eletrom 9b

Universidade Federal do Recncavo da Bahia Centro de Cincias Exatas e Tecnolgicas Bacharelado em Cincias Exatas e Tecnolgicas CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva

CAPTULO 9

FORA MAGNTICA, MATERIAIS E INDUTNCIA

ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993

CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA

9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE

9.8 CIRCUITO MAGNTICO

9.9 FORA E ENRGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS

9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA

9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO

CONTEDO da PARTE II



9.9 FORA E ENERGIA POTENCIAL EM MATERIAIS AMGNTICOS




DESENVOLVIMENTO da PARTE II

Como dipolos magnticos agem como fontes de

campos magnticos? A resposta anloga a lei

circuital de Ampre com H substitudo por M



Momento do dipolo magntico

Im = corrente Orbital e do SPIN do eltron e do SPIN nuclear

dS = rea diferencial

Para n dipolos magnticos por volume de dipolos

magnticos



O momento de dipolos magnticos pelo volume

m=IdS

Im

dS q

Considerando o alinhamento dos dipolos com o

percurso fechado



Superfcie definida pelo percurso Fechado

m

Im

m

Im

O volume por unidade de dipolo dv = dS.dL = dS cosq dL



O volume total dV = n dv = n dS.dL

m

Im

A corrente dIm cresce para cada dV



Isto anlogo a lei circuital de Ampre, e diz que

caminhando ao longo do percurso fechado

encontramos o momento do dipolo

A lei circuital de Ampre em termos de corrente total IT



onde

IT

I = corrente livre total envolvida pelo circuito

Im = corrente orbital

Combinando as ltimas equaes a corrente livre torna



B = moH ento podemos escrever



ento podemos ter a nova equao de H

Obtendo a lei circuital de Ampre em termos de corrente

livre, para as diversas densidades de corretes



Com a ajuda do teorema de Stokes e de Im, IT e I temos



Para um meio Isotrpico, a relao entre M e H pode

ser dada pela susceptibilidade



Onde mR a permeabilidade magntica relativa



A permeabilidade relativa em termo da susceptibilidade

dada por



Aplicao: Dado uma ferrite com mR = 50 que

experimenta um campo com induo B = 0,05 Wb/m2:

Determine a susceptncia, a intensidade de campo

H, e a magnetizao M.

A susceptncia dada por



cm

B

H

e

e se

A magnetizao M= H



cm

0,05

B =

ou

A magnetizao M= 39004 A/m

A intensidade de campo magntico produzido

pelas correntes de magnetizao 49 vezes maior

que as produzidas pelas correntes livres



0,05

B =

ou

As frmulas a seguir, de tensor magntico,

definem o material anisotrpico (que sofrem

magnetostrio - dimenses alteradas pelo campo)



9.7 CONDIES DE CONTORNO P/ CAMPO MAGNTICO


Seja a figura a seguir, que mostra a fronteira de

dois materiais lineares, homogneo e

isotrpicos magnticos diferentes m1 e m2. As

condies de contorno so obtidas tomando

uma superfcie cilndrica de contorno corte.



Bn1 m1

m2

Bn2

an12 Area DS

Ht2

DL

Ht1 K

A relao entre as componentes normais de M fixada

desde que B e H sejam conhecidos, ento.



Da lei circuital de Ampre

Ht1

A um pequeno circuito fechado pertencente ao

plano normal superfcie, obtemos



(H1

A componente de corrente superficial normal ao plano

Identificando as componentes tangenciais de corrente

AN12 o vetor unitrio normal na fronteira 1 p/ 2



Para B tangencial tem-se

A condio de contorno para a componente tangencial

do vetor de magnetizao

Se o material for no condutor, a densidade de corrente

nula, o que simplifica as 3 ltimas equaes

Resolver circuitos magnticos anlogo a resoluo de

circuitos eltricos, ressalvando a natureza no linear das

partes ferromagnticas dos circuitos ferromagnticos,

aplicados em transformadores



Para o estudo de circuitos magnticos, comecemos

pelas equaes de campos eltricos

O potencial escalar magntico Vm, tambm conhecido

como fora magnetomotriz ou fmm em analogia a fem ou V



A ddp entre 2 pontos de um circuito dada por

O anlogo entre a fmm e o campo magnetosttico

A lei de Ohm para o circuito eltrico dada pela relao



No circuito magntico temos seu anlogo, a densidade

de fluxo magntico

A corrente total de um circuito eltrico dada por



Da mesma forma o fluxo magntico atravs da

seo do circuito magntico dado por

Como a resistncia a relao entre tenso e corrente



A relutncia magntica a relao entre fora

magnetomotriz e o fluxo magntico

Vm = F R

Como a resistncia eltrica, proporcional ao

comprimento e inversamente proporcional a seo.



A relutncia magntica de materiais homogneos,

lineares e isotrpicos, como o ar, proporcional ao

comprimento e inversamente proporcional a seo.



No circuito eltrico, a lei de kirchhoff fornece a tenso

resultante pela integral de E no circuito fechado

Analogamente, no circuito magntico temos a lei de

circuital de Ampre oferecendo a corrente total, o que

determina a fmm no circuito fechado de N espiras.

N

I

Aplicao: Seja um toride de ar de 500

[espiras], com seo reta de S = 6 [cm2],

um raio mdio de R =15[cm], submetido a

uma corrente de I = 4[A]. O campo

magntico est confinado no seu

Interior.



S

N

I

R

Pede-se: A) a fmm ouF ,

B) a relutncia se m = 4p10-7

C) o fluxo magntico F

D) a induo magntica B

E) a intensidade de campo H,

usando B e depois pela lei circuital de

Ampre





A) a fmm de Vm=F = NI = 2000[A-espiras]

B)

C)

D) B

Ea) H





Eb) Hf

Hf

Quando aplicamos uma fmm , a densidade fluxo cresce,

mas no linearmente prximo da origem, e satura quando

H atinge centenas de [Ae/m]



1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0 100 300 500 700 900

H[Ae/m]

B[W

b/m

2]

Outro problema relacionado a isto, e a curva BxH,

quando aplicamos uma tenso alternada na espira,

gerando a chamada curva

de histerese, que indica

uma rea de perda,

devido a resistncia

dos gro do metal

em seguir o sinal



H[Ae/m]

B[Wb/m2]

BX

Br

-BX = B de saturao

-Br = B residual

HX Hc

-HX -Hc

X fora

coercitiva

Aplicao da curva da

magnetizao: Considere o

toride da aplicao anterior,

constitudo de ao silcio, agora

com uma abertura chamada

entreferro de 2 [mm]. Qual deve

ser a corrente eltrica no

enrolamento de 500 [espiras] para

estabelecer uma densidade de

fluxo de 1 [Wb/m2],



S

N

I

R

g= 2[mm]



Este fluxo o mesmo no ar (entreferro) e no ao

Usando o ltimo grfico, encontramos o campo

magntico de 200 A/m necessria para obter 1 Wb/m2



1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0 100 200 300 500 700 900

H[Ae/m]

B[W

b/m

2]

Usando o ltimo grfico, encontramos o campo

magntico de 200 A/m necessria para obter 1 Wb/m2



I = 3,56 [A]

A fmm total 1778 [Ae]

H = NI => I = = N 500

H 1778

= 1590 + 188 [A]

Espalhamento do fluxo nas bordas

Fluxos de disperso

Fluxo prprio



I

mao 200

mar 800.000

= = 4000

sao

sr

=

1015

N

Aplicao inversa: Seja o circuito anterior com uma

espira com 4[A], no circuito magntico: Determine a

densidade de fluxo.



Linearizando a curva de magnetizao, considerando

que a mesma passa por (0,0) e por (B=1, H=200),

portanto B = H /200 no ao e B = m0 H no ar

Considerando as relutncias no entreferro e no ao

calculadas, e para Vm = 2000 [Ae], o F = 6,76x10-4 [Wb] e

B = 1,13 Wb/m2.



S=8[Cm2]

S=4[Cm2]

L2=15[Cm]

g=5[Cm]

L1=12[Cm]

L2=15[Cm]

Ao Silcio



9.9 FORA E ENERGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS





A energia encontrada para o campo eletrosttico a partir

do trabalho dado por:


9.9 FORA E ENERGIA POT. EM MAT. MAGNTICOS

O que no trivial para o campo magntico:



Mas usando o potencial escalar magntico, podemos

desenvolver uma expresso semelhante:

Sem mais demonstraes: a partir do teorema de

Poyting

Outra forma importante de se trabalhar em circuitos

magnticos, a densidade de energia por unidade de

volume



F



Fluxos de disperso

Fluxo prprio

I

N

l=NF

Indutncia L ou Indutncia prpria a razo entre os

enlaces de fluxo magntico l=NF e a corrente I que eles

enlaam.

Indutncia L ou Indutncia prpria a razo entre

os enlaces de fluxo magntico l=NF e a corrente I

que eles enlaam.



N e quantidade de espiras na bobina.

F o fluxo de cada espira

l o fluxo concatenado ou total da bobina

wb

A

ou [Henry]

l I

L =

Considerando materiais lineares, calculemos o fluxo

por unidade de comprimento de um cabo coaxial de

raio interno a e raio externo b



Com isto temos a indutncia do cabo coaxial para 1 espira



No problema do toride de N espiras e corrente I



BF

F

Se a seo reta for muito menor que o raio do toride

Assim fazendo Nf e dividindo por I encontramos L

O Enlace total de todas espiras obtemos



(NF)total

(NF)total

Obtendo a indutncia usando o conceito de energia



Convertendo a energia em termos de campo magntico



Substituindo B por (xA)

A Identidade vetorial que segue



Pode ser provada por expanso em coordenadas

cartesianas, chegando indutncia

Aplicando o Teorema da divergncia 1 integral



A 1 parte 0 porque a superfcie contem a energia

do campo magntico, ento A e H anulam no limite

L

Esta equao expressa a indutncia em cada

ponto.

Como J s existe dentro do condutor, a integral

nula pro fora. A nasce de J ignorando outras

contribuies referentes a indutncias Mtuas



A devido a J, por definio



A

A indutncia, expressa como integral dupla

do volume

Filamentos de pequena seo reta, Jdv pode ser

substitudo por IdL, assim



Vemos que L depende da geometria e material

Nas condies citadas, podemos chegar a forma

original da indutncia



Como em filamentos de pequena seo reta, Jdv

pode ser substitudo por IdL, assim

Aplicando o teorema

de Stokes a um

pequeno dL, tomado

ao longo do

filamento temos:



ou

onde F a poro do fluxo total que

atravessa cada superfcie genrica cujo

permetro o percurso do filamento



Considerado agora um indutor filamentar enrolado de N

espiras por onde a corrente circula, a indutncia

resultante

F I

L =



No interior de um condutor tambm temos campo

magntico, logo sua seo circular tem uma indutncia

interna

M H 8p m

Li =

A indutncia concentra-se na superfcie do condutor

em altas freqncias,podendo ser considerada externa



Outro componente de indutncia a ser considerado a

indutncia Mtua de um condutor 1 num segundo 2.

F12 o fluxo produzido pela corrente I1 do condutor 1

que envolve o caminho da corrente I2 do condutor 2

A indutncia que surge com a interao de dois

filamentos pode ser representada por





Aplicao: Calcule a indutncia prpria e mtua de dois

solenides coaxiais de raios R1< R2, onde fluem as

correntes I1 e I2, com n1 e n2 [espiras/m]

H1

H1

Fazendo

n1 = N/L

Para um campo uniforme temos



F

M

De forma anloga



Enquanto as indutncias prprias so



wb

A

ou [Henry]

mN2S

I

L =




9.9 FORA E ENERGIA POTENCIAL EM MATERIAIS AMGNTICOS



Concluses

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