elettromagnetismo applicato all'ingegneria elettrica...

M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO

ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

90 ore ( 9 crediti )

I semestre per il Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Elettrica

60 ore ( 6 crediti)

I semestre per il Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Energetica

Facoltà di Ingegneria-Università di Cagliari

A.A. 2017/2018

Docente: Prof.ssa Mariangela Usai

Ultima modifica(03/10/2017)

M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 2

Ing. Mariangela Usai

Assistant Professor

Electrical and Electronics Engineering Dept. –University of Cagliari

Piazza d'Armi - 09123 Cagliari - Italy

Phone:+39 70 675 5898, Fax: + 39 (70) 675-5900

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Sito di riferimento:

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Elettromagnetismo applicato

all’ingegneria Elettrica ed Energetica_1

Teoria dei Campi

Per Teoria si intende la sintesi delle cognizioni acquisite mediante osservazioni, misure ed elaborazioni matematiche.

Storicamente le Relazioni circuitali (come la legge di Ohm, principi di Kirchhoff, legge di Joule, teorema di Boucherot etc.) sono state introdotte per prime e successivamente con metodo induttivo, esse sono state integrate e sviluppate con modelli matematici della Teoria dei Campi, più generali e adatti a descrivere fenomeni fisici reali.

Ne consegue che:

le relazioni circuitali sono semplicemente espressioni particolari delle equazioni dei campi e possono essere dedotte da esse.


Campo

In generale un campo è definito come la distribuzione spaziale di una quantità scalare o vettoriale, che può essere o non essere funzione del tempo.

Esempi di campi:

Campo termico espresso in funzione della temperatura (grandezza scalare) misurata in ciascun punto regione spaziale del mezzo in cui si vuole definire il campo.

Campo di forze espresse attraverso un vettore

(grandezza vettoriale) definito con modulo direzione, verso e punto di applicazione, come il campo di forze gravitazionale

),,,( tzyxfF

),,,( tzyxf


La Teoria Elettromagnetica o l’Elettromagnetismo è

lo studio degli effetti delle cariche elettriche a riposo e

in movimento.

Le grandezze relative alla Teoria Elettromagnetica si

definiscono come grandezze di campo

Le cariche elettriche possono essere positive o negative

e entrambe sono sorgenti di campi elettrici.

Le cariche in movimento producono una corrente, che

fa nascere un campo magnetico.


Un campo elettrico variabile nel tempo è accompagnato da un

campo magnetico e viceversa.

I campi magnetico ed elettrico tempo varianti sono accoppiati

e insieme

costituiscono un campo elettromagnetico.

In certe condizioni, quando le sorgenti hanno frequenze di

variazione elevate, i campi elettromagnetici tempo dipendenti,

producono onde che si irradiano dalla sorgente che li ha generati.

I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione di

azioni a distanza.


La teoria elettromagnetica è indispensabile per comprendere i principi di diversi fenomeni fisici

Sono di seguito riportati alcuni esempi di applicazioni:

•Oscilloscopi a raggi catodici,

•Radar e Comunicazione satellitare,

•Ricezione televisiva,

•Telerilevamento,

•Telecomunicazione,

•Radio astronomia,

•Dispositivi a microonde,

•Comunicazione con fibre ottiche,

•Transitori nelle linee di trasmissione,

•Problemi di compatibilità elettromagnetica,

•Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in casi di visibilità limitata,

•Atom smashers or particle accelerators (subatomic particles),

•Conversione della energia elettromeccanica.

•Studio del funzionamento del corpo umano e animale

•Impianti nucleari a fissione e a fusione nucleare

•Applicazioni della magnetoidrodinamica


La teoria circuitale rappresenta una versione restrittiva

o un caso particolare di applicazione della teoria dei campi elettromagnetici.

L’ipotesi che sta alla base del modello circuitale è che:

le dimensioni d’interesse del sistema fisico associato

alla presenza di un campo, siano sufficientemente

piccole da poter trascurare il tempo di trasmissione

degli effetti dei segnali impressi, o sorgenti del campo.


L’ipotesi che sta alla base del modello circuitale si può esprimere nei seguenti modi equivalenti:

• assenza di dimensioni o

• velocità di propagazione del fenomeno elettromagnetico infinita o anche

• tempo nullo di trasmissione del fenomeno elettromagnetico da un punto all’altro della regione di interesse.


Per risolvere i Campi Elettromagnetici occorre tener presente

che la maggior parte delle variabili elettromagnetiche sono

funzione del tempo e dello spazio e sono definite da un modulo e

una fase e molte di loro sono vettori per cui per risolvere

problemi elettromagnetici è richiesta

↓

la conoscenza dell’algebra vettoriale e del calcolo vettoriale e la

soluzione di sistemi di equazioni differenziali alle derivate

parziali


La teoria circuitale comporta notevoli semplificazioni nella

determinazione delle grandezze incognite rispetto

all’applicazione della teoria dei campi elettromagnetici.

Occorre dunque definire un criterio per stabilire quando sia

possibile utilizzare la teoria circuitale.

Il criterio consiste nel poter considerare il tempo t di

trasmissione trascurabile o molto piccolo se confrontato con

l’entità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche

tipiche della applicazione considerata.

Ciò comporta una analisi delle frequenze delle grandezze

elettromagnetiche che generano il campo e delle dimensioni

fisiche della regione campo.


Infatti se fmax è la frequenza massima relativa alla banda di frequenza

degli spettri delle grandezze elettriche del campo,

il minimo intervallo di tempo che è possibile apprezzare, relativo alla

variazione temporale di una grandezza elettrica è :

mentre il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto

all’altro del circuito risulta sempre:

L dimensione del campo nella direzione della trasmissione della grandezza

di campo, o più in generale dimensione geometrica massima della struttura.

velocità di propagazione nel mezzo della regione del campo che

dipende dalla natura del mezzo, ossia da μ e ε.

maxmin

2

1

ft

v

Lt

1v


Il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all’altro della regione del campo, deve risultare minore del minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica di campo, che è possibile apprezzare:

t<< tmin, ossia

Se si considera la lunghezza d’onda λmax relativa alla frequenza massima deve essere:

12

2

1 t max

max

minmin fv

L

ft

v

Ltt

max

maxmax

max 2 f

vL

f

v


Esempi

Premessa

In una linea la velocità di propagazione del segnale dipende

dal mezzo che circonda i conduttori e in cui si propagano il

campo elettrico e magnetico.

Le costanti μ0 e ε0 del vuoto e la velocità di propagazione nel

vuoto c sono rispettivamente uguali a:

[H/m] 10π4μ7

o

[F/m] 10854.81036

1

c

1 129

o2o

[m/s] 103με

1c

8

oo


Esempi

Linee aerea

Le costanti μ e ε dell’aria si possono considerare uguali a quelle

del vuoto per cui la velocità v risultante di trasmissione è uguale

a quella del vuoto co = 3*108 m/s

km 6000 50

103 2

8

aerealineaf

vL


Quindi, per L=100 m e f=50 Hz essendo

si ha che:

•una linea aerea lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a

frequenza industriale 50 Hz, può essere studiata con un

modello circuitale a parametri concentrati, mentre

•la stessa linea aerea lunga 100 m, se utilizzata per trasmettere

dei segnali a 6 MHz deve essere studiata con un modello a

parametri distribuiti , infatti:

km 6000 50

103 2002

8

50Hz fper aerea linea

f

vmL

0m5 106

103 2002

6

8

6MHz fper aerea linea

f

vmL


•Linea in cavo lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a

frequenza industriale 50 Hz.

La lunghezza d’onda λ è un pò più piccola per quelle con

dielettrico diverso dall’aria v ≈ 2 ·108 m/s.

Infatti nei dielettrici, la permettività relativa εr varia tra 2÷5,

mentre la permeabilità relativa μr=1

km 400050

102200m2L

8

f

vcavo


Per un circuito audio ad alta fedeltà, la frequenza più alta è

fmax ≈ 25 kHz

Le dimensioni del circuito sono molto più piccole della lunghezza d’onda,

si può utilizzare il modello a parametri concentrati

Per un circuito a microonde

fmax =3 GHz÷300 GHz

Le dimensioni del circuito sono molto più grandi della lunghezza d’onda,

per cui si deve usare il modello a parametri distribuiti.

km 12 1025

103 2002

3

8

f

vmL audiocircuito

m 001.01.0 10300103

103 2002

99

8

microonde

f

vmL


Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un

caso particolare del concetto di elettromagnetismo.

La teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri

concentrati e le equazioni risolutive sono equazioni algebriche e

equazioni differenziali ordinarie.

e

La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti

e le equazioni risolutive sono generalmente equazioni

differenziali alle derivate parziali.


La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti e le

equazioni risolutive sono generalmente equazioni differenziali alle derivate

parziali e le grandezze fisiche sono grandezze vettoriali o puntuali *

mentre

la teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri concentrati e le

equazioni risolutive sono equazioni algebriche e equazioni differenziali

ordinarie e le grandezze sono fasoriali o algebriche globali **.

_____________________________________________________________ *

grandezze definite generalmente come vettoriali G(x,y,z,t) che

dipendono

• dal punto P in cui sono definite e quindi dalle coordinate (x,y,z, se cartesiane) e che variano con il

tempo (t) e

• riferite a una linea elementare dl, superficie dA, volume elementare dV intorno al punto P

Determinare G comporta conoscere le sue 3 componenti per ogni istante, quindi la risoluzione di 3 sistemi di

equazioni, uno per ciascuna componente.

**

Ciò comporta la risoluzione di un solo sistema di equazioni per ogni grandezza che si vuole determinare.


I circuiti

• sono modellati con elementi a parametri concentrati come le resistenze, le induttanze, mutue induttanze e le capacità,

e

• le grandezze principali del sistema sono le tensioni e le correnti (grandezze globali)

Nei circuiti in corrente continua (cc):

le grandezze del sistema sono costanti e risultano determinabili con equazioni algebriche.

Nei circuiti in corrente alternata (ac):

le grandezze del sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità scalari e indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie.


I campi

Nella modellazione dei campi la maggior parte delle variabili

introdotte nella teoria elettromagnetica sono funzioni del tempo

e delle coordinate spaziali.

Per definire la maggior parte di queste variabili si utilizzano le

grandezze vettoriali: i vettori e la loro trattazione richiede la

conoscenza dell’algebra e del calcolo vettoriale.

Anche nei casi statici le equazioni risolutive sono generalmente

equazioni differenziali alle derivate parziali.

La finalità della teoria dell’elettromagnetismo consiste nel saper

modellare e sviluppare un modello elettromagnetico che

descriva un sistema fisico , determinando le relative formule di

risoluzione.


Equazioni di Maxwell

Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono espresse

dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono analiticamente

come:

ogni variazione del campo elettrico o magnetico nello spazio

presuppone

l’esistenza o la variazione nel tempo, di un campo di altro tipo

(magnetico o elettrico) nello stesso punto.


• Le Equazioni di Maxwell, con

• le Equazioni di continuità che esprimono il Principio di

Conservazione della Carica Elettrica secondo il quale :

la variazione della densità spaziale di carica ρ entro un

volume V è pari al flusso della densità corrente J attraverso

la superficie S che limita il detto volume (ossia, all'integrale

di superficie) e analiticamente equivale a:

Inoltre, la carica elettrica totale di un sistema è un invariante relativistico (ossia il suo valore non dipende dal

sistema di riferimento).

• e le Relazioni Costitutive

consentono di studiare e risolvere problemi inerenti i campi, di

qualunque natura essi siano.

SV

t

QIdSJdV

t


Il principio della conservazione della carica elettrica è un

postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce che la

carica elettrica è conservativa, cioè che la carica non può essere

ne creata ne distrutta.

Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in qualunque

circostanza ed è rappresentato matematicamente attraverso

l’equazione di continuità della teoria dei campi:

Analogamente nella teoria circuitale il primo principio di

Kirchhoff della teoria circuitale afferma la proprietà di

conservazione della carica elettrica, ossia che non c’è

accumulo di cariche in una connessione, ossia:

SV

t

QIdSJdV

t

0I

i

i


La risoluzione analitica di tale modello matematico, costituito dalle:

Equazioni di Maxwell

Equazioni di Continuità

Relazioni Costitutive

presenta notevoli difficoltà per la complessità di risoluzione e l’entità

dei calcoli.

Attualmente si tende risolvere tali problemi

con metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici di calcolo

che implementano il Metodo degli Elementi Finiti (FEM):

come i software Maxwell, Ansys, FEM, COMSOL e altri.


Il modello matematico per la risoluzione dei campi

elettromagnetici è descritto con le Equazioni di Maxwell

in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale

Legge di Faraday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

t δ

B δE

t δ

D δJH

D

0B

t d

dldE

C

C S

sdt

DIldH

QsdDS

0sdBS


Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi

Campo elettrico [V/m]

Induzione magnetica [T] o [Wb/m2]

Campo magnetico [A/m]

Spostamento elettrico [C/m2]

Densità di corrente [A/m2]

Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili vettorialmente.

E

B

H

D

J


Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle

seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate dalle

proprietà del mezzo:

dove: permettività [F/m]

permeabilità magnetica [H/m]

conducibilità elettrica [S/m]

densità volumica [C/m3]

del mezzo della regione spaziale in cui si manifestano i campi.

E D

HB

EJ

M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed

Energetica

30

= 0 r è la permettività assoluta

r permettività relativa

0 permettività nel vuoto ossia la costante di

proporzionalità fra la densità di flusso elettrico

e l’intensità del campo elettrico nel vuoto:

= 0 r è la permeabilità magnetica assoluta

R permeabilità relativa

0 permeabilità nel vuoto, ossia la costante di

proporzionalità fra la densità di flusso magnetico

e l’intensità del campo magnetico nel vuoto:

D

E

E εD o

B

H

o

o

Bμ

1H


Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti universali:

o o e c, dove c è la velocità di propagazione delle onde

elettromagnetiche nel vuoto o nell’aria (compresa la luce) e

I valori di o e di o sono:

• definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e

• non sono indipendenti.

Nel Sistema Internazionale (SI):

[H/m] 10π4μ7

o

[F/m] 10854.81036

1

c

1 129

o2o

[m/s] 103με

1c

8

oo


Esistono due approcci fondamentali per lo studio dei

campi e dell’elettromagnetismo:

• Approccio induttivo: si parte da leggi sperimentali

che vengono generalizzate per essere poi sintetizzate

nella forma delle equazioni di Maxwell,

• Approccio deduttivo: partendo dalle equazioni di

Maxwell, si identifica ciascuna equazione con una

appropriata legge sperimentale e si adattano le

equazioni a condizioni generali o a situazioni statiche

o tempo varianti


In generale per lo studio un fenomeno scientifico attraverso

la definizione di un modello ideale, sono previsti tre fasi

fondamentali:

•I° fase: definizione di alcune grandezze fondamentali

pertinenti al fenomeno in studio;

•II° fase: specificazione delle formule matematiche di

queste grandezze;

•III° fase : definizione delle relazioni fondamentali con

postulati o leggi


Per lo studio della teoria dell’elettromagnetismo attraverso la

definizione di un modello ideale elettromagnetico, sono previsti

tre fasi fondamentali:

•I° fase: definizione delle grandezze fondamentali

dell’elettromagnetismo;

•II° fase: specificazione delle formule matematiche che legano

queste grandezze (algebra e calcolo vettoriale ed

equazioni alle derivate parziali);

•III° fase : definizione dei postulati fondamentali per i campi

magnetici statici, campi magnetici permanenti e campi

elettromagnetici


I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni

sperimentali acquisite in condizioni controllate e efficacemente

sintetizzate.

Le grandezze del modello matematico possono essere distinte

grossolanamente in due categorie:

•Le grandezze sorgenti o cause ( cariche elettriche fisse o in

movimento) e

•Le grandezze del campo generato dalle sorgenti o effetti.

La carica elettrica si indica con la lettera q o Q.

Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come

multiplo positivo o negativo della carica elettrica elementare di

un elettrone e

[C] 1060.1 19e


Si definisce densità di carica volumica :

dove è la quantità di carica in un volume molto piccolo v.

In alcune situazioni fisiche una quantità di carica q può

essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l ,

in questi casi si definisce la densità di carica superficiale s :

o la densità di carica lineare l :

][C/m Δv

Δqlimρ

3

0Δv

[C/m] Δl

Δqlimρ

0Δll

][C/m Δs

Δqlimρ

2

0Δss


Le densità di carica definite variano generalmente da punto a

punto con le coordinate spaziali.

La corrente I è velocità della variazione della carica rispetto al

tempo, cioé:

In elettromagnetismo di definisce la densità di corrente

che misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l’unità di

superficie normale alla direzione del flusso di corrente.

è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di

superficie [A/m2] la cui direzione e verso sono quelle del flusso

di corrente.

[A] o [C/s] dt

dqI

J

J

elettromagnetismo applicato all'ingegneria elettrica...

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