eletromagnetismo i

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Eletromagnetismo I2.2: Fluxo, lei de Gauss e divergência do campo elétrico
Prof. Marcos Menezes
2.2 – Fluxo, lei de Gauss e divergência do campo elétrico
2.2.1 – Fluxo e lei de Gauss
Já vimos que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é definido por uma integral de superfície:
Φ =

• Para superfícies fechadas, o vetor unitário normal deve apontar para fora em todos os pontos.
• Para superfícies abertas, o sentido de deve ser especificado.
Interpretação física (simples): O fluxo é proporcional à quantidade de linhas de campo que atravessam
Exemplo: Campo elétrico uniforme ( não depende da posição) e superfícies planas
Φ =
= ⋅
Intuitivamente, esperamos que o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada seja proporcional à quantidade total de carga no interior de :
A lei de Gauss, em sua forma integral, expressa a relação matemática entre essas duas quantidades.
Demonstração (no contexto da Eletrostática)
Vamos começar calculando o fluxo do campo produzido por uma carga puntiforme (na origem) através de uma superfície fechada de forma arbitrária (conhecida como superfície gaussiana):
Φ =
2 ⋅
Já discutimos o cálculo dessa integral no capítulo 1. Aplicando o teorema de Gauss, podemos reescrevê-la como uma integral de volume na região delimitada por :

4 3
= 4, se está de 0, se está de
Portanto:
0 , se está de
0, se está de
Note que o resultado é consistente com a nossa expectativa baseada no conceito de linhas de campo!
Finalmente, pelo princípio da superposição, o fluxo produzido por uma coleção de cargas é dado pela soma dos fluxos produzidos por cada carga. Apenas cargas no interior de contribuirão para o fluxo total, de forma que:
Φ =
0
onde é a carga total no interior de .
Esta é a lei de Gauss em forma integral e a primeira das quatro equações de Maxwell!
2.2.2 – A divergência do campo elétrico
Vamos agora obter uma forma diferencial para a lei de Gauss. Note que a carga total pode ser expressa como:
=

onde é a densidade volumétrica de carga no ponto e é a região delimitada por .
OBS: Note que é bem definida mesmo para distribuições contínuas em 1D ou 2D e para distribuições discretas. Basta utilizarmos funções delta para expressá-las apropriadamente!
Com isso, a lei de Gauss fica:


0
Como este resultado deve valer para qualquer volume , concluímos que os integrandos devem ser iguais:



0
e portanto:
⋅ =
0
Esta é a lei de Gauss em forma diferencial. Note que ela expressa diretamente o valor da divergência do campo em termos da densidade volumétrica de carga!
Cálculo alternativo
De forma alternativa, podemos calcular a divergência do campo diretamente a partir de sua expressão em termos da densidade volumétrica de carga.
Na aula passada, vimos que, pelo princípio da superposição:
onde . Note que a integral foi estendida à todo o espaço levando em conta que = 0 fora da distribuição de cargas.
Cálculo alternativo
Tomando a divergência:
Note que a derivada atua apenas sobre expressões que dependem de . Por outro lado, já vimos que:
em acordo com o cálculo anterior.
Portanto:
Exemplo: Cálculo da densidade volumétrica de carga a partir do campo elétrico
(a) Podemos calcular a partir da divergência de :
= 0 ⋅
= 5 0 2
Note que depende apenas de , como consequência da simetria esférica do problema.
(b) Solução 1: Podemos integrar diretamente para encontrar a carga:
=
()
Note que usamos mais uma vez a simetria esférica para fazer as integrações em e .
= 0
5
Solução 2: Podemos utilizar a lei de Gauss na forma integral para encontrar a carga no interior da esfera. Utilizando a superfície esférica de raio que define a sua borda, temos:
= 0
2.2.3 – Aplicações da lei de Gauss
Como vimos no curso de Física 3, a forma integral da lei de Gauss é muito útil para a obtenção de campos elétricos produzidos por distribuições de carga com alta simetria. Vamos recordar alguns exemplos.
Exemplo 1: Esfera isolante com densidade não-uniforme (simetria esférica)
OBS: 0 é uma constante positiva e é o raio da esfera.
Como depende apenas da distância até o centro, as contribuições de elementos de carga em posições opostas com relação a resultam em um campo que aponta ao longo da direção radial:
Da mesma forma, o módulo do campo deve depender apenas da distância , uma vez que podemos aplicar o mesmo raciocínio para qualquer eixo que passa pelo centro da esfera.
Com isso, podemos dizer que o campo elétrico produzido pela esfera tem a forma:
= (simetria esférica)
Escolhendo uma superfície gaussiana na forma de uma esfera de raio concêntrica à esfera carregada, podemos calcular o fluxo de através de em termos de ():
Φ =
=
= 42
onde utilizamos que () é constante sobre a superfície , de forma que pode ser retirado da integral.
Note que o vetor não é constante sobre !
Explorando agora o lado direito da lei de Gauss, vamos calcular a carga total no interior de . Para isso, devemos distinguir as regiões dentro e fora da esfera.
Substituindo na lei de Gauss, encontramos:
(i) Fora da esfera > :
=


2
Note que o campo se reduz ao de uma carga puntiforme contendo toda a carga da distribuição. Como já vimos na aula passada (exemplo da casca esférica), este comportamento é típico da simetria esférica.
Substituindo na lei de Gauss, encontramos:
(ii) Dentro da esfera ≤ :
=

4 2
Note que nesta região o módulo do campo cresce com a distância. Isto tipicamente ocorre em regiões onde há de fato carga presente. Por que?
Graficamente:
Note que o campo elétrico é contínuo na superfície ( = ), ao contrário do que vimos no exemplo da casca esférica na aula passada. Por que?
Exemplo 2: Cilindro isolante com densidade não-uniforme (simetria cilíndrica)
OBS: O raio do cilindro vale . Encontre também o campo no lado de fora do cilindro.
Empregando um raciocínio semelhante ao do exemplo anterior, vemos que o campo elétrico produzido pelo cilindro deve apontar perpendicularmente ao seu eixo e seu módulo deve depender apenas da distância até ele.
Com isso, o campo elétrico tem a forma:
= (simetria cilíndrica)
Escolhendo uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio e comprimento , incluindo suas tampas, podemos calcular o fluxo:
Φ =
⋅ +

A contribuição vinda das tampas é nula, pois o campo nelas é perpendicular à .
Com isso:
() ⋅
onde utilizamos que () é constante sobre a superfície lateral.
Explorando agora o lado direito da lei de Gauss, vamos calcular a carga total no interior de . Para isso, devemos distinguir as regiões dentro e fora do cilindro.
Substituindo na lei de Gauss, encontramos:
(i) Fora do cilindro > :
=

3 ≡
0


Como você pode verificar (ver problema 2.13), este é o mesmo campo produzido por um fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado com uma densidade linear de carga . Este é um resultado típico da simetria cilíndrica.
Substituindo na lei de Gauss, encontramos:
(ii) Dentro do cilindro < :
=

3 ≡
0


3
3 2
Novamente, obtivemos um campo cujo módulo aumenta com a distância numa região onde há cargas.
Referências básicas
Leitura adicional
• Ler sobre a simetria planar no livro-texto (exemplos 2.4 e 2.5)