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Educación MatEMática, vol. 24 núM. 2, agosto dE 2012 ..9

arTíCULOS.dE.INvESTIGaCIóN

El.uso.de.las.gráficas.cartesianas .Un.estudio.con.profesores

Gabriela.Buendía.Ábalos.

resumen:Enelmarcodereferenciaqueelsistemaeducativobrindaalasgrá-ficascartesianas,lastareasqueelprofesordematemáticastienequedesarrollarse refieren a lograr la correcta articulación de los elementos semióticos quelacomponen, favorecerel tránsitodesdeunregistrográficohaciaelanalítico,lograrlaadecuadainterpretación.Anteello,loqueseadquiere–incluyendoalprofesor– es un uso instrumental de los símbolosmatemáticos inmersos sinentender los conceptos representados. En esta investigación, proponemos unanálisis nohacia cómo enseñar el objeto gráfica, sinohacia cuestionar a lapropiagráficaanalizandocómoseusaantesituacionesqueplanteanotrotipodetareasquelasinicialmenteseñaladas.

Palabras clave:gráficascartesianas,conocimientoenuso,prácticassociales

The.use.of.the.graphic.cartesian .a.study.with.teachersabstract: In the framework that the educational systemprovides toCartesiangraphs,thetasksthatthemathteacherhastodeveloparerelatedtoachievingthecorrect relationshipof thesemioticelements thatcompose it, favoring thetransitionfromagraphicregistertotheanalyticalone,obtaintheproperinter-pretation.Whatisfinallyacquired,includingtheteacher,isaninstrumentaluseofmathematicalsymbolswithoutunderstandingtheconcepts involved. Inthisresearch,weproposeananalysiscenterednotonhowtoteachthegraphobject,buttoquestiontheverygraphicanalyzinghowitisusedinsituationsthatposeothertasksthantheonesoriginallyindicated.

Keywords:Cartesiangraphs,usingknowledge,socialpractices

Fechaderecepción:24deabrilde2012.Fechadeaceptación:8deagostode2012.

RevEduMat_24_2_2013.indb 9 14/08/2013 11:00:40 a.m.

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El.uso.de.las.gráficas.cartesianas .Un.estudio.con.profesores..

INTrOdUCCIóN

Lasgráficascartesianas formanpartede loscontenidoscurricularesdesdeelúltimoañodeeducaciónprimaria.Atravésdelcurrículoylibrosdetexto,eldis-cursomatemáticoescolarsueleasignarleselpapelderepresentareinterpretarunconjuntodedatos,papelqueposteriormenteseorientaráhaciael trabajocon funciones a través de tareas escolares del tipo “graficar o interpretar lagráficadeunafunción”.

Lasgráficassonunobjetomatemáticoqueesnecesarioconocerparalograrsuconstrucción,utilizacióncomomodelo,o interpretación,asíqueelpapeldelprofesor de matemáticas es enseñar lo anterior. Importa, entonces, la correctaarticulacióndeloselementossemióticosquecomponenlagráfica,ointerpretarloqueseestáviendoenlamisma,demaneraacordeconelproblemacontextua-lizadoquedichagráficailustra,oproponertareasquepromuevanloqueDuval(1988)señalacomoconversionesdirectasentreregistrosderepresentación.

Enesemarcoescolarde referencia, tareasquepidananalizara travésdelas gráficas otras relacionesmatemáticasmás allá de las evidentes, puedenserparalizantes inclusoparaelpropioprofesor. Tomemoscomo ilustraciónelsiguienteproblemadetexto(figura1).

Figura1.ElproblemadelasBicicletas(Cantoral,R.Farfán,RM.,Montiel,G.,Lezama,J.,Cabañas,G.,Castañeda,A.,Martínez-Sierra,G.,Ferrari,M.,2008).


Gabriela.Buendía.Ábalos

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Larespuestaalaprimerapreguntapuedeobtenersedeunanálisisdirectodelagráfica,asíquelosprofesoresnotienenproblemaenidentificarlainter-seccióndelasrectascomoeltiempoenelqueambosciclistastienenlamismavelocidad y de ahí obtener la respuesta; el tratamiento usual de las gráficasinvolucrasaberhallarlainterseccióneinterpretarlaenelcontextodelenuncia-dodado.Sinembargo,elrestodelaspreguntasrequiereunainterpretaciónqueyanoesdirecta,puesimplicareconocerrelacionesimplícitas.Nobastaoperarsobreella(encontrarcoordenadas,hallarintersecciones…)y,anteello,lagráficapuedenodecirnadaalprofesor.ComoDoormanyGravemeijer(2009)señalan,bajoesosmarcosescolaresdereferenciaenlosquelamatemáticasepresentapocoarticuladayalejadadesignificadoscontextualizados,loqueseadquiere–incluyendoalprofesor–esunusoinstrumentaldelossímbolosmatemáticosinmersos,sinentenderlosconceptosrepresentados.

Anteestemarcodereferenciaescolarlimitadoypocosignificativo,nospre-guntamoscómopodríausar lasgráficasunprofesordematemáticasenunatareaescolarcuyodiseñomismoimplicaunamanipulaciónointerpretacióndedatosnoevidente.Esteinterésguiólaimplementacióndetalleresconprofesoresdedistintosniveleseducativosenlosquesepropusotrabajarconelproblemadelafigura1.Prontoeltipodetareapropuestarevelóquelosprofesoressolousan las gráficas –cómodamente– comounobjeto semiótico que representaunafunción;estatarearequiereunesfuerzoextraporpartedelosprofesores,quienesinclusoreflejandesconcierto.

Reconocimosque,alenfrentarseatareasdeestetipo,losprofesoresusanlagráficadedistintasmanerasyestosusosreflejannosolométodosdesoluciónmásflexiblesydistintosalosesperados,segúnellibrodetexto,sinounusodelconocimientomatemáticofuncionalyarticulado.Peroestereconocimientofueposibleúnicamentecuando,alanalizarlaactividaddelosprofesores,elcentrodedichoanálisiscambiadelobjetográfica,haciaelusodelamisma,permitien-doconsiderarherramientas,argumentos,contextosyprácticas.

Proponemos, entonces, una investigación sobre los usos de las gráficasdelosprofesoresdematemáticasquepermitaampliarelmarcodereferenciaescolarusual. Para ello, lo gráficonopuede ser soloun registro con el cualtrabajar,ni tampoco las tareaspropuestasse refierena lograrunaadecuadalecturaointerpretacióndelagráfica.Proponemoshacerdelasgráficasysuusounmarcoepistemológicofuncionalenelqueelcuestionamientonoeshaciacómoenseñarmejorunagráfica,sinocuestionaryconsiderartodoaquelloqueserelacionaconlo gráfico:ademásdelosaspectossemióticosdelagráfica,lasprácticas,lasherramientasylosargumentosinvolucrados.




aBrIENdO.EL.PaNOraMa

Laescuelahaprivilegiado lametáforadelobjeto y laspreguntasquepodríacontestarsonconrelaciónacómoseaprendeocómoseenseñadichoobjeto.Peromásalládeconsideraralagráficasolocomounarepresentaciónsemió-ticadentrodeunregistrográfico,lainvestigaciónenmatemáticaeducativahaabiertovisionesalternasrespectoaesepapel.

Lamatemáticarealista,porejemplo,concibealagráficacomounmodelo,pero lanocióntradicionaldemodelocambia,puesnosolosonmodelosquederivansusignificadoapartirdelomodelado(convirtiéndoseenunarepresen-taciónfísica),sinoquesebuscapensaracercadelasrelacionesmatemáticasenellos(DoormanyGravemeijer,2009).Aunqueelobjetivosealaconstruccióndelmodelocomoresultadodeactividadesdemodelación,eltipodeconstruc-cióndelosestudiantesysusinvencionesjueganunpapelcentral.Alagráficacomomodeloseañade,entonces,laimportanciadelaactividadysupropósito,convirtiéndolaenunmodeloquebuscafavorecerelrazonamientomatemático.Latareaquelosautoresatribuyenalagráficaes,alsenodetodounprocesodeaprendizajeenunmarcodetrabajoconrelacionesgráficas,ladesimbolizaryconstruir–simultáneamente–significadosacercadecuestionescomolavaria-ciónyelcambio.Esolespermitedarcuentaacercadequeesfactiblequelasgráficaspuedansoportareldesarrollodelosprincipiosbásicosdelcálculo.

OtrasinvestigacionescomoladeBowen,RothyMcGinn(1999)reconocenla existencia de prácticas de graficación en las que importa quién es aquelqueestáinterpretandounagráfica.Entiendenlagraficacióncomounconjuntodeprácticasderepresentación,producción,lecturaeinclusocríticadegráficas;todas son de naturaleza social –de ahí el nombre de prácticas sociales– yen ellas deben estar consideras las prácticas comunes de cadagrupo socialinvolucrado,suspreocupacionesynecesidades,eltipodeherramientasqueseponenenjuego,incluyendolosrecursoslingüísticos.Esasprácticassocialesseconformanporpatronesbásicosdeaccioneseinteraccioneshumanasy,dadoqueelobjetivoesdiseñarambientesdeaprendizajeenlosquelosparticipan-tesseinvolucrenenprácticasdegraficaciónauténticas, lesimporta,entonces,interpretaryanalizardichospatrones.

En estas perspectivas, el papel de la gráfica en lamatemática escolar semodifica. Radford (2009)mencionaque, tomando lagráfica comouna cons-trucciónsemióticaquerepresentarelacionesmatemáticasentresuselementos,estaresultaunmedioparallevaracaboreflexionesygenerarsignificadossobre


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aspectoscomotiempoydistancia.Setratadetodounprocesodesignificaciónque el autor llamaobjetivación cultural, a través del cual los estudiantes sehacenversadosrespectoaideasmatemáticasymodosdepensamiento.Eneseprocesodecortesocial,lasgráficastienenunrolepistemológicoalsenodelamatemáticaescolar,rolqueimportareconocer,analizaryentender.

Anteello,proponemosunainvestigaciónque,sibientambiénconfierealaactividadhumana la funcióndeproduccióndelobjeto, el énfasisnoestáenlagráficacomounobjetopreexistenteoyaconstruido,niensupapel comorepresentación producida o innata (Cantoral, Farfán, Lezama,Martínez-Sierra,2006),sinoenlasprácticassocialescomonormativasdelaactividadalrededordeyconlasgráficas.

Se trata de una epistemología de prácticas para las gráficas y su uso alsenode la cual,Cordero,CenySuárez (2010)proponen lagraficacióncomounaprácticainstitucionalquepermaneceysedesarrollaenlaescuela,atravésdelosdiferenteselementosdeldiscursomatemáticoescolar.Comopráctica,lagraficaciónesmásqueobtenerunagráfica; favorece llevara cabomúltiplesrealizacionesparaformularlasrelacionesqueintervienenenlasituaciónpar-ticular,yhacerajustesenlagráficajuntoconargumentacionesparadistinguir,cadavezmásfinamente,loselementosinvolucrados.Estopermiteeldesarrollodel razonamiento y de la argumentación a través de justificaciones funcio-nalesmáscentradasen loqueesdeutilidadalgrupohumanoencuestión.Entonces,lasexplicacionesdelaconstrucciónoapropiacióndelobjetográfica,noseproponena travésdesuspartesconstituyentes,ni lasgráficasresultanserlare-presentación(enelsentidodevolverapresentar)deunafunción,yaqueseasumequeestanoexisteobjetivanipreviamente,sinoqueesproductodelejerciciosdeciertasprácticas(Cantoralet al.,2006).Enestaepistemología,la gráfica antecedea la función, pues la graficación conforma elementos deconstrucciónparaeldesarrollodeideasvariacionalesypuedendesarrollarsedemaneraindependienteoparalelaaldesarrolloanalíticodelconceptodefunción(Suárez,2008).

aSPECTOS.TEórICOS:.PrÁCTICaS.Y.USOS

Estadiscusión formapartedeunprogramasocioepistemológicode investiga-ciónenmatemáticaeducativaquebuscaunnuevoestatusepistemológicoparalamatemáticaescolar,unoquese fundamentaen la relaciónentreprácticassocialesylageneracióndedichoconocimiento(Cantoraletal.,2006;Camacho,




2006).Estoes,loqueseestudiaesalserhumanousandoyhaciendomatemá-ticasynosolosuproducciónmatemáticafinal.Esteeselcaráctersocialdelasmatemáticasquesebuscaevidenciarde talmaneraque,entresusobjetivos,estáproponerepistemologías de prácticas(BuendíayCordero,2005)enlasquese formula que el ejercicio de ciertas prácticas antecede a la producción deconceptosdeterminados;esaeslabasedesignificaciónquebuscamosparalamatemáticaescolar.Enelsenodeunaepistemologíadeprácticassemanifiesta,necesariamente,elusodelconocimiento.

Hablar,entonces,delconocimientoenuso,resultauncontrasteconloquelossistemaseducativospersiguen.ComomencionaCordero(2006),lossistemaseducativos se han preocupado por lo que sabeun estudiante o un docente–por ejemplo, saber interpretar una función o lograr graficarla–, pero no porcómo se usa ese saber,locualtienemuchomásrelaciónconunamatemáticaescolarfuncionalyarticulada.Elautorproponeentendereluso de las gráficas,alsenodelainvestigaciónensocioepistemología,atravésdelanálisisdesusfuncionamientosy formas,entendidossiempresituacionalmente,entrelazados,yencontinuodesarrollo.

De acuerdo conCordero, Cen y Suárez (2010) y conBuendía (2011), porforma se considerará tanto la apariencia perceptible de la gráfica, como lamaneraenlaqueelsujetoactúaconellaysobreellaenunaciertatarea.Setratadeunactuar enun sentidoamplio, pues se consideranaspectos sobrecómoelsujetocalcula,cómoargumenta,cómoresuelveoinclusocómorepre-senta, dependiendo de la tarea particular. El funcionamiento es para qué lesirvelagráficaalsujetoencuestión,eselroldelagráficaenunatareaycómofuncionaenesatarea.

Tomaremos, entonces, el uso de las gráficas como un constructo teóricoquebuscaproblematizaralsabermatemático,enparticular,eldelprofesor.Enelsiguienteapartadoproponemosunaunidaddeanálisisparaelestudioy,alsenodeella,laimportanciadeestainvestigacióncentradaenelprofesor.

EL.PaPEL.dEL.PrOfESOr

Lasocioepistemologíaproponecomobasedesignificaciónnosoloalamate-mática misma, sino a todo aquello que rodea y en lo que se involucra elhumanoalhacermatemática.Enconsecuencia,sepuedenconsiderardiferentesescenariosposiblesy,encadaunodeellos,seconformaunaunidaddeanálisis.Enelescenarioquese tomecomoposible fuentedesignificación,seanaliza




lainteracciónentrelaactividadobservabledelosindividuos,laintencionalidadexplícitade transmitirunciertoconocimientoyelsabermatemáticoen juegorelativoadichoescenario(figura2)(MontielyBuendía,2011).

Escenario actividad

Saber.matemático

Transmisión.del.saber

Figura2.UnidaddeAnálisis

Esesabermatemáticoeselqueseproblematizaalconsiderarlamatemáticaenjuegocomounactoraanalizar,cuestionandosuestatusdesaberinstitucionalcomoaquelloque‘sedebeaprender’.Apartirdereconocerquesonlasprácticassociales lasquenormanlaconstruccióndelconocimientomatemático,sehacenecesarioreconocertambi[ensumanifestaciónatravésdesususosendistintosescenarios;paraelcasodeestainvestigaciónseráelescenarioescolar.

Losindividuosconlosquetrabajamosenestainvestigaciónsonlosprofe-soresdematemáticas. Entender laactividaddeldocente retoma las variablesqueconformanelperfildeunprofesordematemáticasenservicioseñaladasporMontiel(2010):elpaís,estadoyregióngeográficadondeseformaydondelabora,elniveleducativodondeejercesuprácticadocente,suformaciónprofe-sionalydidáctica,suexperienciaprofesionalydocente,suideología,sucultura(incluyendolamatemática),entreotras.Larelevanciadeltrabajoconelprofesorreconocequeél,consuactividad,esdeterminanteenellogrodidácticodelosalumnos(Lezama,2003);comoseñalanLezamayMariscal(2008),elprofesornosearriesgaa la innovaciónsi sientequepierdeelcontrolde loqueestáacostumbrado a hacer en su actividad. No suele cuestionar su propio sabermatemático y, difícilmente, reconoce que él mismo puede usar las gráficasdemanerasparticularesydiferentesasusalumnosoalasrecomendacionesdidácticas deun texto; con ello echa a andar elementos culturales, productodesuprocesodeformación,mezclándolosademásconasuntosespecíficosdematemáticas.Mientras no surja este tipo de cuestionamiento, la actividad de




clasepuedeserunaespeciedeapuestaynosesabesiseobtendránono,niporqué,losresultadosesperados.

Consideramos, entonces, que reconocer una nueva base epistemológicaparalasgráficasydesdeahí,queeldocentereconozcayanalicesuspropiosusosanteunasituaciónproblemática,lepermitirásentirsecapazdecuestionarytrastocarsupropioconocimientomatemáticoy,porlotanto,sudiscurso.Eso,necesariamente, se convertirá en un elemento para reflexionar acerca de supropiaprácticadocenteydelimpactodeestasobresusalumnos.

aSPECTOS.METOdOLóGICOS

Lainvestigaciónsefundamentaeneltrabajorealizadoendostalleresconpro-fesoresdematemáticasenlosqueseplanteóelproblemailustradoenlafigura1,extraídodeunlibrodetextovigenteparaelsistemaeducativomexicano,diri-gidoaestudiantesdetercerodesecundaria(14-15años)(Cantoralet al.,2008).Enesteniveleducativosetrabajancontenidosmatemáticosrelativosaálgebraytrigonometría,principalmente.LoselementosdeCálculosetrabajanatravésde funciones linealesycuadráticas, laobtencióndesusgráficasycuestionesdeoperatividadcomoresolversistemasdeecuacioneslineales.Esteproblema,quehemos llamado “De lasBicicletas”, se encuentra enelBloque3, titulado“Todocambia”,enelqueseesperaquelosalumnosinterpretenyrepresentenrelacioneslineales.Pertenecealejecurricularde“Manejodelainformación”,elcualsecaracterizaporelconstanteusodegráficasparaorganizarinformaciónyrepresentarobjetosmatemáticosafindeentendermatemáticamenteelmundoquenosrodea.Concretamente,lalección20,delacualformaparteelproblema,planteaactividadessobrefenómenoscuyamodelaciónrequieredelempleodegráficasdefinidasporsecciones.

Se tratadeunagráfica cartesiana tiempo-velocidaden laqueestá repre-sentadoloqueocurrecondosciclistasquesemuevenadistintasvelocidades.Laprimerapreguntaessobreenquétiempolosciclistasconsiguenlamismavelocidad,respuestaquepuededarsealinterpretarlainterseccióndelasrectascomolavelocidadcomúnenambosydeahíobtenerla.Elrestodelaspreguntasseplanteaentérminosdedistancia,porloquelagráficatendríaqueser usada deotramanera,puesnobastaconoperarsobreella(encontrarcoordenadas,hallarintersecciones).




Elanálisisdelusodelasgráficasquepresentamosenesteescrito,sebasaendatosextraídosde lossiguientesdosescenariosdetrabajoconprofesoresdematemáticasdedistintosniveleseducativos.

Escenario 1 El problema se trabajó con un grupo de alrededor de 300profesoresduranteundiplomadodeespecializaciónalqueasistierondocentesdesecundariaenejercicio.Nosetienendatosprecisossobrelaformaciónpro-fesional individualde losmaestrosparticipantes; sinembargo, enMéxico,unaltoporcentajedelosprofesoresquelaboranenesteniveleducativonotienenlicenciaturauniversitaria.Trabajaronenequiposde10integrantesyelanálisisserealizaapartirdelaproducciónescritaquepresentarondosequipos(AyB)enelpizarrón.

Escenario 2.ElproblemasepropusocomoactividaddecursopropedéuticoparaingresaralaMaestríaenCienciasenMatemáticaEducativa.Fueungrupode40profesoresdematemáticas,entreloscuales32laboraneninstitucionesde nivel superior (universidades e institutos tecnológicos), cuatro laboran ennivelmediosuperior, tresennivelmedio,yunoenlaNormal;cuatrodeellosprovienendefueradeMéxico(Colombia,ArgentinayUruguay)yelrestosondediferentesestadosdelaRepúblicamexicana.Laactividadqueselespropusofueresolverelproblemadelasbicicletasy,posteriormente,solicitaraunalumnodecualquiernivelqueloresolviera.Selessolicitótambiénreflexionarmediantelassiguientespreguntas, tantoacercadesupropiaresolución,comosobre ladesualumno.Tuvieroncincodíaspararealizar laactividady,posteriormente,enviarenlíneaunúnicodocumentocontodolosolicitado.Estedocumentoeslafuentedelanálisisdelaproducciónescritaqueseanaliza.

a) Además de lo correcto o erróneo de la respuesta, compara, en términos generales, los

métodosderesoluciónelegidos

b)¿Hubodificultadesespecíficasparaalguno?

c)Encuantoalagráfica,¿cómofueusadaencadacaso?Porejemplo,solocomoapoyo,para

localizarpuntososecciones,parahaceralgúncálculo…

d)¿Quétipodeherramientasmatemáticassepusieronenjuego?Ejemplo:expresionesanalí-

ticas,algunafórmula…Paraelcasodelalumno,estasherramientas,¿sonpropiasdesunivel

educativooutilizóherramientasmáscomunesdeotroniveleducativo?

Despuésdeltrabajoenesosescenarios,sehanpodidoidentificaralmenostresestrategiasderesoluciónglobales.EnlaTabla1hemospuestounabreve




descripcióndecadaestrategia.Enelúltimorenglónseincluyeunareferencianumérica:elnúmerodeprofesores,pertenecientesúnicamentealsegundoesce-nario(40individuos)quelautilizaron;estenúmeroesunclaro indicativodelfuertereferenteanalíticoenlaactividaddelosprofesoresysoloporellolopre-sentamos.Cabemencionarque,dentrodeestosnúmeros,haycuatroprofesoresrestantesquenosedieroncuentaquelagráficainicialerasobrevelocidad,asíquesusrespuestasnofueroncontabilizadas

Estrategia 1

Emplear fórmulas y expresiones analíticas

Estrategia 2

Obtener áreas

Estrategia 3

Analizar intervalos

Fórmulas extraídas del contexto de la Física como:

Expresiones analíticas que representan la ecuación de las rectas del tipo t = mx +b dadas en un solo intervalo o por partes

Áreas identificadas a través de figu-ras geométricas conocidas como rectángulos o triángulos.

Áreas bajo la curvas identificadas como la distancia bajo la curva velocidad

Partir un intervalo en sub-intervalos

28 profesores 8 profesores 0 profesores

Tabla1.Estrategiasderesolución

Lapreguntade investigaciónahorasepuntualizade lasiguientemanera:enestasestrategias,¿cómousanlosprofesoreslasgráficas?Esdecir,dentrodelconjuntodeacciones, recursos y finesqueponeen juegounprofesor comoestrategiaalbuscarlasolucióndeunproblema,lagráficaseusadeciertaformayconciertofuncionamientoquenosonnecesariamenteexplicitados.Eseusoeselquenosinteresaanalizaralsenodeunaestrategiaparticular.

Retomandolapropuestadeanalizarelusomediantelaformayfunciona-mientodelagráfica,elanálisisdelasproduccionesescritas(enelpizarrónoeneldocumentoindividual)respondeapreguntaspuntualesdeltipoquéhace,cómoyparaqué.Los incisosdelproblemaqueseanalizaránenesteescritomarcandosmomentosdeusodelasgráficasqueinteresaanalizar:

d = vt

d = Vo t + 1 at2

2

_=

Vf – Vov2




a)¿CuántotardaráJuanenalcanzarlavelocidaddeCarlos?Estapreguntaseconcretaencómoseusalagráficaparahallarelpuntodeinterseccióndelasrectas

b) En dicho instante, ¿qué ventaja lleva Carlos a Juan? Esta pregunta seconcreta en cómo se usa la gráfica tiempo-velocidad para identificarladistancia.Soloparacompletarelargumentoqueelprofesoresgrimeparaestapregunta,sediscutiráelincisoc),queserefierealadistanciarecorridaenuntiempoposterior.

LOS.USOS.dE.LaS.GrÁfICaS

Hallando el punto de intersección

La respuestaa laprimerapreguntapuedeobtenersedeunanálisispráctica-mente directo de la gráfica, así que la mayoría de los profesores no tienenproblemaenidentificarlainterseccióndelasrectascomoeltiempoenelqueambos tienen lamisma velocidad, y de ahí obtener la respuesta. La gráficafuncionadeunamaneraacordeconeltratamientousualdelasgráficasenelauladematemáticas:hallarlainterseccióndelasrectas.Sinembargo,dadalanaturalezadelainformacióngráficaproporcionada,elprofesortienequehallarelpuntoexactoconelcualtrabajarparalasiguientepregunta,decisiónenlacuallasgráficasseusandediferentesmaneras.

Lafigura3muestralarespuestamáscomún:aunquelagráficanoesexactaalhacerlaproyecciónhaciaelejex,seidentificaelpuntodeintersecciónent =120.SemuestraunejemploextraídodelarespuestadeJorge,quienhaceunalecturadirectadelagráficaidentificandoelpuntodeinterseccióndelasrectascomoelpuntocoordenadoenelque lasvelocidadesde losciclistasse igualan.Esunusodelagráficadecortesemiótico,coherenteconeltipodetareasqueelsistemadidácticobuscafavorecer:larepresentacióndelasfunciones–velocidadenestecaso–comounagráficaylainterpretacióndesuinterseccióncomolaigualacióndelasfuncionesvelocidadenunpuntocoordenadoequivalentealdatotiempo-velocidad.

Figura3.Deacuerdoconlagráfica…




Ante lo inexactode la informacióngráficaalrededorde t=120, variospro-fesoresoptanporseleccionarotropuntoclavecomoauxiliarparabuscarconmayor exactitud el punto de intersección; se elije aquel donde la gráfica deJuandejaderepresentarunavelocidadqueseincrementayempiezaaserunavelocidadconstante. Identificaresepuntoclave, concoordenada (180,14), esunaformadetrabajarconlagráficaquepermitealprofesorsercoherenteconelcomportamientoqueestápercibiendoenlagráficalineal.Enesabúsquedadecoherencia,lagráficafuncionabajounaideadeproporcionalidad.

Enlafigura4,seejemplificaeseusomediantelarespuestadeDaniel,quienencontrará lascoordenadasdelpuntode intersecciónmedianteunaregladetres:unavezqueestablece,mediante lasproyeccioneshacia losejes lavelo-cidadcorrespondientea t=180 (puntoclave),busca laproporciónparav=10,hallandoelvalort=128.57.

Figura4.Unusoproporcionaldelagráfica

En la figura5,mostramos laestrategiade lasexpresionesanalíticaspero,además,seilustrauncasosui géneris:larespuestadeAngélica.Ellaesunapro-fesorauruguayaencuyaformaciónhaprevalecidoelaspectoanalíticoyforma-listadelamatemática;estacaracterísticasocialydeformaciónesdeterminanteensuusodelasgráficascomounarepresentacióndelafunción,detalmanera

(10m

) (180s)= 128.57 ss

(14 m/s)




que la búsqueda se orientahaciahallar la expresión analítica de las rectas.La gráfica funciona a través de indicadores –como los puntos coordenadosquepermitenobtener lapendientede la recta–parahallar talesexpresiones.Nótesequenosetratasolodelosvaloresnuméricosdelascoordenadas,sinodetomardospuntoscoordenados(x, y)parahallarlapendiente.Declaradoporellamismaalcuestionarlesobrecómoconsiderahaberusadolagráfica,diceque“elgráficofueusadocomoapoyopararesolverlaactividad”.

Dadoque, en realidad, la informacióngráficanoes exacta enesepunto,Angélicanoseatreveaseñalarapartirde lagráfica–niaproximadamente–valoresparat,detalmaneraqueproponeelparámetrot

1paraelinstanteenque

Juanalcanzalavelocidadde14m/s,parámetroconelquecontinúatrabajandosinquelecauseningúnproblema.Enelcasomásusual,losprofesoresasignanalgúnvalornuméricoadichoparámetroyrealizanlomismoqueAngélica.

Figura5.Elparámetrot1

Enlafigura6,Angélicadalaexpresiónanalíticaparalavelocidaddecadaciclistayconsecuentemente,larespuestaalaprimerapreguntaseconvierteenlaigualacióndeambasexpresiones.Lagráficafuncionademanerasimilaralmarcodereferenciaescolarusual.

Parámetrot1




Figura6.Elusoanalítico

identificando la distancia

Hemosseñalado,enlatabla1,queelempleodefórmulasoexpresionesana-líticaseslaestrategiamásutilizadaporlosprofesores.Bienpuedenserlasfór-mulasexpresamentedelMovimientoUniformeyalMovimientoUniformementeAcelerado(figura7)osimplemented=vt,distinguiendoque,enelcasodeJuan,lavelocidadnoesconstante(figura8).

Figura7.Fórmulasdemovimiento

Expresionesanalíticasparalavelocidaddecadaciclista

Igualación.de.expresiones.analíticas

dc=vt (movimiento uniforme)(10m/s) (120s)= 1200 metros

dj=Vot+1/2 at2 pero Vo=0

a= Vf-Vo Vf=10 m/st

dj=1/2Vf t2=Vftt

1/2 (10 m/s (120 seg)= 600 metros




Figura8.Distanciaesigualavelocidadportiempo

En esta estrategia, la gráfica funciona comoun referente para obtener lainformaciónnuméricaquesolicitalafórmula;estainformaciónsoloserefiereavalorespuntualescomoVf = 10o t=120.Analizandolasreflexionesdelospro-fesores,destacacómolaformaglobalresultarelevanteparadecidirelempleodelasfórmulas.Porejemplo,elprofesorRomán,cuyarespuestasemuestraenlafigura7,comentó:

Lagráficaesdevitalimportancia,yaquenosbrindalainformaciónexactadecómocambia

lavelocidad(ejeY)enfuncióndeltiempo(ejeX).Enlagráficanosdamoscuentadecómo

empiezaent=0Juanaacelerarhastaquealos180segundosseestabilizaylogramante-

nerunavelocidadconstantede14m/s.Tambiénpodemosobservarasimplevistaenqué

momentolavelocidaddeJuanyladeCarlossoniguales,alverificarelpuntodeintersección

enP (120,10). También lagráficaesmuy importanteparaobservarqueen todomomento

lavelocidaddeCarlosesconstanteypertenecealMRU.EntantoquelavelocidaddeJuan

secomponedeMRUA(diagonaldelagráfica)yposteriormentedeMRUapartirdelos180

segundos.

Estoes,aunque inicialmentepudierapensarseque lagráficasolo seusaparaobtenerlosdatosnuméricos,resultaqueelcomportamientodelamismaesunargumentoqueseponeunjuegoparadecidirquéfórmulaconocidadefísicapuedeauxiliaralprofesor.

RetomandoelejemplodelaprofesoraAngélica,unavezhalladaslasexpre-sionesanalíticas(recordarfigura6),yanovuelveahacerreferenciaalgunaalagráficaysusrespuestassebasanenelmanejodesusexpresionesanalíticas:al

Juan= (V

f-V

o )

t=(10-0)

5(125) = 6252 2

d = vt

Carlos= (10)(125) = 1250 m




hallarladistanciadecadaciclista,multiplicaport lafórmulaparalavelocidad(figura9).Así,Angélicausalasgráficasreflejandoaquellasherramientascohe-rentesconsuformaciónylaconcepciónanalíticaqueprivilegia.

Figura9.Expresionesanalíticasdeladistanciaapartirdelasfórmulasdevelocidad

Enlaestrategiadehallaráreas,lafigura10muestralarespuestadelequipoB,provenientedelescenario1.Inicialmente,sehabíandadocuentadeque,parael casodeCarlos (rectahorizontal), lamultiplicaciónde128por10 lesdabaladistanciarecorrida.Seguramentepartierondelafórmulad=vt yesaopera-ción resultócoherentecuandovisualizaronque,habermultiplicado,equivalíaaencontrareláreadeuncuadrado;estobrindaaladistanciaunsignificadodiferenteapartirdelusodelagráfica(verenlafigura10elcuadroenelquesehabíandibujadodiagonalesydespuéslasborraron).Estaformadeveralagráfica,lespermitió,entonces,señalareláreadeuntriángulorectángulocomoladistanciarecorridaporJuan.

Figura10.Ladistanciacomoeláreadeuncuadradoydeuntriángulo

Esteargumentodehallarlasáreastomaespecialmentefuerzaalcontestarelinciso(c)delproblema.Asíque,albuscarladistanciarecorridaporlosciclistasenuntiempoposterior,elproblemasetransformaaunasumadeáreas(figura11).Aestonosreferimoscuandoafirmamosquelagráficasoportaeldesarrollodeunaargumentación.




Figura11.Distanciarecorridacomosumadeáreas

En esta respuesta, las gráficas están funcionando a través de seccionesqueconformanfigurasgeométricasconocidas,primero,enelpuntodecruce,yluegohastaelotropuntorequerido.Laformadeinteractuarconlagráficaesmedianteelcálculodelasáreasdeesasfiguras.Usarlasgráficasvisualizandofigurasgeométricasgeneraunargumentodecálculodeáreasqueesfactiblesostenerydesarrollardesdeunprimermomento,paracompararlasdistanciasenelprimercruce(ent=128)hastaaquelpuntoquepermitehallarladistanciatotal recorrida. Bajo este tipo deuso, la forma como se percibe la gráfica esmuchomásglobal.

Lasiguientefigura12muestralarespuestadeJorge(recordarfigura3),enlacualafloraelhechodequeesunprofesorquerecurreregularyconfiadamenteaestrategiasvisuales;sutrabajocongráficasnosueletenerreferentesanalíti-cos,sinoargumentosfundamentadosenelcomportamientodelasmismas.Elusalasgráficasvisualizando figuras geométricasydeclaraque“elrecorridolocalculamossolocomoeláreadelpolígonoformadosinoperacionesmásfor-malescomounaintegraldefinida”.

Nuevaáreaparaacumular




Movimientorectilíneouniforme.Serelacionaconeláreadeunrectángulo

“Eláreadelavelocidad”

Figura12.Argumentandoconáreas

Respondeidentificandoladistanciacomo“eláreadelavelocidad”y,efectiva-mente,visualizael triángulorectángulocorrespondientea ladistanciarecorridapor Juan, como lamitaddel cuadrado correspondientea ladistancia recorridaporCarlos.Sinembargo,llamalaatenciónquenoincluyeningúntrazosobrelasgráficas,sinoquesetratadeunadescripciónverbalacercadeloqueestáviendo.Consideraestaformadeusarlagráficacomo“apoyoycomorespuesta”.

Enunejemplomássobrecómoelusodelasgráficasnoesalgoexplícitoparalosprofesores,elprofesorDaniel,relataque“…ymeencontréentoncesconeláreadeunafigura.Comparélosdatosyfueundescubrimientointeresante,yaquenuncalohabíamiradodeesamanera”.Cuandorespondelapreguntacorrespondientealadistancia,escuando“sedacuenta”delafactibilidaddeverelproblemaenfuncióndefigurasgeométricas(figura13).

Figura13.“Yencontréeláreadeunafigura”

Cuando Daniel aborda el tercer inciso, lo resuelve directamente hallandoel área de las figuras geométricas involucradas (figura 14). Podemos hablarnuevamentedecómoelargumentosedesarrollaylasgráficassostienendichodesarrollo.

∴serelacionaconeláreadeuntriángulo




Figura14.Desarrollandoelargumentodelárea

En la figura 15,mostramos un ejemplomás de este uso de las gráficasbasado en la visualización de figuras geométricas. Los dibujos que realizaRosadancuentaconclaridaddeestetipodeuso:unaformaglobaldeverlasgráficas,elfuncionamientoatravésdelaidentificacióndefigurasgeométricasconocidas, y el desarrollohaciauna sumadeáreas.Nóteseque, por algunarazónnoexplicitada,tomadiferentetiempoparalosciclistas.ParaCarlosutilizót=330yparaJuan,t=300.

Figura15.Rosa

LadistanciadeJuaneseláreadeuntriángulomáseláreadeuncuadrado




Respectoalfuncionamientodelasgráficasatravésdeáreas,presentamoslasiguientevariantemediante loquehaceNadia.Ellaprimeroencuentra lasexpresiones analíticas para cada recta y el punto donde alcanzan lamismavelocidad,sehallamediantelaigualacióndelasexpresiones(figura16):

Figura16.Nadia

Identificaquepuedehallarladistanciarecorridaalpuntot=128.57mediantela regiónbajo la recta (figura17).Esteesunusodiferenteavisualizar figurasgeométricasy,enestecaso,estaríahablandodeáreasbajolacurva.Sibienenningúnmomentohabladeintegración,señalaensuscomentariosqueladistan-cia“vienedadaporeláreadelaregiónbajolarecta…”;esdecir,bajolafunciónvelocidad.Esteesunusodelasgráficasmásligadoasufuncionamientocomorepresentacióndeunafunciónenlaquepareceponerseenjuegolanocióndeintegración,aunquesoloquedeexplicitadocomoáreabajo lacurva.Esto tieneunarelacióndirectaconhaberhalladolasexpresionesanalíticasdelasrectasenprimerainstancia:elprofesorestápensandoentérminodefunciones.

Figura17.Áreabajolacurva

b)¿QuéventajalellevaCarlosaJuan?

Carlos Juan

Ladistanciarecorridavienedadaporeláreadelaregiónbajolarectaqueunalospunto(0,10)y(128.57,10)

Ídem,peroconlospuntos(0,0)y(128.57,10)




Sinembargo,yaquelagráficaestáfuncionandoentérminosdeárea,nue-vamenteesfactibledesarrollaresteargumentohaciasumadeáreas(figura18).Ahoraesmásevidentequeestávisualizandofigurasgeométricas:

Figura18.Sumadeáreasdefigurasgeométricas

UNa.TErCEra.ESTraTEGIa:.aNaLIzaNdO.INTErvaLOS

Hemosanalizadohastaahora losusosde lasgráficasen lasdosestrategiasmás utilizadas al resolver el problema: el empleo de fórmulas y expresionesanalíticasylaobtencióndeáreas.Paraterminar,presentamoslaestrategiadepartirunintervalolacual,aunqueespocoutilizada,permiteanalizarusossig-nificativosdelasgráficas.

Enlafigura19,semuestralarespuestadelequipoA(escenario1).

Figura19.Seccionandounintervalo

Juand=Áreadeltriángulo+Áreadelrectángulo

1200m735m

5

30 60

75

1502.5




ParahallarladistanciadeCarlos(rectahorizontal),multiplicaron120por10paraobtenerladistanciarecorrida(1200metros).PeroparaelcasodeJuan,elequipodecidióobtener ladistanciarecorridapartiendoel intervalodel tiempoensectoresapartirdelaescalapresentadaenlafiguraoriginal.Paraelprimerintervalo (ver ampliaciónde la figura19) enel quehan transcurrido30s, setieneunavelocidadde2.5m/s,por loqueladistanciarecorrida,aplicandoelreferentedelafórmulad = vt,esde75m.Paraelsegundointervaloenelque,transcurriendootros30segundos,setieneunavelocidadde5m/s,porloqueladistanciarecorridaesde150myasísucesivamente.Finalmente,seacumulanlasdistanciasrecorridasencadaintervaloparaobtenerladistanciatotales:

75+150+210+300=735metros

Ya tienenel datode ladistancia recorridaporambos ciclistas, así que laventajaquelellevaCarlosesJuanesde465metrosenelinstantet=120:

1200–735=465metrosdeventaja

Las gráficas funcionan como un medio que sí les permite aplicar unafórmula conocida (d = v/t). Sin embargo, dado que la velocidad de Juan vacambiando, la forma de ver globalmente a la línea inclinada se transformaparaanalizar ahora secciones ypoder verquéocurre en cadaunadeellas.Posteriormente, proponen un argumento de acumulación, a través de unasumadedistancias recorridashastael t=120.Loque resultasignificativo,einclusosorpresivoparalosprofesores,esquelagráficaseacapazdesostenerydesarrollaresteargumentoparapoderhallarlasrespuestasquesepidenenvaloresdetposteriores.

Laformaenlaquelosprofesoresinteractúanconlagráficaesidentifican-do losparesordenadosque lespermiten identificar ydistinguir regiones. Sinembargo,losvaloresnuméricosdeestosparesordenados(tiempo-velocidad)seinterpretandemaneradiferenteparadarunsignificadoaladistanciarecorrida:paraeltiempo,soloseconsideraeltiemporecorrido–cada30segundos–ylavelocidad correspondiente, sí se toma directamente del valor de la ordenadaseñaladoal finaldecadasección.Lagráfica funcionasumandoesosvaloresnuméricosrepresentadosporlaunióndelasproyeccionesdecadacoordenada,lalíneaverticalyhorizontal();lanotaciónsobrelagráfica,estárepresentandoladistanciarecorridaencadaregión.




dISCUSIóN

DeacuerdoconlosnúmerospresentadosenlaTabla1,esclaroqueelmarcodereferenciaquelaescuelahaprivilegiadoparalasgráficasinhibequeestaspuedan ser consideradas comounmediodeargumentaciónen símismas ysoloseanlarepresentacióndeunafunción;lastareasquelosprofesoressuelen,entonces,favorecer–yenfrentarasuvez–,serestringenahallartalfunciónsindesarrollarunlenguajegráficoricoquelosestudioshanmostradocomovaliosoenelpre-cálculo(Cantoralet al.,2006).

Seguramenteestasituaciónesproductodeconsiderarquelogeométrico,lovisualolográficopertenecenaunacategoríasinrigor,quenocorrespondenirespondealaobramatemática.Inclusopodemosrecordarquelosestudiosdevisualizaciónhandeclaradoqueelhechodequeestahabilidadnohayasidoseriamentereconocida,sedebeaquenoesfactibleenseñaravisualizar;así,elhechodequeelmismoprofesorreflexionesobresupropiavisualizaciónesunatareacompleja(Arcavi,2003).

Sinembargo,lamatemáticaeducativabuscaampliaresquemasexplicativosparaenriquecer lamatemáticaescolaryqueestasemuestrecomofuncionalyarticulada.Enesesentido,laSocioepistemologíahapropuestocuestionarnotantolasestrategiasdidácticassobrecómoenseñar,sinoquéseestáenseñan-do.Supropuestasesustentaenconsiderarunabasedesignificaciónparalamatemáticaescolarqueconsidereelhacerdelindividuoydeahí,laimportanciaepistemológicaqueseproponedaralasprácticasyalusodelconocimiento.

EneltrabajorealizadohastaahoraconelProblemadelasBicicletashemoshalladoalmenostrestiposdeestrategiasderesolución,enlascualeslasgrá-ficasseusandediferentemanera.Conrelaciónaesteuso,podemosidentificaruna forma puntual de trabajar y argumentar con la gráfica, cuando importaidentificarpuntosclaveosignificativos,yaseanuméricamenteparautilizarlosenfórmulas,odeformagráfica,parahallar lascoordenadasdeunpuntodeintersección;perotambiénhayformasmásglobalescuandosereconoceninter-valosoáreas.Enestaestrategia,lagráficahafuncionadobajounargumentodesumadeáreasdefigurasconocidas,comounaacumulacióndedistanciasporintervalos,oreconociendouncomportamientoproporcional.

Resulta revelador que, aun bajo la primacía del empleo de fórmulas, losprofesorespueden reconocer enel comportamientode las rectas el referenteparadecidircuálfórmulausar;estotambiéndacuentadeformasyfunciona-mientosdelagráficaquelosprofesoresnonecesariamentereconocenyque,




sinembargo,sonpartedelasherramientasyargumentosqueponenenjuegoalenfrentarelproblema.

Porotraparte,elquenologrereconocerselagráficamismacomoalgomásqueundibujoounailustraciónpuedeprovocarsituacionescomolailustradaenlafigura20.Enestarespuesta,elprofesoridentificaclaramente–sombrean-do en su dibujo– un rectángulo y un triángulo rectángulo; sin embargo, lasoluciónqueplanteaesatravésdelafórmulatradicionald = vt,lacualaplicaparaambosciclistas.Podemosvercómoborrael2deldenominadorcuandocalculaladistanciadeJuan;talvezeraundatoquehabíavisualizadocomoeláreadeuntriángulo,perodespuésloborra,puesnocorrespondealafórmulaconocida.Estolollevóaunarespuestaevidentementeerróneaparalapreguntab),puesafirmaquenohayventajaentrelosciclistas.

Figura20.Tachandoundenominador

Esinteresantequeéldeclare,ensureflexión,queelproblemanolecausóningunaduda,locualevidenciaquelagráficaenrealidadnoledicenada,perotampocoelcontextoanalíticoesrealmentesignificativoparaél.

Comootroejemplo,mostramosel comentariode Jorge respectoal trabajocon su alumna; él es el profesor que, en la discusión anterior, identificamosporsumanejoconfiadoenestrategiasvisuales.Sualumnaintentó–sinmuchoéxito–buscarlaexpresiónanalíticadelasrectas.Anteello,Jorgedeclara:“Mepareceinteresantequecometíelerrordecontestarsoloenbasealagráficaysuinformaciónenlosdosprimerosincisos.[...]Tambiénmeparecióinteresanteelhechodeque,enlugardetratarderesolverloconherramientasmáscomplejas,siemprebusqueelmétodomásrápido,comoenestecaso,teniendoerrores”.Esdecir,apesardequeélcontestócorrectamente,conbaseenlavisualizacióndeáreasdefigurasgeométricasconocidas,élotorgaalosaspectosanalíticosunvalordeverdadsuperior.

Tachaeldos




Elanálisisquehemosrealizadosobrelosusosdelasgráficasdejaentreverlaimportanciadeconsiderarlagraficacióncomounaprácticainstitucional,queensudesarrolloescolar, favorecelageneracióndeunsabermatemáticomásrico,funcionalyarticulado.Nosolofavorecelaconstrucción–yreconstruccióncontinua–delpropioobjetográfica,sinoquelohaceatravésdeunprocesodesignificacióncontinuaysimultáneaaldesarrollodeunlenguaje,herramientasyargumentosgráficos.

Aunquenofueobjetivoexpresodeesteescrito,esfactiblellevaracabounadiscusión relacionando los usos de las gráficas con conocimientos como laintegral,eláreadefigurasgeométricasyotrostópicosdelamatemáticaescolar.Tomandocomobasedesignificaciónelusodelagráfica,dichostópicosadqui-rirían,asuvez,otrossignificados.Deahílaimportanciadereconocerycontinuargenerandoepistemologíasdeprácticasyusos.

COMENTarIOS.fINaLES

LaprofesoraNadia,alfinaldesudocumento,comentalanecesidaddeque“alos alumnos hay que hacerles relacionar conceptos en distintas asignaturas,porquelostienen,perolescuestarelacionarlos”.Esoesloqueellasintiócuandocomparacómoellausólagráficapararesolverelejercicioycómolohizosupropiaalumna.

Efectivamente,lapropuestadeanalizarelconocimientoenusodelosprofe-sorestienecomoobjetivoqueellosmismosreconozcanque,encualquierestra-tegiaderesolucióndelproblemaesfactibleusarlasgráficasconsiderandosusdiferentesformasyfuncionamientos.Estosusosreflejan,almenos,quiéneseseprofesor:eltipodeformaciónyelnivelescolarenelquesueledarclases.Perotambiénalcambiarelfocodeanálisisdeloquesabeelprofesorhaciacómolousa,esfactibleconsiderarlasherramientasylosargumentosprovenientesdediversoscontextos(disciplinas,niveleseducativos)queseponenenjuegoysevuelvenfuentesdesignificación.

Alanalizar el conocimientoenuso, esposible reconocerqueunagráficapuedeanteceder a la funciónmisma yusarunagráficano requiereque selaconozcaentodasucomplejidadoprecisiónpropiasdelaestructuramate-mática.Unavezqueelargumentodenaturalezagráficaseponeenjuego,esfactibledesarrollarloparasostener lasrespuestassiguientesy lograr,a lavez,complejizarelconocimientoalrededordelagráficamisma.Esto,consideramos,planteaunmarcodereferenciamuchomásamplioysignificativoparaelcono-cimientomatemático.




reconocimiento

Esteescrito recibióapoyodel IPNa travésdelProyectoSIP20121671titulado“Análisisdelpapeldelasgráficasenlaconstruccióndelconocimientomatemá-ticoescolar”.LaautoraagradeceaHeidyChavira,IsabelTuyubyMiryánTrujilloporloscomentariosyaportesrecibidos.

datos de la autora

GabrielaBuendíaÁbalos

ProgramadeMatemá[email protected]

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