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Historia y Naturaleza de la Matemática Lic. Mariano Solórzano

Alejandra Y. Alvarado

1208-1994-00322

Ensayo Sobre

Arquímedes de Siracusa A Arquímedes se le podría llamar el padre de la física matemática, murió cuanto tenía

unos 75 años, su padre fue astrónomo y el mismo se hizo una reputación en astronomía,

en el transcurso de su vida pudo haber estudiado con los discípulo de Euclides en

Alejandría y esto a verlo llevado a convertirse en matemático mas importante de la

época Helenística; sin embargo no era natural de dicha ciudad, el vivió y murió en

Siracusa, y cuando está enfrento la segunda guerra púnica, el invento ingeniosas

maquinas de guerra, como catapultas para lanzar piedras, sogas, poleas y garfios para

levantar los barcos, pero al final Siracusa cayo a manos de los romanos y durante el

saqueo a la cuidad fue asesinado por uno de los soldados. En sus inventos siempre

estuvo más interesado en los principios generales que en las aplicaciones prácticas.

Arquímedes no fue el primero en formular la ley general de la palanca. En las obras de

Aristóteles se encuentra la afirmación que dos pesos son en los extremos de una palanca

se equilibran si son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo.

Señalaban que los extremos de los brazos desiguales de una palanca describían arcos de

circunferencias y no líneas rectas en sus desplazamientos en torno al punto de apoyo, de

manera que el extremo del brazo mayor se moviera siguiendo una circunferencia mayor,

luego el camino recorrido se aproximaría mas al movimiento rectilíneo vertical que no

el del extremo del brazo menor. Y luego Arquímedes considera que cuerpos

bilateralmente simétricos están en equilibrio.

La ley de la palanca de Arquímedes forma parte de dos libros sobre el equilibrio de los

planos, el cual no es el más antiguo de física, ya que ya existía una obra de ocho libros,

llamada física de Aristóteles.

Aparte de su obra sobre el equilibrio de los planos Arquímedes público dos libros que

tratan sobre los cuerpos flotantes. Donde a partir de un simple postulado obtiene

resultados muy interesantes. Como el bien conocido principio hidrostático de

Arquímedes:

“Cualquier sólido más ligero que un fluido y situado en el se sumergirá hasta el punto

en que el peso del solido sea igual al peso del fluido desplazado”

El tratado de Arquímedes sobre los cuerpos flotantes contiene muchas cosas que las

propiedades sencillas de los fluidos, como las proposiciones de equilibrio de segmentos

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de paraboloides flotando en fluidos y demuestra, que la posición de reposo depende de

los pesos específicos relativos del paraboloide sólido y el fluido en el que flota.

Interesado por dar solución al problema de sacar agua del rio Nilo para regar las tierras

cultivables del valle, inventó un mecanismo que se conoce como el tornillo de

Arquímedes, que consiste en un tubo o conducto de forma helicoidal cilíndrica que se

hace girar por medio de una manivela en torno a un eje, manteniéndolo inclinado.

Se dice que los sabios griegos mostraron desprecio por la logística que sería la teoría y

las aplicaciones prácticas de la matemática, sin embargo consideraban la aritmética

como ocupación filosófica honorable, y esta solo asía referencia a los cálculos

rutinarios y mecánicos.

En otra obra conocida como el Arenario, Arquímedes se jacta de poder escribir un

número mayor que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo.

Este proceso de cálculo se refería a una de las teorías astronómicas más atrevidas de la

antigüedad, formulada por Aristarco de Samos que proponía situar a la Tierra en

movimiento alrededor del Sol. Donde se sugería que las posiciones de las estrellas

debían cambiar al desplazarse la Tierra en su movimiento alrededor del Sol, pero al ver

que esto no sucedía Arquímedes y otros astrónomos de ese tiempo rechazaron la

hipótesis heliocéntrica; pero Arquímedes en su afán de cumplir su promesa tenía que

considerar las dimensiones del universo y así demostró que podía aumentar los granos

de arena, comenzó con ciertas estimaciones como la de la circunferencia de la Tierra en

unos 300,000 estadios y otras que se habían hecho en su época relativas a los tamaños

la Luna y el Sol y las distancias de estos con las estrellas fijas.

Por otro lado mostro la aproximación de la razón de una circunferencia a su diámetro.

Partió de un hexágono regular inscrito en la circunferencia, calculo los perímetros de

los polígonos obtenidos duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar al

polígono regular de 96 lados. Un procedimiento iterativo que se utiliza para estos

polígonos está relacionado con lo que se llama algoritmo de Arquímedes. Es

importante resaltar que ningún matemático griego utilizo nunca nuestra notación de π ni

la idea de numero como razón de la circunferencia al diámetro en un circulo. Una de

las obras más populares de Arquímedes durante la edad media fue sin duda alguna el

tratado sobre la medida del circulo que incluye solo tres proposiciones.

Arquímedes dio solución a dos de los tres problemas clásicos, claro, no lo hizo solo con

regla y compas si no que haciendo uso de la conocida espiral de Arquímedes, curva que

atribuye a su amigo Conon de Alejandría; esta se define como el lugar geométrico de un

punto en el plano que, partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformen te

sobre ella, mientras que la semirrecta gira a su vez uniformemente alrededor de su

extremo. En este estudio Arquímedes parece haber determinado la tangente a la curva

por medio de consideraciones cinemáticas que recuerdan el cálculo diferencial.

Considerado como la obra más difícil de Arquímedes esta el libro sobre las espirales,

donde se refiere principalmente al método de la exhauscion, pero también tubo uno mas

famoso, el de la cuadratura de la parábola, y fue donde logro cuadrar una sección

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cónica; en el preámbulo de esta podemos identificar la hipótesis o lema que se suele

conocer hoy como el axioma de Arquímedes: “ Que el exceso por el cual la mayor de

dos áreas desiguales supera a la menor, añadido a sí mismo la cantidad de veces que sea

necesario, puede llegar a exceder cualquier área dada”

En el trabajo sobre conoides y esferoides, calcula el área de la elipse: “Las áreas de las

elipses son entre sí como los rectángulos construidos sobre sus ejes”, esto es lo mismo

que decir que el área de la elipse es 𝜋𝑎𝑏, o bien que el área de una elipse es igual al área

de un circulo cuyo radio sea la media geométrica de los dos semiejes de la elipse.

Arquímedes demostró algo muy interesante, que la diferencia entre los volúmenes el

sólido circunscrito e inscrito era igual al volumen de la rodaja inferior de los cilindros

circunscritos. La diferencia principal entre esta obra y los métodos modernos del

cálculo integral radica en la falta del concepto de limite de una función, aunque ya

existía tal concepto este no fue formulado por matemáticos de la antigüedad.

Arquímedes descubrió y demostró que el área de la esfera es exactamente igual a cuatro

veces el área de un circulo, entonces, pidió que cuando muriera se tallara sobre su

tumba una representación de una esfera inscrita en un cilindro circular recto de altura

igual al diámetro de la esfera, también demostró que la superficie de un segmento

esférico cualquiera es igual a un circulo cuyo radio es el segmento trazado desde el

vértice del segmento esférico a un punto cualquiera de la circunferencia base de dicho

segmento.

El diagrama que pidió Arquímedes efectivamente se grabo en su tuba según lo cuenta

Cicerón, este era que era un famoso orador romano, que descubrió la tumba con el

diagrama en un estado crítico, restauro la tumba, pero a desaparecido el rastro de ellos

con el paso de los tiempos.

Para justificar la fórmula para el volumen de un segmento de una esfera dada,

Arquímedes demuestra que para cortar una esfera dada por un plano, de manera que las

superficies de los dos segmentos resultantes estén en una razón dada, uno tiene que

trazar simplemente un plano perpendicular a un diámetro pasando por un punto de

dicho diámetro que lo divida en dos segmentos que estén en la razón deseada, y luego

muestra como cortar por un plano una esfera dada de manera que los volúmenes de los

dos segmentos estén en una razón dada. Arquímedes ataco su solución tal como había

hecho sus predecesores para resolver el problema de Delos, es decir, usando

intersección de cónicas.

Lo interesante es ver como los griegos desarrollaban las cubicas cuyo enfoque era muy

distinto al de las cuadráticas. Arquímedes consiguió solucionarlas de una forma muy

distinta, transformando toda ecuación cubica en una conocida estudiada por el mismo.

Arquímedes al igual que promovió problemas muy avanzados no dejo de lado los

elementales, en su libro de los Lemas se encuentra un estudio de una figura llamada

arbelos o “cuchillo de zapatero”.

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El cuchillo de zapatero es el área del plano limitada por tres semicírculos tangentes dos

a dos, siendo la superficie en cuestión la que queda dentro del semicírculo mayor y

fuera de los dos menores. También en este libro se encontró la famosa trisección

arquimediana del ángulo.

El problema de los bueyes del cual se duda su autenticidad es un reto matemático que

consiste en resolver un sistema de ecuaciones indeterminadas simultáneas en ocho

incógnitas, los números de vacas y bueyes de cada uno de cuatro colores diferentes.

En un comentario tardío se nos dice que Arquímedes descubrió todos los 13 posibles

sólidos llamados semirregulares.

Un sólido o poliedro regular tiene caras que son polígonos regulares del mismo tipo, y

un solido semirregular es un poliedro convexo cuyas caras son también polígonos

regulares, pero no todos del mismo tipo.

Los sabios árabes atribuyen a Arquímedes, el teorema de la cuerda rota del cual pudo

obtener algunas identidades trigonométricas y puedo ayudar mucho para cálculos

astronómicos.

Casi todas las copias de las obras de Arquímedes provienen de un único original griego

que existía a comienzos del siglo XVI y que estaba copiado a su vez de otro original

que databa del siglo IX o el X aproximadamente y han sufrido una transmisión muy

accidentada. En cambio los elementos de Euclides han sido conocidos por los

matemáticos sin interrupciones desde que fueron escritos.

El método de Arquímedes descubierto en 1906 que data de hace más de 2000 años,

revela una faceta del pensamiento de Arquímedes, donde sus tratados son verdaderas

joyas de precesión lógica. Contenía una descripción muy detallada de las

investigaciones mecánicas preliminares que le condujeron a muchos de sus

descubrimientos más importantes, presenta una quince proposiciones enviadas a

Eratóstenes en forma de carta.

Se dice que Arquímedes afirmo que tenía un propio método mecánico que le permitía

preparar el camino para algunas demostraciones, cuyo primer teorema que descubrió

por este método fue el que se refiere a dos áreas de un segmento parabólico.

El teorema que fue grabado sobre su tumba su el favorito de Arquímedes el cual

aparece en el método, seguido por una propiedad de equilibrio que el mismo descubrió

que se puede comprobar con formulas modernas.

Para descubrir los volúmenes de los segmentos de los tres sólidos de revolución el

elipsoide, el paraboloide y el hiperboloide, así como los centros de gravedad del

paraboloide de un hemisferio esférico y de un semicírculo; Arquímedes hizo uso del

método del equilibrio de las secciones circulares con respecto a un vértice.

El método era un manuscrito que consistía de 185 hojas algunas de pergamino y otras

de papel. Contenía el libro sobre la esfera y el Cilindro, la mayor parte sobre Las

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Espirales, parte de la Medida del Circulo y sobre el equilibrio de los planos como

sobre los cuerpos flotantes, los cuales ya se conocían por otros manuscritos.

Fue la preocupación religiosa que estuvo a punto de borrar por completo esta obra,

cuando fue utilizado con el objeto de nuevo pergamino para una colección de oraciones

y textos litúrgicos de la iglesia ortodoxa oriental.