ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

Superficie de Referencia y

Superficie Equipotencial

CURSOS DE ENSEÑANZAS PROPIAS. UNIVERSIDAD DE ALMERÍA

ÍNDICE*

CONTENIDO PÁG.

Elipsoide de revolución 1. Parámetros fundamentales de la elipse meridiana y sistemas de coordenadas ..

2. El elipsoide de revolución como superficie de referencia .................................

3. El elipsoide de revolución como superficie equipotencial ................................

4. Líneas geodésicas del elipsoide de revolución ..................................................

Apéndices Apéndice I. Ecuaciones del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas

Apéndice II. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica .................................

Apéndice III. Vector normal a la superficie del elipsoide de revolución ..............

Apéndice IV. Transformación de coordenadas por rotación .................................

Apéndice V. Potencial centrífugo ..........................................................................

Apéndice VI. Potencial de la gravedad normal en armónicos esféricos ................

Apéndice VII. Curvatura de una curva plana .........................................................

Apéndice VIII. Componente vertical del gradiente de la gravedad .......................

Apéndice IX. Relación entre latitud geodésica y reducida ....................................

Apéndice X. Armónico de grado 2 y momentos de inercia ...................................

Apéndice XI. Ecuaciones de Gauss .......................................................................

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Bibliografía Bibliografía básica .................................................................................................

Bibliografía de consulta .........................................................................................

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* Este documento está disponible en la dirección http://airy.ual.es/www/Geodesy.htm

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Elipsoide de revolución

1. Parámetros fundamentales de la elipse meridiana y sistemas de coordenadas Sabiendo que la principal tarea científica de la Geodesia es el estudio de la figura de la Tierra, nos damos cuenta de que el primer problema que hay que resolver es: la determinación del tipo de superficie matemática que mejor representa la figura de la Tierra en su totalidad. A este respecto, se considera como tal superficie la de un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, éste se denomina elipsoide terrestre. Esta primera figura de la Tierra es tan buena, que el geoide (la segunda mejor figura de la Tierra, la superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre que coincide con el nivel medio de los océanos) se aparta de esta primera figura en menos que 100 metros de altura, en el caso de mayor separación. Nos encontramos así con dos superficies fundamentales de referencia muy próximas entre sí, el elipsoide y el geoide, las cuales provienen de dos concepciones distintas de la Geodesia, determinando en consecuencia la división de la Geodesia en dos ramas principales, Geodesia Geométrica o Elipsoidal y Geodesia Física o Dinámica. Llegados a este punto, hay que recordar que desde la antigüedad el hombre se ha preocupado por la medida de la Tierra, es decir, por desarrollar la parte geométrica de la geodesia. Así, durante siglos, la única geodesia que se ha desarrollado es la Geodesia Geométrica, sobre todo el estudio y determinación del elipsoide terrestre. Por otra parte, el elipsoide de revolución, como superficie matemática, es sencillo y bien conocido, pudiendo utilizarse para numerosos cálculos que serían muy complejos si se efectuaran sobre el geoide. Esto hace que esta primera aproximación a la figura de la Tierra, el elipsoide de revolución terrestre, siga siendo vigente en la actualidad, siendo utilizado como superficie de referencia para muchas actividades científicas y técnicas.

Vista entonces la importancia que tiene este elipsoide de revolución, como primera figura de la Tierra y superficie de referencia, vamos a comenzar el estudio de esta figura matemática repasando algunos conceptos básicos referentes a la elipse meridiana, pues el elipsoide de revolución se formará mediante la rotación de esta elipse, alrededor del eje que pasa por los polos terrestres (el eje OB de la figura 1.1). Debemos entonces recordar que para esta elipse podemos escribir las siguientes relaciones (Torge, 1991)

1bz

ar

2

2

2

2=+ x2 + y2 = r2

abaf −

= a

bae22 −

= (1.1)

O A

B

b

a

PQ

r

z

N

φψ

ρρN

h

90º+ φα

Fig. 1.1. Posición de un punto P sobre el elipsoide de revolución.

En las relaciones (1.1) debemos notar que si son conocidos el semieje mayor a y el aplanamiento f, podemos obtener los valores del semieje menor b y la excentricidad e (o primera excentricidad), quedando entonces perfectamente definida la elipse meridiana y con ella toda la geometría del elipsoide de revolución correspondiente. Así, cuando fijamos los valores de (a, f) mediante la elección de un sistema de referencia, como es el sistema de referencia GRS80 (Geodetic Reference System of 1980), tenemos perfectamente definido el elipsoide de revolución terrestre para poder utilizarlo como superficie de referencia en nuestros cálculos.

Esto nos hace ser conscientes de la comodidad y simplicidad de usar el elipsoide de revolución como superficie de referencia. Esta superficie de revolución se escribirá en la forma (Struik, 1955)

3

x = rcosλ y = rsinλ z = f(r) 2

ar1b)r(f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= (1.2)

donde f(r) es la curva que se rota alrededor del eje OB de la figura 1.1, para obtener el elipsoide de revolución. Considerando esta superficie de referencia, la posición de un punto Q sobre la misma dada por (1.2), se podrá escribir en coordenadas geodésicas (φ, λ) en la forma (apéndice I)

φρ−=λφρ=λφρ= sin )e1(z sin cos y coscosx N2

NN sine1

a22N

φ−=ρ (1.3)

A la vista de la figura 1.1, debemos notar que hemos elegido las coordenadas geodésicas (φ, λ) para dar la posición del punto Q, pero podríamos también haber elegido las coordenadas geocéntricas (ψ, λ), pues la latitud geodésica φ y la geocéntrica ψ son igualmente válidas para fijar la posición de dicho punto, existiendo entre ellas la relación (apéndice II)

φ−=ψ tan)e1(tan 2 (1.4)

Las coordenadas geocéntricas son las más usadas para escribir la posición de un punto en los desarrollos en serie del potencial gravitatorio terrestre, mientras que las coordenadas geodésicas son las más utilizadas para dar la posición de un punto en las medidas geodésicas. Por ello, es muy importante conocer la relación (1.4) que existe entre las latitudes geodésica y geocéntrica, pues ella nos permite pasar de una a otra fácilmente, para cualquier punto Q del elipsoide.

A la vista de la figura 1.1, la posición de un punto P sobre la superficie terrestre es muy sencilla de escribir en coordenadas geocéntricas, pues sería (Torge, 1989)

PPPPPP sinz sin cos y coscosx ψρ=λψρ=λψρ= (1.5)

donde ρP es el módulo del vector de posición geocéntrico del punto P. Para escribir la posición de un punto P sobre la superficie terrestre en coordenadas geodésicas, tendríamos en cuenta la suma vectorial

OP = OQ + QP Nhr

=QP )sin ,sin cos ,cos(cosN φλφλφ=r

donde el vector OQ estaría dado por (1.3) y el vector QP se obtendría a partir del vector normal a la superficie del elipsoide en el punto Q (apéndice III), teniendo en consecuencia las ecuaciones

φ+ρ−=λφ+ρ=λφ+ρ= sin h))e1((z sin cos)h( y coscos)h(x N2

NN (1.6)

Las ecuaciones (1.6) son muy importantes pues nos permiten convertir las coordenadas geodésicas (φ, λ, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z). Para realizar la transformación contraria, es decir, para convertir coordenadas cartesianas (x, y, z) en coordenadas geodésicas (φ, λ, h), tendríamos que invertir la relación (1.6). Esto puede hacerse de forma sencilla tal como indican Hofmann-Wellenhof y Lichtenegger (1994), mediante un proceso analítico y numérico que se puede realizar rápidamente en un ordenador. 2. El elipsoide de revolución como superficie de referencia

En algunas ocasiones podemos encontrarnos con la necesidad de convertir coordenadas geodésicas medidas en distintos dátum, a un único dátum para poder utilizar todas estas medidas conjuntamente. Este problema puede surgir cuando recibimos mediciones realizadas por otros investigadores o técnicos, que trabajan habitualmente en un sistema de referencia distinto al que nosotros utilizamos. Para llevar a cabo esta transformación debemos tener en cuenta que esos otros sistemas de referencia pueden no ser geocéntricos. Esta situación está ilustrada en la figura 2.1, en la cual tenemos las coordenadas cartesianas (x’, y’, z’) de un punto P (medidas en un sistema no

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geocéntrico con origen O’), relacionadas con sus coordenadas cartesianas (x, y, z) (medidas en un sistema geocéntrico con origen O), a través de la suma vectorial

r)k1(rr o ′++=rrr

R (2.1)

donde k es un factor de escala cuyo valor suele ser del orden de 10-6 y R es la matriz de rotación que define la transformación de coordenadas que relaciona ambos sistemas (apéndice IV), dada por

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε−εεε−

ε−ε

++⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

1 1

1

)k1(zyx

zyx

xy

xz

yz

o

o

o (2.2)

donde los ángulos (εx, εy, εz) expresan las rotaciones indicadas en la figura 2.1, estos ángulos suelen tener un valor muy pequeño, por eso se expresan habitualmente en segundos de arco.

Fig. 2. 1. Representación del sistema de referencia no geocéntrico xyz, con respecto al sistema de referencia geocéntrico XYZ.

Es importante notar que la ecuación (2.2) expresa una relación entre coordenadas cartesianas. No obstante, en muchas ocasiones no trabajamos con las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P, sino con sus coordenadas geodésicas (φ, λ, h), donde φ es la latitud geodésica (medida en grados norte), λ es la longitud geodésica (medida en grados este) y h es la altura elipsoidal (medida en metros). En este caso para poder utilizar la transformación (2.2), tenemos que realizar previamente una transformación de coordenadas geodésicas (φ, λ, h) a cartesianas (x, y, z). Para ello, podemos utilizar las ecuaciones (1.6), pues nos dan la relación que existe entre las coordenadas geodésicas (φ, λ, h) y las cartesianas (x, y, z), tal como está ilustrado en la figura 1.1.

Entonces, una vez que tenemos las coordenadas geodésicas (φ, λ, h) convertidas en coordenadas cartesianas (x, y, z), aplicamos la transformación (2.2) para realizar el cambio de dátum. Así podemos convertir las coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’), dadas en el dátum no geocéntrico, en las coordenadas geocéntricas (x, y, z). Para ello, necesitamos primero establecer los valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes al dátum no geocéntrico. Estos valores pueden obtenerse desde varias fuentes. Por ejemplo, Torge (1991) ha establecido los valores de estos parámetros, para transformar coordenadas desde algunos de los dátum más utilizados al sistema geocéntrico WGS84 (el dátum que se utiliza con GPS).

Si queremos realizar la operación inversa y convertir las coordenadas geocéntricas (x, y, z) en coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’), tenemos que invertir la relación (2.2). Para ello, necesitamos establecer previamente los valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes al dátum no geocéntrico, e invertir la expresión (2.2). Esto puede realizarse fácilmente, programando las ecuaciones (2.2) de forma matricial en un ordenador, en ese caso todo el problema se reduce a invertir una matriz. Este problema de invertir una matriz es muy conocido y es fácil de resolver.

Si queremos pasar de coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’) a otras coordenadas también no geocéntricas (x’’, y’’, z’’), pero dadas en un dátum distinto, sólo tenemos que realizar primero la transformación de las coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’) a coordenadas geocéntricas (x, y, z), estableciendo para ello los valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes al primer dátum no geocéntrico. Luego convertimos estas recién obtenidas coordenadas geocéntricas

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(x, y, z), en las coordenadas no geocéntricas (x’’, y’’, z’’), aplicando para ello la fórmula inversa a (2.2), con los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz) correspondientes al segundo dátum no geocéntrico. Esto puede realizarse fácilmente, cuando se han programado las ecuaciones (2.2) y sus inversas. 3. El elipsoide de revolución como superficie equipotencial

Hemos visto hasta ahora la importancia que tiene el elipsoide de revolución como figura geométrica, que puede ser utilizada como superficie de referencia, ya que, la segunda mejor figura de la Tierra: el geoide, es casi un elipsoide de revolución (entre elipsoide y geoide hay una separación menor que 100 metros, en el peor de los casos). También, hemos visto que como superficie matemática sencilla, el elipsoide de revolución es bien conocido, pudiendo utilizarse para numerosos cálculos que serían muy complejos si se efectuaran sobre el geoide. Esto hace que el elipsoide de revolución (primera aproximación a la figura de la Tierra), bajo un punto de vista geométrico, siga estando vigente en la actualidad, siendo muy utilizado como superficie de referencia geométrica para muchas actividades científicas y técnicas.

No obstante, esta valiosa faceta de esta superficie no agota toda su utilidad, pues en este apartado vamos a ver cómo el elipsoide de revolución, puede también considerarse como una excelente superficie de referencia física, desde la cual sea posible estudiar el campo de gravedad real de la Tierra y sus superficies equipotenciales, pudiendo simplificar mucho este problema y haciendo posible realizar importantes aproximaciones, sin las que el estudio de este problema sería mucho más complicado. En este sentido, aunque el campo de gravedad terrestre no es exactamente el campo de gravedad asociado a un elipsoide de revolución, el poder dividir el campo de gravedad verdadero de la Tierra en una parte normal asociada al elipsoide de revolución y otra parte anómala, asociada a la pequeña diferencia que existe entre el campo verdadero y el normal, permite usar aproximaciones muy sencillas para estudiar el campo de gravedad anómalo, pues este campo supone una perturbación tan pequeña que podemos considerarla lineal, pudiendo realizarse aproximaciones que simplifican mucho el estudio de un problema que de otra forma sería muy difícil de resolver.

Dicho esto, vamos a considerar ahora el elipsoide de revolución, que antes hemos definido completamente bajo un punto de vista geométrico, como una superficie física, es decir, como una superficie equipotencial de un campo de gravedad que llamamos normal, definida por un valor dado del potencial normal o potencial del campo de gravedad normal U0, de tal forma que la superficie U(x, y, z) = U0 es un elipsoide de revolución con semieje mayor a y aplanamiento f, que encierra en su interior toda la masa de la Tierra M (incluida la masa de la atmósfera) y rota respecto de un eje que pasa por su semieje menor, con una velocidad angular ω igual a la velocidad de rotación de la Tierra (Torge, 1991). A este elipsoide se le llama elipsoide de nivel y como vemos por su definición, es la figura matemática más sencilla que mejor aproxima al geoide, cuya definición es: la superficie equipotencial del campo gravitatorio verdadero de la Tierra que coincide con el nivel medio de los océanos. De hecho, la coincidencia entre geoide y elipsoide de nivel es tan buena que, como ya se ha dicho, estas dos superficies de nivel apenas se separan unas decenas de metros.

En consecuencia, definimos el potencial del elipsoide de nivel U, o potencial de la gravedad normal, en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985)

)yx(21VV)z,y,x(U 222 +ω+=Φ+= (3.1)

donde V es el potencial gravitatorio y Φ es el potencial centrífugo (apéndice V). Este potencial U(x, y, z) queda perfectamente determinado si se dan los valores de la forma del elipsoide de revolución (a, f), la masa total M que encierra en su interior y la velocidad angular ω (Heiskanen y Moritz, 1985, Torge, 1991). En la ecuación (3.1), el potencial gravitatorio V satisface la ecuación diferencial de Laplace, en el espacio exterior al elipsoide de semieje mayor a y aplanamiento f,

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pues este elipsoide contiene en su interior toda la masa atrayente M de la Tierra (por definición), no quedando fuera del mismo masas atrayentes que impidan que se verifique dicha ecuación diferencial (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991). En consecuencia, este potencial V puede ser desarrollado en serie de armónicos esféricos, con lo que el potencial U se obtendrá mediante este desarrollo añadiéndole el potencial centrífugo (apéndice VI), es decir

θω

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θ ∑

∞

=

222

1nn2

n2

n2 sin2r)(cosP

raJ1

rKM),r(U (3.2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−++

−= +2

n21n

n2 MEACn5n1

)3n2)(1n2(e3)1(J (3.3)

E2 = a2 – b2 : excentricidad lineal del elipsoide. K: constante de gravitación de Newton. r: distancia del punto P al centro de la Tierra (el

centro del elipsoide), r es la distancia que antes llamábamos ρP (el módulo del vector de posición geocéntrico del punto P).

P2n (cos θ): polinomios de Legendre.

e: primera excentricidad del elipsoide (ecuaciones (1.1)).

C: momento de inercia respecto al eje rotación terrestre

A: momento de inercia respecto a cualquier eje en el plano ecuatorial

θ: distancia polar igual a 90º - ψ.

Debemos notar que hemos usado en (3.2) el sistema de coordenadas esféricas (r, θ, λ) en lugar de las coordenadas cartesianas (x, y, z), pues dada la simetría del problema a estudiar, estas coordenadas son más convenientes que las cartesianas. También hay que notar que hemos designando la distancia geocéntrica en este contexto con la letra r, en lugar de usar la letra griega ρ como hemos hecho hasta ahora, pues en la mayor parte de la bibliografía relevante sobre el campo de gravedad normal ésta es la notación que se utiliza. A la vista de las ecuaciones (3.2), notamos que la simetría con respecto al eje de rotación que tiene el elipsoide de revolución, hace que desaparezcan los términos teserales del desarrollo en serie de armónicos esféricos de V. También desaparecen los términos zonales impares de dicho desarrollo, debido a la simetría de esta figura con respecto al plano ecuatorial.

Por otra parte, la ecuación (3.3) con n = 1 nos da la importante fórmula (Heiskanen y Moritz, 1985)

222

2 MaAC

MEACeJ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

que podemos introducir en la fórmula (3.3) para eliminar los demás coeficientes J2n en función de un único J2 mediante

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++−= +

22

n21n

n2 eJn5n1

)3n2)(1n2(e3)1(J (3.4)

Este cambio de notación es importante, pues las ecuaciones (3.2) y (3.4) permiten obtener el potencial U de la gravedad normal, mediante constantes que son conocidas a través de la definición de cualquier sistema geodésico internacional. Por ejemplo, en el Geodetic Reference System of 1980 (GRS80) el valor de las constantes fundamentales es (Torge, 1991)

a = 6378137 metros KM = 398600.5 x 109 m3/s2 J2 = 1082.63 x 10-6 ω =7.292115 x 10-5 rad/s

donde M incluye la masa de la atmósfera. Estas constantes son muy bien conocidas y se han elegido como constantes fundamentales, porque se pueden determinar con mucha precisión por diversos métodos espaciales y astronómicos.

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No obstante, debemos notar que en las fórmulas (3.2) y (3.4), aparecen las cantidades (a, e, J2, ω, M), pero anteriormente hemos dicho que para determinar perfectamente el potencial de la gravedad normal U, basta con conocer la forma del elipsoide de revolución (a, f), la masa total M que encierra en su interior y la velocidad angular ω con la que rota. Hay que notar que la excentricidad e puede calcularse a partir de a y de f, mediante las fórmulas (1.1). En consecuencia, debe existir una relación entre J2 y las otras cantidades (a, f, M, ω), de manera que al poner J2 en las fórmulas (3.2) y (3.4), no introducimos una cantidad nueva sino una relación entre las cantidades que definen el potencial U. Para demostrar esta afirmación vamos a encontrar cuál es la relación que define J2 = J2(a, f, M, ω).

Para ello, comenzamos considerando la expresión (3.2) sólo hasta grado 4, es decir, n = 2 como máximo. Esta aproximación podemos hacerla porque los términos de grado superior a 4 son tan pequeños que se pueden despreciar (Torge, 1991). Con esta aproximación tendríamos que (3.2) pasa a ser

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

ω+θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θ 2

324

4

42

2

2 sinKM2

r)(cosPraJ)(cosP

raJ1

rKM),r(U (3.5)

donde hay que notar que hemos agrupado el término centrífugo dentro del paréntesis. Ahora podemos estudiar el valor que toma este potencial sobre la superficie del elipsoide. Entonces, si llamamos U0 a este valor, podemos escribir la ecuación (3.5) para un punto sobre el ecuador de elipsoide (r = a, θ = 90º) y para otro sobre el polo (r = b, θ = 0º). En estos dos casos los polinomios de Legendre son muy sencillos de calcular (Spiegel, 1988), teniendo

P2(θ = 90º) = −1/2 P2(θ = 0º) = 1 P4(θ = 90º) = 3/8 P4(θ = 0º) = 1

En consecuencia, la fórmula (3.5) para un punto sobre el ecuador de elipsoide (r = a, θ = 90º) y para otro sobre el polo (r = b, θ = 0º), nos da

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ω+−+=

KM2aJ

83J

211

aKMU

32420

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

4

4

2

20 baJ

baJ1

bKMU (3.6)

donde U0 es el valor del potencial sobre la superficie del elipsoide de revolución. Las ecuaciones (3.6) nos van a permitir el poder obtener la relación J2 = J2(a, f, M, ω), que estamos buscando, si escribimos la ecuación

abaf −

= (3.7)

introduciendo en ella los valores de a y b obtenidos a partir de las ecuaciones (3.6), en la forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ω+−+=

KM2aJ

83J

211

UKMa

3242

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

4

4

2

20 b

aJbaJ1

UKMb (3.8)

pero antes de calcular f mediante la expresiones (3.7) y (3.8), para obtener la relación que estamos buscando entre J2 y las cantidades (a, f, M, ω), hay que notar que en las ecuaciones (3.8) aparecen términos de muy distinto orden de magnitud, siendo algunos de ellos tan pequeños que pueden despreciarse. Por ello, antes de continuar vamos a realizar la aproximaciones pertinentes, para eliminar los términos de orden superior a f2 de las ecuaciones (3.8), pues la contribución de estos términos en dichas fórmulas puede considerarse despreciable (Torge, 1991).

8

Término centrífugo. Este término aparece sólo en la expresión de a de las ecuaciones (3.8) y podemos escribirlo como

f11m

21

KMb2ba

KM2a 3232

−=

ω=

ω (3.9)

donde hemos tenido en cuenta las fórmulas (1.1) y hemos usado la abreviatura (apéndice V)

KMbam

22ω= (3.10)

Si ahora usamos la aproximación (Spiegel, 1988)

)ax1()x1( a +≈+ (3.11)

para ⎜x ⎜<< 1, podemos simplificar la ecuación (3.9), teniendo

mf21m

21)f1(m

21

f11m

21

KM2a32

+=+≈−

=ω (3.12)

Términos (a/b)2 y (a/b)4. Estos términos aparecen sólo en la expresión de b de las ecuaciones (3.8) y podemos escribirlos a través de las ecuaciones (1.1), obteniendo (b/a) como

f1e1ab 2 −=−= (3.13)

entonces los términos (a/b)2 y (a/b)4 serán

f21)f1(

1ba

2

2+≈

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ f41

)f1(1

ba

4

4+≈

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (3.14)

donde hemos usado la fórmula (3.11) para simplificar y aproximar las expresiones de (a/b)2 y (a/b)4.

Término J4. Este término que aparece en la expresiones de a y b en las ecuaciones (3.8), podemos obtenerlo en función de J2 a partir de la ecuación (3.4), como

( )22

2

22

24

22

4

22

412

4 J10e35e3

eJ10e

35e3

eJ101

35e3

eJ1021

)34)(14(e3)1(J −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

++−= +

donde hemos considerado n = 2. Si ahora introducimos la relación que existe entre e y f, a través de las ecuaciones (1.1), tenemos

( ) ( ) ( )fJ20f4353J10ff2

35)ff2(3J10e

35e3J 2

22

22

22

24 −≈−−

−=−= (3.15)

donde hemos despreciado los términos de orden f3 y superiores.

Obtenidas ya todas las aproximaciones necesarias, podemos ya escribir las ecuaciones (3.8), en la forma

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+= mf

21m

21J

83J

211

UKMa 42

0 (3.16)

[ ] [ 420

420

J)f21(J1UKM)f41(J)f21(J1

UKMb −+−≈+−+−= ] (3.17)

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donde hemos utilizado las ecuaciones (3.12) y (3.14), despreciando el término J4f, por ser J4 mucho menor que J2 (Torge, 1991). Ahora estamos ya en situación de obtener la relación buscada entre J2 y las cantidades (a, f, M, ω), que podemos obtener mediante la ecuación (3.7), en la que introducimos las ecuaciones (3.16) y (3.17), escribiendo

mf21m

21J

83J

211

J85fJ2mf

21m

21J

23

abaf

42

422

++−+

++++=

−=

esta fórmula puede simplificarse mediante (3.11) para eliminar el denominador, teniendo la expresión aproximada

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++≈

−= mf

21m

21J

83J

211J

85fJ2mf

21m

21J

23

abaf 42422

donde sólo quedan por realizar todos los productos, despreciando términos de orden superior a (J2)2, J4, mJ2, m2, J2f, mf; obteniendo

22

22422 m

41mJJ

43J

85fJ2mf

21m

21J

23f −−−++++= (3.18)

donde podemos aproximar las cantidades mf y J2f, multiplicando m y J2 por la expresión (3.18)

22 m

41mJ

43mf

21

+≈ (3.19) 22

22 mJJ3fJ2 +≈

donde hemos despreciado de nuevo los términos de orden superior a (J2)2, J4, mJ2, m2, J2f, mf. Llevando las fórmulas (3.19) a (3.18) tenemos una expresión más sencilla de f dada por

42

222 J85J

49mJ

43m

21J

23f ++++=

Si en esta fórmula introducimos el valor de J4 dado por la ecuación (3.15), tenemos

fJ1415f

143J

49mJ

43m

21J

23)fJ20f4(

563J

49mJ

43m

21J

23f 2

222222

22222 −++++=−++++=

donde el término J2f ya lo hemos calculado antes (ecuaciones (3.19)) y sólo nos queda por determinar el término f2, cuyo aproximado valor es

222

2 mJ23m

41J

49f ++=

con lo que tenemos finalmente la expresión

2222

22

22222 J

2845mJ

2815mJ

289J

5627m

563J

49mJ

43m

21J

23f −−++++++=

que agrupando términos queda en la forma (Torge, 1991)

22222 m

563J

89mJ

2815m

21J

23f ++++= (3.20)

Con la ecuación (3.20) queda demostrado que existe una relación entre J2 y las cantidades fundamentales (a, f, M, ω), que definen perfectamente el potencial de la gravedad normal U, puesto que m es también función de las cantidades (a, f, M, ω), a través de la fórmula (3.10), de manera que al poner J2 en las fórmulas (3.2) y (3.4), no introducimos una cantidad nueva sino una relación entre las cantidades fundamentales que definen el potencial U.

10

En la actualidad, como las cantidades (a, J2, M, ω) se pueden determinar con mucha precisión, por diversos métodos espaciales y astronómicos, se han establecido como constantes fundamentales del campo de gravedad normal, en lugar de las cantidades (a, f, M, ω), obteniéndose el valor de f y m a través de las fórmulas (3.10) y (3.20), como cantidades derivadas de las fundamentales. Con el valor que toman estas constantes fundamentales (a, J2, M, ω) en el sistema de referencia GRS80, podemos calcular los valores de U0, m, J4 y f; mediante las fórmulas (3.6), (3.10), (3.15) y (3.20), obteniendo los valores (Torge, 1991)

U0 = 6.2636861 x 107 m2/s2 m = 0.003499786 J4 = −2.371x 10-6 f = 1/298.2572

En el sistema de referencia GRS80, también tenemos definida una fórmula de la gravedad para calcular el valor de la gravedad normal γ0 sobre el elipsoide de referencia (el elipsoide de revolución definido por las constantes fundamentales (a, J2, M, ω)), esta fórmula es

)2sinsin1( 21

2a0 φβ+φβ+γ=γ (3.21)

donde γa es la gravedad normal en el ecuador del elipsoide y las constantes β y β1 son función de f y m.

La gravedad normal puede obtenerse derivando el potencial de la gravedad normal U, dado por la fórmula (3.5), pues sabemos que el campo de gravedad es conservativo, esto significa que puede obtenerse como el gradiente de un potencial. Entonces, derivando la fórmula (3.5) respecto de r obtenemos

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

ω−θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−θ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θγ 2

324

4

42

2

22 sinKM

r)(cosPraJ5)(cosP

raJ31

rKM),r( (3.22)

de la que podemos obtener inmediatamente el valor de la gravedad normal en ecuador γa, poniendo r = a y θ = 90º, obteniendo

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ω−−+=γ

KMaJ

815J

231

aKM 32

422a (3.23)

La fórmula (3.21) también se puede obtener a partir de la fórmula (3.22) y esto es lo que vamos a realizar a continuación, definiendo también las cantidades γa, β y β1, que aparecen en la fórmula (3.21), en función de constantes ya determinadas.

Para ello, escribiremos la ecuación (3.22) para puntos que estén situados sobre el elipsoide de revolución (sobre la misma superficie de nivel de potencial U0). En este caso la distancia geocéntrica r toma el valor dado por (apéndice II)

θ−

−=

ψ−

−=

22

2

22

2

sene1

e1a cose1

e1ar

donde hemos tenido en cuenta que la distancia polar θ es igual a 90º - ψ. Para introducir esta fórmula en la fórmula (3.22), necesitamos calcular r2 y ponerlo como función de f y θ. Esto podemos hacerlo si tenemos en cuenta la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, obteniendo

)sen)ff2(1)(ff21(a)sene1)(e1(asene1

)e1(a r 2222222222

222 θ−++−=θ+−≈

θ−

−= ⇒

[ )sen51(fcosf21ar 22222 θ−+θ−= ] (3.24)

donde hemos usado las fórmulas (1.1) para eliminar la excentricidad e.

11

También es necesario conocer las cantidades (a/r)2, (a/r)4 y el término centrífugo, que aparecen en la fórmula (3.22). Las cantidades (a/r)2 y (a/r)4 pueden hallarse mediante la fórmula (3.24), usando la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, obteniendo

)sen51(fcosf21ra 222

2θ−−θ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ )sen51(f2cosf41

ra 222

4θ−−θ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (3.25)

El término centrífugo se calculará introduciendo la definición (3.10), con lo que podremos escribirlo en la forma

θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ=θ

ω=θ

ω 22

22

32

2

3222

32sinm

ba

ar

arsinm

barsin

bKMabrasin

KMr

donde hay que notar que podemos emplear las fórmulas (3.13) y (3.24), para calcular los cocientes (r/a) 2, (r/a) y (a/b). Así, operando y eliminando órdenes de f2 y superiores, obtenemos

[ ])cos31(f1sinmsinKM

r 22232

θ−+θ=θω (3.26)

Entonces, con las fórmulas (3.24), (3.25) y (3.26) introducidas en la fórmula (3.22), podemos escribir el valor que toma la gravedad normal sobre el elipsoide mediante

[ ]))cos31(f1(sinm)(cosPJ5)(cosP)cosf21(J31r

KM 22442

2220 θ−+θ−θ−θθ+−=γ

donde r2 puede ser sustituido por su valor (dado por la fórmula (3.24)) y eliminado del denominador mediante la aproximación (3.11), para escribir γ mediante 0

[ ]×θ−+θ−θ−θθ+−=γ ))cos31(f1(sinm)(cosPJ5)(cosP)cosf21(J31a

KM 22442

2220

[ ] =θ−−θ+× )sen51(fcosf21 222

[ θ+θ−+θ−−θ−θθ+−= 222442

222 cosf2))cos31(f1)(cos1(m)(cosPJ5)(cosP)cosf21(J31

aKM

]))cos1(51(fcos)cos1(mf2)(cosPcosfJ6 22222

22 θ−−−θθ−−θθ− (3.27)

donde P2 (cos θ) y P4 (cos θ) son los polinomios de Legendre dados por (Spiegel, 1988)

21cos

23)(cosP 2

2 −θ=θ )3cos30cos35(81)(cosP 24

4 +θ−θ=θ

Hay que notar que en la expresión (3.27) quedan todavía cantidades como J2, J4 y cos2θ, que debemos obtener y simplificar, para que la ecuación (3.27) adopte una forma final similar a la ecuación (3.21). Concretamente, observamos que en la fórmula (3.21) aparece la latitud geodésica φ en lugar de la distancia polar θ. Esto significa que debe existir una relación entre ambas variables que debemos encontrar e incorporar a la ecuación (3.27), para obtener γ0 como función de la latitud geodésica φ y no de la distancia polar θ, como sucede ahora en (3.27). También observamos que en la fórmula (3.21), aparece la gravedad normal en el ecuador γa como constante. Esto significa que debemos calcular esta cantidad e introducirla en la fórmula (3.27), de manera adecuada, para llevar la expresión (3.27) a una fórmula que tenga el mismo formato que la ecuación (3.21). En consecuencia, debemos obtener las expresiones adecuadas de las cantidades γa, J2, J4 y cos2θ; para introducirlas en la fórmula (3.27) y así llevar esta ecuación a una fórmula similar (3.21). Esto es lo que vamos a realizar a continuación, considerando sólo los términos hasta el orden f2, pues la contribución de los términos de orden superior puede considerarse despreciable (Torge, 1991).

12

Relación entre distancia polar θ y latitud geodésica φ. Para encontrar esta relación partimos de la fórmula (1.4), en la que podemos introducir f usando las ecuaciones (1.1), teniendo

φ

φ−=

φ

φ−=

ψ

ψ2

24

2

222

2

2

cossin)f1(

cossin)e1(

cossin ⇒

φ−

φ+−=

ψ−

ψ2

22

2

2

sin1sin)f6f41(

sin1sin

donde hemos despreciado órdenes mayores que f2 al calcular (1−f)4. Operando con esta fórmula para despejar el valor de sin2ψ obtendremos el valor de cos2θ, dado por la relación

φ−+φ−=ψ=θ 2sin)ff2

11(sin)f161(sincos 222222 (3.28)

donde hay que notar que aparece un término en sin2φ y otro término en sin22φ, esto nos hace comprender por qué aparecen en la fórmula (3.21) dos términos, uno con sin2φ y otro con sin22φ.

Expresión de J2 y J4 en función de f y m. Para introducir los valores de J2 y J4 en la fórmula (3.27) es necesario escribirlos como función de las cantidades f y m, pues en dicha fórmula todos los términos que aparecen están en función de estas dos cantidades. Por ello, vamos aquí a expresar J2 y J4 como función de f y m. Para ello, partimos de la fórmula (3.20) la cual nos da una expresión de f = f (J2, m), de la que tenemos que llegar a una expresión J2 = J2 (f, m). Para conseguir este objetivo vamos a despejar J2 de la fórmula (3.20), en la forma

222 m

563m

21)m

2815J

89

23(Jf ++++= ⇒

m145J

431

32)m

563m

21f(

m2815J

89

23

m563m

21f

J2

2

2

2

2++

−−=

++

−−=

donde podemos utilizar la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, teniendo

=+−+−−−=−−−−≈ 222

22

22 m

425mf

215mJ

41fJ

21m

281m

31f

32)m

145J

431)(m

281m

31f

32(J

)m31f

32)(f

21m

41(mf

215m

121m

31f

32J)f

21m

41(mf

215m

121m

31f

32 2

22 −−+−+−≈−+−+−= ⇒

22 f

31mf

212m

31f

32J −+−= (3.29)

La fórmula (3.29) también puede usarse para obtener el término J4, si la introducimos en la relación (3.15), teniendo (Torge, 1991)

( ) 22

22

24 f

54mf

74fJ

712f

3512fJ20f4

353J −=−=−= (3.30)

Gravedad normal en el ecuador γa en función de f y m. Para introducir el valor de γa en la fórmula (3.27) es necesario escribirla como función de las cantidades f y m, pues en dicha fórmula todos los términos que aparecen están en función de estas dos cantidades. Para expresar γa de esta forma, partimos de la fórmula (3.23) en la cual introducimos el término centrífugo dado por (3.12) multiplicado por 2, junto con los valores de J2 y J4 dados por las ecuaciones (3.29) y (3.30), obteniendo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−−−+−+=γ )mfm()f

54mf

74(

815)f

31mf

212m

31f

32(

231

aKM 22

2a ⇒

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+=γ mf

1427fm

23f1

aKM 2

2a (3.31)

13

Obtenidas ya todas las fórmulas necesarias, podemos ya escribir la ecuación (3.27), en la que incorporamos la información dada por las ecuaciones (3.28), (3.29), (3.30) y (3.31), obteniendo γ0 en la forma

)2sinsin1( 21

2a0 φβ+φβ+γ=γ

donde la gravedad normal en el ecuador γa está dada por (3.31) y los valores de β y β1 vienen dados por (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991)

2m4

15mf1417m

25f +−+−=β mf

85f

81 2

1 −=β (3.32)

Podemos obtener los valores numéricos de las cantidades γa, β y β1, a través de las ecuaciones (3.31) y (3.32), introduciendo los valores de f y m anteriormente presentados, para escribir la fórmula de la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, en la forma (Torge, 1991)

2220 m/s )2sen 0000058.0sen 0053024.01( 780327.9 φ−φ+=γ

Esta fórmula es muy importante por su aplicación en diversos cálculos geodésicos, como pueden ser el cálculo de anomalías de la gravedad o el cálculo de la ondulación del geoide. No obstante, para ciertos cálculos geodésicos también es necesario conocer la primera y segunda derivadas de la gravedad normal, referidas al elipsoide de revolución (es decir, con h = 0). Por ello, a continuación vamos a ver cómo se pueden calcular estás derivadas, empleando para ello los datos y fórmulas que hemos obtenido en este apartado.

Comenzaremos con la determinación de la primera derivada de la gravedad normal, que puede ser obtenida mediante (apéndice VIII)

2

NM0

02)11(

hω−

ρ+

ργ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂γ∂ (3.33)

donde

)e1(a)sine1(1

2

2/322

M −

φ−=

ρ

a)sine1( 1 2/122

N

φ−=

ρ (3.34)

son los radios de curvatura principales (apéndice I), siendo ρM el radio de curvatura principal en la dirección del meridiano y ρN el radio de curvatura principal en la dirección del paralelo (llamado gran normal, normal principal o también primer vertical de Q).

Para llegar a una expresión sencilla de la primera derivada de la gravedad normal, en función de las cantidades f y m, eliminaremos la excentricidad e de las fórmulas (3.34), poniendo f en su lugar, es decir

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +φ−+−≈

−+

φ−−=

−

φ−=

ρ)f3f2(sin

23f2f1

a1

)f2f1(a)sin)ff2(1(

)e1(a)sine1(1 222

2

2/322

2

2/322

M

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −φ−≈

φ−−=

φ−=

ρ)ff2(sin

211

a1

a)sin)ff2(1(

a)sine1(1 22

2/1222/122

N

donde podemos considerar f2 y órdenes superiores despreciables, obteniendo

[ ]φ−+≈ρ

2

Msinf3f21

a11 [ ]φ−≈

ρ2

Nsinf1

a11

14

Si ahora introducimos estas expresiones en la ecuación (3.33), junto con la aproximación m = ω2a/γ0 (apéndice V), obtenemos la expresión (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991)

[ ] ma

2sinf1sinf3f21a

2)11(h

02202

NM0

0

γ−φ−+φ−+

γ−≈ω−

ρ+

ργ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂γ∂ ⇒

[ ]φ−++γ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂γ∂ 20

0sinf2mf1

a2

h (3.35)

Para obtener la segunda derivada de la gravedad normal, dado que esta cantidad va a ser muy pequeña, podemos realizar aproximaciones mucho más fuertes que en el caso anterior, expresando γ0 en aproximación esférica y derivándolo respecto de a. Así obtenemos (Heiskanen y Moritz, 1985; Kuroishi, 1995)

20a

KM=γ ⇒ 3a

KM2ah

−=∂

γ∂≈

∂γ∂ ⇒ 2

04

02

2

a6

aKM6

aγ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

γ∂ (3.36)

Hay que notar que con las fórmulas (3.21), (3.35) y (3.36), podemos expresar el valor de la gravedad normal para un punto P de latitud φ que se halle a una altura h (figura 1.1), no muy por encima del elipsoide de revolución, mediante un desarrollo en serie en función de esta altura h, en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+φ−++−γ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

γ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂γ∂

+γ=φγ 22

20

2

02

2

00 h

a3h)sinf2mf1(

a21h

h21h

h)h,(

Esta expresión puede resultar bastante útil para trabajos geodésicos sobre la superficie de la Tierra, pues en este caso la altura h suele ser suficientemente pequeña (comparada con a), como para que esta fórmula pueda aplicarse. 4. Líneas geodésicas del elipsoide de revolución

La determinación de las líneas geodésicas de una superficie, es un problema clásico de la geodesia geométrica, pero no por ello es un problema que se haya quedado desfasado o anticuado. Hay muchas aplicaciones científicas y técnicas en las que se necesita conocer las líneas geodésicas, o la distancia entre dos puntos de la Tierra por el camino más corto sobre la superficie de la misma, es decir, siguiendo la línea geodésica del elipsoide de revolución terrestre que une dichos puntos. En consecuencia y debido a la gran importancia que todavía tiene la determinación de las líneas geodésicas, vamos a dedicar este apartado a estudiar cómo se calculan estas líneas.

Para ello, debemos recordar que, según la geometría diferencial clásica, se denominan líneas geodésicas a aquellas líneas trazadas sobre una superficie para las cuales la curvatura geodésica se anula. La curvatura geodésica κg es una de las dos componentes que tiene el vector curvatura, este vector puede expresarse como (Struik, 1955)

TNn gnrrrr

κ+κ=κ=κ

donde n es el vector normal a la curva, N es el vector normal a la superficie y T es un vector perpendicular a N y al vector tangente a la curva t. La curvatura geodésica podrá determinarse como el producto vectorial de κ.T, donde hay que recordar que κ es la derivada del vector tangente t con respecto al arco. Entonces, la curvatura geodésica se podrá determinar mediante

)r,r,N()N,r,r()Nt(tTtTgrrrrrrrrrrrrr ′′′=′′′=×⋅′=⋅′=⋅κ=κ (4.1)

15

donde r es el vector de posición (apéndice I). Para obtener la curvatura geodésica κg mediante la fórmula (4.1), debemos introducir las relaciones (apéndice I y apéndice III)

αα ′=′ urrrr

γγβααβ ′′+′′=′′ uruurr rrr 21

21rrrrN rr

rrr

××

= (4.2)

donde (α, β, γ) son índices varían entre (1, 2) y (u1, u2) son las coordenadas curvilíneas o curvas coordenadas de la superficie (apéndice I). La derivada segunda de r respecto al arco, se puede escribir de forma más simple como

cNcrrrrr

+=′′ γγ (4.3) si tenemos en cuenta que

βαγαβγγ ′′Γ+′′= uuuc βααβ ′′= uubc (4.4)

puesto que si introducimos las relaciones (4.4) en la fórmula (4.3), llegamos a la expresión de la derivada segunda de r respecto al arco dada por (4.2), es decir

=′′+′′Γ+′′=′′+′′Γ+′′=+=′′ βααββαγαβγγγβααββα

γαβγγγγ )uub(Nuurur)uub(N)uuu(rcNcrr

rrrrrrrr

βααβγγαβγαβγβαγγβααββα

γαβγγγ ′′+′′=+Γ′′+′′=′′+′′Γ+′′= uurur)bNr(uuur)uub(Nuurur

rrrrrrrr

donde hemos utilizado que (apéndice XI)

αβγαβγαβ +Γ= bNrr

rrr (ecuaciones de Gauss)

Cuando introducimos las relaciones (4.2), (4.3) y (4.4) en la fórmula (4.1), obtenemos el valor de la curvatura geodésica en la forma (Cid y Ferrer, 1997)

=′=′+′=′+=′′′=κ ννγγννννγγννγγ )ur,cr,N()ur,cN,N()ur,cr,N()ur,cNcr,N()r,r,N(grrrrrrrrrrrrrrrr

)ucuc(g)ucuc)(r,r,N()ur,cr,N()ur,cr,N( 122112212111222211 ′−′=′−′=′+′=rrrrrrrrr

Para las líneas geodésicas por definición κg tiene que ser cero. Esta condición se cumplirá siempre que cγ sea igual a cero, es decir

0uuuc =′′Γ+′′= βαγαβγγ (4.5)

Las ecuaciones (4.5) nos dan las condiciones que se tienen que cumplir para que una curva cualquiera sea una línea geodésica. Por ello, a las ecuaciones (4.5) se les llama ecuaciones diferenciales de las líneas geodésicas.

No obstante, hemos definido al principio de este apartado la línea geodésica, como la línea trazada sobre una superficie que une dos puntos de dicha superficie, de tal forma que la distancia medida sobre esta línea es la más pequeña, es decir, la geodésica es el trayecto de mínima distancia entre dos puntos de una superficie. Entonces, a la vista de las ecuaciones (4.5) consecuencia de la condición κg = 0, es difícil notar que esta propiedad se cumple. Para comprobar que esta propiedad de la geodésica es cierta, recurrimos al cálculo de variaciones, buscando las curva C que resuelvan el problema variacional dado por (Struik, 1955)

1,2 )s,u,h(u 0)hds( =ν′=δ νν∫

donde s denota el arco. Las curvas C que resuelvan este problema son las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange, dadas por

16

0uh

dsd

uh

=′∂

∂−

∂∂

νν (4.6)

En nuestro problema la cantidad h es

βααβ ′′= uugh

Entonces calculando las derivadas de h según la ecuación (4.6), tenemos

βαν

αβ

ν′′

∂

∂=

∂∂ uu

ug

21

uh ανα

ν′=

′∂∂ uguh αναβα

β

να

ν′′+′′

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂ uguuu

guh

dsd

donde hemos omitido en las expresiones anteriores un término βααβ ′′ uug en el denominador,

porque al igualar a cero no va a jugar ningún papel. Aplicando ahora la ecuación (4.6) con las derivadas de h obtenidas, tenemos

0uguuu

gug

21uguu

uguu

ug

21

uh

dsd

uh

=′′−′′⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−∂

∂=′′−′′

∂∂

−′′∂

∂=

′∂∂

−∂∂

αναβαβ

να

ν

αβαναβα

β

ναβα

ν

αβ

νν

si introducimos en esta ecuación la relación

βαβ

να

α

νββα

β

να ′′⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂

∂=′′

∂∂ uu

ug

ug

uuu

g2

obtenemos finalmente que (apéndice XI)

[ ] 0uguu,uh

dsd

uh

=′′+′′ναβ=′∂

∂−

∂∂

αναβανν

donde podemos multiplicar por gνγ y sumar respecto del índice ν, obteniendo de nuevo las ecuaciones (4.5), si introduciendo la definición de símbolo de Christoffel de segunda especie (apéndice XI) y operamos en la forma

[ ] 0uuuugguu,g =′′+′′Γ=′′+′′ναβ γβαγαβανα

νγβα

νγ

De esta forma hemos confirmado que las ecuaciones (4.5) son las ecuaciones diferenciales que hay que integrar, para obtener la ecuación de las líneas geodésicas de una superficie, definidas también como las líneas trazadas sobre una superficie, que cumplen la condición de ser los trayectos de mínima distancia entre dos puntos de una superficie.

Si esta superficie es un elipsoide de revolución, en las ecuaciones (4.5) deberemos introducir los valores de los símbolos de Christoffel de segunda especie que corresponden a esta superficie, pues su valor nos permitirá particularizar las ecuaciones (4.5) para esta superficie. Para ello, obtendremos en primer lugar los símbolos de Christoffel de primera especie (apéndices I y XI), cuyo valor es (los que son igual a cero no son listados)

[ ] φ=∂∂

= 2sinW

eP23

ug

211,11 8

22

1

11

[ ] φ=∂

∂−= 2sin

WPa

21

ug

211,22 41

22

[ ] [ ] φ−=∂

∂== 2sin

WPa

21

ug

212,212,12 41

22

17

donde a es el semieje mayor del elipsoide, e es la excentricidad dada por las ecuaciones (1.1) y (P, W) son las siguientes abreviaturas

)e1(aP 2−= φ−= 22 sine1W

A continuación obtenemos los coeficientes gαβ (apéndices I y XI), cuyo valor es (los que son igual a cero no son listados)

2

62211

PW

ggg ==

φ== 22

21122

cosaW

ggg

Calculando finalmente los símbolos de Christoffel de segunda especie (apéndices I y XI), cuyo valor es (los que son igual a cero no son listados)

[ ] [ ] φ==ν=Γ ν 2sinWe

231,11g,11g 2

21111

11

[ ] [ ] φ==ν=Γ ν 2sinP2

aW1,22g,22g2

111122

[ ] φ−=Γ==Γ tanaW

P2,12g 2221

22212

Con el valor de estos símbolos introducidos en las ecuaciones (4.5), procederemos a escribir las ecuaciones diferenciales de las líneas geodésicas del elipsoide de revolución en la forma

0uuuuu 2212211

1111 =′′Γ+′′Γ+′′ 0uu2u 21

2122 =′′Γ+′′

cambiando (u1, u2) por sus valores (φ, λ) y poniendo el valor de los símbolos, tenemos

0)(2sinP2

aW)(2sinWe

23 2

22

2

2=λ′φ+φ′φ+φ ′′ 0)(tan

aWP2

2 =λ′φ′φ−λ ′′

Integrando la segunda ecuación obtenemos

)dsd(tan

aWP2

dsd

2φ

λ′φ=λ′ ⇒ φφ=λ′λ′

dtanaW

P2d2 ⇒ ∫ +φ

φ

φ−=λ′ Clnd

Wcossin)e1(2ln 2

2

⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φ=−λ′

2

2

cosWlnClnln ⇒

φ=λ′

2

2

cosCW ⇒ 2

2

CWdcosds λφ

=

Si ahora incorporamos aquí el valor del elemento de arco dado por la primera forma fundamental a través de la ecuación (A1.4), tenemos (Cid y Ferrer, 1997)

222

222

322

2222 )(d

)sine1(cosa )(d

)sine1()e1(a)ds( λ

φ−

φ+φ

φ−

−= ⇒

⇒ 2222

426224224 )d(cosa

WWCW/)d(PWC)d(cos λφ+φ=λφ ⇒

∫∫ −φφ

φ±=λ

2222 WaCcoscosW

CPdd (4.7)

La integración de la ecuación (4.7) nos dará la ecuación de las líneas geodésicas del elipsoide de revolución, escrita en la forma λ = λ(φ).

18

No obstante, hay que decir que la integración de la ecuación (4.7) no es nada fácil, aunque no lo parezca debido a su sencilla apariencia. Se trata de una integral para obtener la geodésica en la forma λ = λ(φ), que obviamente no es la forma más conveniente de esta curva, pues valores iguales de la variable φ nos dan distintos valores de λ, es decir, la curva puede estar multivaluada en algunos casos. Por ello, una expresión analítica de la geodésica en la forma λ = λ(φ), que sirva para unir cualquier par de puntos del elipsoide, puede ser bastante difícil de obtener.

Debido a esta complejidad, puede ser muy útil simplificar el problema intentando conseguir una solución numérica en lugar de una solución analítica. Para ello, escribimos la ecuación (4.7) en la forma

CPWaCcoscosW

dd 2222 −φφ

±=λφ (4.8)

Ahora notamos que la fórmula (4.8) expresa el valor de la derivada de la función φ = φ(λ), que obviamente no puede ser tampoco integrada de forma analítica, pues está en función de φ y no de λ. No obstante, la fórmula (4.8) nos permite hacer una estimación numérica de la geodésica escrita en la forma φ = φ(λ), pues podemos plantear el procedimiento de cálculo aproximado, dado por

λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λφ

+φ=φφ

ddd

00 ⇒ )(

dd

1ii1ii1i

−φ

− λ−λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λφ

+φ=φ−

(4.9)

Para ejecutar este procedimiento numérico en un ordenador, conocemos los puntos inicial P1(φ1,λ1) y final P2(φ2,λ2), que vamos a unir trazando la geodésica. Entonces, calculamos la geodésica que une ambos puntos mediante la fórmula (4.9), siendo λi calculado mediante

)1N/())(1i( 121i −λ−λ−+λ=λ (4.10)

donde i = 1, 2, …, N. Para i = 1 comenzamos dando el valor φi = φ1, obteniendo los restantes φi mediante la fórmula (4.9), en la que incorporamos los valores de λi dados por (4.10) y calculamos la derivada de φ respecto de λ mediante (4.8), evaluada en el valor de φ anterior. Cuando lleguemos al último valor λN, tiene que cumplirse que

21NN1NN )(dd

1N

φ≈λ−λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λφ

+φ=φ −φ

−−

Es decir, la latitud φ2 del punto P2, conocida como dato inicial, nos permite calcular el error cometido en este proceso de cálculo aproximado, hallando la diferencia que hay entre el valor calculado φN y el valor verdadero φ2 del punto P2. De esta forma, podemos establecer un muestreo de valores N, tan grande como sea necesario para que la geodésica φi = φ( λi ), obtenida de forma numérica, sea tan precisa como se quiera, puesto que para conseguir mayor precisión lo que haremos será hacer más pequeño el intervalo ∆λ = λi − λi-1.

19

Apéndices

A1. Ecuaciones del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas

Tal como se ha dicho en el aparatado 1, para obtener las ecuaciones (1.3) partimos de las ecuaciones

x = rcosλ y = rsinλ z = f(r) (A1.1)

Las ecuaciones (A1.1) son las ecuaciones paramétricas de una superficie de revolución (Struik, 1955), donde (r, λ) son las coordenadas curvilíneas de un punto cualquiera de dicha superficie (Struik, 1955). Las curvas paramétricas con las curvas que se forman sobre una superficie cuando alguno de las coordenadas curvilíneas es constante (Struik, 1955). Las curvas paramétricas r = constante son los paralelos de una superficie de revolución, siendo las curvas paramétricas con λ = constante sus meridianos (Struik, 1955). A las curvas paramétricas de una superficie se le llaman también curvas coordenadas (Struik, 1955). En esta notación la variable λ coincide con la longitud geodésica y varía desde 0 hasta 360º, siendo r = ρN cosφ (figura 1.1).

Si consideramos el elipsoide de revolución como un caso particular de figura de revolución, tenemos que la curva f(r), que se rota alrededor del eje OB de la figura 1.1 para obtener el elipsoide de revolución, se obtiene de la ecuación implícita de dicha superficie de revolución (Struik, 1955; Torge, 1991)

1bz

ay

ax

2

2

2

2

2

2=++

mediante la identificación del parámetro r en la forma x2 + y2 = r2, entonces operando tenemos

1bz

ar

2

2

2

2=+ ⇒

2

ar1bz ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

obteniendo las ecuaciones (1.2), a partir de las cuales llegamos a las ecuaciones (1.3) sin más que notar que r = ρN cosφ (figura 1.1), entonces

x = rcosλ = ρN cosφ cosλ

y = rsinλ = ρN cosφ sinλ

φρ+ρ−=

φ−ρ−=φρ−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22N

2N

2

22N

222N

2222

sinaab

)sin1(aabcosa

abra

ab

ar1bz

para simplificar la expresión de z podemos recurrir a la definición de ρN dada por (1.3), teniendo que

sine1

a22N

φ−=ρ ⇒

sine11

a 22

2N

φ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ

⇒ 2

N

22 asine1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

=φ−

⇒ φρ−ρ==φ−ρ 2N

22N

2222N

2 sinea)sine1(

20

ahora ponemos este valor de a en la ecuación anterior para z, teniendo

φρ−=−φρ=

φρ+ρ−φρ−ρ=φρ+ρ−=

sin)e1()e1(sinab

sinsineabsina

abz

N2222

N

22N

2N

222N

2N

22N

2N

2

con lo que finalmente obtenemos las ecuaciones (1.3) en la forma

φρ−=λφρ=λφρ= sin )e1(z sin cos y coscosx N2

NN (A1.2)

donde sólo nos queda por encontrar qué es la cantidad

sine1

a22N

φ−=ρ (A1.3)

Para ello, debemos notar primero que las ecuaciones (A1.2) son las ecuaciones paramétricas del elipsoide de revolución, de una forma análoga a las ecuaciones (A1.1), pero ahora hemos elegido los parámetros (φ, λ) como coordenadas curvilíneas de un punto cualquiera Q de dicha superficie (el elipsoide de revolución), en lugar de usar los parámetros (r, λ). En este caso, las curvas paramétricas φ = constante serán los paralelos del elipsoide de revolución, siendo las curvas paramétricas con λ = constante como antes, los meridianos (Cid y Ferrer, 1997). En esta notación φ es la latitud geodésica y λ es la longitud geodésica (figura 1.1). Con estas nuevas coordenadas curvilíneas (φ, λ) podemos escribir las primera y segunda formas fundamentales de la superficie (que en este caso es un elipsoide de revolución) mediante las ecuaciones (Cid y Ferrer, 1997)

222

222

322

222)(d

)sine1(cosa )(d

)sine1()e1(aI λ

φ−

φ+φ

φ−

−= (A1.4)

22/122

22

2/322

2)(d

)sine1(cosa )(d

)sine1()e1(aII λ

φ−

φ+φ

φ−

−= (A1.5)

donde I y II son la primera y segunda formas fundamentales, respectivamente.

La ecuación (A1.4) se obtiene a través de la definición de primera forma fundamental de una superficie, dada por (Struik, 1955)

22212

2112121

2 )dv(g)dv)(du(g2)du(g)dvrdur).(dvrdur(rd.rddsI ++=++===rrrrrr (A1.6)

donde ds es elemento de arco para una curva trazada sobre dicha superficie, siendo los gij dados por las derivadas parciales (Struik, 1955)

ur.

urr.rg 1111 ∂

∂∂∂

==rr

rr

vr.

urr.rg 2112 ∂

∂∂∂

==rr

rr

vr.

vrr.rg 2222 ∂

∂∂∂

==rr

rr (A1.7)

siendo kji )v,u(z)v,u(y)v,u(x)v,u(rr ++==

rr (A1.8)

donde (i, j, k) son los vectores unitarios cartesianos que dan dirección y sentido a los ejes cartesianos (x, y, z). Cuando aplicamos a la ecuación (A1.8) los valores de (x, y, z) dados por las ecuaciones (A1.2) y (A1.3), podemos calcular los gij dados por las ecuaciones (A1.7), considerando como coordenadas curvilíneas (u, v) las coordenadas geodésicas (φ, λ). Entonces, escribimos la ecuación (A1.6) con los valores de gij obtenidos para las coordenadas curvilíneas (φ, λ), teniendo como resultado las ecuaciones (A1.4). Donde hay que notar que g12 = 0, esto significa que las curvas coordenadas son ortogonales entre sí, es decir, que los meridianos y paralelos del elipsoide de revolución forman dos conjuntos de líneas ortogonales entre sí (Struik, 1955).

21

La ecuación (A1.5) se obtiene a través de la definición de segunda forma fundamental de una superficie, dada por (Struik, 1955)

22212

2112121 )dv(b)dv)(du(b2)du(b)dvNduN).(dvrdur(Nd.rdII ++=++−=−=

rrrrrr (A1.9)

donde N es el vector unitario normal a la superficie y r está dado por (A1.8), siendo los bij dados por las derivadas parciales (Struik, 1955)

uN.

urN.rb 1111 ∂

∂∂∂

−=−=rrrr

vN.

urN.rb 2112 ∂

∂∂∂

−=−=rrrr

vN.

vrN.rb 2222 ∂

∂∂∂

−=−=rrrr (A1.10)

donde para el vector N podemos usar la ecuación (apéndice III)

)sin ,sin cos ,cos(cosN φλφλφ=r

Cuando aplicamos a la ecuación (A1.8) los valores de (x, y, z) dados por las ecuaciones (A1.2) y (A1.3), podemos calcular los bij dados las ecuaciones (A1.10), considerando también las derivadas parciales del vector N. Entonces, escribimos la ecuación (A1.9) con los valores de bij obtenidos para las coordenadas curvilíneas (φ, λ), teniendo como resultado las ecuaciones (A1.5). Donde hay que notar que b12 = 0, este resultado junto con g12 = 0 significa que las curvas coordenadas, que son ortogonales entre sí, son además líneas de curvatura (Struik, 1955), es decir, que los meridianos y paralelos del elipsoide de revolución forman dos conjuntos de líneas, que además de ser ortogonales entre sí, son las líneas en las cuales la curvatura es principal. Este resultado proviene de estudiar la razón que existe entre la primera y segunda formas, que por definición es la curvatura normal κn, es decir (Struik, 1955)

rd.rdNd.rd

III

n rr

rr−

==κ (A1.11)

Cundo buscamos las direcciones tangentes a una curva para las cuales κn es máxima o mínima, encontramos unas direcciones que se llaman direcciones de curvatura principal o direcciones principales. A las curvas, o líneas sobre la superficie, que tienen estas direcciones se les denomina líneas de curvatura. En estas líneas la curvatura normal κn es máxima o mínima, denominándose curvatura principal a la curvatura normal κn en la dirección de una línea de curvatura (dirección principal).

En el caso del elipsoide de revolución, por ser b12 = 0 y g12 = 0, las curvas coordenadas son líneas de curvatura. Esto significa que la curvatura normal κn para los meridianos (dλ = 0) y los paralelos (dφ = 0) es principal, pudiendo obtener los valores de κn mediante las fórmulas (A1.4), (A1.5) y (A1.11), poniendo dλ = 0 para los meridianos y dφ = 0 para los paralelos. Estos valores son (Cid y Ferrer, 1997)

)0(d)e1(a)sine1(

2

2/3221

=λ−

φ−=κ

)0(d

a)sine1(

2/1222

=φ

φ−=κ (A1.12)

Conocidas las curvaturas principales, podemos determinar los radios de curvatura principales, pues éstos son sus inversos (Struik, 1955). Entonces, aplicando el teorema de Euler tenemos

AsinAcos 22

21n κ+κ=κ ⇒ (A1.13) Asin)/1(Acos)/1()R/1( 2

22

1 ρ+ρ=

donde R es el radio de curvatura de una sección normal de acimut A, medido este acimut respecto al meridiano que pasa por ese mismo punto Q del elipsoide, por el que pasa el plano normal que define esa curva. Una sección normal es la curva que se forma sobre el elipsoide, cuando lo cortamos con un plano que contiene la dirección normal al elipsoide, en un punto Q de dicho

22

elipsoide. Este plano normal formará un ángulo A con el plano meridiano. El plano meridiano es el plano normal (que también contiene la dirección normal al elipsoide en el mismo punto Q) que forma la línea del meridiano cuando corta al elipsoide.

Cuando ponemos los valores A = 0 y A = 90º en la ecuación (A1.13) e introducimos los valores de κ1 y κ2 dados por (A1.12), obtenemos los radios de curvatura normales para los meridianos y paralelos (Torge, 1991)

)0d s(meridiano 0A)sine1(

)e1(a/1R M2/322

211

=λ=

ρ=φ−

−=κ=ρ=

)0d (paralelos 0º9A

)sine1(a/1R N2/12222

=φ=

ρ=φ−

=κ=ρ=

donde ρN es la cantidad dada por la ecuación (A1.3), que tratábamos de identificar desde el principio. Al radio de curvatura normal en la dirección de un paralelo se le llama gran normal, normal principal o también primer vertical de Q (Torge, 1991).

El teorema de Euler (A1.13) es un resultado muy importante de la geometría diferencial clásica, pues este teorema junto con el teorema de Meusnier, nos da toda la información respecto a la curvatura, para cualquier curva de una superficie que pase por un punto cualquiera de dicha superficie (Struik, 1955). El teorema de Meusnier nos dice que para cualquier curva de una superficie se verifica que

ϕκ=κ cosn ϕ= cosRr (A1.14)

donde r = 1/κ es el radio de curvatura de la curva, R = 1/κn el radio de curvatura normal y ϕ es el ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva. Lógicamente la ecuación (A1.14) para los radios de curvatura, no podrá escribirse para las curvas asintóticas, pues para estas curvas II = 0, entonces κn = 0 (Struik, 1955).

En el caso que nos ocupa, el elipsoide de revolución, podemos aplicar el teorema de Meusnier a los paralelos y a los meridianos, pues ninguna de estas curvas es asintótica. Para los paralelos tenemos (figura 1.1)

φρ=ϕρ=ϕ= coscoscosRr NN

ya que, un paralelo es simplemente una circunferencia de radio r (el paralelo que pasa por un punto Q cualquiera del elipsoide), entonces el ángulo ϕ que forma el vector normal a esta curva con el vector normal a la superficie, es precisamente la latitud geodésica φ, siendo el radio de esta circunferencia r el radio de curvatura de esta curva (Torge, 1991). Ahora podemos comprobar que el radio de curvatura en el primer vertical ρN es la distancia NQ (figura 1.1), quedando perfectamente identificada la cantidad dada por la ecuación (A1.3), tanto de forma numérica como gráfica. Respecto a los meridianos, por estar formados por el corte de un plano normal con el elipsoide, el ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva es ϕ = 0. En consecuencia, según la ecuación (A1.14) el radio de curvatura de la curva y el radio de curvatura normal son idénticos (Torge, 1991). A2. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica

Para hallar la relación que existe entre latitud geodésica φ y latitud geocéntrica ψ, debemos observar en la figura 1.1 que cuando nos situamos en un punto Q del elipsoide y nos desplazamos un pequeño incremento dr, pasamos a otro punto del elipsoide Q’ infinitamente próximo a Q pero justo por debajo, es decir, dz es negativo. En consecuencia, cuando estudiemos el valor de dicha pendiente, tendremos (Torge, 1991)

23

φ=φ=φ−=φ−−=α=

−tan

1cot)º90tan()º90180tan(tandrdz ⇒

dzdrtan −=φ

donde podemos introducir el valor esta derivada a partir de las expresiones (1.1), despejando una relación r = r(z) y derivando respecto de z, con lo que obtendríamos

2

bz1ar ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ⇒ ψ==−=φ tan

ba

rbza

dzdrtan 2

2

2

2 ⇒ φ−=φ=ψ tan)e1(tan

abtan 2

2

2

donde hemos utilizado de nuevo las expresiones (1.1) para encontrar el valor del cociente b/a. Así, obtenemos finalmente la ecuación (1.4), la cual nos da la relación existente entre la latitud geodésica φ y la latitud geocéntrica ψ, para cualquier punto Q de la superficie del elipsoide de revolución. La relación (1.4) es muy importante por su gran utilidad, lo mismo que la expresión del radio geocéntrico ρ (figura 1.1) en función de la latitud geocéntrica ψ, de un punto Q del elipsoide de revolución, esta relación es (Rapp, 1971)

cose1

e1a22

2

ψ−

−=ρ (A2.1)

Para demostrar la ecuación (A2.1) basta con observar la figura 1.1, notando enseguida que

1bz

ar

2

2

2

2=+ ⇒ 222222 baazbr =+ ⇒ 222222 baa)sin(b)cos( =ψρ+ψρ ⇒

22

222

)cosb()sina(ba

ψ+ψ=ρ ⇒

22 )cosb()sina(

ab

ψ+ψ=ρ

entonces, habida cuenta de que b2 = a2(1 − e2) tenemos la ecuación (A2.1). Las expresiones (1.4) y (A2.1) son muy importantes pues las coordenadas geocéntricas son las más usadas para escribir la posición de un punto Q del elipsoide, en los desarrollos en serie del potencial gravitatorio terrestre (Rapp, 1971; Kuroishi, 1995). A3. Vector normal a la superficie del elipsoide de revolución

Para hallar la expresión del vector normal a la superficie elipsoide de revolución, dada por (Cid y Ferrer, 1997)

)sin ,sin cos ,cos(cosN φλφλφ=r

(A3.1)

obtendremos primero el valor del vector normal a una superficie, particularizando luego este resultado al caso del elipsoide de revolución. Así, debemos recordar que el vector unitario normal a una superficie se calcula mediante el producto vectorial (Struik, 1955)

grr

rrrrN 21

21

21rr

rr

rrr ×=

××

= 122

2211 gggg −= (A3.2)

donde los vectores y los gij están dados por las relaciones (A1.7) y (A1.8). Si consideramos como coordenadas curvilíneas (u, v) las coordenadas geodésicas (φ, λ), podemos aplicar a la ecuación (A1.8) los valores de (x, y, z) dados por las ecuaciones (A1.2) y (A1.3), calculando los gij mediante las ecuaciones (A1.7) y como consecuencia el producto vectorial (A3.2), obteniendo entonces como resultado final la ecuación (A3.1).

24

A4. Transformación de coordenadas por rotación

Cuando realizamos el cálculo exacto de la matriz de rotación R de la fórmula (2.1), nos damos cuenta de que la expresión (2.2) es sólo una aproximación válida cuando los ángulos (εx, εy, εz) son suficientemente pequeños (Torge, 1991). En la práctica, suele ser siempre así, pues estos ángulos tienen valores que nos superan unos pocos segundos de arco. Por ello, no se usa nunca la transformación exacta en la que R es el producto de tres matrices (Doneddu, 1978; Spiegel, 1988), que expresan tres rotaciones ortogonales consecutivas, cada una de ellas alrededor de uno de los ejes cartesianos (x, y, z), con los ángulos (εx, εy, εz), es decir, que la expresión exacta de R es (Leick, 1995)

R = R(εx)R(εy)R(εz) (A4.1) donde cada matriz está dada por

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε−≈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε−=ε

1 0 ε 1 0 0 0 1

εcos sin 0 εsin εcos 0

0 0 1 )(

x

x

xx

xxxR (A4.2)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ε−

≈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ε−

=ε1 0 ε 0 1 0

0 1

εcos 0 εsin 0 1 0

sin 0 εcos

)(

y

y

yy

yy

yR (A4.3)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ε−≈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ε−=ε

1 0 0 0 1

0 ε 1

1 0 0 0 εcos sin0 εsin εcos

)( z

z

zz

zz

zR (A4.4)

donde la aproximación del coseno del ángulo con valor 1 y del seno del ángulo con el ángulo, es válida cuando dicho ángulo es muy pequeño, cosa que afortunadamente suele suceder siempre en una transformación de cambio de dátum, pues como ya se ha dicho antes, los valores de los ángulos nunca exceden unos pocos segundos de arco. En este caso, el producto de matrices indicado por (A4.1), empleando las matrices aproximadas dadas por las expresiones (A4.2), (A4.3) y (A4.4), dará como resultado la matriz R de la expresión (2.2), en la que hemos despreciado los términos en ε2 y potencias superiores (Hofmann-Wellenhof and Lichtenegger, 1994). A5. Potencial centrífugo

Si queremos considerar en el elipsoide terrestre (o en la Tierra) un sistema de referencia con los ejes fijos al mismo, debemos tener en cuenta la fuerza centrífuga. Esta fuerza de inercia es introducida, como ya es bien sabido, para dar cuenta de la no inercialidad del sistema de referencia elegido. Esta fuerza ficticia es la que da cuenta de que no estamos midiendo las fuerzas en un sistema de referencia inercial. Por ello, necesitamos introducir fuerzas de este tipo, para dar cuenta de los efectos que observamos asociados a la no inercialidad del sistema de referencia elegido. En nuestro caso al medir la aceleración de gravedad debemos añadir un término aC, en la forma

γ = aG + aC

donde γ es la aceleración de la gravedad normal, aG es la parte debida a la gravitación y aC es la parte debida a la fuerza centrífuga (la aceleración centrífuga). La aceleración centrífuga aC se puede calcular desde el potencial centrífugo Φ, a través del operador gradiente (Torge, 1991)

25

22222 r21)yx(

21

ω=+ω=Φ a⇒ C = grad(Φ) = ω2r

donde observando la figura 1.1, identificamos fácilmente las cantidades r y r, como

x = rcosλ y = rsinλ r2 = x2 + y2 r = xi + yj

donde (i, j) son los vectores unitarios cartesianos que dan dirección y sentido a los ejes cartesianos (x, y). Cuando aplicamos el operador gradiente al potencial normal U dado por la ecuación (3.1), obtenemos la aceleración de la gravedad normal o simplemente la gravedad normal γ.

Llegados a este punto, es interesante estudiar el significado de la cantidad m definida como

KMbam

22ω= (A5.1)

donde K constante de gravitación de Newton y M es la masa de la Tierra. Esta cantidad m definida mediante la fórmula (A5.1), es una abreviatura muy utilizada en geodesia física, pues su valor es muy pequeño, por ello, puede usarse muy bien en desarrollos en serie de potencias, que convergerán para las primeras potencias de m, pues los términos correspondientes a potencias de grado superior serán despreciables.

Entonces, dada la importancia de esta cantidad en futuros desarrollos, es conveniente estudiar aquí qué significado tiene. Para ello, debemos notar que la aceleración centrífuga aC definida antes, tendrá un valor de ω2a (en módulo) cuando la calculemos en el ecuador. Para éste mismo lugar, el valor en modulo de la gravedad normal será

)U(grad=γ (A5.2)

donde podemos utilizar la fórmula (3.2) para obtener el valor de U. No obstante, si aproximamos la fórmula (3.2) en la forma

rKMU =

cuando la introducimos en la fórmula (A5.2) y ponemos r = a (en el ecuador), tenemos

2aa

KM=γ

con lo que podemos escribir la fórmula (A5.1) en función de la aceleración centrífuga y la gravedad normal (ambas calculadas en el ecuador), mediante (Heiskanen y Moritz, 1985)

mKM

baKM

aaa/KM)a(a 2222

2

2

a

2=

ω≈

ω=

ω=

γω

Por lo tanto, concluimos que la cantidad m definida por la fórmula (A5.1) es aproximadamente la razón que existe entre la aceleración centrífuga y la gravedad normal, cuando ambas son calculadas en el ecuador. Éste es el significado físico (aproximado) que tiene la cantidad m que hemos definido. A6. Potencial de la gravedad normal en armónicos esféricos

La ecuaciones (3.2) y (3.3) son importantes relaciones, de las cuales vamos a obtener mucha información sobre el campo de gravedad normal. Por ello, es importante obtenerlas a partir del concepto de potencial de la gravedad normal, indicando cómo llegamos al desarrollo en armónicos esféricos dado por la fórmula (3.2), cuyos coeficientes constantes están dados por la fórmula (3.3).

26

Para obtener estas importantes fórmulas, comenzaremos escribiendo en armónicos elipsóidicos el potencial gravitatorio V de la gravedad normal, pues estos armónicos son los más convenientes para describir esta función V, puesto que nos permitirán llegar a una expresión muy sencilla y compacta para este potencial. Con estos armónicos podemos escribir V en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985)

)(sinPA)

Ebi(Q

)Eui(Q

),u(V nn0n n

nβ=β ∑

∞

=

(A6.1)

donde An son los coeficientes constantes de este desarrollo, Pn son los polinomios de Legendre, Qn son las funciones de Legendre de segunda clase (términos zonales), E2 = a2 – b2 (a y b representados en la figura 1.1), β es la latitud reducida (apéndice IX) y u viene definido a través de las coordenadas elipsóidicas

º90βθ ,, cosuzsinsinEuy

cossinEux22

22

=+θ=

λθ+=

λθ+=

(A6.2)

El potencial centrífugo también podrá ser escrito en las coordenadas (A6.2), mediante

β+ω=+ω=Φ 2222222 cos)Eu(21)yx(

21

Por lo tanto, el potencial de la gravedad normal U(u,β) se escribirá en la forma

β+ω+β=β ∑∞

=

2222nn

0n n

ncos)Eu(

21)(sinPA

)Ebi(Q

)Eui(Q

),u(U (A6.3)

Para obtener el valor de los coeficientes constantes An de este desarrollo, vamos a estudiar el valor del potencial U(u,β) sobre el elipsoide de referencia, es decir, vamos a estudiar la superficie equipotencial U(u,β) = U0. En este caso, a partir de las ecuaciones (1.1) y (A6.2) podemos escribir

1bz

ayx

2

2

2

22=+

+ ⇒ 1bsinu

acos)Eu(

2

22

2

222=

β+

β+ ⇒

β−+β+β==β+β−+ 2222222222222222222 cosb)ba()cosbsina(ubasinuacosb))ba(u(

⇒ 22222

22222

2222

222222

2222

2222222 b

cos)ab(a)cos)ab(a(b

cosb)cos1(acosb)ab(ba

cosbsinacosb)ab(bau =

β−+

β−+=

β+β−

β−+=

β+β

β−+=

En consecuencia, sobre el elipsoide de referencia considerado como superficie de nivel, tenemos que u = b, por consiguiente la ecuación (A6.3) viene a ser

02222

0nnn Ucos)Eb(

21)(sinPA =β+ω+β∑

∞

=

Esta ecuación puede simplificarse más todavía si tenemos en cuenta que

222222 ababEb =−+=+ ))(sinP1(32cos 2

2 β−=β

27

con lo que obtenemos la relación

0U)(sinPa31a

31)(sinPA 02

2222

0nnn =−βω−ω+β∑

∞

=

que tiene que cumplirse para todos los valores posibles del ángulo β, esto significa que cada cantidad que multiplica un término Pn(sin β) de este desarrollo, tiene que ser cero. Es decir, tiene que cumplirse que

0Ua31A 0

220 =−ω+ ,, 0A1 = ,, 0a

31A 22

2 =ω− ,, ... 4, 3,ncon 0An ==

Entonces, si llevamos los valores de estos coeficientes An a la ecuación (A6.3), obtenemos el valor del potencial gravitatorio de la gravedad normal en la forma

)(sinP)

Ebi(Q

)Eui(Q

a31

)Ebi(Q

)Eui(Q

)a31U(),u(V 2

2

222

0

0220 βω+ω−=β (A6.4)

Hay que notar que en este desarrollo de armónicos elipsóidicos, el potencial V queda reducido sólo a dos términos, frente a los infinitos términos que puede tener el desarrollo en serie de armónicos esféricos para este mismo potencial. Vemos ahora por qué hemos elegido este tipo de desarrollo menos conocido, en lugar del típico desarrollo en serie de armónicos esféricos, que se utiliza habitualmente.

Ahora tenemos que ser capaces de obtener los valores de los coeficientes del desarrollo en serie de armónicos esféricos, dados por la ecuación (3.3), a partir de la fórmula (A6.4). Para ello, vamos a poner en la fórmula (A6.4) el valor de las funciones de Legendre de segunda clase Q0 y Q2, dadas por (Heiskanen y Moritz, 1985)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

uEtani

EuiQ 1

0

iqEu3

uEtan

Eu31

2i

EuiQ 1

2

2 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

con lo que (A6.4) pasa a ser

)(sinPqqa

31

bEtan

uEtan

)a31U(),u(V 2

0

221

122

0 βω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−=β−

−

(A6.5)

donde podemos simplificar más todavía el primer término del potencial, sabiendo que para grandes valores de u

uE

uEtan 1 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

si además despejamos u como función de r usando las ecuaciones (A6.2), tenemos

β+=++= 2222222 cosEuzyxr

notando que para grandes valores de u tenemos grandes valores de r, pudiendo escribir que

28

r1

u1

≈ ⇒rE

uEtan 1 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Con lo que el primer término de (A6.5) puede escribirse como

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−−−

−

bEtan

r/E)a31U(

bEtan

uEtan

)a31U(

122

01

122

0

Ahora, hay que notar que este término se corresponde con el término de grado cero del desarrollo del potencial gravitatorio en armónicos esféricos, es decir, tenemos que

rKM

bEtan

r/E)a31U(

122

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−−

⇒ E

KM

bEtan

1)a31U(

122

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−−

Por lo que es posible escribir (A6.5) en una forma mucho más sencilla, dada por

)(sinPqqa

31

uEtan

EKM),u(V 2

0

221 βω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=β − (A6.6)

A partir de esta fórmula, mucho más sencilla que la expresión (A6.4), podemos tratar de obtener los valores de los coeficientes del desarrollo en serie de armónicos esféricos, dados por la ecuación (3.3). Para ello, vamos a poner en la fórmula (A6.6) los desarrollos en serie de potencias de los términos que dependen de u. Comenzaremos con el término tan−1(E/u), que puede escribirse a través de un desarrollo en serie de potencias como

...uE

51

uE

31

uE

uEtan

531 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Esta serie puede ser introducida en la fórmula que nos da el valor de q, obteniendo entonces el desarrollo en serie de q, en la forma

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= −

Eu3...

uE

51

uE

31

uE

Eu31

21

Eu3

uEtan

Eu31

21q

5321

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−= ...

uE

51

uE

31

uE

Eu3...

uE

51

uE

31

Eu3

uE

21 53253

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−= ...

uE

53...

uE

51

uE

31

21...

uE

53

uE

Eu3...

uE

51

uE

31

Eu3

uE

21 353353

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×−

= ...uE

758

uE

5359

21 53

⇒ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×= ...

uE

973

uE

752

uE

5312q

753

Estos desarrollos en serie de potencias obtenidos para q y tan−1(E/u), pueden escribirse de forma más compacta como (Heiskanen y Moritz, 1985)

1n2

1n

n1uE

1n21)1(

uE

uEtan

+∞

=

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑

29

1n2

1n

n1uE

)3n2)(1n2(n2)1(

uEtan

+∞

=

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑

Con lo que finalmente podemos llegar a una expresión de V(u, β), que podamos comparar con un desarrollo en armónicos esféricos, para poder identificar los coeficientes dados por (3.3). Esta expresión será la ecuación (A6.6), en la que hemos incluido los desarrollos en serie de potencias recién obtenidos, pudiendo escribir

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+=β

+∞

=∑ )(sinP

3n2n2

q3'me1

uE

E)1n2(KM)1(

uKM),u(V 2

0

1n2

1n

n (A6.7)

donde hemos puesto e’ = E/b y hemos introducido la cantidad m dada por la ecuación (3.10).

Si ahora comparamos la fórmula (A6.7) con un desarrollo en serie de armónicos esféricos del potencial gravitatorio, dado por

∑∞

=+

θ+=θ

1nn21n2

n2 )(cosPrA

rKM),r(V (A6.8)

Notamos que para puntos sobre el eje de rotación y fuera del elipsoide, tenemos que u = r, puesto que β = 90º y θ = 0º. Entonces, la ecuación (A6.7) viene a ser

1n201n

n2n

r1

q3'me

3n2n21

)1n2(KME)1(

rKMV

+

∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

−+= ∑

con lo que identificamos los coeficientes A2n en la forma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

−=0

n2n

n2 q3'me

3n2n21

)1n2(KME)1(A (A6.9)

Está fórmula ya es el resultado buscado, sólo nos queda realizar un poco de trabajo adicional para llevarla a la forma que tiene la ecuación (3.3). Para empezar, debemos recordar que el coeficiente de grado 2 del desarrollo en armónicos esféricos es (apéndice X)

A2 = K(A−C)

donde A es el momento de inercia respecto de un eje cualquiera contenido en el plano ecuatorial, siendo C el momento de inercia respecto del eje de rotación del elipsoide. Entonces el coeficiente de grado 2 dado por (A6.9) debe ser

)CA(Kq3

'me521KME

31A

0

22 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ⇒ 20 ME

)AC(2

1525

q3'me −

−=

que llevado a la fórmula (A6.9) nos da

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

+−

+−= 2

n2n

n2ME

)AC(2

1525

3n2n21

)1n2(KME)1(A ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

++−= 2

n2n

n2ME

ACn5n1)3n2)(1n2(

KME3)1(A

30

Con lo que el desarrollo del potencial gravitatorio en armónicos esféricos dado por (A6.8) queda en la forma

∑∞

=+

θ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

++−+=θ

1n1n2

n22

n2n

r)(cosP

MEACn5n1

)3n2)(1n2(KME3)1(

rKM),r(V

Esta expresión puede escribirse en la forma más habitual dada por la ecuación (3.2), cuando identificamos los J2n en la forma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

++−= +

2

n21n

n2ME

ACn5n1)3n2)(1n2(

e3)1(J

donde hemos introducido e = E/a. Vemos inmediatamente que esta fórmula es la ecuación (3.3), que hemos tratado de encontrar a lo largo de todo este apéndice. Por lo tanto, el objetivo ha sido logrado. Hemos obtenido las ecuaciones (3.2) y (3.3) a partir del concepto de potencial de la gravedad normal. A7. Curvatura de una curva plana

Cualquier curva C, en el espacio tridimensional, se puede definir a través de sus ecuaciones paramétricas en la forma (Struik, 1955)

x = x(u) y = y(u) z = z(u) (A7.1)

donde u es el parámetro que actúa como variable independiente. Para esta curva se define su curvatura mediante la fórmula (Struik, 1955)

32

)rr()rr()rr(

&r&r&&r&r&&r&r

⋅

×⋅×=κ (A7.2)

donde

))u(z),u(y),u(x()u(r =r

durdrr

&r = 2

2

durd

durdr

r&r&&r ==

Entonces, si consideramos una curva plana, poniendo por ejemplo y = 0, las ecuaciones (A7.1) vienen a ser

x = x y = 0 z = z(x) (A7.3)

donde hemos elegido como parámetro u la variable x. Si calculamos ahora las cantidades que vienen en la fórmula (A7.2), para esta curva plana definida por las ecuaciones (A7.3), tenemos

)z,0,1(du

rdr ′==r

&r )z,0,0(du

rdr ′′==&r

&&r dxdzz =′ 2

2

dxzdz =′′

2z1)z,0,1()z,0,1(rr ′+=′⋅′=⋅ &r&r jz

z 0 0 z 0 1 k j i

rr)

)))

&&r&r ′′=′′′=×

que introducidas en la fórmula (A7.2) nos dan la expresión de la curvatura de una curva plana, en la forma

32

2

32

)z1(z

)rr()rr()rr(

′+

′′=

⋅

×⋅×=κ

&r&r&&r&r&&r&r

⇒ 2/32)z1(z′+

′′=κ

31

A8. Componente vertical del gradiente de la gravedad

La ecuación (3.33) es una importante relación entre el gradiente de la gravedad y la curvatura de las superficies de nivel (o superficies equipotenciales). Para obtener esta fórmula comenzamos considerando un punto Q sobre el elipsoide de revolución (figura 1.1), considerando este elipsoide (en este contexto) como la superficie equipotencial U(x, y, z) = U0. Si tomamos un sistema de coordenadas local en este punto Q, cuyo eje z está en la dirección perpendicular a la superficie del elipsoide en este punto (en figura 1.1 es la dirección en la que medimos h), considerando y = 0, formamos una sección normal en la dirección del eje x (apéndice I). Esta curva z = z(x) será una curva plana contenida completamente en el plano ZX, cuya curvatura se podrá obtener mediante la fórmula (apéndice VII)

2/32)z1(z′+

′′=κ

donde

dxdzz =′ 2

2

dxzdz =′′

En este caso, por ser la curva z = z(x) tangente en el punto Q al eje x (por definición), sucederá que z´ = 0. Entonces tendremos que

2

2

dxzd

=κ (A8.1)

Por otra parte, si obtenemos la diferencial de U y la evaluamos en la superficie equipotencial U(x, y, z) = U0, podremos poner que dU = 0 (por definición de superficie equipotencial), teniendo que (Heiskanen y Moritz, 1985)

0dxdxdzUdxUdx

dxdz

zUdx

xUdz

zUdx

xUdU zx =+=

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

= ⇒ 0dxdzUU zx =+

si volvemos a diferenciar tenemos

0dx

zdUdxdzU

dxdzU2U

dxzdU

dxdzU

dxdzU

dxdzUU 2

2z

2

zzxzxx2

2z

2

zzzxxzxx =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+++

pero hay que recordar que z´ = 0. Por tanto, podemos escribir una relación entre la curvatura κ y las derivadas parciales de U, introduciendo la relación (A8.1), es decir

0dx

zdUU 2

2zxx =+ ⇒ x2

2

z

xx

dxzd

UU

κ==−

Por otra parte, si z es el eje vertical en la dirección en la que medimos h, notamos que

γ−=∂∂

=∂∂

=hU

zUUz

En consecuencia, podemos obtener la relación

γ=−=κ xx

z

xxx

UUU

Obviamente, podríamos haber planteado el mismo razonamiento para un plano de corte x = 0, teniendo en ese caso y de forma totalmente análoga, la expresión

γ=κ yy

yU

32

Finalmente, si recordamos que para el elipsoide de revolución, considerado como una superficie equipotencial, se cumple que su potencial gravitatorio satisface la ecuación diferencial de Laplace, en el espacio exterior al elipsoide de semieje mayor a y aplanamiento f, pues este elipsoide contiene en su interior toda la masa atrayente M de la Tierra (por definición), no quedando fuera del mismo masas atrayentes que impidan que se verifique dicha ecuación diferencial (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991). Entonces, podemos escribir que

zUUUU2 yxzzyyxx

2∂γ∂

−γκ+γκ=++=∆=ω ⇒

2yx 2)(

zω−κ+κγ=

∂γ∂ (A8.2)

donde podemos considerar las direcciones de los ejes x e y, en las direcciones del paralelo y del meridiano que pasan por el punto Q, teniendo entonces que κx y κy son las curvaturas principales κ1 y κ2, salvo un signo, siendo sus inversos los radios principales de curvatura (apéndice I)

)e1(a)sine1(1

2

2/322

M −

φ−=

ρ

a)sine1( 1 2/122

N

φ−=

ρ (A8.3)

donde ρM es el radio de curvatura principal en la dirección del meridiano y ρN el radio de curvatura principal en la dirección del paralelo (llamado gran normal, normal principal o también primer vertical de Q). Con lo que podemos llegar a la expresión buscada para la componente vertical del gradiente de la gravedad, con sólo introducir los valores dados por (A8.3) en la ecuación (A8.2), teniendo

2

NM0

02)11(

hω−

ρ+

ργ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂γ∂

A9. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica

Para hallar la relación que existe entre latitud geodésica φ y latitud reducida β, debemos observar en la figura A9.1 que el punto Q del elipsoide es proyectado verticalmente hasta un punto Q’, sobre la circunferencia de radio a que corta los ejes (x, z) en los puntos (A, B’).

O A

B

b

a

Qr

N

φ

ψ

Q’B’

β

A’

Fig. A9.1. Relación entre latitud geodésica φ, geocéntrica ψ y reducida β.

Como podemos ver en esta figura, β es el ángulo que se forma entre el vector de posición geocéntrico de Q’ y el eje x (Torge, 1991). En consecuencia, si escribimos las coordenadas del punto Q’ tenemos

x = a cos β z = a sin β

donde hay que notar que x = ρ cos ψ (inspeccionando las figuras A9.1 y 1.1). Por otra parte, notamos que

OA’2 + A’Q’2 = a2 (A9.1)

Además, por ser Q un punto de la elipse meridiana, se verifica que

1bQ'A

aAO

2

2

2

2=+

′ ⇒ 22

22 aQ'A

baAO =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+′

Si ahora introducimos este valor de a2 en la ecuación (A9.1), tenemos

2222

2 QAAOQ'AbaAO ′′+′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+′ ⇒ QA

abQ'A ′′=

33

Con lo que podemos calcular la relación que existe entre los ángulos ψ y β, mediante

β=ββ

=′′′

=′

′=ψ tan

ab

cosasina

ab

AOQA

ab

AOQAtan

de donde podemos obtener una relación entre las latitudes geodésica φ y reducida β, introduciendo en esta ecuación la fórmula (1.4), teniendo finalmente que (Torge, 1991)

φ=φ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ψ=β tan

abtan

ab

batan

batan

2

A10. Armónico de grado 2 y momentos de inercia

En el apéndice VI hemos utilizado la relación que tiene el coeficiente de segundo grado, del desarrollo en armónicos esféricos del potencial gravitatorio, con los momentos de inercia A y C, a través de la fórmula

A2 = K(A−C) (A10.1)

donde A es el momento de inercia respecto de un eje cualquiera contenido en el plano ecuatorial, siendo C el momento de inercia respecto del eje de rotación del elipsoide. La fórmula (A10.1) es una importante relación que vamos a demostrar aquí. Para ello, comenzaremos escribiendo el valor del potencial gravitatorio que crea una masa M, en un punto P fuera de ella, tal como se indica en la figura A10.1, este potencial gravitatorio tendrá una expresión general bien conocida, dada por la integral (Heiskanen y Moritz, 1985)

∫∫∫=λθ

Ml

dMK),,r(V ψ−+= cos'rr2'rrl 222

donde l es la distancia que hay entre el punto P’(r’,θ’,λ’) (en el que se halla la masa atrayente dM) y el punto P’(r’,θ’,λ’) (en el que se calcula el potencial V). El ángulo ψ es el ángulo que forman los vectores de posición de los puntos P y P’.

Fig. A10.1. Relación entre el ángulo ψ y los ángulos (θ, λ), de las coordenadas esféricas de los puntos P(r,θ,λ) y P’(r’,θ’,λ’). Hay que recordar que θ = 90º - φ.

Debemos notar que en la expresión de V aparece el inverso de l, que podemos escribir en la forma

222 u21r

1

cos'rr2'rr

1l1

α+α−=

ψ−+= ψ= cosu

r'r

=α

pero resulta que la función generadora de los polinomios de Legendre es

∑∞

=

α=α+α− 0n

nn

2)u(P

u21

1

Aplicando esta fórmula a nuestro problema obtenemos

∑∞

=+

ψ=α+α−

=

0nn1n

n

2)(cosP

r'r

u21r

1l1

Para expresar l en función de las coordenadas esféricas de los puntos P y P’ (figura A10.1), debemos incorporar la relación

que existe entre el ángulo ψ y los ángulos (θ, λ), de las coordenadas esféricas de los puntos P(r,θ,λ) y P’(r’,θ’,λ’). Para ello, recurrimos a la fórmula de descomposición escribiendo

34

[ ]∑=

λθλθ+λθλθ+−

+θθ=ψn

1mnmnmnmnmnnn )','(S),(S)','(R),(R

)!mn()!mn(2)'(cosP)(cosP)(cosP

donde Rnm y Snm son (Heiskanen y Moritz, 1985)

λθ=λθ mcos)(cosP),(R nmnm λθ=λθ msin)(cosP),(S nmnm

En consecuencia, podemos escribir l y por consiguiente el potencial V en la forma

1nnm

nm0n

n

0m1n

nmnm

0n M

nn

1nM

r),(SB

r),(RAdM)(cosP'r

rK

ldMKV

+

∞

= =+

∞

=+

λθ+

λθ=ψ== ∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫

donde los coeficientes Anm y Bnm son (Heiskanen y Moritz, 1985)

∫∫∫ θ=

M

nn

0n dM)'(cosP'rKA

∫∫∫ λθ+−

=

M

nmn

nm dM)','(R'r)!mn()!mn(K2A

∫∫∫ λθ+−

=

M

nmn

nm dM)','(S'r)!mn()!mn(K2B

En este caso estamos interesados sólo en el coeficiente de segundo grado zonal A20, por lo tanto, sólo nos vamos a referir este coeficiente en lo sucesivo. Centrándonos pues en este coeficiente, vemos que será posible obtenerlo mediante la integral

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −θ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −θ=θ= ∫∫∫∫∫∫∫∫∫

M

222

M

22

M

22

20 dM'r21'cos'r

23KdM

21'cos

23'rKdM)'(cosP'rKA

∫∫∫∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

M

22

M

222 dM)'y'x(21'zKdM)'z'y'x(

21'z

23K

Si comparamos este resultado con los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y, z; dados por

∫∫∫ +=

M

22 dM)'y'z(A ∫∫∫ +=

M

22 dM)'z'x(B ∫∫∫ +=

M

22 dM)'y'x(C

Nos damos cuenta en seguida que se verifica la relación (A10.1). Quedando demostrada la relación que existe entre el coeficiente de segundo grado (del desarrollo en armónicos esféricos del potencial gravitatorio) y los momentos de inercia A y C, puesto que para el elipsoide de revolución A = B, por tanto, (A+B)/2 − C = A − C. A11. Ecuaciones de Gauss

Las ecuaciones de Gauss reciben también el nombre de ecuaciones en derivadas parciales de la teoría de superficies. Estas ecuaciones junto con las ecuaciones de Weingarten, son muy importantes porque cuando derivamos las ecuaciones de Gauss y tenemos presentes las ecuaciones de Weingarten, obtenemos de un golpe las ecuaciones de Mainardi-Codazzi y las ecuaciones que expresan el teorema Egregium de Gauss (Struik, 1955; Cid y Ferrer, 1997). En este apéndice no tenemos como objetivo hacer una descripción tan completa de la geometría diferencial clásica, pero

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sí que vamos a obtener las ecuaciones de Gauss, definiendo al mismo tiempo los símbolos de Christoffel de primera y segunda especie.

Para ello, partimos de que los vectores (r1, r2, N), definidos en los apéndices I y III, forman un triedro de vectores linealmente independientes (Struik, 1955), de tal forma que cualquier otro vector puede escribirse como una combinación lineal de los mismos, esto significa que rαβ puede escribirse como

Nararrrr

+= γγαβ (A11.1)

donde aγ y a son coeficientes a determinar. Estos coeficientes se pueden determinar mediante el producto escalar de rαβ con los vectores (r1, r2, N). En efecto, si hacemos el producto escalar de rαβ con N, tenemos

a)NN(a)NN(a)Nr(aN)Nara(Nr =⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅ γγγγαβrrrrrrrrrrr ⇒ αβαβ =⋅= bNra

rr (A11.2)

donde hemos tenido en cuenta que el vector N es perpendicular a (r1, r2) por definición, estando bαβ definidos por las ecuaciones (A1.10). Para calcular aγ operamos de la misma forma realizando ahora el producto escalar de rαβ con rν, obteniendo

γνγνγγνγγναβ =⋅=⋅+=⋅ garrar)Nara(rr rrrrrrr ⇒ [ ]ναβ=⋅= ναβγνγ ,rrga

rr

donde tenemos en cuenta de nuevo que N es perpendicular a (r1, r2), junto con la definición del símbolo de Christoffel de primera especie [αβ, ν]. Si ahora multiplicamos la expresión anteriormente obtenida por gγν, tenemos que

[ ] γαβ

γνγγγγγν

γνγγνγ

γν Γ=ναβ==δ== ,gaa)gg(agag (A11.3) ⇒ γαβγ Γ=a

donde hemos introducido el símbolo de Christoffel de segunda especie Γγαβ.

Con lo que finalmente, podemos obtener las ecuaciones de Gauss a partir de la fórmula (A11.1), si introducimos en ella las relaciones (A11.2) y (A11.3), para definir los coeficientes aγ y a, obteniendo

NbrNararrrrrr

αβγγαβγγαβ +Γ=+=

Hay que notar que en la obtención de las ecuaciones de Gauss, hemos introducido algunas cantidades que están definidas en los apéndices I y III, junto con las siguientes cantidades nuevas (Struik, 1955; Cid y Ferrer, 1997)

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

α∂

∂+

∂

∂=⋅=ναβ

γ

αββγ

β

αβναβ u

gug

ug

21rr, rr

gg .Adj

g αβαβ = 122

2211 gggg −= βγαβ

αγ =δ gg

(el adjunto de gαβ se obtiene según la tabla adjunta)

[ ]ναβ=Γ γνγαβ ,g

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Bibliografía Bibliografía básica Cid R. y Ferrer S. (1997). Geodesia Geométrica, Física y por Satélites. Instituto Geográfico

Nacional, Ministerio de Fomento.

Doneddu A. (1978). Curso de Matemáticas. Álgebra y Geometría. Aguilar, Madrid.

Heiskanen W. A. y Moritz H. (1985). Geodesia Física. Edita Instituto Geográfico Nacional e Instituto de Astronomía y Geodesia, Madrid.

Hofmann-Wellenhof B. and Lichtenegger H. (1994). Global Positioning System. Theory and Practice. Springer-Verlag, Berlín.

Kuroishi Y. (1995). Precise determination of geoid in the vicinity of Japan. Bulletin of the Geographical Survey Institute, 41, 1-94.

Leick A. (1995). GPS satellite surveying. John Wiley & Sons.

Rapp R. H. (1971). Methods for the computation of geoid undulations from potential coefficients. Bull. Géod., 101, 283-297.

Spiegel M. R. (1988). Manual de tablas y fórmulas matemáticas. McGraw-Hill, México.

Struik D. J. (1955). Geometría Diferencial Clásica. Aguilar, Madrid.

Torge W. (1989). Gravimetry. Walter de Gruyter. Berlín-New York.

Torge W. (1991). Geodesy, 2nd Edition. Editor W. de Gruyter, Berlín.

Bibliografía de consulta ……………………………….… http://airy.ual.es/geodesy/libros.pdf

Prof. Dr. Víctor Corchete Department of Applied Physics

Higher Polytechnic School - CITE II(A) UNIVERSITY OF ALMERIA

04120-ALMERIA. SPAIN FAX: + 34 950 015477 e-mail: corchete@ual.es

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