engranajes de novoluta, analisis por elementos finitos”
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Departamento de Ingeniería M ecánica
Proyecto de grado
“CARACTERIZACION ENGRANAJES DE NOVOLUTA, ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS”
Presentado por: Juan Diego Pardo García
Aspirante a grado de pregrado en Ingeniería M ecánica.
Presentado a:
Alejandro Marañon León, Msc, PhD. Profesor Asociado
Departamento Ingeniería M ecánica Universidad de los Andes
Bogotá D.C., Colombia Diciembre 09 de 2008
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Contenidos 1. HISTORIA Y MOTIVACIONES ........................................................................................... 2
1.1 Engranajes de novoluta: ....................................................................................................... 2
1.2 Semejanzas y diferenci as de uno frente al otro. ........................................................................ 4
2. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 4
3. OBJETIVOS....................................................................................................................... 4
3.1 Objetivo general: ................................................................................................................ 4
3.2 Objetivos especí ficos:.......................................................................................................... 5
4. METODOLOGIA................................................................................................................ 5
5. PALABRAS IMPORTANTES............................................................................................... 6
6. FENOMENOS A ANALIZAR .............................................................................................. 6
6.1 Espesor máximo útil en un cantiléver vs altura de aplicación de carga ..........................................10
6.2 Distribución de la carga en un cantiléver cargado a lo largo de una línea perpendicul ar a la raíz ........11
6.3 Distribución de la carga en un cantiléver cargado a lo largo de una línea perpendicul ar a la raíz cuando el radio es muy pequeño. ..........................................................................................................11 6.4 Viga alta y gruesa, con carga aplicada a baja altura...................................................................12
7. PROCEDIMIENTO ............................................................................................................13 7.1 Procedimiento general: .......................................................................................................13
7.2 Procedimiento CASO # 1: ...............................................................................................13 7.3 Procedimiento CASO # 2 ................................................................................................16
7.4 Procedimiento CASO # 3 ................................................................................................18
7.5 Procedimiento CASO # 4 ................................................................................................19
8. MEMORIA DE CALCULOS................................................................................................20
8.1 Comprobación de viga no prismática como viga prismática:.......................................................20
8.2 Memora de cálculos relevantes para casos 1 2 y 4....................................................................22
8.2.1 Para el CASO # 1 & 4 ..................................................................................................22
8.2.2 Para el CASO # 2 ........................................................................................................25
9. RESULTADOS..................................................................................................................28
9.1 Resultados CASO # 1 .........................................................................................................28
9.2 Resultados CASO # 2 .........................................................................................................34
9.3 Resultados CASO # 3 .........................................................................................................41
9.4 Resultados CASO # 4 .........................................................................................................49
10. ANALISIS DE RESULTADOS .........................................................................................59
10.1 Análisis para CASO # 1:....................................................................................................59
10.2 Análisis para CASO # 2:....................................................................................................60 10.3 Análisis para CASO # 3:....................................................................................................63
10.4 Análisis para CASO # 4:....................................................................................................65 11. CONCLUSIONES ...........................................................................................................66
BIBLIOGAFIA ..........................................................................................................................67
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1. HISTORIA Y MOTIVACIONES
Los engranajes han sido utilizados por cientos de años, haciéndose cada vez más
sofisticados y eficientes. Son elementos mecánicos que permiten transmitir el movimiento
y la potencia, y son la base del funcionamiento de la mayoría de las maquinas en el mundo.
Es por esto que es de especial interés encontrar nuevas formas de estos. De mayor
sofisticación y eficiencia, con capacidades mayores a cargas, y pesos bajos. La principal
razón de esta necesidad, es el cada vez mayor el costo de las materias primas, del petróleo y de la energía en general. El objetivo de la reducción de peso, es que se utilice menos
material, que la potencia necesaria de una maquina disminuya, disminuyendo así el
consumo de energía.
Como una nueva alternativa, vale la pena analizar los engranajes de novoluta. Estos son un
diseño que intenta, bajo ciertas formas de contacto, superar en eficiencia, capacidad de
carga, vibraciones y relaciones de transmisión, a los engranajes convencionales de involuta.
1.1 Engranajes de novoluta:
Los engranajes de novoluta dif ieren de los demás engranajes, en la forma como se orientan los dientes con respecto al eje de rotación. Para los engranajes convencionales, esta
orientación varia de 0°, para los engranajes rectos, hasta los 45° para los engranajes
helicoidales. Los engranajes de novoluta pretenden orientar sus dientes entre 45° a 90°. Se
busca esta orientación porque de esta forma se logra mejor radio de contacto, presentándose
así una ventaja en términos de eficiencia, capacidad de carga, vibraciones y relaciones de
transmisión. La siguiente figura ilustra la diferencia entre los ángulos de orientación.
3
Imágenes explicativas:
Engranaje recto:
Figura # 1 engranajes rectos 0° de ángulo
Engranaje helicoidal:
Figura # 2 engranajes helicoidales 30° de ángulo
Engranajes de novoluta:
Figura # 3 Engranajes novoluta 90° de ángulo
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1.2 Semejanzas y diferencias de uno frente al otro.
A continuación se muestran las semejanzas y diferencias de los engranajes de novoluta
frente a los engranajes convencionales. Siendo algunas ventajas y desventajas dependiendo
del tipo de aplicación que se busque.
Engranajes convencionales Engranajes de novoluta
Altas vibraciones Bajas o nulas vibraciones
Un máximo de dos dientes de contacto Más de dos dientes de contacto
Capacidad de carga limitada Alta capacidad de carga
Relaciones de transmisión limitadas Relaciones de transmisión de cualquier valor
Cargas radiales Cargas axiales
Fabricación con fresa Fabricación con cualquier torno
Deslizamiento No deslizamiento
2. INTRODUCCIÓN
El propósito de este proyecto es la investigación del comportamiento de vigas cargadas de
forma no convencional. La razón por la cual es interesante conocer este comportamiento es
porque las roscas de los engranajes de novoluta, se pueden modelar como vigas, y al tener
contacto de engranaje de novoluta, son cargadas de forma no normal. Se pretende hacer un análisis de elementos finitos, para cubrir un rango amplio de geometrías, y así ver a grandes
rasgos el comportamiento de las roscas.
3. OBJETIVOS
3.1 Objetivo general:
El objetivo general del proyecto es como se menciono anteriormente dar una primera
aproximación de los comportamientos típicos de las roscas de los engranajes de novoluta,
modeladas como vigas en cantiléver cargadas en forma no convencional.
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3.2 Objetivos específicos:
Dar respuesta a los valores concretos de la capacidad de carga de las vigas:
Se desea que las roscas se puedan modelar como vigas, es por esta razón que se desea
conocer la diferencia entre el modelamiento teórico de una viga, y los resultados arrojados por las simulaciones por medio de los elementos finitos.
Establecer rangos de trabajo:
Se desea saber que tanto puede variar la geometría de las roscas, para que se siga
manteniendo la capacidad de modelarlas como vigas. Qué factores de seguridad son
necesarios para que esto se asegure.
Dilucidar comportamientos típicos a la aplicación de cargas en forma no convencional:
Se desea saber que comportamientos típicos tienen las roscas a las cargas que serán
sometidas, para esto es de especial interés conocer las zonas de los esfuerzos más
relevantes, así como sus magnitudes.
4. METODOLOGIA
Para desarrollar el proyecto se siguió la siguiente metodología:
Modelos simples, de una sola pieza
Se variaron parámetros y evaluó la respuesta a cargas
Análisis de elementos finitos soportado en el programa ANSYS®.
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Así que lo que se hizo fue modelos simples de una sola pieza de las roscas o dientes. Se
vario las geometrías parametrizando ancho, largo, profundidad y forma. Se simulo cada
pieza en el programa de elementos finitos ANSYS® cargándola de diferentes formas, luego
se tomaron los datos relevantes, como esfuerzos y zonas de esfuerzos.
5. PALABRAS IMPORTANTES
Dentro del desarrollo del presente proyecto se mencionaran palabras y conceptos
importantes que se explican continuación: Largo del diente: El largo del diente para el siguiente proyecto, se refiere al que sería el
ancho de una viga, la figura # 4 describe mejor esta definición.
Ancho de cara : El ancho de cara del diente para el siguiente proyecto, se refiere al que
sería la altura del área de sección transversal de una viga, la figura # 4 describe mejor esta
definición.
Longitud del diente: la longitud del diente para el siguiente proyecto, se refiere al que sería la longitud total de una viga, la figura # 4 describe mejor esta definición.
Figura # 4
6. FENOMENOS A ANALIZAR Cuando se modela la rosca en los engranajes de novoluta, se desea modelar esta como una
viga en cantiléver. Esta puede estar cargada como una viga cargada con una carga puntual,
o con una carga distribuida.
7
Esquema de viga en cantiliver con carga puntual.
Esquema de viga en cantiliver con carga distribuida.
El esfuerzo normal que se genera en la viga es
Y el cortante es
Donde
M es el momento flector,
8
c es la distancia del eje medio al extremo,
I es el momento de inercia de la sección transversal,
V es la fuerza cortante en el punto,
Q= , donde A es el área hasta la superficie desde el punto de interés. Y la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de A.
Por esta razón el esfuerzo máximo por momento se produce en la superficie donde c es
máximo, y el esfuerzo máximo por cortante se produce en el eje neutro, donde A es
máximo.
El esfuerzo máximo a cortante también se puede aproximar por medio de la relación
τ 1,5 ,
Donde A es el área total de la sección transversal.
Si se analizan los diagramas de cortante y momento, nos damos cuenta que el esfuerzo
cortante máximo es el mismo a lo largo de toda la viga para el caso de carga puntual, y en
la base para el caso de la carga distribuida. Mientras que el esfuerzo máximo por momento se produce en la base, para ambos casos, donde M es mayor. Si se tiene una viga no
prismática, esto no es del todo cierto, ya que las relaciones y cambian. Se tiene que
tener esto en cuenta para saber donde ocurren los esfuerzos máximos. Para el presente
proyecto se va a asumir que el esfuerzo normal máximo ocurre en la base, ya que el cambio
de sección es mínimo y solo en la punta. La demostración se hará en el punto de las vigas no prismáticas como vigas prismáticas.
Diagramas de cortante y momento para carga puntual:
Diagrama de cortante:
9
Diagrama de momento:
Diagramas de cortante y momento para carga distribuida:
Diagrama de cortante:
Diagrama de momento:
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Teniendo esto en cuenta, los fenómenos detectados de especial interés en analizar son
los siguientes:
6.1 Espesor máximo útil en un cantiléver vs altura de aplicación de carga
Si se quiere obtener una gran capacidad de carga por contacto, la longitud útil de viga
disminuye, limitando el diseño y creando problemas con el análisis de viga en cantiléver. Esto porque la razón de longitud a espesor crece, teniendo un límite confuso donde no se
sabe que tan precisa sea la relación de esfuerzo para una viga en cantiléver. Para que el
diseñador pueda manejar estos límites con confianza, se requiere analizar el comportamiento de los esfuerzos generados en vigas de relaciones de longitud y espesor
mayores a los comunes.
La relación de cantiliver
,
como el esfuerzo prevalente sobre los demás, solo es válida cuando se tiene una relación
de espesor contra altura entre cierto rango. Es de interés especial saber cuál es el rango en
detalle, para saber hasta qué valor se comporta como lo describe la formula, y como se
comporta a valores mayores, cuando el esfuerzo cortante máximo
1,5
predomina como el esfuerzo de diseño.
La siguiente figura ilustra a lo que se refiere el anterior interrogante.
Figura # 5 CA SO 1
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6.2 Distribución de la carga en un cantiléver cargado a lo largo de una
línea perpendicular a la raíz
Un caso que se puede presentar en los diseños de novoluta, es el de un cantiléver largo, con
la carga localizada a lo largo de una línea perpendicular a la raíz. Como se representa en la
siguiente figura.
Figura # 6 CA SO 2
Cuando se carga a lo largo de la perpendicular de la raíz, el comportamiento de los
esfuerzos generados en la raíz es confuso. La norma AGM A, dice que la zona que soporta
estos esfuerzos, para un engranaje de involuta, es el doble de la altura donde se aplica la
fuerza.
Pero cuando se tienen diferentes alturas de la aplicación de la fuerza? Como es este
comportamiento?
Surge la misma pregunta que en espesor máximo útil en un cantiléver vs altura de
aplicación de carga, y es cuánto del ancho soporta estos esfuerzos?
6.3 Distribución de la carga en un cantiléver cargado a lo largo de una
línea perpendicular a la raíz cuando el radio es muy pequeño.
Cuando se tiene un engranaje de diámetro muy pequeño, la zona de la rosca que actúa
como diente, y que soporta la carga, no puede ser modelada como una viga recta, ya que el
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radio es muy pequeño y se parecerá a una viga curva. Entonces surge la pregunta, cuando el
diámetro es pequeño, hay una parte que no soporta esfuerzos. Como se maneja esto?
La siguiente figura ilustra este fenómeno.
Figura # 7 CA SO 3
6.4 Viga alta y gruesa, con carga aplicada a baja altura
Cuando se tiene la viga cargada cerca de la base, con una carga puntual, se puede presentar
el mismo problema que el caso 1, ya que la altura de la viga cargada es mucho menor que el
ancho de esta, por lo que habrá una zona confusa, donde no se sabe si predominara el
esfuerzo cortante o el normal. Surge la pregunta, ¿cómo se debe manejar esto?
La siguiente figura ilustra mejor la idea planteada.
Figura # 8 CA SO 4
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7. PROCEDIMIENTO
7.1 Procedimiento general:
Como se menciono anteriormente en la metodología del proyecto, es procedimiento es hacer las piezas simples en el programa de SOLID EDGE®, para guardarlas como
elementos de extensión .x_t, parasolid. Estas piezas después se importan al programa
ANSYS® para simular las cargas. Una vez la simulación completa, se toman los datos de
los esfuerzos y se guarda la imagen para tenerla como referencia. Los datos se guardan en un archivo en el programa EXCEL®, para ser manipulados posteriormente.
Para los puntos donde se necesiten cálculos y análisis teóricos, se utilizara en programa
EXCEL®, para la manipulación de los cálculos. Para cada caso, se hará la geometría necesaria y se mostrara en el procedimiento de cada caso.
7.2 Procedimiento CASO # 1:
7.2.1 Geometría: Para analizar el caso # 1, se propone hacer una geometría genérica que caracterice de forma
acertada las geometrías propuestas para los engranajes de novoluta. Esto en cuanto a la cara
del diente. El diseño de los perfiles esta por fuera del alcance de este proyecto, pero se debe
tener en cuenta que hace parte de una investigación en proceso. Por esta razón no hay un
perfil perfectamente definido. Pero aunque no esté definido completamente si hay ciertos
parámetros que se deben tener en cuenta. Para el presente proyecto no se entrará a definir
un perfil definitivo, principalmente porque el perfil final no afecta los resultados a obtener. Pero si se debe definir un perfil lo suficientemente cercano para trabajar.
Como los engranajes de novoluta lo que buscan es tener una zona de contacto grande,
donde no haya deslizamiento, la superficie debe ser “cóncava” en ambas roscas. Se debe
hacer un redondeo en la base, para eliminar los concentradores de esfuerzos. Se propone
hacerlo de 1/10 de la longitud del diente L. Además se propone hacer el perfil recto hasta
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la mitad de la longitud del diente, y un arco “cóncavo”, que vaya de la mitad de la longitud
hasta el final de esta, a una distancia de ¼ del ancho del diente.
La siguiente figura ilustra esta geometría propuesta.
Figura # 9 PERFIL CASO # 1
Una vez decidido el perfil, se definió un espesor del diente del 60% de la altura L, y una
base de dimensiones 0,4L desde la base a cada lado, por 0,4L de altura. La figura # 6 y # 7
muestra una mejor vista de esta geometría.
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Figura # 10 Figura # 11
De esta forma se procede a hacer las siguientes piezas incrementando en 10% sobre la
geometría anterior hasta tener un ancho de cara 4,5 veces más grande que la primera pieza.
De esta forma se tienen 17 piezas a simular con una carga puntual constante en la punta
para todas. La figura # 8 muestra la parametrizacion del ancho de cara de la pieza para el caso # 1, denominada DIENTEC. Variando desde DIENTECA hasta DIENTECQ.
Figura # 12 VARIACION ANCHO DE CARAS
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7.2.2 Simulaciones y cálculos: Teniendo las piezas, en formato x_t, parasolid, se precede a simularlas con una carga constante, para después tomar el dato de los esfuerzos generados, tanto normales como
cortantes. Además se hizo el análisis teórico de los esfuerzos, para cada geometría. Los
datos de ambas se consignaron en una hoja de cálculo para su posterior manipulación.
7.3 Procedimiento CASO # 2
7.3.1 Geometría: Para el segundo caso, como ya se comprobó que el perfil no influye de forma trascendental,
por facilidad del trabajo, se tomara un perfil d iferente, que funcionara para los fenómenos
que se quieren analizar. El perfil del diente es recto, con dos radios en las puntas. El radio
de la base sigue siendo de 1/10 L, mientras que el de la punta es de 1/12 L. el resto de las
dimensiones se mantienen como en el diente del caso # 1 el DIENTEC. La figura # 9
muestra el perfil del diente. Para este caso se ha denominado el DIENTED.
Figura # 13 DIENTED, E, F, G
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Para este caso, la parametrizacion se hace tanto para el ancho de cara, como para la
longitud de la viga. De esta forma se procede a hacer las siguientes piezas incrementando
en 10% sobre la geometría anterior hasta tener un ancho de cara 4,5 veces más grande que
la primera pieza. E incrementando el largo de la pieza en un 20% sobre la longitud original
hasta tener un largo 2,6 veces más largo que la primera pieza. De esta forma se tienen 12
piezas a simular con 5 longitudes diferentes. Estas piezas se simularan con una carga
distribuida constante para todas. La figura # 10 muestra la parametrizacion del ancho de
cara de la pieza así como el largo para el caso # 2, denominado DIENTED. Variando desde DIENTEDA1 a DIENTEDA5 y hasta DIENTEDL1a DIENTEDL5.
Figura # 14 VARIACION ANCHO DE CARA Y LARGO
7.3.2 Simulaciones y cálculos: Teniendo las piezas, en formato x_t, parasolid, se precede a simularlas con una carga
constante, para después tomar el dato de los esfuerzos generados, tanto normales como las
longitudes de zona de esfuerzo máximo. Los datos de ambas se consignaron en una hoja de
cálculo para su posterior manipulación.
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7.4 Procedimiento CASO # 3
7.4.1 Geometría: Para el tercer caso, el perfil del d iente es recto, con dos radios en las puntas. El radio de la
base sigue siendo de 1/10 L, mientras que el de la punta es de 1/12 L. El resto de las
dimensiones se mantienen como en el diente del caso # 1 el DIENTEC. La figura # 9
muestra el perfil del diente. Para este caso se ha denominado el DIENTEE o DIENTEEF.
Para este caso, la parametrizacion se hace tanto para el ancho de cara, como para la longitud de la viga. Pero siendo la longitud curva. El DIENTEE tiene un radio de 300% la
longitud L, mientras que el DIENTEEF de 200%.
De esta forma se procede a hacer las siguientes piezas incrementando en 10% sobre la geometría anterior hasta tener un ancho de cara 4,5 veces más grande que la primera pieza.
E incrementando el largo de la pieza en un 20% sobre la longitud original hasta tener un
largo 2,6 veces más largo que la primera pieza. De esta forma se tienen 12 piezas a simular
con 5 longitudes diferentes. Estas piezas se simularan con una carga distribuida constante para todas. La figura # 11 muestra la parametrizacion del ancho de cara de la pieza así
como el largo curvo para el caso # 3, denominado DIENTEE o DIENTEF. Variando desde
DIENTEEA1 a DIENTEEA5 y hasta DIENTEEL1a DIENTEEL5. También desde DIENTEFA1 a DIENTEFA5 y hasta DIENTEFL1a DIENTEFL5.
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Figura # 15 VARIACION ANCHO DE CARA Y LARGO CURVO
7.4.2 Simulaciones y cálculos: Teniendo las piezas, en formato x_t, parasolid, se precede a simularlas con una carga
constante, para después tomar el dato de los esfuerzos generados, tanto normales como las
longitudes de zona de esfuerzo máximo. Los datos de ambas se consignaron en una hoja de
cálculo para su posterior manipulación.
7.5 Procedimiento CASO # 4
7.5.1 Geometría: Para el cuarto caso, el perfil del d iente es recto, con dos radios en las puntas. El radio de
la base sigue siendo de 1/10 L, mientras que el de la punta es de 1/12 L. El resto de las dimensiones se mantienen como en el diente del caso # 1 el DIENTEC. La figura # 9
muestra el perfil del diente. Para este caso se ha denominado el DIENTEG.
Para este caso, la parametrizacion se hace tanto para el ancho de cara, como para la
longitud de la viga. Como en el caso # 1, pero siendo la carga puntual a una distancia de
1/10 L de la base. De esta forma se procede a hacer las siguientes piezas incrementando en
10% sobre la geometría anterior hasta tener un ancho de cara 4,5 veces más grande que la
primera pieza. E incrementando el largo de la pieza en un 20% sobre la longitud original hasta tener un largo 2,6 veces más largo que la primera pieza. De esta forma se tienen 12
piezas a simular con 5 longitudes diferentes. Estas piezas se simularan con una carga
puntual constante para todas. La figura # 12 muestra la parametrizacion del ancho de cara
de la pieza así como el largo para el caso # 4, denominado DIENTEG. Variando desde
DIENTEGA1 a DIENTEGA5 y hasta DIENTEGL1a DIENTEGL5.
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Figura # 16 VARIACION ANCHO DE CARA Y LARGO
7.5.2 Simulaciones y cálculos: Teniendo las piezas, en formato x_t, parasolid, se precede a simularlas con una carga
constante, para después tomar el dato de los esfuerzos generados, tanto normales como
cortantes. Los datos de ambas se consignaron en una hoja de cálculo para su posterior manipulación.
8. MEMORIA DE CALCULOS
8.1 Comprobación de viga no prismática como viga prismática:
Como se menciono anteriormente, aunque la viga no es una viga prismática, por la
geometría que se presenta se asume como tal, ya que de todas formas el esfuerzo máximo
por momento se presenta en la base. En el caso del esfuerzo cortante esto cambia. Ya que
aunque la fuerza por cortante es constante, el área varia y se hace más pequeña en el punto
de carga. Para demostrar que el esfuerzo por momento se debe mirar en la base, y el
esfuerzo por cortante en el punto de carga, se hace el siguiente análisis.
21
Para empezar se podría sacar la función que describe la curva a lo largo de la longitud x. de
esta forma se podría derivar la expresión de esfuerzo, igualarla a cero y determinar el punto
de esfuerzo máximo. Este análisis se hace bastante complicado ya que el perfil se hace a
partir de varios radios. Y para obtener la función se debería utilizar algún método de
análisis numérico para aproximarla. Es por esto que se propone evaluar el esfuerzo en
diferentes puntos dividiendo la longitud en 20 intervalos. Para así graficar los esfuerzos
resultantes contra la longitud y ver el punto de esfuerzo máximo. Para esto se hace una hoja
de cálculo en Excel.
Los resultados se pueden observar en la siguiente grafica:
Grafica # 1 Esfuerzos viga no prismática
El esfuerzo máximo normal, se ve de la línea de tendencia roja, y es en la base. Y el
esfuerzo máximo cortante, se ve de la línea de tendencia azul, y es en el punto de aplicación
de la carga puntual. De aquí se puede observar que el esfuerzo por momento, si es máximo en la raíz, ya que el
punto cero es la raíz, mientras que el esfuerzo cortante máximo es el punto de carga. La
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diferencia entre el esfuerzo cortante en la raíz y en el punto de carga es de 25%
aproximadamente.
Para el caso de la carga distribuida, los esfuerzos son máximos en la base, tanto como los
esfuerzos normales como los cortantes, esto se puede ver fácilmente de los diagramas de
cortante y momento. Analizando la grafica de la carga puntual, ya que aunque la razón de
relaciones y varíen, al tener el valor máximo de M y V en la base, los esfuerzos son
máximos en la base.
8.2 Memora de cálculos relevantes para casos 1 2 y 4.
8.2.1 Para el CASO # 1 & 4 Se realizo el cálculo de los esfuerzos normales y cortantes, para cada una de las piezas del DIENTEC. Se hace el análisis de falla según el criterio de Von Mises, con el que se quiere trabajar en
las simulaciones, el esfuerzo de Von M ises seria el mismo esfuerzo generado por el
momento. La demostración se muestra a continuación.
Figura # 17 VIGA EN CANTILEVER
Para el punto A:
2112
0
23
Por lo tanto el elemento diferencial:
Y el círculo de Mohr correspondiente:
Por lo tanto el esfuerzo de Von M ises:
1 2 2 3 3 12
Donde σ2 y σ3 son cero
1 12
2 12
1
Del círculo correspondiente se puede observar que el esfuerzo cortante máximo es la mitad
del esfuerzo principal 1. Esto quiere decir que el esfuerzo cortante al que cual podemos
someter la viga, nunca podrá exceder al esfuerzo normal divido dos. Si tuviéramos que el
esfuerzo principal al cual sometemos la viga, es igual al esfuerzo de fluencia σy , el esfuerzo
cortante máximo seria σy /2.
Es decir que el esfuerzo cortante máximo debe ser calculado por
1,5
24
Esto ya q se toma el máximo en sobre el eje neutro, por lo tanto:
b=t
A=b*h=t*h
2 4112
128 1.5
De la misma forma se desea modelar el perfil de la rosca como viga:
Figura # 18 DIENTE CARGADO COMO VIGA CON CARGA PUNTUAL
Por lo tanto se definió una fuerza constante F de 10000 N la cual se carga a una distancia
constante de la base. Teniéndola fuerza definida, y conociendo los valores de las
geometrías, se calculan los esfuerzos.
2112
1,5
Para cada diente el valor que cambia es h, que es el ancho de cara del diente. Se toman los datos y se manipulan en una hoja de cálculo, los resultados se muestran más adelante.
25
8.2.2 Para el CASO # 2 Se realizo el cálculo de los esfuerzos normales, para cada una de las piezas del DIENTED. Se hace el análisis de falla según el cr iterio de Von M ises, el esfuerzo varia un poco del
producido por la carga puntual. La demostración se muestra a continuación:
Figura # 19 Viga con carga distribuida
Esta carga distribuida se puede modelar como una carga simple en el centro de la viga.
Figura # 20 Viga con carga distribuida modelada con carga simple
Donde F = w*L
Para el punto A:
2 2112
26
0
Por lo tanto el elemento diferencial:
Y el círculo de Mohr correspondiente:
Por lo tanto el esfuerzo de Von M ises:
1 2 2 3 3 12
Donde σ2 y σ3 son cero
1 12
2 12 1
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Del círculo correspondiente se puede observar que el esfuerzo cortante máximo es la mitad
del esfuerzo principal 1. Esto quiere decir que el esfuerzo cortante al que cual podemos
someter la viga, nunca podrá exceder al esfuerzo normal dividido dos. Si tuviéramos que el
esfuerzo principal al cual sometemos la viga, es igual al esfuerzo de fluencia σy , el esfuerzo
cortante máximo seria .
De la misma forma se desea modelar el perfil de la rosca como viga:
Figura # 21 DIENTE CARGADO COMO VIGA CON CARGA SIMPLE
Por lo tanto se definió una fuerza constante F de 10000 N la cual se carga a una distancia
constante de la base. Teniendo la fuerza definida, y conociendo los valores de las
geometrías, se calculan los esfuerzos.
2 2112
Para cada diente el valor que cambia es h y b. que son el ancho de cara y el largo del
diente. Se toman los datos y se manipulan en una hoja de cálculo, los resultados se
muestran más adelante.
28
9. RESULTADOS
9.1 Resultados CASO # 1 Resultados teóricos:
A continuación se muestra la tabla del DIENTEC con los valores de las dimensiones y de
los esfuerzos teóricos.
DIENTEC ti (m) σ max1 (Pa)
τ max1 (Pa)
A 0,001667 1,22E+08 22500000 B 0,001833 1E+08 20454545 C 0,002017 82986135 18595041 D 0,002218 68583583 16904583 E 0,00244 56680647 15367803 F 0,002684 46843510 13970730 G 0,002953 38713644 12700663 H 0,003248 31994747 11546058 I 0,003573 26441940 10496416 J 0,00393 21852843 9542196 K 0,004323 18060201 8674724 L 0,004755 14925786 7886113 M 0,005231 12335360 7169193 N 0,005754 10194513 6517449 O 0,006329 8425217 5924953 P 0,006962 6962989 5386321 Q 0,007658 5754537 4896656 R 0,008424 4755815 4451505 S 0,009267 3930426 4046823 T 0,010193 3248286 3678930 U 0,011212 2684534 3344482
Tabla # 1 Esfuerzos DIENTEC
La grafica que muestra el comportamiento de los esfuerzos, a medida que crece el ancho de
cara se muestra a continuación:
29
Grafica # 2 Esfuerzos teóricos vs. Ancho de cara DIENTEC
Resultados de simulaciones: Las simulaciones se hicieron de la siguiente manera: Tipo de elementos: SOLID Brick & node 45
Imagen # 1 Tipo de elementos DIENTEC
y = 337,5x‐2
R² = 1
y = 37500x‐1
R² = 1
0
20000000
40000000
60000000
80000000
10000000
12000000
14000000
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
Esfuerzos vs. ancho de cara DIENTEC
SIGMA
TAO
Potencial (SIGMA)
Potencial (TAO)
30
Geometría enmallada: SOLID45 TETRAHEDRICA
Imagen # 2 Enmallado DIENTEC
Características del material: Estructural, lineal, elástico, isotrópico. E: 200e9 Pa �=0.32
Imagen # 3 características material DIENTEC
31
Condiciones de carga y de frontera: Se empotro en la base y se cargo sobre los nodos con 10000N
Imagen # 4 Condiciones de carga y frontera DIENTEC
Especificaciones simulación: Análisis estático estado estable.
Imagen # 5 Especificaciones de simulación DIENTEC
32
Criterio de falla: El criterio de falla utilizado fue el esfuerzo de Von Mises
Imagen # 6 Criterio falla DIENTEC
Resultados globales: Los resultados globales se ven en la siguiente imagen:
Imagen # 7 Esfuerzos de von mises DIENTEC
33
Resultados particulares:
Imagen # 8 Esfuerzos cortantes DIENTEC
A continuación se muestra la tabla del DIENTEC con los valores de las dimensiones y de
los esfuerzos simulados.
FUERZA 10000 N
DIENTEC ti (m) σ Von Mises (Pa)
τ máx. (Pa) COMPROBACION SIGMA(σ) >2* TAO (τ)
A 0,0017 1,780E+09 7,520E+08 VERDADERO B 0,0018 1,500E+09 6,540E+08 VERDADERO C 0,002 1,280E+09 5,660E+08 VERDADERO D 0,0022 1,150E+09 5,050E+08 VERDADERO E 0,0024 9,420E+08 4,260E+08 VERDADERO F 0,0027 8,350E+08 3,980E+08 VERDADERO G 0,003 7,180E+08 3,380E+08 VERDADERO H 0,0032 6,550E+08 3,030E+08 VERDADERO I 0,0036 5,690E+08 2,670E+08 VERDADERO J 0,0039 5,540E+08 2,220E+08 VERDADERO K 0,0043 4,670E+08 2,190E+08 VERDADERO L 0,0048 4,250E+08 1,940E+08 VERDADERO M 0,0052 3,730E+08 1,850E+08 VERDADERO N 0,0058 3,21E+08 1,690E+08 FALSO
Tabla # 2 Esfuerzos simulados DIENTEC
34
La grafica que muestra el comportamiento de los esfuerzos, a medida que crece el ancho de
cara se muestra a continuación:
Grafica # 3 Esfuerzos simulados vs. Ancho de cara DIENTEC
9.2 Resultados CASO # 2 Resultados teóricos: A continuación se muestra la tabla del DIENTED con los valores de las dimensiones y de los esfuerzos teóricos.
DIENTED NUMERO 1 2 3 4 5 LETRA Ancho de cara (m) 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO(m) A ti 0,001667 2,700E+09 1,929E+09 1,500E+09 1,227E+09 1,038E+09
SIGMA (Pa)
B t1 0,001833 2,231E+09 1,594E+09 1,240E+09 1,014E+09 8,582E+08 C t2 0,002017 1,844E+09 1,317E+09 1,025E+09 8,382E+08 7,093E+08 D t3 0,002218 1,524E+09 1,089E+09 8,467E+08 6,928E+08 5,862E+08 E t4 0,00244 1,260E+09 8,997E+08 6,998E+08 5,725E+08 4,844E+08
y = 29017x‐1,35
R² = 0,989
y = 27141x‐1,23
R² = 0,989
0,000E+00
2,000E+08
4,000E+08
6,000E+08
8,000E+08
1,000E+09
1,200E+09
1,400E+09
1,600E+09
1,800E+09
2,000E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
Esfuerzos simulados vs. ancho de cara DIENTEC
Von Mises VS ti
Tao vs ti
Potencial (Von Mises VS ti)
Potencial (Tao vs ti)
35
F t5 0,002684 1,041E+09 7,435E+08 5,783E+08 4,732E+08 4,004E+08 G t6 0,002953 8,603E+08 6,145E+08 4,779E+08 3,910E+08 3,309E+08 H t7 0,003248 7,110E+08 5,079E+08 3,950E+08 3,232E+08 2,735E+08 I t8 0,003573 5,876E+08 4,197E+08 3,264E+08 2,671E+08 2,260E+08 J t9 0,00393 4,856E+08 3,469E+08 2,698E+08 2,207E+08 1,868E+08 K t10 0,004323 4,013E+08 2,867E+08 2,230E+08 1,824E+08 1,544E+08 L t11 0,004755 3,317E+08 2,369E+08 1,843E+08 1,508E+08 1,276E+08
Tabla # 3 Esfuerzos DIENTED
Las graficas que muestran el comportamiento de los esfuerzos teóricos, a medida que crece el ancho de cara y el largo de la viga se muestra a continuación:
Grafica#4 Esfuerzos vs. Largo DIENTED
0,000E+00
5,000E+08
1,000E+09
1,500E+09
2,000E+09
2,500E+09
3,000E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa
)
Largo de diente (m)
Esfuerzos vs. Largo de diente DIENTEDDIENTEDA TEORICO
DIENTEDB TEORICO
DIENTEDC TEORICO
DIENTEDD TEORICO
DIENTEDE TEORICO
DIENTEDF TEORICO
DIENTEDG TEORICO
DIENTEDH TEORICO
DIENTEDI TEORICO
DIENTEDJ TEORICO
DIENTEDK TEORICO
DIENTEDL TEORICO
36
Grafica#5 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTED
Resultados de simulaciones: Las simulaciones se hicieron de la siguiente manera: Tipo de elementos: SOLID Brick & node 45 Geometría enmallada: SOLID45 TETRAHEDRICA
Imagen # 8 Enmallado DIENTED
0,000E+00
5,000E+08
1,000E+09
1,500E+09
2,000E+09
2,500E+09
3,000E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTED
DIENTEDX1
DIENTEDX2
DIENTEDX3
DIENTEDX4
DIENTEDX2
37
Características del material: Estructural, lineal, elástico, isotrópico. E: 200e9 Pa �=0.32 Condiciones de carga y de frontera: Se empotro en la base y se cargo sobre los nodos con 10000N
Imagen # 9 Condiciones de carga y frontera DIENTED
Especificaciones simulación: Análisis estático estado estable.
Criterio de falla: El criterio de falla utilizado fue el esfuerzo de Von Mises
38
Resultados globales: Los resultados globales se ven en la siguiente imagen:
Imagen # 10 Esfuerzos de Von Mises DIENTED
Resultados particulares:
Imagen # 11 Esfuerzos normales sobre la base DIENTED
39
A continuación se muestra la tabla del DIENTED con los valores de las dimensiones y de
los esfuerzos simulados.
DIENTED NUMERO 1 2 3 4 5
LETRA Ancho de cara (m) 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO (m)
A ti 0,001667 5,54E+09 5,28E+08 4,36E+09 5,50E+08 3,45E+09
SIGMA (Pa)
B t1 0,001833 4,67E+09 6,04E+08 3,65E+09 6,11E+08 3,12E+09 C t2 0,002017 4,42E+09 6,35E+08 3,31E+09 6,76E+08 2,76E+09 D t3 0,002218 3,79E+09 6,60E+08 2,88E+09 7,48E+08 2,51E+09 E t4 0,00244 3,54E+09 7,18E+08 2,59E+09 8,04E+08 2,30E+09 F t5 0,002684 3,08E+09 8,40E+08 2,42E+09 9,55E+08 2,12E+09 G t6 0,002953 2,85E+09 9,99E+08 2,27E+09 1,07E+09 1,96E+09 H t7 0,003248 2,68E+09 1,10E+09 2,17E+09 1,21E+09 1,85E+09 I t8 0,003573 2,45E+09 1,32E+09 2,16E+09 1,52E+09 1,70E+09 J t9 0,00393 2,31E+09 1,47E+09 1,97E+09 1,73E+09 1,74E+09 K t10 0,004323 2,13E+09 1,70E+09 1,85E+09 2,10E+09 1,61E+09 L t11 0,004755 2,05E+09 2,04E+09 1,79E+09 2,19E+09 1,51E+09
Tabla # 4 Esfuerzos simulados DIENTED
Las graficas que muestran el comportamiento de los esfuerzos simulados, a medida que
crece el ancho de cara y el largo de la viga se muestra a continuación:
40
Grafica # 6 Esfuerzos simulados vs. Largo DIENTED
Grafica # 7 Esfuerzos simulados vs. Ancho de cara DIENTED
0,00E+00
1,00E+09
2,00E+09
3,00E+09
4,00E+09
5,00E+09
6,00E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa
)
Largo de diente (m)
Esfuerzos simulados vs. Largo DIENTEDDIENTEDA
DIENTEDB
DIENTEDC
DIENTEDD
DIENTEDE
DIENTEDF
DIENTEDG
DIENTEDH
DIENTEDI
DIENTEDJ
DIENTEDK
DIENTEDL
0,00E+00
1,00E+09
2,00E+09
3,00E+09
4,00E+09
5,00E+09
6,00E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
Esfuerzos simulados vs. Ancho de cara DIENTED
DIENTEDX1
DIENTEDX2
DIENTEDX3
DIENTEDX4
DIENTEDX5
41
9.3 Resultados CASO # 3 Resultados de simulaciones: Las simulaciones se hicieron de la siguiente manera: Tipo de elementos: SOLID Brick & node 45 Geometría enmallada: SOLID45 TETRAHEDRICA
Imagen # 12 Enmallado DIENTE(EF)
Características del material: Estructural, lineal, elástico, isotrópico. E: 200e9 Pa �=0.32 Condiciones de carga y de frontera: Se empotro en la base y se cargo sobre los nodos con 10000N
42
Imagen # 13 Condiciones de carga y frontera DIENTE(EF)
Especificaciones simulación: Análisis estático estado estable.
Criterio de falla: El criterio de falla utilizado fue el esfuerzo de Von Mises
Resultados globales: Los resultados globales se ven en la siguiente imagen:
43
Imagen # 14 Esfuerzos de Von Mises DIENTE(EF)
Resultados particulares:
Imagen # 15 Esfuerzos normales sobre la base DIENTE(EF)
44
A continuación se muestra la tabla del DIENTEE con los valores de las dimensiones y de
los esfuerzos simulados.
DIENTEE NUMERO 1 2 3 4 5 LETRA Ancho de cara (m) 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO(m) A ti 0,001667 5,74E+09 5,19E+09 4,09E+09 3,56E+09 3,46E+09
SIGMA (Pa)
B t1 0,001833 5,46E+09 4,15E+09 3,39E+09 3,17E+09 2,71E+09 C t2 0,002017 3,94E+09 3,96E+09 3,22E+09 2,49E+09 2,56E+09 D t3 0,002218 3,80E+09 3,23E+09 2,79E+09 2,93E+09 2,35E+09 E t4 0,00244 3,58E+09 3,10E+09 2,97E+09 2,65E+09 2,55E+09 F t5 0,002684 3,12E+09 2,98E+09 2,36E+09 2,47E+09 2,22E+09 G t6 0,002953 3,19E+09 2,70E+09 2,26E+09 2,39E+09 1,96E+09 H t7 0,003248 2,67E+09 2,45E+09 2,32E+09 1,72E+09 1,88E+09 I t8 0,003573 2,75E+09 2,61E+09 2,47E+09 1,88E+09 1,87E+09 J t9 0,00393 2,58E+09 2,16E+09 2,02E+09 1,78E+09 1,91E+09 K t10 0,004323 2,40E+09 2,18E+09 1,69E+09 1,86E+09 1,93E+09 L t11 0,004755 2,35E+09 2,28E+09 2,01E+09 1,64E+09 1,99E+09
Tabla # 5 Esfuerzos simulados DIENTEE A continuación se muestra la tabla del DIENTEF con los valores de las dimensiones y de
los esfuerzos simulados.
DIENTEF NUMERO 1 2 3 4 5
LETRA Ancho de cara (m) 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO (m)
A ti 0,001667 6,13E+09 4,66E+09 4,08E+09 3,86E+09 3,85E+09
SIGMA (Pa)
B t1 0,001833 4,98E+09 4,38E+09 3,83E+09 3,55E+09 3,19E+09 C t2 0,002017 4,71E+09 3,76E+09 3,54E+09 3,21E+09 3,06E+09 D t3 0,002218 4,28E+09 3,43E+09 3,15E+09 2,95E+09 2,63E+09 E t4 0,00244 3,77E+09 3,45E+09 2,94E+09 2,91E+09 2,62E+09 F t5 0,002684 3,30E+09 3,18E+09 2,72E+09 2,39E+09 2,49E+09 G t6 0,002953 2,99E+09 2,96E+09 2,69E+09 2,59E+09 2,33E+09 H t7 0,003248 2,70E+09 2,63E+09 2,28E+09 2,20E+09 1,89E+09 I t8 0,003573 2,83E+09 2,39E+09 2,07E+09 2,11E+09 2,01E+09 J t9 0,00393 2,37E+09 2,23E+09 2,22E+09 2,06E+09 1,68E+09 K t10 0,004323 2,10E+09 2,33E+09 1,80E+09 2,00E+09 1,85E+09 L t11 0,004755 2,29E+09 2,10E+09 2,12E+09 1,63E+09 1,74E+09
Tabla # 6 Esfuerzos simulados DIENTEF
45
Las graficas que muestran el comportamiento de los esfuerzos simulados, a medida que
crece el ancho de cara y el largo de la viga se muestra a continuación:
Grafica # 8 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTE(EF)1
Grafica # 9 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTE(EF)2
0,00E+00
1,00E+09
2,00E+09
3,00E+09
4,00E+09
5,00E+09
6,00E+09
7,00E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa
)
Largo de diente (m)
DIENTE(EF)(A‐L)1
DIENTEE(A‐L)1
DIENTEF(A‐L)1
0,00E+00
1,00E+09
2,00E+09
3,00E+09
4,00E+09
5,00E+09
6,00E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente (m)
DIENTE(EF)(A‐L)2
DIENTEE(A‐L)2
DIENTEF(A‐L)2
46
Grafica # 10 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTE(EF)3
Grafica # 11 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTE(EF)4
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
4,50E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa
)
Largo de diente (m)
DIENTE(EF)(A‐L)3
DIENTEE(A‐L)3
DIENTEF(A‐L)3
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
4,50E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente (m)
DIENTE(EF)(A‐L)4
DIENTEE(A‐L)4
DIENTEF(A‐L)4
47
Grafica # 12 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTE(EF)5
Grafica # 13 Esfuerzos vs. Largo DIENTE(EF)A
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
4,50E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente (m)
DIENTE(EF)(A‐L)5
DIENTEE(A‐L)5
DIENTEF(A‐L)5
0,00E+00
1,00E+09
2,00E+09
3,00E+09
4,00E+09
5,00E+09
6,00E+09
7,00E+09
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
DIENTE(EF)A
DIENTEEA
DIENTEFA
48
Grafica # 14 Esfuerzos vs. Largo DIENTE(EF)E
Grafica # 15 Esfuerzos vs. Largo DIENTE(EF)I
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
DIENTE(EF)E
DIENTEEE
DIENTEFE
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
DIENTE(EF)I
DIENTEEI
DIENTEFI
49
Grafica # 16 Esfuerzos vs. Largo DIENTE(EF)L
9.4 Resultados CASO # 4 Resultados teóricos: A continuación se muestran las tablas del DIENTEG con los valores de las dimensiones y de los esfuerzos teóricos.
DIENTEG NUMERO 1 2 3 4 5 LETRA Ancho de cara (m) 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO(m) A ti 0,001667 1,080E+09 7,714E+08 6,000E+08 4,909E+08 4,154E+08
SIGMA (Pa)
B t1 0,001833 8,926E+08 6,375E+08 4,959E+08 4,057E+08 3,433E+08 C t2 0,002017 7,377E+08 5,269E+08 4,098E+08 3,353E+08 2,837E+08 D t3 0,002218 6,096E+08 4,355E+08 3,387E+08 2,771E+08 2,345E+08 E t4 0,00244 5,038E+08 3,599E+08 2,799E+08 2,290E+08 1,938E+08 F t5 0,002684 4,164E+08 2,974E+08 2,313E+08 1,893E+08 1,601E+08 G t6 0,002953 3,441E+08 2,458E+08 1,912E+08 1,564E+08 1,324E+08 H t7 0,003248 2,844E+08 2,031E+08 1,580E+08 1,293E+08 1,094E+08
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa
)
Ancho de cara (m)
DIENTE(EF)L
DIENTEEL
DIENTEFL
50
I t8 0,003573 2,350E+08 1,679E+08 1,306E+08 1,068E+08 9,040E+07 J t9 0,00393 1,942E+08 1,387E+08 1,079E+08 8,829E+07 7,471E+07 K t10 0,004323 1,605E+08 1,147E+08 8,919E+07 7,297E+07 6,174E+07 L t11 0,004755 1,327E+08 9,477E+07 7,371E+07 6,031E+07 5,103E+07
Tabla # 7 esfuerzos normales DIENTEG
DIENTEG NUMERO 1 2 3 4 5 LETRA Ancho de cara (m) 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO(m) A ti 0,001667 9,000E+08 6,429E+08 5,000E+08 4,091E+08 3,462E+08
TAO (Pa)
B t1 0,001833 8,182E+08 5,844E+08 4,545E+08 3,719E+08 3,147E+08 C t2 0,002017 7,438E+08 5,313E+08 4,132E+08 3,381E+08 2,861E+08 D t3 0,002218 6,762E+08 4,830E+08 3,757E+08 3,074E+08 2,601E+08 E t4 0,00244 6,147E+08 4,391E+08 3,415E+08 2,794E+08 2,364E+08 F t5 0,002684 5,588E+08 3,992E+08 3,105E+08 2,540E+08 2,149E+08 G t6 0,002953 5,080E+08 3,629E+08 2,822E+08 2,309E+08 1,954E+08 H t7 0,003248 4,618E+08 3,299E+08 2,566E+08 2,099E+08 1,776E+08 I t8 0,003573 4,199E+08 2,999E+08 2,333E+08 1,908E+08 1,615E+08 J t9 0,00393 3,817E+08 2,726E+08 2,120E+08 1,735E+08 1,468E+08 K t10 0,004323 3,470E+08 2,478E+08 1,928E+08 1,577E+08 1,335E+08 L t11 0,004755 3,154E+08 2,253E+08 1,752E+08 1,434E+08 1,213E+08
Tabla # 8 esfuerzos cortantes DIENTEG Las graficas que muestran el comportamiento de los esfuerzos teóricos, a medida que crece
el ancho de cara y el largo de la viga se muestra a continuación:
51
Grafica # 17 Esfuerzos vs. Ancho de cara DIENTEG1
Grafica # 18 Esfuerzos vs. Largo DIENTEGA
0,000E+00
2,000E+08
4,000E+08
6,000E+08
8,000E+08
1,000E+09
1,200E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa)
Ancho de cara (m)
Esfuerzos vs. ancho de cara DIENTEG
DIENTEG(A‐L)1 SIGMA
DIENTEG(A‐L)1 TAO
0,000E+00
2,000E+08
4,000E+08
6,000E+08
8,000E+08
1,000E+09
1,200E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente(m)
Esfuerzos vs. largo DIENTEGA
DIENTEGA SIGMA
DIENTEGA TAO
52
Grafica # 19 Esfuerzos vs. Largo DIENTEGF
Grafica # 20 Esfuerzos vs. Largo DIENTEGL
0,000E+00
1,000E+08
2,000E+08
3,000E+08
4,000E+08
5,000E+08
6,000E+08
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa
)
Largo de diente(m)
Esfuerzos vs. largo DIENTEGF
DIENTEGF SIGMA
DIENTEGF TAO
0,000E+00
5,000E+07
1,000E+08
1,500E+08
2,000E+08
2,500E+08
3,000E+08
3,500E+08
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa
)
Largo de diente(m)
Esfuerzos vs. largo DIENTEGL
DIENTEGL SIGMA
DIENTEGL TAO
53
Resultados de simulaciones: Las simulaciones se hicieron de la siguiente manera: Tipo de elementos: SOLID Brick & node 45 Geometría enmallada: SOLID45 TETRAHEDRICA
Imagen # 16 Enmallado DIENTEG
Características del material: Estructural, lineal, elástico, isotrópico. E: 200e9 Pa �=0.32 Condiciones de carga y de frontera: Se empotro en la base y se cargo sobre los nodos con 10000N
54
Imagen # 17 Condiciones de carga y frontera DIENTEG
Especificaciones simulación: Análisis estático estado estable.
Criterio de falla: El criterio de falla utilizado fue el esfuerzo de Von Mises
Resultados globales: Los resultados globales se ven en la siguiente imagen:
55
Imagen # 18 Esfuerzos de Von Mises DIENTEG
Resultados particulares:
Imagen # 19 Esfuerzos normales sobre la base DIENTEG
56
Imagen # 20 Esfuerzos cortantes sobre la base DIENTEG
A continuación se muestran las tablas del DIENTEG con los valores de las dimensiones y
de los esfuerzos simulados.
DIENTEG NUMERO 1 2 3 4 5 LETRA Ancho de cara 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO A ti 0,001667 4,30E+09 4,40E+09 4,06E+09 3,84E+09 3,95E+09 SIGMA B t1 0,001833 2,35E+09 2,55E+09 2,31E+09 1,98E+09 2,26E+09 SIGMA C t2 0,002017 4,70E+09 4,09E+09 3,89E+09 3,66E+09 3,64E+09 SIGMA D t3 0,002218 1,93E+09 2,29E+09 1,69E+09 1,46E+09 1,85E+09 SIGMA E t4 0,00244 5,03E+09 4,31E+09 3,91E+09 3,45E+09 3,36E+09 SIGMA F t5 0,002684 2,14E+09 1,90E+09 2,02E+09 2,02E+09 1,77E+09 SIGMA G t6 0,002953 4,46E+09 3,86E+09 3,59E+09 3,55E+09 3,56E+09 SIGMA H t7 0,003248 1,93E+09 2,16E+09 1,64E+09 1,52E+09 1,54E+09 SIGMA I t8 0,003573 4,19E+09 3,58E+09 3,35E+09 2,76E+09 3,26E+09 SIGMA J t9 0,00393 1,98E+09 1,49E+09 1,66E+09 1,42E+09 1,37E+09 SIGMA K t10 0,004323 3,99E+09 3,60E+09 3,37E+09 3,21E+09 3,09E+09 SIGMA L t11 0,004755 2,06E+09 1,69E+09 1,82E+09 1,66E+09 1,64E+09 SIGMA
Tabla # 9 Esfuerzos normales simulados DIENTEG
57
DIENTEG NUMERO 1 2 3 4 5 LETRA Ancho de cara 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 LARGO A ti 0,001667 2,35E+09 2,55E+09 2,31E+09 1,98E+09 2,26E+09 TAO B t1 0,001833 4,70E+09 4,09E+09 3,89E+09 3,66E+09 3,64E+09 TAO C t2 0,002017 1,93E+09 2,29E+09 1,69E+09 1,46E+09 1,85E+09 TAO D t3 0,002218 5,03E+09 4,31E+09 3,91E+09 3,45E+09 3,36E+09 TAO E t4 0,00244 2,14E+09 1,90E+09 2,02E+09 2,02E+09 1,77E+09 TAO F t5 0,002684 4,46E+09 3,86E+09 3,59E+09 3,55E+09 3,56E+09 TAO G t6 0,002953 1,93E+09 2,16E+09 1,64E+09 1,52E+09 1,54E+09 TAO H t7 0,003248 4,19E+09 3,58E+09 3,35E+09 2,76E+09 3,26E+09 TAO I t8 0,003573 1,98E+09 1,49E+09 1,66E+09 1,42E+09 1,37E+09 TAO J t9 0,00393 3,99E+09 3,60E+09 3,37E+09 3,21E+09 3,09E+09 TAO K t10 0,004323 2,06E+09 1,69E+09 1,82E+09 1,66E+09 1,64E+09 TAO L t11 0,004755 3,83E+09 3,54E+09 3,27E+09 3,19E+09 3,11E+09 TAO
Tabla # 10 Esfuerzos cortantes simulados DIENTEG Las graficas que muestran el comportamiento de los esfuerzos simulados, a medida que
crece el ancho de cara y el largo de la viga se muestra a continuación:
Grafica # 21 Esfuerzos simulados vs. Ancho de cara DIENTEG1
0,00E+00
1,00E+09
2,00E+09
3,00E+09
4,00E+09
5,00E+09
6,00E+09
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Esfuerzos (Pa
)
Ancho de cara (m)
Esfuerzos simulados vs. ancho de cara DIENTEG
DIENTEG(A‐L)1 SIGMA
DIENTEG(A‐L)1 TAO
58
Grafica # 22 Esfuerzos simulados vs. Largo DIENTEGA
Grafica # 23 Esfuerzos simulados vs. Largo DIENTEGF
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
4,50E+09
5,00E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente(m)
Esfuerzos simulados vs. largo DIENTEGA
DIENTEGA SIGMA
DIENTEGA TAO
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
4,50E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente(m)
Esfuerzos simulados vs. largo DIENTEGF
DIENTEGF SIGMA
DIENTEGF TAO
59
Grafica # 24 Esfuerzos simulados vs. Largo DIENTEGL
10. ANALISIS DE RESULTADOS
10.1 Análisis para CASO # 1: Resultados teóricos:
Para saber el punto donde el esfuerzo normal σ deja de ser mayor a dos veces el esfuerzo
cortante τ, utilizamos la ecuación de las líneas de tendencia de cada esfuerzo e igualamos
de la siguiente manera:
1 2 2
Siendo y1 la ecuación para σ y y2 la ecuación para τ. Por lo tanto tenemos que
337,5
237500
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
4,00E+09
0 0,005 0,01 0,015
Esfuerzos (Pa)
Largo de diente(m)
Esfuerzos simulados vs. largo DIENTEGL
DIENTEGL SIGMA
DIENTEGL TAO
60
Resolviendo para x tenemos que x=0,0045, siendo este la mitad del ancho de cara. Por lo
tanto el ancho total es 0,009. Si tenemos que la longitud inicial es L=0,005. La relación de ,, ,
Resultados simulaciones:
De la misma forma igualamos las líneas de tendencia de los resultados simulados:
290175
, 2271416
,
Resolviendo para x tenemos que x= 0,006145, siendo este la mitad del ancho de cara. Por
lo tanto el ancho total es 0,012. Si tenemos que la longitud inicial es L=0,005. La relación
de ,,
,
Error entre resultado simulado y el teórico: , ,,
25%
10.2 Análisis para CASO # 2: Resultados teóricos:
De los resultados teóricos, vemos que si se aumenta el largo de la viga, sin importar el
ancho de cara, se reduce el esfuerzo generado, por lo tanto el largo de la viga juega un
papel muy importante en la capacidad de carga distribuida. Asimismo, también se reduce el
esfuerzo si se aumenta el ancho de cara. Las capacidades de carga se aumentan en el mismo
sentido en que los esfuerzos disminuyen. Para saber cuánto se disminuyen los esfuerzos, se
presentan las siguientes tablas. Haciendo esfuerzos largo 1 contra esfuerzos largo 2 - 5. Y ancho de cara A contra ancho de
cara B – L.
100%, ,
%
100% %
61
Aumento de largo 40% 80% 120% 160% % de Disminución de Esfuerzo 28,57% 44,44% 54,55% 61,54%
Tabla #11 Resultados caso 2
Aunque se ve la tendencia de no disminuir mucho mas a medida que se aumenta el largo,
por lo tanto no es de utilidad aumentar mucho más el largo después del 160%.
Aumento
de ancho de
diente 10% 21% 33% 46% 61% 77% 94% 114% 135% 159% 185% 220%
% de
Disminución
de Esfuerzo 17 31 43 53 61 68 73 78 82 85 87 88
Tabla #12 Resultados caso 2
Aunque se ve la tendencia de no disminuir mucho mas a medida que se aumenta el ancho
de diente, por lo tanto no es de utilidad aumentar mucho más el ancho después del 135%.
Resultados simulaciones:
De la misma forma que los resultados teóricos, de los resultados simulados vemos que si se
aumenta el largo de la viga, sin importar el ancho de cara, se reduce el esfuerzo generado,
por lo tanto el largo de la viga juega un papel muy importante en la capacidad de carga
distribuida. Asimismo, también se reduce el esfuerzo si se aumenta el ancho de cara. Las
capacidades de carga se aumentan en el mismo sentido en que los esfuerzos disminuyen. Para saber cuánto se disminuyen los esfuerzos, se presentan las siguientes tablas.
Haciendo esfuerzos largo 1 contra esfuerzos largo 2 - 5. Y ancho de cara A contra ancho de
cara B – L.
100%, ,
%
100% %
Aumento de largo 40% 80% 120% 160% % de Disminución de Esfuerzo 26,84% 37,73% 44,22% 47,74%
Tabla #13 Resultados caso 2
62
Aunque se ve la tendencia de no disminuir mucho mas a medida que se aumenta el largo,
por lo tanto no es de utilidad aumentar mucho más el largo después del 160%.
Aumento
de ancho de
diente 10% 21% 33% 46% 61% 77% 94% 114% 135% 159% 185% 220%
% de
Disminución
de Esfuerzo 16 24 33 40 44 48 51 55 58 61 62 62,5
Tabla #14 Resultados caso 2
Aunque se ve la tendencia de no disminuir mucho mas a medida que se aumenta el ancho
de diente, por lo tanto no es de utilidad aumentar mucho más el ancho después del 135%.
Comparación entre resultados teóricos y simulados:
Como podemos ver, los resultados teóricos muestran un comportamiento muy similar a las
simulaciones, con disminuciones de esfuerzos muy parecidas. Los errores entre una y otra
son:
% %%
100
Y son los siguientes
Aumento de largo 40% 80% 120% 160%
% de Disminución de Esfuerzo 6,06% 15,10% 18,94% 22,42% Tabla #15 Resultados caso 2
Aumento de ancho de diente
10% 21% 33% 46% 61% 77% 94% 114% 135% 159% 185% 220%
% de Disminución de Esfuerzo 6 23 23 25 28 29 30 29 29 28 29 29
Tabla #16 Resultados caso 2
Ancho de cara contra Altura: Como se vio en el primer punto, para que el esfuerzo que predomina sea el normal, se debe
trabajar en el rango 0,66-2,2 de razón Ancho de cara contra Altura. Se reviso que con carga
63
distribuida también se cumpla la relación, y se comprobó que si cumple ya que el esfuerzo
cortante no supera nunca el 30% del normal.
10.3 Análisis para CASO # 3: Para el caso # 3 solo se hizo el análisis por simulación pues lo que se quiere ver es el
aumento en el esfuerzo producido en las vigas, por lo tanto la disminución en la capacidad de carga. Los resultados se compararan entre los esfuerzos de las piezas con radios
pronunciados, contra las piezas rectas y entre los radios pronunciados entre sí. Además de
comparar si los esfuerzos si disminuyen de la misma manera a medida que se aumente el
largo y el ancho de cara.
Para saber cuánto se disminuyen los esfuerzos, a medida que se aumenta el largo y ancho
de cara de las piezas con radios pronunciados, se presentan las siguientes tablas. Haciendo esfuerzos largo 1 contra esfuerzos largo 2 - 5. Y ancho de cara A contra ancho de
cara B – L. para el DIENTEE y el DIENTEF
100%, ,
%
100% %
DIENTEE
Aumento de largo 40% 80% 120% 160% % de Disminución de Esfuerzo 24% 38% 42% 50%
Tabla #17 Resultados caso 3
DIENTEF
Aumento de largo 40% 80% 120% 160% % de Disminución de Esfuerzo 24% 33% 37% 39%
Tabla #18 Resultados caso 3 Aunque se ve la tendencia de no disminuir mucho mas a medida que se aumenta el largo,
por lo tanto no es de utilidad aumentar mucho más el largo después del 160%.
64
DIENTEE Aumento
de ancho de
diente 10% 21% 33% 46% 61% 77% 94% 114% 135% 159% 185% 220%
% de
Disminución
de Esfuerzo 22 31 38 40 46 48 53 52 58 59 59 59
Tabla #19 Resultados caso 3
DIENTEF Aumento
de ancho de
diente 10% 21% 33% 46% 61% 77% 94% 114% 135% 159% 185% 220%
% de
Disminución
de Esfuerzo 19 23 32 38 46 51 56 54 61 66 63 63
Tabla #20 Resultados caso 3
Aunque se ve la tendencia de no disminuir mucho mas a medida que se aumenta el ancho
de diente, por lo tanto no es de utilidad aumentar mucho más el ancho después del 159%.
Vemos que este resultado es muy similar al de las piezas rectas. Por lo que se puede decir
que la curvatura no afecta la tasa de disminución de esfuerzos a la variación de largo y ancho de cara.
Otro resultado importante es que la magnitud de los esfuerzos no varía demasiado entre
dientes con diferentes radios. Aunque si entre vigas con radios y vigas rectas, como se
muestra a continuación.
La diferencia entre el esfuerzo producido, entre las vigas rectas y las curvas, se presentan
en la siguiente tabla:
ANCHO DE CARA A B C D E F G H I J K L
% INCREMENTO DE ESFUERZO
89% 86% 84% 80% 78% 73% 65% 57% 47% 33% 25% 19%
Tabla #21 Resultados caso 3
65
10.4 Análisis para CASO # 4: Resultados teóricos:
Si miramos el comportamiento de las graficas teóricas del CASO # 4, de la #17 a la # 20,
vemos que el esfuerzo normal nunca es mayor a dos veces el cortante. En todos los casos el
cortante predomina como el esfuerzo de falla. Por lo tanto se deberá diseñar para un
esfuerzo normal máximo entre 2 y 4,5 veces mayor al aplicado.
La tabla que muestra el factor por el cual deberá ser multiplicado el esfuerzo normal se
muestra a continuación:
Para el ancho de cara
Relación Ancho de cara/
Longitud [0,6-0,8] [0,8-0,98]
[0,98-
1,2] [1,2-1,3] [1,3-1,6] [1,6-2,2]
Factor de seguridad para
esfuerzo σ de diseño 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Tabla #22 Resultados caso 4
De las graficas #18-20, vemos que el largo de la viga no afecta este factor. Esto porque la
diferencia entre el esfuerzo normal y el cortante siempre permanece constante.
Resultados simulaciones:
Si miramos el comportamiento de las graficas de simulaciones del CA SO # 4, de la # 21 a
la # 24, vemos que el esfuerzo normal está muy cerca de ser dos veces el cortante. Por lo
tanto es una zona confusa donde no se sabe cuál es el esfuerzo que predomina como el
esfuerzo de falla. Por esta razón se deberá diseñar para un esfuerzo normal máximo 2
veces mayor al aplicado. Esto garantizaría que no fallara por cortante.
Comparación entre resultados teóricos y simulados: Como podemos ver, los resultados teóricos muestran una variación según el ancho de cara
del diente, esta va de tener que usar un factor de seguridad de 2, a uno de 4,5. M ientras que
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los resultados simulados muestran que sin importar el ancho de cara, se debe usar un factor
de 2. Los dos resultados coinciden en que el largo de la viga no afecta el resultado de las
diferencias entre los esfuerzos cortantes y normales. M anteniéndose constante la razón
entre estos a cualquier largo.
11. CONCLUSIONES
Para el caso uno podemos concluir que más allá de una relación de ancho de cara longitud
de diente de 2,4, no se puede diseñar para que el esfuerzo normal sea el esfuerzo de diseño. Aunque si se quiere tener completa seguridad, la relación no debe superar 2,2. Ya que este
es valor que sugiere la norma AGMA, valor que coincide con el promedio entre los valores
teóricos y simulados.
Para el caso 2 se puede concluir que mientras se mantenga entre el rango de ancho de cara/
longitud de diente encontrado en el punto 1, el esfuerzo de diseño es el esfuerzo normal.
Además se concluye que para los dientes rectos, cuando la línea de carga tiene un espesor de 1% no es de utilidad aumentar mucho más el largo después del 160%. Además tampoco
es de utilidad aumentar mucho más el ancho después del 135%.
Para el caso 3 se puede concluir que cuando la línea de carga tiene un espesor de 1% no es
de utilidad aumentar mucho más el largo después del 160%. Además tampoco es de
utilidad aumentar mucho más el ancho después del 135%. De igual manera que con los dientes rectos, aunque si se pierde capacidad de carga en comparación con los anteriores,
capacidades menores del orden del 60%.
Para el caso 4 se puede concluir que se debe diseñar con un factor de seguridad mínimo de
2 para que se mantenga el esfuerzo normal como el esfuerzo de diseño. Y según el caso
llegar hasta 4,5 de FS.
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BIBLIOGAFIA
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