ensayo mat ust 9 2014uc

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MATEMÁTICA ENSAYO UST-214

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

1

PRUEBA DE MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES

1.- Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

3.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.- Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.

5.- Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

6.- No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.

7.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja, ya que NO habrá tiempo extra para ello. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8.- Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.

9.- Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10.- Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados.

11.- A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

13.- El presente folleto es de su propiedad. Deberá entregar solamente la hoja de respuestas al encargado de la supervisión del desarrollo del Ensayo.

DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total.

ENSAYO PSU

Forma UST 214

FIRMA . . –

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INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede

consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

2. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas.

3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un

sistema de ejes perpendiculares.

4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al

lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente cones mayor que ~ es semejante con

es menor o igual a es perpendicular aes mayor o igual a es dist int o de

ángulo recto // es paralelo aángulo pertenece a

log logaritmo en base 10 AB trazo ABconjunto vacío x v

< ≅>≤ ⊥≥ ≠

∈

φ

∢

c

alor absoluto de x

unión de conjuntos x! factorial de xint er sec ción de conjuntos A complemento del conjunto A

∪∩

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3

1. 1

1

(0,5) 0,9950,9

−

−+ =

A) 2650

B) 7

C) 9318

D) 710

−

E) 2

2. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA?

A) Todo número entero es racional.

B) Todo número natural posee sucesor.

C) Todo número entero posee antecesor.

D) Todo número natural tiene antecesor.

E) Los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales.

3. Si n 3= , entonces el valor de ( )2n 1

6

+ truncado a la centésima es

A) 2,66

B) 1,33

C) 2,67

D) 1,34

E) 2,65

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4

4. Si a es un número real positivo, b es el opuesto de a y c es el recíproco de b, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ( )c a b 0− =

II) ( )3a b 1+ =

III) + + + =ac 1 a b 0

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

5. Al ordenar en forma creciente los números = 4a 7 , =b 3 y = 3c 5 se

obtiene

A) a, b, c B) a, c, b C) b, c, a D) c, a, b E) b, a, c

6. En un grupo de estudiantes, 25

de ellos no hace deporte, 16

juega

fútbol y los 26 restantes juegan tenis. ¿Cuál es el doble de estudiantes que tiene el grupo?

A) 520 B) 260 C) 240 D) 120 E) 60

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5

7. Dada la expresión ( ) ( )n n 1 2n1

+ +− con n un número natural. ¿Cuál(es) de

los siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si n es par, entonces la expresión es positiva. II) Si n es impar, entonces la expresión es positiva. III) Si n es divisor de 12, entonces la expresión es cero.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

8. Si el precio de un artículo es $ 800.000, éste se aumenta en su cuarta parte y el nuevo precio se disminuye en su cuarta parte, entonces el precio final, en pesos, es

A) ⋅ 3450 10 B) ⋅ 460 10

C) ⋅ 70,1 10

D) ⋅ 50,75 10

E) ⋅ 57,5 10

9. Dado un número natural n cualquiera, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre divisible(s) por 2?

I) + +2n n 2 II) +n 4 III) −3n n

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III.

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6

10. Un grupo de 9 amigos desea repartir en partes iguales 67 kg de azúcar, para lo cual deciden aproximar la cantidad obtenida a la décima por defecto. Si M es la cantidad que recibe cada uno luego de la aproximación, ¿cuál es la diferencia entre la cantidad inicial a repartir y 9·M, en gramos? A) 0,4 B) 400 C) 40 D) 0 E) 0,04

11. Si < <0 x 1, entonces de las expresiones siguientes la mayor es

A) x 1+

B) 2x

C) 3x

D) 1x

E) x

12. Si a es un número racional distinto de cero, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones siempre representa(n) un número racional?

I) 3a

II) 1

a

III) 2a

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

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13. De acuerdo a los estudios científicos, la masa de un electrón es aproximadamente −⋅ 230,000091083 10 gramos. Este valor, en kilogramos, expresado en notación científica es A) 319,1083 10−⋅ B) 309,1083 10−⋅ C) 299,1083 10−⋅ D) 289,1083 10−⋅ E) 279,1083 10−⋅

14. Sea n un número entero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ( ) ( )n n5 1 5 1+ − es siempre un número par.

II) n5− es siempre positivo. III) n5 es siempre divisible por 5.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

15. El valor de ( )13 4 3 1 2 3− ⋅ + es

A) –11 B) 11 C) 12

D) 5 3

E) 22 3 11−

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16. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO representa la unidad?

A) ( ) ( )log 5 log 2+

B) ( ) ( )log 40 2log 2−

C) 1log

10 −

D) ( )log 100 1−

E) ( ) ( )log 10 log 1⋅

17. Se planea construir un edificio de una cierta cantidad de pisos, para ello se dispone de 80.000 gramos de mezcla para concreto. En el primer piso del edificio se usan P veces Q kilos de tal mezcla. ¿Cuánto de la mezcla restante, en kilos, se debe usar para que, luego de terminado el segundo piso del edificio, queden solo 10 kilos del total de la mezcla guardada?

A) 70PQ B) 70 PQ− C) PQ 70− D) PQ 70.000−

E) PQ

701.000

−

18. Se compraron A artículos en $ B. Si de los artículos comprados, se

pagó $ C al contado en la primera cuota, entonces, la expresión B C

A−

puede ser interpretada como

A) el dinero que se queda debiendo. B) lo pagado por cada artículo. C) lo que se queda debiendo por cada artículo. D) lo que se paga en total. E) ninguna de las afirmaciones anteriores.

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19. Para x 1≠ ± , el resultado de 1

2

x x 11 :

x 1 x 1 x 1

− + − + − +

es igual a

A) 2x 1−

B) ( )

2

22

x 1

x 1

−

+

C) ( )22

2

x 1

x 1

+

−

D) x 1x 1

+−

E) 2x 1+

20. Dado que 4x 8 2y 8+ = + , ¿en cuál(es) de las siguientes opciones se presenta una afirmación que es siempre verdadera?

I) Si x

2a

= e y

4b

= , entonces a b= .

II) Si x 1c 2

= e y

1d

= , entonces c d≠ .

III) Si x

2e

= e y

1f

= , entonces e 1f 2

= .

A) Solo en I

B) Solo en II

C) Solo en I y en III

D) Solo en II y en III

E) En ninguna de ellas.

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21. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una situación que se resuelve mediante un sistema de ecuaciones lineales?

A) La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados es 15.

B) El perímetro de un rectángulo es igual a 100 cm y su área es igual a 250 cm .

C) La suma de dos números es 12

y la suma de sus recíprocos es 58

.

D) Dos números están en la razón 2 : 3 y el número mayor menos el número menor es igual a 30.

E) Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 5 : 3 y su superficie mide 2120 cm .

22. Sean x e y números enteros positivos. De acuerdo a ello, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene solución?

A) 2x y 9x y 15

+ =− =

B) 2x y 9x y 3

+ =− =

C) 2x y 1x y 0

+ =− =

D) 2x y 1x y 1

+ = −− =

E) 2x y 0x y 0

+ =− =

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23. Si una ecuación cuadrática, de incógnita x, tiene por raíces a los números 1x y 2x , ¿qué alternativa relaciona correctamente a las raíces

de ella y la incógnita?

A) ( )21 2 1 2x x x x x x 0+ − + ⋅ =

B) ( )21 2 1 2x x x x x x 0− − + ⋅ =

C) ( )21 2 1 2x x x x x x 0+ + − ⋅ =

D) ( )21 2 1 2x x x x x x 0− − − ⋅ =

E) ( )21 2 1 2x x x x x x 0− + + ⋅ =

24. Si A corresponde al conjunto de todos los números reales que son menores a 3. B corresponde al conjunto de todos los números reales mayores a 7 y C corresponde al conjunto de todos los números mayores a 3 y menores a 7. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa la solución de la inecuación x 5 2− < en términos de

algunos de los conjuntos antes mencionados?

A) A B∪ B) CC C) { }A B 7∪ ∪

D) C E) A C∩

25. La inecuación ( ) ( ) ( )21 x x 3 x 2− + ≥ − − es equivalente a

A) 6 7x≤

B) 6x 7≤

C) 6 7x≥

D) 6x 7≥

E) 6 7x− ≤

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26. Si el doble del cuadrado de la diferencia entre un número real positivo y tres es igual al triple del cuadrado del mismo número aumentado en 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a tal número?

I) Si x es el número, entonces la ecuación que permite resolver

el problema es 2x 12x 19 0+ − = .

II) El número es irracional.

III) El número es menor que 1.

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas es verdadera.

27. Un adivino plantea el siguiente desafío: “el triple de las ovejas de mi rebaño menos una es mayor al número de ovejas que tengo, más dos, pero la mitad de ellas es a lo más la cuarta parte de la ovejas, más tres”. Si una persona aceptó el desafío del adivino y respondió correctamente la pregunta del, entonces tal persona afirmó que el adivino tiene

A) más de una oveja, pero menos de 12.

B) más de dos ovejas, pero menos de 14.

C) entre dos y 13 ovejas.

D) más de una oveja pero no más de 12.

E) más de dos ovejas pero siempre menos de 10 ovejas.

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28. Siendo a y b números reales cualquiera. ¿Cuál(es) de las siguientes

desigualdades es (son) siempre verdadera(s)?

I) 2 2a b

ab2+ ≥

II) 2a 2a 1≥ −

III) ( )21 a 1 2a+ ≥ +

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

29. En una empresa, se sabe que si se producen 10 barriles de petróleo,

entonces ganarán US$ 1.100, pero si producen 5 barriles, la ganancia

es de US$ 1.000. Si se sabe que esta situación la modela una función

afín, ¿cuántos barriles se deberán producir exactamente para obtener

una ganancia de US$ 3.600?

A) 135 barriles.

B) 262 barriles.

C) 354 barriles.

D) 412 barriles.

E) 500 barriles.

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30. Para x 1≥ se define la función ( )f x 4 5 x 1= + − . ¿Cuál es la

preimagen de 3 bajo f?

A) 4 5 2+ B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

31. La siguiente figura corresponde a la gráfica de una cierta función f. Entontes, de acuerdo a ella, es correcto que

I) ( ) ( )f 3 f 2 5= − +

II) ( ) ( )f 4 f 0 0⋅ =

III) En el intervalo 2,4− la función es creciente.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de las afirmaciones es correcta.

5

3

2

–2 3 4 x

y

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32. Dadas las funciones ( )f x x 3= + con dominio en los números reales y

( )g x x= , para x 0≥ . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) La función ( )( )f g x está definida para los números no negativos.

B) La función ( )( )g f x está definida para todos los números reales.

C) Ambas funciones, f y g, son crecientes en todo su dominio.

D) ( )( ) ( )f g 4 f 2=

E) ( )( ) ( ) ( )g f 1 1 g 1 f 3= + + −

33. Para la función cuadrática ( ) 2f x x 5x q= − + , se afirma que

I) si q 6= − , entonces la gráfica de f corta al eje x en un valor

positivo y en otro negativo.

II) si q 0= , entonces la gráfica de f pasa por el origen del

sistema coordenado.

III) si q 0> , entonces la gráfica de f corta en dos valores

positivos al eje x.

De tales afirmaciones, es (son) verdadera(s)

A) solo I. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) todas ellas son verdaderas.

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34. Si el máximo valor de la función ( ) 2f x 2x px 1= − + − se alcanza cuando

x toma el valor 1

2, entonces, p es igual a

A) 2 2

B) 14

C) 22

D) 2 2−

E) 2

35. ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que mejor representa a la función

( )x

1f x

2 =

?

A) B) C)

D) E)

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36. En el cuadrilátero convexo ABCD, AD DC⊥ , con ángulos DAB y ABC congruentes, DE y CF son alturas, se traza CG paralelamente a AB ,

intersectando al lado AD en su punto medio G y a la altura DE en H, como en la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) GHD BFC∆ ≅ ∆

II) AED ~ GDC∆ ∆

III) El trapecio AFCG es semejante al trapecio DEFC.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

37. Si al punto (–3, 4) se le aplica una simetría con respecto a una recta M se obtiene el punto (–3, –2), y si a este último se le aplica una simetría con respecto a otra recta P se obtiene el punto (1, –2). Entonces el punto que está en la intersección de las rectas M y P es A) (–1, 1)

B) (1, –1)

C) (4, 6)

D) (2, –3)

E) (0, 0)

A B E

C

D

G H

F

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38. Dados los puntos ( ) ( )P 7,1 y R 1,1− − , para que el segmento PR

corresponda a una de las diagonales del rombo PQRS, de perímetro 20, las coordenadas de Q y S deben ser

A) ( ) ( )4,5 y 4, 5− − −

B) ( ) ( )4,5 y 4, 3− − −

C) ( ) ( )4,3 y 4, 5− − −

D) ( ) ( )3, 4 y 5, 4− − −

E) ( ) ( )3,4 y 5,4−

39. En la figura se tiene el rectángulo AEFJ, en que JI = t, IH = HG = 3t y

GF = 2t, y en cuyo interior se han dibujado triángulos de modo que B,

C y D son las intersecciones de las simetrales de IH, HG y GF,

respectivamente, con el lado AE. ¿Cuál de las siguientes alternativas

es FALSA?

A) DF DG≅

B) BCH GHC∆ ≅ ∆

C) CDG FGD∆ ≅ ∆

D) DEF IJA∆ ≅ ∆

E) ABI DCG∆ ≅ ∆

A B C D E

F G H I J

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40. Si se tienen los vectores ( )OA 3,0=��

, ( )AB 1,1=��

y ( )BC 0,4=��

, entonces

el vector OC y su módulo son, respectivamente,

A) (5, 4) y 41

B) (4, 5) y 41

C) (4, 5) y 3

D) (–3, 4) y 5

E) (–2, –3) y 5

41. Dado un cuadrilátero ABCD, con A(1, 1), B(7, –1) , C(8, 2) y D(2, 4),

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) AB //CD y BC//AD

II) AB 2BC=

III) El área de ABCD es 20.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

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42. Según las medidas dadas en los triángulos de la figura siguiente, el valor de x es

A) 4

p5

B) 4cp5b

C) 4b

5cp

D) 5

p4

E) Falta información para determinarlo.

43. El trapecio isósceles ABDE, de base mayor AB , está dividido por CF , paralelo a AB , de modo que los dos trapecios ABCF y FCDE son semejantes. Si AB = 32 cm, ED = 8 cm, AE = 24 cm, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) CF = 16 cm.

II) CD = 12 cm.

III) La razón de las áreas de los trapecios ABCF y FCDE es 1:4 .

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

20 b

35 b

16 c

28 c

p x

40º

40º

A B

C

D E

F

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44. Si Q es un punto en la prolongación de AB , entonces ¿en cuál(es) de las siguientes opciones se puede afirmar que la razón AQ : BQ =5 : 2?

I) II) III)

A) Solo en I

B) Solo en I y en II

C) Solo en I y en III

D) Solo en II y en III

E) En I, en II y en III

45. Si las rectas 1L y 2L son paralelas, y las rectas 3L y 4L se intersectan

en O, con las medidas indicadas en la figura, si OQ – OR = 4 cm, entonces la medida del segmento OS es

A) 323

cm

B) 16 cm

C) 28 cm

D) 36 cm

E) 48 cm

O

P

Q R

S L1

L2

L3 L4

6x 4x

12x

1,05 m

α α

A B Q

5k 2k

A B Q

30 cm 12 cm

A B Q

0,63 m

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46. Si se trazan desde P dos rectas secantes a la circunferencia en A, B C y

D, como en la figura, con BA = AP = 6 cm y PC = 4 cm, entonces CD

mide

A) 4 cm

B) 9cm

C) 56 cm

D) 18 cm

E) 14 cm

47. En el octógono regular ABCDEFGH de la figura, inscrito en la

circunferencia de centro O, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es

(son) verdadera(s)?

I) 3 ECD BCG⋅ =∢ ∢

II) GFE 2 BCG= ⋅∢ ∢

III) 2 EOG ECG⋅ =∢ ∢

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo I, II y III

B A

C

D

E F

G

H

O

P

A

B

C D

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48. Si a la recta de ecuación 7y x 7

5= + se le aplica una simetría con

respecto al origen O del sistema coordenado, se obtiene otra recta de ecuación

A) x y

17 5

+ =−

B) x y

15 7

+ =−

C) x y

15 7

+ =− −

D) x y

15 7

+ =−

E) x y

15 7

+ =

49. Dada la recta de ecuación 3kx 2y 1 0− + = , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Para que la recta tenga pendiente 1, k debe valer 13

.

II) Para que la recta sea perpendicular a otra de ecuación

2x 5y 0+ = , k debe valer 53

.

III) Para que la recta contenga al punto ( )3, 4− , k debe valer 1.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

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50. Si los rectángulos ABCG y CDEG son semejantes, AB : BC = 3 : 1, y F está en la intersección de BG y DE , como en la figura, entonces ¿cuál es la razón entre las áreas de los triángulos BDF y GEF?

A) 3 : 1

B) 9 : 1

C) 10 : 9

D) 100 : 81

E) 100 : 1

51. En el triángulo ABC rectángulo en C, su hipotenusa mide 13 cm. ¿Cuánto deben medir, en centímetros, el mayor de los catetos (z) y su proyección sobre la hipotenusa (x), respectivamente, para que su altura desde C sea 6 cm?

A) 6 2 y 6 B) 10 y 8

C) 3 13 y 9

D) 2 34 y 10

E) 6 5 y 12

52. El triángulo OAB está determinado por la intersección de la recta de ecuación 2x y 8 0+ − = y los ejes coordenados, como en la figura. ¿Cuál es la ecuación de la recta que contiene a la altura correspondiente al lado AB?

A) y 2x= −

B) 1

y x2

= −

C) 1

y x2

=

D) y 2x= E) y x=

B C D

E

F

G A

A

B

y

x O

A B

C

z

x

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53. Siendo a y b números reales positivos, ¿en cuál(es) de los siguientes casos la gráfica corresponde con la afirmación?

I) El sistema de ecuaciones correspondiente a las rectas graficadas tiene solución vacía.

II) La recta de la gráfica es coincidente con la recta de ecuación 4ax 2y 4a 0+ − = .

III) El sistema que corresponde con las

rectas graficadas es y xy x 2a

== − +

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

–a b

–b

a

y

x

a

2a

y

x

a

2a a

y

x

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54. La siguiente gráfica muestra una homotecia que transforma el triángulo ABC en el triángulo RST. De acuerdo a esta gráfica, ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) La homotecia tiene una razón de valor negativo. B) Si AB = 12 cm y RS = 4 cm, entonces CO : CT 3 : 4= . C) El centro de la homotecia es O.

D) AC //RT E) Si BC = 15 cm, entonces RT = 5 cm.

55. En el romboide de la figura siguiente, la diagonal AC es perpendicular al lado CD . Según las medidas indicadas, el volumen generado al hacer girar indefinidamente el romboide en torno a su lado AB , es equivalente al volumen de

A) un cilindro de radio basal 8 cm y altura 6 cm. B) un cono de generatriz 10 cm y radio basal 8 cm. C) un cilindro de radio basal 10 cm y altura 6 cm. D) una pirámide de arista 10 cm y altura 8 cm. E) un cono de radio basal 8 cm y altura 12 cm.

R S

T

C O

A B

A

B

6 cm 10 cm

C

D

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56. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación vectorial ( ) ( ) ( )p t 3,4,1 t 1,2,1= + −

�

?

A) ( )0,0,0

B) ( )5,0,0

C) ( )0,3,4

D) ( )0,10,4

E) ( )2,0,2

57. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar mediante el vector ( )0, 5,0− un

triángulo equilátero que está en el plano XZ?

A) Un prisma recto de base triangular.

B) Un prisma recto de base rectangular.

C) Una pirámide de base triangular.

D) Una pirámide de base rectangular.

E) Un prisma oblicuo.

58. Si la región achurada de la figura siguiente está formada por un cuadrante de círculo con centro en O y radio OA = r, al que se le ha quitado un cuadrado cuyo lado mide la mitad del radio del círculo. ¿Cuál es el volumen, en términos de r, que se genera al hacer girar indefinidamente la figura en torno a OA ?

A) 313r

24π

B) 31r

24π

C) 33r

24π

D) 31r

12π

E) 35r

12π

O A

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59. En un grupo de 50 jóvenes el promedio de peso es 56 kg. Si el peso promedio de los 30 hombres es de 64 kg, entonces el promedio de peso de las mujeres es de

A) 40 kg

B) 56 kg

C) 36 kg

D) 25 kg

E) 44 kg

60. En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de arte se les preguntó en qué les gustaría especializarse, ante lo cual respondieron lo reflejado en la tabla siguiente.

Especialidad Número de estudiantes

Pintura 13

Grabado 2

Escultura 12

Diseño Gráfico 10

Educación Artística 13

Entonces, es falso afirmar que

I) el 20% de estos estudiantes prefiere Diseño Gráfico.

II) la moda es tanto Pintura como Educación Artística..

III) la mediana es Escultura.

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

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61. En una sala de espera de un hospital se registró las edades de las personas presentes, llenándose la siguiente tabla

Intervalo de edad

Frecuencia Acumulada

[0, 18[ 10 [18, 36[ 25 [36, 54[ 45 [54, 72[ 55 [72, 90] 60

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I) El total de datos es 60. II) El promedio de edades de la tabla es menor a 45. III) Los mayores de 54 años constituyen el 25% del total de

personas. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

62. Se le preguntó a 30 personas por el número de verdaderos amigos con los que contaban en su vida actual, obteniéndose las siguientes respuestas: 1, 3, 3, 5, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 3, 2, 1, 5, 5, 5, 4, 2, 1, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 5. Según tales datos, la mediana corresponde a

A) 1 amigo

B) 3 amigos

C) 2 amigos

D) 5 amigos

E) 4 amigos

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63. Si un profesor otorga 5 décimas en la última prueba a los 10 alumnos

que entregaron la tarea, entonces ahora la media aritmética de la nota

de la prueba de ese grupo de alumnos

A) aumentó en 5 décimas.

B) aumentó en 50 décimas.

C) disminuyó en 5 décimas.

D) disminuyó en 50 décimas.

E) aumentó 5 veces.

64. La siguiente tabla muestra las notas de una evaluación de los alumnos

de un curso. Si el promedio es 5,55, ¿cuál es el valor de x?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Número de

alumnos Nota

4 7

x 6

7 5

3 4

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65. Si dos distribuciones de datos, P y Q, tienen un rango de 9 unidades cada una y ambas una mediana igual a 20, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si P y Q tienen iguales valores mínimo y máximo, entonces la

media aritmética será igual en ambas.

II) En P y en Q la desviación estándar no puede ser cero.

III) Puede ser que la media aritmética de P sea menor que 20 y la

media aritmética de Q sea mayor que 20.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas es verdadera.

66. Al adentrarse hacia la cordillera, la probabilidad de encontrar un

camino cordillerano C tapado de nieve en invierno es de 25

. Entonces,

la probabilidad de que en 5 excursiones ningún día esté el camino tapado es

A) 5

5

35

B) 5

5

25

5⋅

C) 5

5

25

D) 5

5

35

5⋅

E) 0

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67. Si se lanza al aire dos dados normales de seis caras, enumeradas del

1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de obtener ambas veces una cara en la

que aparezca un número primo?

A) 1

B) 212

C) 14

D) 23

E) 24

68. Jaime debe estudiar Historia, Matemática, Lenguaje, Inglés y Química.

Si esta tarde le alcanza el tiempo para estudiar solo tres de estas

asignaturas, ¿de cuántas formas distintas puede organizar su tarde

para estudiar?

A) De 120 formas.

B) De 72 formas.

C) De 60 formas.

D) De 20 formas.

E) De 10 formas.

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69. A Julia le regalan una caja que contiene diez bombones de chocolate, de los cuales tres son rellenos de menta. Si Julia saca al azar dos bombones consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de que no sean de menta?

A) 715

B) 2845

C) 27

D) 7

210

⋅

E) 1490

70. Se realiza un concurso en que Gloria debe lanzar al aire una moneda normal 4 veces. En cada lanzamiento solo es posible obtener Cara o Sello. En base a ello se define X como la variable aleatoria “número de veces que le sale Cara”. ¿Cuál de las siguientes alternativas es INCORRECTA?

A) El recorrido de la variable aleatoria tiene 5 elementos.

B) La probabilidad de que X valga cero es 4

12

.

C) Es igualmente probable que X tome el valor 1 que el valor 3.

D) La probabilidad de que X tome el valor 1 es 15

.

E) El conjunto de posibles valores de la variable aleatoria X es

{ }0,1,2,3,4 .

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71. Se tiene una bolsa con fichas idénticas pero de distintos colores: 3 verdes, 5 blancas y 7 amarillas. Si el experimento de extraer de la bolsa una ficha, registrar el color que sale y devolverla a la bolsa, se realiza 3 veces y se define la variable aleatoria X como el número de veces que la ficha salió verde o amarilla, ¿cuál es la probabilidad de que X tome el valor 3?

A) 3

1015

B) 315

C) 3 715 15

⋅

D) 1015

E) 10

315

⋅

72. Ignacio juega con sus bloques de madera y quiere ubicarlos uno sobre

otro en una sola torre en que los de un mismo color vayan juntos. Si

tiene 2 azules, 4 rojos y 3 verdes, todos de distinto alto, ¿de cuántas

maneras distintas los pueden ubicar?

A) 9!

B) 2·3·4

C) 3!

D) 2·4·3·3

E) 2!·4!·3!·3!

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73. En una tómbola se tienen 5 bolitas enumeradas del 1 al 5. Si 200.000

veces se saca una de ellas, se mira el número y se devuelve a la

tómbola, según la Ley de los Grandes Números, aproximadamente,

¿qué porcentaje de las veces saldría un número impar?

A) 20%

B) 30%

C) 40%

D) 60%

E) 80%

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EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80

En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se

sabe que

(1) La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si

x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por Px

100, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.

Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta

información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.

Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que Px

Q100

= , luego

esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).

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74. La expresión −xy 1 es siempre negativa si:

(1) <x 0

(2) ≠y 0

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

75. La ecuación ( ) ( )a x 1 a a 1 x+ = + − tiene por solución, para x, un número

real positivo si:

(1) a 0≥ (2) a 1≠ −

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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76. Sean las funciones f : A B→ y g: C D→ , es posible realizar la

composición ( )( )g f x si se sabe que:

(1) C es subconjunto de B.

(2) Los conjuntos B y C tienen los mismos elementos.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




77. Se puede conocer las coordenadas de la imagen del punto P ( )4,6− , en

el plano cartesiano, al que se le aplica una transformación T, si se sabe que:

(1) T es una transformación que traslada el punto ( )2,8 al

punto ( )1,3− .

(2) ( )( ) ( )T T x, y x 6, y 10= − − .

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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78. Se puede determinar el número de lados n de un polígono regular que se dividió en n triángulos al trazar las uniones entre su centro O y sus vértices, si se sabe que:

(1) Los triángulos son congruentes y n es múltiplo de 3.

(2) Al rotar alguno de los triángulos en k·120º en torno a O, con k un número natural, su imagen siempre coincide con otro de los triángulos del polígono.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




79. El gráfico circular de la figura adjunta representa las 4 marcas de estufa más elegidas este año. Se puede determinar el número de personas que prefirió la marca C, si se sabe que:

(1) La frecuencia de D es 4.000 y C es el 25% del total.

(2) A y B obtuvieron cada una el 30% de las preferencias.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




A B

C D

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40

80. Se puede calcular la probabilidad de elegir de un curso, dos alumnos que tengan solo un hermano menor si se sabe que:

(1) El 50% de los alumnos tiene hermanos menores.

(2) El 50% de los alumnos tiene solo un hermano.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




ensayo mat ust 9 2014uc

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