enero 20001 nociones de probabilidad ricardo aravena cuevas depto. de estadística, facultad de...

Enero 2000 1

NOCIONES DE PROBABILIDAD

Ricardo Aravena Cuevas

Depto. de Estadística,Facultad de Matemáticas,Pontificia Universidad Católica de Chile

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Nociones de Probabilidad

ContenidosJuegos de Azar;

representación y análisis de resultados.

Comentarios históricos sobre el estudio de la Probabilidad

La Probabilidad como proporción del número de casos favorables y el número total de resultados posibles. Diagramas de árbol.

Iteración de experimentos sencillos.

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IntroducciónLa probabilidad se asocia con

lo incierto, es decir aquello que se sitúa entre lo seguro y lo imposible.Imposible -> Incierto -> Seguro

Para expresar esta certeza (o incerteza) utilizamos un lenguaje bastante ambiguo:Es probable que; es posible

que; se espera que; estamos casi seguro que; hay alguna posibilidad que; etc.

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IntroducciónLas expresiones anteriores

son referidas a situaciones que denominaremos: Sucesos.

Necesito un informe completo sobre el sistema electrico.

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Cuantificación de la CertezaUn problema fundamental es

como saber cual de dos sucesos es más probableEn lanzamientos sucesivos

de una moneda que salgan (i) tres caras en tres lanzamientos, o (ii) dos caras en dos lanzamientos.

Se reparte un naipe de 52 cartas entre 4 jugadores (i) a Mario le tocó un “as” o (ii) a cada jugador le tocó un “as”.

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Cuantificación de la CertezaEl problema central es reflejar

un grado de certeza cualitativo en una escala numérica.

Imposible ____ Incierto _____Seguro 0 entre 0 y 1 1 0% entre 0% y 100% 100%

Prob(Ocurra)+Prob(no ocurra)= 1La probabilidad existe, aunque

no seamos capaces de calcularla. -> Estimación.

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Cuantificación de la CertezaActividad - ordene de menos

probable a más probable (puede incluir empates).

El campeón de Futbol del año 2000 será: U de Chile; Colo-Colo; U

Católica; Cobreloa; otro equipo

El “Chino” Rios:•Volverá a ser Nº1; se mantendrá entre los Top Ten; se casa y se retira del tenis!

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Cuantificación de la CertezaEn dos hospitales se anota el

número de nacimientos, es posible que el porcentaje de mujeres exceda el 60%. En que hospital se espera que ocurra con mayor frecuencia En un hospital grande; En un hospital pequeño

Se lanzan tres dados: sale 1,1,1; sale 2,2,3;

sale 5,2,4

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Interpretación FrecuentistaLey de los Grandes Números

Repetición indefinida de un experimentoBajo las mismas condicionessin que haya interacción

entre las distintas repeticiones.

La probabilidad de un La probabilidad de un suceso es el límite al que suceso es el límite al que converge la proporción converge la proporción de repeticiones en que de repeticiones en que el suceso tiene lugarel suceso tiene lugar..

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Interpretación FrecuentistaEjemplo: Lanzamiento de un

dado. Se anota un 1 si aparece el cinco y un 0 en caso contrario. Para 5 lanzamientos:Lanz Cara ¿Cinco? Prop. de 5 1 3 0 0.00 2 5 1 0.50 3 6 0 0.33 4 6 0 0.25 5 2 0 0.20

Lo anterior se conoce como Ley de los Promedios y es un ejemplo de la regularidad estadística

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Interpretación FrecuentistaUsando el SIMPUC - se solicitan

4 muestras de tamaño 100 del lanzamiento de un dado. En Excel© , a través de un IF (condicional) contamos los “5” para cada muestra y obtenemos las proporciones:Muestra 1 - 0,15 Muestra 2 - 0,13Muestra 2 - 0,14Muestra 4 - 0,15Total: 0,1425 versus 0,1667

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Interpretación FrecuentistaProbabilidad y Resultados

FavorablesSi queremos calcular Prob ( A ), decimos que A es el suceso de interés. Con respecto a este suceso, decimos que un resultado es favorable si él asegura que el suceso de interés se cumpla.La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los resultados favorables.

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Interpretación FrecuentistaEstrategiaIdentificar el suceso de

interés con el conjunto A de resultados favorables.

Buscar la probabilidad de cada resultado favorable

Sumar las probabilidades anteriores

* Programa SIMPUC - se puede bajar del Internet de:

http://www.mat.puc.cl/~estadist

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Interpretación FrecuentistaEjemplo:

Lanzamiento de un dado y obtener un número parSuceso de interés: Obtener parResultados favorables:{2,4,6}Se tieneProb{2}=Prob{4}=Prob{6}=1/6

Por lo tantoProb{Par}=P{2} + P{4} + P{6}

= 1/6+1/6+1/6 = 1/2

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Interpretación FrecuentistaSon sucesos son

mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia de los otros.

Regla Aditiva.Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes, entonces

P ( A ó B ) = P(A) + P(B)

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EquiprobabilidadCuando todos los resultados

posibles tienen la misma probabilidad, se dice que ellos son equiprobables.

¿Cuándo sospechar equiprobab?Usualmente esto ocurre cuando hay un alto grado de simetría, como ocurre con monedas, naipes, monedas, etc.

En caso de experimentos repetibles, tenemos la ventaja de confirmar la hipótesis de equiprobabilidad

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EquiprobabilidadModelo de Urna

Un mecanismo más flexible , que permite tener N resultados equiprobables, donde N es un número arbitrario es el modelo de urna. Es este modelo, se elige al azar 1 ficha de una urna que contiene N fichas. Si cada ficha tiene una etiqueta que identifica a un elemento, la extracción proporciona un metodo para elegir al azar los elementos de este conjunto.

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EquiprobabilidadRegla de Laplace

Cuando los resultados posibles son equiprobables, la probabilidad de un suceso es el número de resultados favorables dividido por el número de resultados posibles.

En libros antiguos de Algebra esta regla aparece como definición de probabilidad, reemplazando la palabra resultado por caso.

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EquiprobabilidadUna consecuencia

inmediata de la regla de Laplace es la igualdad numérica entre probabilidades y proporciones poblacionales, cuando se elige un elemento al azar de una determinada población.

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Ley MultiplicativaEjemplo

Se tienen dos urnas con fichas rojas y negras. La urna 1 tiene un 60% de fichas rojas y la urna 2 contiene un 30% de fichas rojas. Se elige una urna al azar lanzando una moneda (cara -> urna 1; sello -> urna 2). Finalmente se extrae una ficha de la urna elegida

Determine la probabilidad de obtener una ficha negra.

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Ley Multiplicativa¿Qué pasa si repetimos 1 millón de

veces el experimento?Se espera cerca de 500 mil caras -

> urna 1 es la elegida, en cuyo caso un 40% de las veces se obtendrá una ficha negra, es decir, cerca de 200 mil veces.

De igual forma, se obtendrán cerca de 500 mil sellos -> urna 2, donde se obtendrá un 70% de las veces fichas negras, por lo tanto, en total 350 mil veces.

En forma análoga, se tiene describiendo los resultados:

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Ley MultiplicativaP{Urna 1 y ficha negra}=20%P{Urna 1 y ficha roja} =30%P{Urna 2 y ficha negra}=35%P{Urna 2 y ficha roja} =15%

Urna 2

Urna 1Cara

Sello30%

70%

1/2

1/2

20%

30%

35%

15%

40%

60%

$

La suma de los cuatro porcentajes debe ser 100%

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Ley MultiplicativaTabular:

Color de la FichaNegra Roja Suma

Urna 1 20% 30% 50% Urna 2 35% 15% 50%

Suma 55% 45% 100%

Se puede apreciar que la probabilidad de obtener una ficha negra es 55%.

Las sumas por filas (o columnas) dan las probabilidades marginales

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Ley MultiplicativaExperimento en dos etapas

x el resultado de la primera etapa, ocurre con probabilidad p(x).

Dado x, la probabilidad de obtener el resultado y es p(y/x).

La probabilidad de obtener x en la 1era etapa e y en la 2da etapa la denotamos por p(x,y)

Entoncesp(x,y)= p(x)p(y/x), yLey de las Probabilidades TotalesP(y) = suma sobre x de p(x) p(y/x)

* es un promedio ponderado de las p(y/x)

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IndependenciaCuando el resultado de una etapa no

se ve afectado por los resultados de las etapas anteriores estamos frente a sucesos independietes. Otra forma equivale a que las probabilidades condicionales coinciden con las marginales, es decir,

P( A / B ) = P(A)Ejemplo: se lanza un dado 3 veces

P({2,6,5}) = P(2) x P(6) x P(5) = 1/6x1/6x1/6 = 1/216

* Sucesos mutuamente excluyentes NO son independientes

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Probabilidad CondicionalEl concepto de probabilidad

condicional permite formalizar la idea que la probabilidad depende de la información.

NotaciónP{A / B} = P{A y B} P{B}(leemos como “probabilidad que ocurra el evento A dado que ha ocurrido B = Prob. que ocurran A y B dividido por Prob. que ocurra B”)

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Probabilidad CondicionalEjemplo de las 3 cartas: Se dispone de

tres cartas, Roja-Roja, Negra-Negra y Roja-Negra. Se elige una carta al azar y luego se pone sobre la mesa. Si la cara mostrada es Negra, ¿cuál es la probabilidad que la otra cara seaNegra?

Solución: Marcamos las caras, por lo cual hay 6 resultados posibles: 1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b que son equiprobables. La información de una cara negra indica la ocurrencia del suceso {2a,2b,3b}, mientras que el suceso de interés es {2a,2b} por lo tanto:

P{2a,2b}/P{2a,2b,3b} = (2/6)/(3/6)

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Tablas Versus ArbolesLos resultados de un experimento

en dos etapas pueden identificarse con las ramas o nodos terminales de un árbol, o bien las celdas de una tabla. La primera representación es útil cuando se dispone de probabilidades condicionales, mientras que la segunda cuando se especifican las conjuntas

Pongamosle color...

p(x,y) p(x,y)

1 2 3

4 5

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b)

c) d)

a)

Con reemplazo

a)


Se extraen dos fichas sucesivamente, cual es la probabilidad de obtener:

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Tablas Versus ArbolesProbabilidades:

Sin Reemplazo

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EjemplosPlan Familiar

Una pareja acuerda tener hijos hasta lograr un varón, o bien tres preciosas niñas (lo que ocurra primero).

¿Cuál es la probabilidad de tener un varón?

… simular … ej: Lanzar una Moneda, si sale

Cara=varón, Sello=niña

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EjemplosPlan Familiar.. Continuación

Grupo Repeticiones # veces

con ñiño 1 _______ _______

2 _______ _______ .. …. …. K _______ _______..TOTAL _______ _______

Probab. pedida = / = La probabilidad teórica es :

0,875

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EjemplosProblema de las 3 puertas

Sabado Gigante - Don Francisco

¿?

A B C

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Hay tres puertas, detrás de una de ellas hay un auto, en las otras dos un premio de consuelo. Un concursante ha seleccionado una puerta y el animador le muestra lo que hay una de las otras, y le ofrece una de las siguientes dos alternativas:a) permanecer con la puerta

seleccionada,b) cambiarse de puerta.¿Qué le recomienda Ud?¿Cuál es la probabilidad de ganar el auto si escoge a), si escoge b)?

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Simular 20 veces cada parejaPermanece Se cambia

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EjemplosProblema de las 3 puertasResumen:

Prob(Ganar si permanece) = Prob(Ganar si se cambia) =

La mejor estrategia es: _____mirando la solución…

Puerta seleccionada

1 2 3Orden A Auto Flor Flor

B Flor Auto Flor C Flor Flor

Auto

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Hechos Históricos - SucesoEl Azar (de aquí la palabra

aleatorio) es conocido desde hace mucho tiempo a través de los llamados “Juegos de azar”. Hoy en día, por ejemplo, se juega a la ruleta, a las cartas y Loto o Kino.

Los antiguos usaban astrágalos, y luego, dados. Los astrágalos son pequeños huesos del talón de ciertos animales. Estos elementos han sido encontrados en excavaciones que datan de la prehistorua, entre los pueblos babilónicos, egipcios, griegos,etc.

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Hechos Históricos - SucesoAlgunas evidencias, como

pinturas en los vasos griegos, indican que el juego con astrágalos es muy antiguo y difundido también entre los niños. Hay registros que muestran su uso en egipto durante la primera dinastía (3500 a. de C.). Los juegos se hicieron populares en ciertas situaciones históricas, como la hambruna de Lydia (1.500 a. de C.) o el sitio de Troya (duró 10 años).

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Hechos Históricos - SucesoTambién los dados pertenecen

a épocas remotas y uno de los más antiguos que se ha encontrado, hecho de arcilla bien cocida, data del año 3.000 a. de C.

Los Juegos de azar con éstos y otros elementos han sido repetidamente prohibidos, especialmente durante la Edad Media.

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Hechos Históricos - SucesoEn la era cristiana se utilizaban

dados, astrágalos, palitos y otros elementos para jugar o para adivinar, ya sea el futuro o lo que deseen revelar los dioses. Sin embargo, no se habla de probabilidad ni se tiene el concepto de número que utilizamos hoy en día. Digamos de paso que los juegos y/o adivinaciones con cartas sólo se han usados en estos últimos tres mil años.

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Hechos Históricos - ProbabilidadesLa idea de azar es muy antigua.

Pero, ¿por qué demoró tanto el surgimiento de las probabilidades?

Sólo podemos especular en el por qué de la demora. Una posibilidad sólida la encontramos en la necesidad de un sistema numérico de cálculo y notación (el actual data del año 1500, y es adecuado al calculo de probabilidades)

Debemos a los griegos el desarrollo de la lógica científica, ideas que influyen y desarrollaron

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Hechos Históricos - Probabilidadesla enumeración de sucesos, pero las probabilidades son meras ideas pasajeras.

Tambien se encuentra en los matemátics griegos y romanos la idea de que los dioses controlaban la caída de los dados en los juegos de azar.

Todo hace pensar que en el mundo antiguo existían las bases para definir el concepto, empero, los filósofos -Platón y Aristóteles, centraban sus preocupaciones en la regularidad, orden y repetición.

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Hechos Históricos - IniciosLa segunda mitad del primer

milenio nos encuentra con un cristianismo en expansión y una Roma en decadencia. La influencia indú se extiende a occidente

A fines del primer milenio, se desarrollan los números arábicos y las primeras ideas contemporáneas de las combinaciones y probabilidades.

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Hechos Históricos - IniciosSurge el comercio de Florencia,

pero las ideas probabilísticas no iniciaron su desarrollo hasta que Leonardo da Vinci (1452-1514) la popularizara, y su gran amigo Fra Luca Pacido publicará ideas sobre álgebra, aritmética y geometría.

Estas dieron ímpetu a Cardano y Tartaglia a escribir sus propias versiones, que incluyen cálculo de probabilidades.

En síntesis, podemos decir que la teoría de la probabilidad se inicio en la mesa de juegos

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