FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS, UN PROBLEMA MUY ANTIGUO Y NOVEDOSO

JUAN GUILLERMO RAMÍREZ OROZCO

Materia

Filosofía e Historia de las Matemáticas

Docente

Juan Gonzalo Moreno

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS

MEDELLIN

2011

FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS, UN PROBLEMA MUY ANTIGUO Y NOVEDOSO

Día a día, he ido descubriendo nuevas cosas en la matemática, que me ha llevado a asumir una posición totalmente diferente hacia ella en el transcurso de los últimos años, cambiando mi concepción de aritmética y geometría, para descubrir nuevas facetas que han enriquecido mi quehacer profesional desde las ciencias naturales, teniendo de ellas una aplicación en mi trabajo desde la estadística descriptiva e inferencial, las finanzas, y las diferentes tasas que se pueden obtener y que han llevado a tomar decisiones, como desde el análisis de una regresión lineal para determinar la asociación entre dos variables que se evalúan en un tratamiento o una dieta y la ganancia de peso, pero considero que lo que voy a tratar en las siguientes líneas, puede superar un poco mi conocimiento, pero tratará de acercarse un poco a la filosofía de las matemáticas, describiendo de forma suscinta las distintas corrientes existentes en éste ámbito y poder tomar parte en la discusión identificando una corriente como la más acorde para mí en la cuestión matemática, ofreciendo mi discurso desde las ciencias biológicas.

¿Cómo así que filosofía de las matemáticas?

Sería muy fácil el ir a la internet a un buscador cualquiera, copiar este título, y pegar cualquier búsqueda que de por sí son excelentes, pero no es mi objetivo, pues la misma palabra filosofía invita a realizar una búsqueda de la verdad por sí mismo. Considero que las matemáticas son una explicación de la realidad, del desciframiento de grandes misterios para hacerlos más comprensible a través de un lenguaje de signos, así como lo realizaron en un principio las escuelas pitagóricas atribuyendo como arjé de las cosas existentes a los números o los platónicos basados en la concepción de los objetos matemáticos el ir construyendo el orden del mundo o las escalas del ser. En palabras más precisas la filosofía de las matemáticas, es el reconocimiento del valor exacto de los numeros, de la lógica de las estructuras, de la organización, con el fin de ir descubriendo la realidad de un modo más claro.

Al recordar lo anterior, e identificar en la realidad un gran número de estructuras y relaciones, como las que muestra Michel Serres en la fábula de Jean de la Fontaine “el lobo y el cordero”, que mencionaré por ejercicio pedagógico: orden, topográfico, causalidad, el fenómeno, la jerarquía política, el tiempo, relación parental y la organización social y sus papeles; llegan a nuestra mente una gran cantidad de preguntas, que subyacen en el fondo de la filosofía de las matemáticas, las cuáles enunciaré: ¿Qué es una estructura matemática y cómo se asocia a la realidad?; ¿de dónde y cómo surgen las estructuras matemáticas?,

¿serán éstas una simple intuición de nuestra mente, o tendrán una existencia real más allá de la realidad física?, ¿Las cosas son estructuras matemáticas reales o sólo hay un ejercicio mental de asignación que hace el ser humano, la concepción de estructura tiene consistencia por fuera de la racionalidad del hombre? ¿Están las estructuras matemáticas sólo en la mente humana, y si al hombre se le olvidaran las matemáticas sería fácil reconstruir todo lo elaborado hasta acá? ¿Cómo es la interacción mente-mundo para que de ella pueda surgir la matemática como explicación racional de la realidad? ¿Cómo es que el mundo externo parece adaptarse a estructuras mentales que se han desarrollado como por su propio dinamismo, sin ninguna intencionalidad práctica? ¿Cómo explicar el misterio de la  efectividad de la matemática cuando se realizan artefactos o se planean diversas actividades humanas?

Para concluir esta primera parte, la filosofía de las matemáticas no es otra cosa que el nexo existente entre matemática, número, relación y realidad o mundo conocible, relación que en ningún momento se puede considerar como algo accidental y que tratará de ser explicado por diferentes tendencias como el logicismo, el intuicionismo o el formalismo. Se puede afirmar que la filosofía de la matemática es tan antigua como la misma filosofía y matemáticas por separado, lástima que hoy esa relación se ve amenazada por un aumento excesivo de rechazo a las matemáticas, potencializados por la superficialidad de muchas ofertas. Tales de Mileto, están tal vez, la primera persona que asocia matemática y realidad, y es a partir de esta que puede explicar varios fenómenos; de modo muy elevado los pitagóricos, rindieron un culto al número, reconociendo en el universo una sinfonía numérica, las matemáticas para ellos permiten captar el orden del mundo y con el cual la naturaleza puede asemejar su comportamiento, es la estructura de las cosas lo que hay que conocer, y ésta puede ser expresada numéricamente; para Platón, los objetos del conocimiento existen no en el mundo sensible si no en un mundo ideal, fuera del espacio y del tiempo, estos objetos son las ideas, entes con existencia plena; y así a lo largo de la historia muchos han tratado de explicar la realidad de las cosas a través de la matemática, labor que explicaremos en adelante.

¿Cómo se ha entendido la relación entre matemáticas y realidad?

Para responder esta pregunta, tomaré de forma respetuosa, las palabras de Anastasio Alemán, quien en su libro: “Lógica, matemática y realidad”, afirma que muchas y a menudo contrapuestas concepciones sobre la naturaleza de la lógica, la matemática y la realidad han surgido a lo largo de la historia, concepciones que se pueden agrupar en dos grupos, las descriptivas y las no descriptivas. Las concepciones descriptivas comparten la tesis que la lógica y la matemática son

descriptivas de la realidad, las cuáles pueden ser platónicas o empiristas. Las no descriptivas o constructivistas, niegan las tesis del platonismo y empirismo, para estos los enunciados lógico-matemáticos no describe ningún tipo de realidad (ni ideal ni natural) preexistente a la propia actividad constructiva del matemático. La función propia de los enunciados lógico matemáticos no es describir, sino construir formas que pueden ser empleadas en la descripción de la realidad.

Las concepciones descriptivas se pueden identificar en dos tendencias opuestas entre sí, por un lado el desarrollo platónico, y por otro el empirismo. Para el platonismo la realidad que describe la matemática, no es una realidad sensible, que se palpe con los órganos sensoriales, por el contrario esta es abstracta, ideal, la cual es captada por la razón o algo llamado “intuición intelectual”; por el contrario, para el empirismo, esta realidad no está más allá de la naturaleza sensible, esta realidad es una, pero con múltiples facetas, la cual se describe con enunciados de diferente grado de generalidad.

Frente a estas dos posiciones que describen una realidad ideal o física con la matemática, surge la concepción de la matemática, como construcción de formas que pueden ser empleadas en la descripción de la realidad, pero no una realidad dividida en niveles a ejemplo del platonismo, identificando en la matemática una verdad lógica, no tanto de hecho, pues la matemática estaría por fuera de la demostración empírica. En este constructivismo se puede identificar varias corrientes que más adelante profundizaremos, por una parte el intuicionismo y por otra el convencionalismo; en el intuicionismo, hay un único tipo general de construcciones, siguiendo restricciones que excluyen el uso irrestricto del principio del tercer excluido, o la regla de inferencia de la doble negación, o la referencia a totalidades infinitas completadas; en el convencionalismo, no existe un único sistema formal, es decir existen diferentes reglas de juego.

Para comprender mejor el desarrollo de la filosofía de las matemáticas, se hace necesario que profundicemos en cada uno de los diferentes sistemas que han tratado de comprender esa realidad, buscando asumir desde nuestros precarios conocimiento en matemáticas una posición crítica, hasta identificar, según nuestro modo de comprender el problema una forma de acercar la realidad a través de las matemáticas.

¿Qué se habla cuando escuchamos la expresión “logicismo en matemáticas”?

Sin ser muy extenso, y comprendiendo un poco esta expresión trataré de forma muy resumida explicar y hacer comprensible lo que es el logicismo en matemática,

su validez, junto con los desaciertos. Para comprender mejor quiero transcribir las palabras del diccionario filosófico de Leandro harold Pantoja: es una de las corrientes principales que fundamenta la matemática en la lógica. Aunque ya Leibniz había anunciado esta idea, sólo a fines del siglo XX Frege hizo la tentativa de realizarla y se propuso definir los conceptos iniciales de la matemática recurriendo a términos exclusivamente lógicos; demostrar los principios de la matemática partiendo sólo de los principios de la lógica y aplicando sólo demostraciones lógicas. Los trabajos posteriores de Russell y Whitehead no tuvieron los resultados esperados, ya que el logicismo estaba basado en un principio metodológico falso como es afirmar la independencia de la matemática respecto al mundo exterior y de los problemas de su estudio. El avance de la lógica matemática ha llevado a la conclusión que ni siquiera las partes relativamente elementales de las matemáticas pueden estar sujetas a la lógica. Este principio fue sustentado por el lógico estadounidense Kurt Godel en su teorema de Godel.

Hasta aquí sólo nos hemos remitido a analizar el logicismo desde una fuente secundaria, como es un diccionario, pero se hace necesario ir desarmando esta tendencia desde todos los elementos que la componen para su mejor comprensión, y así poder establecer una posición lo más adecuada posible en torno a ella. Hay que advertir que la lógica se centra en la validez de los razonamientos y argumentos, por lo que se esfuerza por determinar las condiciones que justifican que el individuo, a partir de proposiciones dadas, llamadas premisas alcance una conclusión derivada de aquellas, la validez lógica depende de una adecuada relación entre las premisas y la conclusión, de tal forma que si la premisa es verdadera la conclusión también lo será.

Al afirmar que los conceptos matemáticos se definen desde una lógica pura, se quiere decir, que la matemática es independiente de cualquier concepción empírica o constatación con la realidad. Por tanto la matemática, sólo debe adecuarse a reglas correctas de símbolos, y estructuras mejor conocidas como a priori. En sí, eso tiene cierto grado de verdad, pues se está buscando una validez universal de las matemáticas, pero se está reduciendo la matemática aún ejercicio meramente lógico, del cual se derivan todos los teoremas generados en esta hermosa ciencia.

Sin pretender ser unos expertos en el asunto, lo logicistas crean una brecha que en el lenguaje kantiano se conoce como a priori, es decir, lo que se da antes de la experiencia no se da en esta, y a posteriori, es decir lo que necesita de la experiencia para ser válido. En mi opinión, sería muy reduccionista el querer asimilar la matemática aún simple reduccionismo lógico.

En palabras muy simples se estaría cayendo en un error de reduccionismo atómico o lógico, como sucedió con la matemática griega, que en palabras de Jorge Bosch, “se eligen ciertas proposiciones particularmente simples, destinadas a cumplir funciones análogas a la que desempeñan los átomos en las teorías físicas; tales proposiciones son los axiomas, a partir de estos axiomas y mediante el uso de reglas lógicas, se obtienen todas las verdades, cada una de estas verdades, que se demuestra mediante mecanismo lógicos a partir de los axiomas, recibe el nombre del teorema”.

Buscando representantes de esta escuela, se puede mencionar la obra de Frege, quien con su trabajo buscaba hacer reducir las matemáticas a la lógica, para ello intento mostrar que los números en su naturaleza son estructuras lógicas y por tanto se pueden axiomatizar. Con esta concepción, los números ya no serían propiedades relacionadas con las cosas empíricas, ni tendrían una naturaleza subjetiva, por tanto, el número es algo que vinculamos a un conjunto de cosas. Con lo anterior las matemáticas serían un conjunto de símbolos justificados mediante reglas lógicas.

En sí, la lógica elemental contiene reglas para la cuantificación de individuos, pero no posee regla alguna para la cuantificación de atributos, para superar este problema, la lógica necesita el refuerzo de ciertos axiomas adicionales. Por tanto, la lógica y la reducción de la matemática a esta, no estaría dando más que una verdad metafísica sobre el mundo real, sea como fuere, ni siquiera dar por supuesta la existencia de totalidades infinitas eliminaría la necesidad de complementar la lógica con principios que en esencia no son más que expedientes técnicos encaminados a evitar contradicciones.

¿Por qué razón el intuicionismo contradice el logicismo?

Para Leibniz, la lógica sería verdadera en todos los mundos posibles, pero, para el intuicionismo, cualquier intento de reducir la matemática a la lógica se fundamenta en un equívoco básico. Para Brouwer, la matemática no es verdadera en cualquier mundo posible. Antes de profundizar en estas ideas, sería bueno, recurrir al diccionario de filosofía para definir el término intuicionismo.

El intuicionismo matemático es una escuela filosófica idealista surgida a principios del siglo XX, en relación con la polémica en torno a los fundamentos teóricos de la matemática. Los intuicionistas matemáticos defienden el concepto de que la demostración matemática debe estar basada en la claridad intuitiva de cada uno de sus supuestos y no en su rigor lógico.

La corriente intuicionista atacaron todos aquellos paradigmas que reducían la matemática a un simple formalismo o logicismo. Para estos la matemática debía ser lo más simple posible, es decir, el lenguaje matemático queda abolido por una concepción de una matemática con una actividad sin lenguaje. Las ideas matemáticas deben estar implícitas en el pensamiento cotidiano, y éstas se logran conseguir mediante la experiencia del mundo externo, realizando el conocimiento matemático a través de la intuicion, lo que le lleva a demostrar ya no por lógica y axiomas conclusiones claras, indudables y evidentes; afirmar que las matemáticas son algo absoluto sería un error, pues estas están constantemente en revisión y progreso.

La existencia de entidades matemáticas sólo puede afirmarse cuando es posible llevar a cabo su construcción efectiva, la existencia Matematica no es independiente de la mente; es constructibilidad en la mente del matemático. Los principios de la lógica intuicionista describen de hecho los príncipios de razonamiento empleado en la matemática intuicionista, a diferencia del logicismo, que va de la matemática no lógica o sintética, para los intuicionistas los axiomas y teoremas matemáticos no son lógicos en el sentido de Leibniz, es decir verdaderos en todos los mundos posibles, ni en cualquier otro que pueda ser considerado una buena reconstrucción de aquel.

Una operación Matematica más que definirse tiene que demostrar y ejecutar, por lo tanto, en estas se observan una secuencia finita de procedimientos, en consecuencia, los axiomas no son la mejor forma de realizar demostraciones. Para ellos el principio del tercer excluido, enunciado por leibnitz no es aceptado, ya que para ellos si una proposición no es cierta no tiene por qué ser falsa y viceversa. La intuición, es exclusivamente temporal, pues el movimiento en la mente de hacer pasar de un punto a otro es lo que determina las matemáticas. En este aspecto, es fundamental lo que afirma Poincaré en su filosofía de la ciencia: “Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos; son silogismos colocados en un cierto orden, y el orden en el cual están colocados estos elementos es mucho más importante que ellos mismos. Si tengo el sentimiento, la intuición de este orden, de manera que me pueda dar cuenta rápidamente del conjunto del razonamiento, no debo temer más olvidarme de uno de los elementos, cada uno de ellos vendrá a colocarse en el cuadro que le he preparado, sin que haya hecho ningún esfuerzo de memoria”.

Tal vez uno de los puntos débiles del intuicionismo es su mismo concepto de intuicion matematica. No hay otro criterio de verdad evidente por sí misma que la sensación de autoevidencia, pero una conjunción de proposiciones en apariencia evidentes por sí mismas puede llevar a contradicciones, al tiempo que muchas

afirmaciones que en determinado momento se han visto apoyadas por sensaciones de autoevidencia pueden más adelante perder este soporte meramente psicológico. Quizá la característica del intuicionismo que lo hace más desagradable a los matemáticos, y a otros teóricos, es su rechazo del principio del tercio excluso.

¿Entonces que sucede cuando no se es ni logicista, ni intuicionista?

Después de haber realizado un recorrido por el logicismo como una apuesta de reducir la matemática aún ejercicio lógico, con validez a priori, o de constatar el intuicionismo como manifestación de demostraciones matemáticas a través de procedimientos, se hace necesario explicar un poco una de las tres tendencias fuertes en filosofía de la matemática, en este caso el formalismo, con el cual se mostrará una visión diferente a las otras, y en la medida que se avance, se descubrirá los puntos en común y los puntos de contradicción y alejamiento. Como se ha hecho, es bueno recurrir al diccionario filosófico para realizar una pequeña propedéutica.

El diccionario de filosofía dice que en filosofía matemática, el formalismo, en oposición al intuicionismo y al logicismo (las tres corrientes de esta disciplina), es una corriente que propugna la formalización de toda la matemática, incluso de sus fundamentos; aspira a resolver los problemas matemáticos recurriendo a construcciones formalmente axiomáticas.

Con lo anterior sería algo dificil realizar una pequeña introducción al formalismo, pero para lograr esto, es bueno recordar que en matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas, tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas “verdades evidentes” porque permiten deducir las demás fórmulas.

El representante principal de este sistema es David Hilbert, quien superando la concepción de una matemática como lógica y verdadera en todo mundo posible o como demostración a través de sucesión de pasos, según él los únicos fundamentos necesarios para la matemática es el cuerpo de formulas demostrables. A la exclusión del principio del tercer excluido, con el cual, en ningún momento se puede presentar una contradicción que nos lleve a afirmar la existencia y la no existencia; junto a esto, surge la matemática que sirven para asegurarse como verdadera, es decir, un pensamiento matemático posee ciertos beneficios de no conocer límite para su poder, por tanto, la matemática

continuamente se renueva, y en este proceso, ella puede ser capaz de resolver cualquier problema siempre y cuando el enunciado no sea contradictorio.

Mientras que para los platónicos los objetos matemáticos son objetos ideales, no son materiales ni realidades físicas como la piedra, una planta, un hombre o una estrella, y posee cierta objetividad y una estructura formal permanente e indeformable, ajena al arbitrio del sujeto que los piensa, para Hilbert los objetos matemáticos tienen una existencia independiente del pensamiento y de las construcciones a través de las cuales intentamos descubrirlos y describirlos, por tanto todo problema que se formule en matemáticas debe estar ligado a la realidad objetiva que trata de estudiar, diferenciándose del logicismo para quienes los entes matemáticos son estructuras lógicas o simbologías, que no necesitan ser demostradas en una realidad empírica. Por tanto, hay que negar la ubicación de la matemática en un mundo ideal o a priori.

Kant se puede considerar como el precursor del formalismo, pues este filósofo y matemático pensaba que los axiomas matemáticos no eran por sí mismos principios lógicos, sino unas construcciones, hechas bajo la guía de la intuicion del espacio y del tiempo. Con lo anterior se está negando cualquier realidad más allá de la experiencia sensible, o fundamentos perfectos por expresar una verdad lógica, más no verídica en la realidad o como se conoce como verdad de hecho. La matemática consiste en la descripción de objetos concretos, por tanto no es posible que surjan inconsistencias, ni paradojas, pues se ha excluido todo sistema de contradicciones. En esta línea, la noción de infinito tienen un papel primordial, semejante a un idea de la razón, por tanto, el concepto de infinito, trasciende la experiencia, pero al mismo tiempo la complementa.

Hilbert, en su afán por evitar cualquier contradicción en su sistema, busco reunir todos los símbolos disponibles de la lógica con el fin de empezar a armar su sistema, para así conseguir que todos los axiomas se expresaran en fórmulas o colecciones de símbolos. Por tanto, en el formalismo una prueba matemática objetiva es la afirmación de alguna fórmula, y esta fórmula implica a otra por tanto, la secuencia, lleva a una fórmula final que es consecuencia de los axiomas precedentes, convirtiéndose en una prueba de un teorema, aquí se efectua un conjunto de reglas de deducción.

Los formalistas dividen la matemática clásica en dos partes: la matemática finitista y la matemática infinitista. Excluyen, las totalidades infinitas, la ley del tercio excluso o tercer excluido, sólo admiten las proposiciones que describen agregados finitos de distintos objetos concretos.

¿Cuál es mi posición frente a la discusión de los logicistas, intuicionistas y formalistas?

Ya se ha hecho un pequeño recorrido por la filosofía de la matemática, indagando desde las concepciones que se tienen de la realidad, considerada esta por algunos en su doble nivel, quienes separan un mundo ideal, el cual es modelo de todas las estructuras, considerado frente a una realidad sensible e imperfecta, donde la matemática adquiere todo un valor prioritario como elemento indispensable del mundo ideal y de la demostración de éste. También se observa la posición de quienes reconocen la existencia de una única realidad, en la cual la matemática juega un papel de conocedora de esa realidad, sin ser indispensable en la demostración de ella, simplemente con ella se expresa la belleza de lo sensible.

Por otra parte, esta relación entre filosofía y matemática muestra como en la actualidad la disputa se ha centrado en torno a tres corrientes, la una diferente a la otra y viceversa, pero que han ayudado a dar solución adecuada al problema de la matemática como explicación de la realidad a través de construcciones. Tal vez, las próximas líneas, pueden ser confusas, pues me sumerjo en un campo poco conocido como es el de realizar filosofía de la matemáticas, si es que a mi reflexión se le cataloga como tal. Para hacer esto es bueno tomar partido de la discusión, pues es la mejor forma de ir construyendo el adecuado camino de la filosofía de la matemática.

Si me preguntan que cuál es mi concepción de la filosofía matemática, diría, con argumentos muy débiles por mi poca profundidad en la materia, pero con una fuerte convicción que no soy logicista y no por que me aburran los símbolos, y no crea en el rigor y la validez de ciertos postulados en cualquier parte del universo, que de por sí absolutiza la lógica, sino que simplemente, pienso en una matemática más humanista, que encarne la situación concreta del ser humano, de sus problemas, que aunque haya cierta conformidad de verdades en el plano lógico, lo deben también ser en el plano fáctico. Una matemática reducida simplemente al plano de la lógica, es una matemática que pierde su brillo como producto del ingenio humano, y la matemática debe ser lo más cercano al hombre, pues, desde el principio el mero hecho de contar, nos diferencia de otras especies de animales, se hace matemática porque existe ser humano, y no se crea matemática para fundamentar una situación de dominio y opresión.

Es muy interesante la posición intuicionista donde la matemática demuestra, y se interactuan toda una serie de pasos para obtener solución, pero considero que la matemática seguiría perdiendo su pasión e interés para el ser humano. La matemática debe superar las demostraciones y los procesos, pues si ha

evolucionado a la par con el hombre, la misma matemática está incorporada en sus genes, y por tanto esta ciencia es un elemento vital de la existencia del ser humano, quien ha visto surgir una generación tras otra en continuo progreso al igual que el ejercicio matemático, que cada vez resuelve problemas más vitales para el ser humano, así como lo muestra toda la teoría de la percolación que se aplica en sistemas de propagación de la enfermedad, del fuego, o como corre el agua en la delta de un río.

Tal vez, visto desde un punto muy superfluo, el formalismo aporta grandes elementos a la filosofía de la matemática, expresando que la matemática es una formulación para comprender la realidad, las cuáles son construidas por el sujeto. Si anteriormente se ha afirmado que la matemática es del hombre y para el hombre, y que lo ha acompañado en el proceso de evolución, mostrando cada vez más su condición de humanización, no se puede pensar en la matemática como un proceso de un mundo ideal, o con existencias de objetos matemáticos más allá de lo real. La matemática como un proceso de elaboración de la mente humana, está al servicio de la comprensión de la realidad que lo rodea, donde se formula para tener mejor comprensión de ella.

Para finalizar, cada corriente: el logicismo, el intuicionismo o el formalismo, no se pueden considerar cada una por aparte, pues todas persiguen un fin claro la comprensión de la realidad, por tanto es de importancia unir las tres en el poder de la lógica como organización, la demostración como forma de comprobar elementos reales y la formulación como elemento fundamental para la comprensión de la realidad.

BIBLIOGRAFÍA

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