eletromagnetismo aplicado 6 reflexão e transmissão de ondas em interfaces dielétricas planas

54
Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre ENGC34 ELETROMAGNETISMO APLICADO

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Eletromagnetismo Aplicado 6 Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

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Page 1: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO

Page 2: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Reflexão e Transmissão de Ondas em

Interfaces Dielétricas Planas

Qualquer componente prático, seja um modulador, um guia de ondas, um acoplador

direcional, etc. Deve ter dimensões finitas

Em termos das propriedades eletromagnéticas, pode ser descrito como variações nas

constantes dielétricas ou do índice de refração em função das coordenadas espaciais.

Para entender como um dispositivo opera, devemos entender como a variação

espacial nas constantes dielétricas modificam as propriedades da radiação

propagando-se dentro do dispositivo.

A forma mais simples pode ser a descontinuidade entre dois meios com diferentes

propriedades dielétricas.

Page 3: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

As condições de contorno nas interfaces mostradas nas figura 1. são obtidas

diretamente das equações de Maxwell.

Condições de Contorno nas Interfaces

meio 1

meio 2l

h

. .

. .

c s

c s

E dl B dst

H dl D dst

tan tan1 2

tan tan1 2

0

0

E l E l

H l H l

As componentes tangencias dos campos elétricos e magnéticos devem ser iguais na

interface entre dois meios.

Figura 1. Geometria para obter as condições de contorno

Page 4: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Figura 1. Onda plana incidindo desde a região 1 para a região 2

Reflexão e Transmissão de Ondas

Planas em Interfaces Dielétricas

z

y

xik

rk

tk

Região 2

Região 1

1 1,

2 2,

Page 5: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Isto implica que,

rk tkik

.

.

.

i

r

t

j k r

i i

j k r

r r

j k r

t t

E r Ae

E r A e

E r A e

Os vetores de onda são:

tan tan

0 , , 0 , , 0 , ,i r tE y z E y z E y z

tan tan

iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk z

i r tAe e A e e Ae e

Condições de continuidade requerem que os campos elétricos e magnéticos sejam

contínuos através da fronteira x = 0

Page 6: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

tan tan

iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk z

i r tAe e A e e Ae e

Esta equação tem que ser satisfeita em todos os pontos sobre a interface, ou seja para

todos os valores de y e z. Observe que a especificação de um ponto (y,z) resulta numa

equação com as variáveis desconhecidas Ar, At, kry, krz, kty e ktz

Especificando suficientes pontos para ter mais equações do que variáveis, resulta num

sistema inconsistente.

A única solução não trivial requer que as componentes tangenciais dos vetores de onda

sejam iguais:

iy ry ty y

iz rz tz z

k k k k

k k k k

Estas relações são conhecidas como requerimentos de casamento de fase. Isto significa

que os vetores de onda das ondas incidente, refletida e transmitida estão no mesmo

plano.

Sem perda de generalidade, podemos girar o sistema de coordenadas para que todos os

três vetores de onda estejam no plano xz como mostrado na figura 3.

O plano xz é chamado de plano de incidência e não deve ser confundido com o plano

yz que é o plano de interface e separa as regiões 1 e 2.

Page 7: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Figura 3. Orientação relativa entre os vetores de onda incidente,

refletido e transmitido.

zy

xik

rk

tk

Região 2

Região 1

1 1,

2 2,

i r

t

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

i ix iz

r rx rz

t tx tz

k xk zk

k xk zk

k xk zk

Page 8: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

i ix iz

r rx rz

t tx tz

k xk zk

k xk zk

k xk zk

1

1

2

cos

cos

cos

ix i

rx r

tx t

k k

k k

k k

1

1

2

sen

sen

sen

iz i

rz r

tz t

k k

k k

k k

1 1 1k 2 2 2k

Onde:

r tiDesta forma as componentes podem ser escritas em função dos ângulos incidente,

refletido e transmitido:

zy

xik

rk

tk

Região 2

Região 1

1 1,

2 2,

i r

t

Page 9: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

É importante observar que as componentes x do vetor de onda das ondas incidente e

transmitidasão negativos pois, como mostrado na figura 3, as ondas viajam na direção

x negativa.

Para que as componentes tangenciais ou as componentes z dos vetores de onda sejam

iguais, tem-se:

sen sen i r 1 2sen sen i tk k

Isto significa que o ângulo da onda incidente deve ser igual ao ângulo da onda

refletida e o ângula da onda transmitida pode ser obtido como:

2 2 2

1 1 1

sen

sen

i

t

k

k

No caso específico de materiais não magnéticos, esta relação é conhecida como a Lei

de Snell.

0 22 2 2

1 0 1 1 1

sen

sen

i

t

k n

k n

1 2sen sen i tn n

Page 10: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Exemplo:

Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e

= 20.. O vetor de onda incidente é

(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.

(b) Qual é o vetor de onda transmitido?

Solução:

ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z

Page 11: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Exemplo:

Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e

= 20.. O vetor de onda incidente é

(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.

(b) Qual é o vetor de onda transmitido?

Solução: (a)

ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z

ˆ ˆˆ ˆ2 /3 4 /3 . 2 /3 4 /3j x z xx zz j x j ze e e

(b) A componente em z do vetor de onda transmitido é conhecido pois

2 2

1 0 0

22

2 0 0

2 22 2

2

2 / 3 4 / 3 2 / 3 5

4 / 3 2 2 / 3 10

2 / 3 10 4 / 3 2 / 3 6

tx

tx tz

k

k k

k k k

4 / 3iz tzk k

ˆ ˆ2 / 3 6 4 / 3tk x z

Page 12: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

n

Plano de incidência: plano formado pelos vetores n e k.

Incidência Oblíqua

Page 13: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Transversal Elétrico(TE)

Senkrecht Polarized(s)

Transversal Magnético(TM)

Plane Polarized(p)

Incidência Oblíqua: Polarização

Page 14: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Considerações

2 2 2

1 1 1x zk k k

2 2 2

2 2 2x zk k k

2 2

1 2z zk k

Neste caso, percebe-se queindependente do ângulo deincidência, a componentetangencial (z) estará nointervalo [ 0, k1 ] paraincidência normal e rasante,respectivamente.

Todos os vetores de ondaserão reais.

Então sempre haverá ondatransmitida

1 2k k

Page 15: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Considerações

1 2k k2 2 2

1 1 1x zk k k

2 2 2

2 2 2x zk k k

2 2

1 2z zk k

Neste caso, percebe-se que existiráum ângulo de incidência no qual, acomponente tangencial (z) seráigual ou maior que k2.Assim, a componente k2x seráimaginária

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

, se

,

onde

x z z

x x

x z

k k k k k

k j

k k

Quando a componente tangencial é maior do que k2, não existe onda propagante naregião 2, o que se tem é uma onda evanescente (exponencial decrescente).

Page 16: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TE

16meio 2

meio 1

z

x

x = 0

1 1,

2 2,

1 1 1k

2 2 2k

ir

t

rE

rH

rk

tE

tk

tH

iE

ik

iH

Page 17: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

17

• Campo Elétrico Tangencial na Região 1

• Campo Magnético Tangencial na Região 1

Incidência Oblíqua: Polarização TE

1 11 10 0

1 1

ˆ cosx xz zjk x jk xjk z jk zi ri r i

E EH H z e e e e

1 11 1

0 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z

i r i rE E y E e e E e e

Page 18: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

18

• Campo Elétrico Tangencial na Região 2

• Campo Magnético Tangencial na Região 2

Incidência Oblíqua: Polarização TE

2 2

0ˆ x zjk x jk z

t tE yE e e

2 20

2

ˆcos cosx zjk x jk ztt t t

EH z e e

Page 19: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

19

• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemosaplicar as condições de contorno em x = 0:

Considerando que k1z = k2z

1 2tan tan

1 2tan tan

0 0

0 0

E x E x

H x H x

Incidência Oblíqua: Polarização TE

Page 20: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

20

Coeficientes de Reflexão e Transmissão

• Definindo o coeficiente de reflexão como:

• Definindo o coeficiente de transmissão

como:

0

0

r

i

ER

E

0

0

t

i

ET

E

Page 21: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TE

0 0 0i r tE E E

0 0 0

1 1 2

cos cosi r ti t

E E E

0 0 0i i iE RE TE

0 0 0

1 1 2

cos cosi i ii t

E RE TE

Page 22: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TE

1

2

1

cos1

cos

t

i

R T

R T

0 0 0i i iE RE TE

0 0 0

1 1 2

cos cosi i ii t

E RE TE

Page 23: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TE

2 1

2 1

2

2 1

cos cos

cos cos

2 cos

cos cos

i t

i t

i

i t

R

Page 24: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TE

1

2

1

cos1

cos

t

i

R T

R T

1 1 1 21

2 2 2 2 1

1 2 2 1 2 1 1

1 2 22 1 2 1

cos coscos

cos cos cos

cos cos

coscos

t tt

i i i

t t tx

i ixi

k k

k k

Page 25: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TE

1

2

1

1 tx

ix

R T

kR T

k

1 2

1 2

1

1

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

2

1 r r tx ix

Tk k

Page 26: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

EXEMPLO

Determine o coeficiente de reflexão para uma onda plana com polarização TE incidindo com um ângulo de 30º desde uma região com μ1=μ0 e ε1= 2ε0 numa região com μ1=μ0 e ε1= ε0

Solução:

1

1

tx ix

tx ix

k kR

k k

1

2

2 2

11 2

2

2

2 1 2

2 2

2 1 2 1 2

2 1

1

2 2

2 1

cos

cos 1 sen

como, sen sen sen

1 sen

1 sen 1 sen

cos cos

sen 1 2 sen 300.577

cos cos30

ix i

tx t t

t i r r i

tx r r i

r r i r r itxr r

ix i i

r r itx

ix i

k k

k k k

k

k

k k

kk

k k

k

k

1 0,5770,268

1 0,577R

Page 27: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TM

27meio 2

meio 1

z

x

x = 0

1 1,

2 2,

1 1 1k

2 2 2k

ir

ttE

tH

rE

rH

rk

tk

iE

iH

ik

Page 28: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

28

• Campo Magnético Tangencial na Região 1

• Campo Elétrico Tangencial na Região 1

Incidência Oblíqua: Polarização TM

1 11 1

0 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z

i r i rH H y H e e H e e

1 11 1

1 0 1 0ˆcos cos cosx xz zjk x jk xjk z jk z

i i r r i r iE E z H e e H e e

Page 29: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

29

• Campo Magnético Tangencial na Região 2

• Campo Elétrico Tangencial na Região 2

Incidência Oblíqua: Polarização TM

2 2

2 0ˆcos cosx zjk x jk z

t t t tE z H e e

2 2

0ˆ x zjk x jk z

t tH yH e e

Page 30: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

30

• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemosaplicar as condições de contorno em x = 0:

Considerando que k1z = k2z

1 2tan tan

1 2tan tan

0 0

0 0

E x E x

H x H x

Incidência Oblíqua: Polarização TM

Page 31: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

31

Coeficientes de Reflexão e Transmissão

• Definindo o coeficiente de reflexão como:

• Definindo o coeficiente de transmissão

como:

0

0

r

i

HR

H

0

0

t

i

HT

H

Page 32: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TM

0 0 0i r tH H H

1 0 1 0 2 0cos cosi r i t tH H H

0 0 0i i iH RH TH

1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH

Page 33: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TM

2

1

1

cos1

cos

t

i

R T

R T

0 0 0i i iH RH TH

1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH

Page 34: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TM

1 2

1 2

1

1 2

cos cos

cos cos

2 cos

cos cos

i t

i t

i

i t

R

Page 35: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TM

2

1

1

cos1

cos

t

i

R T

R T

2 2 2 12

1 1 1 1 2

2 1 2 1 2 1 1

1 2 21 2 2 1

cos coscos

cos cos cos

cos cos

coscos

t tt

i i i

t t tx

i ixi

k k

k k

Page 36: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Oblíqua: Polarização TM

1

2

1

1 tx

ix

R T

kR T

k

1 2

1 2

1

1

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

2

1 r r tx ix

Tk k

Page 37: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

37

Coeficientes de Reflexão e Transmissão em função dos vetores de onda

• Polarização TE:

• Polarização TM:

1 2

1 2

1

1

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

2

1 r r tx ix

Tk k

1 2

1 2

1

1

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

2

1 r r tx ix

Tk k

Page 38: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Considerando meios não magnéticos temos então:

Desta forma,

Lei de Snell

Considerando o caso,

Observa-se que se existe um ângulo de incidência θi no qual θt = 90

Isto acontece quando: , nesse caso temos reflexão total.

Análise: Polarização TE ou TM

2 1 1 2

2 1 1 2

cos cos cos cos

cos cos cos cos

i t i t

t t t t

n nR

n n

0 0 0 0 0 01 2

1 0 0 1 2 0 0 21 2

1 1 e,

r rr rn n

1 2 t in n

2

1

sen i

n

n

1 2sen seni tn n

Page 39: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Considerando meios não magnéticos temos então:

Desta forma,

Considerando os dois casos,

O numerador de G será nulo se:

Isto acontece quando: , conhecido como ângulo de Brewster

Análise: Polarização TM

1 2

1 2

cos cos

cos cos

t i

t i

n nR

n n

0 0 0 0 0 01 2

1 0 0 1 2 0 0 21 2

1 1 e,

r rr rn n

1 2cos cost in n

2

1

tan i

n

n

1 2

i t

n n

1 2

i t

n n

Page 40: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Análise: Polarização TM1 2

1 2

cos cos0

cos cos

t i

t i

n nR

n n

2

1

tan i

n

n

1 2cos cos 0t in n

1 2cos cost in n 2 2 2 2

1 2cos cost in n

2 2 2 2

1 21 sen cost in n

2

2 2 2 211 22

2

1 sen 1 seni i

nn n

n

4 2

2 1 1

4 2

2 2

sen 1 1i

n n

n n

2 2 22 1 1 1

2 2 2

2 2 2

sen 1 1 1i

n n n

n n n

22 1

2

2

sen 1 1i

n

n

2

2 2

1 2

sen i

n

n n

Page 41: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

41

Coeficientes de Reflexão e Transmissão na Reflexão Total Interna

• Polarização TM:

• Polarização TE:

jR R e jT T e

12 tanTE tx

ixk

1 1

2

2 tanTM txr

r ixk

2

2 1sen

cos

i r rtx

ix ik

Page 42: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

2/1 2 / 3

2/1 2 / 3

2/1 3 / 2

2/1 3 / 2

MODOS TM; Paralelo ou p

MODOS TE; Perpendicular ou s

Page 43: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Incidência Normal

43

meio 2

meio 1

z

xPlano incidência xz

Plano interface yz1 1,

2 2,

iE

rE

iH

rH

tEtH

ik

tk

rk

1 1 1k

2 2 2k

Page 44: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

44

• Onda incidente conhecido

11 1 1 1

1

k

Incidência Normal

iEiH

ik

1

1

0

0

1

ˆ

ˆ

jk x

i i

jk xii

E yE e

EH z e

Page 45: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

45

• Onda refletida

Incidência Normal

desconhecido

rE rH

rk 1

1

0

0

1

ˆ

ˆ

jk x

r r

jk xrr

E yE e

EH z e

11 1 1 1

1

k

Page 46: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

46

• Onda transmitida

2

2

0

0

2

ˆ

ˆ

jk x

t t

jk xtt

E y E e

EH z e

desconhecido

22 2 2 2

2

k

Incidência Normal

tEtH

tk

Page 47: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

47

• Campo Elétrico Total na Região 1

• Campo Magnético Total na Região 1

Incidência Normal

1 10 0

1 1

ˆ jk x jk xi ri r

E EH H z e e

1 1

0 0ˆ jk x jk x

i r i rE E y E e E e

Page 48: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

48

• Campo Elétrico Total na Região 2

• Campo Magnético Total na Região 2

Incidência Normal

2

0ˆ jk x

t tE y E e

20

2

ˆ jk xtt

EH z e

Page 49: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

49

• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemosaplicar as condições de contorno em x = 0:

Da geometria do problema, o campo elétrico e magnéticototal nas duas regiões são tangenciais ao plano yz

1 2tan tan

1 2tan tan

0 0

0 0

E x E x

H x H x

Incidência Normal

Page 50: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

50

Incidência Normal• Das condições de contorno, obtem-se:

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEE

EEE

colocando em evidência Er0 e Et0

0

12

200

12

120

2, itir EEEE

Page 51: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

51

Coeficientes de Reflexão e Transmissão

• Definindo o coeficiente de reflexão como:

• Definindo o coeficiente de transmissão

como:

0 2 1

0 2 1

r

i

ER

E

0 2

0 2 1

2t

i

ET

E

Page 52: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

52

Coeficientes de Reflexão e Transmissão

• Observar que

• As definições dos Coeficientes de Reflexão e Transmissão se aplicam também no caso de meios com perdas.

• Em meios sem perdas, R e T são reais.

• Em meios com perdas, R e T são complexos.

1 R T

1 1, 0 2R T

1, 2R T

Page 53: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

53

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias

• O campo total no meio 1 é parcialmente umaonda propagante e parcialmente uma onda

estacionária.

• O campo total no meio 2 é apenas onda

propagante.

Page 54: Eletromagnetismo Aplicado 6    Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

54

• O campo elétrico total no meio 1 é dado por,

1 1

1 1 1

1

1 0

0

0 1

ˆ

ˆ 1

ˆ 1 2 se n

jk x jk x

i r i

jk x jk x jk x

i

jk x

i

E E E zE e Re

zE R e Re Re

zE R e j R k x

onda

propaganteonda

estacionária

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias