Elsfok egyenletrendszerek[footnoteRef:1] [1: Ezrt az gyanthat, hogy itt mr elvrom, hogy ne lgy teljesen ]

Egy tbb ismeretlent tartalmaz egyenletnek vgtelen sok megoldsa van. Mg ha tesznk is megszortsokat, miszerint csak az egsz szmok kzl fogadunk el megoldsokat, akkor is vgtelen sok megolds van. Ha azonban nem egyetlen, hanem tbb egyenletnk is van, melyek sszekapcsoldnak egy problma folytn, azaz mindegyikk ad valamilyen j sszefggst a vltozkra nzve melyet a tbbiek nem kzltek eddig, akkor ez cskkentheti a megoldsok szmt. Nem igaz itt sem, hogy felttlenl csak egy rtket kapunk minden vltozra, de vannak bizonyos esetek mikor ez teljesl. Vannak olyanok is mikor nhny klnbz megolds addik, s vannak olyanok is hogy vgtelen sok megoldsunk van ezekre is. Ez mindig a konkrt feladatban szerepl egyenletektl fgg. Itt most azokra fogunk koncentrlni, amikor csak kevs szm megolds jhet szba, mert ezekkel felttlenl ismerned kell. A tbbi, sok megolds esetek csak nyenceknek valk. Nekik rok erre egy kln knyvet. Itt csak elsfok egyenletrendszereket oldunk meg. A magasabb fokak kzl nhny a c. fejezetben tallhat. Elsfok ktismeretlenes egyenletrendszerekKt egyenes egyenlete vagyon adva, az koordinta skon. s az a krds hogy hol metszik egymst. Azaz metszspontjuknak mik az s koordinti Na persze, lehet tbb egyenes is, de ezeket jobb pronknt kezelni, aztn majd a vgn sszesteni az eredmnyeket Mivel kt egyenes esetn elfordulhat, hogy nem is metszik egymst sehol sem, ugyanis , ezrt lehet, hogy nincs is megolds. Azonban ez knnyen kiderl, mert ekkor az egyik egyenlet megfelel egytthati vagy szemmel lthatan a msik ugyanolyan szmszorosai, vagy trendezhet, gy hogy ltszdjk rajtuk, a konstansokra viszont ppen nem igaz ez az arny. Az is lehet, hogy egy pontban metszik egymst az egyenesek. Ekkor pontosan egy szmpr a megolds. Ekkor nem ugyanolyan szmszorosai az egyik egyenlet megfelel egytthati a msiknak. Olyan is van, hogy a kt egyenes egybeesik, vagyis azonos a kett. Ilyenkor vgtelen sok megolds van. Ez arrl ismerszik meg, hogy ilyenkor nem csak a megfelel egytthatk, de a konstansok is ugyanolyan szmszorosai egymsnak a kt egyenletben.Mindebbl mi tnik ki? Hogy pont annyi a megolds, szmpr, mint amennyi metszspont van.

Az sszetartozs tnyt, nevezetesen, hogy ezek nem kln kezelendek gyakran egy fl kapcsos zrjellel jelezzk:

Tbbflekppen is megoldhatak az egyenletrendszerek. Nzzk elszr a Ez annyit takar, hogy az egyik egyenletbl kifejezzk valamelyik vltozt, majd ezt a kifejezett alakot helyettestjk be a msikba:

Megszmoztam az egyenleteket, hogy knnyebben tudjak rjuk hivatkozni.Fejezzk ki az -bl az -et:

s ezt most behelyettestjk a -be:

Mirt kell a zrjel? Mert tbbtag az -et helyettest kifejezs. Ha nem lenne tbbtag, akkor elhagyhatnnk a zrjelet, de akkor viszont a szorzs jelet kellene kirni, amit most kisprolhattunk, mert a zrjel ezt is egyrtelmv teszi. Most vgezzk el a szorzst:

Most szabaduljunk meg a neveztl, gy hogy szorozzuk vele mindkt oldalt:

Vonjunk ssze:

Ezzel mg nem vagyunk kszen, mert rtkt mg nem tudjuk! De ezt egyszeren csak berjuk abba egyenletbe, amelyik ppen az -et fejezi ki ltal:

Az ellenrzs legyen hzi feladat! Nzzk a kvetkez mdszert, ugyanerre a feladatra:

Itt arra treksznk, hogy az egyik vltoz egytthati legyenek egyenlek, vagy egymsnak mnusz egyszeresei. Ha egyenlek, kivonjuk a kt egyenletet egymsbl, ha egyms mnusz egyszeresei, akkor sszeadjuk ket. Ez annyit tesz, hogy az egyik egyenlet jobb oldalbl levonjuk a msik egyenlet jobb oldalt, s a baloldalak esetn is ugyangy jrunk el. Ha sszeadjuk a kt egyenletet, akkor rtelemszeren a k sz az elbbi mondtaban -ra vltozik.[footnoteRef:2] Hogyan rjk el, hogy valamelyik vltoz egytthati egyenlek, vagy egyms mnuszegyszeresei legyenek? Erre j a legkisebb kzs tbbszrs fogalma. gy szorozzuk az egyenleteket, hogy az egyik vltoz egytthati helyett egy kzs tbbszrs legyen. Itt az egytthatit, a -et s -et fogom ily mdon kiejteni, mert ezek mr amgy is ellenttes eljelek. Teht sz els egyenletet szorzom -gyel, a msodikat -tel. gy az els egyenletben az egytthatja , a msodikban lesz. Ezek sszadva nullt adnak. [2: s ha ezekutn nyelvtanilag csl a mondat, akkor gondolatban javtsd ki, azt j napot! Ne ktzkggy m!]

Ezek pedig ppen:

s most

Ez meg ugya mi ms lenne, mint:

Eddig jk vagyunk. Az elbb is ezt kaptuk![footnoteRef:3] [3: Vagy lehet, hogy az elbb is elszmoltuk.]

Ezt a rszeredmnyt, most berjuk valamelyik egyenletbe. Mindegy, hogy melyikbe. Ha van olyan, akkor abba, amelyikben kisebb szmok vannak. n most az -be fogom berni:

Ltezik grafikus megolds is, de ennek az a htrnya, hogy ha nem egsz szmok a megoldsai, akkor csak pontatlanul tudjuk leolvasni a megoldsokat. Ezrt nem ezen a feladaton fogom ezt bemutatni, hanem majd egy msikon.

Lssuk ezt is elszr a

Ezt behelyettestjk a egyenletbe lljunk meg egy pillanatra! Mirt is nem az elsbe helyettestjk vissza? Mert akkor azonossgot kapunk. Ha abba helyettestjk vissza, amelyikbl kifejeztk, mindig gy lesz. Nem kell rajta csodlkozni! Ha mgsem gy van, akkor mr ilyen egyszer mveleteket sem tudunk biztonsggal vgrehajtani. Akkor inkbb menjnk haza s aludjuk ki az ittassgunkat!

Ezt rjuk b a a

Vagyis

Most az egytthatkat teszem egyenlv, hogy lsd tk mindegy, hogy melyikkel bnunk el elbb, noha most is kiejthetnnk az -t is:

Azaz:

s most vonjuk ki ket egymsbl. Pl. ilyen sorrendben: De ezt is lehetne fordtva. Teljesen mindegy! :

Azaz

Ezt rjuk be az -be:

Az igazsg ismt napfnyre kerlt:

Na, ezen a feladaton sem fogom bemutatni a grafikus mdszert, mert netn megzldlntek tle. s nekem semmi kedvem, egy rakat zddsgh beszlni tovbb! Helyette mutatok egy msik mdszert, amit egyltaln nem kell ismernetek, de ponos. Ebbl tulajdonkppen eljutunk a fogalmhoz, de mg ezt sem kell tudnotok. Majd esetleg arra is kitrnk egyszer. Ami azt illeti, a c. fejezetet egy olyannal zrjuk. Br ott sem mondok rla tulajdonkppen semmit. Itt sem fogok. Aki tudja, tudja, aki nem, annak nem is kell mg.Egy ilyen ktismeretlenes elsfok ktegyenletes rendszer ltalnosan gy rhat fel:

Fejezzk ki mindkettbl -t!

s

Ekkor ezek a kifejezett alakok nyilvn egyenlek lesznek:

Hozzuk az -es tagokat egyoldalra:

Mr csak egytthatjval kell osztanunk s meg is van maga az :

Most az eredeti egyenletrendszerbl ejtsk ki -et, gy megkapjuk rtkt:

Ezek teht ismt egyenlek

Hozzuk egy oldalra az -os tagokat:

egytthatjval osztva:

Teht ezt kaptuk:

Ez mindig hasznlhat? Nem hagyomnyosan rtve, igen. Ha rnznk a kifejezsekre, ltjuk, hogy van nevezjk. A nevez pedig nem veheti fel a nulla rtket! Amg nem veszi fel, pontosan egy pr a megolds.Azonban ha mgis felveszi, gy hogy a szmll nem nulla, akkor annyit tesz, hogy nem metszi egymst a kt egyenes, azaz nincs egyetlen metszspont, s gy megolds sincs.Ha viszont a nevez s a szmll is nulla, akkor a kt egyenlet egymsnak tbbszrsei, azaz mindkt egyenlet ugyanazt az egyenest fejezi ki. Ilyenkor vgtelen sok megolds van.Ennek beltsa legyen hzi feladat! Azonban hogy ne kelljen mindig levezetned ezeket a kpleteket, hogyan tudnd megjegyezni ket?

A szmllkban s nevezkben, mindenhol szorzatok klnbsge van. Ha ennyit meg tudsz jegyezni, akkor mr csak hrom mondatot kell megjegyezned, mivel a nevez mindkt estben ugyanaz: Itt minden bethz egyetlen szt rendeltem:

Az kifejezsben a szmll kt-kt betje egy-egy szt alkot:

Az kifejezsben a szmll kt-kt betje ismt egy-egy szt alkot:

Most mr csak azt kellene mg valahogyan biztostani, hogy ne keverjk ssze, hogy melyik kdolja -et s melyik kdolja -t. Ez egyszer. Cecilrl mindenki tudja, hogy lb. A szerelem grg istennje, Afrodit, pedig nagyon vonz minden kromoszms egynnek.

Lssuk vgre azt a

A kt egyenletet fggvnyknt brzoljuk kzs koordintarendszerben. Ehhez elbb mindkettbl kifejezem -t:

Teht ezt a kt fggvnyt brzoljuk:

Hogy ez pontosan hogyan trtnik, megtudhatod, a megfelel fejezetbl: .

A kt egyenes metszspontja, . Vagyis ez adja a megoldsprt. Miknt az az brrl is leolvashat. Hzi feladat, hogy ellenrizd ezt az eredmnyt az eddig tanult mdszerekkel!Most mutatok mg egy mdszert, mely nagyon elegns.

Lttuk mr az egyenl egytthatk mdszernl, hogy az egyenletek tbbszrseit sszeadhatjuk egymssal s ki is vonhatjuk egymsbl. Azt, hogy egy egyenletet szorozhatok vagy oszthatok nulltl klnbz szmmal, azt eddig is tudttok. Ez az ismeret most is jl fog jnni. Egyenletek sorrendjt fel is felcserlhetjk egymssal, hiszen az nem vltoztat azon, hogy milyen rtkei lesznek a megoldsnak. Ezenkvl azt is ltni fogjuk, hogy ezek elvgzshez nincs szksg arra, hogy a vltozkat is lerjuk. Csak arra kell gyelnnk, hogy az egyenletek ugyanolyan sorrendben tartalmazzk a vltozkat, s az egyenletek ugyanazon oldaln legyenek. A msik oldalon legyenek a konstansok. Ugyanis elfordulhat, hogy nem gy kapjuk az egyenleteket! A jelenlegi feladatunkban gy kaptuk ket, gy ezzel nem kell vacakolnunk:

Az egytthatkat s konstansokat a kvetkezkppen rjuk fel: s most levonom a msodik sor hromszorost az els sorbl: osztom az els sort -mal: az els sor -szrst vonom le a msodikbl: s kszen vagyunk. Ha az egytthatkra vonatkoz oldal, a baloldal gy nz ki: akkor az azt jelenti, hogy az els vltoz, , s a msodik vltoz, egytthatja is az els, ill. a msodik egyenletben, a msik vltoz egytthatja pedig nulla az egyenletekben. Csak azt kell leolvasni, hogy a megfelel, egysg egytthats vltoz sorban a jobb szlen milyen szm ll. Ez lesz a megfelel vltoz, ill. keresett ismeretlen rtke. Ezekszerint:

:Mindig arra treksznk, hogy minden egyes sorban csak egyetlen ismeretlenre vonatkoz egytthatt tartsuk meg s tegyk eggyel egyenlv, s a msikat ejtsk ki, azaz eliminljuk. Ekkor az egyenlet konstanst jelent balszle az elbb hasznlt alakzat megfelel sornak, ppen az adott ismeretlen, krdses egyenletrendszert igazz tev rtke lesz. Az elbbi lpseket, a mveletek kzlse nlkl, gy szoks jellni: Ha a mveleteket is akarom kzlni, akkor azt a tilde fl rom: Ahol a rmai szmok mr nem az eredeti egyenletekre, hanem az aktulis sorokra utalnak.

Szembetl, hogy a msodik egyenlet ppen a ktszerese az elsnek. Ez azt jelenti, hogy ez nem kt klnbz egyenlet, hanem csak egy. Teht vgtelen sok megolds van, mert egybe esik a kt egyenes. gy is fogalmazhatnk, hogy vgtelen sok helyen metszik egymst. Ha elmulasztjuk, szrevenni, hogy ez a kt egyenlet ugyanazt az egyenletet rja le, azt miknt fogjuk a Gauss eliminci sorn szlelni? Roppant egyszeren:

Teht lesz egy nulla sorunk. Ismt egy j rv amellett, hogy a nullt tekintsk egyik legjobb bartunknak. A nulla sor jelentse; mivel ez egy egyenletet kdol; hogy nullaszor valami, plusz nullaszor mg egy valami, az egyenl nulla. Ez teljes mrtkben igaz. St azonossgknt is hivatkozhatnk r, mivel brmi is az egyik valami, s a msik valami, ez mindig fennll. s azt mr a szingli egyenleteknl megtanultuk,[footnoteRef:5] hogy az azonossg a vgtelen sok megoldst jelenti. Hogy melyik vgtelen a lehetsgesek kzl, az az alaphalmazunktl fgg. [5: O.K. tudom, a Zolika nem tanulta meg.]

Hogyan jelentkezik az az eset, mikor nem ltezik megolds? Ezt ltjuk a kvetkez pldban:

Ezek prhuzamos egyenesek, a vak is ltja. A Pistike meg brzolja, oszt akkor is LSSA majd. Ne felejtsk el, hogy itt az s az fordtott sorrendben van egymshoz kpest a kt egyenletben! Elbb ezt intzzk el, tegyk azonos sorrendbe!

Most mr nzhetjk, hogy mi trtnik a Gauss mdszer sorn:

Teht kapunk egy olyan sort, melynek az a jelentse, hogy nullaszor egy valami, plusz nullaszor egy msik valami, az egyenl nem nullval, hanem mnusz tizenhrommal! Ez nyilvn balgasg, akr a Pistike is mondhatta volna. Vagyis ha nincs megolds, akkor ilyen butasgokat kapunk, melyek arra utalnak, hogy valamelyik egyenlet egyik oldala nulla, a msik oldala nem. s ez is ismers kell, hogy legyen a szingli egyenletek krbl. Akinek nem ismers, az iratkozzon vissza alacsonyabb osztlyba!gy most mr minden esetre tudjtok alkalmazni a Gaussi eljrst. Ne fljetek tle. Sok ms dolgot is meg lehet vele vizsglni, szmolni, de azokat most nem emltem meg, mert a Julcsi mr gy is alszik.

Olyan mdszerrel csinljtok meg amilyennel akarjtok, de az , s a mindenkppen szerepeljen kztk. A tbbit is j, ha tudjtok, de azokat kevesebb alaklommal krik rajtatok szmon.

Igen jl ltod, sehol nem fogsz szp egsz szmokat kapni. De a hzi feladatnak pont az a lnyege, hogy egy kiss nehezebbet is gyakorolj, mint amivel magadtl hajland lennl bogarszni.

Elsfok hromismeretlenes egyenletrendszerekEzek az egyenletek nem egyeneseket, hanem skokat adnak meg a hromdimenzis koordinta rendszerben. Itt is elfordulhat, hogy nincs megolds. Ilyenkor prhuzamos skokrl van sz. Ha egy megolds van, akkor egyetlen kzs pontjuk van. Pl. hrom sk esetn ez egy szglet, sarok cscst jelli ki a trben. Ha vgtelen sok megolds van, akkor vagy egybe esnek a skok. Vagy csak kett esik egybe, vagy tbb, gy itt hrom esetn ez az sszes egybeesst jelenti, vagy az is lehet, hogy egy egyenesben metszik egymst. Itt most csak a hrom egyenletes, gy maximlisan hrom skot megad esetekrl lesz sz. Ha eddig nem vetted volna szre a Gauss eljrs elnyeit, itt mr nagyon magukrt beszlnek majd.

Elszr is rendezzk ket gy, hogy mindegyik egyenletben ugyanabba a sorrendben legyenek az ismeretlenek, s a konstansok:

Nzzk elsre behelyettest mdszerrel! Az -bl kifejezem a -t, s a kapott kifejezst behelyettestem a msik kettbe. Nyilvn brmelyik ismeretlent kifejezhetnm, brmelyik egyenletbl De itt az els egyenlet a legegyszerbb alak, abbl a legknyelmesebb. Mint tudjuk a j matematikus lusta.[footnoteRef:6] [6: De nem a gondolkodsra!]

s ekkor mr csak kt ismeretlennel kell foglalkoznom. tmenetileg. Ha eme kt ismeretlen ismert vlik, mr knnyen meg lesz az elbb kifejezett/kiejtett is. Bontsuk fel a zrjeleket:

Vonjunk ssze:

Tegyk egyenlv valamely egytthatkat! n az -t fogom. A egyenletet szorzom -gyel:

Ehhez mr csak hozz adjuk a -t

Ezt berom a egyenletbe:

Most mr csak az -et keressk:

Teht a kvetkez rtkekre lesz igaz mind a hrom egyenlsg:

Vagy ha gy jobban szereted:

Most megidzzk Gauss szellemt:

A mveleti magyarzatok, nem sszevonsok, hanem mindig gy rtendek, hogy az elbb llhoz adjuk az utna jvt. Pl. a sorhoz az 1. sort; az sorhoz a sor -szorost, stb.

Teht ismt azt kaptuk, hogy:

Neveletlen klkei, nem tudnak egy normlis sorba llni! Pofozzuk t ket:

Az els egyenlet a legegyszerbb, ebbl kifejezem az -et:

Ezt berom a msik kettbe:

Azaz:

sszevonva s rendezve:

Szorozzuk kettvel a -t

Ha ezt sszeadjuk a -vel:

Amibl a

kvetkezik, ami ellentmonds. Teht nincs olyan megolds, mely mindhrom egyenletre igaz.

Nzzk, hogyan jutunk ide a Gauss eljrssal:

Az els egyenletbl az hinyzik, azaz egytthatja .

Ami nem mst jelent, mint az elbbi mdszer esetn is. Azaz, hogy itt valaki aljas hazugsgot llt, de mi rajtakaptuk. Ezekutn mg el lehetne azzal jtszani, hogy az egyenleteket kettesvel vve milyen megoldsok lehetnek. De ezzel most nem bajldunk, hiszen eredetileg csak azt krdeztk, hogy a teljes egyenletrendszernek van-e megoldsa. A kapott ellentmonds tulajdonkppen azt jelenti, hogy a skok pronknt ugyan metszhetik egymst egy-egy egyenesben, de ezeknek ez egyeneseknek nincs kzs pontja. Mint a bevezetben emltettem, a magasabb fok egyenletrendszerekre majd a c. fejezetben ltunk nhny pldt. s azt is megtanuljuk, hogy ezek az egyenletek tulajdonkppen mirt is, s hogyan adnak meg egyeneseket, ill. skokat.