elm207 analog elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · fourier serisi hesaplamalarıharmonik...
TRANSCRIPT
![Page 1: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/1.jpg)
ELM207 Analog Elektronik
![Page 2: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/2.jpg)
Bir Fourier serisi periyodik bir f (t) fonksiyonunun,
kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde
bir açılımdır.
Giriş
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
T
2
![Page 3: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/3.jpg)
Başka deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon
sabit bir değer, kosinüs ve sinüs
fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir:
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
)sincos( 11 tbta2
0a
)2sin2cos( 22 tbta
)3sin3cos( 33 tbta
![Page 4: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/4.jpg)
Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz
olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi
basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak
çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal
problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir
yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da
pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.
![Page 5: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/5.jpg)
=
+ +
+ + + …
Periodik Fonksiyon
2
0a
ta cos1
ta 2cos2
tb sin1
tb 2sin2
f(t)
t
![Page 6: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/6.jpg)
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
burada
T
dttfT
a0
0 )(2
frekans Temel2
T
T
n tdtntfT
a0
cos)(2
T
n tdtntfT
b0
sin)(2
*integral limiti olarak
T
dttfT
a0
0 )(2
2/
2/
T
T
kullanabiliriz
![Page 7: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/7.jpg)
Örnek 1
Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi
gösterimini bulunuz.
![Page 8: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/8.jpg)
Çözüm
İlk önce, fonksiyonun periyodu ve tanımı belirlenir:
T = 2
21,0
10,1)(
t
ttf )()2( tftf
![Page 9: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/9.jpg)
Sonra, a0, an ve bn katsayıları bulunur :
10101)(2
2)(
22
1
1
0
2
00
0 dtdtdttfdttfT
a
T
Ya da,
b
a
dttf )( [a,b] aralığı boyunca grafiğin
altındaki toplam alan olduğundan
1)11(2
2],0[ 2)(
2
0
0alan
boyuncaT
Tdttf
Ta
T
![Page 10: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/10.jpg)
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
an
sinsin0cos1
cos)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
n tamsayıdır ve,
olduğundan
0sin n
03sin2sinsin
Dolayısıyla, .0na
![Page 11: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/11.jpg)
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
bn
cos1cos0sin1
sin)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
15cos3coscos 16cos4cos2cos
Dolayısıyla,çift ,0
tek,/2)1(1
n
nn
nb
n
n
Ya da nn )1(cos
![Page 12: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/12.jpg)
ttt
tnn
tnbtnaa
tf
n
n
n
nn
5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1
sin)1(1
2
1
)sincos(2
)(
1
1
0
Sonuçta,
![Page 13: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/13.jpg)
Bazı faydalı tanımlar
n tamsayı olduğundan,nn )1(cos0sin n
02sin n 12cos n
xx sin)sin( xx cos)cos(
![Page 14: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/14.jpg)
Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga
biçimini verir
Örnek 1’den,
ttttf 5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1)(
Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:
![Page 15: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/15.jpg)
tttt 7sin7
25sin
5
23sin
3
2sin
2ttt 5sin
5
23sin
3
2sin
2
tt 3sin3
2sin
2tsin
2
(a) (b)
(c) (d)
![Page 16: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/16.jpg)
ttttt 9sin9
27sin
7
25sin
5
23sin
3
2sin
2
ttt 23sin23
23sin
3
2sin
2
2
1
(e)
(f)
![Page 17: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/17.jpg)
Kare dalga Testere dişli dalga
Üçgen dalgaYarı çember
![Page 18: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/18.jpg)
Örnek 2
,)( ttf 11 t
)()2( tftf
f (t)’nin grafiğini çiziniz, .33 t
f (t)’nin Fourier serisini hasaplayınız.
![Page 19: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/19.jpg)
Çözüm
T = 2
T
2
![Page 20: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/20.jpg)
Katsayıları hesaplayalım:
02
11
22
2
)(2
1
1
21
1
1
1
0
ttdt
dttfT
a
![Page 21: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/21.jpg)
0coscos
)cos(cos0
cos)]sin([sin
sinsin
coscos)(2
22
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
n
nn
n
nn
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
an
xx cos)cos(
![Page 22: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/22.jpg)
nnn
n
n
nn
n
n
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
b
nn
n
1
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
)1(2)1(2cos2
)sin(sincos2
sin)]cos([cos
coscos
sinsin)(2
![Page 23: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/23.jpg)
ttt
tnn
tnbtnaa
tf
n
n
n
nn
3sin3
22sin
2
2sin
2
sin)1(2
)sincos(2
)(
1
1
1
0
Sonuçta,
![Page 24: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/24.jpg)
Örnek 3
42,0
20,2)(
t
tttv
)()4( tvtv
v (t) grafiğini çiziniz, .120 t
v (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız.
![Page 25: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/25.jpg)
Çözüm
2
2
T
T = 4
0 2 4 6 8 10 12t
v (t)
2
![Page 26: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/26.jpg)
Katsayılar:
12
22
1)2(
2
1
0)2(4
2
)(2
2
0
22
0
4
2
2
0
4
0
0
ttdtt
dtdtt
dttvT
a
![Page 27: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/27.jpg)
222222
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
])1(1[2)cos1(2
2
2cos1
cos
2
10
sin
2
1sin)2(
2
1
0cos)2(2
1cos)(
2
nn
n
n
n
n
tn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
a
n
n
![Page 28: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/28.jpg)
nnn
n
n
n
tn
n
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
bn
21
2
2sin1
sin
2
11
cos
2
1cos)2(
2
1
0sin)2(2
1sin)(
2
22
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
0sin2sin nn
![Page 29: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/29.jpg)
122
1
0
2sin
2
2cos
])1(1[2
2
1
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tn
n
tn
n
tnbtnaa
tv
Sonuçta,
![Page 30: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/30.jpg)
Simetri
Simetri fonksiyonları:
(i) çift simetri
(ii) tek simetri
![Page 31: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/31.jpg)
Çift simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre simetrik ise çifttir, yani
)()( tftf
![Page 32: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/32.jpg)
Çift simetri (devam)
çift fonksiyonlara örnek:2)( ttf
t t
t
||)( ttf
ttf cos)(
![Page 33: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/33.jpg)
Çift simetri (devam)
−A dan +A ya çift bir fonksiyonun integrali 0
dan +A ya integralinin iki katıdır
t
AA
A
dttfdttf0
ee )(2)(
−A +A
)(e tf
![Page 34: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/34.jpg)
Tek simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre asimetrik ise tektir, yani
)()( tftf
![Page 35: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/35.jpg)
Tek simetri (devam)
Tek fonksiyonlara örnek:3)( ttf
t t
t
ttf )(
ttf sin)(
![Page 36: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/36.jpg)
Tek simetri (devam)
−A dan +A ya tek bir fonksiyonun integrali
sıfırdır
0)(o
A
A
dttft−A +A
)(o tf
![Page 37: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/37.jpg)
Çift ve tek fonksiyonlar
(çift) (çift) = (çift)
(tek) (tek) = (çift)
(çift) (tek) = (tek)
(tek) (çift) = (tek)
Çift ve tek fonksiyonların çarpım özellikleri:
![Page 38: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/38.jpg)
Simetri
çift ve tek fonksiyonların özelliklerinden:
çift periyodik bir fonksiyon için;
2/
0
cos)(4
T
n tdtntfT
a 0nb
tek periyodik bir fonksiyon için;2/
0
sin)(4
T
n tdtntfT
b00 naa
![Page 39: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/39.jpg)
Çift fonksiyon
2/
0
2/
2/
cos)(4
cos)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
a
(çift) (çift)
| |
(çift)
0sin)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
b
(çift) (tek)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
![Page 40: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/40.jpg)
Tek fonksiyon
2/
0
2/
2/
sin)(4
sin)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
b
(tek) (tek)
| |
(çift)
0cos)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
a
(tek) (çift)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
0)(2
2/
2/
0
T
T
dttfT
a
(tek)
![Page 41: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/41.jpg)
Örnek 4
21,1
11,
12,1
)(
t
tt
t
tf
)()4( tftf
f (t)‘nin grafiğini çiziniz, .66 t
f (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız
![Page 42: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/42.jpg)
Çözüm
2
2
T
T = 4
0−4−6 2 4 6t
f (t)
−2
1
−1
![Page 43: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/43.jpg)
Katsayıları hesaplayalım. f (t) tek fonksiyon
olduğundan,
0)(2
2
2
0 dttfT
a
0cos)(2
2
2
tdtntfT
an
ve
![Page 44: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/44.jpg)
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
tn
n
n
n
tndt
n
tn
n
tnt
tdtntdtnt
tdtntfT
tdtntfT
bn
cos2sin2cos
cos2cossincos
coscoscos
sin1sin4
4
sin)(4
sin)(2
22
1
0
22
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
2
0sin2sin nn
![Page 45: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/45.jpg)
1
1
1
1
0
2sin
)1(2
2sin
cos2
)sincos(2
)(
n
n
n
n
nn
tn
n
tn
n
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
![Page 46: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/46.jpg)
Örnek 5
f (t)‘nin Fourier serisi açlımını hesaplayınız.
![Page 47: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/47.jpg)
Çözüm
Fonksiyonu tarif edelim;
3
22
T
ve
32,1
21,2
10,1
)(
t
t
t
tf
)()3( tftfT = 3
T = 3
![Page 48: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/48.jpg)
Katsayıları hesaplayalım.
3
81
2
32)01(
3
421
3
4)(
4)(
22/3
1
1
0
2/3
0
3
0
0 dtdtdttfT
dttfT
a
3
8)23()12(2)01(
3
2121
3
2)(
23
2
2
1
1
0
3
0
0 dtdtdtdttfT
a
Ya da, f (t) çift bir fonksiyon olduğundan,
Veya, basitçe
3
84
3
2
alan toplam
boyunca periyodBir 2)(
23
0
0T
dttfT
a
![Page 49: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/49.jpg)
3
2sin
2
3
2sinsin2
2
sin2
3sin2
3
4
sin2
3sin2sin
3
4
sin2
3
4sin
3
4
cos2cos13
4
cos)(4
cos)(2
2/3
1
1
0
2/3
1
1
0
2/3
0
3
0
n
n
nn
n
nn
n
nn
nn
n
tn
n
tn
tdtntdtn
tdtntfT
tdtntfT
an
;3
2
![Page 50: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/50.jpg)
1
1
1
0
3
2cos
3
2sin
12
3
4
3
2cos
3
2sin
2
3
4
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tnn
n
tnn
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
ve 0nb f (t) çift bir fonksiyon olduğundan.
![Page 51: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/51.jpg)
Parseval Teoremi
Parserval teoremi periyodik bir sinyaldeki
ortalama gücün, sinyalin DC bileşenindeki
ortalama güç ve harmoniklerindeki ortalama
güçlerin toplamına eşit olduğunu ifade eder.
![Page 52: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/52.jpg)
=
+ +
+ + + …
2
0a
ta cos1
ta 2cos2
tb sin1
tb 2sin2
f(t)
t
Pavg
Pdc
Pa1 Pb1
Pa2 Pb2
![Page 53: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/53.jpg)
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
R
V
R
V
R
VP
2
peak
2
peak2
rms
2
12
Sadelik açısından sıklıkla, R = 1Ω, olarak
alırız,
2
peak2
1VP
![Page 54: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/54.jpg)
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
dcavg
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2211
babaa
PPPPPP baba
1
222
0avg )(2
1
4
1
n
nn baaP
![Page 55: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/55.jpg)
Üstel Fourier serileri
Euler eşitliğinden,
xjxe jx sincos
dolayısıyla
2cos
jxjx eex
2sin
j
eex
jxjx
ve
![Page 56: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/56.jpg)
Fourier serisi gösterimi aşağıdaki gibi olur;
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
222
222
222
222
)sincos(2
)(
n
tjnnn
n
tjnnn
n
tjnnntjnnn
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
nn
ejba
ejbaa
ejba
ejbaa
eejb
eea
a
j
eeb
eea
a
tnbtnaa
tf
![Page 57: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/57.jpg)
Burada,
11
0
222)(
n
tjnnn
n
tjnnn ejba
ejbaa
tf
2
nnn
jbac ,
2
nnn
jbac
Dolayısıyla,
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
ececcec
ececc
ececc
1
0
1
11
0
11
0
Diyelim ve2
00
ac
c0c−ncn
![Page 58: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/58.jpg)
Sonra, cn katsayısı,
T
tjn
T
TT
TT
nnn
dtetfT
dttnjtntfT
tdtntfjtdtntfT
tdtntfT
jtdtntf
T
jbac
0
0
00
00
)(1
]sin)[cos(1
sin)(cos)(1
sin)(2
2cos)(
2
2
1
2
![Page 59: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/59.jpg)
Çoğu durumda kompleks Fourier serileri
trigonometrik Fourier serilerinden daha kolay
elde edilir.
Özetle, kompleks ve trigonometrik Fourier
serileri arasındaki ilişki:
2
nnn
jbac
2
nnn
jbac
T
dttfT
ac
0
00 )(
1
2
T
tjn
n dtetfT
c0
)(1
nn ccYa da
![Page 60: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/60.jpg)
Örnek 6
Aşağıdaki fonksiyonun kompleks Fourier serisini
bulunuz
2 44 2 0
2e
1
)(tf
t
![Page 61: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/61.jpg)
Dolayısıyla
Çözüm
2
1
2
1
2
1
)(1
22
0
2
0
0
0
ee
dte
dttfT
c
t
t
T
12T
![Page 62: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/62.jpg)
)1(2
1
)1(2
1
)1(2
1
12
1
2
1
2
1
)(1
222)1(2
2
0
)1(
2
0
)1(
2
0
0
jn
e
jn
ee
jn
e
jn
e
dtedtee
dtetfT
c
njjn
tjn
tjnjntt
T
tjn
n
dolayısıyla1012sin2cos2 njne nj
![Page 63: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/63.jpg)
jnt
nn
tjn
n ejn
eectf
)1(2
1)(
2
Sonuçta,
0
2
0
2
0 2
1
)1(2
1c
e
jn
ec
n
nn
*Not: c0 , cn de n = 0 konularak hesaplanabilirse de,
bazen bu mümkün olmayabilir. Dolayısıyla, c0‘ı tek
başına hesaplamak daha iyi olabilir.
![Page 64: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/64.jpg)
2
2
12
1
n
ecn
cn kompleks bir terimdir, ve nω’ye bağlıdır.
Dolayısıyla, nω ‘ye karşılık |cn| grafiğini çizebiliriz.
Başka deyişle, (t) zaman bölgesindeki f (t) fonksiyonunu,
(nω) frekans bölgesindeki cn fonksiyonuna dönüştürdük.
![Page 65: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/65.jpg)
Örnek 7
Örnek 1’deki fonksiyonun kompleks
Fourier serisini hesaplayınız.
![Page 66: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/66.jpg)
Çözüm
2
11
2
1)(
11
00
0 dtdttfT
c
T
)1(22
1
012
1)(
1
1
0
2
1
1
00
jntjn
tjn
T
tjn
n
en
j
jn
e
dtedtetfT
c
![Page 67: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/67.jpg)
)1(2
jn
n en
jc
Fakat njn nnjne )1(cossincos
Böylece,
çift ,0
tek,/]1)1[(
2 n
nnj
n
j n
Dolayısıyla,
tek0
2
1)(
nn
n
tjn
n
tjn
n en
jectf
*Burada .00cc
nn
![Page 68: ELM207 Analog Elektronik - mcnrondr.files.wordpress.com · Fourier serisi hesaplamalarıharmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak,](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040117/5e02f4cbd9e2ea2f20411404/html5/thumbnails/68.jpg)
1, tek
0, çiftn
nc n
n
Grafik çizimi aşağıdadır,
2
10c
0.5