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Prof. Marcelo Cóser

PRÉ-ENEM

ENEM 2010Prof. Marcelo Cóser

MATEMÁTICA


PRÉ-ENEM

AB AC BCk

PQ PR QR

A A

B B

COMPRIMENTO VOLUME

COMPRIMENTO VOLUME

3

FIGURAS SEMELHANTES


PRÉ-ENEM

01) Uma taça cônica está situada abaixo de uma torneira com seu vértice para baixo. A

torneira pinga de modo que após 30 minutos a água atinge metade da altura da taça. Quanto

tempo faltará para que a taça esteja completamente cheia?

h

2h

PEQUENOGRANDE

PEQUENO

GRANDE

PEQUENO

GRANDE

VV

V

V

V

V

h

h

8

8

23

Se o volume pequeno é

atingido em 30 min, a taça

ficará cheia em

8·30 min = 240 min = 4h.

Logo, faltará 3 h 30 min.

IMPORTANTE: as proporções entre

comprimento, área e volume são

sempre diferentes, mas nunca

desconexas: k, k², k³.


PRÉ-ENEM

ANÁLISE COMBINATÓRIA

: : .

: .:

DECISÃO A x opções Decidir A e B x y possibilidades

Decidir A ou B x y possibilidadesDECISÃO B y opções

n elementos distintos n! sequências

!" "

! !" "

n elementosn

X repete a vezes sequênciasa b

Y repete b vezes

A ordem importa

Existe hierarquiaNão dividir

A ordem não importa

Não existe hierarquiaDividir!

/ARRANJO PERM

COMBINAÇÃO


PRÉ-ENEM

02) (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura

do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o

Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo

de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o

segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a

quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de,

respectivamente:

a) uma combinação e um arranjo.

b) um arranjo e uma combinação.

c) um arranjo e uma permutação.

d) duas combinações.

e) dois arranjos.

Compor o grupo A: 12 times para 4 vagas.

Não há distinção entre os times.

12 11 10 9

4!AG

Jogo de Abertura: 4 times para 2 vagas.

Há distinção no mando de campo.

4 3J

Dividir! Combinação

Não dividir Arranjo

x


PRÉ-ENEM

PROBABILIDADES

Número de

Resultados Desejados

Número de

Resultados Possíveis

EP

A e B A BP P P A ou B A BP P P

NÃO ESQUECER de multiplicar

pelos número de casos distintos

Cuidado com eventuais intersecções!


PRÉ-ENEM

03) (ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de

câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada

dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos

colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo

agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6,

8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se

um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos

efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse

paciente?

a) 3 doses.

b) 4 doses.

c) 6 doses.

d) 8 doses.

e) 10 doses.

Chance de não sofrer efeito colateral: 90% por dose.

Uma dose Um evento Três doses Três eventos consecutivos

3

4 3

9 9 9 72990% 90% 90% 72,9%

10 10 10 100

100% 72,9% 27,1%

729 9 656190% 65,61%

1000 10 10000

100% 65,61% 34,39%

EFEITO

EFEITO

P

P

P P

P

x


PRÉ-ENEM

04) (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta

que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação

é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a

probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

a) 2 × (0,2%)4.

b) 4 × (0,2%)².

c) 6 × (0,2%)² × (99,8%)².

d) 4 × (0,2%).

e) 6 × (0,2%) × (99,8%).

ATENÇÃO: o problema não define ordem.

0,2%

99,8%

DEFEITO

BOM

P

P

4 celulares 4 eventos DDBB é um caso específico!

44! 24

2 ´ 62! 2! 2 2

2 ´

letras

DDBB D s casos

B s

20,2% 0,2% 99,8% 99,8% 6

2

defeituososP

bons

x


PRÉ-ENEM

05) Abaixo, as cinco primeiras das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva

de Koch. Se a curva na primeira etapa tem medida 1, calcule sua medida na décima etapa.

Um segmento de medida 1.

Comprimento = 1 x 1

4 segmentos de medida .

Comprimento =

1

314 ×

3


Comprimento =

1

92

2

14 ×

3


Comprimento =

1

273

3

14 ×

3

Generalizando, na etapa n teremos 4n-1

segmentos de comprimento .

Na etapa10 , terá comprimento .

n-1

1

3

9

9

9

1 44 =

33


PRÉ-ENEM

06) A média aritmética das idades de um grupo de 10 crianças é 8 anos. Duas crianças de

mesma idade deixaram o grupo, aumentando a média de idade do grupo de crianças restantes

para 9 anos. Calcule a idade das crianças que foram embora.

10 crianças

Média de idade 8 anos

8 8010

TT

Duas crianças com x anos saíram

Ficaram 8 crianças

Média de idade 9 anos

29 2 72

8

80 2 72 4

T xT x

x x anos


PRÉ-ENEM

07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento

populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da

população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se

que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o

número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente .

De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:

( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.

( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.

( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.

( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.

0,5.2

1

20

1 19.10

20

1 19.10

20 206,89

1 1,9 2,9

N

N

N

0,5

20

1 19.10 tN

t = 0

0,5.0

20

1 19.10

20

1 19.1

201

20

N

N

N

0,5.4

2

20

1 19.10

20

1 19.10

20 2016,8

1 0,19 1,19

N

N

N

F

t = 2

F

t = 4

VF

N = 20

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2020

1 19.10

11

1 19.10

1 19.10 1

19.10 0

10 0

t

t

t

t

t

Um número positivo elevado a qualquer

expoente real é sempre positivo.


PRÉ-ENEM

0,5

20

1 19.10 tN


PRÉ-ENEM

08) (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala

de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a

energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento

é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação

que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica:

log E = 1,44 + 1,5 · M

Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.5 na

escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu

7.8, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente

______ vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.

a) 10

b) 15

c) 21

d) 31

Substituindo os valores 9,5 e 7,8 em M, obtemos:

14,13

69,15

1014,137,1144,18,7.5,144,1log

1069,1525,1444,15,9.5,144,1log

SF

CHILE

EE

EE

SFCHILE

CHILE

EE

E

.31

10.10.101010 14,135,0114,1369,15

X


PRÉ-ENEM


PRÉ-ENEM

09) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de

pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa

possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses,

houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos

por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico abaixo.

De acordo com as informações do gráfico,

a) o consumo diário de cigarros e o número de casos

de câncer de pulmão são grandezas inversamente

proporcionais.

b) o consumo diário de cigarros e o número de casos

de câncer de pulmão são grandezas que não se

relacionam.

c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de

câncer de pulmão são grandezas diretamente

proporcionais.

d) uma pessoa não fumante certamente nunca será

diagnosticada com câncer de pulmão.

e) o consumo diário de cigarros e o número de casos

de câncer de pulmão são grandezas que estão

relacionadas, mas sem proporcionalidade.

x


PRÉ-ENEM

10) (UFRN) Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou

observando o nível da água subir. Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água.

Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O gráfico que mais se

aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do tempo (t) é:

a) b) c) d)x


PRÉ-ENEM

11) (UFRRJ) O matemático Mathias levou seu filho a um parque de diversões. Enquanto o

menino se divertia nos brinquedos, Mathias passava o tempo fazendo tentativas de representar

graficamente os movimentos de seu filho em função do tempo:

I. a altura de seu filho na roda gigante,

II. a velocidade de seu filho no escorrega,

III. a velocidade de seu filho na gangorra,

IV. a distância de seu filho até o centro do carrossel.

O matemático Mathias fez os seguintes gráficos:

O conjunto que melhor representa as relações entre movimentos e gráficos é:

a) R = {(I, 2), (II, 1), (III, 4), (IV, 6)}.

b) R = {(I, 1), (II, 2), (III, 3), (IV, 4)}.

c) R = {(I, 3), (II, 5), (III, 2), (IV, 1)}.

d) R = {(I, 2), (II, 3), (III, 5), (IV, 6)}.

e) R = {(I, 3), (II, 4), (III, 5), (IV, 6)}.x


PRÉ-ENEM

FUNÇÕES LINEARESProblemas com variação constante

f(x) = ax + b

VARIAÇÃO

CONSTANTE

VALOR

INICIAL

a > 0 a < 0

x

ya


PRÉ-ENEM

12) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa

fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal

de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é:

a) 300

b) 350

c) 400

d) 450

e) 500

C(x) = 25x + 5000 e R(x) = 45x.

Um lucro de R$ 4.000 implica R(x) - C(x) = 4000.

45x - (25x + 5000) = 4000

20x - 5000 = 4000

20x = 9000

45020

0009

.x

Lucro por bolsa

Lucro

desejado

+

Custo

fixo

CUIDADO! Raciocínios que envolvam “Regra de 3” só funcionam para

problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!

X

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