ensino superior 4 – sistemas de controle amintas paiva afonso introdução aos sistemas dinâmicos

Ensino Superior

4 – Sistemas de Controle

Amintas Paiva Afonso

Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Modelagem de Sistemas

Objetivos• Construir modelos matemáticos para descrever sistemas

simples.

Sistemas estudados• Sistemas mecânicos• Sistemas elétricos• Sistemas fluídicos• Sistemas térmicos

Sistemas de Controle

Para controlar é preciso conhecer!!• Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal

conhecidos.

“Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido”

• Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos e interligados.

Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à automacão industrial.

Base para Análise de um Sistema:• Fundamentos da teoria de sistemas lineares.

• Relação de causa e efeito.– Relacão de entradas e saídas representa esta relacão.

– Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída.


Modelo Matemático:• É a descricão matemática das características dinâmicas

de um sistema;

• Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas que determinam o valor de sinais saída a partir de um valor de sinal de entrada;

• Blocos são utilizados para representar sistemas;

• Em engenharia, tais blocos representam equações diferenciais (ou recursivas) lineares;


Sistemas Lineares:• São aqueles nos quais as equações do modelo são

lineares;

• Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são constantes ou apenas funções da variável independente;

• Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma das duas respostas individuais;

• Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear.


Se um sistema tem a resposta Y1 para uma

entrada X1 e uma resposta Y2 para uma entrada

X2, então, se tiver uma entrada

X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2

f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)


Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):• Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais

com coeficientes constantes;

• A invariância no tempo implica simplesmente que a definição das operações dos blocos não pode mudar ao longo do tempo;

• Suas expressões dependem somente das entradas, não depende do tempo;

• “Reage sempre da mesma maneira”


Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):


Transformada de Laplace:

• Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da maioria dos sistemas físicos podem ser representados através de equações diferenciais;

• A transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw (variável complexa).

Modelos Matemáticos


Transformada de Laplace

0dte st

f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0

s = uma variável complexa

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace

Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:

0

dttfesF st )()(L [f(t)]=

Transformada de Laplace

Ex:

y(t) = cos(wt) – sen (wt)

Funcão de Transferência:• Na teoria de controle “Funcões de transferência” são

extremamente usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo;

• E a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação);


Funcão de Transferência:• Considere o sistema linear invariante no tempo, definido

pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x sua entrada:


Funcão de Transferência:


Funcão de Transferência G(S):

G(s) = Y(s) / X(s) Y(s) = G(s).X(s)


X(S) – Transformada de Laplace da entrada.

Y(S) – Transformada de Laplace da saída.

Sistemas Mecânicos


As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton:

1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial.

2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração.

3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção, mas com sentido oposto.

Sistema massa-mola-amortecedor:

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:

Sistemas Mecânicos

Sistemas Mecânicos

Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:

• Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N a massa de 1 kg acelera com 1m/s2. Aplicando a lei de Newton, temos:

Sistemas Mecânicos

Sistema se suspensão de um automóvel:

Sistemas Mecânicos

Encontre a função de transferência do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no mesmo.

Sistemas Mecânicos

k b

u(t)x(t)

m

Resolução: Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema:

k b

u(t) x(t)

mFm

Fm Fb

Fb

Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho:

F = u(t) – Fm – Fb

Sistemas Mecânicos

... ContinuaçãoSabemos que a força da mola é dada em função de quanto ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da massa pela aceleração, ou seja F = m.a.Assim, a equação fica:

Colocando tudo em função da posição x(t):

m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t)

Sistemas Mecânicos

)(.)(.)()(.2

2

txdt

dbtxktutx

dt

dm

... Continuação

Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida, obtemos: :

Sistemas Mecânicos

)0(.)0(.)0(..)()..).((

)0(.)0(.)0(..)()(..)(.)(..

)0(.)(..)(.)()0(.)0(..)(..

2

2

2

xbxmxsmsUksbsmsX

xbxmxsmsUsXsbsXksXsm

xbsXsbsXkSUxmxsmsXsm

Finalizando, considerando que as condições iniciais do problema são iguais a zero, a função de transferência do sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do sistema) será dada por:

ksbsmsU

sX

..

1

)(

)(2

Sistemas Mecânicos

Sistemas Elétricos

Sistemas Elétricos

As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são:- Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero.

- Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.

Componentes:Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais.

Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.

Indutor: Acumula tensão entre seus terminais emforma de campo eletromagnético.

)(.)(

)(.)(

sIRSV

tiRtv

R

R

sC

sIsV

dttiC

tv

C

C

.

)()(

).(.1

)(

vC(t) i(t)

)(.)(

)(.)(

sIssVdt

tdiLtv

L

L

i(t)

vL(t)

i(t)

vR(t)

Sistemas Elétricos

Sistemas Elétricos

Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo.

L R

Cei eoi

Sistemas Elétricos

Resolução:Pela lei de kirchoff das quedas de tensão:

L R

Ceie

o

i

vL vR

vC

ei = vL + vR + vC

eo = vC

Devemos colocar os valores em termos da corrente i:

idtC

e

idtC

iRdt

diLei

1

1..

0

Sistemas Elétricos

Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas, obtemos:

)(.1

.1

)(

)(.1

.1

)(.)(..)(

0 sIsC

sE

sIsC

sIRsIsLsEi

A equação de transferência do sistema é a relação entre a saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as equações uma pela outra:

1....

1

)(

)(2

sCRsCLsE

sE

i

o

Sistemas Elétricos

Sistemas Mecânicos

k b

u(t)x(t)

m

Exercícios:

1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário.

Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3

Sistemas Elétricos

L R

Cei eoi

2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário.

Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F

Sistema Mecânico e Sistema Elétrico

Sistemas Elétricos

Sistema Fluídico – Nível Líquido

Sistema Fluídico 1

Sistema Fluídico 2

Sistema Térmico

Sistema Fluídico –Sistema Térmico

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