eletricidade e magnetismo -...
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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE GOIS
DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E FSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
NOTA DE AULA IV
Goinia - 2013
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MAGNETISMO
As primeiras observaes de fenmenos magnticos so muito antigas. Acredita-
se que estas observaes foram realizadas pelos gregos, em uma regio denominada
Magnsia. Eles verificaram que existia, nesta regio, certo tipo de pedra (minrio de
ferro atualmente denominado im natural) que era capaz de atrair pedaos de ferro.
Portanto, os primeiros fenmenos magnticos observados foram associados aos
chamados ims naturais, fragmentos das rochas encontradas perto da cidade de
Magnsia. Esses ims naturais tm a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, o
efeito sendo mais pronunciado em certas regies do im conhecidas como polos. A
Terra tem um campo magntico prprio, como mostra a figura abaixo. Nesta figura
podemos observar que os polos Norte e Sul geogrficos terrestre esto invertidos com
relao aos polos Norte e Sul magnticos. Devemos observar que os polos magnticos e
geogrficos no so coincidentes, ou seja, o polo sul do campo magntico da Terra est
situado nas proximidades do polo norte geogrfico.
Observa-se que um pedao de ferro, depois de colocada perto de um im,
adquire as mesmas propriedades deste im. Assim, foi possvel obter-se os ims
artificiais. Os ims (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenmenos
magnticos, entre os quais destacamos:
Polos de um im os pedaos de ferro so atrados com maior intensidade
por certas partes do im, as quais so denominadas polos do im.
Polo norte de um im aquela extremidade que, quando o im pode girar
livremente, aponta para o norte geogrfico (sul magntico) da Terra. A extremidade que
aponta para o sul geogrfico (norte magntico) da Terra o polo sul do im.
Princpio da atrao e repulso Polos de mesmo nome se repelem e
polos de nomes contrrios se atraem.
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Inseparabilidade dos polos Quando uma barra de um im cortada, ao
invs de obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois
ims, cada um dos quais tem polos norte e sul. Portanto, impossvel obter
um polo magntico isolado.
Durante muitos anos, o estudo dos fenmenos magnticos esteve restrito aos
ims, no havia conexo entre os fenmenos eltricos e magnticos. Em 1819 o
cientista dinamarqus Hans Cristian Oersted (1777 1851) observou que a agulha de
uma bssola era defletida quando colocada prxima de um fio por onde passava uma
corrente eltrica. Doze anos mais tarde, o fsico ingls Michael Faraday (1971 1867)
verificou que aparecia uma corrente momentnea em um circuito, quando, em um
circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia uma corrente. Pouco depois, seguiu-se a
descoberta de que o movimento de um im que se aproximava ou se afastava de um
circuito produzia o mesmo efeito. O trabalho de Oersted demonstrou que efeitos
magnticos podiam ser produzidos por cargas eltricas em movimento, enquanto os de
Faraday mostraram que correntes podiam ser produzidas por ims em movimento. Aps
as descobertas das relaes entre os fenmenos eltricos e magnticos temos os estudos
de eletromagnetismo.
Acredita-se, hoje em dia, que os chamados fenmenos magnticos resultam de
foras entre cargas eltricas em movimento. Isto , cargas em movimento criam tanto
um campo magntico quanto um campo eltrico e esse campo magntico exerce fora
sobre uma segunda carga que esteja em movimento. Como os eltrons nos tomos esto
em movimento em torno dos ncleos atmicos e como cada eltron parece estar em
rotao contnua em torno de um eixo passando por ele, espera-se que todos os tomos
exibam efeitos magnticos; de fato, verifica-se que este o caso. A possibilidade de que
as propriedades magnticas da matria resultassem de minsculas correntes atmicas
foi, primeiramente, sugerida por Ampre em 1820.
Campo Magntico
J estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo eltrico
E ) em todos os pontos do espao ao seu redor. De forma anloga, um im produz um
campo vetorial (o campo magntico B ) em todos os pontos no espao ao seu redor.
Voc pode ter uma noo desse campo magntico sempre que prende um bilhete a uma
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porta de geladeira com um pequeno im. O im age sobre a porta por meio do seu
campo magntico.
Linhas de Induo de um Campo Magntico
Podemos representar campos magnticos com linhas de campo, como fizemos
para os campos eltricos. Regras semelhantes se aplicam; ou seja, estas linhas devem
ser traadas de tal modo que o vetor B seja sempre tangente a elas em qualquer um de
seus pontos. Alm disso, o espaamento entre as linhas representa a intensidade de B , o
campo magntico mais intenso onde as linhas estiverem mais prximas. As linhas de
campo saem do polo norte e chega ao polo sul.
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ELETROMAGNETISMO
Podemos considerar como princpio bsico do eletromagnetismo, o fato de que: quando
duas cargas eltricas esto em movimento, manifesta-se entre elas, alm da fora eletrosttica,
outra fora, denominada fora magntica. Ou seja, uma carga em movimento cria, no espao
em torno dela, um campo magntico que atuar sobre outra carga, tambm em movimento,
exercendo sobre ela uma fora magntica.
Antes de iniciarmos o estudo do nosso prximo assunto (a fora magntica), iremos
discutir o conceito de produto vetorial.
PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial entre dois vetores, a e b , representados por a x b , um vetor c
cujo mdulo c dado pela expresso c ab sen ,
Onde o menor dos ngulos entre as direes de a e b . A direo de c perpendicular
ao plano formado por a e b , o sentido ao longo desta direo pode ser dado pela regra da
mo direita.
Quando a e b forem paralelos ou antiparalelos ( 0 180 )ou , 0a b .
EXERCCIO
1. Usando a regra do determinante, mostre que o produto vetorial entre dois vetores a e b
pode ser escrito como:
a x b ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b b a i a b b a j a b b a k
Fora magntica sobre cargas eltricas em movimento
Alguns aspectos da Fora magntica sobre uma carga em movimento so anlogos a
propriedades correspondentes da fora do campo eltrico. Ambos tm intensidade
proporcional carga. Alm disto, ambos so proporcionais intensidade ou ao mdulo do
campo.
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A dependncia da fora magntica com a velocidade da partcula muito diferente do
caso da fora do campo eltrico. A fora eltrica sobre uma carga no depende da velocidade;
ela a mesma quer a carga se mova ou no; j a fora magntica tem um mdulo que
proporcional componente de velocidade perpendicular ao campo.
A fora magntica que atua em uma partcula com carga q, pode ser definida como o
produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magntico B .
F = q v B F = q v B sen
onde:
F o mdulo da fora magntica que atua na carga q
v o mdulo da velocidade de q
B o mdulo do campo magntico
Direo e sentido da fora magntica
A fora magntica tem direo perpendicular a v e a B , isto , ao plano definido
por v e B . O sentido de F o mesmo do produto vetorial v B , se a carga q for positiva e
contrria a este sentido se q for negativa. A direo e sentido da fora magntica podem ser
encontrados por vrias regras prticas, entre elas podemos citar a regra da mo direita ou da
mo esquerda.
Observando a equao anterior podemos verificar que a fora ser igual a zero se a
carga for nula ou se a partcula estiver em repouso. A mesma equao tambm nos diz que a
intensidade da fora ser nula se v e B forem paralelos ( 0 ) ou antiparalelos ( 180 ), e
a fora atingir seu valor mximo quando v e B forem perpendiculares um ao outro.
Como a fora magntica no possui uma componente paralela v , ela no consegue
alterar o valor da velocidade da partcula (portanto no consegue alterar a energia cintica da
partcula). A fora pode modificar apenas a direo da velocidade da partcula, mudando,
portanto, a direo de sua trajetria.
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Regra da mo direita.
Bdedo F
dedos v B
Unidade de campo magntico
A unidade do campo magntico no SI o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por
convenincia, esta unidade e chamada de tesla ( ) .
.1
.
N s
C m = 1 tesla = 1
No eletromagnetismo comum a representao de vetores perpendiculares ao plano da
folha, portanto alguns alunos relacionam, equivocadamente, a representao de vetores
entrando ou saindo da folha, apenas com grandezas estudadas no eletromagnetismo. Devemos
lembrar que esta representao pode ser usada para qualquer grandeza vetorial.
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Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definio para as linhas de campo:
entrando pelo plano
saindo pelo plano
E X E R C C I O
2. Suponha que voc possua alguns ims nos quais assinalou quatro polos com as letras A , B
, C e D . Voc verifica que:
o polo A repele o polo B
o polo A atrai o polo C
o polo C repele o polo D
e sabe-se que o polo D um polo norte . Nestas condies determine se o polo
B um polo norte ou sul.
3. Represente a fora magntica que age sobre a carga eltrica q, lanada no campo magntico
B , nos seguintes casos:
4. Por que, simplesmente no definimos a direo e o sentido do campo magntico B como
sendo idnticos aos da fora magntica que atua sobre uma carga em movimento?
Movimento de uma carga eltrica em um campo magntico uniforme
1o Caso:
A carga eltrica lanada paralelamente s linhas de induo. Neste caso = 0o ou
= 180o sen = 0 e a fora magntica nula. Ento, a carga eltrica realiza um movimento
retilneo e uniforme.
q q
a)
b)
q
c)
q
d)
B
v
B
vv
B B
v
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2o Caso:
A carga eltrica lanada perpendicularmente s linhas de induo. Neste caso, o ngulo
entre a velocidade e o campo magntico de noventa graus. Isso significa que o sen igual
a um, e a fora magntica constante e igual a: BF qvB , essa fora apontada para o centro
da curva, e, portanto, o movimento circular e uniforme.
Clculo do raio da trajetria
Fmagntica = Fcentrpeta
2vF m qvB
r
mvr
qB
Clculo do perodo ( T )
Sabemos que o perodo T o intervalo tempo que corresponde a uma volta completa.
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2 2
2
r mvT
v vqB
mT
qB
Observe que o perodo T no depende da velocidade.
3o Caso:
A carga eltrica lanada obliquamente s linhas de induo. Neste caso a
componente v (paralela ao campo magntico) ocasiona um MRU e a componente v
(perpendicular ao campo magntico) ocasiona um MCU. A composio destes dois
movimentos um movimento helicoidal uniforme e a trajetria chamada de hlice
cilndrica. Na figura abaixo temos a representao de trajetria para o caso de um campo
magntico uniforme (b) e de um campo no uniforme (c). Ver estudo mais detalhado sobre
garrafa magntica, cintures de radiao de Van Allen e aurora, no livro texto.
O passo da hlice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira:
2cos
2cos 2 cos
mp v T v
qB
mvp r
qB
Aceleradores de partculas
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Aceleradores de partculas podem usar campos eltricos e magnticos para obter
partculas com alta energia. O cclotron e o sincrotron so aceleradores de partculas que
utilizam um campo magntico para fazer a partcula passar repetidas vezes por uma regio
onde existe um campo eltrico, o qual gera um aumento no valor da velocidade da partcula.
O cclotron um instrumento que foi desenvolvido em 1931 pelos fsicos Lawrence e
Livingston da Universidade da Califrnia. A teoria envolvida na descrio do funcionamento
do cclotron bastante simples. A parte principal do acelerador formada por um par de
cmaras metlicas em forma de um semicrculo, algumas vezes denominadas de "D", por
causa da sua forma. No caso do cclotron, as partculas descrevem uma trajetria espiral,
ganhando energia cada vez que atravessa a regio onde existe um campo eltrico (o espao
entre os ds). O funcionamento do cclotron se baseia no fato de que a frequncia com a qual
a partcula circula, sob o efeito do campo magntico, no depende da velocidade. Portanto
podemos ter um oscilador que inverte o sentido do campo eltrico na mesma frequncia que a
partcula circula. No sincrotron a frequncia de revoluo das partculas varia com o tempo,
mas permanece em fase com a frequncia do oscilador. Neste caso a trajetria das partculas
circular em vez de espiral.
E X E R C C I O
5. Quais so as funes fundamentais (a) do campo eltrico e (b) do campo magntico no
cclotron?
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6. Uma partcula eletrizada positivamente, colocada em um campo magntico uniforme,
lanada para a direita com uma velocidade v , como mostra a figura abaixo.
Desenhe, na figura, a trajetria que a partcula descrever.
7. Considerando o esquema do exerccio anterior, desenhe a trajetria da partcula
supondo que sua carga seja negativa.
8. Uma partcula eletrizada positivamente lanada horizontalmente para a direita, com
uma velocidade v . Deseja-se aplicar partcula um campo magntico B ,
perpendicular a v , de tal modo que a fora magntica equilibre o peso da partcula.
a) Qual devem ser a direo e o sentido do vetor B para que isto acontea?
b) Supondo que a massa da partcula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q =
2,0 .10- 7
C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser o valor de
B . R: a) B b) 1,96 T
9. Em um laboratrio de Fsica Moderna, um dispositivo emite ons positivos que se
deslocam com uma velocidade v muito elevada. Desejando medir o valor desta
velocidade, um cientista aplicou na regio onde os ons se deslocam os campos
uniformes, E e B , mostrados na figura deste problema . Fazendo variar os valores de
E e B ele verificou que , quando E = 1,0x103 N /C e B = 2,0x10- 2 T , os ons
atravessavam os dois campos em linha reta , como est indicado na figura . Com estes
dados, o cientista conseguiu determinar o valor de v . Qual foi o valor encontrado por
ele? Despreze a massa do ons. R: 5x104 m/s
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10. Uma partcula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0x10- 7 kg penetra , com uma
velocidade v = 20 m/s , num campo magntico uniforme de induo B = 4,0 T atravs
de um orifcio existente no ponto O de um anteparo. R: 0,5 m
a) Esquematize a trajetria descrita pela partcula no campo, at incidir pela primeira
vez no anteparo.
b) Determine a que distncia do ponto O a partcula incide no anteparo.
11. Um eltron que tem velocidade v = (2,0x10 6 m/s ) i + ( 3,0x10 6 m/s ) j penetra
num campo magntico B = ( 0,03 T ) i - ( 0,15 T ) j . Determine o mdulo, a direo
e o sentido da fora magntica sobre o eltron. R: 6,24x10-14 N na direo positiva
do eixo z
12. Um eltron num campo magntico uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i + (35
km/s) j. Ele experimenta uma fora F = - (4,2 fN) i + (4,8 fN) j. Sabendo-se que Bx =
0, calcular as componentes By e Bz do campo magntico. (1fN = 10 15
N). R: By=0 e
Bz=0,75T
13. Um eltron num tubo de TV est se movendo a 7,20 x 106 m/s num campo magntico
de intensidade 83,0 mT. (a) Sem conhecermos a direo do campo, quais so o maior
e o menor mdulo da fora que o eltron pode sentir devido a este campo? (b) Num
certo ponto a acelerao do eltron 4,90 x 1014
m/s2. Qual o ngulo entre a
velocidade do eltron e o campo magntico? A massa do eltron 9,11 x 10-31
kg. R:
a) 0 e 9,44x10-14 N b) 0,27
14. Um prton que se move num ngulo de 230 em relao a um campo magntico de
intensidade 2,6 mT experimenta uma fora magntica de 6,50x10-17 N. Calcular (a) a
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velocidade escalar e (b) a energia cintica em eltron - volts do prton. A massa do
prton 1,67x10-27 kg, 1eV = 1,6x10-19 J. R: a) 4x105 m/s b) 835 eV
15. Campos magnticos so frequentemente usados para curvar um feixe de eltrons em
experincias fsicas. Que campo magntico uniforme, aplicado perpendicularmente a
um feixe de eltrons que se move a 1,3x106 m/s, necessrio para fazer com que os
eltrons percorram uma trajetria circular de raio 0,35 m? R: 2,11x10-5 T
16. (a) Num campo magntico com B = 0,5 T, qual o raio da trajetria circular
percorrida por um eltron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = 300 000 Km/s). (b)
Qual a sua energia cintica em eltron - volts? R: a) 3,41x10-4 m b) 2,56x103 eV
17. Um eltron com energia cintica de 1,20 keV est circulando num plano perpendicular
a um campo magntico uniforme. O raio da rbita 25,0 cm. Calcular (a) a velocidade
escalar do eltron, (b) o campo magntico. R: a) 6,49x107 m/s b) 1,48x10-3 T
18. Um feixe de eltrons de energia cintica K emerge de uma janela de folha de
alumnio na extgremidade de um acelerador. A uma distncia d dessa janela existe
uma placa de metal perpendicular direo do feixe (figura abaixo). (a) Mostre que
possvel evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo uniforme B tal que:
2 2
2mKB
e d
Onde me e a massa e a carga do el[tron. (b) Qual deve ser a orientao do campo eltrico
B ?
19. O espectrmetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemtica na figura
abaixo, separa ons de mesma velocidade e mede a razo q/m desses ons. Depois de
entrar no aparelho atravs das fendas colimadoras S1 e S2, os ons passam por um
seletor de velocidade composto por um campo eltrico produzido pelas placas
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carregadas P e P sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma velocidade E/B),
entram em uma regio onde existe um segundo campo magntico 'B que os faz
descrever um semicrculo. Uma placa fotogrfica (ou um detector moderno) registra a posio
final dos ons. Mostre que a razo entre a carga e a massa dos ons dada por
'/ /q m E rBB , onde r o raio do semicrculo.
20. Um eltron acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a
seguir, num campo magntico uniforme de mdulo 200 mT com sua velocidade
perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do eltron e (b) o raio de
sua trajetria no campo magntico.
R: a) 1,11 x 107 m/s b) 3,16 x 10-4 m
Fora magntica sobre um condutor retilneo percorrido por uma corrente eltrica
Se h interao entre campo magntico e partculas portadoras de carga eltrica, h
uma interao entre campo magntico e um condutor percorrido por corrente eltrica, pois a
corrente eltrica constituda pelo movimento de portadores de carga eltrica.
Se um segmento de fio retilneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for
colocado numa regio onde existe um campo magntico uniforme B (como est representado
na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuar uma fora magntica dada por
F iL B F B i L sen
onde:
F a fora magntica que atua no fio
L o comprimento do segmento do fio, sendo que: L um vetor de intensidade
L e est dirigido na mesma direo do segmento do fio no sentido (convencional) da
corrente eltrica.
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o ngulo entre o campo magntico B e a corrente i ou o vetor L .
Direo da fora magntica
A direo (e sentido) da fora magntica a do produto vetorial L x B . Ento, a fora
magntica sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o sentido de F
pode ser dado pela regra da mo direita ou da mo esquerda.
Observao:
Se o fio no for retilneo ou o campo magntico no for uniforme, podemos imaginar o
fio repartido em pequenos segmentos retos e calcular a fora em cada segmento. A fora
sobre o fio como um todo e, ento, a soma vetorial de todas as foras que agem sobre os
segmentos que compem o fio. No limite diferencial, podemos escrever o elemento de fora
sobre dL como:
dF i dL B
Podemos determinar a fora resultante sobre qualquer arranjo fornecido de correntes por
meio da integrao de dF sobre este arranjo.
Torque em uma espira percorrida por corrente eltrica.
O princpio de funcionamento dos motores eltricos baseado no torque produzido por
foras magnticas. Na figura abaixo temos a representao de uma espira percorrida por uma
corrente eltrica, imersa em um campo magntico. As foras magnticas produzem um torque
na espira que tende a faz-la girar em torno de um eixo central.
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Uma bobina na presena de um campo magntico uniforme experimente um torque dado
por:
B , onde o momento magntico dado por: NiA , onde N o nmero de espiras
e A a rea da espira (Ver a demonstrao desta expresso no livro texto). Usando a definio
de produto vetorial, temos:
Bsen
NiABsen
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E X E R C C I O
21. Represente a fora magntica que atua sobre cada condutor retilneo, percorrido por
corrente eltrica e imerso no interior de um campo magntico uniforme, nos casos:
a ) b ) B
B i
i
c) d)
22. A figura abaixo mostra uma espira retangular CDEG, situada no plano da folha de
papel, colocada entre os polos de um im. Observando o sentido da corrente que est
passando na espira responda:
a) Qual o sentido da fora que atua em cada um dos lados GE , ED e DC da espira?
b) Descreva o movimento que a espira tende a adquirir.
23. Um condutor, mesmo transportando uma corrente eltrica, tem carga lquida zero. Por
que, ento, um campo magntico exerce fora sobre ele?
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24. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m , e massa m = 2,0 .10- 2 kg ,
percorrido por uma corrente eltrica de intensidade i = 8,0 A , encontra-se em
equilbrio sob ao exclusiva do campo da gravidade e de um campo magntico
uniforme B , conforme mostra a figura abaixo. Determine: R: a) 4,9x 10-2 T; b) para
direita
a) A intensidade do vetor B . B
b) O sentido da corrente i .
25. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, percorrido por uma
corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio est imerso num campo magntico
dado por B = (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a fora magntica sobre o fio. R: (-
2,5x10-3 N) j + (7,5x10-4N) k
26. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um
ngulo de 35 o com um campo magntico uniforme B = 1,5 T . Calcular o valor da
fora magntica sobre o fio . R: 20,13 N
27. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento est suspenso por um par
de contatos flexveis na presena de um campo magntico uniforme de mdulo 0,440
T entrando pelo plano da folha (veja figura abaixo). Determine (a) o valor absoluto e
(b) o sentindo (para direita ou para a esquerda) da corrente necessria para remover a
tenso dos contatos. R:a) 0,47 A; b) a Corrente est para a direita.
28. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem eltrico. O motor
acionado pela fora devido ao componente vertical do campo magntico da Terra
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sobre um eixo de conduo. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, atravs de
uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, ento, volta fonte pelo outro
trilho. (a) Que corrente necessrio para fornecer uma fora modesta de 10 kN?
Suponha que o componente vertical do campo magntico da Terra seja igual a 10 T e
que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potncia ser dissipada para cada
ohm de resistncia nos trilhos? (c) Um trem como este real. R: a)3,33x108 A; b)
1,11x1017 W; c) no.
Campo magntico gerado por corrente eltrica
J comentamos que a experincia de Oersterd levou concluso de que as cargas
eltricas em movimento (corrente eltrica) criam campo magntico no espao em torno delas.
Em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bssola sofria deflexo
quando era colocada perto de um fio percorrido por corrente eltrica. Por outro lado era
conhecido que campos magnticos produzem deflexo em bssola, o que levou Oersted a
concluir que correntes eltricas induzem campos magnticos. Com isto ele havia encontrado,
ento, uma conexo entre eletricidade e o magnetismo.
Iremos, agora, analisar a relao entre o campo magntico e as correntes eltricas que
originaram este campo. Estudaremos os campos magnticos que so estabelecidos por alguns
tipos particulares de condutores percorridos por uma corrente eltrica.
Devemos lembrar que o campo magntico uma grandeza vetorial e que este campo
pode ser representado por linhas de campo. Para facilitar a representao do campo magntico
gerado por corrente eltrica podemos usar uma regra da mo direita que relaciona a corrente
eltrica com o campo magntico gerado por esta corrente eltrica. Esta regra prtica, muito
usada, nos permite facilmente obter o sentido do campo magntico em torno de um fio.
Dispondo o polegar da mo direita ao longo do fio condutor, no sentido da corrente eltrica, e
os demais dedos envolvendo o condutor, estes dedos nos indicaro o sentido das linhas de
campo magntico. O sentido das linhas de campo em cada pondo nos indica a direo e
sentido do campo magntico neste ponto.
Na figura abaixo temos a representao desta regra da mo direita e das linhas de campo
magntico gerado por um fio reto percorrido por uma corrente eltrica i.
-
No estudo do campo eltrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de
Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o campo
magntico gerado por corrente eltrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampre.
Lei de Biot Savart
O campo magntico criado por um condutor transportando uma corrente eltrica pode
ser encontrado pela lei de Biot Savart. Para determinarmos o campo magntico gerado por
um fio de forma arbitrria podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds
e definir para cada elemento um vetor comprimento ds de mdulo ds e sentido da corrente em
ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds , a lei de Biot Savart assegura que a
contribuio dB do campo magntico, devido ao elemento de corrente i ds , num ponto P , a
uma distncia r do elemento de corrente, dado por:
0
34
i dd
r
s rB
Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integrao,
as contribuies dB de todos os elementos de corrente.
-
Na expresso acima, o uma constante chamada de permeabilidade do vcuo, cujo
valor : o =4 x10
-7T.m/A.
Campo Magntico no centro de uma espira circular
O campo magntico no centro de uma espira circular, percorrida por uma corrente
eltrica i, diretamente proporcional corrente eltrica e inversamente proporcional ao raio
da espira.
2
iB
r
onde:
r o raio da espira
Direo e sentido de B
A direo do campo magntico normal ao plano da espira.
O sentido de B pode ser dado pela regra da mo direita.
Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expresso usada para o clculo do
campo magntico no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i.
Partindo da Lei de Biot-Savart, temos:
3 3 2
2
2
2 2
0
90
4 4 4
int :
4
24 4
2
o
o o o
o
r
o o
o
ids r idsrsen idsdB dB
r r r
egrando
idsdB
r
i iB ds r
r r
iB
r
-
LEI DE AMPRE
Podemos determinar o campo magntico resultante devido a qualquer distribuio de
correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuio for complicada, podemos ter que usar
um computador para o clculo. Entretanto se a distribuio apresentar determinada simetria
possvel que possamos aplicar a lei de Ampre para determinar o campo magntico com um
esforo consideravelmente menor (de modo semelhante ao uso da lei de Gauss para calcular o
campo eltrico).
A lei de Ampre pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do
campo magntico B em torno de qualquer trajetria fechada igual a 0 vezes a corrente
lquida que atravessa a rea limitada pela trajetria. Ou seja, para uma curva amperiana (curva
fechada), temos que:
0.d i B s
A integral de linha nesta equao calculada ao redor da curva amperiana, e i a
corrente lquida englobada pela curva amperiana.
No precisamos saber o sentido de B antes de fazer esto integrao. Supomos
arbitrariamente B como estando geralmente no mesmo sentido da integrao e usamos a
seguinte regra da mo direita para atribuir o sinal de cada uma das correntes envolvida pela
curva amperiana: curve a sua mo direita ao redor da curva amperiana, com os seus dedos
apontados no sentido de integrao. A uma corrente que atravessa a curva, no sentido do seu
dedo polegar estendido se atribui um sinal positivo e a uma corrente no sentido contrrio se
atribui um sinal negativo.
Campo magntico devido a uma corrente em um fio reto e longo
A intensidade do campo magntico a uma distncia d de um fio reto e longo
transportando uma corrente i diretamente proporcional corrente eltrica i e inversamente
proporcional distncia d. Esta relao dada por
2
iB
d
onde:
B a intensidade do campo magntico
-
a permeabilidade magntica do meio
d a distncia do ponto at o condutor
As linhas de campo de B formam crculos concntricos ao redor do fio, como est
representado na figura abaixo.
Podemos usar a lei de Ampre para demonstrar a expresso usada para o clculo do
campo magntico gerado por uma corrente i, a uma distncia r de um fio reto e longo.
Usando a lei de Ampre
.
cos0
2
o
o
o
o o
B ds i
Bds i
B ds i B r i
-
Com isso temos que o mdulo do campo magntico em um fio retilneo longo dado por:
2
oiBr
Vamos usar a lei de Ampre para estudar o campo magntico no interior de um fio longo
retilneo percorrido por corrente eltrica distribuda uniformemente na seo reta do fio.
int
.
2
2
erior
o o
o o
o o
B ds i
B r i
iB
r
.
Como a corrente est uniformemente distribuda na seo reta do fio, a densidade de corrente
tem o mesmo valor para a rea no interior da curva amperiana e em toda a rea do fio:
2 2
2
2
o oo
o
o
i ii iJ J
A A R r
iri
R
Substituindo, temos:
2
2
2
.2 2
2
o o
o
i irB
r r R
irB
R
Observe que no interior do fio o campo magntico proporcional a r; o campo nulo centro
do fio e mximo na superfcie, onde r = R.
-
Campo magntico de um solenide
Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de
espaamento muito prximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por espiras circulares
muito prximas. Ele considerado um solenoide ideal quando for infinitamente grande, com
isto queremos dizer que ele formado por um nmero muito grande de espiras. Se uma
corrente percorre o solenoide ela induz campos magnticos em seu entorno.
Se o solenoide considerado infinito (solenoide ideal) no teremos efeitos de bordas, portanto
s existiro campos magnticos no seu interior. Ento, quanto mais longo for o solenoide
mais uniforme o campo magntico no seu interior e mais fraco o campo magntico no seu
exterior. Deste modo, o vetor campo magntico (ou induo magntica) B em qualquer ponto
no interior de um solenoide ideal o mesmo, ou seja, ele uniforme. Este campo magntico
tem as seguintes caractersticas:
- O vetor B , no interior do solenoide paralelo ao seu eixo central.
- O sentido de B pode ser dado pela regra da mo direita.
- O campo magntico no solenoide equivalente ao campo criado por ims, com polos Norte
e Sul.
- O campo magntico no interior do solenoide uniforme e diretamente proporcional
intensidade da corrente nas espiras e ao nmero de espiras por unidade de comprimento do
solenoide.
0B in
onde:
n o nmero de espiras por unidade de comprimento.
-
Podemos usar a lei de Ampre para demonstrar e expresso do campo magntico no
interior de um solenoide.
0 0 0 0
.
. . . .
.
o env
b c d a
o env
a b c d
B ds B B ds
b
o env
a
o env
o
o
B ds i
B ds B ds B ds B ds i
B ds i
Bh i
Bh inh
B in
A importcia de estudarmos modlos ideais, se justifica na aproximao destes modlos
ideais com modlos reais. Em pontos bem afastados das extremidades de um solenide real
(quando o comprimento deste solenide for muito maior do que o seu dimetro) podemos
aplicar as mesmas propriedades de um solenide ideal.
Um solenide fornece uma forma prtica de se criar um campo magntico uniforme
conhecido, da mesma forma que um capacitor de placas paralelas fornece uma forma prtica
de criar um campo eltrico uniforme conhecido. Estes campos tm importantes aplicaes
para experimentos.
-
Campo Magntico de um Toride
O toride pode ser considerado como um solenide que foi encurvado em forma de
um crculo, assumindo a forma da cmara de ar de um pneu.
O mdulo do campo magntico B criado em seus pontos interiores (dentro do tubo
em forma de pneu) dado por 0
2
iNB
r
.
Onde:
i a corrente nos enrolamentos do toride
N o nmero total de voltas
r a distncia do ponto at o centro do toride
O campo magntico no interior de um toride ou de um solenide pode ser dado por
outra regra da mo direita: envolva o toride (ou solenide) com os quatro dedos da mo
direita, curvados no sentido da corrente nos enrolamentos; o seu dedo polegar estendido
aponta no sentido do campo magntico.
O campo magntico nulo em pontos no exterior de um toride ideal (como se o
toride fosse feito de um solenide ideal).
Fora magntica entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes eltricas
Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes eltricas, exercem foras um sobre
o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma distncia d.
-
A fora que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro dado por
b b aF i LB
O campo magntico criado por este fio, a uma distncia d (posio do outro fio), igual a:
2
o aa
iB
d
Substituindo esta equao na equao da fora temos que,
2
2
o ab b a b
o a b
iF i LB i L
d
Li iF
d
Representando as foras que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos
opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo
sentindo os fios iro se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios iro se
repelir.
E X E R C C I O
29. Topgrafo est usando uma bssola a 6m abaixo de uma linha de transmisso na qual
existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual o valor do campo magntico no
local da bssola em virtude da linha de transmisso? (b) Isso ir interferir seriamente
-
na leitura da bssola? O componente horizontal do campo magntico da Terra no local
de 20 T. R:a) 3,33x10-6T; b)sim.
30. Um fio retilneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a direita.
Um eltron est se movendo a uma velocidade de 1,0 10 7
m/s ao passar a 5 cm deste
fio. Que fora atuar sobre o eltron se a sua velocidade estiver orientada (a)
verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita?
31. Na figura abaixo esto representados dois fios retos e longos, percorridos pelas
correntes eltricas i1 e i2. Considerando o meio, o vcuo, determine o mdulo, a
direo e o sentido do campo magntico resultante no ponto P. R: 1,0x10-5 T
i1 = 3A i2 = 4A
P
2 cm 4 cm
32. Duas espiras circulares, concntricas e coplanares, de raios R1 = 6 cm e R2 = 24 cm
so percorridas por correntes eltricas i1 e i2 respectivamente. R: a) i2 = 4i ; b) anti-
horrio
a) Determine a relao entre i1 e i2, sabendo-se que o campo magntico resultante no
centro das espiras nulo.
b) Se i1 tem sentido horrio, qual o sentido de i2.
33. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos so
L1 = 20cm e L2 = 40cm, so ligadas em srie aos polos de uma bateria. R: a) igual ; b)
maior c) B2 = 3x10-3
T
a) A corrente que passa na bobina (1) maior, menor ou igual quela que passa na
bobina (2)?
b) O campo magntico B1 no interior da bobina (1), maior, menor ou igual ao campo
magntico B2 no interior da bobina (2)?
c) Sabendo-se que B1 = 6,0 . 10- 3
T, qual o valor de B2?
-
34. Mdulo do campo magntico a 88,0 cm do eixo de um fio retilneo longo 7,3 T .
Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A
35. Um fio retilneo longo transportando uma corrente de 100 A colocado num campo
magntico externo uniforme de 5,0 mT como est representado na figura abaixo.
Localize os pontos onde o campo magntico resultante zero. R: nos pontos sobre
uma reta a 4 . 10-3
m abaixo do fio.
36. Dois fios longos e paralelos esto separados uma distncia de 8,0 cm. Que correntes
de mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magntico a meia
distncia entre eles tenha mdulo igual a 300 T? R: 30A em sentidos opostos
37. Dois fios, retilneos e longos, separados por 0,75 cm esto perpendiculares ao plano da
pgina, como mostra a figura abaixo. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para
dentro da pgina. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o
campo magntico resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora da pgina.
38. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distncia d, transportam correntes i e
3i no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnticos
se cancelam.
-
R: nos pontos sobre uma reta, entre os fios, a uma distncia d/4 do fio que
transporta a corrente i.
39. Na figura abaixo dois arcos de circunferncia tm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15 cm,
submetem um ngulo = 180o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e tm o mesmo
centro de curvatura C. determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora
do papel) do campo magntico no ponto C
40. Na figura abaixo, um fio formado por uma semicircunferncia de raio R = 9,26 cm e
dois segmentos retilneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente
no fio i = 34,8 mA. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora
do papel) do campo magntico no centro de curvatura C da semicircunferncia.
41. Na figura abaixo um fio retilneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma espira
retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A. Suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm
e L = 30,0 cm. Em ermos dos vetores unitrios, qual a fora a que est submetida a
espira? 3 : 3,2 10R x N j
42. Os oito fio da figura abaixo conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou para
fora do papel. Duas curvas esto indicadas para a integral de linha B d s . Determine
o valor da integral (a) para a curva 1; (b) para a curva 2. : a)2 b)0oR
-
43. A figura abaixo mostra um seo reta de um fio cilndrico longo de raio a = 2,00 cm
que conduz uma corrente uniforme de 170 A. determine o mdulo do campo
magntico produzido pela corrente a uma distncia do eixo do fio igual a (a) 0; (b)
1,00 cm; (c) 2,00 cm (superfcie do fio); (d) 4,00 cm.
44. A figura abaixo mostra uma seo reta de um condutor cilndrico oco de raios a e b
que conduz uma corrente i uniformemente distribuda. (a) mostre que, no intervalo b <
r < a, o mdulo B(r) do campo eltrico a uma distncia r do eixo central do condutor
dado por
2 2
2 22
oi r bBra b
. (b) mostre que, para r = a, a equao do item (a)
fornece o mdulo B do campo magntico na superfcie do condutor; para r = b, o
campo magntico zero; para b= 0, a equao fornece o mdulo do campo magntico
no interior de um condutor cilndrico macio de rio a.
FORA ELETROMOTRIZ INDUZIDA
Desde que Oersted, em 1820, descobriu que uma corrente eltrica gera um campo
magntico, a simetria das relaes entre o magnetismo e a eletricidade levou os fsicos a
acreditar na proposio inversa: se a corrente eltrica num condutor gera um campo
-
magntico ento um campo magntico deve gerar uma corrente eltrica. A questo era saber
como isso poderia ser feito, o que acabou sendo descoberto por Faraday, em 1831.
A produo de corrente eltrica por campo magntico chamada de induo
eletromagntica e a corrente eltrica de corrente induzida.
No exerccio abaixo, temos uma maneira bem simples de gerar uma fora eletromotriz
e uma corrente induzida.
E X E R C C I O
45. Considere uma barra metlica C D deslocando-se com velocidade v , dentro de um
campo magntico B, como mostra a figura abaixo:
a. Qual o sentido da fora magntica que atua nos eltrons livres da barra?
b. Ento, diga qual das extremidades da barra ficar eletrizada positivamente e
qual ficar eletrizada negativamente?
c. Ligando-se C e D por um fio condutor, como mostra a figura abaixo,
represente o sentido da corrente induzida neste fio.
R:
a) C para D
b) C positiva e D negativa
c) CFD
46. No exerccio anterior, suponha que fosse interrompido o movimento da barra CD. A
separao das cargas na barra permaneceria? Explique. R: no, a fora magntica
seria nula
D
F
C
B
v
-
Fluxo do campo magntico
Para entender o Fenmeno da Induo eletromagntica necessrio introduzir o
conceito de fluxo de campo magntico. Semelhante ao conceito de fluxo do campo eltrico
(estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magntico est relacionado ao nmero de linhas
de campo magntico que atravessam determinada superfcie.
Na Figura abaixo est representada uma espira retangular envolvendo uma rea A,
colocada em uma regio onde existe um campo magntico B . O fluxo magntico atravs
desta espira
.B d B A
Como no estudo do fluxo do campo eltrico, o vetor dA perpendicular a uma rea
diferencial dA .
A unidade de fluxo magntico, no SI o tesla-metro quadrado, que chamado e weber
(abreviado por Wb)
1 weber = 1wb = 1T.m2
Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo mdulo por toda uma superfcie
de rea A e que o ngulo seja constante, temos que:
cosB B A
onde:
B - o fluxo magntico atravs da superfcie de rea A
- o ngulo entre dA (normal superfcie) e B (campo magntico uniforme)
dAB
-
Lei de Faraday da Induo Eletromagntica
Quando ocorrer uma variao do fluxo magntico atravs de uma espira condutora,
aparece nesta espira uma fora eletromotriz induzida. A intensidade desta fem igual taxa
de variao do fluxo magntico atravs dessa espira.
Bd
dt
Para uma taxa de variao constante no fluxo ( constante), temos que: Bt
Se variarmos o fluxo magntico atravs de uma bobina de N voltas, enroladas de
forma compacta de modo que o mesmo fluxo magntico B atravesse todas as voltas, a fem
total induzida na bobina :
BNd
dt
Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo
magntico que atravessa uma bobina.
1. Variando a intensidade B do campo magntico no interior da bobina.
2. Variando a rea da bobina, ou a poro dessa rea que esteja dentro de uma regio onde
existe campo magntico (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do
campo).
3. Variando o ngulo entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o
campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo
a esse plano).
No esquema representado na figura abaixo, quando o im em forma de barra se
aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magntico atravs da espira sofre uma variao
e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o im permanecer em
repouso em relao espira, no haver variao no fluxo magntico e, portanto no
teremos corrente induzida na espira.
-
LEI DE LENZ
O sinal negativo na lei de Faraday indica que a fora eletromotriz se ope variao do
fluxo magntico. Este sinal frequentemente omitido, pois geralmente esta lei usada para se
obter o mdulo da fora eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida
podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual conhecida como lei
de Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira:
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magntico
produzido por esta corrente se ope variao do fluxo magntico atravs da espira.
Exemplo:
Vamos usar o caso em que uma espira retangular passa por uma regio onde existe um
campo magntico uniforme para aplicar a lei de Lenz. Considerando que na regio limitada
pelo retngulo tracejado tenha um campo uniforme B , e que fora desta regio no tenha
campo magntico, represente o sentido da corrente induzida, na espira, em cada caso, ou seja,
quando a espira penetra no campo magntico, quando ela est completamente imersa neste
campo e quando ela est saindo da regio onde existe o campo magntico:
E X E R C C I O
47. Qual o sentido da corrente induzida no ampermetro da bobina Y representada na
figura abaixo (a) quando a bobina Y movida na direo da bobina X e (b) quando a
R
v
B B
B
-
corrente na bobina X diminuda, sem qualquer alterao na posio relativa das
bobinas? R: a) esquerda b) direita
48. Um m, polo norte voltado para um anel de cobre, afastado do anel como mostra a
figura abaixo. Na parte do anel mais afastada do leitor, em que sentido aponta a
corrente? R: Direita
49. Uma espira circular deslocada com velocidade constante atravs de regies onde
campos magnticos uniformes de mdulos iguais esto orientados para fora ou para
dentro da pgina, como mostra a figura abaixo. Para quais das sete posies mostradas
a corrente induzida ser (a) horria, (b) anti-horria e (c) zero? R: a) 2 e 6 b) 4 c) 1,3,5
e 7
AMPERMETRO
-
50. A resistncia R no lado esquerdo do circuito da figura abaixo est sendo aumentada
numa taxa constante. Qual o sentido da corrente induzida na espira do lado direito do
circuito? R: Horrio
51. Considere uma barra metlica CD deslocando-se com velocidade constante v , numa
regio onde existe um campo magntico uniforme B . A barra desloca-se apoiando em
dois trilhos, tambm metlicos, separados de uma distncia L, como mostra a figura
abaixo. Usando a lei de Faraday, mostre que o valor da fem induzida na barra dado
por: = L B v.
C
B
L v
D
52. Na figura abaixo o segmento retilneo de fio est se movendo para a direita com
velocidade constante v . Uma corrente induzida aparece no sentido mostrado. Qual
deve ser o sentido do campo magntico uniforme (suposto constante e perpendicular
pgina) na regio A? R: entrando na pgina
53. Uma antena circular de televiso para UHF (frequncia ultra-elevada) tem um
dimetro de 11 cm. O campo magntico de um sinal de TV normal ao plano da
-
antena e, num dado instante, seu mdulo est variando na taxa de 0,16 T/s. O campo
uniforme. Qual a fem na antena? R: 1,5x10-3 V
54. O fluxo magntico atravs da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo de
acordo com a relao
26,0 7,0 ,B t t
onde B dado em miliwebers e t em segundos. (a) Qual o mdulo da fem induzida
na espira quando t = 2,0s? (b) Qual o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b)
esquerda
55. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao
longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com um velocidade constante v .
Um campo magntico vertical e uniforme B , preenche a regio onde a barra se move.
Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual a fem induzida na barra?
(b) Qual a corrente na espira condutora? Considere que a resistncia da barra seja
0,40 e que a resistncia dos trilhos seja desprezvel. (c) Com que taxa a energia
trmica est sendo gerada na barra? (d) Que fora um agente externo deve exercer
sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo
realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V; b)
1,5; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W
-
56. Uma barra metlica est se movendo com velocidade constante ao longo de dois
trilhos metlicos paralelos, ligados por tira metlica numa das extremidades, como
mostra a figura do exerccio 55. Um campo magntico B= 0,350T aponta para fora da
pgina. (a) Sabendo-se que os trilhos esto separados em 25,0 cm e a velocidade
escalar da barra 55,0 cm/s, que fem gerada? (b) sabendo-se que a resistncia
eltrica da barra vale 18,0 e que a resistncia dos trilhos desprezvel, qual a
corrente na barra? R: a) 4,8x10-2 V b) 2,67 x 10-3 A
-
INDUTORES
Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo eltrico
numa determinada regio os indutores podem ser usados para produzir um campo
magntico. O tipo mais simples de indutor um solenoide longo.
Um indutor pode ser representado pelo smbolo da figura abaixo.
Indutncia
Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um
solenide), um fluxo magntico produzido, pela corrente eltrica, no interior do
indutor. A indutncia L do indutor dada por:
NL
i
Unidade de indutncia no SI .
1 T m2 / A = 1 henry (H)
Indutncia de solenide
A indutncia L por unidade de comprimento l, na regio central, de um
solenide longo, de seo transversal de rea A e com n espiras por unidade de
comprimento, dada por (ver demonstrao no livro texto):
2
01
Ln A
Observaes:
Para um solenide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equao
acima fornece a sua indutncia com uma boa aproximao.
Assim como a capacitncia de um capacitor a indutncia de um indutor depende
apenas das caractersticas (forma geomtrica) deste dispositivo.
-
EXERCCIOS
57. Mostre que a indutncia por unidade de comprimento prximo a regio central
de um solenide longo dada por:
2
0
Ln A
l
Auto induo
Quando houver uma variao do fluxo magntico em um circuito, mesmo uma
variao do fluxo magntico produzido pela corrente fluindo no prprio circuito, ser
induzido uma fora eletromotriz no circuito. As foras eletromotrizes geradas por
correntes do prprio circuito so chamadas de fora eletromotriz auto-induzidas. Ento
uma fem auto-induzida L aparece numa bobina quando a corrente nesta bobina estiver
variando.
Aplicando a lei da induo de Faraday podemos encontrar a relao entre est
fem auto-induzida e a taxa de variao da corrente eltrica.
NL N iL
i
( )L
d N
dt
( )L
diL
dt
onde: ( )di
dt a taxa de variao da corrente eltrica com o tempo .
Observao: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz.
Esta fem atua num sentido tal que ela se ope variao do fluxo magntico que a
produz.
O sentido de um campo eltrico auto-induzido (no eletrosttico) pode ser
encontrado pela lei de Lenz. Considerando-se a fonte deste campo e, portanto, a fem a
ele associado, como a corrente varivel no condutor. Se a corrente estiver aumentando,
o sentido do campo induzido ser oposto ao desta corrente. Se a corrente diminui, o
campo induzido ter o mesmo sentido da corrente. Ento, o campo induzido se ope
variao da corrente e no a corrente em si.
-
EXERCCIOS
58. A indutncia de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o
fluxo magntico atravs da bobina quando a corrente de 5,0 mA. R : 1x10 7
Wb
59. Um solenide enrolado com uma nica camada de fio de cobre isolado
(dimetro = 2,5 mm). O solenide tem 4,0 cm de dimetro, um comprimento de
2,0 m e 800 espiras. Qual a indutncia por metro de comprimento, na regio
central do solenide? Suponha que as espiras adjacentes se toquem e que a
espessura do isolamento seja desprezvel.R : 2,52x10 4 H / m.
60. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor tm os sentidos
indicados na Fig.01. (a) A corrente est crescendo ou decrescendo? (b) A fem
vale 17 V e a taxa de variao da corrente 25 kA/s; qual o valor da
indutncia? R: a) decrescente ; b) 6,8x10 4 H
61. Indutores em Srie. Dois indutores L1 e L2 esto ligados em srie e separados
por uma distncia grande. (a) Mostre que a indutncia equivalente dada por
Leq = L1 + L2
(b) porque a separao entre os indutores tem de ser grande para que a relao
acima seja vlida? (c) Qual a generalizao do item (a) para N indutores em
srie? R: b) para que um no induza corrente no outro.
62. Indutores em paralelo. Dois indutores L1 e L2 esto ligados em paralelo e
separados por uma distncia grande. (a) Mostre que a indutncia equivalente
dada por
i E
-
1 2
1 1 1
eqL L L
(b) Por que a separao entre os indutores tem de ser grande para que a relao
acima seja vlida? (c) Qual a generalizao do item (a) para N indutores em
paralelo?
63. Um solenide cilndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm.
Suponha que o campo magntico que ele produz seja paralelo ao eixo do
solenide e uniforme em seu interior. (a) Qual a sua indutncia por metro de
comprimento? (b) Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual ser a fem
induzida por metro? R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m.
Circuitos RL (Resistor indutor)
No estudo do circuito RC (resistor capacitor), vimos que se introduzirmos
subitamente uma fem em um circuito contendo um resistor R e um capacitor C, a
carga sobre o capacitor no aumenta imediatamente at o seu valor final de equilbrio C
, mas dele se aproxima de forma exponencial. E quando removermos a fem deste
mesmo circuito, a carga no cai imediatamente para zero, mas se aproxima de zero de
forma exponencial.
Um atraso semelhante ocorre no crescimento (ou na queda) da corrente se
introduzirmos (ou removermos) uma fem em um circuito de malha simples contendo
um resistor R e um indutor L (circuito RL).
Todo indutor tem necessariamente uma resistncia. Para distinguir entre os
efeitos da resistncia e da indutncia, comum representar um indutor como um indutor
ideal sem resistncia, em srie com um resistor no-indutivo. O mesmo diagrama
tambm pode representar um resistor em srie com um indutor, sendo R, agora, a
resistncia total da combinao, como est representado na figura a seguir.
-
Suponha que a chave ch no circuito, representado na figura acima, seja
subitamente fechada na posio a. Por causa da fem auto-induzida /L Ldi dt E , a
corrente no cresce imediatamente at seu valor final, no instante em que o circuito
fechado, mas cresce numa taxa que depende da indutncia e da resistncia do circuito.
Aplicando a lei das malhas, de kirchhoff, podemos escrever para este circuito:
0di
iR Ldt
E
Esta uma equao diferencial que pode determinar a corrente i no circuito
como uma funo do tempo. A soluo para esta equao diferencial :
/(1 )t Li eR
E
Onde:
L = L / R ( a constante de tempo indutiva)
Substituindo t = 0 na equao acima temos i0 = 0, o que indica que a corrente
inicialmente nula. Para um longo tempo aps a chave ter sido fechada ( )t
podemos verificar que a corrente tende ao seu valor de equilbrio iR
E
.
Agora, suponha que aps a corrente ter atingido o seu valor final ( iR
E
) a
chave ch seja ligada na posio b.
-
Aplicando a lei das malhas e este novo circuito teremos outra equao
diferencial:
0di
L iRdt
Cuja soluo :
/ Lti eR
De acordo com a equao anterior a corrente decai de um valor inicial
0 ( 0)i em tR
E
, para um valor final nulo ( )t .
Devemos observar que inicialmente, um indutor atua se opondo a variaes na
corrente que passa por ele. Muito tempo depois, ele atua como um fio de ligao
comum.
EXERCCIOS
64. Esboce o grfico i t, para os dois casos do circuito RL citados anteriormente,
corrente aumentando e diminuindo com o tempo.
65. Um solenide de indutncia igual a 6,30 H est ligado em srie a um resistor
de 1,20 K. (a) Ligando-se uma bateria de 14 V a esse par, quanto tempo levar
para que a corrente atravs do resistor atinja 80,0% de seu valor final? (b) Qual
a corrente atravs do resistor no instante t =1,0 L? R: a) 8,85x10 9
s ; b) 7,37 x
10 3
A.
66. Quanto tempo, aps a remoo da bateria, a diferena de potencial atravs do
resistor num circuito RL (com L = 2,00 H, R = 3,00 ) decai a 10,0% de seu
valor inicial? R : 1,53 s
67. Um solenide tem uma indutncia de 53 mH e uma resistncia de 0,37 .
Sendo ligado a uma bateria, em quanto tempo a corrente atingir metade do seu
valor final de equilbrio? R : 9,93x10-2 s.
-
Induo Mtua
Quando duas bobinas esto prximas uma da outra, uma corrente variando numa
das bobinas pode induzir uma fem na outra. A fem induzida neste fenmeno, de induo
mtua dada por:
21
diM
dt E e 12
diM
dt E
Onde: M o coeficiente de indutncia mtua do conjunto das duas
bobinas. A unidade de M, a mesma de L.
Assim, vemos que a fem induzida em qualquer uma das bobinas proporcional
taxa de variao da corrente na outra bobina.
Energia Armazenada num Campo magntico
Os indutores podem armazenar energia, em seus campos magnticos, assim
como os capacitores armazenam energia em seus campos eltricos.
A energia total armazenada por um indutor de indutncia L transportando uma
corrente eltrica i, dada por (ver demonstrao no livro texto):
2
2B
LiU
EXERCCIOS
68. Duas bobinas esto em posies fixas. Quando na bobina 1 no h corrente e na
bobina 2 existe uma corrente que cresce numa taxa constante de 15 A/s, a fem da
bobina vale 25 mv. Determinar a indutncia mtua destas bobinas. R: 1,67x10-3
H.
69. A energia armazenada num certo indutor de 25 mJ quando a corrente 60 mA.
(a) Calcular a indutncia deste indutor. (b) Que corrente necessria para a
energia magntica armazenada ser quatro vezes maior? R: a) 13,89 H ; b)120
mA
70. Uma bobina tem uma indutncia de 53 mH e uma resistncia de 0,35 .
-
a) Aplicando-se uma fem de 12 V atravs da bobina, qual a energia
armazenada no campo magntico aps a corrente atingir o seu valor de
equilbrio ?
b) Depois de quantas constantes de tempo , metade desta energia de equilbrio
estar armazenada no campo magntico ? R: a) 31 J ; b) 1,2 L.
Oscilaes Eletromagnticas e Corrente Alternada
Circuito LC (Indutor-Capacitor)
Neste momento, estudaremos como a carga q varia com o tempo num circuito
constitudo de um indutor L, um capacitor C e um resistor R. Discutiremos como a
energia transferida do campo eltrico do capacitor para o campo magntico do indutor
e vice-versa, sendo dissipada gradualmente no decorrer das oscilaes sob a
forma de energia trmica no resistor. Para comear vamos tratar de um caso mais
simples, um circuito contendo apenas um indutor e um capacitor, onde desprezaremos a
resistncia do condutor. Portanto, no h dissipao de energia.
Estudamos os circuitos RC e RL, onde verificamos que a carga e a corrente
eltrica crescem e decaem exponencialmente. Quando ligamos um capacitor carregado,
a um indutor sem resistncia (circuito LC) a carga e a corrente eltrica, no variam
exponencialmente, mas variam sonoidalmente com o tempo. No instante em que feita
a ligao, o capacitor comea a se descarregar atravs do indutor, a energia armazenada
no campo eltrico do capacitor transferida para o campo magntico no indutor.
Num instante posterior, o capacitor estar completamente descarregado e toda
energia estar armazenada no campo magntico do indutor. O campo magntico est
ento com a sua intensidade mxima, e a corrente atravs do indutor ter seu valor
mximo. Esse campo magntico agora decresce transferindo energia do indutor para o
capacitor, sendo que a corrente diminui gradualmente durante est transferncia de
energia. Quando, finalmente, a energia se transferiu totalmente de volta para o
capacitor, a corrente se reduz a zero (momentaneamente) e o capacitor estar carregado
com polaridade invertida.
O processo agora se repete no sentido oposto e na ausncia de perdas de energia,
as cargas no capacitor movimentar-se-o num sentido e noutro indefinidamente. Este
processo chamado de oscilaes eletromagnticas.
-
Do ponto de vista de energia, oscilaes de um circuito LC, consiste numa
transferncia de energia do campo eltrico para o magntico e vise-versa, de modo que
a energia total permanea constante.
Isto anlogo transferncia de energia num sistema mecnico oscilante
(massa-mola), transferindo energia cintica em potencial e vice-versa.
Num circuito LC oscilante (sem resistncia), como est representado na figura
acima as energias armazenadas no campo eltrico do capacitor UE e no campo
magntico do indutor UB , so dadas por :
2
2E
qU
C e
2
2B
LiU
Onde: U = UE + UB a energia total.
Usando a condio de que a energia total permanece constante, podemos
encontrar a equao diferencial que descreve as oscilaes de um circuito LC sem
resistncias.
2
2
10
d qq
dt LC
Cuja soluo geral :
equao como
cosmq q t
onde:
qm a amplitude da carga
a constante de fase
UE
C UB L
-
a frequncia angular das oscilaes
A constante de fase determinada pelas condies existentes em um
determinado instante, e a frequncia angular dada por:
12 f
LC
Oscilaes da energia eltrica e magntica num circuito LC.
A energia eltrica armazenada no circuito LC :
22
21 cos2 2
mE
qqU t
C C
E a energia magntica
2
2 21 s2 2
mB
qU Li en t
C
Somando a energia eltrica e a energia magntica, obtemos a energia total do circuito
LC:
2
2 2
1
2
cos s2
2
m
m
qU t en t
C
qU
C
OSCILAES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC
Num circuito LC real, as oscilaes no continuam indefinidamente porque
sempre existe alguma resistncia presente, dissipando energia dos campos eltrico e
magntico. possvel sustentar as oscilaes eletromagnticas providenciando um meio
de fornecer, periodicamente, de uma fonte externa, energia capaz de compensar a
dissipada como energia trmica. Ver estudo mais aprofundado no livro texto.
-
1
OSCILAES FORADAS E RESSONNCIA
Considere um circuito LC amortecido contendo uma resistncia R. Se o amortecimento
pequeno, o circuito oscila com uma frequncia = (LC)1/2
, que chamada de frequncia
natural do sistema.
Suponha agora que uma fem ( ) varivel no tempo aplicada ao circuito dada por
''cosm t atravs da utilizao de um gerador externo. Nesta equao, a frequncia
da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilaes foradas.
Qualquer que seja a frequncia natural do circuito, as oscilaes da carga, corrente ou da
diferena de potencial no circuito ocorrero com a frequncia da fonte externa.
A corrente no circuito ser dada pela expresso
''smi i en t
Onde im a amplitude da corrente. O valor de im ser mximo quando a frequncia da fonte
externa for igual frequncia natural do circuito, isto , quando:
'' 1
LC
Que chamamos de condio de ressonncia. Uma aplicao prtica da ressonncia ocorre
quando sintonizamos uma estao de rdio. Quando giramos o boto de sintonia, estamos
ajustando a frequncia natural de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual
frequncia do sinal transmitido pela antena da estao que queremos sintonizar; estamos
procurando por uma ressonncia.
EXERCCIOS
71. Qual a capacitncia de um circuito LC, sabendo-se a carga mxima do capacitor
1,6 C e a energia total 140 J ? R : 9,14x10 9 F
72. Um capacitor de 1,5 F carregado a 57 V. A bateria que o carrega , ento, retirada,
e uma bobina de 12 mH ligada aos terminais do capacitor , de modo que ocorram
-
2
oscilaes LC . Qual a corrente mxima na bobina? Suponha que o circuito no
contenha nenhuma resistncia. R : 640 mA
73. Num circuito LC, um indutor de 1,5 mH armazena uma energia mxima de 17 J .
Qual o pico (valor mximo) da corrente eltrica ? R :150 mA
74. Em um circuito LC oscilatrio com 50L mH e 4C F , a corrente inicialmente
mxima. Quanto tempo se passar antes que o capacitor esteja completamente
carregado pela primeira vez? R: 7,02x10-4 s
75. Em um circuito LC oscilatrio no qual 4,00C F , a diferena de potencial mxima
entre os terminais do capacitor durante as oscilaes de 1,50 V e a corrente mxima
que atravessa o indutor igual a 50,0 mA. (a) Qual a indutncia L? (b) Qual a
freqncia das oscilaes? (c) Quanto tempo necessrio para que a carga no
capacitor cresa de zero at o seu valor mximo? R: a) 3,6x10-3 H; b) 1326,97 Hz; c)
1,88x10-4s
76. Em um circuito LC oscilatrio, 75% da energia total esto armazenados no campo
magntico do indutor em um determinado instante. (a) Em termos da carga mxima no
capacitor, qual a carga no capacitor nesse instante? (b) Em termos da corrente mxima
no indutor, qual a corrente que passa por ele nesse instante? R: a) 50%; b) 87%
Correntes alternadas
A maioria das casas so providas de fiao eltrica que conduz corrente alternada (ca) , isto ,
corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com
velocidade angular constante, em um campo magntico, pode dar origem a uma fem alternada
senoidalmente. Este dispositivo simples o prottipo do gerador de corrente alternada
comercial, ou alternador.
A corrente eltrica distribuda para utilizao industrial e residencial corrente alternada
(AC, do ingls Alternating Current), tipicamente de frequncia f = 60 Hz. A principal
vantagem da corrente alternada que sua voltagem pode ser facilmente aumentada ou
reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia eltrica em linhas de alta
-
3
voltagem, convertendo-a no valor caseiro (110220 V) ao chegar a seu destino. A vantagem
da transmisso de potncia em alta voltagem que a corrente i associada baixa, reduzindo a
perda por efeito Joule nos fios de transmisso (i2R).
Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que
mantm entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por:
v Vsen t
onde:
v a ddp instantnea
V a ddp mxima ou amplitude de voltagem
a freqncia angular.
Observao:
As letras minsculas, como a letra v, representam valores instantneos de grandezas
variveis no tempo e as letras maisculas, como V, representam as amplitudes
correspondentes.
O smbolo de uma fonte de corrente alternada :
Diagrama de fasores
Como as curvas senoidais no so fceis de desenhar, faz-se uso frequente dos
diagramas vetoriais, nos quais o valor instantneo de uma grandeza representado pela
projeo, em um eixo vertical, de um vetor cujo comprimento corresponde amplitude da
grandeza, girando com velocidade angular no sentido anti-horrio . Para os circuitos de
corrente alternada, estes vetores so chamados fasores e os diagramas que os contm,
diagramas de fasores.
Vamos estudar um sistema formado por uma fonte externa de fora eletromotriz
alternada e um circuito RLC srie. Mas inicialmente vamos estudar trs circuitos mais
simples, constitudos por uma fonte externa e um dos elementos R, L e C.
-
4
CIRCUITO RESISTIVO ( R )
Na figura abaixo est representado um circuito contendo um resistor R e um gerador
de CA com a fem alternada dada por:
R Rv V sen t
R
A corrente instantnea no resistor dada por: ( ) R Rv V
sen tR R R
i
A corrente mxima (amplitude da corrente) : RR
VI
R
R Ri I sen t
Observao:
A relao entre as amplitudes de voltagem e corrente (VR = IR R) se aplica a um resistor
distinto em qualquer circuito de corrente alternada, no importando quo complexo seja.
Tanto a voltagem como a corrente varia com sen t , de modo que a corrente est em
fase com a voltagem, o que significa que os seus mximos (e mnimos) correspondentes
ocorrem ao mesmo instante e os fasores de corrente e de voltagem giram juntos, como est
representado nas figuras abaixo.
Na figura abaixo esto representados o grfico (iR e vR) com t e o diagrama de
fasores.
vR
vR . iR
iR
2
0 wt
IR
VR
vR
iR
t
-
5
CIRCUITO CAPACITIVO (C)
Suponha, agora, que um capacitor de capacitncia C esteja ligado entre os terminais da
fonte de fem alternada, como est representado na figura abaixo:
A carga instantnea no capacitor dada por: C C Cq Cv CV sen t
Como, c
dqci
dt cosC Ci CV t
Temos que: cos ( 90 )t sen t
Definindo uma quantidade XC, chamada reatncia capacitiva do capacitor, como:
1 1C
C
X CC X
Podemos escrever a equao da corrente
( / ) ( 90 ) ( 90 )C C C C Ci V X sen t i I sen t
Onde, a relao entre as amplitudes de voltagem e corrente C C CV I X se aplica a um
capacitor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, no importando quo complexo
seja.
Observao:
A unidade de reatncia capacitiva XC, no SI, o ohm, mesma unidade de resistncia
eltrica.
Para este circuito a corrente e a voltagem no esto em fase, elas esto defasadas em
90. Como a corrente est adiantada em relao voltagem, os picos de corrente ocorrem um
quarto de ciclo antes dos picos de voltagem. No diagrama de fasores o vetor corrente est
-
6
adiantado do vetor voltagem por um quarto de ciclo ou 90, como est representado nas
figuras seguintes:
Na figura abaixo esto representados o grfico (iC e vC) com t e o diagrama de
fasores.
CIRCUITO INDUTIVO ( L )
No circuito indutivo, vamos supor que um indutor de resistncia nula e indutncia L,
seja ligado a uma fonte de fem alternada, como est representado na figura abaixo:
Da definio de indutncia, temos que:
( / )
( / )cos
L L L
L L
di di div L v sen t L v L sen t
dt dt dt
i v L t
Usando, cos ( 90 )t sen t e definindo que LL X , onde XL a reatncia
indutiva do indutor temos que:
( / ) ( 90 ) ( 90 )L L L L Li v X sen t i I sen t
-
7
Onde, a relao entre as amplitudes de voltagem e corrente L L LV I X se aplica a um
indutor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, no importando quo
complexo seja.
Observao:
A unidade de reatncia indutiva XL, no SI, o ohm, mesma unidade de resistncia.
Para este circuito a corrente e a voltagem no esto em fase, elas esto defasadas em 90o. A
corrente est atrasada em relao voltagem. Esta relao pode ser verificada nas figuras a
seguir:
Na figura abaixo esto representados o grfico (iL e vL) com t e o diagrama de
fasores.
EXERCCIOS
77. Num circuito capacitivo, onde C = 15 F , f = 60 Hz e VC = 36 V , determine:
a ) A frequncia angular .
b ) A reatncia capacitiva .
c ) A amplitude de corrente IC , neste circuito .
R : a ) 376,8 rad/s ; b ) 176,93 ; c ) 203 mA
-
8
78. Num circuito Indutivo, onde L = 230 mH , f = 60 Hz e VL = 36 V , determine:
a ) A frequncia angular .
b ) A reatncia indutiva .
c ) A amplitude de corrente IL , neste circuito .
R : a ) 376,8 rad /s ; b ) 86,7 ; c ) 415 mA
79. Num circuito E C, um capacitor de 1,5 F est ligado a um gerador de corrente
alternada com m
E = 30 V. Qual ser a amplitude da corrente alternada resultante se a
frequncia da fem for ( a ) 1 kHz e ( b ) 8 kHz . R: a) 283 mA ; b) 2,261 A
80. Num circuito E L, um indutor de 50 mH est ligado a um gerador de corrente
alternada com m
E = 30 V . Qual ser a amplitude da corrente alternada resultante se a
frequncia da fem for (a) 1 kHz e ( b ) 8 kHz . R: a) 95 mA ; b) 12 mA.
81. Num circuito E R, um resistor de 50 est ligado a um gerador de corrente alternada
com m
E = 30 V . Qual ser a amplitude da corrente alternada resultante se a
frequncia da fem for (a) 1 kHz e (b) 8 kHz . R : a ) 0,6 A ; b ) 0,6 A
82. Um indutor de 45 mH tem uma reatncia de 1,3 k. (a) Qual a sua frequncia de
operao. (b) Qual a capacitncia de um capacitor com a mesma reatncia nesta
frequncia? (c) Dobrando-se o valor desta frequncia quais sero os novos valores das
reatncias do indutor e do capacitor? R : a ) 4,6 kHz ; b ) 2,66x10 8
F ; c ) XL = 2,6
k e XC = 0,65 k
83. Um gerador de CA tem uma fem ( / 4)sen td
E = E m , onde E m =30,0 V e d =350
rad/s. A corrente produzida em um circuito ligado a este gerador
( ) ( 3 / 4)i t Isen td
, I = 620mA. (a) Em que instante t aps t = 0 a fem do gerador
alcana pela primeira vez um mximo? (b) Em que instante t aps t = 0 a corrente
alcana pela primeira vez um mximo? (c) O circuito contm um nico elemento alm
do gerador. Este elemento um capacitor, um indutor ou uma resistncia? Justifique a
sua resposta. (d) Qual o valor da capacitncia, da indutncia ou da resistncia,
conforme for o caso? R: a)6,73x10-3 s; b) 11mA; c) indutor; d) 0,138H
-
9
84. Um gerador de CA tem uma fem sen td
E = E m , com E m 25,0 V e d =377 rad/s.
Ele est ligado a um indutor de 12,7 H. (a) Qual o valor mximo da corrente? (b) Qual
a fem do gerador quando a corrente mxima? (c) Qual a corrente quando a fem do
gerador de -12,5 V e est aumentando em mdulo? R: a) 5,22x10-3A; b)0; c) -4,52
mA
85. O gerador de CA do problema 28 est ligado a um capacitor de 4,15 F. (a) Qual o
valor mximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corrente mxima? (c)
Qual a corrente quando a fem do gerador igual a -12,5V e est aumentando em
mdulo? R: a) 39 mA; b)0; c) 34mA
O circuito RLC
Em muitas situaes, os circuitos de corrente alternada incluem resistncia, reatncia
indutiva e reatncia capacitiva. Na figura abaixo est representado um circuito LCR em srie
com um gerador de fem alternada.
Quando aplicamos uma fem alternada ( sen t ) no circuito RLC acima, uma
corrente alternada dada por ( )i Isen t estabelecida no circuito. Nossa tarefa
determinar a amplitude de corrente I e a constante de fase .
A anlise desse circuito facilitada pelo uso do diagrama de fasores, que inclui os
vetores voltagem e corrente para os vrios componentes.
Como a corrente tem um mesmo valor em todos os pontos do circuito, um nico fasor
I, suficiente para representar a corrente no circuito.
Aplicando a lei das malha no circuito acima, temos que: v v vR LC E (soma
algbrica)
-
10
Os diagramas de fasores para I , VR , VC , VL e E m , est representado nas figuras
abaixo
O fasor mE igual soma (vetorial) dos fasores VR, VC e VL, dada por:
2 2 2 2 2 2
2 2 1/ 2
( ) ( ) ( )
[ ( ) ]
m R L C m L C
M
L C
V V V IR IX IX
IR X X
E E
E
onde: 1/ 2
2 2( )L CR X X Z , chamado de impedncia do circuito .
mIZ
Devemos observar que a unidade de impedncia a mesma de resistncia (ohm).
Para determinar a constante de fase, temos que:
tan L
R
V Vc
V
tan LX Xc
R
Dependendo da relao entre as reatncias indutiva XL e capacitiva XC, o circuito ser
mais indutivo (o fasor I gira atrs do fasor mE ) ou mais capacitivo (o fasor I gira frente do
fasor mE ).
Observao
-
11
Nos circuitos estudados, foi considerado o estado estacionrio, isto , a condio que
prevalece depois que o circuito foi ligado fonte por algum tempo, logo que a fonte ligada,
podem existir breves correntes e voltagens adicionais chamadas transientes.
Ressonncia
As reatncias indutivas XL e capacitiva XC dependem da frequncia da fem aplicada ao
circuito RLC, consequentemente a impedncia Z e a amplitude de corrente I tambm
dependem desta frequncia. Teremos uma impedncia mnima e uma amplitude de corrente
mxima quando 1 1
0L C L CX X X X LC LC
.
Esta frequncia angular a frequncia natural ou de ressonncia do circuito.
Portanto a impedncia tem o menor valor possvel, e a amplitude de corrente o maior valor
possvel, quando a frequncia da fem do gerador for igual frequncia natural do circuito.
Nesta frequncia, se diz que o circuito est em ressonncia com o gerador.
EXERCCIOS
86. Num circuito RLC, considere R = 160 , C = 15 F , L = 230 mH , f = 60 Hz e m =
36V.
R: a) 183,7 . b) 196 mA c) 29,4
a) Determine a impedncia do circuito.
b) Determine a amplitude de corrente I.
c) Determine a constante de fase .
87. Determine Z, e I para a situao do exerccio 30 com o capacitor removido do
circuito e todos os demais parmetros permanecendo inalterados. R: 182; 28,4;
198mA
88. Determine Z, e I para a situao do exerccio 30 com o indutor removido do circuito
e todos os demais parmetros permanecendo inalterados. R: 238; -48; 151mA
-
12
89. Determine Z, e I para a situao do exerccio 30 com C = 70 F e os demais
parmetros permanecendo inalterados. R: 167,3; 16,9 ; 215mA
90. Em um circuito RLC, a amplitude da tenso entre os terminais de um indutor pode ser
maior do que a amplitude do gerador de fem? Considere um circuito RLC com
10,mE R = 10, L = 1,0H e C = 1,0F. Determine a amplitude da tenso entre os
terminais do indutor na ressonncia. R: 1000 V
91. Uma bobina com um resistncia desconhecida e uma indutncia de 88mH est ligada
em srie a um capacitor de 0,94 F e a uma fem alternada com freqncia de 930 Hz.
Se a constante de fase entre a tenso aplicada e a corrente for de 75, qual a resistncia
da bobina? R: 89
Potncia em circuitos de corrente alternada
Em um circuito RLC em srie, a potncia mdia (Pmed) do gerador igual taxa de
produo de energia trmica no resistor, e dada por:
2 cosmed rms rms rmsP I R I E
Na equao acima as grandezas com o ndice rms, se refere ao valor mdio quadrtico
ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores mximos de cada grandeza
esto relacionados por:
1,
2 2 2
mrms rms rms
VI V e
EE
O termo cos chamado de fator de potncia do circuito, para maximizar a taxa com
que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a constante de fase
o mais prximo possvel de zero. Para uma resistncia pura, 0 , cos 1 e
med rms rmsP IE . Para um capacitor ou indutor, 90 , cos 0 e 0medP .
Observao:
-
13
Os instrumentos de medio de corrente alternada, como por exemplo, o ampermetro
e voltmetro, normalmente so calibrados para mostrarem os valores eficazes Irms , Vrms , rmsE
e no os seus valores mximos.
EXERCCIOS
92. Que corrente contnua produzir a mesma quantidade de energia trmica, em um
resistor particular, que produzida por uma corrente alternada que possui um valor
mximo de 2,60 A? R: 1,84 A
93. Qual o valor mximo de uma tenso de CA cujo valor eficaz igual a 100V? R: 141V
94. Um aparelho de ar condicionado ligado a uma linha de CA de 120V, valor eficaz,
equivale a uma resistncia de 12,0 e a uma reatncia indutiva de 1,30 em srie. (a)
Calcule a impedncia do ar condicionado.(b) Determine a taxa mdia com que se
fornece energia ao aparelho. R: a) 12,1; b) 1186W
TRANSFORMADORES
Por razes de eficincia, desejvel transmitir potncia eltrica a altas voltagens e
baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmisso. Uma das
caractersticas mais teis dos circuitos de correntes alternadas a facilidade e a eficincia com
a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para outro, por meio de
transformadores.
Em princpio, o transformador consiste em duas bobinas isoladas eletricamente uma da
outra e enroladas no mesmo ncleo de ferro. Uma corrente alternada em um enrolamento cria
um fluxo alternado no ncleo e o campo eltrico induzido devido a esta variao do fluxo
induz uma fem no outro enrolamento. O enrolamento para o qual se fornece a potncia
chamado de primrio e aquele do qual se retira a potncia chamado de secundrio, sendo
que, a potncia de sada de um transformador sempre menor que a potncia de entrada,
devido s perdas inevitveis.
-
14
Para um transformador suposto ideal (so desprezadas as perdas de energia) a relao
entre a voltagem no primrio VP e no secundrio VS dada por:
P P
S S
V N
V N
Onde, NP e NS, so, respectivamente, o nmero de voltas na bobina primria e
secundria.
Se NS > NP, dizemos que o transformador um transformador elevador porque ele
eleva a tenso do primrio VP para uma tenso mais alta VS. Analogamente, se NS < NP, o
dispositivo um transformador abaixador.
Para obtermos a relao entre as correntes na bobina primria e secundria de um
transformador ideal, podemos aplicar o princpio da conservao de energia. A taxa com que
o gerador transfere energia para o primrio igual taxa com que o primrio transfere ento
energia para o secundrio, ou seja: ISVS=IPVP.
EXERCCIOS
95. Um gerador fornece 100V bobina primria de um transformador de 50 voltas. Se a
bobina secundria tiver 500 voltas, qual ser a tenso no secundrio? R:1000V
96. Um transformador possui 500 voltas no primrio e 10 voltas no secundrio. (a) Se VP
for igual a 120V(eficaz), qual ser Vs, com um circuito aberto? (b) Se o secundrio
tiver agora uma carga resistiva de 15, quais sero as correntes no primrio e no
secundrio? R:a) 2,4V; b) 3,2mA; c) 0,16A
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Propriedades magnticas da matria
Discutimos os campos magnticos criados por corrente em condutores, quando os
condutores esto no ar (ou vcuo).
Quando mergulharmos o condutor em um meio material, o valor do campo magntico
em torno do condutor diferente daquele que existiria se o condutor estivesse situado no ar.
Para estudar as modificaes no campo magntico, provocadas pela presena de um meio
material, vamos usar o conceito de im elementar.
No interior de qualquer substncia, existem correntes eltricas eleme