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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Eletrostatica
Antonio Carlos Siqueira de Lima
Universidade Federal do Rio de JaneiroEscola Politecnica Departamento de Engenharia Eletrica
Agosto 2008
Lima, A. C. S. ELETROSTATICA
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
1 Campo EletricoCampo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
2 Potencial Eletrico
3 CondutoresImagensAlguns Exemplos
4 CapacitanciaCapacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos
Lima, A. C. S. ELETROSTATICA
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Lei de Coulomb
Qual a forca que atua sobre uma carga Q devido a uma cargapontual q estacionaria a uma distancia r , supondo que o meioque envolve ambas as cargas e o vacuo
F =1
4πε0
q Qr2 r (1)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Campo Eletrico
Se tivermos diversas cargas qi , a distancias ri , (i,1, · · · n) de umacarga Q
A forca total em Q e dada por
F =n
∑i=1
Fi =Q
4πε0
n
∑i=1
qi
r2i
ri (2)
ou simplesmente
F = Q E (3)
onde
E =1
4πε0
n
∑i=1
qi
r2i
ri (4)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Distribuicoes contınuas de cargas
A solucao anterior supoe cargas conhecidas qi
Caso a carga seja distribuıda continuamente sobre algumaregiao o somatorio se torna uma integral
E =1
4πε0
Z1r2 rdq (5)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Distribuicao Linear de Carga
Se a carga for distribuıda uniformemente ao longo de uma linha,com uma carga por unidade de comprimento λ, o diferencial decarga e dado por (dl⇒ diferencial de comprimento)
dq = λdl (6)
E =1
4πε0
Z`
λ
r2 rdl (7)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Distribuicao Superficial de Carga
Densidade superficial de carga σ
dq = σds (8)
E =1
4πε0
ZZS
σ
r2 rds (9)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Densidade Volumetrica
Densidade volumetrica de carga ρ
dq = ρdv
E =1
4πε0
ZZZV
ρ
r2 rdv (10)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Exemplo 1
Considere um segmento de reta de comprimento 2L que possui umadensidade de carga λ. Calcule o potencial eletrico a uma distancia zacima do ponto medio do segmento de reta (ponto P na figura abaixo)
P
x
z
r
Pela simetria do problema epossıvel perceber que oscomponentes na direcao x secancelem
No ponto P temos
dE =2
4πε0
(λdxr2
)cosθ z (11)
onde cosθ = z/r
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Exemplo 1 – cont.
A intensidade do campo eletrico e obtida pela integracao de (11) comx variando de 0 a L.
E =1
4πε0
Z L
0
2λz
(z2 + x2)3/2dx =
14πε0
2λL
z√
z2 +L2(12)
Para pontos muito afastados do segmento de reta condutor z� L,temos
E ≈ 14πε0
2λLz2 (13)
E portanto a reta condutora se comporta como uma carga pontual! Nocaso de uma reta infinita L→ ∞
E ≈ 14πε0
2λ
z(14)
Nesse caso z e a distancia do ponto ao fioLima, A. C. S. ELETROSTATICA
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Linhas de Fluxo & Lei de Gauss
Com o ferramental apresentado temos todos os dados pararesolver a maioria dos problemas de eletrostatica, admitindo-seque e possıvel resolver a integral
As linhas de fluxo podem ser uteis na visualizacao e naidentificacao do comportamento do campo eletrico.
E possıvel calcular as linhas de fluxo pelos tubos de forca oupela solucao da equacao diferencial que define o campo em todoo espaco
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Lei de Gauss
O Fluxo e uma forma de “medir” o numero de linhas de campopassando por uma superfıcie. O Fluxo por qq superfıcie fechada euma medida da carga total armazenada dentro dessa superfıcie
IS
E ·ds =1ε0
Qdentro (15)
Qdentro =ZZZ
V
ρdv (16)
Na forma diferencial obtemos (a partir do teorema de Green)
∇·E =ρ
ε(17)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Exemplo 2
Calcule o campo exterior a uma esfera solida uniformementecarregada de raio r e carga total q.Pela aplicacao direta da definicao de fluxo de campo eletrico
IS
Eds = E 4π r2 (18)
Logo E 4π r2 = q/ε0
E =1
4πε0
qr2 (19)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss
Rotacional do Campo Eletrico
Vamos supor uma carga pontual na origem. A integral de linha docampo devido por essa carga pontual e dada porZ b
aE · d l =
q4πε0
(1ra− 1
rb
)(20)
onde ra e rb sao as distancias entre os pontos a e b. No caso daintegral de linha temos I
E · d l = 0 (21)
Aplicando o teorema de Stokes temos
∇×E = 0 (22)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Potencial Eletrico
O campo eletrico (devido a Cargas Estacionarias) e conservativo
O fato do rotacional do campo eletrico ser nulo implica naexistencia de uma funcao potencial
V (P ) = φ =−Z r
PE · d l (23)
Se o ponto P for levado ao infinito, o potencial no ponto rdepende apenas do ponto, fazendo o caminho “inverso”
E =−∇φ (24)
Ha algumas vantagens em usar (24), derivaadas sao faceis decalcular, e potenciais sao usualmente faceis de medir (De umescalar calcula-se um vetor!!)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Potencial Eletrico
O rotacional nulo implica tambem em relacao entre oscomponentes do campo eletrico
∂Ex
∂y=
∂Ey
∂x∂Ez
∂y=
∂Ey
∂z∂Ex
∂z=
∂Ez
∂x(25)
Mudanca de referencial implica na adicao de uma constante aopotencial
V1 = φ1 =−Z P
OE · d l−
Z r
PE · d lV1 = k +V (P ) (26)
Mas nao muda o campo eletrico....
∇V1 = ∇V (27)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Potencial de uma distribuicao de carga
O potencial de uma carga pontual e dado por
V =− 14πε0
Z r1
∞
qr2 dr =
14πε0
qr1
(28)
Para um conjunto de cargas
V =1
4πε0
n
∑i=1
qri
(29)
Para uma distribuicao linear λ de cargas
V =1
4πε0
Zλ
rdl (30)
No caso de uma distribuicao volumetrica
V =1
4πε0
ZZZρ
rdV (31)
As integrais em sao mais simples que as do campo eletricoLima, A. C. S. ELETROSTATICA
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Potencial & Polaridade
Apesar de ser escalar, a polaridade da tensao implica emindicativo de direcao do campo eletrico
V
V
0
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Carga Pontual + Plano Infinito
No caso de uma carga pontual q colocada a uma distancia a deum plano infinito (aterrado), a imagem sera a carga −q, colocadaa uma distancia −a desse plano.
Se o plano separa os meios, a inclusao da imagem implica emum meio apenas, sendo esse meio o qual esta a carga original
V = φ(x ,y) =q
4πε0
(1r1− 1
r2
)(32)
r1 e a distancia do ponto onde e efetuado a medicao do potencial atea carga positivar2 e a distancia do ponto onde e efetuado a medicao do potencial atea carga imagem
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Carga Pontual + Plano Infinito
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Linha de Carga +Plano Infinito
Ha uma linha de carga a uma altura h do solo, com densidadelinear constante
Supondo o plano infinito aterrado, surge uma imagem comdensidade de carga negativa a uma distancia −h
A inclusao da imagem implica em um meio apenas, sendo essemeio o qual esta a carga original
V = φ =q
2πε0ln
(√x2 +(y +h)2
x2 +(y−h)2
)=
q4πε0
ln
(x2 +(y +h)2
x2 +(y−h)2
)(33)
A projecao bidimensional desse caso e identica ao do caso comcargas pontuais
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Linha de Carga + Cilindro
Se uma carga linear paralela a um cilindro condutor, supondo ocomprimento de ambos infinito. A carga imagem pode ser obtidaatraves da tangente a secao trasnversal do cilindro que passa noponto onde esta a carga realA posicao da carga imagem e dada pela razao
R2
b(34)
onde R e o raio do cırculo que forma a secao reta do cilindro, e b e adistancia que separa o centro do cilindro ao ponto onde se encontra acarga.Se o cilindro for dieletrico, muda alguma coisa?
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Imagem em Condutor Esferico
r1
r2R
d qimag
q1
b e a distancia que separa os centros, V na superfıcie da esferadevido a q e
V =q1
4πε0 r2(35)
V ′ devido a carga imagem qimag e
V ′ =1
4πε0
qimag
r1=
qimag
4πε0
b/R√R2 +b2−2Rb cosθ
(36)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Imagem em Condutor Esferico
Para que a esfera esteja aterrada os potenciais gerados pelas duascargas deve ser iguais e opostos, V +V ′ = 0Logo, a carga imagem deve ser
qimag = qRb
(37)
O potencial em qualquer ponto passa a ser
Vt =q
4πε0
[1√
r2 +b2−2b r cosθ− R√
b2r2 +R4−2R2b r cosθ
](38)
Qual e a densidade superificial de carga na superfıcie da esfera?
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Anel Circular com Distribuicao Linear de Carga
Condutor cilındrico de raio a ecomprimento ` e com carga total Q emum anel circular de raio R, sendoR� a.
A funcao potencial φ num pontogenerico P de coordenadas (x ,y ,z) e
φ(x ,y ,z) =1
4πε
Z`
qD
dl (39)
sendo q = Q/(2πR) a densidade linearde carga
Projecoes da espira condutora no planoy = 0 e no plano z = 0
Rr
Α
P
D
dP’
x
x
z
y
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Anel Circular — cont.
Utilizando a transformacao de variavel
α = π−2ϕ
o diferencial de comprimento pode ser expresso por
dl = |R dα|= 2|R dϕ|
a distancia entre um ponto na superfıcie da espira e o ponto P ′ e
d =√
R2 + r2−2Rr cosα (40)
e a distancia entre o centro da espira ao mesmo ponto e dada por
r =√
x2 + y2
distancia entre um ponto na superfıcie da espira e o ponto P e
D =√
d2 + z2
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Anel Circular — cont.
Utilizando a relacao trigonometrica
cosα =−1+2sin 2ϕ
e possıvel escrever a distancia D como
D =√
(R + r)2 + z2−4Rr sin 2ϕ
logo o potencial eletrostatico pode ser dado por
φ =Q
4πε
22π
Zπ
0
dϕ√(R + r)2 + z2−4Rr sin 2ϕ
(41)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Anel Circular – Integral Elıptica
Fazendo k =√
4Rr(R+r)2+z2 e possıvel rescrever (41) como
φ =Q
4π2ε
2√(R + r)2 + z2
Zπ/2
0
dϕ√1− k2 sin 2ϕ
=Q
2π2ε
F(k)√(R + r)2 + z2
(42)
A funcao F(k) e conhecida como integral elıptico completo deprimeira especie definida por
F(k) =Z
π/2
0
dϕ√1− k2 sin 2ϕ
(43)
Lima, A. C. S. ELETROSTATICA
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
ImagensAlguns Exemplos
Para o calculo do potencial na superfıcie do condutor consideremoscomo representativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a,neste caso
k =
√4R2
4R2 +a2 =1√
1+(
a2R
)2⇒ k2 =
1
1+(
a2R
)2∼= 1−
( a2R
)2
Como ( a2R
)2� 1
E possıvel obter uma solucao para integral na forma de
F(k) = ln
(4√
1− k2
)∼= ln
(8Ra
)logo, o potencial na superfıcie do condutor φc e aproximadamente
φc∼=
Q4π2εR
ln
(8Ra
)(44)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos
Capacitancia
Um capacitor consiste de dois condutores carregando cargas desinais iguais e contrarios, separados por um meio dieletrico. Acapacitancia C pode ser definida por
C =QV
=−
HS
εE · dSR BA E · d l
(45)
Nada mais e que uma constante relacionando carga e potencial. Esempre positivaA relacao inversa e dada pela Elastancia S
Q = C (V1−V2) V1−V2 = S Q (46)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos
Capacitancia
Em diversos casos simples podemos obter a capacitancia de umdispositivo atraves da Lei de Gauss. Vamos ver alguns exemplos:
Capacitor de placas paralelas
Capacitor de esferas concentricas
Capacitor de cilindros concentricos
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos
Capacitor de placas paralelas
Considere duas placas paralelas de area A separados de umadistancia d .O campo eletrico e normal a superfıcie (desprezando efeitos de ponta)Uma densidade de carga σ numa das placas implica em −σ na outraplacaA intensidade do campo entre as placas e E = σ/ε, ja a diferenca depotencial e V = E d , e a carga total Q = σA, logo a capacitancia entreas placas e
C =σA
σd/ε= ε
Ad
(47)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos
Capacitor de esferas concentricas
Considere duas esferas concentricas de raios r1 e r2, sendo r2 > r1,possuindo cargas Q e −Q respectivamenteO campo e radial e orientado para o centro da esfera menor como sea carga estivesse no centro e de valor dado por
E =Q
4πε r2 (48)
A diferenca de potencial entre as esferas e
V =−Z r2
r1
Q4πε
drr2 =
Q4πε
(1r1− 1
r2
)(49)
C =4πε
1/r1−1/r2(50)
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Campo EletricoPotencial Eletrico
CondutoresCapacitancia
Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos
Capacitor de cilindros concentricos
Considere dois cilindros concentricas de raios r1 e r2, sendo r2 > r1 ede comprimento L.O condutor interno possui carga −Q e o externo Q.O campo eletrico e dado pela Lei de Gauss e de intensidade
E =−Q/L2πε
1r
(51)
O potencial entre os cilindros e dado por
V =Q/L2πε
lnr2
r1(52)
e a capacitancia entre os cilindros e
C =2πεL
ln(r2/r1)(53)
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