1

ARTUR BĂLĂUCĂ MARIANA CIOBANAŞU IOAN CIOBANAŞU

MARIA ARITON VERONICA BALMOŞ STELA BOGHIAN CĂTĂLIN BUDEANU IONEL DOBRINCU

GRIGORE DUMITRU MIHAI LUCIAN GLOAMBEŞ ADRIANA MAXINIUC IONEL NECHIFOR

NICOLAE SANDA MONICA SAS NICULAI SOLOMON NICOLAE TĂLĂU LAURENŢIU ŢIBREA

165 DE TESTE PENTRU

EVALUAREA NAŢIONALĂ

MATEMATICĂ

CLASA a VIII-a

123 de Teste pentru recapitulare şi aprofundare 42 de Modele de Teste pentru Evaluarea Naţională 2016

Editura TAIDA

– Iaşi –

3

Introducere

Lucrarea de faţă vine în sprijinul elevilor care se pregătesc pentrtu evaluarea naţională în vederea admiterii în liceu sau pentru recapitulări şi evaluări curente şi finale, fiind în

conformitate cu programele şcolare actuale elaborate de Ministerul Educaţiei Naţionale şi de Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare.

Evaluarea naţională a elevilor din clasa a VIII-a reprezintă un eveniment deosebit în viaţa unui adolescent. Dificultatea testului nu constă numai în natura subiectelor, ci mai ales în

încărcătura psihică, cauzată de consecinţele finalizării testării, punctajul obţinut având o

pondere însemnată în acceptarea la liceul dorit.

Autorii lucrării apreciază iniţiativa Centrului Naţional de Evaluare şi Examinare prin Evaluarea

Naţională din anii 2010 şi 2011 de a face primii paşi către evaluarea de tip PISA în direcţia

formării competenţelor specifice studiului matematicii în gimnaziu prin formarea obişnuinţei

elevilor de a apela la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau

pentru rezolvarea unor probleme practice. De aceea, autorii s-au străduit prin numeroase

probleme propuse să răspundă la întrebarea care se pune tot mai frecvent: „La ce este utilă

matematica?”

Structura cărţii pe ani de studiu permite actualizarea şi fixarea într-un timp scurt şi în mod

sistematic a cunoştinţelor acumulate în clasele V–VIII prin breviarele realizate la fiecare noţiune

semnificativă din Programa de Evaluare Naţională, 2016.

De asemenea, lucrarea poate fi utilizată zilnic în pregătirea curentă a elevilor precum şi

pentru evaluare sumativă începând cu clasa a V-a.

Primele 123 teste sunt grupate pe clase, şi cuprind probleme care asigură parcurgerea

conţinutului programei pentru evaluare naţională elaborată de Ministerul Educaţiei Naţionale,

prin O.M. Nr. 4431 din 29.08.2014, iar următoarele 42 de teste sunt modele asemănătoare

cu cele pe care elevii le vor întâlni pe foaia de examen.

Parcurgerea gradată a conţinutului programei actuale, oferă atât elevilor cât şi profesorilor

care le îndrumă pregătirea, o eficientă recapitulare sistematică a noţiunilor studiate în cei patru

ani de gimnaziu; exerciţiile şi problemele sunt astfel grupate încât să asigure o pregătire

gradată şi din punct de vedere al dificultăţii.

Testele din lucrare constituie totodată modele de subiecte şi pentru evaluări curente,

semestriale sau finale pentru toate clasele din gimnaziu.

Exerciţiile şi problemele din teste sunt însoţite de răspunsuri şi chiar rezolvări complete,

astfel încât să poată fi utilizate în activitatea independentă a elevilor şi să permită

autoevaluarea.

Suntem recunoscători şi adresăm mulţumirile noastre tuturor colaboratorilor pentru

observaţiile, sugestiile şi recomandările ce au contribuit la îmbunătăţirea lucrării.

Artur Bălăucă

4

Cuprins Bre-

viar Enun-ţuri Soluții

EVALUAREA NAŢIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII-A PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ, ANUL ŞCOLAR 2014-2015 ................ 5 CAPITOLUL I. RECAPITULARE ŞI APROFUNDARE

CLASA a V-a. ARITMETICĂ Numere naturale. Mulţimi ..................................................................................... Numere raţionale mai mari sau egale cu 0, �+. Fracţii ordinare. Fracţii zecimale ... Elemente de geometrie și unităţi de măsură. .......................................................

CLASA a VI-a. ARITMETICĂ. ALGEBRĂ Numere naturale. Divizibilitatea în � .................................................................... Mulțimea numerelor raţionale pozitive ................................................................. Rapoarte şi proporţii. Proprietatea fundamentală a proporţiilor; proporţii

derivate; aflarea unui termen necunoscut dintr-o propoziţie........................... Mărimi direct proporţionale şi mărimi invers proporţionale ................................... Regula de trei simplă. Grafice .............................................................................. Procente. Probleme. Calculul probabilităţii realizării unui eveniment ......................... Numere întregi .....................................................................................................

CLASA a VII-a. ALGEBRĂ Mulţimea numerelor raţionale. Modul. Ordonare. Operaţii. Ecuaţii în �. Probleme .... Mulțimea numerelor reale. Modul. Comparare și ordonare. Aproximări. Reguli

de calcul cu radicali. Operații. Raționalizarea numitorului ............................. Media aritmetică a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere

reale pozitive .................................................................................................. Calcul algebric. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere ..................... Formule de calcul prescurtat 000000000000000000............... Descompunerea în factori utilizând reguli de calcul în � ..................................... Ecuaţii în de forma ax + b = 0, unde a, b ∈ �. Inecuații de forma ax + b > 0

(<, ≤, ≥), cu a, b ∈ � și x ∈ �. Ecuații de forma x2 = a, unde a ∈ �+ ............. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și inecuațiilor .............................. Elemente de organizare a datelor. Produsul cartezian a două mulțimi nevide.

Sistem ortogonal de coordonate. Dependențe funcționale. Probabilități ....... CLASA a VIII-a. ALGEBRĂ

Numere reale. Í ⊂ Ù ⊂ Ð ⊂ Ñ. Modulul unui număr real. Compararea și ordonarea numerelor reale. Aproximarea numerelor reale ............................

Intervale de numere reale. Proprietăţile relaţiei de inegalitate (ordine) în Ñ 00. Operaţii cu numere reale. Raționalizarea numitorului ......................................... Formule de calcul prescurtat ................................................................................ Descompunerea în factori .................................................................................... Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Amplificarea şi simplificarea

rapoartelor ..................................................................................................... Operaţii cu rapoarte de numere reale .................................................................. Funcţii ................................................................................................................... Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ �*, b ∈ �. Ecuaţii echivalente 00................... Ecuația de forma ax + by + c = 0, a, b ∈ �. Sisteme de ecuaţii ........................... Ecuația de forma ax2 + bx + c = 0, a, b, c ∈∈∈∈ �, a ≠ 0 0000000000.0.. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de

ecuații ........................................................................................................... GEOMETRIE

CLASA a VI-a Punctul, dreapta, planul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul ............... Congruenţa triunghiurilor ...................................................................................... Perpendicularitate. Cazurile de congruenţă pentru triunghiurile dreptunghice.

Mediatoarea unui segment. Concurenţa mediatoarelor şi a bisectoarelor într-un triunghi.................................................................................................

Drepte paralele. Suma unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi ...... Proprietăți ale triunghiurilor. Triunghiul isoscel. Triunghiul echilateral.

Proprietăţi. Concurenţa înălţimilor şi a medianelor unui triunghi ................... CLASA a VII-a

Patrulaterul convex. Paralelogramul. Dreptunghiul. Rombul. Pătratul ................. Trapezul ............................................................................................................... Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante. Teorema lui Thales

şi reciproca ei .................................................................................................

10 16 19 21

23 26 28 33 35 37

41 44 46 52

58

59 60 61

65 67 68

10 14 18 20 21

23 24 24 26 28 32 34 35 36 37 38 39 41 42 43 44 45 46 47 47 49 50 52 52 54 55 57 58

59 60 62

65 67 68

158 158 158

159 159

159 159 159 160 160

161 161

161 162 162 162

163 163

164

164 164 164 165 165

165 166 166 167 167 167

168

168 168

168 168

169

170 170

171

5

Linia mijlocie în triunghi. Linia mijlocie în trapez .................................................. Asemănarea triunghiurilor. Teorema fundamentală a asemănării. Criteriile de

asemănare a triunghiurilor ............................................................................. Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic ............................................................... Sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuțit. Rezolvarea

triunghiului dreptunghic................ .................................................................. Aria triunghiului. Aria patrulaterului convex .......................................................... Cercul ................................................................................................................... Lungimea cercului. Aria discului ........................................................................... Poligoane regulate ...............................................................................................

Clasa a VIII-a Puncte. Drepte. Plane .......................................................................................... Paralelism în spaţiu .............................................................................................. Dreaptă perpendiculară pe un plan. Teorema celor trei perpendiculare (T.3⊥.).

Distanţa de la un punct la o dreaptă............................................................... Proiecţii ortogonale pe un plan. Oblice. Distanţa de la un punct la un plan.

Unghiul unei drepte cu un plan ...................................................................... Unghi diedru. Plane perpendiculare ..................................................................... Paralelipipedul dreptunghic. Prisma dreaptă cu baza un pătrat (patrulateră

regulată) ......................................................................................................... Cubul .................................................................................................................... Prisma triunghiulară regulată. Prisma hexagonală regulată ............................... Piramida patrulateră regulată ............................................................................... Piramida triunghiulară regulată ............................................................................ Tetraedrul regulat ................................................................................................. Piramida hexagonală regulată ............................................................................. Trunchiul de piramidă patrulateră regulată. Trunchiul de piramidă triunghiulară

regulată .......................................................................................................... Cilindrul circular drept .......................................................................................... Conul circular drept .............................................................................................. Trunchiul de con circular drept ............................................................................. Sfera .....................................................................................................................

69

70 71 72 74 76 80

82 84 86 87 88 90 92 93 94 96 96 97 98 98 99

69

70 71 73 74 77 77 80

81 82 84 86 87 88 90 92 93 94 95 96 97 97 98 99 99

171

172 172

173 174 175 175 177 177 177

178 179 179

180 181 181 182 182 183 183 184 184 184 184 184

CAPITOLUL II MODELE DE TESTE PENTRU EVALUAREA NAŢIONALĂ .................................

RĂSPUNSURI, INDICAŢII, SOLUŢII, COMENTARII 000000000...0................

100

158

184

PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a este un examen național și reprezintă modalitatea de evaluare externă sumativă a competențelor dobândite pe parcursul învățământului gimnazial.

În cadrul Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a Matematica are statut de disciplină obligatorie.

Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile programei școlare în vigoare. Subiectele pentru Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a evaluează competențele formate/dezvoltate pe parcursul învățământului gimnazial și se elaborează în baza prezentei programe.

COMPETENŢE GENERALE ALE DISCIPLINEI

1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice. 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a

unei situaţii concrete. 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a

algoritmilor de prelucrare a acestora. 5. Analizarea şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă. 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor

din diferite domenii.

10

CAPITOLUL I. Recapitulare şi aprofundare A R I T M E T I C Ă

CLASA a V-a

Numere naturale. Mulţimi

� Reţineţi!

� Teorema împărțirii cu rest: oricare ar fi numerele naturale a și b cu b ≠ 0 există o pereche unică de numere naturale c și r astfel încât a = b · c + r, unde r < b. Exemple: (18, 4) → 18 = 4 · 4 + 2, 2 < 4, (15, 24) → 15 = 24 · 0 + 15, 15 < 24.

� Media aritmetică a două numere naturale a și b este egală cu 2

a b+.

2a

a bm

+ =

Test 1

I. Completaţi spaţiile punctate. 1. Cel mai mare număr natural de 5 cifre distincte este egal cu ... .

2. Cel mai mic număr natural, mai mare decât 2012 este ... .

3. Rezultatul calculului 3 · 5 – 2 este egal cu ... .

4. Rezultatul calculului 28 : 4 + 10 este egal cu ... .

5. Dacă x + 15 = 29, atunci x = ... .

6. Dacă 2x – 3 = 17, atunci x = ... .

II. Scrieţi rezolvările complete. 1. Calculaţi:

)]}.2:725:200(840[58:32{530

;8989:8989 ;2:)02564:80()5065(:255 )

−⋅+⋅+⋅+

−+⋅−−−

c)

b)a

2. Verificaţi că: 232 – 152 = (23 – 15)(23 + 15); ( ) ( )124512451245 22 +⋅−=− ;

.642652542654)654(

;5135213)513(;7117211)711(2222

222222

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+++=++

+⋅⋅−=−+⋅⋅+=+

Operaţia Notaţia Definiţia Diagrama

Reuniunea A ∪ B {x / x ∈ A sau x ∈ B} A BAB ∪

Intersecţia A ∩ B {x / x ∈ A şi x ∈ B} A BAB ∩

Diferenţa A \ B {x / x ∈ A şi x ∉ B} B \ A

A \ B

Produs cartezian

A × B A × B × C

{(x, y)/ x ∈ A şi y ∈ B} {(x, y, z)/ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}

19

5. Un camion pleacă din localitateaa marcată cu litera A și trebuie să ajungă în localitatea marcată cu litera N. a) Care este lungimea celui mai scurt drum? b) Știind că până în localitatea D camionul merge cu viteza de 55 km/h și de la D la N cu viteza de 64 km/h, aflați în cât timp parcurge distanța dintre localitățile A și N pe drumul cel mai scurt. c) Camionul poate transporta odată câte 180 de lăzi cu fructe. Câte drumuri ar trebui să facă camionul pentru a tranporta 8540 de lăzi de fructe?

A R I T M E T I C Ă A L G E B R Ă CLASA a VI-a

Numere naturale. Divizibilitatea în �

Reţineţi!

���� Un număr natural b divide un număr natural a dacă există un număr natural c astfel încât a = b · c. Observaţie. Nu există pentru orice pereche de numere naturale a şi b un număr natural c astfel încât a = b · c şi, urmează că relaţia b/a nu este peste tot definită în Í.

Pentru a œ Í se consideră mulţimea Da = { }/ /x x a∈� ale cărei elemente se numesc divizorii

lui a. Da este mulţime finită.

PROPRIETĂŢI: 1. a/a, oricare a∈Í (reflexivitatea); 2. a/b şi b/a ⇒ a = b (antisimetria); 3. a/b şi b/c ⇒ a/c (tranzitivitatea); 4. 1/a, oricare a∈Í; 5. a/1 ⇒ a = 1; 6. a/0, oricare a∈Í; 7. 0/a ⇒ a = 0; 8. a/b ⇒ a/b · c, oricare c∈Í; 9. a/b1 şi a/b2 ⇒ a/b1 + b2 şi a/ b1– b2 (b1 ≥ b2);

10. a/b şi a c ⇒ a b+c; 11. a/b1 şi a/b2 ⇒ a/b1c1 + b2c2, oricare c1, c2∈Í; Generalizare: a/b1, a/b2, …, a/bn ⇒ a/b1c1 + b2c2 +…+ bncn, oricare c1, c2, …, cn∈Í; 12. a/b ⇒ ac/bc, oricare c∈Í; 13. ac/bc şi c ≠ 0 ⇒ a/b; 14. a1/b1 şi a2/b2 ⇒ a1a2/b1b2. Generalizare: a1/b1, a2/b2, …, an /bn ⇒ a1a2…an / b1b2…bn.

���� Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al numerelor naturale a şi b este un număr natural d, notat (a,b) care satisface condiţiile: 1. d/a şi d/b; 2. oricare d '∈Í cu d '/a şi d '/b ⇒ d '/d.

���� Numerele naturale a şi b se numesc prime între ele dacă (a, b) = 1.

���� Dacă a/c, b/c şi (a, b) = 1, atunci ab/c. Fie numerele naturale a şi b. Dacă (a, b) = 1, atunci există numerele naturale m şi n prime între ele astfel încât a = dm şi b = dn.

A B

C

D

M

N

O

P

EF

10 km

5 km

8 km

8 km2 km

7 km 9 km

5 km

10 km

4 km

20

���� Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor naturale a şi b este un număr natural m, notat [a, b], care îndeplineşte condiţiile: 1. a/m şi b/m; 2. oricare ar fi m'∈Í cu a/m' şi b/m' ⇒ m/m'.

���� a · b = [a,b] · (a,b).

���� Un număr natural a se numeşte prim dacă mulţimea divizorilor săi are cardinalul 2.

���� Un număr natural a se numeşte compus dacă mulţimea divizorilor săi are cardinalul cel puţin 3.

Test 11

I. Completaţi spaţiile punctate. 1. Numerele de forma 1 4a a b divizibile cu 15 sunt ... .

2. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor 126 şi 60 sunt ... .

3. Suma dintre un număr natural prim şi un număr natural impar este egală cu 2013. Cele două numere sunt ... .

4. Numerele 14x şi 12 sunt prime între ele. Atunci x � {...}.

5. Cel mai mic număr natural care împărţit la 11 dă restul 9 şi împărţit la 13 dă restul 8 este egal cu …. .

6. Numărul multiplilor lui 11 cuprinşi între 100 şi 300 este egal cu … .

II. Scrieţi rezolvările complete. 1. a) Determinaţi cel mai mic număr natural ştiind că împărţit pe rând la 9, 12 şi 18 dă restul 8 de fiecare dată. b) Numerele 122, 149, 176 împărţite la acelaşi număr natural dau resturile respectiv 10, 9 şi 8. Aflaţi împărţitorul.

2. Determinaţi numerele naturale în baza 10 de forma ab14 divizibile cu: a) 2 şi 5; b) 3 şi 5; c) 2 şi 3; d) 5 şi 7.

3. Să se arate că dacă n / 12, atunci n + 2 / 840.

4. Să se determine numerele naturale prime de forma abc ştiind că a⋅b⋅c = 252.

5. Să se afle numerele naturale a, b, c ştiind că: ab = 48; ac = 60 şi bc = 80.

6. Aflaţi numerele naturale x şi y ştiind că: a) ( )( ) 5631 =++ yx ;

b) ( )( ) 4864 =++ yx .

7. Arătaţi că numărul N = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 31999 este divizibil cu: a) 4; b) 10; c) 11; d) 121.

Test 12

1. Aflaţi valoarea logică a afirmaţiei: „Pentru orice număr natural n, numărul ( ) 133 ++nn este număr prim“.

2. Aflaţi c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor: a) 120; 360; 540; 480; b) 3400; 5780; 1190; c) 130; 650; 910; 2600; d) 200; 600; 900; 1800; 3600.

3. Numerele 425 şi 367 împărţite la acelaşi număr natural dau resturile 5 şi respectiv 7. Aflaţi împărţitorul.

32

A L G E B R Ă CLASA a VII-a

Mulţimea numerelor raţionale. Modul. Ordonare. Operaţii. Ecuaţii în ����. Probleme

Test 26

I. Completaţi spaţiile punctate.

1. Rezultatul calculului –13

4+1

2 este egal cu ... .

2. Rezultatul calculului 5 25

– : –6 36

este egal cu ... .

3. Fie mulţimile: A = {–3, +4, +2}, B = {–1, +3}. Mulţimea C = , a

a A b Bb

∈ ∈

= {…}.

4. Dacă |x| =3

5, atunci x � {…}.

5. Dintre numerele raţionale a = –3,0210121 şi b = –3,0211021 mai mare este numărul … .

6. Se dă mulţimea A =2

2

13 8 5 3 7 3;–1,3(2);0;– ;– ; ; – ; –

2 4 25 –1 –2–1

. A∩� = {…}.

II. Scrieţi rezolvările complete.

1. Se consideră mulţimea: ( )

−−−−−= 6,5);17(,0;15;

6

7;

8

32;

2

11;0;5,7;5;2A 0

a) Scrieţi în ordine crescătoare elementele mulţimii A; apoi, reprezentaţi-le pe axă. b) Efectuaţi: A ∩ Í; A ∩ Ù; A \ Ù; A \ Ð+ ; A ∩ Ð; A \ Ж ; A \ �.

2. Rezolvaţi în �: ( ) 30,25 0,(3); 3 3 2 ;

2

xx x

−− = − = − +a) b) c) ⋅

2

1(x – 2) –

4

3

3

2 xx=

−+ ;

d) |x–3|=2

1; e) x2 =

9

4; f) |3x – 2|=

3

1.

3. Calculaţi: ;43

2

2

31

4

12 −−−+− a) ;1

3

1

2

1

6

5:

6

12

4

14

3

15

+−

+−

+−

−− b)

[ ] ( ) ;39

25:

26

155,0:)3(,07,2 2

−+−+− c) d) (–2,15 + 3,02 – 1,47) : [(–0,2)3 + (–0,3)2 – 0,282];

164213321

2

1

16

1

3

1

3

1

−

+

−+

e) ; f)

22

4

11:

4

13

− .

4. Calculaţi: a) ,322 xxx +−−− pentru x < 0. ( ) ( ) 12 1

n+− ⋅ −b) ( )4

15

n + − ⋅ − −

( ) ( )0 325 1

n− − ⋅ − ;

( ) .1

1...

43

1

32

1

21

1

+−−

⋅−

⋅−

⋅ nn c)

43

A L G E B R Ă CLASA a VIII-a

Numere reale. Í ⊂⊂⊂⊂ Ù ⊂⊂⊂⊂ Ð ⊂⊂⊂⊂ Ñ. Modulul unui număr real. Compararea şi ordonarea numerelor reale. Aproximarea numerelor reale

Test 41

I. Completaţi spaţiile punctate. 1. Dintre numerele –7 5 şi –5 7 mai mare este numărul ... .

2. Numărul 19 aproximat prin adaos la o sutime este egal cu ... .

3. Dacă |x – 2| + |y + 3| = 0, unde x, y � �, atunci x = …, y = … .

4. Dacă |x – 2| = x – 2, unde x � �, atunci x ≥ … .

5. Dacă n < 3 5+ < n + 1, unde n � �, atunci n = … .

6. Dacă 2( – 3)x = 4, unde x � �, atunci x �{…}.

II. Scrieţi rezolvările complete.

1. Fie mulţimea: 4 1 1

A 5; 5; ; ; 1,(3); 0,1(2); 4; 3; 1,3; 2 ; 3 23 2 4

= − − − −

Scrieţi elementele mulţimilor: B = {x ∈ A / x ∈ �}; C = {x ∈ A / x ∈ �}; D = {x ∈ A / x ∈ �}; E = {x ∈ A / x ∈ � ~ �}; F = {x ∈ A / x ∈ � ~ �}.

2. Reprezentaţi pe axă, numerele: a) –2; 2,75; –1,5; 3,5; b) –1; ;3;5− ;2 2;

c) .18;12;10;8;6;96,1;5,2;7 −−−

3. Comparaţi numerele: ;81 şi3;5

1 şi

3

1;27 şi52 14 −− c) b) a)

;241,6cu 39;32 şi21 e) d) −− f) 9 cu 54 ; g) 15,46 cu 239 .

4. Calculaţi: a) rădăcina pătrată a numărului 72 cu aproximaţie de o zecime prin lipsă; b) 37,2 cu 2 zecimale exacte şi faceţi proba;

c) 2732398183 +−− cu aproximaţie de o zecime prin adaos.

5. Calculaţi:

Test 42

1. a) Determinaţi numerele de forma abc1988 pătrate perfecte. b) Arătaţi că ,�� ∉+∉+ 19981995 şi 19971995 nn oricare ar fi n ∈ �.

2. Aflaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: ;5

3;7 �� ∉

−∈ b)a)

.9)8(,0;47;\105

4;)4(3,2 ����� ∈−∉−∈∈− f) e) d) c)

( )

( ) .2dacă,21;324313

;2 pentru,321;2

12:22

2

2

>+−+−++−+−

=−−+−+−⋅−

xxxx

xxxxx

d) c)

b) a)

57

G E O M E T R I E

CLASA a VI-a

Punctul, dreapta, planul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul

Test 65

I. Completaţi spaţiile punctate. 1. Numărul dreptelor determinate de cele 6 puncte din fig. 1 este egal cu ... .

A

B

C

D

E

F

A

B C

D E

I F

H G

Fig. 1 Fig. 2

2. Numărul semidreptelor conţinute în configuraţia geometrică din fig. 2 este egal cu ... .

3. Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Două drepte coplanare distincte sunt concurente sau paralele“ este ... .

4. Fie punctele coliniare A, B, C, D în această ordine. Dacă AB = 8 cm, BC = 7 cm şi AD = 17 cm, atunci AC = ... cm, CD = ... cm şi BD = ... cm.

5. În fig. 3 avem: m(�AOD) = 120°, m(�AOB) = 50°, m(�COD) = 55°. m(�BOC) = ...° . Fig. 3

6. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei „Două unghiuri sunt congruente dacă au laturile congruente“.

7. În figura alăturată unghiurile �AOB și �COD sunt opuse la vârf. Atunci x = ...°. II. Scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră cinci puncte distincte în plan. a) Care este numărul maxim de drepte determinate de câte două din aceste puncte? b) Există poziţii ale celor 5 puncte astfel încât să fie determinate exact: 1) 4 drepte; 2) 5 drepte; 3) 6 drepte; 4) 8 drepte?

2. Se consideră punctele coliniare A, B, M, C, D în această ordine, astfel încât BC = 2 cm şi M este mijlocul segmentului [BC]. Să se afle: a) AB ştiind că AC = 2 BD şi AD = 10 cm; b) AD, dacă AB = 2CD şi AC = 1,5 BD; c) AD ştiind că AB şi CD sunt direct proporţionale cu 3 şi 4 iar MA şi MD sunt invers proporţionale cu 5 şi 4.

D

O

CB

A

( + 40)°x (135 – 4 )° x

D

CO

B

A

65

CLASA a VII-a

Patrulaterul convex. Paralelogramul. Dreptunghiul. Rombul. Pătratul

Reţineţi! ���� Patrulaterul convex cu laturile opuse paralele se numeşte paralelogram. ���� Într-un paralelogram ABCD, au loc proprietăţile: i) (AB)≡ (CD), (BC) ≡ (AD); ii) u DAB ≡ u DCB; u ADC ≡ u ABC; j) Dacă AC ∩ BD = {O}, atunci (OA) ≡ (OC), (OB) ≡ (OD). jj) Dacă AC∩BD = {O}, atunci O este centrul de simetrie al paralelogramului. ���� Dacă în patrulaterul convex ABCD are loc una din condiţiile i), ii), j), jj), atunci patrulaterul este paralelogram. ���� Paralelogramul cu un unghi drept se numeşte dreptunghi. ���� Un paralelogram este dreptunghi dacă şi numai dacă are diagonalele congruente. ���� Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente se numeşte romb. ���� Un paralelogram este romb dacă şi numai dacă are diagonalele perpendiculare (este ortodiagonal). ���� Un paralelogram este romb dacă şi numai dacă o diagonală a sa este bisectoarea unui unghi al acestuia. ���� Dreptunghiul cu două laturi alăturate congruente se numeşte pătrat.

Test 75

1. Determinaţi măsurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD ştiind că acestea sunt direct proporţionale cu numerele prime cuprinse între 10 şi 20.

2. Perimetrul unui paralelogram ABCD cu AB = 2BC şi m(uA) = 40o este egal cu 30 cm. a) Determinaţi lungimile laturilor paralelogramului. b) Dacă M este mijlocul laturii AB, determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului MCD.

3. Fie un paralelogram ABCD de centru O şi punctele M ∈ (AB, N ∈ (CD astfel încât [AM] ≡ [CN] (M ≠ B). Demonstraţi că: 1) BN || DM; 2) punctele M, O, N sunt coliniare şi [OM] ≡ [ON].

4. Se consideră un paralelogram ABCD cu AB > BC şi m(uACB) = 45o. Mediatoarea diagonalei AC intersectează dreptele BC şi AD, respectiv în E şi F. Stabiliţi natura patrulaterului AECF.

5. În paralelogramul ABCD, m(�C) < 90°, se construieşte BE ⊥ DC şi DF ⊥ AB. Ştiind că DF ∩ BC = {Q} şi BE ∩ AD = {P}, să se demonstreze că patrulaterul AQCP este paralelogram.

Test 76

1. Fie ABCD un patrulater convex. Notăm cu M, N, P, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi [DA]. Completaţi propoziţiile următoare: a) MNPQ este ……. b) Dacă ABCD este paralelogram, atunci MNPQ este .... c) Dacă ABCD este dreptunghi, atunci MNPQ este … . d) Dacă ABCD este romb, atunci MNPQ este …. . e) Dacă ABCD este pătrat, atunci MNPQ este … . f) Dacă MNPQ este pătrat, atunci [AC] şi [BD] sunt … .

2. În dreptunghiul ABCD considerăm pe (AB) punctul F astfel încât (AF) ≡ (FB), iar pe latura DC punctele M şi N astfel încât (CN) ≡ (NM) ≡ (MD). Să se arate că triunghiul FNM este isoscel.

84

5. Un tâmplar confecționează din lemn o cutie cubică ABCDA'B'C'D' ca în figura din dreapta. Măsura unghiului măsurat de tâmplar dintre dreptele A'D și BC' este egală cu ... .

6. O cutie metalică are forma cubică și este reprezentată schematic în figura din stânga. Măsura unghiului dintre dreptele A'C' și D'O este egală cu … °.

Dreaptă perpendiculară pe un plan. Teorema celor trei perpendiculare (T.3⊥⊥⊥⊥.). Distanţa de la un punct la o dreaptă

Reţineţi! ���� Două drepte a şi b în spaţiu se numesc perpendiculare dacă dreptele paralele duse printr-un punct M din spaţiu la ele sunt perpendiculare. ���� O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte neparalele conţinute în acel plan. ���� O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă conţinută în acel plan. ���� Dintr-un punct M se poate duce, pe un plan, o perpendiculară şi numai una. ���� Dintr-un punct M se poate duce, pe o dreaptă, un plan perpendicular şi numai unul.

���� Dacă a ⊥ α şi b ⊥ α, atunci a || b. ���� Dacă α ⊥ d şi β ⊥ d, atunci α || β. ���� (Teorema celor trei perpendiculare. T. 3⊥⊥⊥⊥.) Dacă d ⊥ α, a ⊂ α, b ⊂ α, a ⊥ b, a ∩ b = {A}, d ∩ α = {O}, c = PA, P ∈d, atunci c ⊥ b. Observaţie: Notăm distanţa de la punctul M la dreapta a cu d(M,a).

Test 99

1. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă: a) este perpendiculară pe o dreaptă din acel plan; b) este perpendiculară pe două drepte din acel plan; c) este perpendiculară pe două drepte neparalele conţinute în acel plan.

2. Pe o faţă a unui cub se duce o dreaptă oarecare. Câte feţe ale cubului sunt paralele cu dreapta dată ? Dar perpendiculare ?

3. Fie pătratul ABCD de latură 10 cm. Se duce MA ⊥ (ABC) astfel încât MA = 210 cm. Calculaţi distanţele MC, MB şi aria triunghiului MBD.

4. Pe planul paralelogramului ABCD, de aceeaşi parte a planului lui se duc perpendicularele AA′, BB′, CC′, DD′ astfel încât: BB′ = 10 cm, DD′ = 4 cm, CC′ = 8 cm, AA′ = 6 cm. Arătaţi că: a) AA′ || BB′; b) punctele A′, B′, C′, D′ sunt coplanare.

A B

D C

C’D’

A’ B’

AO

P'

P''

P

d

c

a

b

A B

D C

C’D’

A’ B’

O

100

CAPITOLUL II MODELE DE TESTE PENTRU EVALUAREA NAŢIONALĂ

2015 Test 1

(Evaluarea Naţională, an şcolar 2010-2011, Varianta 8)

Subiectul I (30p). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 6 + 16 : 4 este egal cu ... . (5p)

2. Într-o urnă sunt 7 bile albe şi 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră este egală cu ... . (5p)

3. Trei kilograme de mere costă 7,5 lei. Patru kilograme de mere de aceeaşi calitate costă ... lei. (5p)

4. Un dreptunghi are lungimea de 8 cm şi lăţimea egală cu 3

4

din lungime. Lăţimea dreptunghiului este de ... cm. (5p)

5. În figura 1 este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' care are toate feţele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele AB' şi CC' este egală cu ... °. (5p)

6. În tabelul de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei şcoli după notele obţinute la un concurs.

Note mai mici decât 5 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 10 Nr.de elevi 8 12 25 20 15 8 2

Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mică decât 7 este egal cu ... . (5p) SUBIECTUL al II - lea – (30 de puncte) Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ABC. (5p)

2. Determinaţi perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc egalitatea 1 3

2 1

a

b

−=

+. (5p)

3. Preţul unui televizor s-a mărit cu 10%. După un timp, noul preţ al televizorului s-a micşorat cu 10%. După aceste două modificări televizorul costă 1980 lei. Determinaţi preţul iniţial al televizorului. (5p)

4. Se consideră funcţia: f : � → �, f (x) = – x + 2. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. (5p) b) Determinaţi coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata şi aparţine graficului funcţiei f. (5p)

5. Arătaţi că numărul ( ) ( ) ( )23 2 5 6 2 1 3 3a = + ⋅ − + − − este natural. (5p)

Fig. 1 A

BC

A'

B'C'

158

RĂSPUNSURI, INDICAŢII, SOLUŢII, COMENTARII

Capitolul I. RECAPITULARE ȘI APROFUNDARE Test 1. I. 98765. 2. 2013. 3. 13. 4. 17. 5. 14. 6. 10. II. 1. a) 7; b) 1; c) 1850. 3. 680. 4. a) 0; b) 38500; c) 81; d) a = 8; b = 9; c = 10. 5. 128; 137; 146; 236; 245.

Test 2. I. 1. 20. 2. 16. 3. 10 · 10 = 100. 4. 140. 5. 2809. 6. 550. II. 1. a) 8; b) 8; c) 1000. 2. a) 56; b) 210; c) 1. 3. 51. 4. (a,b) ∈ {(2,15), (13,4)}. 5. 25 copii şi 12000 lei. 6. (8 ⋅ 10 + 0) + (8 ⋅ 10 + 1) +…+ + ... + (8 ⋅ 10 + 7) = 668.

Test 3. I. 1. 101. 2. 100 ≤ 32 · n + 8 ≤ 999, de unde 92 ≤ 32 · n ≤ 991 şi 3 ≤ n ≤ 30. Deci există 30 – 2 = 28 de numere. 3. a = 350 : 70 = 5. 4. 150, 153, 156, 159. 5. a = 49 şi b = 56. Deci b. 6. 14. II. 1. 200. 2. a) 28; b) 21. 3. 2992 şi 995. 4. U(a) = 3, deci a nu este pătrat perfect. 5. 60 Km/h. 6. A = {150, 152, 154, 156, 158}. B = {400, 410,…, 490, 405, 415,…, 495}; C = {170}; D = {272; 474; 676; 878}.

Test 4. I. 1. A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. A ∩ B = {2, 7}. 2. 50. 3. 2002. 4. {2, 4}; {2, 5}; {2; 6}; {4; 5}; {4, 6}; {5, 6}. 5. 54. 6. {0, 2, 4, 6, 8}. 7. 912. 8. 33. 9. 0, 1, 2 sau 3. II. 1. a) F; b) F; c) F; d) A; e) F. 2. 21 de numere. 3. U(N) = 7 etc. 4. 5 870. 5. 12; 13 sau 3, 4, 5, 6, 7. 6. 30.

Test 5. 1. 1 903 şi 45. 2. 34; 35 + 34; 3n + 24 ⋅ 3n + 1 dacă n este par; 36 + 33 ⋅ 37 = 36 ⋅ (1 + 33 ⋅ 3) = = 36 ⋅ 100 = (33 ⋅ 10)2; 511 + 3⋅ 510 – (2 ⋅ 54)2 = (54 ⋅ 14)2. 3. 64. 4. a) 7; b) 5; c) 0; d) 3; e) 10; f) 3; g) 3; h) orice număr natural nenul; i) 9. 5. ∅; {7}; {8}; {9}; {7; 8}; {7; 9}; {8; 9}; {7; 8; 9}. 6. A = {0; 1; 2; 3}; B = {1; 2; 3; 4; 5}; C = {0; 1; 2; 3; 4; 5} etc.

Test 6. 1. b; 2. a; 3. b; 4. d; 5. a; 6. c; 7. a; 8. d; 9. a; 10. 4489 şi 45; 11. A = {0, 1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; A ∩ C = {0, 1, 2, 3, 4}; A \ B = {0}; B \ C = {6}. 12. a) 47; b) 45; c) 83.

Test 7. I. 1, 2, 3. 2. 3600 de pomi. 3. 12. 4. 20 de lei. 5. 13,054. 6. 6,75.

II. 1. 0 1

23

34

56

. 2. 10 15 20 25 50; ; ; ;

12 18 24 30 60.

3. .99

63;

88

56;

77

49;

66

42 4. a) 1, 2, 4. b) 1, 2, 4; c) 2, 3, 5, 9; d) 1, 2, 3, 7; e) 1. 5. a) ;

50

30;

7

3;

8

3;

10

3;

55

15;

43

3

b) ;4

30;

2

5;

20

16;

10

7;

5

3;

2

1;

5

2;

10

3 c) .

6

5;

3

2;

36

23;

72

44;

108

54;

180

75;

9

3;

18

5 6. a) 1; 2; 3; 4; b) 3; 4; 5; 6; 7; c) 2; 3.

Test 8. I. 567 de lei. 2. a � {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. 2,042 = 4,1616. 4. n = 4. 5. n � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

6. 12

13. 7. 9,79. 8. 8. 9. 7. II. 1. a) 2,99; 3,007; 3,045; 3,45; 3,461; 3,501; 4,07. b) 7,3211; 7,3212;

7,3219. 2. a) 1,952; b) 2,9617; c) 3 145; d) 4 050, 5; e) 0,00203012; f) 0,14; g) 30 112 000. 3. 301,2

şi 323,7. 4. 1440 hl. 5. Aplicaţi principiul cutiei. 6. 14 35 70 21; ; ; ;

18 45 90 27

28 56; .

36 72

Test 9. 1. a) 15; b) 11; c) 36; d) 3; e) 2; f) nu are soluţie. 2. 5 ani şi 35 ani. 3. a) 2 001; b) 2; c) 371,912. 4. De exemplu: 5,681; 5,683; 5,689. 5. B = {3, 5, 6, 8} şi A = {3, 5, 6, 11} sau A = {3, 5, 6, 1, 10} sau A = {3, 5, 6, 2, 9} sau A = {3, 5, 6, 4, 7}. 6. 2358,75 kg. 7. 130 m şi 975 m2. 8. a) 2,1 m; b) 2 016 hl.

Test 10. I. 1. a) 0,002 km; b) 20 dm; c) 0,4 dam; d) 3 m. 2. a) 2 400 g; b) 4,7 kg; c) 250 dag; d) 0,02 kg. 3. a) 20 000 cm2; b) 2 ha; c) 0,04 ari; d) 250 000 dm2. 4. a) 3 000 000 cm3; b) 3⋅106 dm3; c) 0,000004 dam3; d) 2,5m3. 5. a) 700 cl; b) 17 dl; c) 0,4 l; d) 180 dl. 6. a) 1000 l; b) 0,017 hl; c) 4 l; d) 0,0045 m3; e) 1 782 cm3; f) 0,0001414 dam3; g) 0,002055 m3; h) 0,000315 dam3. 7. a) 21,05; b) 1,606. 8. a) 250,48; b) 280,55; c) 323,8. 9. a) 2000,006; b) 0,2594; c) 137. 10. a) i) 2°20'56''; ii) 225,6' = = 13536''; b) i) 133°44'52''; ii) 73°40'12'' – 29°53'49'' = 72°99'72'' – 29°53'49'' = 43°46'23''; iii) 104°13'. II. 1. 336 000 l. 2. 421,875 l. 3. 14,4 kg pe o parte a gardului. 4. 70 cm. 5. a) Drumul cel mai scurt trece în ordine prin localitățile: A - B - F - D - M - N. Drumul are lungimea egală cu 10 + 8 +

+ 2 + 2 + 7 + 9 = 38 km. b) (10 + 8 + 2 + 2) : 55 + (7 + 9) : 64 =2 1 13

5 4 20+ = ore =

39

60ore = 39 de minute.

197

10

10

10

24

24

A B

C D

10

A

BC

D

D'A'

B'C'

10

2424

Fig. 1 Fig. 2

c) Diagonala prismei are lungimea egală cu 2 2 224 24 10 1252 1296+ + = < = 36, deci în cutie nu încape o vergea (rigidă) cu lungimea de 36 cm (fig. 2).

Test 25. I. 1. 7 ; 2. 2x ≤ 2. atunci x ∈ (– ∝; 1]; 3. (2; 0). 4. r = 10

2 dm = 5 dm; 5. 3·

2 3

4

l =

= 27 3 implică l2 = 36 deci l = 6 cm; 6. 45% · 800 = 360 de elevi. II. 2. 105. 3. a) 14⋅5 – 26⋅2 = 18 (puncte). b) Fie x numărul de întrebări la care trebuie răspuns corect pentru a fi admis. Se obţine

relaţia 5x – 2(40 – x) > 100, de unde x > 255

7, adică el trebuie să răspundă corect la cel puţin 26 de

întrebări. 2. A, B ∈ Gf conduce la relaţiile f (–1) = 1 şi f (1) = 5, de unde sistemul – 1

5

a b

a b

+ =

+ = cu

soluţia a = 2 şi b = 3. Prin urmare, f(x) = 2x + 3. 5. Din 2

216x

x

+ =

rezultă că x2 + 2 · x ·

2

1 136

x x+ =

deci x2 +2

134.

x= III. 1. a) P = 2 · (AN + AF) = 2 · (58,5 + 40) =

= 2 · 98,5 = 197 m. b) A = 1,5 · AF + 1,5 · AN – 1,52 = 1,5 · (40 + + 58,5 – 1,5) = 1,5 · 97 = 145,5 m2. A = AN · AF = 58,5 · 40 = 2340 m2. c) 145,5 · 60 lei = 8730 lei. 2. a) V = AB2 · BB' = 12 cm3. b) Fie EF ∥ A'B', O ∈ (EF), E ∈ B'C' şi F ∈ A'D', MN ⊥ AB şi ON ⊥ A'B', unde M ∈ (AB),

N ∈ (A'B'). m(�(OAB); A'B'C')) = m(�MON ), figura alăturată. În

triunghiul dreptunghic MNO se obţine tg(�MON) = 12

24.0,5

MN

ON= =

c) VDABCD =· '

3ABCD OOA 1·12

3= = 4m3 = 4000 dm3 = 4000 l = 40 hl.

Test 26. I. 1. x = 5; 2. falsă; 3. (–∞; – 15]; 4. 216 cm2; 5. 12 cm. 6. 37; II. 2. Dacă notăm cu n un asemenea număr, atunci, conform teoremei împărţirii cu rest avem: n = 5 · c + r, r < 5, deci r ∈ {1, 2, 3, 4} şi n = 5 · 1 + 1 = 6; n = 5 · 2 + 2 = 12, n = 5 · 3 + 3 = 18, n = 5 · 4 + 4 = 24. 3. a) Media aritmetică este egală cu 424 : 2 = 212. b) Fie a şi b cele două numere naturale cu a > b.

Avem sistemul 424

3 8

a b

a b

+ =

= +, care are soluţia a = 320 şi b = 104.

4. ( ) ( )( ) ( )( )2

2

1 13 31 1 1E 3

2 3 1 3 10

x x xx xx

x x x x x

+ − + − + = ⋅ − ⋅ + ⋅ −

− − + − −

( )( )( ) ( )( )

( )( )22 2

2 2

1 11 9 1E 3

2 103 1 3 1

x x xx x xx

xx x x x x x

+ − +− − + = ⋅ − + ⋅ − −− − + − − +

AM

C

D

A'

B' C'

D'

O

B

N

F

E