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Marco Reis:2017 ©
Modelação matemática de base estatística/empírica:
Construção de modelos empíricos usando
metodologias de regressão linear
II
Engenharia de Processos e Sistemas
Marco S. Reis [email protected]
Construção de modelos empíricos
usando metodologias de regressão
linear
GEPSI/CIEPQPF
DEQ-FCTUC
Engenharia de Processos e Sistemas
3
Objectivos:
• Identificar a componente estrutural/determinística e aleatória/estocástica do
modelo de RL;
• Compreender o que é um modelo de RL e o seu âmbito de aplicação;
• Perceber como se estimam os parâmetros de um modelo de RL e saber quais os
pressupostos subjacentes ao modelo estimado;
• Interpretar os IC para os coeficientes do modelo (parte estrutural);
• Interpretar os IC para a resposta média e de previsão;
• Saber como validar um modelo de RL;
• Compreender a origem do problema da colinearidade e como o diagnosticar;
• Saber os passos a seguir na construção de uma modelo de RL
• Distinguir os vários métodos de selecção de variáveis
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Metodologias de Modelação
Processo Genérico
Variáveis
associadas ao
que entra no
processo (x’s)
Variáveis
associadas ao
que sai do
processo (y’s)
Variáveis ligadas a
parâmetros do processo (x’s)
Objectivo: construir um modelo que relacione as variáveis de entrada (x’s) com as de saída (y’s).
X’s “Inputs” Predictores Regressores Variáveis de entrada Variáveis independentes
Y’s “Outputs” Respostas
Variáveis de saída Variáveis dependentes
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Metodologias de Modelação
LC
TC
F0, T0, CA0
F, T, CA
Fcj, Tcj,0
Fcj, Tcj
LC
TC
F0, T0, CA0
F, T, CA
Fcj, Tcj,0
Fcj, Tcj
0
dVF F
dt
/
0 0 0
E RTAA A A
dVCF C FC k e C V
dt
/
0 0 0 ( )E RT
A cj
p p
dVT H UAF T FT k e C V T T
dt C C
,0
,
( ) ( )cj cj
cj cj cj cj
j p cj
dV T UAF T T T T
dt C
2set c setF F K V V
, 1cj cj set c setF F K T T
X
Y
x
E(Y|x)
X
Y
x
E(Y|x)
Modelos baseados em primeiros princípios → Estrutura completamente definida
“Knowledge intensive” “Data intensive”
Modelos empíricos → Algumas restrições quanto à estrutura do modelo
Modelos baseados em dados
→ muito poucas hipóteses são colocadas
quanto à estrutura do modelo
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Metodologias de Modelação
Utilidade dos modelos:
Previsão de valores futuros de uma variável de
saída;
Medição do efeito associado a mudanças
processuais;
Controlo e/ou monitorização do processo;
Optimização do processo;
…
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Regressão (Previsão):
As saídas do modelo são variáveis quantitativas;
Classificação:
As saídas do modelo são variáveis qualitativas
(classes ou categorias)
Qualidade do produto (Mau, Intermédio, Bom);
Reconhecimento de caracteres (padrões);
…
Regressão (Previsão) vs Classificação
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Regressão Linear Múltipla
O modelo de regressão linear múltipla
Propriedades do termo εi (pressupostos):
variância dos resíduos é constante;
todos os resíduos são independentes;
seguem uma lei normal com média nula. Pressuposto para fazer inferência estatística sobre o modelo
(IC, TH ao modelo ou seus parâmetros).
0 1 1 2 2i i i m im iY x x x
Componente estrutural Componente estocástica
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Regressão Linear Múltipla
β0 - Intercepção na origem (“intercept”,
“constant”);
βi – Coeficientes de regressão parciais (“partial
regression coefficients”).
0 1 1 2 2i i i m im iY x x x
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Regressão Linear Múltipla
Pode ser usado para descrever relações não-
lineares, e.g:
Assume que os X’s
estão isentos
de qualquer erro.
2 2
0 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2y x x x x x x
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Regressão Linear Múltipla
Estimação do modelo de regressão linear
múltipla:
Mínimos quadrados
2
0 1 1 2 2
1
ˆ
ˆ. .,
n
i i i m miB
i
T
B
B Min Y x x x
i e B Min Y XB Y XB
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Regressão Linear Múltipla
Estimação de parâmetros em RLM
Minimizar a soma dos desvios quadráticos (verticais …)
3D Surface Plot
Y=105,1527+0,2131*X1+0,4855*X2
195
190
185
180
175
170
165
160
155
GEPSI/CIEPQPF
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Regressão Linear Múltipla
Estimativa da variância do termo estocástico do
modelo de regressão linear múltipla:
N – número de observações
m – número de variáveis
2
2 1
ˆ
ˆ1 1
N
i
i SSr
N m N m
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Inferência em Regressão Linear
Múltipla
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• JMP
– Analysis > Fit Model
• Personality: Standard Least Squares
Regressão Linear Múltipla
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Is the model significant (as whole)?
Does it explain a significant ammount of the Y-
variability?
Which variables are more important?
Which coefficients are different from 0 (in a statistically
significant way)?
Assigning uncertainties to predictions made with
the model
21
•Reis, M. S. (2016). Estatística Para a Melhoria de Processos – A Perspectiva Seis Sigma. Coimbra: Imprensa da Universidade de Coimbra.
•Montegomery, D.C.; Peck, E.A. & Vining, G.G. (2006). Introduction to Linear Regression Analysis. Wiley. 4th ed.
•Draper, N.R.; H. Smith, 1998, Applied Regression Analysis, 3rd ed., Wiley, NY
Regressão Linear Múltipla Inferência
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Regressão Linear Múltipla Inferência
Propriedades das estimativas dos parâmetros
Se o modelo for verdadeiro,
As estimativas seguem uma distribuição normal multivariada:
1
2ˆ ~ , TB N B X X
0 1 1 2 2i i i m im iY x x x
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Regressão Linear Múltipla Inferência
ANOVA
Teste à significância do modelo de regressão
linear múltipla:
H0: β1 = β2 = … βm = 0
H1: βj ≠ 0 para pelo menos um j
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GEPSI/CIEPQPF
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2 2
11
2
1
ˆˆn
i
ii
n
i i
i
n
iy yy y yy
Variação Total
SSt
Variação devida à Regressão
SSreg
Variação Residual
SSr
Variabilidade observada
Variabilidade explicada pelo modelo (parte estrutural do modelo de regressão)
Variabilidade não explicada pelo modelo
(parte estocástica do modelo de regressão)
= +
Regressão Linear Múltipla Inferência
Decomposição ANOVA da variabilidade (soma dos quadrados)
total (SSt), em termos da componente explicada pelo modelo de
regressão (SSreg) e da componente residual (SSr):
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Regressão Linear Múltipla Inferência
Tabela ANOVA em regressão linear múltipla:
p = # variáveis de entrada ou regressores
= # parâmetros – 1 0
1
SSreg pF
SSr N p
Fontes de Variação
(1)
Variações (Somas de
quadrados) (2)
Graus de Liberdade
(3)
Médias das Somas dos
Quadrados (4)
Estatística de Teste (F)
(5)
Regressão SSreg p MSreg MSreg / s2
Residual SSr n–p–1 s2
Total SSt N–1
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Regressão Linear Múltipla
Métricas de Qualidade do Modelo
Coeficiente de determinação (R2) Uma medida da qualidade do modelo (0≤ R2≤1)
Definição geral (modelos univariados/multivariados)
(Fracção da variabilidade total que é explicada pelo modelo)
2 1SSreg SSr
RSSt SSt
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O coeficiente R2 permite aferir sobre a qualidade do ajuste, aumentando sempre que se adiciona mais uma variável
Mesmo que uma variável não esteja relacionada com a resposta, há sempre uma pequena parte da sua variabilidade que aquela ajuda a explicar, por alinhamentos aleatórios com Y.
Estas variáveis não trazem nada de novo para o modelo em termos de previsões futuras, tendo pelo contrário uma acção prejudicial e destabilizadora.
Para aferir sobre a qualidade do modelo é pois importante penalizar a métrica de qualidade com o número de variáveis utilizado.
Regressão Linear Múltipla
Métricas de Qualidade do Modelo
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Regressão Linear Múltipla
Métricas de Qualidade do Modelo
R2 ajustado (R2adj)
Penaliza a introdução de termos adicionais no modelo
Previne “overfitting” e a utilização de regressores com pouco potencial explicativo da variabilidade da resposta
2 2
1 11 1 1
1 1adj
SSr N p NR R
SSt N N p
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Regressão Linear Múltipla Inferência
TH aos coeficientes individuais
Para analisar a significância de alguns parâmetros
em particular.
Nas condições do modelo de regressão ser válido:
Os parâmetros seguem distribuições normais;
A sua média é centrada nos valores exactos e a sua
variância é dada pelos elementos diagonais da matriz de
variâncias-covariâncias.
0 : 0
1: 0
i
i
H
H
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TH (parâmetros individuais):
0
1
: 0
: 0
j
j
H
H
Regressão Linear Múltipla Inferência
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Valor de prova
(p-value)
Probabilidade de obter um desvio maior
ou igual ao verificado, se H0 for válida!
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0 ˆi
f x
1ˆi
Amostra 1
2ˆi
Amostra 2
3ˆi
Amostra 3
0 : 0
1: 0
i
i
H
H
Teste bilateral: Pr(|ET|>ET0 |H0 verdadeira)
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Regressão Linear Univariada
Inferência em regressão linear
IC para a média e intervalo de previsão
Intervalo de previsão
Intervalo de confiança para a média
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Regressão Linear Múltipla Inferência
IC para a resposta média
Intervalo de previsão
0 0 0
1 12 2
| 2, 1 0 0 | | 2, 1 0 0ˆ ˆ ˆ ˆT T T T
Y x N p Y x Y x N pt x X X x t x X X x
1 1
2 2
0 2, 1 0 0 0 0 2, 1 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ1 1T T T T
N p N py t x X X x y y t x X X x
00 0 |ˆˆ ˆ
Y xy x
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Regressão Linear Univariada
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Regressão Linear Univariada
Inferência em regressão linear
Exemplo 1 Pretende-se determinar a influência de três parâmetros
processuais (X1, X2 e X3) numa variável de qualidade do produto (Y).
Para tal, recolheram-se dados do processo durante períodos de laboração normal, com os quais se construiu uma base de dados.
Utilize esta base de dados para estimar um modelo empírico para o processo em causa, e determine quais o(s) parâmetro(s) que mais influenciam a variável de qualidade.
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Y-Answer Time (Average) (secs)
120110100 765
50
30
10120
110
100
X1-Number of personnel
X2-Calls per hour (average)
1380
1320
1260
503010
7
6
5
138013201260
X3-Time per call (average mins)
Matrix Plot of Y-Answer Tim; X1-Number of; X2-Calls per; X3-Time per
Regressão Linear Múltipla
Gráficos
Y vs X1
Y vs X3 X1 vs X3
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Regressão Linear Múltipla
MINITAB: Stat > Regression > Regression …
Não é significativamente ≠ 0!
R-Sq subiu, mas R-Sq(adj) desceu.
O modelo é significante: pelo menos um coeficiente de uma variável é diferente de zero.
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O Problema da Colinearidade
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Nota:
Os coeficientes de regressão parciais
representam a contribuição de um predictor na
variável de saída, quando os outros se mantêm
constantes;
A magnitude e sinal dos coeficientes de
regressão parciais, depende dos predictores
incorporados no modelo (sempre que estes
apresentam correlação entre si).
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Por outro lado,…
Analisando a variância das estimativas
Simulação: Gerar aleatoriamente amostras com 10
observações
Dois níveis de correlação entre X1 e X2
Resultados para 1000 simulações
1 2-10
-5
0
5
10
15
20High correlation ( =0.95)
Estim
ate
s
Variable
1 2-10
-5
0
5
10
15
20Low correlation ( =0)
Estim
ate
s
Variable
Valores exactos dos parâmetros
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Ou seja:
Quando a correlação entre X1 e X2 é de 0.95
a variância na estimativa dos coeficientes
que afectam as variáveis X1 e X2 é cerca de
10 vezes superior àquela obtida quando não
há correlação entre X1 e X2.
1
2ˆ( ) TVar B X X
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Efeitos da colinearidade na estimação de parâmetros
Estimated planes for an High collinearity data set (a) and a Low collinearity data set (b), in the initial situation (I) and when an additional data point was added (II), marked with a circle in the 3D scatter plots. The projection of the observations and contours in the Y=0 plane are also presented.
a) b)
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Conclusões:
Quando há colinearidade nos regressores:
É difícil interpretar o modelo (face aos gráficos
disponíveis)
As estimativas dos parâmetros são mais instáveis
(maior variância)
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49
Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Nota:
A correlação entre variáveis é muito comum em
aplicações industriais:
Restrições processuais (balanços mássicos e de
energia);
Anéis de controlo, metodologias e protocolos de
actuação;
Instrumentação (instrumentação redundante,
espectrofotómetros, etc.).
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Como detectar a presença de colinearidade?
Como lidar com a sua presença?
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Correlations (AS.vs.Bendtsen)
Marked correlations are signif icant at p < ,05000
N=36 (Casew ise deletion of missing data)
Variable Ra_CD Rz_CD Rq_CD Rp_CD Rt_CD R Sm_CD R S_CD R Sk_CD R Ku_CD Rv_CD Rdq_CD Ra_MD Rz_MD Rq_MD Rp_MD Rt_MD R Sm_MD R S_MD R Sk_MD R Ku_MD Rv_MD Rdq_MD
Ra_CD
Rz_CD
Rq_CD
Rp_CD
Rt_CD
R Sm_CD
R S_CD
R Sk_CD
R Ku_CD
Rv_CD
Rdq_CD
Ra_MD
Rz_MD
Rq_MD
Rp_MD
Rt_MD
R Sm_MD
R S_MD
R Sk_MD
R Ku_MD
Rv_MD
Rdq_MD
1,00 0,99 1,00 0,94 0,96 0,89 0,89 0,46 -0,62 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,84 0,85 0,30 -0,63 0,89 0,68
0,99 1,00 0,99 0,95 0,98 0,86 0,88 0,46 -0,51 0,96 0,84 0,97 0,97 0,97 0,93 0,94 0,79 0,83 0,31 -0,53 0,90 0,73
1,00 0,99 1,00 0,94 0,97 0,89 0,89 0,46 -0,60 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,83 0,85 0,30 -0,61 0,89 0,68
0,94 0,95 0,94 1,00 0,94 0,83 0,84 0,71 -0,54 0,81 0,77 0,89 0,91 0,89 0,97 0,89 0,70 0,74 0,57 -0,51 0,75 0,69
0,96 0,98 0,97 0,94 1,00 0,88 0,91 0,48 -0,43 0,93 0,79 0,93 0,93 0,93 0,90 0,90 0,76 0,79 0,35 -0,51 0,85 0,68
0,89 0,86 0,89 0,83 0,88 1,00 0,95 0,45 -0,57 0,80 0,49 0,83 0,78 0,82 0,75 0,73 0,86 0,80 0,29 -0,61 0,71 0,36
0,89 0,88 0,89 0,84 0,91 0,95 1,00 0,38 -0,40 0,84 0,51 0,84 0,80 0,83 0,77 0,75 0,87 0,83 0,28 -0,52 0,73 0,37
0,46 0,46 0,46 0,71 0,48 0,45 0,38 1,00 -0,45 0,19 0,34 0,36 0,42 0,36 0,67 0,41 0,22 0,22 0,89 -0,31 0,13 0,37
-0,62 -0,51 -0,60 -0,54 -0,43 -0,57 -0,40 -0,45 1,00 -0,44 -0,47 -0,60 -0,54 -0,59 -0,52 -0,52 -0,58 -0,54 -0,28 0,74 -0,48 -0,35
0,94 0,96 0,94 0,81 0,93 0,80 0,84 0,19 -0,44 1,00 0,83 0,96 0,94 0,96 0,80 0,91 0,79 0,84 0,06 -0,50 0,95 0,69
0,81 0,84 0,81 0,77 0,79 0,49 0,51 0,34 -0,47 0,83 1,00 0,84 0,88 0,84 0,79 0,87 0,47 0,58 0,18 -0,40 0,85 0,93
0,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,83 0,84 0,36 -0,60 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,89 0,95 0,84 0,88 0,22 -0,60 0,94 0,71
0,96 0,97 0,96 0,91 0,93 0,78 0,80 0,42 -0,54 0,94 0,88 0,98 1,00 0,98 0,93 0,99 0,75 0,84 0,28 -0,49 0,94 0,79
0,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,82 0,83 0,36 -0,59 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,90 0,96 0,83 0,87 0,22 -0,58 0,95 0,72
0,91 0,93 0,91 0,97 0,90 0,75 0,77 0,67 -0,52 0,80 0,79 0,89 0,93 0,90 1,00 0,92 0,67 0,75 0,59 -0,48 0,76 0,73
0,92 0,94 0,92 0,89 0,90 0,73 0,75 0,41 -0,52 0,91 0,87 0,95 0,99 0,96 0,92 1,00 0,70 0,84 0,30 -0,43 0,93 0,80
0,84 0,79 0,83 0,70 0,76 0,86 0,87 0,22 -0,58 0,79 0,47 0,84 0,75 0,83 0,67 0,70 1,00 0,90 0,12 -0,63 0,73 0,24
0,85 0,83 0,85 0,74 0,79 0,80 0,83 0,22 -0,54 0,84 0,58 0,88 0,84 0,87 0,75 0,84 0,90 1,00 0,17 -0,50 0,83 0,37
0,30 0,31 0,30 0,57 0,35 0,29 0,28 0,89 -0,28 0,06 0,18 0,22 0,28 0,22 0,59 0,30 0,12 0,17 1,00 -0,29 -0,03 0,21
-0,63 -0,53 -0,61 -0,51 -0,51 -0,61 -0,52 -0,31 0,74 -0,50 -0,40 -0,60 -0,49 -0,58 -0,48 -0,43 -0,63 -0,50 -0,29 1,00 -0,44 -0,27
0,89 0,90 0,89 0,75 0,85 0,71 0,73 0,13 -0,48 0,95 0,85 0,94 0,94 0,95 0,76 0,93 0,73 0,83 -0,03 -0,44 1,00 0,75
0,68 0,73 0,68 0,69 0,68 0,36 0,37 0,37 -0,35 0,69 0,93 0,71 0,79 0,72 0,73 0,80 0,24 0,37 0,21 -0,27 0,75 1,00
Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Detecção da presença de colinearidade
Matrizes de correlação e de gráficos de dispersão Matrix of scatter plots
Ra_CD
Rz_CD
Rq_CD
Rp_CD
Rt_CD
R Sm_CD
R S_CD
GEPSI/CIEPQPF
DEQ-FCTUC
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52
Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Detecção da presença de colinearidade
“Variance Inflation Factor” (VIF)
onde Rj2 é o R2 para a regressão de Xj contra
todos os outros p – 1 regressores.
Nota:
Cjj é o elemento jj da diagonal de (XTX)-1
2
1ˆ1
j
j
VIFR
ˆ 1 varj jj jVIF C n X
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Análise do VIF:
Valores de referência:
VIF>10 → colinearidade é um problema;
VIF<5 → colinearidade não é um problema;
5<VIF<10 → “zona cinzenta” (colinearidade
pode ser um problema).
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54
Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Como lidar com a sua presença?
Métodos de selecção de variáveis
Métodos de projecção (selecção de dimensões)
Métodos de encolhimento
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55
Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Selecção de variáveis
Princípio:
Se há redundância entre os X’s, seleccionar aqueles
que mais explicam a variabilidade apresentada pela
resposta (Y), e retirar todas aquelas variáveis que não
acrescentem capacidade explicativa.
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Regressão Linear Múltipla Colinearidade
Metodologias mais comuns de selecção de
variáveis:
Forward addition
Backward elimination
Forward stepwise selection
“Best subset” regression
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Regressão Linear Múltipla Inferência
Nos métodos de selecção de variáveis analisa-se a significância estatística associada à introdução de grupos de variáveis adicionais:
“Partial F-test” (ou “Extra Sum of Squares method”)
Até agora só a analisámos a situação estática.
Temos um conjunto de variáveis de entrada com as quais queremos construir um modelo para explicar a resposta.
E se quisermos incluir mais variáveis? – Situação dinâmica!
Pretendemos agora saber se, introduzindo um conjunto extra de variáveis (# X’s ≥ 1), a capacidade de explicação da variabilidade de Y melhora significativamente.
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Regressão Linear Múltipla Inferência
“Partial F-test”
Vamos considerar que dispomos um modelo com p variáveis e pretendemos saber se um subconjunto destas variáveis (r) contribui, como um todo, significativamente para o modelo.
Ou seja, se particionarmos todos os coeficientes do modelo num conjunto com r variáveis (β1 ) e noutro com as restantes (β2), pretendemos testar as hipóteses:
H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
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59
Regressão Linear Múltipla Inferência
Metodologia:
Calcular SSreg para o modelo completo:
(com β1 e β2) → SSreg(β)
Para avaliar a contribuição de β1 para a regressão, estimar
um modelo assumindo válida H0: β1 = 0 (modelo reduzido):
Y=X2 β2 +ε → SSreg(β2)
Então, SSreg devido a β1, assumindo que β2 já está no
modelo é:
SSreg(β1 |β2) = SSreg(β) - SSreg(β2)
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Regressão Linear Múltipla Inferência
ET:
Rejeitar se:
(teste unilateral à direita)
1 2
0 2
| /
ˆ
SSreg rF
β β
Estimado com o modelo completo.
0 , 1,F F r N p
Variabilidade adicional explicada pelo
conjunto de variáveis em estudo
Variabilidade residual
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Forward addition
Select the predictor having the highest correlation with y
Is variable significant?
Are other predictors
available?
No prediction
possible with MLR Validate model
No
Yes
Yes
Select additional
predictor
No
Examine final
model
Is selected predictor
significant? Yes
(Enter variable)
No
(Fail to enter)
j inf f j inf f
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
NOTA:
As variáveis são testadas sequencialmente, de acordo com a magnitude da estatística do teste F-parcial (partial F-test);
Se esta estatística for superior a “F to enter” (fin), a variável passa a integrar o modelo;
Caso contrário, o processo pára.
Variáveis seleccionadas não podem ser depois removidas.
Não explora o efeito que a adição de uma variável pode ter naquelas já adicionadas.
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Backward
elimination
Select all variables and include them in the model
Is its contribution
significant ?
Validate model
No (Remove variable)
Nota: Variáveis eliminadas, não podem voltar a integrar o modelo numa fase posterior.
Select the variable that contributes the
least to explaining the Y variability
(when all others are in the model)
Yes (Do not remove variable )
j outf fj outf f
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Forward stepwise selection
j inf f
Select the predictor having the highest correlation with y
Is variable significant?
Are other predictors
available?
No prediction
possible with MLR
Is variance explained
by each variable in the
model significant?
Validate model
No
Yes
Yes
Yes
Select additional
predictor
No
Examine final
model
No (Remove variables)
Is selected predictor
significant?
(Enter variable) Yes No (Fail to enter)
Nota: Variáveis selecionadas podem vir a ser removidas posteriormente, caso se tornem redundantes quando outras forem adicionadas.
normalmente in out in outf f f f
j inf f
j outf f
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
“Best subset” regression:
Para cada combinação distinta de k variáveis (k=kmin : kmax):
Estimar o correspondente modelo MLR;
Calcular o valor do critério de “qualidade de ajuste”
seleccionado;
Ordenar as combinações de variáveis de acordo com o valor
do critério a que elas conduziram;
Guardar os resultados para as melhores N combinações;
Apresentar os resultados para as melhores N combinações
obtidas em cada subconjunto de dimensão k considerado
(k=kmin : kmax).
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Critérios de qualidade de ajuste:
R2
R2adj
Mallows-Cp
Uma medida do erro quadrático total do modelo de regressão
Se o modelo postulado for correcto, Cp dever ser próximo de k+1
(número de parâmetros)
Logo, escolher modelo para o qual o Cp é baixo e próximo de k+1.
2
2 1ˆ
p
SSr kC n k
Estimado com o modelo completo.
Estimado com o modelo em estudo (k variáveis).
Gráfico Cp vs p
Também penaliza a adição de variáveis sem poder explicativo
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Critérios de qualidade de ajuste (cont.):
Mallows-Cp
É conveniente traçar um gráfico Cp vs. (k+1):
procurar qual o modelo com Cp mais baixo que está mais
próximo da recta Cp=k+1.
PRESS
“Leverage” da observação i
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Statistica
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Metodologia Geral de RLM
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Regressão Linear Múltipla
Passo 1 Estudar estatísticas
e gráficos
Passo 2 Formular o modelo
Passo 3 Estimar o modelo
Passo
4 Validar
o
modelo
Passo 5 Apresentar resultados.
Usar modelo.
Bom ajuste
OK!
Ajuste não satisfatório
Metodologia em RL
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Regressão Linear Múltipla
1. Familiarização com os dados Fazer uso extensivo de todas as ferramentas de estatística
descritiva que nos ajudem a familiarizar com os dados do nosso problema, por exemplo:
Examinar médias, desvios padrão, alguns percentis, mínimos,
máximos, para todas as variáveis de entrada e de saída;
Examinar a matriz de correlação (existe colinearidade entre os x’s? qual/quais os x’s mais correlacionados linearmente com o y?);
Construir gráficos de dispersão para todas as combinações de x’s e entre cada x e o y;
Se os dados foram recolhidos ao longo do tempo, analisar, individualmente, o gráfico temporal para cada variável;
Detectar e examinar outliers.
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Regressão Linear Múltipla
2. Formulação do modelo
Com base no conhecimento existente a priori e/ou com base nos
gráficos construídos em 1 para as relações entre y e os vários x’s,
propor um modelo de regressão que relacione as variáveis de entrada
com a variável de saída;
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73
Regressão Linear Múltipla
3. Estimar os parâmetros do modelo Proceder ao ajuste do modelo aos dados recolhidos. Como
resultado, obtém-se as estimativas para os parâmetros do modelo definido em 2., bem como outras grandezas relacionadas (por exemplo, parâmetros de qualidade, valores de prova para diversos testes estatísticos). Deve-se então:
Analisar os resultados em busca de variáveis eventualmente mais
importantes na explicação da variabilidade de y;
Avaliar a qualidade do ajuste;
Verificar se existe colinearidade entre as variáveis (calcular VIF para cada variável existente no modelo), e se esta pode constituir um problema.
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Regressão Linear Múltipla
4. Validação do modelo estimado
Construir os seguintes gráficos envolvendo os resíduos, para
verificar se algum/ns dos pressupostos subjacentes aos modelos
de regressão linear está/ão a ser violado/s:
Resíduos vs. valores previstos (para verificar, por exemplo, se a
variância dos resíduos não depende do nível de y);
Resíduos vs. cada uma das variáveis de entrada (verificar que
não existe estrutura por explicar devido, por exemplo, a não
considerar termos não-lineares envolvendo as variáveis de
entrada);
Resíduos vs. tempo, ou sequência de observações (verificar a
independência dos resíduos ao longo das observações);
Gráficos de probabilidade normal para resíduos (verificar o
pressuposto de normalidade dos resíduos).
(Padrões não aleatórios são indicativo de um modelo não
adequado)
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Regressão Linear Múltipla
5. Apresentar os resultados e usar o modelo
Nesta fase sintetizam-se os resultados para o modelo
desenvolvido (desde que este seja satisfatório). Os dados
utilizados e pressupostos subjacentes devem ser também
indicados. Usar então o modelo e criar uma metodologia que
permita averiguar a sua validade ao longo do tempo, se o seu
uso não se restringir à situação presente.
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Exemplo 2
A rugosidade do papel é normalmente inferida indirectamente por um aparelho denominado “Bendtsen”.
Este mede a quantidade de ar que passa entre um anel rígido e a superfície do papel durante um determinado intervalo de tempo, a qual está relacionada de alguma forma com a rugosidade do papel.
Pretende-se estudar quais os factores fundamentais ao nível da rugosidade do papel, que influenciam estas medições.
Para tal, recolheram-se perfis rigorosos da superfície do papel usando técnicas de perfilometria, em duas direcções (MD e CD), a partir dos quais foram calculados vários parâmetros geométricos com significados bem precisos.
Que parâmetros fundamentais mais influenciam/explicam os resultados produzidos pelo Bendtsen?
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Parâmetros dos perfis (X’s)
Ra Arithmetical mean deviation of profile
Rz Maximum height of profile
Rq RMS deviation of profile
Rp Maximum profile peak height
Rt Total height of profile
R Sm Mean width of profile elements
R Sk Skewness of profile
R Ku Kurtosis of profile
Rv Maximum profile valley depth
Rdq RMS slope of profile
Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
CD
MD
Bendtsen
Perfilómetro
X’s – média dos parâmetros calculados para 3 perfis na direcção MD, CD (11+11=22) Y – média de 6 medições com o Bendtsen, nas mesmas posições
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Detecção de colinearidade
Correlations (AS.vs.Bendtsen)
Marked correlations are signif icant at p < ,05000
N=36 (Casew ise deletion of missing data)
Variable Ra_CD Rz_CD Rq_CD Rp_CD Rt_CD R Sm_CD R S_CD R Sk_CD R Ku_CD Rv_CD Rdq_CD Ra_MD Rz_MD Rq_MD Rp_MD Rt_MD R Sm_MD R S_MD R Sk_MD R Ku_MD Rv_MD Rdq_MD
Ra_CD
Rz_CD
Rq_CD
Rp_CD
Rt_CD
R Sm_CD
R S_CD
R Sk_CD
R Ku_CD
Rv_CD
Rdq_CD
Ra_MD
Rz_MD
Rq_MD
Rp_MD
Rt_MD
R Sm_MD
R S_MD
R Sk_MD
R Ku_MD
Rv_MD
Rdq_MD
1,00 0,99 1,00 0,94 0,96 0,89 0,89 0,46 -0,62 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,84 0,85 0,30 -0,63 0,89 0,68
0,99 1,00 0,99 0,95 0,98 0,86 0,88 0,46 -0,51 0,96 0,84 0,97 0,97 0,97 0,93 0,94 0,79 0,83 0,31 -0,53 0,90 0,73
1,00 0,99 1,00 0,94 0,97 0,89 0,89 0,46 -0,60 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,83 0,85 0,30 -0,61 0,89 0,68
0,94 0,95 0,94 1,00 0,94 0,83 0,84 0,71 -0,54 0,81 0,77 0,89 0,91 0,89 0,97 0,89 0,70 0,74 0,57 -0,51 0,75 0,69
0,96 0,98 0,97 0,94 1,00 0,88 0,91 0,48 -0,43 0,93 0,79 0,93 0,93 0,93 0,90 0,90 0,76 0,79 0,35 -0,51 0,85 0,68
0,89 0,86 0,89 0,83 0,88 1,00 0,95 0,45 -0,57 0,80 0,49 0,83 0,78 0,82 0,75 0,73 0,86 0,80 0,29 -0,61 0,71 0,36
0,89 0,88 0,89 0,84 0,91 0,95 1,00 0,38 -0,40 0,84 0,51 0,84 0,80 0,83 0,77 0,75 0,87 0,83 0,28 -0,52 0,73 0,37
0,46 0,46 0,46 0,71 0,48 0,45 0,38 1,00 -0,45 0,19 0,34 0,36 0,42 0,36 0,67 0,41 0,22 0,22 0,89 -0,31 0,13 0,37
-0,62 -0,51 -0,60 -0,54 -0,43 -0,57 -0,40 -0,45 1,00 -0,44 -0,47 -0,60 -0,54 -0,59 -0,52 -0,52 -0,58 -0,54 -0,28 0,74 -0,48 -0,35
0,94 0,96 0,94 0,81 0,93 0,80 0,84 0,19 -0,44 1,00 0,83 0,96 0,94 0,96 0,80 0,91 0,79 0,84 0,06 -0,50 0,95 0,69
0,81 0,84 0,81 0,77 0,79 0,49 0,51 0,34 -0,47 0,83 1,00 0,84 0,88 0,84 0,79 0,87 0,47 0,58 0,18 -0,40 0,85 0,93
0,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,83 0,84 0,36 -0,60 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,89 0,95 0,84 0,88 0,22 -0,60 0,94 0,71
0,96 0,97 0,96 0,91 0,93 0,78 0,80 0,42 -0,54 0,94 0,88 0,98 1,00 0,98 0,93 0,99 0,75 0,84 0,28 -0,49 0,94 0,79
0,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,82 0,83 0,36 -0,59 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,90 0,96 0,83 0,87 0,22 -0,58 0,95 0,72
0,91 0,93 0,91 0,97 0,90 0,75 0,77 0,67 -0,52 0,80 0,79 0,89 0,93 0,90 1,00 0,92 0,67 0,75 0,59 -0,48 0,76 0,73
0,92 0,94 0,92 0,89 0,90 0,73 0,75 0,41 -0,52 0,91 0,87 0,95 0,99 0,96 0,92 1,00 0,70 0,84 0,30 -0,43 0,93 0,80
0,84 0,79 0,83 0,70 0,76 0,86 0,87 0,22 -0,58 0,79 0,47 0,84 0,75 0,83 0,67 0,70 1,00 0,90 0,12 -0,63 0,73 0,24
0,85 0,83 0,85 0,74 0,79 0,80 0,83 0,22 -0,54 0,84 0,58 0,88 0,84 0,87 0,75 0,84 0,90 1,00 0,17 -0,50 0,83 0,37
0,30 0,31 0,30 0,57 0,35 0,29 0,28 0,89 -0,28 0,06 0,18 0,22 0,28 0,22 0,59 0,30 0,12 0,17 1,00 -0,29 -0,03 0,21
-0,63 -0,53 -0,61 -0,51 -0,51 -0,61 -0,52 -0,31 0,74 -0,50 -0,40 -0,60 -0,49 -0,58 -0,48 -0,43 -0,63 -0,50 -0,29 1,00 -0,44 -0,27
0,89 0,90 0,89 0,75 0,85 0,71 0,73 0,13 -0,48 0,95 0,85 0,94 0,94 0,95 0,76 0,93 0,73 0,83 -0,03 -0,44 1,00 0,75
0,68 0,73 0,68 0,69 0,68 0,36 0,37 0,37 -0,35 0,69 0,93 0,71 0,79 0,72 0,73 0,80 0,24 0,37 0,21 -0,27 0,75 1,00
Ra_CD
Rz_CD
Rq_CD
Rp_CD
Rt_CD
R Sm_CD
R S_CD
R Sk_CD
R Ku_CD
Rv_CD
Rdq_CD
Variable VIF
Ra_CD 13,01
Rz_CD 10,98
Rq_CD 12,89
Rp_CD 18,42
Rt_CD 7,07
R Sm_CD 4,74
R S_CD 5,54
R Sk_CD 2,21
R Ku_CD 1,59
Rv_CD 4,26
Rdq_CD 2,74
Ra_MD 10,47
Rz_MD 9,55
Rq_MD 10,14
Rt_MD 7,33
R S_MD 6,98
R Sk_MD 1,92
R Ku_MD 1,68
Rv_MD 3,01
Rdq_MD 2,82
GEPSI/CIEPQPF
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80
Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Resultados: Stepwise Regression MINITAB: Stat > Regression > Stepwise …
Step 1 Step 2
Resultados Finais
GEPSI/CIEPQPF
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Sumário dos resultados Forward Stepwise Backward Stepwise Forward addition Backward removal
Intercept -361,65 549,03 -361,65 549,03
Ra_CD 210,51 210,51
Rz_CD
Rq_CD
Rp_CD 41,22 41,22
Rt_CD
R Sm_CD -1,41 -1,41
R S_CD -4,19 -4,19
R Sk_CD -380,47 -380,47
R Ku_CD
Rv_CD
Rdq_CD -4752,87 -4752,87
Ra_MD
Rz_MD
Rq_MD
Rp_MD 37,86 37,86
Rt_MD
R Sm_MD 0,45 0,45
R S_MD
R Sk_MD 355,50 355,50
R Ku_MD
Rv_MD 18,06 18,06
Rdq_MD
R2 0,94 0,98 0,94 0,98
R2
adj 0,94 0,97 0,94 0,97
Step 1
Step 2
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Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Ra Arithmetical mean deviation of profile
Rz Maximum height of profile
Rq RMS deviation of profile
Rp Maximum profile peak height
Rt Total height of profile
R Sm Mean width of profile elements
R Sk Skewness of profile
R Ku Kurtosis of profile
Rv Maximum profile valley depth
Rdq RMS slope of profile
Highest peak (in sampling length)
Average “wavelength” of irregularities
Results: interpretation
GEPSI/CIEPQPF
DEQ-FCTUC
83
Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Resultados: “Best Subset” Regression MINITAB: Stat > Regression > Best Subsets …
Statistica
Adjusted R square and standardized regression coefficients for each submodel
Stepwise
Para estudar modelos com # max. 10 variáveis, seria necessário estimar 4 194 302 modelos …
GEPSI/CIEPQPF
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84
Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Resultados: “Best Subset” Regression
Matlab
1 2 3 40.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
Subsets
R2 adj
Best subset regression
Quantas variáveis usar no modelo?
GEPSI/CIEPQPF
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85
Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis
Notas: A ordem de entrada de variáveis não reflecte necessariamente a sua
importância relativa;
(Forward) stepwise é um método eficiente de selecção de variáveis, recomendando-se o seu uso. Os resultados obtidos devem ser comparados com aqueles provenientes da aplicação de outros métodos (e.g. best subset, backward stepwise) para ganhar uma maior familiaridade com as características dos dados em estudo;
(Backward) stepwise é um método útil, em particular quando se pretende assegurar que nada de importante é perdido durante a selecção de variáveis, mas o facto de começar com todas as variáveis pode conduzir a problemas de cálculo e a estimativas não muito boas, se existir colinearidade nos regressores;
Procedimentos “Stepwise” são em geral preferíveis relativamente àqueles que não permitem a entrada e remoção de regressores.
“Best subset” tende a fornecer modelos com muitas variáveis e é computacionalmente mais exigente. Deve-se escolher adequadamente a gama de variáveis a explorar, caso contrário pode-se não encontrar o melhor modelo. Deve-se também tentar vários critérios de qualidade, em particular R2
adj e Mallows Cp .
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Regressão Linear Univariada
86
Diagnóstico de “Outliers” e
Observações Influentes
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Regressão Linear Univariada
87
Regressão Linear
Para além de validar o modelo é importante
também diagnosticar e analisar:
“Outliers”
Observações (demasiado) influentes
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Regressão Linear Univariada
88
Regressão Linear
“Outliers” Observações que fogem aos padrões normais da dispersão de:
Valores X’s
Previsões
E.g. (previsão): resíduo com um valor absoluto bastante
superior aos demais ( >3-4 desvios padrões do seu valor
absoluto médio);
Só devem ser rejeitados quando forem conhecidas as suas
causas, e se existirem boas razões para o fazer;
Caso contrário a decisão de rejeição dever ser bem pensada.
GEPSI/CIEPQPF
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Regressão Linear Univariada
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Regressão Linear
Observações influentes
Observações com muito peso na estimativa do
modelo, i.e. que exercem uma influência anormal
no seu ajuste aos dados.
GEPSI/CIEPQPF
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Regressão Linear Univariada
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Regressão Linear
Observation Order
Re
sid
ua
l
80757065605550454035302520151051
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
-7,5
Residuals Versus the Order of the Data(response is Y-Answer Time (Average) (secs))
Resíduos normalizados = Resíduo / SE(Resíduos)
(>2 → Considerado elevado)
“Outliers”: Previsões
GEPSI/CIEPQPF
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Regressão Linear Univariada
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Regressão Linear
Tipos de resíduos Resíduos
Resíduos normalizados Permite detectar facilmente resíduos elevados
Definição: Resíduo / SE(resíduos)
Subestimam a magnitude dos resíduos
“Internally Studentized residuals”
“Externally / Deleted studentized residuals” Definição: semelhante ao anterior, mas com ri e σ2 estimados
sem a observação i: σ2 (i). Desta forma, evita-se que a observação em causa possa interferir
negativamente no modelo, caso seja desviante e/ou influente.
“Outliers”: Previsões
2
1
ˆ 1
- Elemento i da diagonal de
( )
("Hat" matrix)
del ii
ii
ii
T T
rr
h
h
X X X X
H
H
Var(ri)
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Regressão Linear Univariada
92
Regressão Linear
“Leverages” (hii – “hat value”) Permitem detectar observações cujos valores de X se
afastem do “normal”.
Medida da distância entre cada valor de x e a média de todos os valores de x: Observações afastadas da média de X: “High Leverage Points”
Estes resíduos possuem menor variância, pois têm uma maior influência na estimativa da recta de regressão (ver Var(ri))
Observações próximas da média de X: “Low Leverage Points”
Observações muito afastadas podem exercer uma grande influência na estimativa do modelo regressão;
0<L≤1: L é considerado elevado se > 2-3 x (p+1)/n, onde p é um número de regressores (X’s) e n o número de observações.
“Outliers”: Valores de X
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Regressão Linear Univariada
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Regressão Linear Distância de “Cook” (Di)
Medida combinada do impacto (influência) de uma observação nas estimativas do modelo.
Congrega informação sobre “leverages” e resíduos normalizados → i.e., combina:
Valores anormais nos X’s
Valores anormais em Y
Corresponde a uma medida da distância entre os valores ajustados integrando a observação em causa e deixando-a de lado.
Di apresenta valores elevados quando: Resíduo elevado e “leverage” moderada
Resíduo moderado e “leverage” elevada
Resíduo e “leverage” elevados
Comparar e verificar se existem Di’s muito elevados.
Analisar com maior detalhe: Belsey: Di >2 (p+1)/n (p = # variáveis = # parâmetros -1)
Fox: Di>4/(n-p)
Observações influentes
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Introdução:
http://www.jmp.com/support/help/Using_JMP.shtml
http://www.jmp.com/en_nl/learning-library.html
Videos
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Tutorials
https://community.jmp.com/docs/DOC-6754
Engenharia de Processos e Sistemas
95
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http://www.jmp.com/support/help/
Fitting Linear Models:
http://www.jmp.com/support/help/Fitting_Line
ar_Models.shtml#293296
Feature Index:
http://www.jmp.com/en_us/software/feature-
index.html
Software: JMP