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Analyse NumeriqueENSEM 1A, ANA-1 ISN

Leonard Monsaingeon

Printemps 2017

Leonard Monsaingeon (IECL) Analyse Numerique Printemps 2017 1 / 53

Interpolation et approximation polynomiale

Chapitre 4 : Interpolation et approximationpolynomiale

Interpolation et approximation polynomiale Introduction

Introduction

comme on l’a deja vu, l’evaluation d’une fonction numeriquef : R→ R peut etre couteuse en temps de calcul. Par exemplel’approximation de exp ou sin par troncature de la seire entiere, oualors pour une fonction compliquee dependant de calculs anterieurs(impliquant de trouver des zeros, points fixes, etc)

l’approximation d’une fonction f consiste a chercher une fonction g la”plus proche possible” de f en un sens donne.

dans ce cours nous chercherons principalement a approximer unefonction par des fonctions polynomes

l’espace des polynomes possede de “bonnes” proprietes : structured’espace vectoriel, bases adaptees, calculs analytiques simples pour laderivation et l’integration, peu couteux a evaluer

Introduction

Il est legitime de chercher a approximer des fonctions continues par despolynomes : en effet on a le

Theoreme de Weierstrass

Toute fonction continue sur un segment [a, b] est limite uniforme defonctions polynomiales sur ce segment.Autrement dit, pour tout ε > 0, il existe un polynome Pε tel que

|f (x)− Pε(x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b].

Remarques

1 L’approximation est “mesuree” en norme uniforme,

‖f − Pε‖L∞([a,b]) = supx∈[a,b]

|f (x)− Pε(x)| ≤ ε

2 Ce resultat de nous dit pas comment choisir le polynome Pε !

|f (x)− Pε(x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b].

Remarques

|f (x)− Pε(x)| ≤ ε

|f (x)− Pε(x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b].

Remarques

|f (x)− Pε(x)| ≤ ε

Interpolation et approximation polynomiale Evaluation d’un polynome : algorithme de Horner

Evaluation d’un polynome : algorithme de Horner

Soit P un polynome de degre n

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a2x2 + a1x + a0,

que nous souhaitons evaluer en un point ξ

l’algorithme ”naturel” consiste a calculer chacun des produits akξk

puis a faire leur somme.

mais cette technique est generalement peu utilisee

a cause des erreurs qu’elle engendrea cause du nombre trop important d’operations elementaires qu’ellemet en jeu, surtout quand le degre est eleve : n − 1 multiplicationspour calculer les ξk = ξ × ξk−1, n multiplications pour akξ

k , et nadditions. Soit O(3n) operations !

n−1 + ...+ a2x2 + a1x + a0,

n−1 + ...+ a2x2 + a1x + a0

En utilisant plutot la factorisation suivante :

P (x) = a0 + x (a1 + x (a2 + x (a3 + ...+ x (an−2 + x(an−1 + xan)) . . .)))

on obtient :

Algorithme de Horner

b := an;pour tous les i de n − 1 a 0 faire

b := ai + ξb;

Rmq : cet algorithme necessite n additions et n multiplications !

Interpolation et approximation polynomiale Interpolation polynomiale

Interpolation polynomiale

Introduction

dans la pratique, une fonction f est souvent connue uniquement parses valeurs en certains points x0, .., xn

a partir de la connaissance de f en ces points, nous souhaitons”reconstruire le mieux possible” cette fonction i.e. trouver une”bonne” approximation de f (pour toutes les autres valeurs de x dansun intervalle fixe)

on pourra imposer a l’approximation de passer exactement par lespoints donnes. Dans ce cas, on parle d’interpolation.

Introduction

Interpolation de Lagrange

Soit f : [a, b]→ R connue en n+1 points distincts x0, x1, ...xn del’intervalle [a, b].Il s’agit de construire un polynome P de degre inferieur ou egal a n tel que

P(xi ) = f (xi ) ∀i = 0, 1, . . . , n

Theoreme

Il existe un et un seul polynome Pn de degre inferieur ou egal a n verifiant

Pn(xi ) = f (xi ) ∀i = 0, . . . , n

Le polynome s’ecrit

Pn(x) =n∑

f (xi ) Li (x) avec Li (x) =∏k 6=i

(x − xk)

(xi − xk).

le polynome Pn est appele polynome d’interpolation de Lagrange dela fonction f aux points x0, x1, ...xn.

les polynomes Li (x) sont appeles polynomes de base de Lagrangeassocies a ces n + 1 points (x0, . . . , xn), et ils sont tous de degre n

Theoreme

Pn(xi ) = f (xi ) ∀i = 0, . . . , n

Pn(x) =n∑

(x − xk)

(xi − xk).

Theoreme

Pn(xi ) = f (xi ) ∀i = 0, . . . , n

Pn(x) =n∑

(x − xk)

(xi − xk).

Demonstration

ExistenceLe polynome Pn ainsi defini est un polynome de degre n et commeLi (xj) = δij , il verifie bien

Pn(xi ) = f (xi ) ∀i = 0, . . . , n

UniciteSoit Q un autre polynome solution. Alors ∀i = 0, 1, ...n

Q(xi )− P(xi ) = 0 ∀i = 0, 1, . . . , n.

Ainsi Q − P est un polynome de degre inferieur ou egal a ns’annulant en n + 1 points. Il est donc identiquement nul.

Demonstration

ExistenceLe polynome Pn ainsi defini est un polynome de degre n et commeLi (xj) = δij , il verifie bien

Pn(xi ) = f (xi ) ∀i = 0, . . . , n

UniciteSoit Q un autre polynome solution. Alors ∀i = 0, 1, ...n

Q(xi )− P(xi ) = 0 ∀i = 0, 1, . . . , n.

Ainsi Q − P est un polynome de degre inferieur ou egal a ns’annulant en n + 1 points. Il est donc identiquement nul.

Exemple : avec deux points (n = 1)

P1(x) = f (x0)(x − x1)

(x0 − x1)+ f (x1)

(x − x0)

(x1 − x0)

ce qui s’ecrit encore

P1(x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x − x0) .

Exemple :

-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

Exemple :

-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

Exemple :

-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

Exemple :

-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

Formule d’interpolation de Newton

L’ecriture du polynome d’interpolation Pn dans la base des polynomesde Lagrange {Li}i=0,...n est interessante d’un point de vue theorique,mais peu du point de vue numerique

son evaluation requiert trop d’operations elementaires.

C’est pourquoi, on lui prefere la formule d’interpolation de Newton(associee aux points x0 . . . xn), qui consiste a ecrire plutot

Pn(x) = an0 + an1 (x − x0) + ...+ ann (x − x0) (x − x1) ... (x − xn−1)

Remarques

tout polynome de degre inferieur ou egal a n peut se mettre souscette forme des que les xi sont tous distincts

ann est aussi le coefficient de xn dans Pn ecrit sous sa forme usuelle

fin cours 1

Remarques

fin cours 1

Remarques

fin cours 1

Avantages

on peut utiliser l’algorithme d’Horner pour evaluer ce polynome

Pn (x) = an0 + (x − x0) (an1 + (x − x1) (a

n2 + ...+ (x − xn−2)(a

nn−1 + (x − xn−1)an)))

la partie tronquee

an0 + an1 (x − x0) + ...+ an−1n (x − x0) (x − x1) ... (x − xn−2)

est Pn−1(x), le polynome d’interpolation de la fonction f aux pointsx0, . . . , xn−1.

donc, connaissant Pn−1, il suffit de calculer ann pour connaıtre Pn

Pn(x) = Pn−1(x) + ann (x − x0) (x − x1) ... (x − xn−1)

(utile, en particulier lorsqu’on ajoute un point !)

Avantages

Pn (x) = an0 + (x − x0) (an1 + (x − x1) (a

n2 + ...+ (x − xn−2)(a

nn−1 + (x − xn−1)an)))

la partie tronquee

Avantages

Pn (x) = an0 + (x − x0) (an1 + (x − x1) (a

n2 + ...+ (x − xn−2)(a

nn−1 + (x − xn−1)an)))

la partie tronquee

Theoreme/definition

Le polynome d’interpolation de Lagrange de la fonction f aux pointsdistincts x0, x1, ...xn est donne par

Pn(x) =n∑

f [x0, x1, ...xi ]i−1∏k=0

(x − xk)

ou f [.] designe les differences divisees de f definies recursivement par :

i = 0, ..., n f [xi ] = f (xi )

f [x0, x1, ..., xk ] :=f [x1, ..., xk ]− f [x0, ..., xk−1]

xk − x0.

Proprietes des differences divisees

f [x0, x1, ..., xn] est le coefficient dominant dans la forme canonique

Pn(x) = [x0, x1, ..., xn] xn + . . .

f [x0, x1, ..., xn] est invariant par des permutations sur les xi : en effet,permuter les xi ne change pas le polynome d’interpolation et donc nechange pas le coefficient du terme de plus haut degre.

si f = Q un polynome de degre q

Q [x0, x1, ..., xn] =

{0 si n > qcoeff. du terme de plus haut degre de Q si q = n

En effet, si q ≤ n, l’interpole de Q n’est autre que Q lui-meme.

Proprietes des differences divisees

f [x0, x1, ..., xn] est le coefficient dominant dans la forme canonique

Pn(x) = [x0, x1, ..., xn] xn + . . .

f [x0, x1, ..., xn] est invariant par des permutations sur les xi : en effet,permuter les xi ne change pas le polynome d’interpolation et donc nechange pas le coefficient du terme de plus haut degre.

si f = Q un polynome de degre q

Q [x0, x1, ..., xn] =

{0 si n > qcoeff. du terme de plus haut degre de Q si q = n

En effet, si q ≤ n, l’interpole de Q n’est autre que Q lui-meme.

Calcul des differences divisees

f [x0, x1, ..., xk ] :=f [x1, ..., xk ]− f [x0, ..., xk−1]

xk − x0.

Table recursive

la table des differences divisees permet de calculer de facon inductive lesdifferences divisees d’une fonction selon le shema suivant :

f (x0) = f [x0]↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

↘ ↘ ↘f (xn) = f [xn] → f [xn−1, xn] → f [xn−2, xn−1, xn] → · · · → f [x0, x1, . . . , xn]

f [x0, x1, ..., xk ] :=f [x1, ..., xk ]− f [x0, ..., xk−1]

xk − x0.

Table recursive

on retrouve sur la diagonale les coefficients de la formule de Newton

f (x0) = f [x0]↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

↘ ↘ ↘f (xn) = f [xn] → f [xn−1, xn] → f [xn−2, xn−1, xn] → · · · → f [x0, x1, . . . , xn]

f [x0, x1, ..., xk ] :=f [x1, ..., xk ]− f [x0, ..., xk−1]

xk − x0.

Remarques

nous avons(n + 1)(n + 2)

2coefficients a calculer pour obtenir les

n + 1 coefficients de la formule.

on peut songer a utiliser un tableau bi-dimensionel (n + 1)× (n + 2)pour stocker ces coefficients

toutefois un vecteur a (n + 1) composantes suffira !

Remarques

Etape 1

f [x0]

f [x1]

f [x2]

f [xn]

Etape 1

f [x0]

f [x1]

f [x2]

f [xn]

f [x0]

f [x1]

f [x2]

f [xn]

Etape 2

f [x0]↘

f [x1] → f [x0, x1]↘

f [x2] → f [x1, x2]↘

......

↘f [xn] → f [xn−1, xn]

f [x0]

f [x1]

f [x2]

f [xn]

Etape 2

f [x0]↘

f [x1] → f [x0, x1]↘

f [x2] → f [x1, x2]↘

......

↘f [xn] → f [xn−1, xn]

f [x0]

f [x0, x1]

f [x1, x2]

f [xn−1, xn]

Etape 3

f [x0]↘

f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘

......

...↘ ↘

f [xn] → f [xn−1, xn] → f [xn−2, xn−1, xn]

f [x0]

f [x0, x1]

f [x1, x2]

f [xn−1, xn]

Etape 3

f [x0]↘

f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘

......

...↘ ↘

f [xn] → f [xn−1, xn] → f [xn−2, xn−1, xn]

f [x0]

f [x0, x1]

f [x0, x1, x2]

f [xn−2, xn−1, xn]

Et ainsi de suite ...

Pour evaluer le polynome d’interpolation Pn(x) au point ξ

1 Calcul des differences divisees par l’algorithme de Newton

pour tous les i de 0 a n fairedi := f (xi )

pour tous les j de 1 a n fairepour tous les i de n a j faire

di := (di − di−1)/(xi − xi−j)

2 Evaluation par l’algorithme de Hornerb := dnpour tous les i de n − 1 a 0 faire

b := di + (ξ − xi )b

Avec cet algorithme, il est tres facile d’ajouter un point x−1 etd’obtenir les coefficients du polynome Pn+1 sans etre oblige de refairetous les calculs :

f (x0) = f [x0]↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

↘ ↘ ↘f (xn) = f [xn] → f [xn−1, xn] → f [xn−2, xn−1, xn] → · · · → f [x0x1, . . . , xn]

f (x−1) = f [x−1]

f (x0) = f [x0]↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

f (x−1) = f [x−1]↘

f (x0) = f [x0] → f [x−1, x0]↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

f (x−1) = f [x−1]↘

f (x0) = f [x0] → f [x−1, x0]↘ ↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1] → f [x−1, x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

f (x−1) = f [x−1]↘

f (x0) = f [x0] → f [x−1, x0]↘ ↘

f (x1) = f [x1] → f [x0, x1] → f [x−1, x0, x1]↘ ↘

f (x2) = f [x2] → f [x1, x2] → f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

......

.... . .

Et ainsi de suite...

Quelques exemples

fonction sinus sur [−π, π] - 3 points d’interpolation equidistants

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Quelques exemples

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−0.5

Quelques exemples

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−0.5

Quelques exemples

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−0.5

Quelques exemples

fonction x 7→ 1/(1 + x2) sur [−1, 1] - 3 points d’interpolation equidistants

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

Quelques exemples

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

Quelques exemples

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

Quelques exemples

fonction x 7→ 1/(1 + x2) sur [−1, 1]- 10 points d’interpolation equidistants

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

Quelques exemples

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

Quelques exemples

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

Quelques exemples

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4

−0.2

Quelques exemples

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4

−0.2

Quelques exemples

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

Quelques exemples

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

L’approximation semble mauvaise au bord (phenomene de Runge) !

Interpolation et approximation polynomiale Erreur dans l’interpolation polynomiale

Erreur dans l’interpolation polynomiale

Un but de l’interpolation etant de remplacer l’evaluation de f (x) par cellede Pn(x), il est important de connaıtre l’erreur

En(x) = f (x)− Pn(x), x ∈ [a, b]

Theoreme

Soit f : [a, b] −→ R de classe Cn+1 et Pn le polynome d’interpolation deLagrange aux points x0, x1, ..., xn de [a, b]. Alors

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

ouMn+1 = max

a≤x≤b

∣∣∣f (n+1)(x)∣∣∣

πn(x) =n∏

(x − xi ).

Un but de l’interpolation etant de remplacer l’evaluation de f (x) par cellede Pn(x), il est important de connaıtre l’erreur

En(x) = f (x)− Pn(x), x ∈ [a, b]

Theoreme

Soit f : [a, b] −→ R de classe Cn+1 et Pn le polynome d’interpolation deLagrange aux points x0, x1, ..., xn de [a, b]. Alors

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

ouMn+1 = max

a≤x≤b

∣∣∣f (n+1)(x)∣∣∣

πn(x) =n∏

(x − xi ).

Preuve :

1 Pour prouver que |f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n+1)! |πn(x)| il suffit de montrerque

∃αx ∈]a, b[ t.q. f (x)− Pn(x) =f (n+1)(αx)

(n + 1)!πn(x)

2 si x = xi =un des points d’interpolations il n’y a rien a prouver 0 = 0,donc on suppose que x 6∈ {x0, . . . xn} et on pose

Qn(t) := Pn(t) + f (x)−Pn(x)πn(x) πn(t) ∈ Rn+1[T ],

g(t) := f (t)− Qn(t)

3 Par construction t 7→ g(t) ∈ Cn+1([a, b]) et s’annule en n + 2 pointsx , x0, . . . xn car

Qn(x) = f (x) et πn(xi ) = 0⇒ Qn(xi ) = Pn(xi ) = f (xi )

Preuve :

Qn(t) := Pn(t) + f (x)−Pn(x)πn(x) πn(t) ∈ Rn+1[T ],

g(t) := f (t)− Qn(t)

4 Comme g s’annule n + 2 fois dans [a, b], le Theore de Rolle donneque g ′ s’annule n + 1 fois dans ]a, b[.

5 Par recurrence immediate, on obtient que g (n+1) s’annule au moinsune fois dans [a, b], i-e ∃αx ∈]a, b[ t.q. g (n+1)(αx) = 0

6 On calcule facilement π(n+1)n (x) = (n + 1)! et

0 = g (n+1)(αx) = f (n+1)(αx)− f (x)− Pn(x)

πn(x)(n + 1)!

d’ou on tire enfin

f (x)− Pn(x) =f (n+1)(αx)

(n + 1)!πn(x)

Application : retour aux exemples precedents

f (x) = sin(x) pour x ∈ [a, b]

on a Mn+1 = maxx∈[a,b]

| sin(n+1)(x)| ≤ 1

on obtient aussi facilement la majoration |πn(x)| ≤ (b − a)n+1 (pourtout choix des n + 1 points xi et x ∈ [a, b] on a |x − xi | ≤ b − a)

∀x ∈ [a, b] , |f (x)− Pn(x)| ≤ (b − a)n+1

(n + 1)!−−−→n→∞

et par consequentlimn→∞

|f (x)− Pn(x)| = 0

| sin(n+1)(x)| ≤ 1

∀x ∈ [a, b] , |f (x)− Pn(x)| ≤ (b − a)n+1

(n + 1)!−−−→n→∞

|f (x)− Pn(x)| = 0

| sin(n+1)(x)| ≤ 1

∀x ∈ [a, b] , |f (x)− Pn(x)| ≤ (b − a)n+1

(n + 1)!−−−→n→∞

|f (x)− Pn(x)| = 0

| sin(n+1)(x)| ≤ 1

∀x ∈ [a, b] , |f (x)− Pn(x)| ≤ (b − a)n+1

(n + 1)!−−−→n→∞

|f (x)− Pn(x)| = 0

| sin(n+1)(x)| ≤ 1

∀x ∈ [a, b] , |f (x)− Pn(x)| ≤ (b − a)n+1

(n + 1)!−−−→n→∞

|f (x)− Pn(x)| = 0

f (x) = 1/(1 + x2) pour x ∈ [−a, a]

on peut montrer que si les points xi sont equidistants dans [−a, a]

max−a≤x≤a

|En(x)| < Ce−n√n log n

(2a)n+1

donc si 2a < e, En(x) converge vers 0 avec n.

dans la simulation precedente a = 5 et 2a = 10 6< e ≈ 2, 718. Dans cecas le majorant ci-dessus explose, et nous ne pouvons donc rienconclure sur En(x).

notre calcul numerique laisse penser que En ne tend pas vers 0.

on peut montrer que max|x |≤5

|En(x)| ne tend pas vers 0 (phenomene de

Runge)

f (x) = 1/(1 + x2) pour x ∈ [−a, a]

max−a≤x≤a

(2a)n+1

Runge)

f (x) = 1/(1 + x2) pour x ∈ [−a, a]

max−a≤x≤a

(2a)n+1

Runge)

f (x) = 1/(1 + x2) pour x ∈ [−a, a]

max−a≤x≤a

(2a)n+1

Runge)

f (x) = 1/(1 + x2) pour x ∈ [−a, a]

max−a≤x≤a

(2a)n+1

Runge)

f (x) = 1/(1 + x2) pour x ∈ [−a, a]

max−a≤x≤a

(2a)n+1

Runge)

Choix des points d’interpolation

l’estimation du theoreme

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

montre que l’erreur depend

de la derivee n + 1 ieme de fdu maximum de la fonction πn, qui lui ne depend que du choix des xi

On peut chercher a minimiser maxa≤x≤b

|πn(x)| en choisissant au mieux

les points xi

il se trouve qu’un choix de points equidistants n’est pas du toutoptimal, loin de la !

le choix optimal est obtenu a l’aide des points de Chebyshev :

xi =a + b

b − a

((2i + 1)π

2n + 2

), i = 0, ..., n

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

les points xi

xi =a + b

b − a

((2i + 1)π

2n + 2

), i = 0, ..., n

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

les points xi

xi =a + b

b − a

((2i + 1)π

2n + 2

), i = 0, ..., n

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

les points xi

xi =a + b

b − a

((2i + 1)π

2n + 2

), i = 0, ..., n

|f (x)− Pn(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|πn(x)|

les points xi

xi =a + b

b − a

((2i + 1)π

2n + 2

), i = 0, ..., n

Encore un retour aux exemples

fonction x 7→ 1/(1 + x2) sur [−5, 5] - 3 points de Chebyshev

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4

−0.2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.2

fonction x 7→ 1/(1 + x2) sur [−5, 5]- 10 points de Chebyshev

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

fonction sinus sur [−π, π] - 6 points equidistants

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−0.5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−10

On retiendra :

L’approximation polynomiale sur [a, b] marche bien si l’intervalle [a, b]n’est pas trop grand, et il y a convergence uniforme

‖f − Pn‖L∞([a,b]) → 0

En general il n’y a pas convergence en dehors de l’intervalle [a, b]

Le choix naıf des points equidistants ne donne pas de bons resultats acause du phenomene de Runge (oscillations au bord)

Le choix optimal des points d’interpolation est celui des points deChebyshev

Interpolation et approximation polynomiale Interpolation d’Hermite

Interpolation d’Hermite

Objectif

Soit f definie sur un intervalle [a, b] et soient x0, . . . , xn n + 1 points de[a, b]. L’objectif est de construire un polynome d’interpolation P de fverifiant :

non seulement P(xi ) = f (xi ) pour tout 0 ≤ i ≤ n

mais aussi P ′(xi ) = f ′(xi ) pour tout 0 ≤ i ≤ n

Objectif

Soit f definie sur un intervalle [a, b] et soient x0, . . . , xn n + 1 points de[a, b]. L’objectif est de construire un polynome d’interpolation P de fverifiant :

non seulement P(xi ) = f (xi ) pour tout 0 ≤ i ≤ n

mais aussi P ′(xi ) = f ′(xi ) pour tout 0 ≤ i ≤ n

Theoreme

Il existe un unique polynome Pn de degre au plus 2n + 1 verifiant

Pn(xi ) = f (xi ), P ′n(xi ) = f ′(xi ) ∀i = 0, 1, . . . , n.

Pn(x) =n∑

f (xi )Hi (x) +n∑

f ′(xi )Hi (x)

Hi (x) =[1− 2L′i (xi )(x − xi )

]L2i (x) et Hi (x) = (x − xi )L

2i (x).

Le polynome Pn est appele polynome d’interpolation d’Hermite de lafonction f aux points x0, x1, . . . , xn.

Erreur dans l’interpolation d’Hermite

Theoreme

Soit f : [a, b] −→ R de classe C2n+2, et Pn le polynome d’interpolationd’Hermite aux points x0, x1, ..., xn de [a, b]. Alors

|f (x)− Pn(x)| ≤ M2n+2

(2n + 2)!

∣∣π2n(x)

∣∣ou

M2n+2 = maxa≤x≤b

∣∣∣f (2n+2)(x)∣∣∣ et πn(x) =

n∏i=0

(x − xi ).

Rmque : par rapport a l’interpolation de Lagrange, l’erreur est ici en1

(2n+2)! �1

(n+1)! , ce qui est normal puisqu’on a impose plus de contraintes

(Pn(xi ) = f (xi ) mais aussi P ′n(xi ) = f ′(xi ))

Interpolation et approximation polynomiale Approximation par morceaux

Approximation par morceaux

Introduction

Pour eviter les instabilites du type phenomenes de Runge (oscillations aubord), on peut faire de l’interpolation polynomiale de degre m peu elevesur des intervalles de petites tailles :etant donnee f : [a, b]→ R connue en (n + 1) points

a = x0 < x1 < ... < xn = b,

on l’interpole par des fonctions continues dont la restriction a chaqueintervalle [xi−1, xi ] est polynomiale de degre au plus m.

Par rapport a l’approche precedente, on a ici plus de degres de liberte : ledegre m de l’interpolation sur chacun des intervalles elementaires [xi , xi+1],et le nombre n de ces intervalles !

Exemple : approximation lineaire par morceaux

La restriction de l’approximation P a l’intervalle [xi−1, xi ] est donnee par :

Pi (x) = f (xi−1) +f (xi )− f (xi−1)

(xi − xi−1)(x − xi−1)

= f [xi−1] + f [xi−1, xi ] (x − xi−1)

Pi (x) = f (xi−1) +f (xi )− f (xi−1)

(xi − xi−1)(x − xi−1)

= f [xi−1] + f [xi−1, xi ] (x − xi−1)

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2

m = 1, n = 4

Pi (x) = f (xi−1) +f (xi )− f (xi−1)

(xi − xi−1)(x − xi−1)

= f [xi−1] + f [xi−1, xi ] (x − xi−1)

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2

m = 1, n = 8

Generalisation

sur chaque intervalle [xi , xi+1], on construit un polynomed’interpolation de Lagrange Pi ,m de la fonction f a l’aide de m + 1points de [xi , xi+1], i-e xi = y i0 < y i1 < · · · < y im = xi+1

pour assurer la continuite, on impose

y i0 = xi , y im = xi+1 ∀i

Generalisation

sur chaque intervalle [xi , xi+1], on construit un polynomed’interpolation de Lagrange Pi ,m de la fonction f a l’aide de m + 1points de [xi , xi+1], i-e xi = y i0 < y i1 < · · · < y im = xi+1

pour assurer la continuite, on impose

y i0 = xi , y im = xi+1 ∀i

Theoreme

Soit f : [a, b] −→ R et soient x0 < x1 < · · · < xn n + 1 points de [a, b].Sur chaque intervalle [xi , xi+1] on choisit m+1 pointsxi = y i0 < y i1 < · · · < y im = xi+1.Alors, il existe une unique fonction fm,n continue sur [a, b] telle que

la fonction fm,n|[xi ,xi+1] est un polynome de degre au plus m

fm,n(y ij ) = f (y ij ) pour tout 0 ≤ j ≤ m et pour tout 0 ≤ i ≤ n

De plus, si f ∈ Cm+1([a, b]), alors

‖f − fm,n‖L∞([a,b]) ≤hm+1

(m + 1)!‖f (m+1)‖L∞([a,b])

avec h = max0≤i≤n−1

|xi+1 − xi |

Rmque : a degre d’interpolation m fixe, l’erreur tend verso zero lorsqueh→ 0, i-e pour n→∞

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