Engineering Math 2 (12026003)

Lecture 5 (Series and Residues)

Dr. Santhad Chuwongin

Outline

19.1 ล ำดบและอนกรม (Sequences and Series)

19.2 อนกรมเทยเลอร (Taylor Series)

19.3 อนกรมลอเรนต(Laurent Series)

19.4 ซโรและโพล (Zeros and Poles)

19.5 สวนตกคำงและทฤษฎสวนตกคำง(Residues and Residue Theorem)

19.6 กำรประมำณคำอนทกรลจรง (Evaluation of Real Integrals)

ล ำดบและอนกรม (Sequences and Series)

• ล ำดบของฟงกชน 𝑧𝑛 ซงมโดเมนเปนเซทของจ ำนวนเตมบวก

ถำ lim𝑛→∞𝑧𝑛 = 𝐿 ดงนน ล ำดบ

𝑧𝑛 จะลเขำ(Convergent)

𝑧𝑛 จะลเขำ ถำส ำหรบแตละคำ ทเปนบวก สำมำรถหำคำ 𝑁 ได ท ำให

𝑧𝑛 − 𝐿 < 𝜀 เมอ 𝑛 > 𝑁

Figure 19.1.1: If {zn} converges to L, all but a finite number of terms are in any -neighborhood of L

ล ำดบและอนกรม (Sequences and Series)

• ตวอยำง: ล ำดบลเขำ

–ล ำดบ 𝑖𝑛+1

𝑛 ลเขำเพรำะ lim

𝑛→∞

𝑖𝑛+1

𝑛= 0

ดงจะเหนไดจำก −1,− 𝑖2,1

3,𝑖

4, −1

5 เมอ 𝑛 = 1,2,3,4,5

– ล ำดบ 𝑧𝑛 จะลเขำสจ ำนวนเชงซอน 𝐿 ถำหรอเพยงถำ

Re(𝑧𝑛) ลเขำส Re(𝐿) และ

Im(𝑧𝑛) ลเขำส Im(𝐿)

ล ำดบและอนกรม (Sequences and Series)

• เงอนไขส ำหรบกำรลออก (Divergence) และลเขำ (Convergence)

–ถำ 𝑧𝑘∞𝑘=1 ลเขำ, ดงนน lim

𝑛→∞𝑧𝑛 = 0

–ถำ lim𝑛→∞𝑧𝑛 ≠ 0, ดงนนอนกรม 𝑧𝑘

∞𝑘=1 ลออก

– อนกรมอนนต (Infinite series) 𝑧𝑘∞𝑘=1 ถกเรยกวำลเขำแบบ

สมบรณ (absolutely convergent) 𝑧𝑘∞𝑘=1 ลเขำ

• กำรลเขำแบบสมบรณบอกเปนนยวำ “ลเขำ”

ล ำดบและอนกรม (Sequences and Series)

• เวอรชนเชงซอนของกำรทดสอบอตรำสวนและรำกสำมำรถน ำไปประยกตใชกบอนกรมก ำลง (power series)

ล ำดบและอนกรม (Sequences and Series)

• เวอรชนเชงซอนของกำรทดสอบอตรำสวนและรำกสำมำรถน ำไปประยกตใชกบอนกรมก ำลง (power series)

• อนกรมก ำลง อยในรปดงน

𝑎𝑘(𝑧 − 𝑧0)𝑘

∞

𝑘=0

= 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 − 𝑧0 + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2+⋯

อนกรมเทยเลอร (Taylor Series)

• คณสมบตของอนกรมก ำลง (Properties of a power series)

– มนแทนฟงกชนตอเนอง 𝑓 ภำยในวงกลมของกำรลเขำ 𝑧 − 𝑧0 = 𝑅

โดยท 𝑅 ≠ 0

– มนถกรวมเทอมตอเทอมภำยในวงกลมของกำรลเขำส ำหรบทกๆคอนทวร 𝐶 ทงหมดภำยในวงกลม

– มนถกอนพนธเทอมตอเทอม ภำยในวงกลมของกำรลเขำ

– มนแทนฟงกชนวเครำะหภำยในวงกลมของกำรลเขำ

อนกรมเทยเลอร (Taylor Series)

• ถำ 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะหภำยในโดเมน 𝐷 และ 𝑧0 เปน จดใน 𝐷,𝑓 จะมอนกรมเทยเลอร ดงน

𝑓 𝑧 = 𝑓(𝑘) 𝑧0𝑘!

∞

𝑘=0

𝑧 − 𝑧0𝑘

ใชไดส ำหรบวงกลมใหญสด 𝐶 ดวยจดศนยกลำง และรศม R ทงหมดภำยใน 𝐶

• อนกรมเทยเลอร ดวยจดศนยกลำงคอ อนกรมแมคลอรน (Maclaurin series)

Figure 19.2.1: Circular contour C used in proof of Theorem 19.2.4

อนกรมลอเรนต(Laurent Series)

• ถำ 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะหภำยในโดเมนรปวงแหวน 𝐷 ซงถกก ำหนดโดย 𝑟 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅,ดงนน 𝑓 มอนกรมลอเรนต ดงน

– ใชไดส ำหรบ 𝑓 𝑧 = 𝑎𝑘∞𝑘=−∞ 𝑧 − 𝑧0

𝑘

– 𝑧0 อยภำยใน 𝐶, ซงทงหมดอยใน 𝐷

– คำสมประสทธ ถกเขยนไดดงน

𝑎𝑘 =1

2𝜋𝑖 𝑓 𝑠

𝑠 − 𝑧0𝑘+1𝑑𝑠

𝐶

𝑘 = 0,±1,±2,…

Figure 19.3.1: Contour in

Theorem 19.3.1

ซโรและโพล (Zeros and Poles)

𝑓 𝑧 = 𝑎𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑧 − 𝑧0𝑘 = 𝑎−𝑘

∞

𝑘=1

𝑧 − 𝑧0−𝑘 + 𝑎𝑘

∞

𝑘=0

𝑧 − 𝑧0𝑘

• คออนกรมลอเรนตเปนตวแทนส ำหรบดสกเปดแบบมร

– สวนประกอบหลก คอเทอมทมคำก ำลงตดลบของ 𝑧 − 𝑧0

– ภำวะเอกฐำนขจดได (removable singularity) มสวนประกอบหลกเปนซโร

– โพลมสวนประกอบหลก เปนจ ำนวนจ ำกดทไมใชเทอมทเปนศนย

– ภำวะเอกฐำนหลก (essential singularity) มสวนประกอบหลกเปนเทอมทเไมใชศนยจ ำนวนอนนต

ซโรและโพล (Zeros and Poles)

• อนกรมลอเรนตส ำหรบ 𝑓 เมอ 𝑧 = 𝑧0 เปนภำวะเอกฐำนทเปนเอกเทศ (isolated singularity) ถกเขยนไดโดย

ซโรและโพล (Zeros and Poles)

• 𝑧0 คอซโรของฟงกชน 𝑓 ถำ 𝑓(𝑧0) = 0

• ฟงกชนวเครำะห 𝑓 มซโรล ำดบ 𝑛 ท z = 𝑧0 ถำ

𝑓(𝑧0) = 0, 𝑓′(𝑧0) = 0, 𝑓

′′(𝑧0) = 0,… , 𝑓(𝑛−1)(𝑧0) = 0 แต

𝑓(𝑛)(𝑧0) ≠ 0

• ส ำหรบฟงกชน 𝑓 และ 𝑔 ทงคเปนฟงกชนวเครำะหท z = 𝑧0, 𝑓 ซโรล ำดบ 𝑛

ท z = 𝑧0 และ 𝑔(𝑧0) ≠ 0 ฟงกชน 𝐹 𝑧 =𝑔(𝒛)

𝑓(𝒛) มโพลล ำดบ 𝑛 ท

z = 𝑧0

– คณสมบตนสำมำรถหำโพลโดยวธกำรตรวจสอบ

สวนตกคำงและทฤษฎสวนตกคำง (Residues and Residue Theorem)

• คำสมประสทธ 𝑎−1 ในอนกรมลอเรนตถกเรยกวำ สวนตกคำง (residue) ของ 𝑓 ทภำวะเอกฐำนทเปนเอกเทศ 𝑎0

𝑎−1 = 𝑅𝑒𝑠(𝑓 𝑧 , 𝑧0)

– ทโพลแบบงำย, Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = lim

𝑧→𝑧0(𝑧 − 𝑧0) 𝑓 𝑧

– ทโพลล ำดบ 𝑛,

Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 =1

(𝑛 − 1)!lim𝑧→𝑧0

𝑑𝑛−1(𝑧 − 𝑧0)𝑛𝑓 𝑧

𝑑𝑧𝑛−1

สวนตกคำงและทฤษฎสวนตกคำง (Residues and Residue Theorem)

• ในบำงกรณ, เรำสำมำรถประเมนคำอนทกรลเชงซอนโดยกำรรวมสวนตกคำงทภำวะเอกฐำนทเปนเอกเทศของ 𝑓 ภำยในคอนทวรปด 𝐶

𝑓 𝑧 𝑑𝑧

𝐶

= 2𝜋𝑖 Res (𝑓 𝑧 , 𝑧𝑘)

กำรประมำณคำอนทกรลจรง (Evaluation of Real Integrals)

• พฤตกรรมของอนทกรล โดยท 𝑓 𝑧 =𝑃(𝑧)

𝑄(𝑧), ดกรของ 𝑃(𝑧) คอ 𝑛 และ 𝐶𝑅 คอ คอนทวรครง

วงกลม 𝑧 = 𝑅𝑒𝑖𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

– ส ำหรบดกรของ 𝑄(𝑧) ของ 𝑚 ≥ 𝑛 + 2 และ 𝑅 ⟶ ∞

𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶

⟶ 0

– ส ำหรบดกรของ 𝑄(𝑧) ของ 𝑚 ≥ 𝑛 + 1 และ 𝑅 ⟶ ∞

(𝑃(𝑧)

𝑄(𝑧))𝑒𝑖𝛼𝑧𝑑𝑧

𝐶

⟶ 0

ส ำหรบ 𝑓 ทมโพลแบบงำย z = 𝑐 อยบนแกนจรงของ 𝐶𝑅 ถกก ำหนดโดย 𝑧 = 𝑐 + 𝑟𝑒𝑖𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

lim𝑟→0 𝑓(𝑧)𝐶𝑅

𝑑𝑧 = 𝜋𝑖 𝑅𝑒𝑠(𝑓 𝑧 , 𝑐)