaciones del modelo.

�̅�= �̅� + �̅� – m + 69,9

�̅� = 13 (m + 1,6 �̅� + 0,4 �̅� – 88,5)

Reordenando y simplificando términos:

0 = �̅� – m + 69,9

0 = 13 (m – 1,4�̅�+ 0,4�̅� – 88,5)

Estas son las dos ecuaciones que nos han de servir para encontrar el estado estacionario con el Solver. Lo primero que hemos de hacer es diseñar la hoja de cálculo.

FIGURA 4.1


El parámetro será el valor que nos viene dado, mientras que las variables serán los valores que buscamos. Las restricciones, por otro lado, serán las dos ecuaciones desarrolladas. Finalmente, la función objetivo tiene que garantizar que las dos restricciones sean iguales a cero. Una forma de hacerlo es con valores absolutos, o bien elevando cada una de ellas al cuadrado. Escogemos elevarlo al cuadrado.

Para hacerlo más fácil pondremos nombre a las celdas. Por ejemplo, seleccionamos la celda B2 (Figura 4.2) y al recuadro de la izquierda en lugar de poner B2 ponemos m, que será la oferta monetaria. En los otros casos, pondremos e, p, r1 y r2. La celda de la función objetivo no es necesario nombrarla.

FIGURA 4.2

El siguiente paso es ir rellenando los valores. Empezaremos poniendo en la celda de la oferta monetaria (m) el valor que nos da el ejercicio, que es 100. En el tipo de cambio y en los precios podemos poner el valor inicial que queramos. Pondremos, por ejemplo, el valor de 10. A la vez escribiremos las restricciones y la función objetivo a partir de las fórmulas del Excel.

Restricción 1: = 𝑝 − 𝑚 + 69,9

Restricción 2: = (13) ∗ (𝑚 − 1,4 ∗ 𝑝 + 0.4 ∗ 𝑒 − 88,5)

Función Obj: = 𝑟12 + 𝑟22


FIGURA 4.3

Una vez hemos terminado, vamos a Datos, Solver y rellenamos la pantalla.

Nota: Cabe recordar que hemos de deseleccionar la opción Convertir variables sin restricciones en no negativas.

FIGURA 4.4

Finalmente, clicamos en Resolver.


FIGURA 4.5

Como en la práctica anterior, marcamos Conservar solución de Solver y clicamos Aceptar.

FIGURA 4.6

Vemos que con una oferta monetaria de 100, el estado estacionario es �̅� = 76,60 y �̅� = 30,10; que podemos rescribir como (�̅�, �̅�) = (76,60; 30,10).


4.3 Variación del estado estacionario debido a una expansión monetaria

¿Qué pasaría en la economía, partiendo del estado estacionario, si en el año 6 se hiciera una expansión monetaria? Específicamente, en este apartado analizaremos el efecto de incrementar la oferta monetaria en 50 unidades.

Hemos de hacer el mismo proceso que en el apartado anterior, pero debemos tener en cuenta que la oferta monetaria ha aumentado en 50 unidades; por lo tanto, 𝑚 = 150. Vamos a la hoja de cálculo, cambiamos el valor de la oferta monetaria y volvemos a poner el valor de las variables tal como teníamos al inicio del ejercicio.

FIGURA 4.7

Una vez lo hemos hecho, vamos a Datos, Solver y lo volvemos a rellenar tal como lo hemos hecho anteriormente.

FIGURA 4.8


Vemos que si aumentamos la oferta monetaria en 50 unidades, el nuevo estado estacionario es (𝑒′� , 𝑝′� ) = (126,60; 80,10). Con lo que tanto el nivel de precios como el tipo de cambio han aumentado.

4.4 Trayectoria hacia el nuevo estado estacionario

Una vez tenemos los dos estados estacionarios calculados, y partiendo del primer estado estacionario que hemos encontrado (en el que la oferta monetaria era de 100 unidades), pasaremos a crear la serie temporal de ambas variables. Dibujaremos su trayectoria a lo largo del tiempo e intentaremos encontrar alguna explicación a esta trayectoria.

Empezaremos haciendo una tabla de Excel donde aparezcan los años, la oferta monetaria, el tipo de cambio y el nivel de precios. En el primer período introduciremos los datos del estado estacionario (�̅�, �̅�) = (76,60; 30,10) y 𝑚 = 100. A partir del año siguiente utilizaremos las ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones en diferencias para obtener la evolución de las variables. Recordemos que las ecuaciones son las siguientes:

𝑒𝑡+1 = 𝑒𝑡 + 𝑝𝑡 − 𝑚𝑡 + 69,9

𝑝𝑡+1 =13

(𝑚𝑡 + 1,6𝑝𝑡 + 0,4𝑒𝑡 − 88,5)

La oferta monetaria será un valor fijo, igual a 100 del año 1 al 5, y cambiará a 150 a partir del sexto año. Por el contrario, el tipo de cambio y el nivel de precios se calcularán a partir de las ecuaciones anteriores. De esta manera para calcular el segundo año (t+1), tenemos que seleccionar la variable y los parámetros del año t, es decir, del primer año. Una vez rellenadas las primeras ecuaciones para el año 2, podemos arrastrar el cursor hasta el final para acabar de rellenar la tabla. El resultado se presenta en la figura 4.9.


FIGURA 4.9

Podemos comprobar que la evolución del tipo de cambio y los precios de la tabla no nos llevan al estado estacionario que hemos encontrado. Eso es porque el modelo de Dornbusch solo tiene una trayectoria estable y no es la que se muestra en la hoja de cálculo. Para encontrarla, tenemos que conseguir que tanto el valor del tipo de cambio como el valor del nivel de precios del último año (año 20) sean iguales a los valores en estado estacionario cuando la oferta monetaria es de 150 unidades, por lo tanto, (𝑒′� , 𝑝′� ) = (126,60; 80,10).

Para hacerlo, tendremos que volver a utilizar el Solver. Solo tendremos que modificar o bien el tipo de cambio o bien el nivel de precios, ya que como dependen el uno del otro, el que decidamos no modificar se cambiará automáticamente a partir de las ecuaciones.

Por lo tanto, cogeremos por ejemplo el tipo de cambio como variable para modificar. Recordemos que el valor del tipo de cambio final tiene que ser igual a 126,60 unidades. Pues bien, la celda C21 (figura 4.10) será la función objetivo y especificaremos que ha de tener un valor de 126,60. Con lo que respecta a las restricciones, no hace falta poner ninguna, tan solo hará falta añadir que queremos cambiar la celda C7, ya que es la primera celda que se modifica con la nueva política monetaria. Es decir, queremos calcular qué valor debe tener esa celda para que el tipo de cambio sea de 126,60 al final del período.


Así que vamos a ver cómo nos quedaría si completamos las opciones del Solver,

FIGURA 4.10

Podemos apreciar como es la tabla final, que será la que utilizaremos para hacer los gráficos, en la figura 4.11.

FIGURA 4.11


Una vez tenemos la tabla pasaremos a hacer los gráficos de las series temporales. Empezaremos por dibujar la serie temporal del tipo de cambio. Hacemos Insertar, Línea y seleccionamos el primer gráfico, por ejemplo. Nos saldrá un cuadro en blanco, lo seleccionamos y vamos a Seleccionar datos, y allí añadimos la serie que nos interesa.

GRÁFICO 4.1. TIPO DE CAMBIO

A continuación hacemos lo mismo, pero para el nivel de precios.

GRÁFICO 4.2. NIVEL DE PRECIOS

A partir de estos dos gráficos podemos ver que la política monetaria expansiva conlleva una sobrerreacción del tipo de cambio a corto plazo. La sobrerreacción se puede explicar, por un lado, por la propia depreciación generada por la aplicación de la política monetaria y, por otro lado, por el comportamiento de los agentes. Estos anticipan la depreciación y venden sus divisas, hecho que acaba favoreciendo una mayor depreciación de la esperada. A largo plazo la sobrerreacción desaparece y el tipo de cambio se estabiliza en su estado estacionario. Por lo que respecta al nivel de precios, estos presentan una rigidez a corto período, pero se van incrementando progresivamente hasta llegar al nuevo estado estacionario.

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tipo

de

cam

bio

Períodos

0102030405060708090

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Prec

ios

Períodos

Expectativas y política económica 48

Capítulo 5. Expectativas y política económica

En esta práctica nos proponemos estudiar el papel de las expectativas en el resultado de la política económica. Supondremos que la evolución de una economía se puede describir a través del siguiente sistema de ecuaciones:

ut = ut-1 – 0,5(γyt – 0,025) (Ley de Okun)

πt – πet = – (ut – 0,08) (Curva de Phillips)

γyt = γMt – πt (Demanda Agregada)

Donde ut es la tasa de desempleo en el período t, γyt es la tasa de crecimiento del output entre t–1 y t, πt y πet representan la tasa de inflación actual y esperada respectivamente, y γMt es la tasa de crecimiento de la oferta monetaria entre t–1 y t. Suponemos que inicialmente la economía se encuentra en equilibrio y que la oferta de dinero crece a una tasa del 17,5%. 5.1 Expectativas adaptativas

Empezamos estudiando el caso en que los agentes forman las expectativas de manera totalmente adaptativa, es decir, πet = πt-1.

Lo primero que haremos es calcular la tasa de inflación inicial. Para encontrarla, buscaremos el estado estacionario de las variables que forman las ecuaciones nombradas anteriormente. Empezamos utilizando la curva de Phillips con el fin de encontrar el estado estacionario de la inflación (𝜋�). Antes, tendremos que aplicar la ecuación de las expectativas adaptativas. Recordemos que el estado estacionario se encuentra igualando 𝜋�= πt – πt-1 = 0.

Expectativas

y política económica 5


Obtenemos el nivel de desempleo una vez hemos aplicado las expectativas adaptativas a la curva de Phillips:

πt – πt-1 = – (ut –0,08)

0 = (ut – 0,08)

0 = –ut + 0,08

ut = 0,08

De esta manera vemos que hay una tasa de desempleo del 8%. A continuación utilizamos la ley de Okun para encontrar el valor de la tasa de crecimiento del output en el estado estacionario. Recordemos que todas las variables están en estado estacionario; por lo tanto, 𝑢� = 𝑢𝑡 − 𝑢𝑡−1 = 0.

ut = ut-1 –0,5(γyt – 0,025)

0 = –0,5(γyt – 0,025)

0 = γyt – 0,025

γyt = 0,025

Obtenemos que la tasa de crecimiento del output es del 2,5%. Finalmente, utilizaremos la ecuación de la demanda agregada (DA) con el fin de encontrar el valor inicial de la inflación.

γyt = γMt – πt

0,025 = 0,175 – πt

πt = 0,15

De este modo, la tasa de inflación inicial es del 15%.

Suponemos que el Banco Central anuncia el objetivo de reducir la tasa de inflación al 5%, mediante la aplicación de una política monetaria que reduciría la inflación al nivel deseado, adoptando la misma tasa de crecimiento del dinero en cada período. ¿Cuáles serán los efectos de esta política en la economía?

Para contestar la pregunta que nos hemos planteado, primero que todo es necesario que preparemos las ecuaciones para poder solucionar el modelo en Excel. Necesitamos obtener una ecuación del tipo:

𝛾𝑦𝑡=𝑓(𝛾𝑀 , 𝑢𝑡−1 , 𝜋𝑡𝑒)

ecuación que conseguiremos substituyendo la ley de Okun en la curva de Phillips y la ecuación resultante a la DA. Una vez lo tengamos, pasaremos a aplicar las expectativas.


Empezamos a realizar los pasos necesarios para encontrar la ecuación nombrada anteriormente. Recordemos que la Ley de Okun es:

ut = ut-1 – 0,5(γyt – 0,025) (1)

Lo que hemos de hacer es sustituir la ley de Okun en la Curva de Phillips:

πt – πet = – (ut – 0,08)

πt = πet –(ut-1 – 0,5(γyt – 0,025) –0,08)

πt = πet –ut-1 + 0,5γyt +0,0675 (2)

El siguiente paso es sustituir esta ecuación (2) en la demanda agregada:

γyt = γMt – πt donde γMt = 0,175

γyt = γMt – (πet – ut-1 + 0,5γyt + 0,0675)

1,5γyt = γMt – πet + ut-1 – 0,0675

γyt = 𝛾𝑀𝑡−𝜋𝑡𝑒+𝑢𝑡−1−0,0675

1,5 (3)

Ahora, pasamos a aplicar las expectativas, que recordemos que son totalmente adaptativas (πet = πt-1). Una vez hemos aplicado las expectativas a las ecuaciones (2) y (3), encontraremos las ecuaciones con el formato que buscábamos.

πt = πt-1 - ut-1 + 0,5γyt + 0,06 75 (4)

γyt = 𝜸𝑴𝑴−𝝅𝑴−𝟏+𝒖𝑴−𝟏−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏,𝟎

(5)

Una vez las tengamos, recordemos que estamos en una situación económica en la que el Banco Central anuncia que implantará una política monetaria para reducir la tasa de inflación al 5%, aplicando la misma tasa de crecimiento del dinero en cada período.

Lo que nos interesa es ver cómo variarán la tasa de crecimiento del output, la tasa de desempleo y la inflación una vez se implante esta política. Con el fin de analizar los resultados de la política realizaremos una tabla, un diagrama bivariante en el plano (u,π) y un gráfico para la evolución de la inflación, de la tasa de crecimiento del output y del desempleo a lo largo del tiempo (unos 30 o 40 períodos).

Empezaremos haciendo la tabla, ya que a partir de ella podremos hacer tanto el diagrama bivariante como el gráfico necesarios. Realizaremos una tabla con el Excel donde aparezcan el tiempo, y las cuatro variables que forman la ecuación (5), es decir, 𝛾yt, 𝑢𝑡 , 𝜋𝑡 y 𝛾Mt.


El tiempo lo formarán 40 períodos, mientras que los valores de las variables del período inicial (período 0) serán aquellos valores encontrados en el primer apartado, es decir, una inflación del 15%, un desempleo del 8%, una tasa de crecimiento del output del 2,5% y una tasa de crecimiento de la oferta monetaria del 17,5%.

Una vez tengamos los valores del período 0, lo que hemos de hacer es completar las celdas a partir del primer período. Utilizaremos las ecuaciones desarrolladas. La ecuación (1) irá a la celda del desempleo, la ecuación (4) irá a la de la inflación y la ecuación (5) a la tasa de crecimiento del output. Como que la política prevé una tasa de crecimiento de la oferta monetaria constante a partir del período 1, esta será la misma durante los 40 períodos y será la que tendremos que encontrar a partir del Solver. Podemos ver cómo queda la tabla sin aplicar Solver en la figura 5.1.

FIGURA 5.1

Tiempo γyt ut πt γMt 0 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

1 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

2 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

3 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

4 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

5 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

... ... ... ... ...

35 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

36 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

37 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

38 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

39 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

40 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

Para obtener una tasa única tendremos que poner que la celda E4 sea igual a la celda E3; clicamos con el ratón el extremo inferior-derecho de la celda y arrastramos hacia abajo para obtener el resto de la serie. Una manera más rápida de hacerlo es haciendo doble clic en el mismo punto, en este caso el Excel llena las celdas hasta la última fila.


El objetivo del gobierno es reducir la tasa de inflación al 5%. Por lo tanto, lo que queremos es que la tasa de inflación en el período 40 sea del 5% en vez del 15% como teníamos en el período inicial. A partir de esta información, pasaremos a hacer Datos, Solver.

La función objetivo será la inflación en el período 40, y tendremos que poner que sea igual a 0,05 (5%). A Cambiando las celdas de variables tan solo hemos de poner la celda E4 (Figura 5.2) porque previamente hemos puesto que el resto de celdas de la misma columna, E5, ..., E43, sean iguales a esta.

FIGURA 5.2

La tabla que nos quedará una vez cliquemos Resolver, la podemos ver en la figura 5.3:

FIGURA 5.3

Tiempo γyt ut πt γMt

0 2,50% 8,00% 15,00% 17,50%

1 -4,17% 11,33% 11,67% 7,50%

2 0,28% 12,45% 7,22% 7,50%

3 3,98% 11,70% 3,52% 7,50%


4 5,96% 9,98% 1,54% 7,50%

5 6,12% 8,16% 1,38% 7,50%

... ... ... ... ...

35 2,51% 8,00% 4,99% 7,50%

36 2,51% 8,00% 4,99% 7,50%

37 2,50% 8,00% 4,99% 7,50%

38 2,50% 8,00% 5,00% 7,50%

39 2,50% 8,00% 5,00% 7,50%

40 2,50% 8,00% 5,00% 7,50%

Vemos que para reducir la inflación del 15% al 5% en 40 períodos, la tasa de crecimiento de la oferta monetaria ha de ser del 7,50%. Con los valores de la tabla pasamos a hacer los gráficos, que nos servirán para argumentar mejor los resultados obtenidos. Empezamos para hacer el gráfico de dispersión entre la tasa de desempleo y la tasa de inflación.

Hacemos Insertar, Dispersión y seleccionamos el segundo gráfico, dispersión con líneas suavizadas y marcadores. Clicamos a Seleccionar datos, y colocamos la serie del desempleo en el eje X y la serie de la inflación en el eje Y.

GRÁFICO 5.1. Gráfico de dispersión de la tasa de desempleo y la tasa de inflación

Una vez tenemos el gráfico de dispersión hecho, pasamos a hacer el gráfico para la evolución de la inflación, de la tasa de crecimiento del output y del desempleo a lo largo del tiempo.

Hacemos Insertar, Líneas, Seleccionar datos, y añadimos las tres series que queremos comparar. Es necesario tener en cuenta que en el eje X hemos de poner la serie del tiempo porque nuestra serie empieza en el período 0.

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%

Tas

a de

infla

ción

Tasa de desempleo


GRÁFICO 5.2. Evolución de la tasa de inflación, la tasa de desempleo y la tasa de crecimiento del output

El gráfico 5.2 nos muestra que la política monetaria no tiene efectos sobre la tasa de crecimiento del output, ni sobre el desempleo a largo plazo. A pesar de esto, consigue reducir la inflación hasta el nivel deseado. A corto plazo, pero, hay fluctuaciones en las tres variables.

Cambiamos de escenario y nos volvemos a situar en el punto inicial donde partimos de una inflación del 15%. Ahora el Banco Central anuncia el objetivo de reducir la tasa de inflación al 5%, a partir de una política monetaria más moderada, que reducirá la inflación poco a poco, aplicando una reducción a la tasa de crecimiento de la oferta monetaria del 2,5% cada cinco años ¿Cómo variarán la tasa de crecimiento del output, la tasa de desempleo y la inflación a lo largo del tiempo, si hacemos este supuesto? Empezamos por hacer la misma tabla que en el apartado anterior, pero variando el comportamiento de la tasa de crecimiento de la oferta monetaria.

En este caso, la tasa de crecimiento de la oferta monetaria no será constante durante los 40 períodos, sino que cada cinco años la tendremos que reducir en un 2,5%. Durante los cuatro años siguientes a la reducción, la tasa de crecimiento de la oferta monetaria se mantendrá invariante. Así, por ejemplo, la celda E4=E3-0,025 (figura 5.1), y la celda E9 = E8-0,025. Continuaremos con estas sucesivas reducciones hasta que consigamos una inflación del 5%.

Vemos en la figura siguiente cómo deben quedarnos las expresiones en formato Excel (hay que tener en cuenta que las últimas dos columnas son la misma en nuestro fichero Excel, solo es para ilustrar el ejemplo):

FIGURA 5.4

A B C D E E

Tiempo γyt ut πt γMt (expresión)

γMt (valor)

3 0 2,50% 8,00% 15,00% 17,500% 17,50%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

%

Períodos

tasa de crecim. del output (1) tasa de desempleo (1) tasa de inflación (1)


4 1 0,83% 8,83% 14,17% =E3-0,025 15,00%

5 2 1,94% 9,11% 13,06% =E4 15,00%

6 3 2,87% 8,93% 12,13% =E5 15,00%

7 4 3,36% 8,49% 11,64% =E6 15,00%

8 5 3,41% 8,04% 11,59% =E7 15,00%

9 6 1,46% 8,56% 11,04% =E8-0,025 12,50%

10 7 2,18% 8,72% 10,32% =E9 12,50%

11 8 2,77% 8,58% 9,73% =E10 12,50%

12 9 3,07% 8,30% 9,43% =E11 12,50%

13 10 3,08% 8,01% 9,42% =E12 12,50%

14 11 1,23% 8,65% 8,77% =E13-0,025 10,00%

15 12 2,08% 8,86% 7,92% =E14 10,00%

16 13 2,79% 8,71% 7,21% =E15 10,00%

17 14 3,17% 8,38% 6,83% =E16 10,00%

18 15 3,20% 8,03% 6,80% =E17 10,00%

19 16 1,32% 8,62% 6,18% =E18 7,50%

20 17 2,12% 8,81% 5,38% =E19 7,50%

21 18 2,79% 8,66% 4,71% =E20 7,50%

... ... ... ... ... ... ...

42 39 2,51% 8,01% 4,99% =E41 7,50%

43 40 2,51% 8,00% 4,99% =E42 7,50%

En este caso no es necesario utilizar el Solver, tan solo hemos de ver a partir de qué período la tasa de inflación llega al 5%. Como se observa en la figura 5.4, solo son necesarias cuatro reducciones del 5% sobre la tasa de crecimiento de la oferta monetaria para conseguir el objetivo propuesto. Con estas tres reducciones, la tasa de crecimiento de la oferta monetaria pasará del 17,5% al 7,5% y permitirá reducir la inflación al 5%.

Ahora volvemos a hacer los mismos gráficos, pero con los nuevos datos con el fin de argumentar mejor los resultados obtenidos. Empezamos por hacer el gráfico de dispersión entre la tasa de desempleo y la tasa de inflación. Volvemos a hacer Insertar, Dispersión y seleccionamos el segundo gráfico, dispersión con líneas suavizadas y marcadores. Clicamos a Seleccionar datos, y colocamos la serie del desempleo en el eje X y la serie de la inflación en el eje Y.


GRÁFICO 5.3. GRÁFICO DE DISPERSIÓN DE LA TASA DE DESEMPLEO Y LA TASA DE INFLACIÓN

Como en el caso anterior, una vez tengamos el gráfico de dispersión hecho, pasamos a hacer el gráfico para la evolución de la inflación, de la tasa de crecimiento del output y del desempleo a lo largo del tiempo.

Vamos a Insertar, Líneas, Seleccionar datos, y añadimos las tres series que queremos comparar.

GRÁFICO 5.4. EVOLUCIÓN DE LA TASA DE INFLACIÓN, LA TASA DE DESEMPLEO Y LA TASA DE

CRECIMIENTO DEL OUTPUT

La reducción gradual de la tasa de crecimiento del dinero permite que las

fluctuaciones de la economía a corto plazo sean de menor intensidad.

Hemos visto hasta ahora que la evolución del nivel de desempleo y la evolución de la tasa de crecimiento del output varían dependiendo de si el Banco Central prefiere reducir la tasa de crecimiento de la oferta monetaria de golpe, o la va reduciendo un

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

5% 6% 6% 7% 7% 8% 8% 9% 9% 10% 10%

Tas

a de

infla

ción

Tasa de desempleo

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

%

Períodos

tasa de crecim. del output (2) tasa de desempleo (2) tasa de inflación (2)


2,5% cada cinco años. Pues bien, haremos un gráfico donde nos aparecerá el nivel de desempleo de ambos casos y otro con la tasa de crecimiento del output.

Empezaremos por hacer el gráfico sobre la tasa de desempleo. Lo que hemos de hacer es copiar las dos columnas del desempleo (la de la primera política y la de la segunda política), y hacer un gráfico de líneas. Así es que una vez tengamos las dos series del desempleo en una misma hoja, hacemos Insertar, Líneas, Seleccionar datos, y añadimos estas dos series.

Nota: Diferenciaremos los desempleos con 1 y 2, según la política utilizada por el Banco Central.

GRÁFICO 5.5. EVOLUCIÓN DE LA TASA DE DESEMPLEO

En el primer caso el desempleo es mucho más volátil, es decir, presenta una evolución más extrema, llega hasta tasas elevadas y seguidamente tiene un decrecimiento importante para acabar estabilizándose en una tasa del 8%. Esta alta volatilidad es debida a la drástica reducción en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria. Por el contrario, la segunda política, al presentar una rebaja más gradual del crecimiento de la oferta monetaria, provoca menos volatilidad en la tasa de desempleo, aunque acabe estabilizándose en el mismo punto.

Una vez vista la evolución de la tasa de desempleo, pasamos a ver la evolución de

la tasa de crecimiento del output. Hacemos los mismos pasos que hemos hecho con el desempleo, pero seleccionando las series correspondientes. De esta manera obte-nemos el gráfico 5.6.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

%

Períodos

tasa de desempleo (1) tasa de desempleo (2)


GRÁFICO 5.6. EVOLUCIÓN DE LA TASA DE CRECIMIENTO DEL OUTPUT

Podemos observar como la aplicación de una política o de otra provoca los mismos efectos que en el caso del desempleo.

5.2 Expectativas racionales

En el apartado anterior suponíamos que las expectativas de los individuos eran adaptativas. En este apartado, en cambio, supondremos que los individuos crean sus propias expectativas de manera racional; por lo tanto,

𝜋𝑡𝑒=Et-1 (πt)

Consideraremos que la desinflación es perfectamente creíble y que la inflación esperada es del 5%. Lo que se tratará es de ver qué pasará en la economía y cuál es el papel de las expectativas en este cambio. Además, intentaremos ver la importancia de la credibilidad del Banco Central.

Los pasos que seguir con tal de ver los efectos de la política son los mismos que en el apartado anterior; por lo tanto, lo primero que haremos es aplicar expectativas raciones en vez de adaptativas a las ecuaciones (2) y (3). En otras palabras, debemos cambiar las ecuaciones que introducimos en Excel. De esta manera obtenemos:

𝜋𝑡 = 𝐸𝑡−1(𝜋𝑡) − 𝑢𝑡−1 + 0,5𝛾𝑦𝑡 + 0,0675 (6)

𝛾𝑦𝑡 = 𝛾𝑀𝑡−𝐸𝑡−1(𝜋𝑡)+𝑢𝑡−1−0,06751,5

(7)

Empezamos por realizar la tabla.

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

%

Períodos

tasa de crecim. del output (1) tasa de crecim. del output (2)


FIGURA 5.5

Tiempo 𝜸𝒚𝑴 𝒖𝑴 𝝅𝑴 𝑬𝑴−𝟏(𝝅𝑴) 𝜸𝑴𝑴 0 2,50% 8,00% 15,00% 5,00% 17,50%

1 9,17% 4,67% 8,33% 5,00% 17,50%

2 6,94% 2,44% 10,56% 5,00% 17,50%

3 5,46% 0,96% 12,04% 5,00% 17,50%

4 4,48% -0,02% 13,02% 5,00% 17,50%

5 3,82% -0,68% 13,68% 5,00% 17,50%

... ... ... ... ... ...

35 2,50% -2,00% 15,00% 5,00% 17,50%

36 2,50% -2,00% 15,00% 5,00% 17,50%

37 2,50% -2,00% 15,00% 5,00% 17,50%

38 2,50% -2,00% 15,00% 5,00% 17,50%

39 2,50% -2,00% 15,00% 5,00% 17,50%

40 2,50% -2,00% 15,00% 5,00% 17,50%

Ahora volvemos a utilizar el Solver, y escribimos que la inflación del último período ha de ser del 5%.

FIGURA 5.6

La tabla que nos queda la podemos ver en la figura 5.7.


FIGURA 5.7


1 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

2 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

3 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

4 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

5 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

... ... ... ... ... ...

35 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

36 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

37 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

38 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

39 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

40 2,50% 8,00% 5,00% 5,00% 7,50%

Una vez tenemos la tabla, empezamos por hacer el gráfico de la evolución de la inflación, de la tasa de crecimiento del output y del desempleo a lo largo del tiempo.

Hacemos Insertar, Líneas, Seleccionar datos, y añadimos las tres series que queremos comparar.



Ahora pasamos a hacer el gráfico de dispersión entre la tasa de desempleo y la tasa de inflación. Hacemos Insertar, Dispersión y seleccionamos el segundo gráfico,

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

%

Períodos

tasa crecim. del output tasa de desempleo tasa de inflación


dispersión con líneas suavizadas y marcadores. Clicamos en Seleccionar datos, y colocamos la serie del desempleo en el eje X y la serie de la inflación en el eje Y. El gráfico 5.8 muestra los resultados.

GRÁFICO 5.8. GRÁFICO DE DISPERSIÓN ENTRE LA TASA DE DESEMPLEO Y LA INFLACIÓN

Se puede observar como en este caso no se producen distorsiones en la economía y automáticamente, gracias a la confianza y credibilidad respecto a la política monetaria llevada a cabo, la reducción drástica de la tasa de crecimiento de la oferta monetaria en un solo período no afecta a las otras variables. Lo mismo podemos ver en el gráfico de dispersión, ya que la inflación pasa del 15% al 5%, mientras que la tasa de desempleo se mantiene en el 8%.

Ahora cambiamos de supuesto y consideraremos que la gente no cree que el Banco Central sea capaz de reducir la inflación de la manera necesaria y que la inflación esperada sea del 10%. ¿Qué pasará en este caso, en que no hay confianza por parte de los individuos?

Para poder explicarlo volvemos a hacer la tabla y los dos gráficos anteriores, pero con las nuevos datos. Antes de hacer el Solver, debemos cambiar el 5% por el 10% en la inflación esperada. En este caso, la función objetivo vuelve a ser la misma, es decir, queremos que la inflación del último año sea igual al 5%.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00%

Tas

a de

infla

ción

Tasa de desempleo


FIGURA 5.8

La tabla que nos sale una vez hacemos clic en Resolver, la vemos en la figura 5.9:

FIGURA 5.9


1 -0,83% 9,67% 8,33% 10,00% 7,50%

2 0,28% 10,78% 7,22% 10,00% 7,50%

3 1,02% 11,52% 6,48% 10,00% 7,50%

4 1,51% 12,01% 5,99% 10,00% 7,50%

5 1,84% 12,34% 5,66% 10,00% 7,50%

... ... ... ... ... ...

35 2,50% 13,00% 5,00% 10,00% 7,50%

36 2,50% 13,00% 5,00% 10,00% 7,50%

37 2,50% 13,00% 5,00% 10,00% 7,50%

38 2,50% 13,00% 5,00% 10,00% 7,50%

39 2,50% 13,00% 5,00% 10,00% 7,50%

40 2,50% 13,00% 5,00% 10,00% 7,50%


A partir de la tabla que podemos ver en la figura 5.9 y tal como hemos hecho anteriormente, empezaremos por hacer el gráfico para la evolución de la inflación, de la tasa de crecimiento del output y del desempleo a lo largo del tiempo.

Hacemos Insertar, Líneas, Seleccionar datos, y añadimos las tres series que queremos comparar.



Ahora pasamos a hacer el gráfico de dispersión entre la tasa de desempleo y la tasa de inflación. Hacemos Insertar, Dispersión y seleccionamos el segundo gráfico, dispersión con líneas suavizadas y marcadores. Clicamos a Seleccionar datos, y colocamos la serie del desempleo en el eje X y la serie de la inflación en el eje Y.

GRÁFICO 5.10. GRÁFICO DE DISPERSIÓN ENTRE LA TASA DE DESEMPLEO Y LA INFLACIÓN

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

%

Períodos

tasa crecim. del output tasa de desempleo tasa de inflación

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%

Tas

a de

infla

ción

Tasa de desempleo


En este caso, no se confía totalmente en la política monetaria que se lleva a cabo y de sus efectos, hecho que acaba provocando que no se consigan los objetivos deseados inmediatamente, aunque finalmente se consiga la tasa de inflación del 5%. El inconveniente es que se acaba generando una tasa de desempleo a largo plazo del 13%, más elevada de lo que tendríamos si la política fuera creíble, como se ha observado en este mismo apartado.

Modelo de Fisher 65

Capítulo 6. Modelo de Fisher

Como es bien sabido, el economista estadounidense Irving Fisher desarrolló un modelo donde los economistas podían analizar las decisiones intertemporales de los consumidores. Según el modelo, cuando las personas deciden cuánto consumir y cuánto ahorrar, consideran tanto el presente como el futuro. Cuanto más consumo se gaste hoy, menos ingreso se tiene para gastar mañana. Para tomar esta decisión, el consumidor ha de ponderar los ingresos que espera recibir en el futuro y el consumo de bienes que espera ser capaz de pagar.

6.1 El modelo de dos períodos

El modelo de elección intertemporal está tomado del libro de texto de macro-economía de Mankiw (5a edición, capítulo 16). Este incluye las limitaciones de los consumidores, sus preferencias, y cómo estas limitaciones y preferencias en conjunto determinan sus decisiones sobre el consumo intertemporal y el ahorro.

Suponemos que el consumidor vive solo dos períodos: es joven en el primer período y viejo en el segundo. El consumidor gana los ingresos 𝑌1 y consume la cantidad 𝐶1 en el primer período; mientras que gana los ingresos 𝑌2 y consume la cantidad 𝐶2 en el segundo período. Aparte, tiene la oportunidad de pedir prestado o de ahorrar en el primer período. De este modo, el consumo en uno de los dos períodos puede ser mayor o menor que los ingresos de ese período.

En el primer período, el consumo es igual a los ingresos menos el ahorro. De esta manera:

𝐶1 = 𝑌1 − 𝑆 (1)

Modelo de Fisher 6

Modelo de Fisher 66

donde S es el ahorro. En el segundo período, el consumo iguala los ingresos del segundo período más el ahorro acumulado, los cuales incluyen los intereses ganados con el ahorro. De esta manera:

𝐶2 = 𝑌2 + (1 + 𝑟)𝑆 (2)

donde r es el tipo de interés real.

En relación con la variable S, esta puede representar tanto el ahorro como la cantidad prestada. Por ejemplo, si el consumo en el primer período es menor que los ingresos del primer período, el consumidor está ahorrando, por lo que S será mayor que cero. Por el contrario, si el consumo del primer período excede los ingresos dicho período, el consumidor ha pedido prestado, y S será negativo. Para simplificar, supondremos que el tipo de interés de pedir prestado es el mismo tipo de interés que se obtiene al ahorrar.

Si aislamos S en la restricción (1) y ponemos su valor a la restricción (2), obtenemos la siguiente restricción presupuestaria intertemporal:

𝐶1 + 𝐶2(1+𝑟)

= 𝑌1 + 𝑌2(1+𝑟)

(3)

Esto implica que el valor actual del consumo, es decir, la suma del valor del consumo de hoy y de mañana valorado a día de hoy, tiene que ser igual al valor presente descontado de los ingresos obtenidos.

La utilidad a lo largo de la vida del consumidor, teniendo en cuenta el consumo en los dos períodos, se puede representar en la siguiente ecuación, donde a la utilidad se le ha dado una función logarítmica:

𝑈(𝐶1, 𝐶2) = ln(𝐶1) + 𝛽ln (𝐶2)

El parámetro β que hemos añadido está entre cero y uno, y mide el grado de impaciencia de las familias con relación al consumo del primer período; siendo β igual a cero cuando a la persona no le interesa el consumo futuro, o β igual a uno cuando la utilidad que le proporciona el consumo presente al individuo es la misma que le da el consumo futuro.

Modelo de Fisher 67

6.2 Optimización a partir del Solver

Una vez hemos discutido la restricción presupuestaria del consumo y la utilidad, podemos considerar la decisión sobre cuanto consumir. El consumidor quiere escoger la mejor combinación posible de consumo en los dos períodos, es decir, la que le reporte el nivel más alto posible de utilidad. Para conseguir esto, el consumidor tiene que elegir los dos niveles de consumo que maximicen su utilidad sujeta a la restricción presupuestaria intertemporal.

max𝐶1,𝐶2 ln(𝐶1) + 𝛽ln (𝐶2)

s.a. 𝐶1 + 𝐶2(1+𝑟)

= 𝑌1 + 𝑌2(1+𝑟)

Una vez tenemos el sistema de maximización determinado, pasaremos a hacer un Excel donde colocaremos las variables, los parámetros, la restricción y la función objetivo. Con la ayuda del Excel-Solver se puede encontrar esta combinación óptima de consumo.

Primero introducimos el valor de los parámetros. Supondremos que β es igual a 0,85, la tasa de interés de 0,25, la renta 𝑌1 es 1.000€ y la renta 𝑌2 es 2.000€. Para hacer el análisis sencillo, asumimos que todas las variables son reales, es decir, que están ajustadas a la inflación. Introducimos los valores iniciales del consumo presente y futuro; decidimos poner el valor de 500, pero también podríamos poner cualquier otro valor, de manera arbitraria.

Cuando hemos acabado de introducir todos los datos a la tabla, vamos a Datos, Solver, y completamos lo que nos pide. Así es como nos quedaría,

FIGURA 6.1

Modelo de Fisher 68

Nota: No debemos seleccionar la casilla Convertir variables sin restricciones en no negativas.

Una vez lo tengamos todo, ya podríamos darle a Resolver,

FIGURA 6.2

Tal como podemos ver en la figura 6.2, el consumidor maximiza su utilidad consumiendo el equivalente a 1.405,41€ cuando es joven y 1.493,24€ cuando es mayor. Por otra parte, como los ingresos son menores que el consumo del primer período, el consumidor está pidiendo prestado 405,41€. Además, podemos ver como el valor de la restricción en la celda B12 es cero, hecho que implica que el consumidor satisface la restricción presupuestaria intertemporal. El valor de la función objetivo, representado en la casilla B18, nos muestra que con los 1.405,41€ de consumo en el primer período, y los 1.493,24€ del segundo período, la utilidad obtenida es de 13,46 unidades.

La hoja diseñada nos permite realizar fácilmente un análisis de estática comparativa mediante la modificación de los parámetros del modelo. Por ejemplo, vamos a ver qué pasa si hay un aumento de la tasa de interés del 25% al 50%.

En la Figura 6.3 se puede ver que el aumento de la tasa de interés del 25% al 50% reduce el consumo en el primer período, de 1.405,41€ a 1.261,26€, mientras que el consumo en el segundo período ha aumentado de 1.493,24€ a 1.608,11€. Como el préstamo de dinero se vuelve más caro, el consumidor lo reduce, lo cual disminuye el valor de 𝐶1. Como resultado, el nivel de utilidad cae de 13,46 a 13,42 unidades.

Modelo de Fisher 69

FIGURA 6.3

6.3 Restricción de liquidez

Hasta ahora hemos asumido que el consumidor puede tanto ahorrar como pedir prestado. La capacidad de pedir prestado permite que el consumo actual exceda los ingresos actuales. Cuando el consumidor pide un préstamo, lo que hace es consumir hoy parte de sus ingresos futuros. Debemos tener en cuenta que para mucha gente pedir prestado es muy difícil o hasta imposible. Por ejemplo, una persona en desempleo que quiera comprar un coche probablemente será incapaz de financiar la compra a partir de un préstamo bancario.

Vamos entonces a solucionar el modelo teniendo en cuenta la situación en la que el consumidor no puede pedir prestado. La incapacidad de poderlo hacer provoca que el consumo actual no pueda exceder los ingresos actuales. De manera formal, la restricción se puede expresar de la siguiente forma:

𝑌1 − 𝐶1 ≥ 0

Esta ecuación nos dice que el consumo ha de ser más pequeño o igual que los ingresos del primer período; visto de otra manera, el ahorro no puede ser negativo. Esta restricción adicional en el consumidor se conoce habitualmente como restricción de liquidez (en inglés borrowing constraint).

De este modo, pasamos a introducir la restricción en el problema de maximización.

Modelo de Fisher 70

max𝐶1,𝐶2 ln(𝐶1) + 𝛽 ln(𝐶2)

s.a. 𝐶1 + 𝐶2(1+𝑟)

= 𝑌1 + 𝑌2(1+𝑟)

𝑌1 − 𝐶1 ≥ 0

Esta nueva restricción se tiene que añadir también a la pantalla del Solver, específicamente la celda B15 (Figura 6.4) tiene que ser mayor o igual que 0.

FIGURA 6.4

Clicamos a Resolver y tenemos:

FIGURA 6.5

Modelo de Fisher 71

En este caso hemos solucionado el problema de optimización del consumo teniendo en cuenta la restricción de endeudamiento. Ya que la restricción de endeudamiento es vinculante en este caso, el consumo de ambos períodos iguala a sus respectivos ingresos. El nivel de utilidad se reduce de 13,42 a 13,37 unidades porque el consumidor querría pedir prestado con el fin de consumir más en el primer período, pero como consecuencia de la restricción no puede hacerlo.

6.4 Introducción de un impuesto sobre el ahorro

Hasta ahora asumíamos que no había ningún impuesto que interfiriera en las decisiones del consumidor. Es común que el consumidor deba pagar algún tipo de impuesto al Estado, ya sea sobre el ahorro (impuesto sobre depósitos bancarios) o bien sobre el mismo consumo (el IVA por ejemplo).

A continuación vamos a solucionar el modelo incluyendo un impuesto sobre el ahorro, suprimiendo la restricción crediticia anterior, pues como el consumidor no podía pedir prestado, su decisión óptima era consumir exactamente la renta que obtenía en cada período, por lo que no podríamos ver el efecto del impuesto. Recordemos que el tipo de interés inicial era del 25%.

Debemos modificar nuestra restricción presupuestaria intertemporal, pues lo que hace un impuesto sobre el ahorro es disminuir el valor del retorno de ese ahorro (pues si debemos pagar al Estado una parte del rendimiento que nos proporciona nuestro ahorro, la cantidad total ahorrada es menor). Gráficamente, lo que veríamos es que la introducción de este impuesto cambia la pendiente de la restricción presupuestaria.

Nuestro problema de maximización queda del siguiente modo:

max𝐶1,𝐶2

ln(𝐶1) + 𝛽ln (𝐶2)

s.a. 𝐶1 + 𝐶2(1+𝑟)(1−𝜏)

= 𝑌1 + 𝑌2(1+𝑟)(1−𝜏)

Esta modificación de la restricción intertemporal debe añadirse también en la pantalla del Solver del siguiente modo:

Modelo de Fisher 72

FIGURA 6.6

Clicamos a Resolver y tenemos:

FIGURA 6.7

En este caso hemos solucionado el problema de optimización del consumo teniendo en cuenta la instrucción de un impuesto del 20% sobre el ahorro.

Si hacemos una comparativa con la situación inicial (en donde no había restricción de liquidez), podemos ver que el individuo decide consumir más en el primer período de lo que lo habría hecho inicialmente. Esto tiene sentido ya que al introducir el impuesto sobre el ahorro lo que estamos haciendo es reducir el retorno que

Modelo de Fisher 73

obtenemos (el tipo de interés); por lo tanto, incentivamos a las familias a pedir prestado, pues el precio de endeudarse es también menor debido a que usamos el mismo tipo de interés, así que el coste de oportunidad de traer renta del período dos al período uno es también menor.

FIGURA 6.8

Situación inicial Situación final Y1 1.000 2.000 Y2 1.000 2.000 r 0,25 0,25

𝝉 0 0,20 C1 1.405,41 1.621,62 C2 1.493,24 1.378,38 S -405,41 -621,62

U(C1,C2) 13,46 13,54

Referencias

Mankiw, G. 2011. Principles of Macroeconomics. South-Western College Pub, Sixth

Edition.

Modelos de Pensiones 74

Capítulo 7. Modelos de pensiones

Los sistemas públicos de pensiones existen para garantizar un cierto nivel de ingresos a los jubilados. Suelen justificarse por la falta de previsión de los trabajadores, que tal vez no ahorran lo suficiente para la vejez, y también por motivos redistributivos, ya que los trabajadores con menos ingresos difícilmente pueden satisfacer sus necesidades y a la vez ahorrar para su jubilación.

Existen dos maneras fundamentales en las que el gobierno puede gestionar un sistema de pensiones: el sistema de capitalización y el de reparto. En esta práctica plantearemos un ejercicio sencillo para ver cómo cada sistema afecta a las decisiones de ahorro individuales, y al bienestar.

Para ello construiremos un modelo de ciclo vital en el que los agentes viven dos períodos. En el primer período trabajan y ahorran para poder consumir en el segundo período, en el que no trabajan. El gobierno obliga a los trabajadores a pagar una cantidad en concepto de cotización social y paga a los jubilados una pensión. Dependiendo del modelo nos encontraremos en las siguientes situaciones:

• Si el sistema de pensiones es de capitalización, la cotización se invierte hasta la jubilación del individuo y la pensión que este reciba depende de la rentabilidad que haya tenido esa inversión.

• Si el sistema de pensiones es de reparto, las cotizaciones de todos los trabajadores se suman y reparten entre los jubilados existentes cada período.

Veremos que un sistema de pensiones de reparto se puede justificar bajo determinadas circunstancias incluso si los trabajadores son perfectamente racionales y tienen ingresos suficientes para consumir y ahorrar de jóvenes porque puede permitir mayores niveles de consumo y utilidad.

7.1 El individuo

Dado que nos interesa estudiar la decisión de ahorro de los individuos, nos concentramos en ésta, suponiendo que los individuos trabajan un número fijo de horas y cobran un salario dado, de manera que sus ingresos laborales Υ están dados. El consumo en el primer período 𝐶1 es la diferencia entre estos ingresos laborales Υ y el

Modelos de pensiones

7


ahorro 𝑆. En el segundo período los individuos no trabajan, solo consumen 𝐶2, que es igual al producto de ese ahorro (1 + 𝑟)𝑆, donde 𝑟 es el tipo de interés de mercado.

El objetivo de cada individuo es de nuevo maximizar su utilidad. Supongamos que la utilidad es logarítmica:

𝑈(𝐶1, 𝐶2) = ln(𝐶1) + 𝛽 · ln (𝐶2)

con 𝐶1 = Υ − 𝑆 y 𝐶2 = (1 + 𝑟)𝑆. Maximizando y despejando el ahorro óptimo obtenemos:

𝑆∗ = �𝛽

1 + 𝛽� · Υ

Es decir, con utilidad logarítmica, los individuos ahorran una proporción fija de sus ingresos laborales del primer período, una proporción que es creciente en , la tasa de preferencia intertemporal (que mide la relevancia relativa para el individuo de consumir en el segundo período, es decir el grado de preferencia de consumir en el primer período respecto a consumir en el segundo), pero independiente del tipo de interés r. Con este ahorro, el consumo óptimo del primer y el segundo período, respectivamente, es:

𝐶1∗ = � 1

1+𝛽� · Υ y 𝐶2

∗ = (1 + 𝑟) · � 𝛽1+𝛽

� · Υ

7.2 Sistema de pensiones de capitalización

Supongamos ahora que el gobierno obliga al individuo a pagar durante el primer período una proporción de sus ingresos en concepto de cotización a la seguridad social. Con un sistema de pensiones de capitalización, el gobierno invierte esa cantidad y la devuelve al individuo, aumentada por los intereses, en forma de pensión en el segundo período. Entonces, si el superíndice C denota el sistema de capitalización, 𝐶1

𝑐 = (1 − 𝜏) · Υ − 𝑆 y 𝐶2𝑐 = (1 + 𝑟)(𝑆 + 𝜏Υ). Maximizando y despejando de nuevo el

ahorro óptimo encontramos:

𝑆𝑐 = �𝛽

1 + 𝛽� · Υ − 𝜏Υ

Es decir, ante la imposición por parte del gobierno de pagar una cantidad 𝜏Υ para hacer frente a la jubilación, los individuos ajustan su ahorro, reduciéndolo exactamente en la misma cantidad. El consumo en ambos períodos queda igual que antes de la introducción del sistema de pensiones de capitalización. Este resultado se debe a que


los individuos conocen el nivel de ahorro que maximiza su bienestar y pueden asumir ese nivel de ahorro, no son miopes ni sufren ningún otro impedimento. La intervención del gobierno solo hace que ellos ajusten sus decisiones para conseguir los mismos niveles de consumo que antes de la intervención. Por supuesto, el hecho de que la decisión de trabajo sea exógena en este ejercicio es fundamental para obtener este resultado ya que hace que la cotización social tenga solo efecto renta sobre la decisión del individuo. Por lo tanto, es como un impuesto de suma fija que no distorsiona las decisiones privadas por efecto sustitución. Veamos ahora qué ocurre si el sistema de pensiones es de reparto.

7.3 Sistema de pensiones de reparto

Para estudiar el sistema de pensiones de reparto necesitamos suponer que dos generaciones coexisten un período. En el período 𝑡 hay 𝑁𝑡 individuos que trabajan, ahorran y pagan impuestos. Estos individuos engendran 𝑁𝑡+1 individuos que trabajan en el segundo período (𝑡 + 1), cuando los primeros están jubilados. Suponiendo que la productividad aumenta a tasa 𝑔, los ingresos salariales de la generación nacida en el período 𝑡 + 1 son respecto de los de la generación nacida en el período 𝑡:

Υ𝑡+1 = (1 + 𝑔)Υ𝑡.

En un sistema de pensiones de reparto los jóvenes pagan un impuesto 𝑇 proporcional a su renta que sirve para pagar pensiones a los jubilados en ese período. Por tanto, la restricción presupuestaria del sistema de pensiones es:

𝑁𝑡+1 · 𝑇 · Υ𝑡+1 = 𝑁𝑡 · 𝑝𝑡

donde 𝑝𝑡 representa la pensión que recibe el jubilado que nació y trabajó en el momento 𝑡.

Podemos ver que esta restricción presupuestaria nos dice que la proporción de su renta que pagan en concepto de impuestos todos los individuos que están trabajando en el período actual nacidos en 𝑡 + 1 (𝑁𝑡+1 · 𝑇 · Υ𝑡+1), debe ser igual a las pensiones de todos los que nacieron en el período 𝑡 (𝑁𝑡 · 𝑝𝑡).

En relación con la renta salarial que este jubilado obtuvo en el período anterior, Υ𝑡, podemos escribir la pensión como:

𝑝𝑡 = (1 + 𝑛)(1 + 𝑔) · 𝑇 · Υ𝑡

donde 𝑛 es el crecimiento poblacional (𝑁𝑡+1 = (1 + 𝑛)𝑁𝑡).

¿Cuánto ahorrarán ahora los individuos, en presencia de este sistema de pensiones?


Volvamos a maximizar la utilidad individual 𝑈 con 𝐶1𝑅 = (1 − 𝑇)Υ𝑡 − 𝑆 y 𝐶2

𝑅 =(1 − 𝑟)𝑆 + 𝑝𝑡, donde 𝑅 denota la presencia del sistema de pensiones de reparto. El ahorro óptimo es ahora:

𝑆𝑅 =𝛽

1 + 𝛽· Υ𝑡 −

𝛽 + (1 + 𝑛)(1 + 𝑔)(1 + 𝑟)

(1 + 𝛽) · 𝑇 · Υ𝑡

El ahorro cae porque la renta neta del primer período es menor y además se espera obtener una renta adicional en el segundo período por lo que el ahorro es menos necesario. Pero ahora no está claro si la caída del ahorro da lugar a un consumo menor o mayor en el primer y segundo períodos.

Es fácil comprobar que (1 + 𝑛)(1 + 𝑔) = 1 + 𝑟, el sistema de pensiones de capitalización y el de reparto son equivalentes, suponiendo que la cotización es igual (𝜏 = 𝑇). Podemos comprobarlo comparando el nivel de ahorro en ambos casos (𝑆𝑅 𝑦 𝑆𝐶 ). Pero, ¿qué pasa cuando esa identidad no se cumple? Veamos primero que le ocurre al consumo del primer período, 𝐶1

𝑅 = (1 − 𝑇)Υ𝑡 − 𝑆 que le pasa al consumo del primer período, 𝐶1

𝑅, cuando sustituimos el ahorro óptimo 𝑆𝑅.

𝐶1𝑅 =

11 + 𝛽

· (1 − 𝑇) · Υ𝑡 +

(1 + 𝑛)(1 + 𝑔)(1 + 𝑟)(1 + 𝛽)

· 𝑇 · Υ𝑡

De nuevo, si (1 + 𝑛)(1 + 𝑔) = 1 + 𝑟, el consumo del primer período 𝐶1𝑅 es igual

que en ausencia de un sistema de pensiones o con uno de capitalización 𝐶1∗. Pero si

(1 + 𝑛)(1 + 𝑔) > 1 + 𝑟, el consumo del primer período es mayor en un sistema de reparto. Pero si se consume más y se ahorra menos en el primer período, ¿será que el consumo en el segundo período es ahora más bajo? ¡No!

𝐶2𝑅 = (1 + 𝑟) ·

𝛽1 + 𝛽

· (Υ𝑡 − 𝑇 · Υ𝑡) + (1 + 𝑛) · (1 + 𝑔) ·𝛽

(1 + 𝛽) · 𝑇 · Υ𝑡

Precisamente cuando (1 + 𝑛)(1 + 𝑔) > 1 + 𝑟 el consumo en el segundo período 𝐶2

𝑅 también será mayor que en ausencia del sistema (𝐶2∗) y, consecuentemente, mayor

que en presencia de un sistema de pensiones de capitalización.

Por lo tanto, si la economía crece más que el tipo de interés, el sistema de pensiones de reparto permite mayores niveles de consumo tanto para los trabajadores, que necesitan ahorrar menos, como para los jubilados, que reciben una pensión mayor. En cambio, lo contrario ocurre cuando el tipo de interés crece más deprisa.

7.4 Simulaciones

A continuación planteamos un ejercicio numérico para comprobar si se cumplen las implicaciones teóricas del modelo expuesto anteriormente.


Sistema privado

Comenzaremos por simular la decisión de ahorrar del individuo sin ningún sistema de pensiones público. Bajo este escenario, y dado tanto el nivel de renta Y como el tipo de interés r, el individuo debe escoger el ahorro individual que maximice su función de utilidad tal como se aprecia en la figura 7.1

FIGURA 7.1

En la figura 7.I, los parámetros del modelo corresponden al salario bruto promedio mensual en España durante el período 2003-2013 (𝑌 = 1.779 euros) y el tipo de interés promedio de 2,7% sobre los depósitos a largo plazo durante igual período de tiempo (𝑟 = 0,027). La variable de elección es el ahorro 𝑆 que debe ir en la casilla Cambiando las celdas de variables que aparece en el recuadro “Parámetros de Solver”. Hemos escogido un valor inicial arbitrario de 500 euros, pues si no incluimos este valor inicial, Solver no va a poder resolverlo.

Recordemos que estamos en un sistema de ahorro individual, entonces tendremos que poner las restricciones de consumo en los dos períodos. En el primero podremos consumir la renta que obtengamos menos la parte que decidamos ahorrar (𝐶1 = Υ −𝑆). En el segundo período el individuo no trabaja; por lo tanto, solo podrá consumir lo que haya ahorrado más el rendimiento que esto haya producido (𝐶2 = (1 + 𝑟) · 𝑆).

El problema de optimización en Solver consiste simplemente en encontrar el nivel de ahorro de la celda B6 que maximiza la función objetivo B13. Es de destacar que las ecuaciones de consumo de los dos períodos que aparecen en las celdas B9 y B10 han sido incluidas en la celda de la función objetivo B13. Por lo tanto, la celda B13 se refiere a la función de utilidad del individuo la cual depende solamente del ahorro y de


los parámetros del modelo. Esto es, 𝑈 = ln(𝐶1) + ln(𝐶2) = ln(Υ − 𝑆) + ln ((1 + 𝑟) ·𝑆). A continuación, hacemos clic en Resolver del Solver y obtenemos la solución del modelo tal como se observa en la figura 7.2.

FIGURA 7.2

Tal como se puede observar en la figura 7.2, el individuo ha decidido ahorrar 890 euros por mes durante su vida laboral, lo cual le permite consumir 889 euros durante su vida activa (C1) y 914 euros cuando deja de trabajar (C2). Esta decisión le reporta una utilidad intertemporal de 13,608 útiles.

Sistema de capitalización

A continuación, introduciremos un sistema de capitalización en el cual el gobierno obliga a los individuos a ahorrar una proporción τ de su renta. Asumiremos que este impuesto es igual a 16% de la renta Y, lo cual es equivalente a la proporción del sueldo bruto que se va a las pensiones contributivas en España. El resto de los parámetros del modelo son los mismos que en sistema de ahorro individual presentado anteriormente. La figura 7.3 muestra el problema de optimización del individuo bajo el sistema de capitalización.


FIGURA 7.3

Al igual que en la figura 7.1, hemos asumido un nivel inicial de ahorro arbitrario de 500 (celda B7). Tal como se puede observar en las celdas B10 y B11, el consumo de ambos períodos del individuo se ve afectado por 𝜏, debido a que ahora debe destinar parte de su salario bruto a las pensiones durante su vida laboral, además del ahorro individual que decida hacer, mientras que durante su jubilación no solamente recibirá el rendimiento de lo ahorrado, sino también de lo destinado a las pensiones.

Al resolver el problema de optimización en la figura 7.4, podemos observar, tal y como predice el modelo teórico, que el individuo ha decidido ajustar su ahorro con la finalidad de mantener el mismo nivel de consumo y, por lo tanto, de utilidad. Es decir, el individuo ha decidido reducir su ahorro voluntario desde 890 euros en la figura 7.2 hasta los 605 euros en la figura 7.4. En ambos casos, la utilidad es igual a 13,608 útiles.


FIGURA 7.4

Sistema de reparto

La última simulación consiste en resolver el problema de optimización del individuo bajo el sistema de reparto. En este caso, y tal como se explicó en el modelo teórico, los jubilados reciben una pensión 𝑝𝑡 = (1 + 𝑛)(1 + 𝑔)𝑇Υ𝑡, que es pagada con una proporción 𝑇 de la renta de los jóvenes.

Ahora debemos incluir el crecimiento poblacional n y la tasa de crecimiento de la productividad laboral 𝑔 como parámetros del modelo. Asumiremos que 𝑇 = 𝜏 y, de acuerdo a los datos observados en España entre 2003 y 2013, fijaremos las tasas de crecimiento de la población en edad de trabajar y de la productividad por trabajador en 1,4% y 1,3%, respectivamente (𝑛 = 0,014 y 𝑔 = 0,013). El resto de parámetros serán los mismos a los utilizados en los escenarios anteriores. Nuevamente, hemos asumido un valor inicial de 500 euros sobre el ahorro. La figura 7.5 muestra el problema de optimización del individuo bajo el sistema de reparto, mientras que la Figura 7.6 nos muestra la solución del problema.


FIGURA 7.5

FIGURA 7.6

Al comparar la figura 7.6 con la 7.4, podemos observar que el ahorro, el consumo y, por lo tanto, el nivel de utilidad son los mismos en el sistema de capitalización y de reparto.

De acuerdo con el modelo teórico, esto solamente es posible si tanto la tasa de cotización es la misma en ambos sistemas (𝜏 = 𝑇) como si ambos sistemas tienen la


misma tasa de rendimiento (1 + 𝑛)(1 + 𝑔) = 1 + 𝑟. Esto es lo que ocurre exactamente en nuestro caso, dado que se cumplen ambas condiciones:

• 𝜏 = 𝑇 = 0,16 • (1 + 𝑛)(1 + 𝑔) = 1 + 𝑟 (1 + 0,014)(1 + 0,013) = (1 + 0,027) = 1,027

Por lo tanto, nuestro ejercicio nos dice que ambos sistemas públicos de pensiones, tanto de capitalización como de reparto, generan el mismo nivel de utilidad social, tal como predice la teoría.

Impuestos en el modelo de equilibrio general 84

Capítulo 8. Modelo de equilibrio general e incidencia impositiva

En esta práctica construiremos un modelo de equilibrio general. Empezaremos explicando los tres agentes que de manera habitual podemos encontrar en la economía tomando decisiones: la familia, las empresas y el gobierno. Primero los analizaremos por separado, examinando su comportamiento frente a cambios en determinadas variables. Después los analizaremos de manera conjunta, desarrollando un modelo que nos permitirá ver cómo interactúan simultáneamente.

8.1 La familia

Con el fin de estudiar el comportamiento de la familia, supondremos que solo tenemos un período, es decir, que no hay futuro. Como consecuencia de este supuesto, ahorrar no será racional para las familias, ya que si no hay futuro, compensa más gastarlo todo en el presente.

Teniendo en cuenta el supuesto anterior, el objetivo de la familia es maximizar su función de utilidad escogiendo la cantidad de trabajo (𝑙) y el consumo (𝑐). Ahora bien, esta maximización está sujeta a una restricción presupuestaria, ya que la familia tiene unas determinadas limitaciones a la hora de elegir consumo y trabajo.

De esta manera, pasamos a expresar de manera analítica lo que quieren las familias. La utilidad se obtiene del consumo y el ocio (que denominamos ℎ). Este último se puede expresar como el tiempo que queda después de haber restado el trabajo a las 24 horas que tiene el día. Normalizando a 1 las 24 horas que tiene el día, ℎ = 1 − 𝑙.

La restricción presupuestaria a la que se enfrentan las familias depende de la remuneración salarial neta de impuestos, (1– 𝜏 )𝑤𝑙, y de la remuneración del capital (𝑟𝑟), aunque como estamos asumiendo que solo tenemos un período, el capital a corto plazo está fijado.

Modelo de equi-librio general e inci-dencia impositiva

8


Por lo tanto, el problema de maximización de las familias es el siguiente:

max𝑐,𝑙

𝑈(𝑐, 1 − 𝑙)

s.a. 𝑐 = (1 − 𝜏)𝑤𝑙 + 𝑟𝑟 (k dado)

Escribiendo este problema de maximización del modo siguiente:

𝑚𝑚𝑚𝑙 𝑢( (1 − 𝜏)𝑤𝑙 + 𝑟𝑟 , 1 − 𝑙 )

Queremos buscar la condición de primer orden que maximiza la utilidad en función de las horas trabajadas. El proceso que seguimos es el siguiente:

𝜕𝑢𝜕𝑐

· 𝑑𝑐𝑑𝑙

+ 𝜕𝑢𝜕ℎ

· 𝑑ℎ𝑑𝑙

= 0 → 𝜕𝑢𝜕𝑐

(1 − 𝜏)𝑤 − 𝜕𝑢𝜕ℎ

= 0

Finalmente, tenemos como resultado la condición de primer orden:

CPO: 𝑑𝑢

𝑑ℎ�𝑑𝑢

𝑑𝑐�= (1 − 𝜏)𝑤

Supongamos que 𝑢(𝑐, 𝑙) = ln(𝑐) + 𝛾 · ln(1 − 𝑙)

donde la letra gamma (𝛾) representa un factor de descuento. Si el factor de descuento (𝛾) es cero, querrá decir que el ocio no reporta utilidad. En cambio, si el factor de descuento tiene valor 1, querrá decir que la familia valora por igual el ocio que el consumo.

Con esta función de utilidad:

𝑑𝑢𝑑𝑐

= 1𝑐 y 𝑑𝑢

𝑑ℎ= 𝛾 · 1

1−𝑙

Sustituyendo en la condición de primer orden:

𝛾 · 11 − 𝑙1𝑐

= (1 − 𝜏)𝑤

A partir de la ecuación anterior podemos encontrar el trabajo de forma explícita (solo tenemos que aislarlo de la ecuación anterior). Recordemos que debemos sustituir el consumo por su expresión.

𝑙 = 1(1+𝛾)

− 𝑟𝑟𝛾(1+𝛾)(1−𝜏)𝑤

Ahora nos falta saber exactamente el valor, tanto del trabajo como del consumo, una vez maximizada la utilidad de las familias. Estos valores los podemos encontrar de dos maneras: bien solucionando el sistema que forman las dos ecuaciones principales,


bien solucionando el problema de maximización. Cabe destacar, pero, que con los dos métodos podemos utilizar el Solver para encontrar la solución.

Método 1: sistema de ecuaciones

Empezaremos resolviendo el sistema a partir del primer método, es decir, solucionando el sistema formado por las dos ecuaciones principales. Las dos ecuaciones se convierten en las dos restricciones del sistema. Así, tenemos:

Restricción 1: 1(1+𝛾)

− 𝑟𝑟𝛾(1+𝛾)(1−𝜏)𝑤

− 𝑙 = 0

Restricción 2: (1 − 𝜏)𝑤𝑙 + 𝑟𝑟 − 𝑐 = 0

Abrimos el Excel y diseñamos una tabla como la que hemos hecho en otras ocasiones, con el fin de resolverlo a partir del Solver. Como variables tenemos el trabajo y el consumo. Los parámetros serán aquellos que aparezcan en las restricciones y que no son variables. En este caso tenemos cinco parámetros: 𝛾, 𝜏, 𝑤, 𝑟, 𝑟. La función objetivo ha de garantizar que las dos restricciones sean iguales a cero; como sabemos, una manera de hacerlo es elevando cada restricción al cuadrado.

Nota: Recordemos que podemos poner nombres a las celdas para facilitar la escritura.

FIGURA 8.1

Ahora nos falta rellenar las celdas con valores lógicos. El consumo diario puede ser de 4€, por ejemplo. En cuanto al trabajo y al ocio, por el contrario, recordemos que son proporciones; por lo tanto, podemos poner cualquier valor entre 0 y 1.


Suponemos inicialmente que trabajamos la mitad de horas que tiene el día, de ese modo el trabajo tiene valor 0,5.

Con lo que respecta a los parámetros, supondremos que el factor descuento es 1 (𝛾 = 1), hecho que implicaría que valoremos igual el consumo y el ocio, que en esta economía no hay impuestos (𝜏 = 0), que el salario es de 8€, el tipo de interés es de 0,1 y el valor del capital también es de 8€.

La forma que deben tener las restricciones para introducirlas en Excel son las siguientes:

Restricción 1 = ((1/(1 + 𝐵2)) − ((𝐵5 ∗ 𝐵6 ∗ 𝐵2)/((1 + 𝐵2) ∗ (1 − 𝐵3) ∗ 𝐵4)) − 𝐵10)

Restricción 2 = (1 − 𝐵3) ∗ 𝐵4 ∗ 𝐵10 + 𝐵5 ∗ 𝐵6 − 𝐵9

Ahora ya podemos completar la tabla del Excel, ilustrada a la figura 8.2.

FIGURA 8.2

Seguidamente podemos ir a Datos, Solver y rellenar la ventana que se nos abre:


FIGURA 8.3

Seguidamente clicamos Resolver:

FIGURA 8.4

Vemos a la Figura 8.4 como las familias, a partir de los parámetros establecidos y una vez maximizada su utilidad, deciden consumir 4,4€ de los 8€ que ganan; y además trabajar el 45% de les horas que tiene el día.


Método 2: Problema de maximización

Ahora pasamos a buscar estos mismos valores, pero para el segundo método, es decir, solucionando directamente el problema de maximización.

Tenemos el siguiente sistema:

Max𝑐,𝑙 𝑢(𝑐, 𝑙) = ln(𝑐) + 𝛾ln (1 − 𝑙)

s.a. 𝑐 = (1 − 𝜏)𝑤𝑙 + 𝑟𝑟

En comparación con el otro método, varían tanto las restricciones como la función objetivo. En este caso solo hay una, de restricción (antes era nuestra segunda restricción).

Restricción 1: (1 − 𝜏)𝑤𝑙 + 𝑟𝑟 − 𝑐 = 0

Con lo que respecta a la función objetivo, esta será la utilidad que queremos maximizar, tal como está expresada en el problema de maximización. Como valores iniciales, podemos poner los mismos que en el primer método, para poder comprar la solución encontrada. La hoja de Excel quedará de la siguiente manera:

FIGURA 8.5

Ahora ya podemos ir a Datos, Solver. Cabe señalar que en este caso lo que queremos es maximizar la función objetivo, ya que esta es igual a la utilidad, y por lo tanto tendremos que marcar Máx en la pantalla del Solver, en vez de valor de 0, como se indica en la figura 8.6.


FIGURA 8.6

Si clicamos a Resolver tenemos:

FIGURA 8.7

En la figura 8.7 se puede ver el resultado, que coincide con el que habíamos encontrado anteriormente. La familia escoge consumir 4,4€ y trabajar un 45% de las horas que tiene el día. Con el segundo método podemos analizar también la función objetivo. Su valor implica que la utilidad conseguida es de 0,88 unidades.

Esta función objetivo nos servirá para hacer comparaciones, ya que si cambiamos algún parámetro que modifica el resultado, podemos saber si la utilidad de la familia ha aumentado o ha disminuido. De este modo, volvemos a poner los valores iniciales y


aumentamos el salario hasta 10€, por ejemplo. Si hacemos el mismo proceso del Solver tendremos:

FIGURA 8.8

Vemos en la figura 8.8 como un incremento salarial hace que las familias decidan consumir más y alargar un poco más la jornada laboral en comparación con el caso en el que el sueldo era de 8€ diarios. Esta variación se puede analizar a partir de dos conceptos: efecto renta y efecto sustitución.

El efecto renta hace disminuir la oferta de trabajo, ya que el ocio se puede considerar un bien normal y, por lo tanto, un aumento del salario supone un incremento del ocio. Explicado con otras palabras, debido al aumento del salario, un individuo debe trabajar menos horas que antes para tener la misma renta que obtenía antes del trabajo; por lo tanto, puede aumentar su ocio.

Por el contrario, el efecto sustitución hace aumentar la oferta de trabajo, ya que cuando el salario aumenta, el precio del ocio se hace más grande –recordemos que le coste de oportunidad del ocio es el sueldo del trabajo no realizado– y el individuo escogerá menos ocio y más consumo de bienes, que se han abaratado relativamente en comparación al ocio. Podemos ver como los efectos sustitución y renta se mueven en sentido contrario.

Pues bien, vemos que la familia elige menos ocio como resultado del incremento del salario. Por lo tanto, en el caso analizado el efecto sustitución se impone al efecto renta.

8.2 Las empresas

De la misma manera que las familias intentan maximizar su utilidad, las empresas quieren maximizar sus beneficios. Estas lo que harán es decidir, dado el precio de los factores, e impuesto (𝑡) cuanto capital (𝑟) y trabajo (𝑙 ) pedirán a la familias. A cambio


de este capital y trabajo, las empresas remunerarán a las familias de alguna manera (con el retorno del capital r y el salario w, respectivamente).

En este caso la maximización de los beneficios se podría expresar de la siguiente manera:

max𝑟,𝑙 𝜋 = 𝐹(𝑟, 𝑙) − 𝑟𝑙 − (1 + 𝑡)𝑤𝑙

En este caso, tenemos dos condiciones de primer orden, ya que hay dos variables que debe elegir la empresa. La primera condición (CPO) de este problema sería:

𝑑𝜋𝑑𝑟

= 𝑑𝑑𝑑𝑟

− 𝑟 = 0 → 𝐹𝑟 = 𝑟

Esta CPO nos dice que las empresas pedirán capital hasta que la última unidad de capital contratada tenga un valor igual a su productividad.

Veamos ahora la segunda condición:

𝑑𝜋𝑑𝑙

= 𝑑𝑑𝑑𝑙

− (1 + 𝑡)𝑤 = 0 → 𝐹𝑙 = (1 + 𝑡)𝑤

La segunda condición nos dice que las empresas pedirán trabajo hasta que el salario sea igual a la productividad de este. Por lo tanto, si el salario es más bajo que la productividad del trabajo seguirán contratando.

Si ahora volvemos a maximizar la función de beneficios, pero con una función

Cobb Douglas donde 𝐹(𝑟, 𝑙) = 𝐴𝑟𝛼𝑙1−𝛼 podremos encontrar las funciones de demanda explícitas, tanto del capital como del trabajo.

max𝑟,𝑙𝑑 𝜋 = 𝐴𝑟𝛼𝑙1−𝛼 − 𝑟𝑟 − (1 + 𝑡)𝑤𝑙

• 𝑑𝜋𝑑𝑟

= 𝐴𝛼𝑟𝛼−1𝑙1−𝛼 − 𝑟 = 0 → 𝐴𝛼𝑟𝛼−1𝑙1−𝛼 = 𝑟 → 𝑟 = �𝛼𝛼𝑙1−𝛼

𝑟�

11−𝛼

• 𝑑𝜋𝑑𝑙

= 𝐴(1 − 𝛼)𝑟𝛼𝑙−𝛼 − 𝑤 = 0 → 𝐴(1 − 𝛼)𝑟𝛼𝑙−𝛼 = 𝑤 → 𝑙 = �(1−𝛼)𝛼𝑟𝛼

(1+𝑡)𝑤�

1𝛼


8.3 El gobierno

En este modelo haremos el supuesto que no hay deuda pública, porque como solo hay un período, el gobierno no se puede endeudar. Por lo tanto, el gobierno gastará 𝐺, lo mismo que recibirá por la recaudación de impuestos sobre los salarios. Consideraremos dos casos. En el primer caso, el gobierno aplicará el impuesto τ sobre el salario bruto que recibe la familia, 𝑤𝐵. La restricción presupuestaria será 𝐺 = 𝜏 𝑤𝐵𝑙. En el segundo caso, el gobierno aplicará el impuesto 𝑡 sobre el salario neto que paga la empresa, 𝑤𝑁. La restricción presupuestaria del gobierno será entonces 𝐺 = 𝑡 𝑤𝑁𝑙. El objeto de este doble ejercicio es mostrar que la incidencia legal del impuesto no afecta a la incidencia económica si la economía es competitiva.

8.4 El equilibrio competitivo

Dadas la preferencia (𝛾) y la tecnología de producción (𝐴, 𝛼); un equilibrio competitivo viene dado por la asignación de (𝑦, 𝑙, 𝑟, 𝑐), el sistema de precios (𝑤, 𝑟) y la política fiscal (𝐺, 𝜏, 𝑡). Para tenerlo a mano a la hora de ir al Excel y rellenar las celdas, la tabla 8.1 muestra las ecuaciones que hemos encontrado de cada sector de la economía.

TABLA 8.1

EMPRESAS FAMILIAS

Demanda de trabajo (f1)

Demanda de capital (f2)

Oferta de trabajo (f3)

Consumo (f4)

𝑙 = �(1 − 𝛼)𝐴𝑟𝛼

(1 + 𝑡)𝑤�

1𝛼 𝑟 = �

𝛼𝐴𝑙1−𝛼

𝑟�

11−𝛼

𝑙 = 1(1+𝛾)

− 𝑟𝑟𝛾(1+𝛾)(1−𝜏)𝑤

𝑐 = (1 − 𝜏)𝑤𝑙 + 𝑟𝑟

GOBIERNO OA = DA

Equilibrio presupuestario (f5)

Equilibrio del sistema (f6)

𝐺 = 𝜏𝑤𝐵𝑙 + 𝑡𝑤𝑁𝑙 𝑐 + 𝐺 = 𝑦

Como tenemos seis ecuaciones, la solución del sistema nos proporcionará el valor de seis variables endógenas. Estas variables serán 𝑙, 𝑤, 𝑟, 𝐺, 𝑦, 𝑐, que tendrán como valor inicial 0,1 cuando lo introduzcamos en Excel.

Con lo que respecta a los parámetros, a continuación los detallamos y les asignamos valores para que puedan reproducir algunos hechos estilizados de la economía y sean consistentes con estimaciones econométricas.

• 𝛼 = 40%, ya que será la parte de la renta que proviene del capital.


• 𝐴 = 1, suponemos que hemos normalizado la productividad total de los factores.

• 𝛾 = 1,2, con la finalidad que el tiempo trabajado se sitúe alrededor del 28% del total.

• 𝑟 = 2, para que la producción sea equivalente a tres veces la producción total. • 𝜏 = 𝑡 = 0, dado que consideramos de momento una economía sin sector

público.

El segundo paso es colocar toda esta información en un Excel tal como hemos estado haciendo en las otras prácticas. Cabe recordar que las funciones se han de igualar a cero cuando se añaden a la hoja de cálculo, con la finalidad de introducir las restricciones resultantes a la función objetivo. Recordemos que para facilitar la escritura podemos poner nombre a las celdas. La función objetivo nos tiene que garantizar que las ecuaciones sean iguales a cero; por lo tanto, volveremos a elevar cada una de ellas al cuadrado.

Nota: Función objetivo: (𝑓1)2 + (𝑓2)2 + (𝑓3)2 + (𝑓4)2 + (𝑓5)2 + (𝑓6)2 = 0

FIGURA 8.9

Una vez tengamos la ventana del Solver completada hacemos Resolver. La Figura 8.10 muestra el equilibrio del sistema.


FIGURA 8.10

8.5 Análisis de incidencia impositiva

Caso 1: impuesto sobre el salario que reciben las familias

Ahora que ya lo tenemos resuelto, podemos probar qué pasaría en equilibrio si introducimos un impuesto 𝜏 sobre el salario que reciben las familias, 𝑤𝐵. Para ello, comenzamos por introducir un impuesto sobre el salario bruto recibido por la familia del 40%, 𝜏 = 0,4.

FIGURA 8.11


Podemos observar que en respuesta a la introducción del impuesto, ha subido el salario bruto (de 1,229 a 1,312), pero como al salario bruto se le detrae el 40%, el salario neto es 1,312*0,6=0,7872. Por lo tanto, el salario neto percibido por las familias ha bajado mientras que ha subido el salario que pagan las empresas: la carga del impuesto se reparte entre ambos agentes. Recordemos que antes al salario neto era igual al salario bruto, pues no había impuestos. Por otro lado, observamos también una caída de la remuneración del capital (que pasa de 0,137 a 0,124). De manera que, a pesar que el impuesto gravaba inicialmente el salario, la remuneración del capital también se ve afectada.

Podemos ver gráficamente lo que ha ocurrido. En la figura 8.12, representamos la oferta y demanda de trabajo (a la izquierda) y la oferta y demanda de capital (a la derecha). Las líneas continuas representan las diferentes ofertas y demandas antes de la introducción del impuesto. Al introducir el impuesto sobre el trabajo lo primero que observamos es un desplazamiento de la oferta de trabajo hacia la izquierda. Al introducir el impuesto sobre el salario, consumir ocio es relativamente más barato que antes; por lo tanto, los individuos deciden aumentar su consumo de ocio. Esto hace subir el salario y caer el trabajo en equilibrio. Pero con menos trabajo, la productividad del capital (en el panel de la derecha) cae, al igual que su remuneración en equilibrio; por lo tanto, vemos que parte del impuesto sobre el trabajo se traslada al capital. La menor remuneración del capital que poseen las familias las hace algo más pobres induciéndolas a trabajar más por efecto renta (desplazamiento de la oferta de trabajo de nuevo hacia la derecha para mantener su nivel de renta).

FIGURA 8.12


Caso 2: impuesto sobre el salario que pagan las empresas

Si queremos verificar que da lo mismo gravar el trabajo ofertado por la familia o el trabajo demandado por la empresa, necesitamos tener en cuenta que deberemos aplicar porcentajes diferentes cuando aplicamos el impuesto sobre el salario bruto o sobre el salario neto. Queremos comparar impuestos iguales, en el sentido de que la distancia entre el salario bruto y neto sea igual en los dos casos. En particular, dados 𝑤𝐵 y 𝑤𝑁, tiene que ser cierto que 𝑤𝐵 = (1 + 𝑡)𝑤𝑁 y también que 𝑤𝐵 = (1 − 𝜏)𝑤𝑁.

Esto implica que (1 + 𝑡)(1 − 𝜏) = 1 y, por tanto, 𝑡 = 𝜏1

− 𝜏. Es decir un impuesto

𝜏 = 0,4 que se aplica sobre el salario bruto (1 − 𝜏)𝑤𝐵 es equivalente a 𝑡 = 0,666 aplicado al salario neto (1 + 𝑡)𝑤𝑁.

Veamos por tanto qué ocurre si introducimos un impuesto 𝑡 = 0,666 sobre la demanda de trabajo o el salario que paga la empresa.

FIGURA 8.13

En la figura 8.13 podemos ver que el salario ha bajado en respuesta a la introducción del impuesto. Se trata ahora del salario neto y una vez sumado el impuesto 1,66*0,787 recuperamos el mismo salario bruto que antes: 1,311. También el efecto sobre la remuneración del capital es el mismo. Gráficamente, la acción comienza ahora en la demanda de trabajo, que se contrae por efecto del impuesto, haciendo caer el salario neto, como vemos en el panel izquierdo de la figura 8.14.


FIGURA 8.14

Queda, por tanto, claro que el efecto del impuesto es independiente de quién tenga la obligación legal de pagarlo, ya que el ajuste del equilibrio de mercado da lugar a situaciones idénticas. Al final, en el ejemplo estudiado, la carga del impuesto se reparte entre las familias y las empresas de manera idéntica, y con independencia de quién tenga la obligación legal de pagar.

El residuo de Solow 99

Capítulo 9. El residuo de Solow

En esta práctica haremos un ejercicio de contabilidad de crecimiento utilizando los datos de la contabilidad nacional de Argentina. Esto nos permitirá examinar cuál es el factor que más ha influido en la depresión padecida por este país a finales de los años noventa y principios de 2000.

Empezaremos por buscar los datos que necesitaremos para el análisis. Vamos a la página web de Penn World Tables (http://pwt.econ.upenn.edu/). Debemos clicar en el enlace de las versiones anteriores (marcado en la figura 9.1).

FIGURA 9.1

Una vez hemos clicado en este enlace se nos abrirá una nueva ventana. Debemos ir a Data and Documentation PWT 7.1 y pulsamos data download


http://pwt.econ.upenn.edu/


Seleccionamos el país que queremos estudiar –Argentina– y seleccionamos cuatro variables que nos servirán para hacer la práctica. Estos datos son:

TABLA 9.1

Population (in thousands) (POBLACIÓN)

Investment Share of PPP Converted GDP Per Capita at 2005 constant prices (RÀTIO INVERSIÓN/OUTPUT)

name: POP

unit: thousands

name: ki

unit: % in constant prices

PPP Converted GDP Per Capita (Chain Series), at 2005 constant prices (OUTPUT POR CÀPITA)

PPP Converted GDP Chain per worker at 2005 constant prices

(OUTPUT POR TRABAJADOR)

name: rgdpch

unit: 2005 International dollar per person (2005 I$/person)

name: rgdpwok

unit: 2005 International dollar per worker (2005 I$/worker)

Nota: “PPP converted" significa purchasing power parity –convertido a la paridad del poder adquisitivo– y se utiliza para poder comparar diferentes países, “2005 constant prices” quiere decir "a precios constantes" o "Real".

Con lo que respecta a los años, los seleccionamos todos, ya que nos interesa una serie larga. Respecto al formato, tenemos que seleccionar Html table y cuando lo tengamos todo seleccionado (país, variables y años), pulsamos Send, y se nos abrirá una ventanilla con todas los datos. Seleccionamos todas las variables y hacemos clic con el botón derecho, escogemos copiar. Seguidamente las pegamos en un Excel.

Nota: puede que si pegamos directamente en Excel se nos copie toda la información en una sola celda. Para evitar este problema, lo que debemos hacer es un “Pegado Especial” como texto, y se nos pegará en el formato tabla. Recordar que en este caso deberemos sustituir los puntos por comas antes de empezar a trabajar con los datos (pues si no Excel no lo reconoce).

Como no sabemos bien qué forma tienen estas variables, el siguiente paso es hacer un gráfico con los datos e interpretarlas.


La figura 9.2 muestra los datos con los que trabajaremos, que como podemos

observar son datos de 1950 a 2010.

FIGURA 9.2

Empezamos por hacer un gráfico con el PIB per cápita y el PIB por trabajador.

GRÁFICO 9.1. PIB PER CÁPITA Y PIB POR TRABAJADOR

En el gráfico 9.1 podemos apreciar que las dos variables tienen una tendencia

creciente, aunque se han producido variaciones alrededor de la tendencia. En este caso

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

1950

1953

1956

1959

1962

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

2001

2004

2007

2010$ a

prec

ios c

onst

ante

s de

2005

Años

PIB por trabajador PIB por cápita


tendríamos que buscar qué factores han podido provocar las oscilaciones de cada uno de los PIB.

Ahora pasamos a dibujar la población y seguidamente la inversión, en los gráficos 9.2 y 9.3, respectivamente.

GRÁFICO 9.2. POBLACIÓN

En cuanto a la población, podemos apreciar una tendencia creciente, sin ninguna oscilación negativa.

GRÁFICO 9.3. INVERSIÓN

A primera vista podemos observar en el gráfico 9.3 que la inversión es una variable bastante volátil.

05.000

10.00015.00020.00025.00030.00035.00040.00045.000

1950

1953

1956

1959

1962

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

2001

2004

2007

2010

Mile

s de

hab

itant

es

Años

0

5

10

15

20

25

30

35

1950

1953

1956

1959

1962

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

2001

2004

2007

2010

% a

pre

cios

con

stan

tes d

e 20

05

Años


9.1 Ratio capital/producto

Además de analizar el comportamiento de las cuatro variables descargadas, queremos examinar también el comportamiento de la ratio capital/output. Para hacerlo, pasamos a calcular las series de capital, las cuales desafortunadamente no se suelen encontrar disponibles. La ecuación de la acumulación de capital es 𝐾𝑡+1 = 𝐼𝑡 + (1– 𝛿)𝐾𝑡. Por lo tanto, nos hace falta la tasa de depreciación y un valor inicial para el capital.

Suponemos que la tasa de depreciación es 𝛿 = 0,1 y que el valor inicial es 𝐼𝛿 (este es

el nivel correspondiente al estado estacionario, 𝐾� = 𝐼 + (1 − 𝛿)𝐾�.

Pues bien, lo primero que haremos para encontrar el valor inicial, que es el que nos interesa para poder utilizar la ecuación de capital, es encontrar el valor de 𝑌, que será el producto del PIB per cápita y la población.

𝑌 = 𝑝𝑝𝑝𝑙𝑚𝑐𝑖ó𝑛 ∗ 𝑃𝐼𝐵 𝑝𝑒𝑟 𝑐á𝑝𝑖𝑡𝑚

Esto lo buscamos para encontrar posteriormente el valor de la inversión en términos absolutos. Recordemos que no tenemos este valor de forma explícita, porque lo que hemos extraído de la base de datos es el porcentaje de la inversión en relación al PIB. Por lo tanto, para obtener el valor de la inversión necesitaremos multiplicar el porcentaje de la inversión por el PIB.

𝐼 =𝐼𝑌

∗ 𝑌

El paso siguiente es buscar la proporción del PIB que se destina de promedio a la inversión, y esto lo haremos con la fórmula siguiente:

𝑃𝑟𝑝𝑚𝑒𝑃𝑖𝑝 (𝐼/𝑌) = 𝑃𝑅𝑃𝑀𝐸𝑃𝐼𝑃 (%𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟𝑖𝑖ó𝑛1950 ∶ %𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟𝑖𝑖ó𝑛2010)

El valor medio de la proporción que representa la inversión sobre el PIB es 21,32.

Una vez hemos encontrado el promedio, ya podemos pasar a calcular el valor inicial de 𝐾. Este lo encontraremos, tal como hemos dicho, a partir del promedio anterior, multiplicado por el PIB y dividido por delta,

𝐾0 =Promedio(𝐼/𝑌) ∗ 𝑌0 ∗ 0,01

0,1


Lo multiplicamos por 0,01, para pasar de tanto por ciento a tanto por uno. Pues bien, obtenemos que K0 = 192.216.739,22.

𝐾𝑡+1 = 𝐼𝑡 + (1– 𝛿)𝐾𝑡

Una vez tenemos la columna del capital hecha, ya podemos pasar a hacer la ratio capital-producto, que no es nada más que la división del capital que acabamos de encontrar entre el PIB que hemos encontrado anteriormente. De esta manera nos quedará un Excel como el de la figura 9.3.

FIGURA 9.3

Por otro lado, el gráfico de la ratio capital-producto es:

GRÁFICO 9.4. RATIO CAPITAL - PRODUCTO

Se puede observar como la ratio es más o menos estable, entre 1,5 y 2.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

1950

1953

1956

1959

1962

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

2001

2004

2007

2010

Ratio

Años


9.2 Función de producción neoclásica

A partir de la función de producción neoclásica 𝑌 = 𝐴𝐾𝛼𝐿1−𝛼, donde Y es el output total, 𝐾 el capital total, 𝐿 el número de trabajadores y 𝐴 el nivel de progreso tecnológico, calcularemos el residuo de Solow, suponiendo que 𝛼 = 0,36.

Utilizaremos la descomposición siguiente:

𝑌𝑁

= 𝐴1

1−𝛼 �𝐾𝑌

�𝛼

1−𝛼�

𝐿𝑁

�

donde 𝑁 representa el número total de habitantes.

Primero calcularemos las series correspondientes a los tres componentes del PIB per cápita presentes a la ecuación anterior, utilizando las series descargadas. Una vez las tengamos calculadas, normalizaremos las cuatro series para que tengan el valor de 100 en el año inicial, y así podamos comparar la evolución de las mismas. La comparación de estas nos permitirá ver cuáles son los factores que más explican las oscilaciones de la renta per cápita.

De este modo, deberemos crear diversas columnas adicionales en la hoja de Excel,

la primera será 𝑌𝑁 , que equivale al PIB per cápita, que ya tenemos de la base de datos.

El progreso tecnológico (𝐴) lo calcularemos como,

𝐴 = 𝑌𝐾𝛼𝐿1−𝛼 ,

y después tendremos que calcular el primer componente del PIB per cápita, 𝐴1

1−𝛼 .

El ratio capital-producto calculado anteriormente, lo tenemos que elevar a 𝛼1−𝛼

para obtener el segundo componente.

Finalmente, tenemos que calcular la ratio 𝐿𝑁 donde 𝐿 = 𝑌

𝑃𝐼𝐵 𝑝𝑝𝑟 𝑡𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑝𝑟 .

Para normalizar la serie de la renta per cápita, lo que tenemos que hacer es poner =I2/$I$2*100 en el primer año (celda X2 de la figura 9.4), donde I2 es la celda correspondiente a la serie sin normalizar. Clicamos con el ratón el extremo inferior-derecho de la celda y lo arrastramos para obtener el resto de la serie.

La hoja de cálculo obtenida se muestra a la figura 9.4 y las cuatro series (columnas E, G, I y J de la hoja de cálculo) se ilustran en el Gráfico 9.5.

g

FIGURA 9.4


GRÁFICO 9.5. COMPARATIVA DE ÍNDICES

El gráfico 9.5 muestra que la tecnología ha sido el factor que ha impulsado el aumento de la renta per cápita en Argentina durante el período estudiado (las dos líneas siguen un patrón similar). En cambio, la contribución del capital y del trabajo han sido negativos.

Según el gráfico obtenido, dividiremos las series temporales en subperíodos más o menos representativos y efectuaremos el ejercicio de contabilidad del crecimiento: calcularemos 𝛾𝑌, 𝛼𝛾𝐾, (1 − 𝛼)𝛾𝐿, 𝑇𝐹𝑃(𝛾𝛼) y las contribuciones de cada factor al crecimiento del PIB. En el caso de Argentina hemos escogido los subperíodos 1950-1980 / 1981-1989 / 1990-1998 / 1999-2002 y 2003-2010.

Así, seleccionamos las cinco series que nos interesan y buscaremos la tasa de crecimiento. En el caso del PIB, por ejemplo, haremos,

𝑇𝑚𝑖𝑚 𝑃𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑝 (𝑌) =𝑌1951 − 𝑌1950

𝑌1950

Las calcularemos para todo el período y, después para encontrar las tasas de crecimiento específicas para los subperíodos que hemos determinado, haremos

0

50

100

150

200

250

300

1950

1953

1956

1959

1962

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

2001

2004

2007

2010

2005

= 1

00

Períodos

Índice A Índice K Índice L/N Índice Y/N


medias. Así, para encontrar la tasa de crecimiento del período 1950 a 1980, tenemos que hacer:

=PROMEDIO(Y1950: Y1980)

Nos quedará un Excel como el siguiente:

FIGURA 9.5

Para rellenar la tabla, lo que tenemos que hacer es multiplicar la tasa de crecimiento del capital de cada período por 𝛼 y la tasa de crecimiento del trabajo por

1– 𝛼.

TABLA 9.2

Período γY αγK (1-α)γL TFP(γA)

1950-1980 3,42% 1,07% 0,90% 1,46%

1981-1989 -0,63% 0,06% 1,12% -1,73%

1990-1998 4,87% 0,58% 0,98% 3,29%

1999-2002 -3,26% 0,66% 1,00% -4,84%

2003-2008 6,85% 1,08% 1,26% 4,47%

La tabla 9.2 también nos muestra que el factor con mayor peso en la determinación del crecimiento económico, 𝛾𝑌 es la tecnología, seguida del trabajo y del capital. Esto explica que el crecimiento económico siga una evolución similar al de la tecnología.

La trampa de la pobreza 108

Capítulo 10. La trampa de la pobreza

En esta práctica estudiaremos la conocida “trampa de la pobreza”, que se da porque los países pobres no generan el ahorro suficiente para poder crecer. Supondremos un país con la siguiente función de producción en términos totales, 𝑌 = 𝐴𝐾0,5𝐿0,5, donde 𝑌 es el output total, 𝐾 es el capital total y 𝐿 el número de trabajadores. Suponemos que este país tiene un crecimiento demográfico anual del 8% y que todos los años se deprecia un 5% del capital.

El nivel de tecnología, que es fijo, es 𝐴 = 3. El país es pobre y, por lo tanto, no puede dedicar gran parte de la producción a generar nuevo capital. Imaginemos que la tasa de ahorro de la economía es constante, de un 6%. La renta per cápita del país en el año 2009 es de 4 (4.000$ per cápita, dato representativo de muchas economías del África subsahariana).

Lo que haremos ahora es crear un Excel que nos permita calcular la evolución del producto per cápita, el consumo per cápita, el ahorro per cápita y el capital per cápita a largo plazo, a partir de los datos que conocemos de este país. Además, una vez tengamos las variables calculadas, las representaremos en un gráfico y analizaremos si crecen o decrecen en el tiempo.

Pues bien, lo primero que debemos hacer es desarrollar las fórmulas que nos servirán para calcular la evolución de las variables citadas anteriormente. Empecemos por el producto per cápita. Para calcularlo hemos de dividir la función de producción en términos totales por el número de trabajadores.

𝑌 = 𝐴𝐾0,5𝐿0,5 → 𝑌𝐿

= 𝛼𝐾0,5𝐿0,5 𝐿

→ 𝑦 = 𝛼𝐾0,5

𝐿0,5 · 𝐿0,5

𝐿0,5 → 𝑦 = 𝐴 �𝐾𝐿

�0,5

→

𝑦 = 𝐴𝑟0,5



Una vez encontrada la fórmula del producto per cápita, pasamos a buscar la del consumo per cápita. Esta es tan fácil como la propensión marginal a consumir (1– tasa de ahorro, s) que multiplica la producción per cápita,

𝑐 = (1 − 𝑖)𝑦

En formato Excel (siguiendo el esquema de la figura 9.1), la fórmula que deberíamos introducir es =(1-$C$5)*C8.

El ahorro per cápita no deja de ser la diferencia entre el producto per cápita y el consumo per cápita. Si queremos que dependa exclusivamente de la renta, podemos sustituir el consumo por su definición. Así tenemos:

𝑖𝑦 = 𝑦 − 𝑐

En formato Excel, la fórmula sería =C8-D8.

Para poder calcular la evolución del stock de capital, debemos calcular el capital inicial per cápita. Lo obtenemos aislando el capital per cápita de la renta per cápita:

𝑟 = �𝑦𝛼

�1

0,5�

Según el enunciado sabemos que la renta per cápita del país en el año 2009 (año que cogemos como inicial) era de 4. Podemos resolver sustituyendo los valores correspondientes:

𝑟 = �43�

10,5�

= 1,778

Finalmente, para calcular el capital per cápita tendremos que coger el capital per cápita del primer período y después tendremos que crear una nueva variable que representará el crecimiento de este capital. El crecimiento del capital per cápita tiene en cuenta la inversión (𝑖 = 𝑖𝑓 (𝑟)) como una variable que aumenta el stock de capital, y la depreciación y el crecimiento de la población como variables que lo disminuyen. De este modo, la ecuación de acumulación de capital es:

∆𝑟 = 𝑖𝑓(𝑟) − (𝑛 + 𝛿)𝑟

Nota: recordemos que la función del capital per cápita es igual a la producción per cápita (𝑓(𝑟) = 𝑦).

En formato Excel, la expresión sería =($C$5*C8)-($C$2+$C$3)*F8.

Ahora ya podemos calcular el capital per cápita de los años sucesivos simplemente sumando la variación del capital en el año “𝑡” al stock de capital del año “𝑡” .


Una vez tenemos la cuatro ecuaciones bien definidas, ya podemos crear la hoja de cálculo, teniendo en cuenta que nos interesa conseguir una serie temporal larga, por ejemplo, de 100 años. Debemos obtener unos resultados como los que aparecen en la figura 10.1.

FIGURA 10.1

Cuando hemos calculado el valor de las variables a partir de las fórmulas anteriores, pasamos a representarlas en un gráfico para ver su evolución.

El gráfico 10.1 muestra que las cuatro variables se han mantenido prácticamente estables, el crecimiento ha sido muy suave. Si calculamos las tasas de crecimiento de cada una de ellas, vemos que la producción, el consumo per cápita y el ahorro por cápita han aumentado un 3,84% en los 100 años, mientras el capital per cápita dobla esta tasa y crece un 7,83% en todo el período estudiado, hasta llegar al estado estacionario.


GRÁFICO 10.1. EVOLUCIÓN DE LAS VARIABLES

Con la hoja de Excel diseñada podemos observar los valores a los cuales tienden las variables a largo plazo: la producción per cápita tiende a 4,15, el consumo per cápita a 3,90, el capital per cápita a 1,92 y el ahorro per cápita tiende a 0,25.

10.1 Cálculo del estado estacionario

Ahora pasamos a comprobar cómo de manera analítica –mediante el cálculo del estado estacionario- obtenemos los mismos valores que con la hoja de cálculo programada.

Con el fin de encontrar el estado estacionario de todas las variables, hemos de empezar por encontrar el estado estacionario del capital per cápita. Este se calcula utilizando la ecuación de acumulación del capital, que recordemos que es:

∆𝑟 = 𝑟𝑡+1 − 𝑟𝑡 = 𝑖𝑓(𝑟𝑡) − (𝑛 + 𝛿)𝑟𝑡

donde la función 𝑓(𝑟) equivale a la función del producto per cápita que hemos buscado al principio de la práctica:

𝑓(𝑟) → 𝑦 = 𝐴𝑟0,5

Sabemos que en estado estacionario el crecimiento de la variable es cero, por lo tanto, debemos igualar la ecuación de acumulación de capital a cero.

0 = 𝑖𝑓�𝑟�� − (𝑛 + 𝛿)𝑟� = 𝑖 · 𝐴𝑟�0,5 − (𝑛 + 𝛿)𝑟� = 𝑟�(𝑖𝐴𝑟�0,5−1 − (𝑛 + 𝛿))

Si analizamos la ecuación vemos que una solución es 𝑟� = 0; pero esta solución no nos interesa, así que pasamos a buscar otra.

𝑖𝐴𝑟�0,5−1 − (𝑛 + 𝛿) = 0 → 𝑖𝐴𝑟�0,5−1 = 𝑛 + 𝛿 → 𝑟�−0,5 = 𝑛 + 𝛿

𝑖𝐴 → 𝑟�0,5 =

𝑖𝐴 𝑛 + 𝛿

𝑟� = � 𝑠 𝛼𝑛+𝛿

�1

0,5�

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

Pro

ducc

ión,

con

sum

o, a

horr

o y

capi

tal p

er c

ápit

a

Años y c sy k


Cuando hemos encontrado el capital per cápita en estado estacionario, ya podemos sustituirlo en las funciones de producción, consumo y ahorro per cápita, que nos darán el estado estacionario de estas otras variables. Con respecto a la producción per cápita tenemos:

𝑦� = 𝐴𝑟�0,5

Con lo que respecta al consumo per cápita:

𝑐̅ = (1 − 𝑖)𝑦�

Y, por último, con referencia al ahorro per cápita:

�̅� = 𝑦� − 𝑐̅

Así, si calculamos los valores de las variables en estado estacionario, con los parámetros del enunciado obtenemos:

𝑟� = � 𝑠·𝛼𝑛+𝛿

�1

0,5�= � 0,06·3

0,08+0,05�

10,5�

= 1,92

𝑦∗ = 𝐴𝑟�0,5 = 3 · 1,920,5 = 4,15

𝑐̅ = (1 − 𝑖)𝑦� = (1-0,06)·4,15 = 3,90

�̅� = 𝑦� − 𝑐̅ = 4,15 – 3,90 = 0,25

Vemos como efectivamente coinciden con los resultados encontrados en el Excel.

10.2 Evolución de las tasas de crecimiento

Después de comprobar de manera analítica hacia dónde tienden estas cuatro variables, pasamos a calcular la evolución de las tasas de crecimiento, con el fin de observar si crecen o decrecen en el tiempo. En el caso del PIB, la calculamos como:

𝑇𝑚𝑖𝑚 𝑃𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑝 𝑃𝑒𝑙 𝑃𝐼𝐵2010 = PIB2010 − PIB2009

PIB2009


FIGURA 10.2

Año Δy Δc Δahorro Δk 2009 2010 0,24969% 0,24969% 0,24969% 0,50000% 2011 0,23292% 0,23292% 0,23292% 0,46638% 2012 0,21731% 0,21731% 0,21731% 0,43508% 2013 0,20277% 0,20277% 0,20277% 0,40595% 2014 0,18923% 0,18923% 0,18923% 0,37882% 2015 0,17662% 0,17662% 0,17662% 0,35355% 2016 0,16487% 0,16487% 0,16487% 0,33001%

… … … … … 2100 0,00057% 0,00057% 0,00057% 0,00114% 2101 0,00053% 0,00053% 0,00053% 0,00106% 2102 0,00050% 0,00050% 0,00050% 0,00100% 2103 0,00047% 0,00047% 0,00047% 0,00093% 2104 0,00043% 0,00043% 0,00043% 0,00087% 2105 0,00041% 0,00041% 0,00041% 0,00081% 2106 0,00038% 0,00038% 0,00038% 0,00076% 2107 0,00036% 0,00036% 0,00036% 0,00071% 2108 0,00033% 0,00033% 0,00033% 0,00066% 2109 0,00031% 0,00031% 0,00031% 0,00062%

Vemos en la figura 10.2 que las tasas de crecimiento del producto, el consumo y el ahorro per cápita son iguales, mientras que la tasa de crecimiento del capital per cápita casi los duplica.

Pasamos a hacer la representación de las cuatro tasas de crecimiento en un gráfico y a determinar hacia qué valores parece que tiendan las tasas de crecimiento.


GRÁFICO 10.2. EVOLUCIÓN DE LAS TASAS DE CRECIMIENTO

El gráfico 10.2 muestra que las cuatro variables acaban teniendo una tasa de crecimiento del 0%, hecho por otro lado lógico, porque al final del período llegamos a un estado estacionario, lo cual implica tasas de crecimiento nulas. En el gráfico también podemos apreciar que las tasas de crecimiento del producto per cápita y del consumo per cápita, representadas por la línea continua, son iguales.

10.3 Trampa de la pobreza

A consecuencia del bajo nivel de ahorro, este país está sumido en lo que se conoce como “trampa de la pobreza”. El capital es bajo y, por lo tanto, el ahorro también. Esto hace que el país no pueda salir del estado estacionario en el que se encuentra.

Suponemos que si el país llegara a un nivel de capital per cápita de 3 (3.000$ per cápita), podría asumir una tasa de ahorro más elevada; por ejemplo, del 18%. Este país tiene diversas maneras para salir de la trampa de la pobreza. Una de ellas es cambiando la tasa de crecimiento de la población. Vamos por ello a buscar la tasa de crecimiento de la población máxima que conseguiría que el país superara este umbral de capital y desapareciera la trampa de la pobreza.

Con el fin de averiguar la tasa de crecimiento de la población que haría que pudiésemos salir de la trampa de la pobreza, lo que debemos hacer es coger la fórmula del estado estacionario del capital per cápita y aislar la población, es decir, la variable 𝑛. Además, sabemos que el valor del estado estacionario del capital per cápita es 3. La tasa de ahorro per cápita sigue siendo del 6%, tasa que no cambiará hasta que el capital per cápita no consiga superar este umbral.

De este modo tenemos:

𝑟∗ = � 𝑠·𝛼𝑛+𝛿

�1

0,5�→ 3 = � 0,06·3

𝑛+0,05�

10,5�

→ 30,5 = � 0,18𝑛+0,05

� → 𝑛 = 0,1830,5 − 0,05

0,00%

0,10%

0,20%

0,30%

0,40%

0,50%

0,60%T

asa

de c

reci

mie

nto

(%)

Años Δy Δc Δk


𝒏 = 0,0539

Vemos que necesitaríamos que la población creciera un 5,39% como máximo para que el país pudiera salir del nivel de estancamiento en el que se encuentra actualmente. Ahora pasamos a dibujar la situación resultante y a compararla con el caso original.

Vamos a ver qué pasaría si la tasa de crecimiento de la población es, por ejemplo, del 5%. Como este valor es inferior a 5,39% la economía llegará a superar la trampa de la pobreza.

Introducimos los valores en Excel como lo hemos hecho en el ejercicio anterior, pero cambiando el parámetro 𝑛. Debemos estar atentos al período en que el capital per cápita pasa a ser superior a 3 (en nuestro ejemplo en el año 2047), pues a partir de este período debemos cambiar la tasa de ahorro del 6 al 18%.

Veámoslo en la figura siguiente:

FIGURA 10.3

A partir de este período debemos cambiar la tasa de ahorro en todas las ecuaciones en las que nos aparezca (es decir, en el consumo per cápita, el ahorro per cápita y la variación de capital per cápita).

En formato Excel podemos ver cómo cambian las expresiones:


FIGURA 10.4

B C D E F G

Año y (producción) c (consumo) sy (ahorro) k (capital) Δk (variación del

capital) 8 2009 =$C$4*(F8^0,5) =(1-$C$5)*C8 =$C$5*C8 1,778 =$C$5*C8-($C$2+$C$3)*F8

9 2010 =$C$4*(F9^0,5) =(1-$C$5)*C9 =$C$5*C9 =F8+G8 =$C$5*C9-($C$2+$C$3)*F9

... ... ... ... ... ... ... 46 2047 =$C$4*(F46^0,5) =(1-$D$5)*C46 =$D$5*C46 =F45+G45 =$D$5*C46-($C$2+$C$3)*F46

Al hacer el gráfico obtenemos dos zonas diferenciadas; la primera con un capital per cápita inferior a 3 y, por lo tanto, una tasa de ahorro del 6%; y la segunda zona con un capital per cápita superior o igual a 3 y con una tasa de ahorro del 18%.

GRÁFICO 10.3. EVOLUCIÓN DE LAS VARIABLES

Todas las variables muestran un crecimiento continuado, hecho que antes no sucedía. De esta manera, gracias a la disminución del crecimiento de la población, este país puede salir de la trampa de la pobreza.

10.4 Incorporación de una ayuda internacional

Otra manera de salir de la conocida trampa de la pobreza es recibir una ayuda internacional. En este apartado vamos a ver cuál tiene que ser la ayuda necesaria. Suponemos que la ayuda representa una fracción constante del PIB repartida en los próximos 10 años, que se utiliza para el financiamiento de nuevo capital productivo.

Pasamos a escribir cómo se vería modificada la ecuación de acumulación de capital:

∆𝑟 = 𝑟𝑡+1 − 𝑟𝑡 = 𝑖𝑓(𝑟𝑡) − (𝑛 + 𝛿)𝑟𝑡 + 𝛽 · 𝑓(𝑟𝑡)

0

5

10

15

20

25

30

Pro

ducc

ión,

con

sum

o, a

horr

o y

capi

tal p

er c

ápit

a

Años y c s k


Lo que hemos hecho es incorporar un parámetro nuevo, que llamamos beta (𝛽), y que equivale al porcentaje del PIB que se da al país como ayuda internacional. El siguiente paso es calcular el porcentaje del PIB que hace falta para sacar la economía de la trampa de la pobreza en el año 2019, ya que la ayuda se recibe durante 10 años, desde el año 2009 hasta el 2018.

Con el fin de saber el porcentaje utilizamos nuevamente el Solver. Lo que haremos es crear una columna adicional que sea el beta, pondremos por ejemplo el valor inicial del 1%, y este parámetro tendrá que afectar la ecuación de acumulación de capital del año 2009 hasta el año 2018. Como la ayuda es una fracción constante del PIB, haremos que cada celda sea igual a la anterior (en la figura 9.5, D8=D7) y arrastraremos el ratón hasta completar los 10 años.

FIGURA 10.5

Luego, solo debemos modificar la ecuación de capital per cápita en la hoja de cálculo utilizando la ecuación que acabamos de definir. Además, la tasa de ahorro durante los años de ayuda es del 6%, pero a partir del 2019, que es cuando se consigue un capital por cápita de 3, la tasa de ahorro aumenta hasta un 18%. De esta manera, en la ecuación de acumulación de capital del año 2019 hemos de modificar la tasa de ahorro (al igual que en las siguientes ecuaciones, como hemos hecho en apartado anterior).


Inicialmente nos quedará como se muestra en la figura 10.5. Lo que debemos hacer a continuación es completar el Solver tal como se muestra en la Figura 10.6. Colocaremos la celda E17 como celda objetivo (correspondiente al capital en el año 2019), y marcaremos que tenga el valor de 3, que es el que ha de tener el capital per cápita para que el país supere la trampa de la pobreza.

Con lo que respecta a Cambiando las celdas de variables, seleccionaremos la primera celda del parámetro beta, ya que como tenemos las celdas relacionadas entre ellas, cuando cambiemos la primera ya nos cambiará el resto.

FIGURA 10.6

Clicamos a Resolver:

FIGURA 10.7


Podemos observar en la figura 10.5 que para salir de la trampa de la pobreza en 10 años este país necesita una ayuda internacional anual equivalente al 3,34% del PIB per cápita. Ahora lo que haremos es dibujar y comparar la evolución de la renta per cápita del país en los dos casos, es decir, con ayuda internacional y sin esta ayuda.

GRÁFICO 10.4. EVOLUCIÓN DE LA RENTA PER CÁPITA

Vemos que la renta per cápita inicial (sin ayuda internacional) casi no se mueve del 4, mientras que la renta per cápita que se obtiene con la incorporación de la ayuda internacional, da un salto en el año 2018 y empieza a crecer hasta llegar a una renta per cápita de 14. Este salto es debido a que el país ha conseguido salir de la trampa de la pobreza y el nivel de ahorro ha aumentado al 18%.

0

2

4

6

8

10

12

14

Ren

ta p

er c

ápit

a

Años Y inicial Y ayuda

Modelo de Ramsey 120

Capítulo 11. Modelo de Ramsey

En la práctica anterior suponíamos que la tasa de ahorro venía dada y era constante a lo largo del tiempo, pero en realidad, como ya hemos visto en el capítulo del Modelo de Fisher, la decisión sobre cuánto consumir y qué cantidad ahorrar se hace de forma simultánea y puede variar en cada período. Se supone que los consumidores eligen estas variables con el fin de maximizar su función de utilidad.

Suponemos para simplificar que los individuos trabajan todas las horas disponibles (no hay ocio) y tampoco hay gobierno (por lo tanto, no hay impuestos).

El problema del planificador social será el siguiente:

𝑈 = max{𝑐𝑡}𝑡=0

∞∑ 𝛽𝑡𝑢(𝑐𝑡)∞

𝑡=0

s.a.

∆𝑟 = 𝑟𝑡+1 − 𝑟𝑡 = 𝑓(𝑟𝑡) − 𝛿𝑟𝑡 − 𝑐𝑡

k0 dado

lim𝑡→∞ 𝛽𝑡𝑟𝑡 = 0

donde 𝛽 < 1 representa la tasa de descuento intertemporal del consumo. Al aplicar un descuento exponencial, a medida que nos alejamos en el tiempo (es decir, a medida que crece 𝑡) el peso de la utilidad cae. El resto de variables ya las conocemos. Dado un stock de capital inicial (𝑟0), el planificador social escoge la senda de consumo que maximiza la función de utilidad (𝑈) de un agente representativo. Por lo tanto, la dinámica de ajuste del stock de capital y de la producción deben ser consistentes con el problema de maximización.

Modelo de Ramsey 11


En esta práctica estudiaremos el modelo con el ejemplo en Excel, compararemos los resultados con el modelo de Solow y analizaremos el efecto de cambios en los parámetros. Pero vamos primero a resolver el modelo de forma analítica. Para eso, construiremos el Lagrangiano,

𝐿 = max{𝑐𝑡,𝑟𝑡+1}𝑡=0

∞ � 𝛽𝑡[𝑢(𝑐𝑡) + 𝜆𝑡(𝑓(𝑟𝑡) + (1 − 𝛿)𝑟𝑡 − 𝑟𝑡+1 − 𝑐𝑡]∞

𝑡=0

Resolvemos para 𝑐𝑡, 𝑟𝑡+1, 𝜆𝑡 e igualamos a cero.

Es importante tener en cuenta que tenemos un sumatorio de variables en diferentes momentos del tiempo, indicados por subíndices.

𝐿 = ⋯ + 𝛽𝑡[𝑢(𝑐𝑡) + 𝜆𝑡(𝑓(𝑟𝑡) + (1 − 𝛿)𝑟𝑡 − 𝑐𝑡 − 𝑟𝑡+1)]+ 𝛽𝑡+1[𝑢(𝑐𝑡+1) + 𝜆𝑡+1(𝑓(𝑟𝑡+1) + (1 − 𝛿)𝑟𝑡+1 − 𝑐𝑡+1 − 𝑟𝑡+2)] + ⋯

Nos queda:

𝜕𝐿𝜕𝑐𝑡

: 𝛽𝑡( 𝑢′(𝑐𝑡) − 𝜆𝑡) = 0 → 𝑢′(𝑐𝑡) − 𝜆𝑡 = 0

𝜕𝐿𝜕𝑟𝑡+1

: 𝛽𝑡+1 𝜆𝑡+1(𝑓′(𝑟𝑡+1) + 1 − 𝛿) − 𝛽𝑡𝜆𝑡 = 0 → 𝛽 𝜆𝑡+1(𝑓′(𝑟𝑡+1) + 1 − 𝛿) − 𝜆𝑡 =

0

𝜕𝐿𝜕𝜆𝑡

: 𝑟𝑡+1 − 𝑓(𝑟𝑡) − (1 − 𝛿)𝑟𝑡 − 𝑐𝑡 = 0

Si sustituimos las lambdas de la segunda ecuación por los correspondientes valores obtenidos de la primera, 𝜆𝑡 = 𝑢′(𝑐𝑡) y 𝜆𝑡+1 = 𝑢′(𝑐𝑡+1), obtenemos las condiciones de primer orden del problema. Estas son:

𝑢′(𝑐𝑡)𝛽𝑢′(𝑐𝑡+1)

= 𝑓′(𝑟𝑡+1) + 1 − 𝛿

𝑐𝑡 = 𝑟𝑡+1 − 𝑓(𝑟𝑡) − (1 − 𝛿)𝑟𝑡

A partir de aquí podemos encontrar el estado estacionario del sistema, si conocemos las funciones y los parámetros de la economía. Una función de utilidad que se utiliza a menudo es la siguiente:

𝑢(𝑐𝑡) =𝑐𝑡

1−𝛾 − 11 − 𝛾


Esta tiene la particularidad de ser isoelástica, es decir, la elasticidad de sustitución

intertemporal del consumo es constante, y viene dada por 1𝛾. Si el parámetro 𝛾 es alto,

la elasticidad intertemporal será baja, lo que indica que el consumidor prefiere una senda de consumo suave y no está muy dispuesto a sustituir el consumo entre períodos.

Suponemos que la función de producción es la misma que la del capítulo anterior:

𝑓(𝑟𝑡) = 𝐴𝑟𝑡𝛼

Por lo tanto,

𝑢′(𝑐𝑡) = (1−𝛾)𝑐𝑡1−𝛾−1

1−𝛾 o bien 𝑢′(𝑐𝑡) = 𝑐𝑡

−𝛾

𝑓′(𝑟𝑡−1) = 𝛼𝐴𝑟𝑡+1𝛼−1

Sustituyendo estos valores a la segunda ecuación:

𝑐𝑡−𝛾

𝛽𝑐𝑡+1−𝛾 =

1𝛽

(𝑐𝑡

𝑐𝑡+1)−𝛾 = (𝛼𝐴𝑟𝑡+1

𝛼−1 + 1 − 𝛿)

En estado estacionario, las variables ya no cambian más al pasar el tiempo. Podemos quitar, por lo tanto, subíndices para obtener el nivel de capital a largo plazo (𝑟�):

𝑟� = �𝛼𝐴

�1𝛽� − (1 − 𝛿)

�

11−𝛼

11.1 Evolución de las variables

Ahora lo que haremos será calcular la evolución a lo largo del tiempo de las principales variables de la economía: capital, consumo, producción y utilidad, todas ellas per cápita. Para hacerlo, supondremos que el capital inicial de la economía es igual a 2 y que los parámetros tienen los siguientes valores: 𝐴 = 1, 𝛽 = 0,96, 𝛼 = 0,3, 𝛿 = 0,1 y 𝛾 = 1,5.

Utilizaremos el Solver para encontrar la senda de la economía hacia el estado estacionario.

Pues bien, lo que haremos primero de todo es calcular el nivel de capital a largo plazo (𝑟�), con la fórmula que hemos encontrado anteriormente después de hacer todo el desarrollo. Calculamos y encontramos el valor del capital en estado estacionario:


𝑟� = � 0,3·1

� 10,96�−(1−0,1)

�

11−0,3

= 2,9208

Ahora lo que tendremos que hacer en el Excel es crear cuatro columnas, una por cada variable. El consumo es la variable de decisión; por lo tanto, le damos un valor arbitrario, por ejemplo, 1. Las otras variables las encontramos a partir de las condiciones de primer orden en la página 116.

𝑟𝑡+1 = 𝐴𝑟𝑡𝛼 − 𝑐𝑡 + (1 − 𝛿)𝑟𝑡 (capital per cápita)

𝑦𝑡 = 𝐴𝑟𝑡𝛼 (producción per cápita)

𝛽𝑡𝑢(𝑐𝑡) = 𝛽𝑡 𝑐𝑡1−𝛾−11−𝛾

(utilidad descontada)

A partir de la utilidad descontada calcularemos la utilidad total:

𝑈 = ∑ 𝛽𝑡𝑢(𝑐𝑡)𝑇𝑡=0

Por último, el valor del capital en el período 0 será el que hemos supuesto anteriormente, es decir, 2; y tomaremos una senda de 30 períodos. Como veremos este número de períodos es suficiente para observar la convergencia. Así es como nos quedará la hoja del Excel:

FIGURA 11.1

Una vez tenemos las columnas creadas, lo que hemos de hacer es un Solver,

donde la función objetivo será la maximización de la función de utilidad, sujeta a que el


último valor del capital sea mayor o igual al valor del capital a largo plazo, es decir, 2,9208. Las celdas del consumo son las que varían, es decir, las que encontrará el Solver. FIGURA 11.2

Clicamos a Resolver y tendremos la senda de la economía hacia el estado

estacionario.

FIGURA 11.3


11.2 Cálculo de la tasa de ahorro

Una vez encontrada la senda de la economía hacia el estado estacionario, calcularemos la tasa de ahorro. El ahorro es igual a la producción menos el consumo; por lo tanto, la tasa de ahorro (𝑖) se puede encontrar con la fórmula siguiente:

𝑖 = 𝒚−𝒄𝒚

De este modo pasamos a calcular la tasa de ahorro y a ver cómo variaría a lo largo de los 30 períodos.

FIGURA 11.4

En la figura 11.4 podemos apreciar que la tasa de ahorro va disminuyendo desde 26,3% hasta 21.7%.

11.3 Variación del valor de una variable

La hoja de cálculo programada permite hacer comparativas si cambiamos el valor de un parámetro. Suponemos que partimos del estado estacionario y cambiamos la beta. Vamos a dar a beta el valor de 0,95 en vez de 0,96. Debido al cambio, tendremos que volver a calcular el valor del capital a largo plazo y la senda de la economía.

Ahora el nuevo valor del capital en estado estacionario es:


𝑟� = � 0,3·1

� 10,95�−(1−0,1)

�

11−0,3

= 2,6257

Con la hoja de cálculo programada, solo hemos de cambiar el valor inicial del capital, que tiene que ser 2,9208 y el valor de la beta. Una vez hecho esto, vamos al Solver. En la pantalla que se abre tenemos que cambiar el valor de la restricción, ya que ahora el último valor del capital tiene que ser igual a 2,6257.

FIGURA 11.5

Clicamos a Resolver.


FIGURA 11.6

Antes de analizar el cambio, recordemos que 𝛽 representa la tasa de descuento intertemporal del consumo, es decir, la preferencia para consumir ahora o en un futuro. Por lo tanto, si beta disminuye, lo que querrá decir es que preferimos consumir más hoy, y de esta manera el consumo aumentará y la tasa de ahorro disminuirá. Vemos la figura 11.6 que efectivamente el consumo inicial aumenta.

Externalidades y eficiencia 128

Capítulo 12. Externalidades y eficientcia

Nos encontramos en una región donde tenemos dos empresas: por un lado tenemos la empresa Y (agricultor), que produce el bien Y a partir del input L (nitrógeno); por otro lado tenemos la empresa X (planta embotelladora), que produce el bien X(agua) con el input K . Los precios correspondientes son PY, PL, PX, Pk, mientras que los beneficios de las dos empresas vienen dados por:

( )y Y LP Y L P LP = − donde Π𝑦 son los beneficios de la empresa Y

( )( )Π ,Ψx x kP X K L P K= − donde Π𝑥 son los beneficios de la empresa X .

Además, sabemos que X (K , Ψ) es la función de producción con ∂x∂ψ

< 0 y dψdL

>0.

Sabemos también que el uso del input L por parte del agricultor Y provoca un

daño (externalidad negativa) a la empresa embotelladora X, que es representado por

Ψ(𝐿).

12.1 Óptimo desde el punto de vista privado

Lo que vamos a hacer en este apartado es buscar el óptimo desde el punto de vista privado. Primero lo haremos de forma analítica y luego utilizaremos un ejemplo para verlo numéricamente.

Resolución analítica

Lo que haremos es buscar la derivada de los beneficios de las empresas en función de su input e igualaremos esta derivada a cero para buscar el beneficio máximo. De este modo, empezamos por buscar el óptimo privado del agricultor:

𝑚𝑚𝑚𝐿 Π𝑦 = 𝑃𝑌𝑌(𝐿) − 𝑃𝐿𝐿



𝑑Π𝑦

𝑑𝐿= 𝑃𝑦𝑌′(𝐿) − 𝑃𝐿 = 0 → 𝐿∗ .

Donde 𝐿∗ es el input óptimo del agricultor.

Para encontrar el óptimo privado de la empresa embotelladora tenemos:

𝑚𝑚𝑚𝐾 Π𝑥 = 𝑃𝑥𝑋(𝐾, Ψ(𝐿)) − 𝑃𝑟𝐾

𝑑Π𝑥𝑑𝐾

= 𝑃𝑥𝜕𝜕(𝐾,Ψ(𝐿∗))

𝜕𝐾− 𝑃𝑟 = 0 → 𝐾∗ .

Donde K* es el input óptimo de la empresa embotelladora.

Resolución numérica

Vamos a calcular el óptimo privado del agricultor. Supondremos unos valores y realizaremos los cálculos anteriores numéricamente. Los valores son:

𝑃𝑦 = 2 𝑌(𝐿) = 𝐿12� 𝑃𝐿 = 1

3� 𝑃𝑥 = 1 𝑃𝐾 = 12�

𝑋(𝐾, Ψ(𝐿)) = 1,4𝐾0,8 − Ψ(𝐿)/K Ψ(𝐿) = − 12� 𝐿2 .

Para encontrar el óptimo debemos maximizar:

𝑚𝑚𝑚𝐿 Π𝑦 = 𝑃𝑌𝑌(𝐿) − 𝑃𝐿𝐿 = 2𝐿12� − 1

3� 𝐿 = 0

𝑑Π𝑦

𝑑𝐿= 𝐿−1

2� − 13� = 0 → 𝐿∗ = 9 .

Así, obtenemos que el input óptimo privado del agricultor es de nueve unidades.

En este caso, podemos buscar el valor del L* a partir del Solver. Lo hacemos poniendo en una celda la ecuación =(L^(−0,5)) − (1/3), donde L es la coordenada de otra celda del Excel a la que daremos un valor cualquiera (que corresponderá al valor del input L). Vamos a Datos, Solver y en Establecer objetivo situamos la celda donde hemos puesto la ecuación anterior y establecemos que debe tener Valor de 0. A Cambiando las Celdas, clicamos sobre la celda que hemos definido como 𝐿 y pondremos un valor cualquiera, por ejemplo, 1.

Si clicamos Resolver, nos da L* = 9,000014477.

Además, para comprobarlo, podemos hacer dos columnas, representadas en la tabla 12.1 con el fin de obtener un gráfico. En la columna de la izquierda hemos hecho una secuencia de valores de L y en la columna de la derecha hemos puesto la ecuación =(L^(−0,5)) − (1/3).


TABLA 12.1

A partir de aquí, podemos hacer un gráfico. Vamos a Insertar, Dispersión con líneas suaves, y obtenemos el gráfico 12.1.

GRÁFICO 12.1. BENEFICIO MARGINAL RESPECTO AL INPUT L

Vemos en el gráfico que el punto donde el beneficio marginal es igual a cero es exactamente en nueve unidades de input L, por lo tanto esta es la cantidad de input que nos da como resultado la producción óptima.

Calculemos ahora el óptimo privado de la planta embotelladora.

𝑚𝑚𝑚𝐾 Π𝑥 = 𝑃𝑥𝑋(𝐾, Ψ(𝐿)) − 𝑃𝑟𝐾 = 1,4𝐾0,8 − 12� 𝐿2/𝐾 − 1

2� 𝐾 = 0

𝑑Π𝑥𝑑𝐾

= 1,12𝐾−0,2 + 12� 𝐿∗2𝐾−2 − 1

2� = 0 → 𝐾∗ = 62,602 .

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 2 4 6 8 10 12 14

Bene

ficio

mar

gina

l

Input (L)

L EQ 1 0,666667 2 0,373773 3 0,244017 4 0,166667 5 0,11388 6 0,074915 7 0,044631 8 0,02022 9 0

10 -0,01711 11 -0,03182 12 -0,04466 13 -0,05598


El óptimo privado de la empresa embotelladora son 62,6 unidades del input K.

Aquí vamos a hacer lo mismo que en el caso del agricultor: calculamos el óptimo a partir del Solver y nos da 62,602; por último, hacemos también el gráfico correspondiente (gráfico 12.2).

GRÁFICO 12.2. BENEFICIO MARGINAL RESPECTO AL INPUT K

En este caso vemos en el gráfico que el punto donde el beneficio marginal es igual a cero es 62,6 unidades de input K.

12.2 Óptimo desde el punto de vista social

Igual que en el apartado anterior, buscaremos el óptimo de ambas empresas. En este apartado, sin embargo, buscaremos el óptimo social; primero de manera analítica y luego de manera numérica, a partir de los mismos valores que hemos utilizado en el óptimo privado.

Resolución analítica

Para encontrar el óptimo social tenemos que sumar los beneficios de ambas empresas y una vez tenemos el beneficio total buscamos la derivada para cada input.

Planteamiento teórico:

𝑚𝑚𝑚𝐿,𝐾 (Π𝑦 + Π𝑥) = 𝑃𝑌𝑌(𝐿) − 𝑃𝐿𝐿 + 𝑃𝑥𝑋(𝐾, Ψ(𝐿)) − 𝑃𝑟𝐾

𝜕(Π𝑦+Π𝑥) 𝜕𝐿

= 𝑃𝑦𝑌′(𝐿) + 𝑃𝑥𝜕𝜕(𝐾,Ψ(𝐿))

𝜕Ψ𝑑Ψ𝑑𝐿

− 𝑃𝐿 = 0 → 𝐿∗∗ (12.1)

𝜕(Π𝑦+Π𝑥) 𝜕𝐾

= 𝑃𝑥𝜕𝜕(𝐾,Ψ(𝐿))

𝜕𝐾− 𝑃𝐾 = 0 → 𝐾∗∗ .

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 20 40 60 80 100 120

Bene

ficio

mar

gina

l

Input (K)


Planteamiento numérico:

𝜕(Π𝑦+Π𝑥) 𝜕𝐿

= 𝐿−12� − 1

3� − 𝐿/𝐾 = 0


= 1,12𝐾−0,2 + 12� 𝐿2𝐾−2 − 1

2� = 0 .

Resolución con Excel

Como no podemos resolver las dos ecuaciones anteriores analíticamente, utilizamos Excel y obtenemos:

K**=58,91

L**=5,49

La solución correcta requiere que 𝜕(Π𝑦+Π𝑥)

𝜕𝐿= 0 y


= 0. Sin embargo, la

función objetivo puede ser solo una celda. Para esto elegimos como objetivo la suma

de las celdas de las ecuaciones 𝜕(Π𝑦+Π𝑥)

𝜕𝐿 y


, otra celda aparte. En esta celda

aparte, que se convertirá en la celda objetivo, sumamos el cuadrado de cada ecuación y

multiplicamos la suma por 10.000, ��𝜕(Π𝑦+Π𝑥) 𝜕𝐿

�2

+ �𝜕(Π𝑦+Π𝑥) 𝜕𝐾

�2

�· 10.000. Así Solver

encontrará una solución correcta de forma aún más exacta.

Lo que haremos ahora es un gráfico mostrando tan solo el comportamiento de K** (gráfico 12.3).

GRÁFICO 12.3. COMPORTAMIENTO DEL CAPITAL

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71

Bene

ficio

mar

gina

l

Input social embotelladora (K**)


12.3 Determinación del impuesto óptimo sobre el input L

En este apartado asumimos que el agricultor debe pagar un impuesto y lo que nos interesa ahora es determinar la magnitud de este.

En presencia de un impuesto la función de beneficio del agricultor es:

𝑚𝑚𝑚𝐿 Π𝑦 = 𝑃𝑌𝑌(𝐿) − 𝑃𝐿𝐿 − 𝜏𝐿

𝑑Π𝑦

𝑑𝐿= 𝑃𝑦𝑌′(𝐿) − 𝑃𝐿 − 𝜏 = 0 .

Para que sea idéntico con la ecuación (12.1) del óptimo social, imponemos que:

𝜏 = −𝑃𝑥𝜕𝜕(𝐾∗+Ψ(𝐿))

𝜕Ψ𝑑Ψ𝑑𝐿

.

De tal modo que el agricultor determina su beneficio según la ecuación:

𝑑Π𝑦

𝑑𝐿= 𝑃𝑦𝑌′(𝐿) − 𝑃𝐿+𝑃𝑥

𝜕𝜕(𝐾∗∗+Ψ(𝐿∗∗))𝜕Ψ

𝑑Ψ(𝐿∗∗)𝑑𝐿

= 0 .

De forma numérica resolvemos y obtenemos que:

𝜏=− 𝐿∗∗

−𝐾∗∗ 𝜏 = 5,4958,91

= 0,0931 .

Impuestos y reembolsos 134

Capítulo 13. Impuestos y reembolsos

En el capítulo anterior el regulador utilizaba un impuesto para corregir el fallo de mercado. Este instrumento requiere que el regulador sea capaz de observar el contaminante. Si no es capaz de observar las emisiones el regulador puede optar por instrumentos que combinan aspectos obligatorios y voluntarios. En este caso aplica por defecto un impuesto a todas las fuentes de emisiones y solo las empresas que se someten a una vigilancia más rigurosa reciben un trato más favorable en forma de un reembolso parcial o total del impuesto pagado. Como ejemplo para este enfoque diseñamos una regulación de los fertilizantes nitrogenados en el campo de la agricultura. Estudiaremos cómo reaccionaran los propietarios de las explotaciones, con el fin de contrarrestar las consecuencias del uso de fertilizantes, aunque esto les lleve a una disminución de sus beneficios netos.

La aplicación de un fertilizante nitrogenado en la agricultura conlleva a menudo el problema de la generación de lixiviados con nitratos a las aguas superficiales o subterráneas pero, aunque exista el problema, si no hay absolutamente ningún control sobre el lixiviado, los beneficios netos de las explotaciones agrícolas vienen dados por

60𝑋 − 34

𝑋2, donde X representa la cantidad de fertilizante nitrogenado aplicada.

Si el agricultor quiere reducir el lixiviado, existen dos maneras distintas de aplicar el fertilizante. La primera es con un control exhaustivo y seguro, donde 𝑚𝑠 representa la cantidad de fertilizante aplicada de este modo y la segunda manera es con un control muy rudimentario e inseguro, donde 𝑚𝑖 representa la cantidad de fertilizante aplicada en este caso. La cantidad total de fertilizante aplicada viene dada por X = 𝑚𝑖 + 𝑚𝑠. Finalmente, el agricultor se tendrá que decidir por la cantidad de fertilizante, escogiendo 𝑚𝑖 o 𝑚𝑠 pero no los dos a la vez.

Supóngase que el regulador puede observar la cantidad total de fertilizante aplicada en el sector, pero no la cantidad y la manera de la aplicación del fertilizante de cada explotación. En el caso de la aplicación insegura, las propias explotaciones se ocupan de controlar las emisiones; en consecuencia, sus beneficios netos caen a

40𝑚𝑖 − 14

𝑚𝑖2. En el segundo caso (aplicación segura), se supone la creación de la figura

Impuestos y reembolsos

13


de la empresa homologada y autorizada por un organismo público para gestionar la aplicación del fertilizante; las explotaciones encargan a esta empresa el control y la reducción de sus emisiones. El encargo del control de las emisiones a la empresa

autorizada y homologada reduce el beneficio de las explotaciones a 35𝑚𝑠 − 18

𝑚𝑠2.

13.1 Costes marginales de reducción

En este apartado calcularemos los costes marginales de reducción de las emisiones que soportan las explotaciones para las dos maneras de aplicar el fertilizante, es decir, para el caso inseguro (CMRi) y cuando se hace de manera segura (CMRs). Una vez estén calculados, pasaremos a representar las funciones gráficamente.

Empezamos por calcular el beneficio marginal de los tres casos, donde el beneficio marginal es la derivada del beneficio respecto a 𝑚.

• Sin control:

• Con control inseguro:

• Con control seguro:

Ahora que ya hemos calculado los beneficios marginales, pasamos a calcular los costes marginales de reducción, que son aquellos que se generan al disminuir la cantidad de residuos expulsados en el ambiente o al reducir las concentraciones ambientales.

Así por ejemplo, para calcular el coste marginal de reducción del control inseguro (CMRi), lo que haremos es restarle al beneficio marginal sin control el beneficio marginal con control inseguro.

Lo vemos aquí con la siguiente ecuación:

.

xx

xx2360

4360 2 −=

∂∂

→−=ππ

xx

xx iii 2140

4140 2 −=

∂∂

→−=ππ

ssss xx

xx4135

8135 2 −=

∂∂

→−=ππ

iii xxxCMR −=

−−−= 20

2140

2360


Y para el control seguro tenemos:

.

Ahora que ya hemos calculado los costes marginales de reducción, pasamos a representarlos gráficamente. Para representarlos, utilizaremos el Excel. Haremos tres columnas: la primera representará la variable 𝑚, la segunda representará el coste marginal de reducción con un control inseguro (CMRi) y la tercera columna el coste marginal de reducción con un control seguro (CMRs).

Los valores de 𝑚 irán del 0 al 30 en un principio. Más adelante si fuese necesario, estos podrían ser reducidos en función de los costes marginales. En la segunda columna (CMRi) irá la función que hemos obtenido 𝐶𝑀𝑅𝑖 = 20 − 𝑚 y en la tercera

columna (CMRs) pondremos 𝐶𝑀𝑅𝑠 = 25 − 54

𝑚.

Obtendremos el siguiente Excel (figura 13.1):

FIGURA 13.1

sss xxxCMR4525

4135

2360 −=

−−−=


Vemos que si la variable 𝑚 es mayor que 20, los valores de los costes marginales son negativos y esta información no nos interesa; en consecuencia, la variable 𝑚 tendrá valores entre 0 y 20.

Ahora que ya tenemos los valores, pasamos a hacer el gráfico. Utilizamos las series correspondientes según el eje del gráfico: en el eje horizontal seleccionamos la variable 𝑚, y en el eje vertical seleccionamos los costes marginales de reducción (CMR). Luego utilizamos los comandos Insertar, Dispersión y con Línea para realizar el primer gráfico.

El gráfico 13.1 nos muestra la representación gráfica de las funciones.

GRÁFICO 13.1. COSTES MARGINALES DE REDUCCIÓN

13.2 Cálculo de la cantidad óptima

En este apartado pasaremos a calcular, a partir de los daños marginales, la cantidad óptima de nitrógeno en el caso de la aplicación insegura (𝑚𝑖) y en el caso de la aplicación segura (𝑚𝑠). La cantidad óptima la obtendremos igualando el CMR con el DM.

Entonces para el caso de la aplicación insegura, los daños marginales del lixiviado (DMi) son idénticos a 𝑚𝑖 . Obteniendo:

20 – 𝑚𝑖 = 𝑚𝑖 𝑚𝑖* = 10.

La cantidad óptima de fertilizante nitrogenado es de 10, en el caso de la aplicación insegura.

Por lo que respecta a la aplicación segura, la empresa autorizada y homologada controla las emisiones de forma tan eficiente que los daños marginales (DMs) son constantes e iguales a cero. En este caso tenemos que:

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)

Cantidad de nitrógeno (x)

CMRi CMRs


25 − 54

𝑚𝑠 = 0 𝑚𝑠* = 20 .

La cantidad óptima de fertilizante nitrogenado es 20, para la aplicación segura.

Una vez tenemos las cantidades óptimas, es interesante ver qué impuesto (t*) y subsidio (s*) son capaces de incentivar la cantidad óptima de 𝑚𝑠.

Lo veremos a partir de las siguientes ecuaciones:

• CMR(𝑚𝑖*) = t * • CMR(𝑚𝑠*) = t * – s* .

La resolución de las ecuaciones anteriores se presenta de la siguiente forma:

CMR(𝑚𝑖*) = t * 20 – 𝑚𝑖* = t * 20 – 10 = t * t * = 10 .

Ahora que ya sabemos el impuesto, pasamos a encontrar el subsidio a partir de la primera ecuación:

CMR(𝑚𝑠*) = t * – s * 25– 54

𝑚𝑠 = t * – s * 25 – �54� 20 = 10 – s* s* = 10 .

Ahora nos interesa volver a hacer el gráfico 13.1, pero añadiendo las funciones de daño marginal. Añadimos dos columnas, que corresponderán a los dos tipos de daños marginales, donde DMi = 𝑚 y DMs = 0.

Podemos verlo en la figura 13.2.


FIGURA 13.2

Ahora volvemos a hacer el gráfico, tal como lo hemos hecho anteriormente, pero añadiendo las dos columnas nuevas. De este modo obtenemos el gráfico 13.2.

GRÁFICO 13.2. COSTES MARGINALES DE REDUCCIÓN Y DAÑOS MARGINALES

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)


CMRi CMRs DMi DMs


13.3 La empresa autorizada controla las emisiones parcialmente

Ahora nos encontramos que la empresa autorizada y homologada controla las emisiones, pero no de forma completa; de esta manera los daños marginales vienen dados por la función DMs = 0,5 𝑚𝑠.

En este caso lo que tenemos que hacer es volver a igualar el CMRs con el nuevo daño marginal para encontrar la nueva cantidad óptima

25– 54

𝑚𝑠 = 12

𝑚𝑠 25 = 74

𝑚𝑠 𝑚𝑠 = 25 · 47 𝑚𝑠 =14,3 .

Una vez tenemos la nueva cantidad óptima, volvemos a calcular el impuesto (t*) y subsidio (s*) que son capaces de incentivar la cantidad óptima de 𝑚𝑠.

En este caso, ya sabemos que t * = 10, con lo que solamente nos hace falta encontrar el valor del subsidio (s*). Para calcular el nuevo subsidio, seguiremos el mismo procedimiento realizado con anterioridad, pero modificando los valores utilizados:

CMR(𝑚𝑠*) = t* –s* 25– 54

𝑚𝑠= t* – s* 25– �54� · 14,3 = 10– s* s* = 2,875 .

Ahora volvemos a hacer el gráfico, pero modificando la columna del DMs, que en este caso no es cero como al principio, sino que es igual a 0,5𝑚𝑠. Así nos queda el gráfico 13.3.


En este caso, a diferencia del anterior, como el daño marginal de la aplicación segura tiene un valor superior a cero, coste marginal y daño marginal se cruzan en el punto 𝑚 =14,3.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)

Cantidad de nitrógeno (x) CMRi CMRs DMi DMs


13.4 Condiciones para participar en el sistema de impuestos y reembolso

En este apartado, vamos a estudiar dos condiciones (que no dejan de ser desigualdades).

En primer lugar vamos a ver qué condición tenemos que satisfacer para que la adopción del enfoque depósito-reembolso sea deseable desde el punto de vista social (agricultor). En este caso el enfoque depósito-reembolso supone la comparación cuantitativa entre los costes marginales de reducción (evitar daño ambiental) y el impuesto establecido (depósito o en este caso método seguro de aplicación), sobre el uso de fertilizante nitrogenado. Específicamente, buscamos que los costes marginales de reducción sean superiores al impuesto y que, por lo tanto, el aumento en los costes de la aplicación del fertilizante (al usar el método seguro) sea inferior a la reducción directa del daño ambiental producido (costes marginales de reducción derivados de la aplicación insegura). Queremos que resulte económicamente más rentable utilizar el método seguro en comparación a usar el método inseguro de aplicación y que, por lo tanto, el agricultor obtenga cierto beneficio (reembolso) con el nuevo método seguro.

En segundo lugar vamos a ver qué condición es necesaria para que el agricultor prefiera encargar la aplicación de fertilizante a la empresa autorizada y homologada, en lugar de aplicar los fertilizantes él mismo de forma insegura.

Primera condición

Empezamos con estudiar la condición necesaria para que la adopción del enfoque depósito-reembolso sea socialmente deseable. Para averiguarlo, necesitaremos el gráfico que hemos hecho anteriormente, pero añadiendo unas líneas y delimitando unas áreas.

Utilizamos los comandos: Insertar, Formas, Línea.

FIGURA 13.3


Hacemos una línea que vaya del punto donde se cruzan daño marginal y coste marginal hacia el eje de abscisas. Lo vemos en el gráfico 13.4.


Ahora pasamos a nombrar las áreas en el gráfico 13.5.


Primero aplicamos la condición de que el resultado solo sea correcto si los beneficios máximos son mayores en el caso seguro respecto del caso inseguro:

CRi(Xi) + Di(Xi) > CRs(Xs) + Ds(Xs)

con lo que forzamos a que el área A sea mayor que el área C.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)


CMRi CMRs DMi DMs

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)


CMRi CMRs DMi DMs

A A

C


A > C

La reducción de los daños del área A tiene que ser mayor que el aumento de los costes de reducción del área C. Podemos apreciar en el gráfico 13.6 cómo la condición de la que hablamos se cumple.


Segunda condición

Ahora que ya hemos averiguado cuál es la condición social, vamos a estudiar la condición para el agricultor. En este caso necesitamos delimitar otras áreas, como se puede observar en el gráfico 13.7.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)


CMRi CMRs DMi DMs

A A

C



En este caso, la condición es:

𝑡∗𝑚𝑖∗ + 𝐺 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐹 > (𝑡∗−𝑖𝑖

∗)𝑚𝑠∗ + 𝐸 + 𝐹

Podemos verlo un poco más claramente en los gráficos 13.8 y 13.9, que presentan los costes de reducción de la aplicación insegura, (𝑡∗𝑚𝑖

∗ + 𝐺 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐹), y segura, ((𝑡∗−𝑖𝑖

∗)𝑚𝑠∗ + 𝐸 + 𝐹), respectivamente.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

euro

s (€

)

Cantidad de nitrógeno (x) CMRi CMRs DMi DMs

G

B

A E

F

D C t

t-s




Si hacemos algunos cálculos con los resultados que hemos obtenido antes, podemos ver que la condición se cumple, ya que 150 > 122,13.

Doble dividendo 146

Capítulo 14. Doble dividendo

14.1 Enunciado del problema

Los beneficios netos de una empresa vienen dados por 4Ψ − 0,1Ψ2, donde Ψ denota la polución. Por lo tanto, los beneficios marginales o también conocidos como los costes marginales de reducción (CMR) son iguales a 4 − 0,2Ψ. Además, sabemos que los costes marginales privados (CMp) son iguales a 2 y los costes marginales sociales (CMs) son 2,2 (costes marginales privados + costes marginales externos). De acuerdo con estos datos se presentan los siguientes ejercicios:

1) Calcular las ganancias de eficiencia asociadas a la imposición de un impuesto. En el primer paso se ha de determinar el impuesto y a continuación la cantidad de dinero recaudado. Se define la oferta salarial (oferta inversa) en horas mensuales (𝐿), a partir de la ecuación 𝑤 = 0,0625𝐿, donde 𝑤 denota el sueldo por hora. La demanda salarial (demanda inversa) la determinamos a partir de la siguiente ecuación 𝑤 = 20 − 0,0625𝐿, donde otra vez 𝑤 denota el sueldo por hora.

2) Calcular el sueldo por hora y la cantidad de horas mensuales que corresponden

al equilibrio. 3) Calcular de nuevo el sueldo por hora y la cantidad de horas mensuales del

mercado si el sueldo por hora está sujeto a un impuesto del 20%.

4) Determinar las pérdidas de eficiencia relacionadas con este impuesto del 20%.

5) Suponemos que el gravamen del impuesto ambiental conduce a la misma reducción del salario real como un aumento en un 5% (de 20% a 25%) del impuesto sobre el sueldo y el consumidor es indiferente entre estas dos medidas. Comprueba si las pérdidas adicionales de eficiencia relacionadas con el

Doble dividendo 14

Doble dividendo 147

aumento del impuesto en un 5% son mayores o menores que las ganancias de eficiencia relacionadas con la aplicación del impuesto ambiental.

14.2 Resolución

En esta práctica veremos las ganancias de bienestar al aplicar un impuesto. Tenemos dos ecuaciones, la primera que explica el beneficio (4Ψ − 0,1Ψ2) y la segunda que es el beneficio marginal o también conocido como costes marginales de reducción (4 − 0,2Ψ). Además, sabemos que los costes marginales privados (CMp) son 2, y los costes marginales sociales (CMs) son 2,2 (costes marginales privados + costes marginales externos).

A partir de estos datos vamos a realizar el primer gráfico con el Excel, encontrando una serie de columnas como las que aparecen en la tabla 14.1:

(CMp) = 2 (CMR) = 4 − 0,2Ψ

(CMs) = 2,2 Polución = Ψ.

TABLA 14.1

CMR Polución (Ψ) CMs CMp

0 20 2,2 2 0,2 19 2,2 2 0,4 18 2,2 2 0,6 17 2,2 2 0,8 16 2,2 2

1 15 2,2 2 1,2 14 2,2 2 1,4 13 2,2 2 1,6 12 2,2 2 1,8 11 2,2 2

2 10 2,2 2 2,2 9 2,2 2 2,4 8 2,2 2 2,6 7 2,2 2 2,8 6 2,2 2

3 5 2,2 2 3,2 4 2,2 2 3,4 3 2,2 2 3,6 2 2,2 2 3,8 1 2,2 2

4 0 2,2 2

Doble dividendo 148

Una vez calculadas las series vamos a Insertar, Dispersión, Seleccionar datos, Agregar y en eje X seleccionamos la columna de polución y para el eje Y utilizamos las columnas de (CMp) y (CMs) por separado.

De esta forma, nos sale un gráfico como el siguiente (gráfico 14.1):

GRÁFICO 14.1. BENEFICIO MARGINAL

A partir de estos datos, vamos a calcular los valores óptimos de polución para el caso privado y el social. Lo hacemos igualando el beneficio marginal (CMR) con los costes marginales privados (CMp) y con los costes marginales sociales (CMs).

Privado: 4 − 0,2Ψ = 2 → Ψ𝑝 = 10

Social: 4 − 0,2Ψ = 2,2 → Ψ𝑠 = 9

Estos valores son los que hemos encontrado en el gráfico anterior en la intersección entre (CMp) y (CMs) con (CMR).

Para reducir la polución una unidad, es decir: pasar de 10 a 9, imponemos un impuesto de 0,2 (costes marginales externos). La cantidad de dinero recaudado corresponde al área que se comprende entre (CMs−CMp)· Ψ𝑠; por lo tanto, es 0,2 · 9 = 1,8.

La introducción del impuesto aumenta el bienestar, que viene dado por la reducción de los costes externos. Las ganancias de bienestar son iguales a:

�Ψ0−Ψ1��𝑝1−𝑝0�2

= 1·0,22

= 0,1 .

Gráficamente, las ganancias corresponden al triangulo ilustrado en la figura 14.1.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 5 10 15 20

Cost

es m

argi

nale

s

Polución

Polución Costes marginales privados Costes marginales sociales

Doble dividendo 149

FIGURA 14.1

Una vez calculado el impuesto y las ganancias de bienestar, vamos a calcular la oferta salarial. Se define la oferta salarial (oferta inversa) en horas mensuales (L), a partir de la ecuación 𝑤 = 0,0625𝐿, donde 𝑤 denota el sueldo por hora. La demanda salarial (demanda inversa) la determinamos a partir de la siguiente ecuación 𝑤 = 20 −− 0,0625𝐿, donde otra vez 𝑤 denota el sueldo por hora.

Realizamos un Excel, donde generamos una columna con el número de horas mensuales trabajadas, que variará de 10 en 10. Además, añadiremos dos columnas, que serán la columna de la oferta salarial y la de la demanda salarial. Por lo tanto, nos quedará una tabla como la siguiente.

TABLA 14.2

L Oferta salarial

Demanda salarial

0 0 20 10 0,625 19,375 20 1,25 18,75 30 1,875 18,125 40 2,5 17,5 50 3,125 16,875 60 3,75 16,25 70 4,375 15,625 80 5 15 90 5,625 14,375

100 6,25 13,75 ··· ··· ···

250 15,625 4,375 260 16,25 3,75 270 16,875 3,125 280 17,5 2,5 290 18,125 1,875 300 18,75 1,25 310 19,375 0,625 320 20 0

9

2,2

2

10

Doble dividendo 150

A partir de la tabla anterior haremos un gráfico. Iremos a Insertar, Dispersión con líneas suaves y seleccionaremos los datos tanto de la oferta como de la demanda (ambos valores representados en el eje de ordenadas), respecto a las horas trabajadas (representado en el eje de abscisas). En definitiva, obtenemos el siguiente gráfico:

GRÁFICO 14.2. OFERTA Y DEMANDA SALARIAL

Aunque ya podamos ver en el gráfico los puntos de equilibrio, vamos a buscarlos de manera analítica. Igualamos demanda y oferta:

20 – 0,0625𝐿 = 0,0625𝐿 → 20 = 0,125𝐿 → 𝑳∗ = 𝟏𝟎𝟎 𝒉/𝒎𝒎𝒎 .

Ahora cogemos, por ejemplo, la oferta salarial y sustituimos el valor de L y obtenemos:

𝑤 = 0,0625𝐿 → 𝑤 = 0,0625 · (160) → 𝒘∗ = 𝟏𝟎 €/𝒉𝒉𝒉𝒉 .

En el equilibrio el sueldo es 10€ por hora, trabajando 160 horas al mes.

¿Qué pasa si aplicamos un impuesto del 20%?

Si aplicamos un impuesto, tenemos:

Oferta salarial con impuesto, siendo t 20 = 0,20

𝑤 = 0,0625𝐿 𝑤 = w20(1–t 20) 𝑤 = w20(0,8) .

Demanda salarial con impuesto (w20): 20 – 0,0625L = w20

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320

Eur

os h

ora

Horas mensuales

oferta salarial demanda salarial

Doble dividendo 151

Ahora lo que tenemos que hacer es igualar la demanda salarial una vez aplicado el impuesto (𝑤 = w20(0,8)) con la oferta salarial modo que

0,0625L = (20 – 0,0625L)(1–0,2) 0,1125L = 16 L20 = 142,22 h/mes

Ahora sustituimos el valor de L, pero en este caso deberemos hacer tanto para la demanda como para la oferta, ya que serán distintos valores:

Demanda salarial: 20 – 0,0625L20 = w20 w20 = 11,11 €/hora

Oferta salarial: 0,0625L = w20(0,8) w20(0,8) = 8,88 €/hora

Pérdida de eficiencia del impuesto (IRPF)

Para poder apreciar la pérdida de eficiencia del impuesto, marcamos de manera manual en el gráfico 14.2. los valores de demanda salarial y oferta salarial que obtenemos con el impuesto. El resultado se puede ver en el gráfico 14.3. Lo hacemos con Excel a partir de los comandos: Insertar, Formas, Línea.

GRÁFICO 14.3. OFERTA Y DEMANDA SALARIAL

El área del triángulo marcada con la flecha corresponde a la pérdida de eficiencia:

Á𝑟𝑒𝑚 = �𝐿∗– 𝐿20��𝑤∗– 𝑤20(1– 𝑡20� = �160 – 142,22��10 – 8,88� = 19,9136 .

En nuestro caso concreto, para calcular el área del triángulo utilizamos el rectángulo cuya área es idéntica al doble del triángulo C, como se puede observar en la Figura 14.2.

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320

Eur

os h

ora

Horas mensuales oferta salarial demanda salarial

Doble dividendo 152

FIGURA 14.2

Vemos que si el impuesto sobre la polución conduce a un aumento de precio del bien de CMp a CMs, el sueldo neto real disminuirá:

𝑤𝑛𝑒𝑡𝑝 = 𝑤𝐶𝑀𝑠

versus 𝑤(1−𝑡20)𝐶𝑀𝑝

El individuo permanece indiferente entre un aumento del precio o un impuesto sobre el salario, mientras el salario neto no varíe.

El aumento del precio es igual a un aumento del impuesto del IRPF en un 5%

Por lo tanto, tenemos una tasa del 25% en lugar de 20%. Eso nos conduce a

0,0625L = (20 – 0,0625L)(1–0,25) 0,1093L = 15 L25 = 137,14 h/mes

Ahora volvemos a sustituir el valor de L, pero lo tendremos que hacer tanto para la demanda como para la oferta, ya que serán distintos valores:

Demanda salarial: 20 – 0,0625L = w25 w25 = 11,42 €/hora

Oferta salarial: 0,0625L = w25(0,75) w25(0,75) = 8,57€/hora

La pérdida de eficiencia en este caso es de:

Á𝑟𝑒𝑚 = �𝐿∗– 𝐿25��𝑤∗– 𝑤25(1– 𝑡25� = �160 – 37,14��10 – 8,57� = 32,6898 .

Ahora, si calculamos la diferencia entre esta pérdida de eficiencia y la anterior obtenemos:

32,6898 – 19,9136 = 12,7762.

Por lo tanto, vemos que el aumento de las pérdidas de eficiencia no son compensadas por las ganancias de la recaudación del impuesto ambiental, que era de 1,8. En esta situación no se puede obtener un doble dividendo. Esta práctica nos muestra que no se puede determinar a priori si existe un doble dividendo, sino que se debe analizar cada caso por separado.

160,00

C

142,22

11,11

8,88

10,00

Gestión de recursos no renovables 153

Capítulo 15. Gestión de recursos no renovables

En esta práctica calcularemos el óptimo de explotación de un recurso no renovable. Supongamos que somos dueños de una mina, donde las reservas iniciales son igual a 100.000 unidades (R0). Queremos determinar las tasas de extracción (qt) que maximizan el valor presente de los beneficios (PNV o “Present Net Value”), en un horizonte temporal de treinta y cinco años. La función de beneficios netos es πt = ln(1+ qt). La tasa de descuento viene dada por δ = 0,05, por lo que el factor de

descuento será 𝜌 = 11+𝛿

= 11,05

.

Para calcular el óptimo construiremos una tabla en Excel y utilizaremos el Solver, que nos permitirá calcular los máximos y mínimos de una función sujeta a determinadas restricciones.

En el Excel construimos la tabla a partir de las siguientes fórmulas (ver Figura

15.1):

𝑅𝑡 = 𝑅𝑡−1 − 𝑞𝑡−1 → Cantidad de recurso que queda en el suelo 𝜋𝑡 = ln (1 + 𝑞𝑡) → Función de beneficios netos 𝑃𝑁𝑃𝜋𝑡 = 𝜋𝑡 · 𝜌𝑡 → Valor presente de los beneficios

Por lo que respecta a qt utilizaremos un valor inicial escogido al azar, por ejemplo

100. Recordemos que en el último período ya no se extrae recurso, pues ya hemos agotado las reservas.



FIGURA 15.1

Una vez tenemos la tabla hecha, vamos a utilizar el Solver para calcular los valores óptimos de qt. Lo que haremos será poner en la Celda Objetivo la suma del valor presente (PNV) y en Cambiando las Celdas, pondremos la serie de qt (menos el último año). Por lo que respecta a las restricciones, pondremos que tanto los valores de qt (todos menos el último) como las reservas al finalizar el período han de ser mayores o iguales a cero.

Podemos ver cómo nos quedaría en la figura 15.2.


FIGURA 15.2

Si utilizamos el comando Resolver, obtendremos la figura 15.3.

FIGURA 15.3


¿Cuál es la tasa de extracción óptima con costes de extracción?

Una vez hemos visto cómo se calculan los valores óptimos de la extracción, vamos a volver a calcular el ejercicio anterior, pero en este caso variaremos un poco las ecuaciones.

En este caso tendremos que 𝜋𝑡 = �𝑝 − 𝑐·𝑞𝑡𝑅𝑡

� · 𝑞𝑡, donde 𝑝 es el precio unitario del

mineral y c representa los costes de extracción. Además, supondremos que 𝑝 = 1, c = 0,5 y δ = 0,05. Vemos que el coste de la extracción por unidad extraída no es constante, sino que depende de la cantidad del recurso en el “suelo”, 𝑅𝑡, (recurso que queda por extraer). Esta especificación refleja la idea de que la extracción es relativamente barata cuando se inicia la extracción del yacimiento. Suponiendo que inicialmente, para sacar el recurso solo es necesario perforar el suelo y a pocos metros de profundidad se podrá encontrar el recurso. En cambio, si el yacimiento fue explotado durante muchos años, se ha de perforar el suelo cada vez a más profundidad y, por lo tanto, los costes de extracción aumentan con la reducción del tamaño del yacimiento.

En este apartado calcularemos cuál es la tasa de extracción óptima del recurso y calcularemos qué cantidad de recurso se queda en el suelo. Para hacerlo, volveremos a rellenar la tabla 15.2, pero cambiando la fórmula del beneficio neto y los valores de las variables. El valor inicial vuelve a ser 100 (valor aleatorio) y en las reservas del último año pondremos 0. Hemos descompuesto la columna de beneficios en dos columnas, que son ingresos (𝑞𝑡 · 𝑝) y costes ((𝑞𝑡 · 𝑝) − 𝜋𝑡).

Además, modificaremos unas opciones del Solver –tanto para este caso como para todos los que siguen– para que nos dé una solución más exacta. Para hacerlo, iremos a Datos, Solver, Opciones¸ y en la pestaña Todos los métodos, en Precisión de la restricción pondremos 0,00000001. Y en la pestaña GRG nonlinear, en Convergencia pondremos 0,0000000001.

Entonces, obtenemos la figura 15.4.


FIGURA 15.4

Una vez hemos rellenado la tabla, pasamos a utilizar el Solver, donde tenemos que añadir una serie de restricciones que facilitan la obtención de la solución numérica, es decir, la convergencia. En concreto especificamos que la cantidad extraída, 𝑞𝑡, el stock, 𝑅𝑡 , y los beneficios netos, 𝜋𝑡 , son positivos, como aparece en la figura 15.5.


FIGURA 15.5

Ahora podemos clicar Resolver y obtenemos la tabla 15.1. Como el problema es numéricamente exigente (debido a las opciones que hemos cambiado en Solver), puede ser que Excel no encuentre un óptimo global, sino un óptimo local. Para verificar que Excel ha encontrado el óptimo global resolvemos el mismo problema, pero con diferentes valores iniciales de las variables de decisión (en nuestro caso los valores de qt) hasta que la solución de Excel converja en una única solución.

Otra manera de detectar que Excel nos presenta un óptimo local es comprobar si en concordancia con resultados analíticos la trayectoria de qt disminuye constantemente y no sube nunca. Si es el caso, podemos cambiar los valores iniciales, por unos nuevos bien diferentes.

Después de cambiar los valores que fallan, resolvemos el problema de nuevo y obtendremos una tabla similar a la tabla 15.1.


TABLA 15.1

δ= 0,05 ρ= 0,952380952 c= 0,5 p= 1,0

t qt Rt Ingresos Costes Beneficio PNV πt

0 26.993,16 100.000 26.993,16 3.643,15 23.350,00 23.350,00 1 19.664,74 73.006,84 19.664,74 2.648,40 17.016,34 16.206,04 2 14.355,98 53.342,10 14.355,98 1.931,81 12.424,16 11.269,08 3 10.510,40 38.986,12 10.510,40 1.416,77 9.093,63 7.855,42 4 7.683,16 28.475,72 7.683,16 1.036,51 6.646,64 5.468,21 5 5.613,14 20.792,56 5.613,14 757,66 4.855,47 3.804,39 6 4.107,77 15.179,42 4.107,77 555,81 3.551,96 2.650,53 7 3.005,04 11.071,65 3.005,04 407,81 2.597,23 1.845,80 8 2.191,62 8.066,61 2.191,62 297,72 1.893,90 1.281,87 9 1.579,95 5.874,99 1.579,95 212,45 1.367,50 881,51

10 1.170,01 4.295,03 1.170,01 159,36 1.010,65 620,45

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

31 3,14 6,23 3,14 0,79 2,34 0,52

32 3,09 3,09 3,09 1,54 1,54 0,32

33 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

76.632,63

El resultado de la tabla 15.1 demuestra que la cantidad extraída disminuye constantemente y después de treinta y tres años la cantidad extraída es igual a cero. Por lo tanto no es óptimo utilizar la licencia hasta el final del período de su vigencia. El factor de descuento hace que no sea óptimo extraer la misma cantidad durante treinta y cinco años, sino extraer más al inicio de la licencia y nada al final.

¿Cómo varía el óptimo si cambia la tasa de descuento?

En este apartado calcularemos el óptimo, siendo δ = 0,02 y δ = 0,09. Además, una vez calculados, los compararemos.

Empezamos por δ = 0,02. Tanto en este como en los casos siguientes, tan solo pondremos la tabla resultante, ya que el método a seguir es el mismo que en el caso anterior. Para esta comparación, asignamos inicialmente el valor de qt igual a 100. De este modo, empezamos por ver la tabla 15.2, resultante del caso en que δ = 0,02.


TABLA 15.2

δ= 0,02 ρ= 0,98 c= 0,50 p= 1,00


0,00 28.209,76 100.000,00 28.209,76 3.978,95 24.230,80 24.230,80 1,00 5.300,34 71.790,24 5.300,34 195,66 5.104,68 5.004,59 2,00 5.057,60 66.489,90 5.057,60 192,35 4.865,24 4.676,32 3,00 4.819,81 61.432,31 4.819,81 189,07 4.630,73 4.363,64 4,00 4.586,88 56.612,50 4.586,88 185,82 4.401,06 4.065,90 5,00 4.358,73 52.025,62 4.358,73 182,59 4.176,14 3.782,46 6,00 4.135,27 47.666,89 4.135,27 179,37 3.955,89 3.512,72 7,00 3.916,41 43.531,62 3.916,41 176,17 3.740,23 3.256,10 8,00 3.702,06 39.615,21 3.702,06 172,98 3.529,08 3.012,04 9,00 3.492,15 35.913,15 3.492,15 169,79 3.322,37 2.780,01

10,00 3.286,60 32.420,99 3.286,60 166,59 3.120,01 2.559,50 11,00 3.085,32 29.134,39 3.085,32 163,37 2.921,96 2.350,02 12,00 2.888,25 26.049,07 2.888,25 160,12 2.728,13 2.151,11 13,00 2.695,30 23.160,82 2.695,30 156,83 2.538,47 1.962,32 14,00 2.506,41 20.465,52 2.506,41 153,48 2.352,93 1.783,23 15,00 2.321,51 17.959,11 2.321,51 150,05 2.171,46 1.613,43

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 31,00 211,90 211,99 211,90 105,91 106,00 57,37 32,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 33,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 34,00 0,17 0,09 0,17 0,17 0,00 0,00

35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

80.511,66

En cambio, para δ = 0,09 obtenemos la tabla 15.3.


TABLA 15.3

δ= 0,09 ρ= 0,92 c= 0,50 p= 1,00


0,00 43.491,39 100.000,00 43.491,39 9.457,51 34.033,89 34.033,89 1,00 9.264,14 56.508,61 9.264,14 759,39 8.504,75 7.802,52 2,00 11.886,05 47.244,47 11.886,05 1.495,18 10.390,87 8.745,79 3,00 6.994,49 35.358,42 6.994,49 691,81 6.302,68 4.866,82 4,00 6.004,15 28.363,92 6.004,15 635,49 5.368,66 3.803,29 5,00 5.101,57 22.359,78 5.101,57 581,98 4.519,58 2.937,42 6,00 4.280,11 17.258,21 4.280,11 530,74 3.749,36 2.235,62 7,00 3.533,87 12.978,10 3.533,87 481,13 3.052,74 1.669,95 8,00 2.857,74 9.444,24 2.857,74 432,36 2.425,38 1.217,21 9,00 2.247,52 6.586,50 2.247,52 383,46 1.864,05 858,26

10,00 1.700,15 4.338,98 1.700,15 333,09 1.367,06 577,46 11,00 1.214,34 2.638,83 1.214,34 279,41 934,93 362,32 12,00 791,97 1.424,49 791,97 220,15 571,82 203,30 13,00 443,24 632,52 443,24 155,30 287,94 93,92 14,00 189,28 189,28 189,28 94,64 94,64 28,32 15,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

31,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

32,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

33,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

34,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

69.436,11

Comparando las tablas 15.1, 15.2 y 15.3, vemos que una reducción de la tasa de descuento alarga la trayectoria de extracción. En cambio, un aumento de la tasa de descuento reduce la trayectoria de la extracción. La cantidad total extraída se mantiene, pero el perfil temporal de la extracción varía. En el caso de una tasa de descuento alta, preferimos extraer más a corto plazo y menos a largo plazo. Por otro lado, si la tasa de descuento es baja, se prefiere realizar la extracción a largo plazo. A medida que la tasa de descuento aumenta, disminuye el beneficio neto a lo largo del tiempo.


¿Cómo calcular la senda óptima?

En este apartado calcularemos la senda óptima para los casos p = 2 y p = 0,5, cambiando previamente los valores de: c = 0,5 y δ = 0,05. Además, determinaremos a partir del resultado final el efecto del nivel de precios sobre el óptimo.

Empezamos por p = 2, y obtenemos la tabla 15.4.

TABLA 15.4

δ= 0,05 ρ= 0,95 c= 0,50 p= 2,00


0,00 45.267,23 100.000,00 90.534,47 10.245,61 80.288,85 80.288,85 1,00 30.622,51 54.732,77 61.245,01 8.566,51 52.678,50 50.170,00 2,00 20.977,88 24.110,26 41.955,77 9.126,23 32.829,54 29.777,36 3,00 428,66 3.132,38 857,31 29,33 827,98 715,24 4,00 389,17 2.703,72 778,33 28,01 750,32 617,29 5,00 351,66 2.314,56 703,33 26,72 676,61 530,14 6,00 316,07 1.962,89 632,13 25,45 606,69 452,72 7,00 282,29 1.646,83 564,59 24,19 540,39 384,05 8,00 250,27 1.364,53 500,55 22,95 477,60 323,26 9,00 219,94 1.114,26 439,88 21,71 418,17 269,56

10,00 191,24 894,32 382,47 20,45 362,02 222,25 11,00 164,11 703,08 328,22 19,15 309,07 180,71 12,00 138,54 538,97 277,07 17,80 259,27 144,37 13,00 114,49 400,44 228,99 16,37 212,62 112,76 14,00 92,00 285,94 183,99 14,80 169,19 85,45 15,00 71,11 193,95 142,22 13,04 129,18 62,14

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

31,00 0,00 1,22 0,00 0,00 0,00 0,00

32,00 0,00 1,22 0,00 0,00 0,00 0,00

33,00 0,00 1,22 0,00 0,00 0,00 0,00

34,00 4,87 1,22 9,74 9,74 0,00 0,00

35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

164.429,26


En cambio, para p = 0,5 obtenemos la tabla 15.5.

TABLA 15.5

δ= 0,05 ρ= 0,95 c= 0,50 p= 0,50


0,00 17.915,91 100.000,00 8.957,96 1.604,90 7.353,06 7.353,06 1,00 14.707,23 82.084,09 7.353,62 1.317,57 6.036,05 5.748,62 2,00 12.072,58 67.376,85 6.036,29 1.081,58 4.954,71 4.494,07 3,00 9.910,43 55.304,28 4.955,22 887,97 4.067,25 3.513,44 4,00 8.135,98 45.393,84 4.067,99 729,11 3.338,88 2.746,90 5,00 6.678,76 37.257,86 3.339,38 598,61 2.740,77 2.147,47 6,00 5.482,35 30.579,10 2.741,17 491,45 2.249,73 1.678,78 7,00 4.500,69 25.096,75 2.250,35 403,56 1.846,78 1.312,47 8,00 3.695,04 20.596,06 1.847,52 331,45 1.516,06 1.026,13 9,00 3.033,33 16.901,02 1.516,66 272,21 1.244,46 802,19

10,00 2.490,10 13.867,69 1.245,05 223,56 1.021,49 627,10 11,00 2.044,47 11.377,60 1.022,23 183,69 838,55 490,28 12,00 1.678,55 9.333,13 839,28 150,94 688,33 383,29 13,00 1.378,12 7.654,57 689,06 124,06 565,00 299,63 14,00 1.131,77 6.276,45 565,89 102,04 463,85 234,27 15,00 929,30 5.144,67 464,65 83,93 380,72 183,13

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 31,00 41,74 150,06 20,87 5,81 15,07 3,32 32,00 34,40 108,32 17,20 5,46 11,74 2,46 33,00 28,15 73,92 14,08 5,36 8,72 1,74 34,00 22,88 45,77 11,44 5,72 5,72 1,09 35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

33.688,41

De este modo, podemos decir que un aumento del precio del mineral reduce la trayectoria de la extracción y aumenta los beneficios netos a lo largo del tiempo. Para el caso contrario –reducción del precio–, observamos un aumento de la trayectoria de extracción y una reducción de los beneficios.


¿Y si cambian los costes de extracción?

En este caso, lo que haremos es examinar el efecto de un cambio en los costes de extracción. De este modo y con los valores de p = 1 y δ = 0,05, vamos a ver qué pasa si tenemos dos situaciones distintas: c = 0,75 o c = 0,25:

La tabla 15.6 muestra los resultados para c = 0,75.

TABLA 15.6

δ= 0,05 ρ= 0,95 c= 0,75 p= 1,00


0,00 21.283,51 100.000,00 21.283,51 3.397,41 17.886,10 17.886,10 1,00 16.757,42 78.716,49 16.757,42 2.675,53 14.081,89 13.411,32 2,00 13.191,51 61.959,07 13.191,51 2.106,42 11.085,09 10.054,50 3,00 10.384,10 48.767,55 10.384,10 1.658,32 8.725,78 7.537,66 4,00 8.173,96 38.383,45 8.173,96 1.305,52 6.868,44 5.650,69 5,00 6.434,06 30.209,49 6.434,06 1.027,75 5.406,31 4.235,98 6,00 5.064,43 23.775,43 5.064,43 809,08 4.255,34 3.175,40 7,00 3.986,33 18.711,01 3.986,33 636,96 3.349,37 2.380,34 8,00 3.137,62 14.724,68 3.137,62 501,44 2.636,18 1.784,27 9,00 2.469,50 11.587,06 2.469,50 394,74 2.074,77 1.337,41

10,00 1.944,13 9.117,56 1.944,13 310,91 1.633,22 1.002,66 11,00 1.529,94 7.173,43 1.529,94 244,73 1.285,21 751,44 12,00 1.203,68 5.643,49 1.203,68 192,55 1.011,13 563,04 13,00 946,48 4.439,81 946,48 151,33 795,15 421,68 14,00 745,61 3.493,33 745,61 119,35 626,25 316,30 15,00 586,73 2.747,73 586,73 93,96 492,77 237,03

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 31,00 13,32 42,08 13,32 3,16 10,16 2,24 32,00 10,58 28,76 10,58 2,92 7,66 1,61 33,00 8,29 18,17 8,29 2,84 5,46 1,09 34,00 6,57 9,88 6,57 3,28 3,29 0,63 35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

71.451,93

En el caso de c = 0,25 encontramos la tabla 15.7.


TABLA 15.7

δ= 0,05 ρ= 0,95 c= 0,25 p= 1,00


0,00 40.498,33 100.000,00 40.498,33 4.100,29 36.398,04 36.398,04 1,00 24.571,39 59.501,67 24.571,39 2.536,71 22.034,68 20.985,41 2,00 15.151,64 34.930,28 15.151,64 1.643,07 13.508,57 12.252,67 3,00 9.179,96 19.778,64 9.179,96 1.065,18 8.114,77 7.009,84 4,00 5.567,55 10.598,69 5.567,55 731,17 4.836,39 3.978,91 5,00 3.469,96 5.031,13 3.469,96 598,30 2.871,65 2.250,01 6,00 262,82 1.561,18 262,82 11,06 251,76 187,87 7,00 233,61 1.298,36 233,61 10,51 223,10 158,55 8,00 205,92 1.064,75 205,92 9,96 195,97 132,64 9,00 179,71 858,83 179,71 9,40 170,30 109,78

10,00 154,91 679,12 154,91 8,83 146,08 89,68 11,00 131,50 524,21 131,50 8,25 123,25 72,06 12,00 109,45 392,71 109,45 7,63 101,82 56,70 13,00 88,75 283,27 88,75 6,95 81,80 43,38 14,00 69,42 194,52 69,42 6,19 63,23 31,93 15,00 51,55 125,10 51,55 5,31 46,24 22,24

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 31,00 0,00 5,02 0,00 0,00 0,00 0,00

32,00 0,00 5,02 0,00 0,00 0,00 0,00

33,00 0,00 5,02 0,00 0,00 0,00 0,00

34,00 12,98 5,02 12,98 8,39 4,59 0,87

35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

83.807,13

De este modo vemos que si reducimos c, la trayectoria de la extracción es más corta y si aumentamos c la trayectoria se alarga. La reducción de la trayectoria conlleva a un perfil temporal de extracción orientado al presente; en cambio, el alargamiento de la trayectoria conlleva a un perfil temporal de extracción orientado al futuro. En las dos situaciones la cantidad total extraída es idéntica. Obviamente, una reducción de c conduce a un aumento de los beneficios netos agregados a lo largo del tiempo y un aumento de c a una reducción de los mismos.


Cálculo de la tasa de extracción óptima

En este último apartado calcularemos la tasa de extracción óptima del recurso cuando la licencia solo está vigente durante diez años y veremos la relación que mantiene con el resultado de la tabla 15.1. En este caso, obtenemos la tabla 15.8.

TABLA 15.8

δ= 0,05 ρ= 0,95 c= 0,50 p= 1,00


0,00 27879,80 100000,00 27879,80 3886,42 23993,38 23993,38 1,00 20388,35 72120,20 20388,35 2881,89 17506,46 16672,82 2,00 14921,03 51731,85 14921,03 2151,84 12769,19 11582,04 3,00 10930,62 36810,82 10930,62 1622,87 9307,75 8040,38 4,00 8016,78 25880,20 8016,78 1241,66 6775,12 5573,91 5,00 5887,02 17863,41 5887,02 970,06 4916,96 3852,57 6,00 4327,16 11976,39 4327,16 781,72 3545,44 2645,66 7,00 3180,80 7649,24 3180,80 661,34 2519,46 1790,53 8,00 2340,63 4468,44 2340,63 613,03 1727,60 1169,31 9,00 2127,81 2127,81 2127,81 1063,91 1063,90 685,80

10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 11,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 12,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 13,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 14,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 15,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

31,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

32,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

33,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

34,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 35,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

76006,41

Podemos observar, en comparación con la tabla 15.1, que la trayectoria de la extracción es obviamente más corta. De este hecho, se deriva el consiguiente cambio en el perfil temporal de la extracción (tendiendo a explotar más al inicio, por lo tanto,


haciendo una gestión hacia el presente y no tanto hacia el futuro). No obstante, extraemos durante todos los años de la vigencia de la licencia. Los beneficios netos agregados a lo largo del tiempo son inferiores a los de la tabla 15.1 (eran 76.632,63 en ese caso). La causa de este beneficio menor reside en que, en este caso, estamos obligados extraer el recurso durante tan solo diez años, mientras que en el otro caso, disponemos de treinta y dos años.

Rotación forestal óptima 168

Capítulo 16. Rotación forestal óptima

En esta práctica vamos a calcular qué volumen óptimo de madera podemos extraer de dos parcelas diferentes. La parcela 1 tiene madera de alta calidad por lo que podemos aprovechar un volumen mayor, mientras que en la 2, las existencias de madera son de poca calidad y eso supone un menor volumen de madera explotable. El volumen para cada plantación se da en intervalos de diez años, desde el año 30 hasta el 160.

En la tabla 16.1 aparece el volumen de madera por hectárea de las dos parcelas.

TABLA 16.1

AÑO PARCELA 1 PARCELA 2 30 300 180 40 4.500 2.700 50 12.400 7.440 60 23.800 14.280 70 35.200 21.120 80 45.700 27.420 90 55.000 33.000

100 62.800 37.680 110 69.400 41.640 120 75.000 45.000 130 80.000 48.000 140 84.500 50.700 150 88.600 53.160 160 92.400 55.440

Vamos a suponer que la función del volumen de madera comerciable es de tipo cuadrático: 𝑚(𝑡) = 𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝛾𝑡2, con los parámetros 𝛼, 𝛽 y 𝛾.

Una vez sabemos qué tipo de función tenemos, vamos a calcular cuáles son los parámetros 𝛼, 𝛽 y 𝛾 para la parcela número 1. Para hacerlo, primero tenemos que



elevar la variable “año” al cuadrado. De este modo crearemos otra variable, tal como podemos observar en la tabla 16.2.

TABLA 16.2

Año Año cuad. Parcela 1 30 900 300 40 1.600 4.500 50 2.500 12.400 60 3.600 23.800 70 4.900 35.200 80 6.400 45.700 90 8.100 55.000

100 10.000 62.800 110 12.100 69.400 120 14.400 75.000 130 16.900 80.000 140 19.600 84.500 150 22.500 88.600 160 25.600 92.400

Para poder hacer una regresión en el Excel, primero tenemos que ir a Archivo, Opciones, Complementos y en la parte derecha vamos a Ir. Entonces, seleccionamos la opción Herramientas para análisis y presionamos sobre Aceptar, esta opción se encuentra al lado de la opción Solver.

De este modo, lo que haremos ahora con el Excel es ir a Datos, Análisis de Datos, Regresión, y en el Rango Y ponemos la columna de la parcela 1, y en el Rango X, ponemos las otras dos columnas, la del año y la del año cuadrático. Todo lo demás lo dejamos igual.

Clicamos Aceptar, y se nos creará una nueva hoja, donde veremos en la tercera tabla el valor de los parámetros.

𝛼 = −42.945,0824

𝛽 = 1.351,80082

𝛾 = −3,13255495

‘


¿Qué rotación forestal es la óptima?

En este apartado vamos a calcular qué rotación (turno forestal) maximiza el

incremento anual medio ( 𝑥(𝑡)𝑡

) y qué volumen asociado tiene.

Sabemos que el óptimo del incremento anual medio se puede definir como:

𝑚′(𝑡) = 𝛽 + 2𝛾𝑡.

Además, sabemos que el óptimo por el incremento anual medio se da si 𝑚′(𝑡) =𝑥(𝑡)

𝑡, con lo que a partir de esta ecuación, sabremos qué volumen asociado tiene la

rotación forestal óptima, de forma que

𝛽 + 2𝛾𝑡 = 𝛼+𝛽𝑡+𝛾𝑡2

𝑡 → 2𝛾𝑡 = 𝛼

𝑡+ 𝛾𝑡 → 𝛾𝑡 = 𝛼

𝑡 → 𝑡 = �

𝛼𝛾

𝑡 = �−42.945,0824−3,13255495

≈ 117,09 .

¿Qué ocurre si variamos el precio y el factor de descuento?

Ahora lo que haremos es tener en cuenta que el precio neto (restando los costes de tala) por unidad de volumen es p = 0,65, con un factor de descuento δ = 0,05. Con estos nuevos valores, vamos a calcular cuál es el turno forestal simple (Ts), el volumen talado y el valor actual de los beneficios.

Sabemos que el óptimo del turno forestal simple se da si

𝑥′(𝑡)𝑥(𝑡)

= 𝛿 .

Que numéricamente sería:

𝛽+2𝛾𝑡 𝛼+𝛽𝑡+𝛾𝑡2 = 𝛿 , con 𝛿 = 0,05.

A partir de esta ecuación, tenemos una función de segundo grado, que solucionaremos aplicando el Solver del Excel. La función resultante es:

𝛽 + 2𝛾𝑡 𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝛾𝑡2 = 𝛿 → 𝛽 + 2𝛾𝑡 = 0,05𝛼 + 0,05𝛽𝑡 + 0,05𝛾𝑡2 →

(𝛽 − 0,05𝛼) + (2𝛾 − 0,05𝛽)𝑡 − 0,05𝛾𝑡2 = 0.


Al utilizar el Solver para resolver la ecuación, obtenemos los resultados de la tabla 16.3.

TABLA 16.3

Α -42.945,0824 Β 1.351,8008 ϒ -3,1326 Tiempo (años) 53,4319 Ecuación -0,0027

Así, el turno forestal simple es de 53,43 años. A partir de este valor, vamos a calcular el volumen talado y el valor actual de los beneficios.

El volumen talado lo encontramos a partir de la ecuación:

𝑚(𝑡𝑠) = 𝛼 + 𝛽𝑡𝑠 + 𝛾𝑡𝑠2.

Donde al resolver encontramos que el volumen talado es:

𝑚(𝑡𝑠) = −42.945,0824 + 1.351,80082(53,43) − 3,1325(53,43)2

𝑚(𝑡𝑠) = 20.340,8796

Podemos calcular los beneficios a partir de la ecuación, 𝑝 · 𝑚(𝑡𝑠), donde 𝑝 = 0,65, obteniendo un resultado de 13.221,5717€.

¿Qué ocurre si el coste de replantación viene dado?

En este apartado asumiremos que el coste de replantación nos viene dado y es igual a 𝑟 = 180. En este caso, vamos a calcular, a partir de una serie de ecuaciones, cuál es el turno óptimo de Faustmann (T*); vamos a volver a calcular el volumen talado y el valor actual de los beneficios.

La fórmula de Faustmann es:

𝑝�̇�′(𝑡) = 𝛿(𝑝𝑚(𝑡) − 𝑟) + 𝛿 𝑝𝑥(𝑡)−𝑟𝑒𝛿𝑡−1

.

Numéricamente, la fórmula de Faustmann nos da:

0,65(𝛽 + 2𝛾𝑡) = 0,05(0,65[𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝛾𝑡2] − 180) + 0,05[0,65�𝛼+𝛽𝑡+𝛾𝑡2�−180𝑒0,05𝑡−1

] .


Resolviendo la ecuación obtenemos el T*, igual que en el apartado anterior. Resolveremos a partir del Solver, obteniendo los resultados que se pueden ver en la tabla 16.4.

TABLA 16.4

Α -4.2945,08242 Β 1.351,800824 ϒ -3,132554945 Tiempo (años) 52,37160681 Ecuación -1,95541E-11

Podemos ver en la tabla que el turno óptimo de Faustmann es de 52,37 años.

Ahora vamos a calcular también el volumen de talado y el valor actual de los beneficios. El volumen de talado lo encontramos a partir de la ecuación

𝑚(𝑡∗) = 𝛼 + 𝛽𝑡∗ + 𝛾𝑡∗2 .

Resolviendo numéricamente la ecuación anterior encontramos:

𝑚(𝑡∗) = −42.945,0824 + 1.351,80082(52,37) − 3,1325(52,37)2

𝑚(𝑡∗) = 19.258,0358 .

Los beneficios se pueden calcular a partir de la ecuación 𝑝 · 𝑚(𝑡𝑠), donde 𝑝 =0,65, obteniendo unos beneficios de 12.517,7233€.

¿Y si aumentamos el factor de descuento?

En este caso vamos a ver qué pasa si incrementamos el factor de descuento hasta 0,09. Vamos a calcular cuáles serán las rotaciones Ts y T*, y luego compararemos los resultados obtenidos con los anteriores (factor de descuento de 0,05).

La fórmula de la rotación simple viene dada por la fórmula

𝛽+2𝛾𝑡 𝛼+𝛽𝑡+𝛾𝑡2 = 𝛿 , siendo 𝛿 = 0,09.

Volvemos a resolverla a partir del Solver de forma que

(𝛽 − 0,09𝛼) + (2𝛾 − 0,09𝛽)𝑡 − 0,09𝛾𝑡2 = 0

Ts = 45,3029


Mientras que en el caso de la rotación de Faustmann tenemos:

0,65(𝛽 + 2𝛾𝑡) = 0,09(0,065[𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝛾𝑡2] − 180) + 0,09[0,065�𝛼+𝛽𝑡+𝛾𝑡2�−180𝑒0,09𝑡−1

] .

Y nos da que:

T* = 45,3707 .

¿Y con la parcela número 2, qué ocurre?

El lector es invitado a reproducir el procedimiento que hemos hecho para la parcela 1 para analizar si la parcela 2 es viable desde el punto de vista económico.

Gestión pesquera 174

Capítulo 17. Gestión pesquera

En esta práctica vamos a tratar el tema de la pesca y de la captura óptima. En concreto, vamos a encontrar para el caso propuesto cuál sería la captura máxima sostenible y el nivel de esfuerzo que se necesitaría, entre otros cálculos.

Vamos a suponer que los propietarios de los barcos atuneros que trabajan en el océano Atlántico, lo hacen fuera de la zona de 200 millas adyacente al continente. Supondremos que el coste total de ir a pescar, va a depender del esfuerzo realizado por el barco (que va a depender del tipo de red, de la eslora…) y viene dado por la siguiente función:

𝐶𝑇 = 𝑐 ∗ 𝑢.

Considerando que

c = coste de una unidad de esfuerzo = 120 u.m. /u.f.

𝑢 = unidades de esfuerzo pesquero.

Además, sabemos que el nivel de captura (ℎ) depende del esfuerzo (𝑢) de los barcos y de las toneladas de atunes existentes en el mar, es decir, del stock (𝑚). De este modo, la función que representa el nivel de captura es:

ℎ(𝑢, 𝑚) = 𝑒 · 𝑢 · 𝑚.

Consideramos que

𝑒 = facilidad para capturar peces = 0,1.

El crecimiento de la cantidad de atunes (𝑔) viene dado por:

𝑔(𝑚) = 𝛾𝑚 �1 − 𝑥𝑟

�.

Consideramos que 𝛾 = 0,8, y que la capacidad de carga del ecosistema, 𝑟, es igual a 10.

A partir de las ecuaciones anteriores y sus respectivas consideraciones, vamos a calcular la captura máxima sostenible y el nivel de esfuerzo que conlleva. La cantidad



máxima sostenible a capturar estará condicionada por el crecimiento del atún, con lo que tenemos que buscar ese crecimiento óptimo.

Cogemos la función del crecimiento del atún, la derivamos y la igualamos a cero para conseguir ese valor óptimo (máximo). El resultado es el siguiente:

𝑔(𝑚) = 𝛾𝑚 �1 − 𝑥𝑟

� = 𝛾𝑚 − 𝛾 𝑥2

𝑟 → 𝑔′(𝑥) = 𝛾 − 𝛾 2𝑥

𝑟

𝑔′(𝑥) = 𝛾 − 𝛾 2𝑥𝑟

= 0,8 − 1,6𝑥10

𝑚∗ = 5 .

Una vez obtenemos la captura máxima sostenible, tenemos que buscar el nivel de esfuerzo. Para ello debemos sustituir la 𝑚∗ en la función del crecimiento del atún sin derivar para encontrar el valor del crecimiento, ya que este nos permitirá encontrar más tarde el esfuerzo (𝑢). El resultado de la función de crecimiento es:

𝑔(𝑚) = 𝛾𝑚 �1 − 𝑥𝑟

� = 0,8 ∗ 5 �1 − 510

� = 2 .

Una vez sabemos que 𝑔(5) = 2; lo que tenemos que hacer es buscar el equilibrio (captura igual a crecimiento), lo encontraremos igualando 𝑔(𝑚) = ℎ(𝑢, 𝑚) y aislando el nivel de esfuerzo. Sabiendo que 𝑚=5 y que 𝑒 = 0,01 encontramos:

𝑔(5) = 𝑒 · 𝑢 · 5 → 2 = 0′1 · 5 · 𝑢

𝑢∗ = 4 .

Ahora, vamos a dibujar las dos funciones (stock con tiempo y crecimiento con stock) a partir del Excel. Empezamos por escribir los parámetros y luego las funciones. Para la función del crecimiento logístico, tenemos que utilizar la función del crecimiento de la cantidad de atunes:

𝑔(𝑚) = 𝛾𝑚 �1 − 𝑥𝑟

�, 𝛾 = 0,8.

Para conocer el comportamiento del stock en el tiempo, tenemos que resolver la ecuación diferencial anterior, que nos da:

𝑚(𝑡) = 𝑟

1+�𝑘−𝑥(0)𝑥(0) �𝑒−𝛾𝑡

, donde 𝑚(0) indica la cantidad del stock inicial.

Cuando lo calculemos para 𝑚(0) = 1, nos va a quedar un resultado parecido a la tabla 17.1.


TABLA 17.1

δ= 0,8 Κ= 10 x(0)= 1 e= 0,1

t x g(x) x(t) 0 0 0 1,0000 1 1 0,72 1,9826 2 2 1,28 3,5498 3 3 1,68 5,5052 4 4 1,92 7,3160 5 5 2 8,5849 6 6 1,92 9,3104 7 7 1,68 9,6779 8 8 1,28 9,8527 9 9 0,72 9,9333

10 10 0 9,9699

Una vez tenemos la tabla hecha, vamos a Insertar y Dispersión con líneas suaves. Vamos a Seleccionar datos, Agregar, y a eje Y ponemos la columna del crecimiento logístico (𝑔(𝑚)) y en el eje X, la columna del stock (𝑚).

Por lo que respecta al segundo gráfico, en el eje Y pondremos la columna del stock (𝑚) y en el eje X la columna del tiempo (𝑡). En este caso hemos establecido que el período de tiempo sea igual a 10, porque ya sabemos que la capacidad de carga del ecosistema (𝑟 o 𝑚𝑚𝑡𝑥) es igual a 10 y esta cantidad se alcanza al cabo de diez años precisamente.

De esta forma, podemos dibujar los gráficos 17.1. y 17.2.

GRÁFICO 17.1. GRÁFICO DEL CRECIMIENTO LOGÍSTICO RESPECTO AL STOCK

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Crec

imie

nto

logí

stic

o

Stock


GRÁFICO 17.2. GRÁFICO DE LA EVOLUCIÓN TEMPORAL DEL STOCK

En el primer gráfico vemos de forma gráfica como la captura máxima sostenible es de 5, mientras que la captura máxima es 10 (capacidad de carga del ecosistema). Si aumentamos el período de tiempo, veremos como el crecimiento del stock en t =11 es cero (observaríamos valores negativos en el stock).

En el segundo gráfico, el stock tiende hacia 10, que es su máximo. Pasado el período 10, la línea seguirá manteniéndose en el valor de 10, ya que el ecosistema no puede mantener una población de atunes mayor.

Nivel de esfuerzo para la extinción del atún

En este apartado, tal como el nombre indica, vamos a encontrar el nivel de esfuerzo que supone la extinción del atún.

Vamos a utilizar la función del nivel de capturas, sabiendo que 𝑢 > 4, ya que antes hemos encontrado que era el valor que nos llevaba a la captura máxima sostenible.

Así que tenemos:

ℎ(𝑢, 𝑚) = 𝑒𝑢𝑚 , donde 𝑒 = 0,1; 𝑢 > 4.

Buscamos otra vez el equilibrio, donde 𝑔(𝑚) = ℎ(𝑢, 𝑚). Encontrando

𝛾𝑚 �1 − 𝑥𝑟

� = 𝑒𝑢𝑚 → 𝛾 �1 − 𝑥𝑟

� = 𝑒𝑢 → 𝛾𝑥𝑟

= −𝑒𝑢 + 𝛾

𝛾𝑥𝑟

− 𝛾 = −𝑒𝑢 → 𝛾 �𝑥𝑟

− 1� = −𝑒𝑢 → − 𝛾𝑒

�𝑥𝑟

− 1� = 𝑢 → 𝛾𝑒

�1 − 𝑥𝑟

� = 𝑢

Si se cumple la siguiente desigualdad se extinguirían los peces:

𝑢 > 𝛾𝑒

�1 − 𝑥𝑟

�

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Stoc

k

Tiempo


Del mismo modo, también podemos aislar la 𝑚(𝑢), es decir, el stock en función del esfuerzo realizado, encontrando la ecuación:

𝑚(𝑢) = 𝑟 �1 − 𝑒𝑢𝛾

� .

A partir del Excel y de las ecuaciones anteriores, realizamos la tabla 17.2.

TABLA 17.2

δ= 0,8 Κ= 10 x(0)= 1 e= 0,1 t x g(x) x(t) u x(u)

0 0 0 1,0000 8 0 1 1 0,72 1,9826 7,2 1 2 2 1,28 3,5498 6,4 2 3 3 1,68 5,5052 5,6 3 4 4 1,92 7,3160 4,8 4 5 5 2 8,5849 4 5 6 6 1,92 9,3104 3,2 6 7 7 1,68 9,6779 2,4 7 8 8 1,28 9,8527 1,6 8 9 9 0,72 9,9333 0,8 9

10 10 0 9,9699 0 10

A partir de los resultados de la tabla anterior, podemos realizar el gráfico 17.3.

GRÁFICO 17.3. REPRESENTACIÓN DEL ESFUERZO RESPECTO AL STOCK

En el gráfico vemos una relación lineal entre el stock que hay de atunes y el esfuerzo realizado. Cuanto mayor es el stock, menor es el esfuerzo. De este modo, podemos decir que con ocho unidades de esfuerzo, habría una extinción del atún, ya que no quedaría stock (𝑚=0).

0123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

esfu

erzo

(u)

stock x(t)


¿Si el mar fuera de libre acceso (propiedad común, como por ejemplo el océano Atlántico fuera de la zona de 200 millas de los países adyacentes)?

En este apartado vamos a calcular el esfuerzo realizado bajo libre acceso, asumiendo que se pueden vender los atunes a 250 u.m./u.f. y que los costes de captura son de 120 u.m./u.f. Además, analizaremos el nivel de capturas y beneficios correspondientes.

Sabemos que la captura óptima bajo libre acceso se corresponde a la igualdad o la diferencia entre ingresos totales y costes totales. De este modo tenemos que:

Ingresos totales = 𝑝 · ℎ(𝑢, 𝑚) Precio = 𝑝

Costes totales = 𝑐 · 𝑢 Captura = ℎ(𝑢, 𝑚)

Igual que en los apartados anteriores, utilizaremos la ecuación:

ℎ(𝑢, 𝑚) = 𝑒𝑢𝑚 , donde 𝑚(𝑢) = 𝑟 �1 − 𝑒𝑢𝛾

� .

Con lo que igualando ingresos y costes encontramos:

𝑝ℎ(𝑢, 𝑚) − 𝑐𝑢 = 0 → 𝑝𝑒𝑢𝑟 �1 − 𝑒𝑢𝛾

� − 𝑐𝑢 = 0 → 𝑢 �𝑢 − �𝛾𝑒

− 𝑐𝛾𝑝𝑒2𝑟

�� = 0

𝑢∗ = 𝛾𝑒


.

Si resolvemos numéricamente tenemos que las unidades de esfuerzo óptimas son:

𝑢∗ = 0,80,1

− 120·0,8250·0,1210

= 8 − 9625

→ 𝑢∗ = 4,16 𝑢. 𝑒 .

Una vez tenemos las unidades de esfuerzo necesarias (𝑢∗), vamos a ver el nivel de capturas (ℎ). Para saber el nivel de capturas, primero tenemos que buscar el stock correspondiente al nivel de esfuerzo que hemos encontrado, de modo que

𝑚∗(4,16) = 10 �1 − 0,1·4,160,8

� = 4,8 𝑢𝑛𝑖𝑃𝑚𝑃𝑒𝑖 .

Una vez sabemos el stock, ya podemos calcular el nivel de capturas bajo libre acceso, encontrando:

ℎ∗(𝑢, 𝑚) = 𝑒𝑢𝑚 = 0.1 ∗ 4.16 ∗ 4.8 → ℎ∗(𝑢, 𝑚) = 1.9968 .

Nos queda buscar el beneficio (𝜋 = ingresos – costes) bajo libre acceso:

𝜋∗ = 𝑝ℎ(𝑢, 𝑚) − 𝑐𝑢 → 250 ∗ 1.996 − 120 ∗ 4.16 = 499 − 499.2 ≈ 0

𝜋∗ = 0 .

Encontramos que bajo libre acceso no hay beneficios, ya que los ingresos son iguales a los costes.


¿Y si el océano fuera nuestro (propiedad privada)?

En este apartado vamos a repetir los cálculos realizados en el apartado anterior, pero en el supuesto de que estamos en una situación de propiedad privada.

A diferencia del libre acceso, aquí tenemos que igualar ingresos marginales y costes marginales (derivada de los beneficios respecto al esfuerzo), de forma que:

𝑝ℎ(𝑢, 𝑚) − 𝑐𝑢 = 0 → 𝑝 · 𝑒 · 𝑢 · 𝑟 · �1 − 𝑒𝑢𝛾

� − 𝑐𝑢,

𝑑𝜋𝑑𝑢

= 𝑝 · 𝑒 · 𝑟 − 2 𝑝𝑒2𝑢𝑟𝛾

− 𝑐 = 0 ,

Tenemos que las unidades de esfuerzo óptimas son:

𝑢∗∗ = 12

�𝛾𝑒


� .

Si lo analizamos, vemos que el esfuerzo pesquero bajo libre acceso (u*) es el doble, en comparación con el de propiedad privada (u**). Entonces, los valores específicos del nivel de esfuerzo, el nivel de stock para este esfuerzo, el nivel de capturas y finalmente el beneficio para este caso, corresponden a:

𝑢∗∗ = 12

(4,16) = 2,08 𝑢. 𝑒.

𝑚∗∗(2,08) = 10 �1 − 0,1·2,080,8

� = 7,4 𝑢𝑛𝑖𝑃𝑚𝑃𝑒𝑖

ℎ∗∗(𝑢, 𝑚) = 0.1 ∗ 2.08 ∗ 7.4 = 1,5392

𝜋∗∗ = 250 · 1,539 − 120 · 2,08 = 135,2 𝑢. 𝑚.

Observamos que los beneficios son positivos e iguales a 135,2 𝑢. 𝑚.

¿Qué pasaría si los costes y el precio cambiaran?

En este caso debemos repetir los cálculos para los dos supuestos, libre acceso y propiedad privada.

Utilizando el Excel, realizaremos una tabla con las fórmulas correspondientes al caso del libre acceso y propiedad privada (ambos casos modificados según los valores de coste y precio). Relacionando las celdas de las fórmulas con las celdas de los parámetros, conseguiremos que arrastrando/copiando la primera fórmula, el Excel lo calcule automáticamente en el resto de casos. Cabe recordar que a la hora de copiar las fórmulas de una celda a otra, se tiene que tener muy en cuenta cuáles son los valores fijos y cuáles los cambiantes.

Finalmente, la tabla que nos quedará será igual a la tabla 17.3.


TABLA 17.3

Parámetros

Parámetros

Parámetros δ= 0,8

δ= 0,8

δ= 0,8

Κ= 10

Κ= 10

Κ= 10 e= 0,1

e= 0,1

e= 0,1

c = 120

c = 160

c = 120 p = 250

p = 250

p = 300

Libre acceso

Libre acceso

Libre acceso

u x h π u x h π u x h π 4,16 4,8 1,997 0 2,88 6,4 1,843 0 4,8 4 1,92 0

Propiedad privada Propiedad privada Propiedad privada u x h π u x h π u x h π 2,08 7,4 1,539 135,20 1,44 8,2 1,181 64,80 2,4 7 1,68 216

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