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EM34B
Mecânica dos Fluidos 1Prof. Dr. André Damiani Rocha
Aula 04: Forças Hidrostáticas em Superfícies
2 Aula 04Forças Hidrostáticas em Superfícies
Aula 04Forças Hidrostáticas em Superfícies
Força hidrostática em Superfície Plana
Importante em projetos de estruturas de contenção;
Envolve superfícies sólidas adjacentes ao fluido;
Essas forças se relacionam com o peso do fluido agindo
sobre a superfície;
Por exemplo: Um recipiente com fundo plano e
horizontal de área Af e profundidade H de água será
submetido a uma força para baixo igual a
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𝐹fundo = 𝜌𝑔𝐻𝐴𝑓
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Superfície livre
o
y
xF
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Superfície livre
o
y
x
dA
F
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Superfície livre
o
y
x
dA
h
F
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ
𝐹 = 𝐴
𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴
ℎ = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Superfície livre
o
y
x
dA
h
F
𝐹 = 𝐴
𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
𝐹 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴
𝑦𝑑𝐴
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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𝑦𝑐 =1
𝐴 𝐴
𝑦𝑑𝐴
Centroide da Área
A coordenada y do centroide é dada por
A força pode então ser rescrita como
𝐹 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝑐𝐴 ℎ𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝑐
𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴
Aula 04
Forças Hidrostáticas em SuperfíciePlana
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Centroide da Área
A determinação da
localização do
centroide é simples
para formas
convencionais;
Para formas complexas,
é necessário fazer o
cálculo da integral.
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Localização da Força
Questão importante: Onde a força atua?
Qual é o ponto de aplicação da força?
O ponto de aplicação da força é no centroide?
F
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Localização da Força
Como calcular a localização da força?
Aplicando o balanço de momento
𝑑𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴
𝑑𝐹 = 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
𝑑𝑀 = 𝑦𝑑F
𝑑𝑀 = 𝜌𝑔𝑦2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
Superfície livre
o
y
x
hdF
Aula 04Localização da Força
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𝐼𝑥 =1
𝐴 𝐴
𝑦2𝑑𝐴
Momento de Inércia
Momento de inércia de área em relação ao eixo x
O momento então pode ser reescrito como,
𝑀 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥
Aula 04Localização da Força
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𝐼𝑥 = 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐2
Teorema dos Eixos Paralelos
Fornece uma relação do momento de inércia de área
arbitrária em relação ao momento de inércia em
relação ao centroide.
Superfície livre
o
y
x
xc
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Plana
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Aula 04Localização da Força
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Localização da Força
Substituindo a definição do momento de inércia na
equação do momento,
𝑀 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥
𝑀 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐2
Aula 04Localização da Força
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Localização da Força
O momento da força distribuída deve ser igual ao
momento da força resultante (local) F.
F
𝑦𝑅𝐹 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐2
yR𝑦𝑅𝜌𝑔𝑦𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐
2
𝑦𝑅 = 𝑦𝑐 +𝐼𝑥,𝑐𝑦𝑐𝐴
A localização da força
resultante não é no
centroide!
Aula 04Exemplo 01:
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Considere a parede plana de comprimento b e largura
w mostrada na figura. Obtenha uma expressão para a
força resultante e sua localização
Aula 04Exemplo 02:
21
Considere a parede plana de comprimento b e largura
w mostrada na figura. Obtenha uma expressão para a
força resultante e sua localização
Aula 04Exemplo 03:
22
Considere a parede plana de comprimento b e largura
w mostrada na figura. Obtenha uma expressão para a
força resultante e sua localização
Aula 04Exemplo 04:
23
A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de
A, tem 5m de largura. Determine a força resultante sobre
a superfície inclinada.
Aula 04Exemplo 04: Solução
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𝐹𝑅 = 𝑃𝑐𝐴
𝐹𝑅 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴
𝐹𝑅 = 𝜌𝑔 𝐷 +𝐿
2𝑠𝑒𝑛30° 𝐿𝑤
ℎ𝑐 = 𝐷 +𝐿
2𝑠𝑒𝑛30°
𝐹𝑅 = 588,4kN
Aula 04Exemplo 04: Solução
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𝑦𝑅 = 𝑦𝑐 +𝐼𝑥,𝑐𝑦𝑐𝐴
𝑦𝑅 =𝐿
2+𝐷
𝑠𝑒𝑛𝜃+
𝑤𝐿3
12𝐿2+𝐷𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐿𝑤
𝑦𝑅 = 6,22𝑚
𝑥𝑅 =?
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Curva
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Superfícies Curvas
Como é de se imaginar, nem toda superfície é plana;
Como calcular as forças hidrostáticas em uma
superfície curva?
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Curva
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Superfície livre
𝐹𝑅 = 𝐹𝐻 𝑖 + 𝐹𝑉 𝑗
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Curva
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Componente Horizontal da Força
dAdFH
dF
𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝐴
𝑑𝐹𝐻 = 𝑃𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
dA
dA cos
𝑑𝐹𝐻 = 𝑃𝑑𝐴𝑉
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Curva
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𝐹𝐻 = 𝐴
𝑃𝑑𝐴𝑉
Componente Horizontal da Força
A componente horizontal da força que atua na
superfície é a mesma força que atua na superfície
(plana) projetada na vertical;
Ou seja, o resultado é o mesmo obtido para a placa
plana porém, orientada na vertical
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Curva
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Componente Vertical da Força
A componente horizontal da força que atua na
superfície é
Superfície livre
dFV
𝑑𝐹𝑉 = 𝑃𝑑𝐴
𝑑𝐹𝑉 = 𝑃𝑑𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝐹𝑉 = 𝜌𝑔ℎ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐹𝑉 = 𝜌𝑔𝑑∀
Aula 04
Forças Hidrostáticas em Superfície Curva
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Componente Vertical da Força
Pode-se então escrever a componente vertical da
força como,
𝐹𝑉 = 𝐴
𝜌𝑔𝑑∀ = peso de fluido
Aula 04Exemplo 05:
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A comporta BC em forma de um quarto de círculo é
articulada em C. Encontre a força horizontal P
necessária para manter a comporta parada. Despreze o
peso da comporta.
Aula 04Exemplo 05: Solução
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Componentes da força
𝐹𝐻 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴
𝐹𝑉 = 𝜌𝑔∀
Força horizontal
Força vertical
FH
FV FR
𝐹𝐻 = 𝐹𝐻 + 𝐹𝑉
2
3𝐻
4𝑅
3𝜋
𝑀𝐶 = 0: 𝑃𝐻 − 𝐹𝐻𝐻
3− 𝐹𝑉4𝑅
3𝜋= 0
Aula 02Leitura Obrigatória
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Capítulo 03 do Livro-texto: Fox, R. W., McDonald, A. T.,
Pritchard, P. J., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 7ª
Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.
Referências35
Fox, R. W., McDonald, A. T., Pritchard, P. J., Introdução à
Mecânica dos Fluidos, 7ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.
White, F. M., Mecânica dos Fluidos, 6ª Edição, McGraw-Hill,
Porto Alegre, 2011.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H., Fundamentos
da Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.