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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

Disciplina ENG04404 – Ondas Eletromagnéticas Versão: 7 de dezembro de 2013 1

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 3

Problemas

1) Uma das possíveis formas de descrever quantitativamente uma linha de transmissão é através da Teoria de Circuitos a parâmetros distribuídos. Para tanto, segmenta-‐se um pequeno elemento da linha de transmissão e a este se atribui um circuito equivalente, cujos parâmetros são especificados por unidade de comprimento. Desta forma, mediante a Teoria de Circuitos usual, pode-‐se obter um conjunto de equações que descrevem eletricamente tal elemento da linha de transmissão. O resultado pode ser trivialmente estendido para qualquer ponto da linha de transmissão tornando o comprimento do elemento modelado tão pequeno quanto possível. Além da topologia L já investigada, há as topologias Π e T de circuitos, as quais são respectivamente apresentadas na Figura 1(a) e Figura 1(b) e que podem ser possivelmente adotadas como modelo ao pequeno elemento da linha de transmissão. Suponha então uma linha de transmissão plenamente homogênea a dois condutores em um dielétrico imperfeito. Sendo 𝑧 a coordenada espacial ao longo da linha de transmissão e 𝑡 o tempo, para cada uma das topologias apresentadas, (a) determine o sistema de equações que descreve a tensão 𝑣(𝑧, 𝑡) e a corrente 𝑖(𝑧, 𝑡). (b) Obtenha as soluções para a tensão 𝑣(𝑧, 𝑡) e para a corrente 𝑖(𝑧, 𝑡). (c) As soluções possuem teor ondulatório? Discorra. (d) As equações e soluções obtidas para cada um dos modelos de circuito equivalente são compatíveis com àquelas obtidas na topologia tipo L já investigada? Disserte.

Figura 1: Circuitos equivalentes para um elemento de comprimento 𝚫𝒛 da linha nas topologias (a) tipo 𝚷 e (b) tipo 𝐓

2) Uma linha de transmissão a dois condutores imperfeitos encontra-‐se em um meio dielétrico com perdas. Para tal linha de transmissão, determine as equações diferenciais parciais de 2ª ordem associadas (a) a tensão 𝑣(𝑧, 𝑡) e (b) a corrente 𝑖(𝑧, 𝑡). Tais equações são comumente denominadas de Equações do Telegrafista. (c) Estas equações possuem a mesma estrutura da Equação da Onda em dielétricos perfeitos? Discorra a respeito de cada um dos termos que compõem estas equações. (d) Se os condutores da linha e o meio dielétrico são perfeitos, qual formato assume as equações deduzidas nos itens (a) e (b) anteriores? Explique. (e) Analisando as equações obtidas no item (d), qual é a velocidade de propagação das ondas de tensão 𝑣(𝑧, 𝑡) e de corrente 𝑖(𝑧, 𝑡)? Discorra.

3) Suponha uma linha de transmissão a dois condutores imperfeitos dispostos em um meio dielétrico com perdas. Considere que a linha seja plenamente não-‐homogênea. Sendo 𝑧 a coordenada espacial ao longo da linha de transmissão e 𝑡 o tempo, determine (a) o sistema de equações que descreve a tensão 𝑣(𝑧) e a

(a) (b)RΔz

½GΔz ½GΔz½CΔz ½CΔz

LΔz ½RΔz ½LΔz ½RΔz ½LΔz

GΔz CΔz




corrente 𝚤(𝑧) ao longo da linha de transmissão, sendo 𝑣 𝑧, 𝑡 = 𝑣 𝑧 𝑒!"# e 𝑖 𝑧, 𝑡 = 𝚤 𝑧 𝑒!"#. (b) As equações obtidas diferem daquelas pertinentes a uma linha de transmissão plenamente homogênea? Analise em detalhe.

4) Por uma linha de transmissão propaga-‐se uma onda eletromagnética de frequência angular 𝜔. A linha de transmissão em questão é composta por dois condutores constituídos em material imperfeito e dispostos em um dielétrico com perdas. Sendo o coeficiente de propagação 𝛾 ≡ 𝛼 + 𝑗𝛽, determine (a) 𝛼 e (b) 𝛽 para tal linha de transmissão. (c) Qual o significado físico de cada uma das quantidades anteriores? Verse a respeito do tema. Obtenha então (d) a velocidade de fase 𝑣! e (e) a velocidade de grupo 𝑣! das ondas eletromagnéticas neste tipo de estrutura. (f) Tal estrutura é dispersiva? Disserte a respeito e caracterize-‐a quanto ao seu gênero, caso necessário. (g) Calcule então o produto 𝑣! ∙ 𝑣!. Interprete fisicamente o resultado obtido. Por final, particularize todas as quantidades obtidas anteriormente quando a linha de transmissão torna-‐se (h) sem perdas e (i) sem distorção. Disserte.

5) Uma linha de transmissão a dois condutores está disposta em um meio dielétrico. As perdas nos condutores que compõem a linha bem como no dielétrico são pequenas porém não-‐desprezíveis. Considere que a linha seja plenamente homogênea. Sendo 𝑧 a coordenada espacial ao longo da linha de transmissão e 𝑡 o tempo, determine (a) a expressão aproximada para a impedância característica 𝑍! da linha de transmissão nesta situação. (b) A equação aproximada para a constante de propagação 𝛾 de uma eventual onda nesta linha de transmissão. (c) Expresse as ondas de tensão 𝑣(𝑧, 𝑡) e corrente 𝑖(𝑧, 𝑡) em termos das quantidades recentemente obtidas em (a) e (b).

6) Uma linha de transmissão plenamente homogênea a dois condutores está disposta em um meio dielétrico. Os condutores que compõem a linha bem como o dielétrico do meio físico que a envolve são imperfeitos. Tal linha está conectada a uma carga de impedância 𝑍!. A coordenada espacial ao longo da linha de transmissão e o tempo são respectivamente designados por 𝑧 e 𝑡. Sendo a constante de propagação 𝛾 ≡ 𝛼 + 𝑗𝛽 e a impedância característica da linha 𝑍!, (a) quantifique a impedância 𝑍 em uma coordenada espacial arbitrária 𝑧 da linha de transmissão explicitamente em termos de 𝛼 e 𝛽. (b) Determine a impedância de entrada 𝑍!"# desta linha de transmissão. Sendo 𝑍!"# ≡ 𝑅!"# + 𝑗𝑋!"#, obtenha então (c) a resistência 𝑅!"# e (d) e a reatância 𝑋!"#. (e) Se 𝑍! ≫ 𝑍!, a quais expressões se reduzem aquelas obtidas nos itens (a), (b), (c) e (d)? (f) Se 𝑍! ≪ 𝑍!, a quais expressões se reduzem aquelas obtidas nos itens (a), (b), (c) e (d)? (g) Se a linha de transmissão torna-‐se sem perdas, quais formatos assumem as expressões obtidas em todos os itens anteriores?

7) Uma linha de transmissão a dois condutores é plenamente homogênea. A linha de transmissão em questão possui perdas, tanto no dielétrico que a circunda quanto no material condutor que a compõe. A impedância característica desta linha é 𝑍! e da carga a esta conectada 𝑍!. Sendo 𝑧 a coordenada espacial ao longo da linha e 𝑡 o tempo, (a) determine a potência 𝑃 transportada por uma eventual onda eletromagnética ao longo da linha. (b) Quantifique então a potência média temporal 𝑃 transportada pela onda ao longo da linha. (c) Interprete fisicamente cada um dos termos que compõem as expressões obtidas




nos itens (a) e (b). (d) Na entrada, quais formatos assumem as potências obtidas nos itens (a) e (b)? (e) E na carga, quais as expressões descrevem as potências obtidas nos itens (a) e (b)? (f) Mediante a análise das equações recentemente obtidas, qual é a condição para a máxima transferência de potência à carga?

8) Uma linha a dois condutores cilíndricos paralelos é apresentada na Figura 2(a). O meio físico que envolve a linha possui permissividade elétrica 𝜖 e permeabilidade magnética 𝜇. Determine (a) a capacitância 𝐶, (b) a indutância 𝐿, (c) a resistência 𝑅 e (d) a condutância 𝐺 por unidade de comprimento. Determine então (e) a velocidade fase, (f) a velocidade de grupo e (g) a impedância característica associadas à estrutura. Se a linha de transmissão bifilar em questão é do tipo sem perdas, reobtenha (h) a velocidade de fase, (i) a velocidade de grupo e (j) a impedância característica nesta situação. Interprete os resultados.

9) Uma linha a dois condutores coaxiais é apresentada na Figura 2(b). O meio físico que envolve a linha possui permissividade elétrica 𝜖 e permeabilidade magnética 𝜇. Determine (a) a capacitância 𝐶, (b) a indutância 𝐿, (c) a resistência 𝑅 e (d) a condutância 𝐺 por unidade de comprimento. Determine então (e) a velocidade fase, (f) a velocidade de grupo e (g) a impedância característica associadas à estrutura. Se a linha de transmissão coaxial em questão é do tipo sem perdas, reobtenha (h) a velocidade de fase, (i) a velocidade de grupo e (j) a impedância característica nesta situação.

10) Uma linha composta por duas placas condutoras paralelas é apresentada na Figura 2(c). O meio físico que envolve a linha possui permissividade elétrica 𝜖 e permeabilidade magnética 𝜇. Determine (a) a capacitância 𝐶, (b) a indutância 𝐿, (c) a resistência 𝑅 e (d) a condutância 𝐺 por unidade de comprimento. Determine então (e) a velocidade fase, (f) a velocidade de grupo e (g) a impedância característica associadas à estrutura. Se a linha de transmissão de placas paralelas em questão é do tipo sem perdas, reobtenha (h) a velocidade de fase, (i) a velocidade de grupo e (j) a impedância característica nesta situação. (k) Compare os resultados imediatamente anteriores referentes à situação sem perdas com os análogos pertinentes a estrutura bifilar e coaxial respectivamente dos problemas 8 e 9. Interprete fisicamente.

Figura 2: Seções transversais de linhas de transmissões do tipo (a) bifilar, (b) coaxial e (c) placas paralelas

11) Um guia de onda oco possui seção transversal retangular e é preenchido por um dielétrico perfeito. As paredes do guia de onda são confeccionadas em material condutor perfeito. O guia de onda é excitado de sorte que os modos de propagação sejam do tipo transversal elétrico (TE). Considere que o eixo coordenado 𝑧 esteja ao longo do guia e que 𝑎 e 𝑏 sejam respectivamente as dimensões horizontal — ao

(a) (b) (c)

a

d

d t

w

a

t

a




longo do eixo 𝑥 — e vertical — ao longo do eixo 𝑦 — do guia de onda, satisfazendo 𝑎 > 𝑏. Nesta situação, determine os campos (a) indução magnética 𝐁 e (b) elétrico 𝐄. (c) Obtenha a relação de dispersão das ondas eletromagnéticas na estrutura. (d) Há condições para a propagação de ondas eletromagnéticas neste tipo de sistema? Demonstre e – se houver – enuncie as condições para tal. (e) O sistema em questão é dispersivo? Verse pormenorizadamente a respeito do tema e, em caso afirmativo, classifique-‐o neste quesito. Por final, esboce graficamente os campos 𝐁 e 𝐄 para (f) o modo TE10 e (g) o modo TE01.

12) Um guia de onda oco possui seção transversal retangular e é preenchido por um dielétrico perfeito. As paredes do guia de onda são confeccionadas em material condutor perfeito. O guia de onda é excitado de sorte que os modos de propagação sejam do tipo transversal magnético (TM). Considere que o eixo coordenado 𝑧 esteja ao longo do guia e que 𝑎 e 𝑏 sejam respectivamente as dimensões horizontal — ao longo do eixo 𝑥 — e vertical — ao longo do eixo 𝑦 — do guia de onda, satisfazendo 𝑎 > 𝑏. Nesta situação, determine os campos (a) elétrico 𝐄 e (b) indução magnética 𝐁. (c) Obtenha a relação de dispersão das ondas eletromagnéticas na estrutura. (d) Há condições para a propagação de ondas eletromagnéticas neste tipo de sistema? Demonstre e – se houver – enuncie as condições para tal. (e) O sistema em questão é dispersivo? Verse pormenorizadamente a respeito do tema e, em caso afirmativo, classifique-‐o neste quesito. Por final, esboce graficamente os campos 𝐁 e 𝐄 para (f) o modo TM10, (g) o modo TM01 e (h) o modo TM11. (i) Há efetiva propagação de ondas eletromagnéticas no interior do guia caso 𝑛 ou 𝑚 sejam individualmente nulos? Discorra minuciosamente a respeito.

13) Considere um sistema tal qual descrito no problema 11. Para este sistema, determine (a) a freqüência angular de corte 𝜔!, (b) o vetor de onda de corte 𝛃! e (c) o comprimento de onda de corte 𝜆!. (d) Tais quantidades dependem do modo de propagação? Disserte. Determine e esboce então (e) a velocidade de fase 𝑣!, (f) a velocidade de grupo 𝑣! e (g) a impedância transversal 𝑍!. (h) Calcule então o produto 𝑣! ∙ 𝑣!. Interprete fisicamente o resultado obtido. (i) Determine todas as quantidades anteriores quando o modo em propagação é o dominante. Analise e interprete os resultados.

14) Considere um sistema tal qual descrito no problema 12. Para este sistema, determine (a) a freqüência angular de corte 𝜔!, (b) o vetor de onda de corte 𝛃! e (c) o comprimento de onda de corte 𝜆!. (d) Tais quantidades dependem do modo de propagação? Disserte. Determine e esboce então (e) a velocidade de fase 𝑣!, (f) a velocidade de grupo 𝑣! e (g) a impedância transversal 𝑍!. (h) Calcule então o produto 𝑣! ∙ 𝑣!. Interprete fisicamente o resultado obtido. (i) Há diferença entre as quantidades determinadas para o modo TM em questão e àquelas pertinentes ao modo TE do problema 13? Discorra. (j) Determine todas as quantidades anteriores quando o modo em propagação é o dominante. Analise e interprete os resultados. (k) Calcule então a razão entre as frequências angulares de corte dos modos dominantes TE e TM. Disserte a respeito, identificando o modo dominante de fato no guia de ondas em questão. Por qual motivo este modo de propagação é o normalmente utilizado? Explique detalhadamente. (l) Obtenha o produto 𝑍!!" ∙ 𝑍!!". Explique-‐o fisicamente.




15) Para o sistema descrito no problema 11, determine (a) o vetor de Poynting médio 𝐒 ao longo do tempo e (b) a densidade de energia eletromagnética armazenada no campo 𝑊! média ao longo do tempo. (c) Integre ambas as quantidades anteriores na seção transversal da estrutura. (d) Calcule então a velocidade de energia 𝑣!" no interior do guia. Interprete fisicamente o resultado, comparando-‐a com as velocidades de fase 𝑣! e grupo 𝑣! observadas neste sistema.

16) Para o sistema descrito no problema 12, determine (a) o vetor de Poynting médio 𝐒 ao longo do tempo e (b) a densidade de energia eletromagnética armazenada no campo 𝑊! média ao longo do tempo. (c) Integre ambas as quantidades anteriores na seção transversal da estrutura. (d) Calcule então a velocidade de energia 𝑣!" no interior do guia. Interprete fisicamente o resultado, comparando-‐a com as velocidades de fase 𝑣! e grupo 𝑣! observadas neste sistema.

17) Na análise de sistemas que irradiam ondas eletromagnéticas, invariavelmente os seus termos fontes devem ser considerados na obtenção da equação da onda. (a) Identifique quais são os termos fontes associados ao campo elétrico 𝐄 e ao campo magnético 𝐇. Disserte a respeito. (b) Para que os campos elétricos 𝐄 e magnéticos 𝐇 gerados sejam propagantes (pertençam a uma onda eletromagnética), que característica peculiar estes termos fontes devem possuir?. Na existência de tais termos fontes identificados anteriormente, obtenha então a equação da onda para (c) o campo elétrico 𝐄 e (d) o campo magnético 𝐇, classificando-‐as. (e) Compare minuciosamente as equações resultantes com aquelas pertinentes ao potencial escalar 𝜙 e vetor 𝐀 no contexto do calibre de Lorentz. (f) Identifique então quais das abordagens – por campos ou por potenciais – é a mais conveniente para descrever sistemas que irradiam ondas eletromagnéticas. Explique.

18) A respeito do calibre de Lorentz. (a) Por qual motivo esta relação de calibre é a mais usualmente adotada para descrever sistemas que irradiam ondas eletromagnéticas? Disserte. (b) Este calibre satisfaz a equação da continuidade? Demonstre.

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