Energia Eletrostática

Física 3 – Capítulo 03Prof. Ricardo Gotardo

Energia Potencial Eletrostática• Força gravitacional é conservativa – Trabalho que a força realiza não depende

da trajetória seguida pela partícula.

• A força eletrostática obedece exatamente à mesma lei do inverso do quadrado da distância que comanda a força gravitacional.

• Força eletrostática é conservativa ?• Consideramos a interação entre duas

partículas duas partículas portadoras de carga q1 e q2 e calculemos o trabalho da força eletrostática quando uma partícula se move em relação a outra.

A força de interação que conhecemos para as duas cargas, expressa pela lei de Coulomb, só vale quando uma carga está parada em relação à outra e, portanto não sabemos calcular o trabalho durante o deslocamento .

𝑊 𝑃0→𝑃=𝑞1𝑞24𝜋 𝜀0

∫𝐶

❑ 𝒓𝒓 𝟑 .𝒅𝑟

Energia Potencial Eletrostática• Os deslocamentos diferenciais dr

podem ser decompostos em deslocamentos radiais e deslocamentos angulares.

• Os deslocamentos angulares não contribuem para o trabalho.

𝒓 .𝑑𝒓=12𝑑 (𝒓 .𝒓 )=1

2𝑑 (𝑟𝑟 )=𝑟𝑑𝑟 .

• Podemos reescrever a equação do cálculo do trabalho

𝑊 𝑃0→ 𝑃=

𝑞1𝑞24𝜋 𝜀0

∫𝑟 0

𝑟𝑑𝑟 ′𝑟 ′2

=𝑞1𝑞24𝜋 𝜀0 (

1𝑟 0−1𝑟 )

• O trabalho só depende da distância inicial r0 e final r entre as partículas.• Para ir do ponto P0 até o ponto P, pode-se, seguindo a curva C’, primeiro

fazer todo o trajeto angular, no qual não se realiza trabalho, e então fazer o deslocamento radial, onde todo o trabalho é realizado.

• A diferença de energia potencial entre os pontos P e P0 é, por definição, o trabalho da força elétrica quando a partícula se desloca de P para P0.

• A energia potencial do par de partículas é usualmente definida para qualquer afastamento relativo r tomando-se como referência (valor nulo) a energia potencial quando a separação entre elas é infinita.

• Cargas de mesmo sinal, interação repulsiva, a energia potencial associada ao par é positiva.

• Cargas de sinais opostos, interação atrativa, a energia potencial é negativa.

𝑈 (𝑃 )−𝑈 (𝑃0 )=𝑊 𝑃 0→𝑃=−𝑞1𝑞24𝜋 𝜀0

∫𝑟0

𝑟𝑑𝑟𝑟2

=¿𝑞1𝑞24𝜋 𝜀0 (

1𝑟−1𝑟0 )¿

U (∞ )=0

𝑈 (𝑟 )=𝑈 (𝑟 )−𝑈 (∞ )=𝑞1𝑞24𝜋 𝜀0

1𝑟

Energia Potencial Eletrostática

Energia Potencial Eletrostática• Pelo princípio da superposição, cada par de partículas interage entre si como

se as outras partículas não estivessem presentes.• No cálculo da energia potencial, podemos inicialmente colocar a partícula 1

em seu local definido r1, enquanto as outras partículas estão no infinito. Em seguida, trazemos a partícula 2 para seu local r2.

• Traz-se agora a partícula 3. Nesta etapa, no cálculo do trabalho sobre a partícula 3, soma-se a contribuição da partícula 1 com a contribuição da partícula 2, e o potencial é acrescido de

• Assim procede-se até colocar a N-ésima partícula no seu sítio rN. A energia potencial do arranjo final será

𝑈 12=𝑞1𝑞24 𝜋𝜀0

1|𝒓𝟐−𝒓 𝟏|

𝑈=12

14𝜋 𝜀0

∑𝑖=1

𝑁

∑𝑗 ≠𝑖

𝑁 𝑞𝑖𝑞 𝑗

|𝒓 𝒊−𝒓 𝒋|.

Exercício Exemplo 3.1Calcule a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na figura abaixo.

Exercício 3.2Calcule a energia potencial eletrostática de duas cargas de um coulomb afastadas 1 quilômetro.

Energia potencial de cargas distribuídas continuamente

• Em várias situações, é conveniente tratar as cargas como um contínuo.• Cada partícula é substituída por um elemento de carga dq1, dq2, e as somas

devem ser substituídas por integrais.

• Podemos tratar o problema em termos de densidade locar ρ(r) de cargas.• dq1= ρ(r)dV1 e dq2 = ρ(r)dV2.

• As integrais contidas nas equações acima raramente podem ser calculadas analiticamente. Entretanto, sempre podem ser calculadas numericamente em computador para qualquer distribuição de cargas, o que é realizado com muita frequência.

𝑈=12

14𝜋 𝜀0

∫∫ 𝑑𝑞1𝑑𝑞2|𝒓𝟏−𝒓𝟐|

.

𝑈=12

14𝜋 𝜀0

∫∫𝜌 (𝒓𝟏 ) 𝜌 (𝒓𝟐 ) 𝑑𝑉 1𝑑𝑉 2 .

|𝒓𝟐−𝒓𝟏|

Auto - energia eletrostática

Um elemento de carga dq é trazido do infinito e depositado na superfície de uma casca esférica uniformemente carregada com a carga q.

• Auto – energia eletrostática de uma carga, ou de um corpo carregado, é a energia que se gasta para agregá-la a partir de cargas infinitesimais inicialmente dispersas. É a energia gasta para carregar o corpo.

• Auto – energia de uma casca esférica de raio R portadora de uma carga Q uniformemente distribuída em sua superfície.

• Após o carregamento a auto – energia da casca será

𝑑𝑈=𝑞

4𝜋 𝜀0𝑅𝑑𝑞

𝑈= 14𝜋 𝜀0𝑅

∫0

𝑄

𝑞𝑑𝑞= 𝑄2

8𝜋 𝜀0𝑅.

Raio clássico do elétron• O elétron tem uma massa m = 9,109 X 10-31 kg. Pela teoria da relatividade, isto

representa uma energia dada por

• Especula-se que toda essa energia seja auto – energia eletrostática. Podendo-se assim estimar o raio clássico re do elétron como

• Numericamente, obtém-se o valor

• O valor mais preciso que se conhece é

𝐸=𝑚𝑐2=9,109×10−31𝑘𝑔× (2,998×108𝑚𝑠− 1 )2=9,19×10−14 𝑱 .

𝑒2

4𝜋 𝜀0𝑟𝑒

=𝑚𝑐2 .

𝑟𝑒=𝑒2

4𝜋 𝜀0𝑚𝑐2Raio clássico do elétron

𝑟𝑒=9,00×1012 𝑁𝑚2

𝐶2

(1,60×10− 19 )2𝐶2

8,19×10−14 𝑱=2,82×10− 15𝑚 .

𝑟𝑒=2,81794009×10− 15𝑚 .

Energia do campo elétrico• Onde fica armazenada a energia potencial ?• A evidência experimental acumulada mostra inquestionavelmente que a

energia potencial elétrica se situa no campo elétrico. • A radiação eletromagnética demostra isso.• Em cada ponto que em que haja um campo elétrico E existe também uma

densidade de energia u que só depende de E. • Pela isotropia do espaço a densidade de energia só pode depender de

grandezas escalares.

• A forma da energia mais simples possível compatível com a equação acima é

• Onde K é uma constante de proporcionalidade.• Consideremos agora a auto – energia de uma casca esférica de raio R, com

uma carga Q uniformemente distribuída em sua superfície. Em seu interior o campo é nulo e em seu exterior o campo tem intensidade

𝑢=𝑢 (𝑬 .𝑬 )=𝑢 (𝐸2) .

𝑢=𝐾 𝐸2 ,

𝐸=𝑄

4𝜋 𝜀0

1

𝑟 2.

Energia do campo elétrico• Portanto, para pontos fora da esfera obtemos

• A energia total do campo elétrico será

• Mas a auto – energia é expressa por Portanto,

• Concluímos finalmente que

• A energia eletrostática fica armazenada no campo elétrico, e sua densidade está relacionada com a intensidade do campo.

𝑢 (𝑟 )=𝐾 𝑄2

(4𝜋 𝜀0 )21𝑟4.

𝑈=∫𝑢𝑑𝑉=𝐾 𝑄2

(4 𝜋𝜀0 )2∫𝑅

∞4𝜋 𝑟2𝑑𝑟

𝑟4=𝐾 𝑄2

(4𝜋 𝜀0 )24𝜋𝑅.

𝐾 𝑄2

(4𝜋 𝜀0 )24𝜋𝑅

=12

𝑄2

4𝜋 𝜀01𝑅 𝐾=

𝜀02.

𝑢=𝜀02𝐸2 .

Potencial Elétrico• Consideremos uma dada configuração de cargas.• Existe um campo elétrico gerado pelas cargas, e para se trazer uma outra

carga de prova q do infinito para qualquer ponto r na vizinhança das cargas é necessário realizar um trabalho U(q,r).

• Energia potencial por unidade de carga de prova, potencial elétrico.

• No SI de unidades, a unidade do potencial é o volt, símbolo V.

• A unidade de campo elétrico no SI é mais frequentemente expressa em termos de volt.

• Não há um nome específico para a unidade de campo elétrico.

𝑉 (𝒓 )=𝑈 (𝑞 ,𝒓 )𝒒

1𝑣𝑜𝑙𝑡=1 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒

1𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

𝐸=𝑁𝐶

=𝐽

𝑚 .𝐶=

𝑣𝑜𝑙𝑡𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

.

Potencial Elétrico• Na situação mais geral, a energia potencial de uma carga de teste q sob

efeito de um campo elétrico E é dada por

• Onde r0 é o ponto tomado como referência do potencial, ou seja, U(q,r0) = 0.

• Potencial elétrico gerado por uma carga pontual Q pode ser calculado facilmente, uma vez que seu campo é conhecido. Tomando o ponto de referência no infinito, ou seja, V() = 0, e colocando a carga Q na origem das coordenadas, podemos escrever

• Se a carga Q estiver no ponto r’, e não na origem das coordenadas, a equação será naturalmente reescrita na forma

𝑈 (𝑞 ,𝒓 )=−∫𝑟0

𝑟

𝑭 (𝒓 ′ ) .𝑑 𝒓 ′=−∫𝑟9

𝑟

𝑞𝑬 (𝒓 ′ ) .𝑑 𝒓 ′ ,

𝑉 (𝒓 )=−∫𝒓 0

𝒓

𝑬 (𝒓 ′ ) .𝑑𝒓 ′

𝑉 (𝒓 )=−∫∞

𝑟𝑄4𝜋 𝜀0

𝒓 ′ .𝑑𝒓 ′𝑟 ′ 2

=− 𝑄4𝜋 𝜀0

∫∞

𝑟𝑑𝑟 ′𝑟 ′2

= 𝑄4𝜋 𝜀0

1𝑟.

𝑉 (𝒓 )= 𝑸𝟒𝝅 𝜺𝟎

𝟏|𝒓 −𝒓 ′|

.

Potencial Elétrico• Se a carga Q estiver no ponto r’, e não na origem das coordenadas, a equação

será naturalmente reescrita na forma

• O princípio da superposição permite estender este resultado a qualquer arranjo de carga.

• Para um sistema contínuo de cargas, a carga qi é substituída pelo elemento diferencial de carga dq = (r’)dV’ e o somatório transforma-se na integral

𝑉 (𝒓 )= 14 𝜋 𝜀0

∑𝑖

𝑞𝑖

|𝒓 −𝒓 𝒊|.

𝑉 (𝒓 )= 14 𝜋 𝜀0

∫ 𝜌(𝒓 ′ )|𝒓 −𝒓 ′|

𝑑𝑉 ′ .

𝑉 (𝑟 )= 𝑄4 𝜋 𝜀0

1|𝒓 −𝒓 ′|

.

Exercício Exemplo 3.4Calcule o potencial gerado por um fio reto infinito com uma densidade linear de carga uniforme, dado que à distância R do fio o potencial é V(R).

Exercício Exemplo 3.4O contador Geiger foi o primeiro detector de partículas eletricamente carregadas e continua sendo o mais simples. Desenvolvido por Ernest Rutherford (1871-1937) e seu assistente Hans Geiger em 1908, seu esquema é mostrado na figura abaixo. Um cilindro metálico de raio R, preenchido com um gás rarefeito e contendo um fio fino também metálico de raio a em seu eixo, é submetido a uma tensão elétrica tal que o cilindro fica a uma voltagem V = 0 e o fio fica a uma voltagem positiva V = A. O cilindro tem paredes finas para possibilitar a penetração de partículas produzidas por radioatividade. O contador foi, de início, projetado especificamente para detectar partículas alfa, descobertas pouco antes. As partículas ionizam o gás no interior do tubo, e os elétrons são atraídos para o fio central positivo. Como o fio é fino, o campo elétrico na sua proximidade é muito intenso. Nessa região, os elétrons são fortemente acelerados, provocando a ionização de outros átomos e formando uma avalanche de elétrons. O diâmetro do tubo é bem menor que seu comprimento, de modo que ao estudar a variação do campo e do potencial no interior do tubo podemos considerar aproximadamente o fio como infinito. Calcule a variação do campo potencial e do campo elétrico no interior de um tubo considerando os parâmetros A = 800 V, a = 25,0 µm, R = 2,00 cm.

Cálculo do campo elétrico a partir do potencial

• Conhecendo o campo elétrico em todos os pontos do espaço, podemos calcular o potencial elétrico também em qualquer ponto.

• Se conhecemos o potencial em todos os pontos do espaço, podemos calcular o campo também em qualquer ponto.

• Por outro lado, sabemos que

• Comparando as duas equações acima, concluímos:

• Sabemos que o gradiente de uma função escalar é definido na forma

.

𝑑𝑉=𝜕𝑉𝜕 𝑥

𝑑𝑥+𝜕𝑉𝜕 𝑦

𝑑𝑦+𝜕𝑉𝜕 𝑧

𝑑𝑧 .

𝐸𝑥=−𝜕𝑉𝜕 𝑥

,𝐸𝑦=−𝜕𝑉𝜕 𝑦

,𝐸𝑧=−𝜕𝑉𝜕𝑧

.

𝛻 𝑓=𝜕 𝑓𝜕 𝑥

𝒊+𝜕 𝑓𝜕 𝑦

𝒋+𝜕 𝑓𝜕 𝑧

𝒌 .

Cálculo do campo elétrico a partir do potencial• Componentes do campo elétrico como derivadas do potencial

• e, portanto, a partir da comparação entre as equações concluímos

• Esta equação diz que o campo elétrico em um dado ponto é menos o gradiente do potencial elétrico naquele ponto.

𝑬=𝐸𝑥 𝒊+𝐸 𝑦 𝒋+𝑬 𝒛𝑘=−𝜕𝑉𝜕 𝑥

𝒊−𝜕𝑉𝜕 𝑦

𝒋−𝜕𝑉𝜕 𝑧

𝒌 ,

𝑬=−𝛻𝑉 .

Exercício Exemplo 3.6• Dado o potencial , calcular o campo elétrico.

Superfícies equipotenciais• Superfícies equipotenciais dos campos gerados por uma carga pontual e por

um plano infinito uniformemente carregado.• No interior de um condutor em equilíbrio o campo elétrico é nulo, o que

significa que o potencial ali é constante. Temos o que se chama um volume equipotencial. A superfície do condutor é uma superfície equipotencial.

Dipolo elétrico• Uma dada configuração de cargas aparece com muita frequência no

eletromagnetismo e merece um estudo à parte, o dipolo elétrico. O dipolo é um par de cargas elétricas de mesma intensidade q e sinais opostos, separadas por uma dada distância d.

• Para grandes distâncias, d << r as duas expressões nas equações acima podem ser aproximadas. A chamada aproximação de dipolo consiste em ignorar os termos de segunda ordem superior na variável d/r.

• O potencial no ponto r é dado por

• onde pela lei dos cossenos,

𝑉=𝑞

4𝜋 𝜀0 (1𝑟 1−1𝑟 2 ) ,

1𝑟1

=(𝑟2+𝑑2

4−𝑟𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃)−

12=1

𝑟 (1+ 𝑑2

4 𝑟2−𝑑𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)−

12

1𝑟2

=(𝑟2+𝑑2

4+𝑟𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃)−

12= 1

𝑟 (1+ 𝑑2

4𝑟2+𝑑𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)−

12

Dipolo elétrico• Nesta aproximação, pode-se escrever

• Com estas aproximações, o potencial toma a forma

• Definindo o vetor dipolo elétrico na forma

• Onde o sentido de d vai da carga negativa para a carga positiva, obtemos a forma compacta para a energia potencial

1𝑟1

=1𝑟 (1− 𝑑

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)−

12=1

𝑟 (1+ 12 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)1𝑟2

=1𝑟 (1+𝑑

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)−

12=1

𝑟 (1− 12 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃) .

𝑉 (𝒓 )= 𝑞𝑑4 𝜋 𝜀0

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 2

.

𝒑=𝑞𝒅 ,

𝑉 (𝒓 )= 14 𝜋 𝜀0

𝒑 . �̂�𝑟 2

.

Campo de um dipolo elétrico• Para o campo elétrico criado pelo dipolo, é conveniente escolher o sistema de eixos tal

que o eixo z seja alinhado com o dipolo. Neste caso, e a equação para o potencial resulta em:

• O potencial elétrico e o campo elétrico são simétricos em torno do eixo z. Calculando as componentes do campo elétrico de um dipolo:

• Em coordenadas esféricas, são dadas por

• o campo elétrico é expresso na forma

𝑉 (𝑥 , 𝑦 ,𝑟 )= 𝑞𝑑4 𝜋 𝜀0

𝑧𝑟 3

=𝑝

4𝜋 𝜀0

𝑧

(𝑥2+𝑦 2+𝑧 2 )32

.

𝐸𝑥=−𝜕𝑉𝜕 𝑥

= 𝑝4𝜋 𝜀0

3 𝑥𝑧𝑟5

,𝐸𝑦=−𝜕𝑉𝜕 𝑦

= 𝑝4𝜋 𝜀0

3 𝑦𝑧𝑟 5

,𝐸𝑧=−𝜕𝑉𝜕 𝑧

= 𝑝4𝜋 𝜀0 ( 3 𝑧

2

𝑟5−1𝑟3 ) .

𝑥=𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 , 𝑦=𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 , 𝑧=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ,

𝐸𝑥=𝑝

4 𝜋 𝜀03𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙

𝑟3,𝐸𝑦=

𝑝4𝜋 𝜀0

3𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑟3

,𝐸𝑧=𝑝

4𝜋 𝜀03𝑐𝑜𝑠2 𝜃−1

𝑟 3.

Exercício Exemplo 3.7O dipolo da figura abaixo vale p = 2,0 nC.cm, e cada célula da grade é um quadrado com lado de 10 cm. Calcule o potencial elétrico e o campo elétrico nos pontos 1, 2 e 3.

Dipolo em campo externo• Muitas situações cientificamente e tecnologicamente importantes envolvem

dipolos elétricos sob a ação de um campo externo. Não a força resultante sobre o dípolo, mas sim um torque resultante.

• O torque pode ser também expresso na forma

• Devido ao torque exercido pelo campo sobre o dipolo, a energia potencial do dipolo depende de sua orientação relativa à direção do campo.

𝜏 𝑧=−2𝑞𝐸𝑑2𝑠𝑒𝑛𝜃=−𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 .

𝝉=𝒑×𝑬 .

Dipolo em campo externo• Para obter a energia potencial, temos de calcular o trabalho realizado pelo campo

sobre o dipolo quando ele gira. Calcularemos isso fazendo referência à figura abaixo.

• Por outro lado, a coordenada x da carga positiva é Portanto,

• O trabalho sobre as cargas positiva e negativa são iguais. O trabalho sobre o dipolo será

• Tomando-se a energia potencial do dipolo como nula quando sua orientação é perpendicular ao campo – ou seja, , a energia potencial para será

• Quando o ângulo do dipolo, cujo valor inicial é , sofre um incremento d, o trabalho que o campo faz sobre a carga positiva é

𝑑𝑊+¿=𝐹+¿ . 𝑑𝒓=𝐹 +¿ 𝑑𝑥. ¿¿¿

𝑑𝑊+¿=−𝑞𝐸(𝑑2 ) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 .¿

𝑑𝑊=𝑑𝑊+¿+𝑑𝑊−=−𝑞𝐸𝑑𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑 𝜃=−𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝜃¿

𝑈 (𝜃 )=−∫𝜋2

𝜃

𝑑𝑊=∫𝜋2

𝜃

𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃′𝑑𝜃′=−𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃=−𝒑 .𝑬 .

Exercício Exemplo 3.8Como funciona um forno a microondas. A molécula de água (H2O) tem um dipolo elétrico cujo valor é 6,2 X 10-30 C.m. Esse dipolo sofre reorientação quando está sob efeito do campo elétrico de uma microonda, e desse modo absorve energia da onda. Calcule a variação da energia potencial quando a molécula gira, sob efeito de um campo elétrico de 1,0 kV/m, partindo da orientação ortogonal ao campo e ficando alinhada com o mesmo.

Dipolo em campo externo• Quando o campo elétrico não é uniforme, a força resultante sobre o dipolo

também deixa de ser nula. A figura abaixo mostra o dipolo alinhado com o campo elétrico. Na posição da carga negativa, o campo vale E. Já na posição da carga positiva o valor do campo é

𝐸+∆𝐸=𝐸+𝜕𝐸𝜕𝑥

𝑑 .

• A força sobre o dipolo será

𝐹=𝐹+¿−𝐹 −=𝑞(𝐸+

𝜕 𝐸𝜕 𝑥

𝑑)−𝑞𝐸=𝑞𝑑𝜕𝐸𝜕 𝑥

=𝑝𝜕 𝐸𝜕 𝑥

. ¿

A força aponta para o sentido em que o campo é crescente. Se o dipolo estivesse antiparalelo ao campo, a força teria o sentido em que o campo fosse decrescente.