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Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 2.3 – Porcentagens e Juros Simples

Amintas Paiva Afonso

Porcentagens e Juros

Amintas Paiva Afonso

ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Introdução

• Porcentagem é a fração (ou parte) de um valor ou quantidade, que se determina pela quantidade correspondente a cada 100.

• As porcentagens fazem parte do nosso dia-a-dia.

Os casos de dengue reduziram 35% neste ano.

A gasolina vai ter um aumento de 8%.

A inflação de 2009 não deve ser superior a 10%.


Frações x Percentuais

5% = 5/100 = 1/20 = 0,05

20% = 20/100 = 1/5 = 0,2

80% = 80/100 = 4/5 = 0,8

100% = 100/100 = 1 = 1

200% = 200/100 = 2/1 = 2

Existem três formas de se expressar uma porcentagem

Percentual Fracionária Decimal



Como calcular 20% de 130?

20% = 20/100 = 1/5 = 0,2

• Multiplicamos 130 por 20/100

• Multiplicamos 130 por 1/5

• Multiplicamos 130 por 0,2 obtendo 26

Calcular uma determinada porcentagem de um valor.




De percentual para decimal: andamos com a vírgula duas casas para a esquerda. Ex: 25,5% = 0,255

De decimal para percentual: andamos com a vírgula duas casas para a direita. Ex : 0,385 = 38,5%

Na aplicação das fórmulas para resolução dos problemas da Matemática Comercial e Financeira utilizamos as porcentagens escritas na forma decimal.

Como transformar percentuais para decimais e vice-versa ?



Exemplos : Percentual Decimal

32,56%

5%

1,25%

225%

65,35 %

7,6%

0,52%

362,5%

0,3256

0,05

0,0125

2,25

0,6535

0,076

0,0052

3,625



p = C . iEx : Quanto é 32,5% de 220 ? p = C . i p = 220 . 0,325 p = 71,5

Problema BásicoPara calcular o valor de p (parte do todo), devemos multiplicar C (o todo) por i (taxa percentual), sendo i expressa em notação fracionária ou decimal:


Exercícios

1) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu 12% de uma estrada. Ao concluir o segundo trecho, correspondente a 1200 metros, o percentual percorrido passou a ser 16% da estrada. Determine a extensão da estrada.

2) Um autor recebe 10% de direitos autorais de um livro que é vendido por R$ 75,00. Para que o autor ganhe R$ 11.730,00 determine o número de livros que deve ser vendido.


Exercícios

3) Para a estréia de um espetáculo foram emitidos 1800 ingressos, dos quais 60% foram vendidos até a véspera do dia de sua realização por um preço unitário de R$ 45,00. Considerando que todos os ingressos emitidos serão vendidos, por quanto cada ingresso deverá ser vendido no dia do espetáculo para que a arrecadação total, com a venda dos ingressos, seja de R$ 88.200,00?



Aumento percentual: Valor final = Valor inicial + aumento Valor final = C + C . i Valor final = C (1 + i )

Aumentos e Descontos

Como vimos p = C . i pode ser o aumento ou o desconto percentual. Logo, o valor final poderá ter recebido um acréscimo ou uma redução.

Desconto percentual: Valor final = Valor inicial - desconto

Valor final = C - C . i

Valor final = C (1 - i )


Solução: Valor Final = Valor inicial + aumento

Valor final = C + C . i

Valor final = C (1+ i)

Valor final = 18,25 (1 + 0,05)

Valor final = 18,25 . 1,05 = 19,16

Resposta : A ação passou a valer R$ 19,16

Exemplo 1

Uma ação cujo valor era R$ 18,25 subiu 5%. Qual é o novo valor dessa ação?




Solução: Valor final = Valor inicial - desconto Valor final = C - C . i Valor final = C ( 1 - i ) Valor final = 18,25 (1 - 0,05) Valor final = 18,25 . 0,95 = 17,34

Resposta : A ação passou a valer R$ 17,34

Exemplo 2

Uma ação cujo valor era R$ 18,25 desvalorizou em 5%. Qual é o novo valor dessa ação?

O problema da mudança de base


Exemplo 1:Um computador custa R$ 2.500,00. Seu preço sofreu um aumento de 30%, devido à elevação dos custos de seus componentes. Como a loja não consegue vender um computador devido ao reajuste, fez uma promoção dando 30% de desconto em seu preço. Determine o novo preço de venda.• Preço com aumento = 2 500 . (1 + 0,3) = R$ 3.250,00

• Preço com desconto = 3 250 . (1 – 0,3) = R$ 2.275,00

=> Preço original = R$ 2.500,00 Preço final = R$ 2.275,00

Preço final é diferente do preço original ! POR QUE ?


O problema da mudança de base

Exemplo 2:Se uma ação da bolsa de valores cair 10% em uma semana e subir 10% na próxima semana, o seu preço sofre alteração?

Valor inicial = XValor após queda de 10% = X . (1 - 0,1) = 0,9 . XValor após a alta de 10% = 0,9 . X . (1 + 0,1) = 0,99 . X

Supondo um valor inicial de R$ 1.000,00 o valor final da ação seria de R$ 990,00.

Descontos (ou aumentos) sucessivos


Exemplo 1:Uma mercadoria de R$ 120,00 sofre um aumento de 10% em um mês e de mais 15% no próximo mês. Qual será o preço final da mercadoria?

De quanto será o aumento total sobre o preço original?

Atenção : não é 25 % !!!


Descontos (ou aumentos) sucessivos

Preço inicial = R$ 120,00

Preço após 1o Aumento = 120 . (1 + 0,10)

Preço após 1o Aumento = 132

Preço final (após 2o aumento) = 132 . (1 + 0,15)

Preço final = R$ 151,80

Valor final = Valor inicial (1 + i)

151,80 = 120 (1 + i)

1 + i = 151,80 / 120

1 + i = 1,265 => i = 0,265 = 26,5 % (aumento total)


Lucro em função do preço de custo

Toda mercadoria possui :

Preço de Custo PC

Preço de Venda PV

Lucro L

PV = PC + L L = PV - PC


Exemplos :

1) Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine:

a) o lucro obtido na venda do produto.

b) o lucro percentual.

2) Uma pessoa comprou um computador por R$ 4.000,00 e deseja vende-lo para obter um lucro de 20% sobre a compra, determine o preço de venda do computador ?

3) Um investidor comprou um terreno e o revendeu, por R$18.750,00 lucrando 25% . Determine o preço de custo ?

Lucro em função do preço de custo


Juros Simples - Conceito

Dado um capital (C), ele deverá render juros (j) a uma taxa constante (i) por um determinado número de tempo (t), gerando um montante (M). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros.

Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Juros Simples - Fórmulas


Assim, a cada período há um acréscimo de “C . . i” ao capital inicial. Desse modo, após n períodos o juro total produzido será:

j = C . i . tj = C . i . t

CC = capital inicial

tt = tempo

ii = taxa de remuneração do capital inicial

jj = valor dos juros produzidos pelo capital “C” à taxa de juros “i” em um determinado tempo “t”.

Exemplo


Um capital inicial de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual é o valor dos juros recebidos por essa aplicação durante o período ?

j = C . i . t

j = 500 . 0,03 . 4

j = 60

Resposta : Essa aplicação rende R$ 60,00 de juros durante o período aplicado (4 meses)


Juros Simples - Fórmulas

Sabemos que o montante (Sabemos que o montante (MM) é igual ao Capital Inicial () é igual ao Capital Inicial (CC) ) acrescido do total de juros (j), ou seja:acrescido do total de juros (j), ou seja:

M = C + jM = C + j

Conforme vimos anteriormente: j = C . i . t , então:

M = C + C . i . t

E colocando o C em evidência, tem-se que

M = C.(1+ i . t) Fórmula de Juros Simples

Exercícios de aplicação da fórmula


1º Grupo – Dados C, t, i, achar M

Ex: Um capital de R$ 50.000,00 estará aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês durante 3 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação.

3 anos = 36 meses (taxa e prazo compatíveis)

M = C (1 + i . t)

M = 50 000 (1 + 0,02 . 36)

M = 50.000 . 1,72

M = 86 000

Resposta: O montante é de R$ 86.000,00



2o Grupo – Dados M, t, i, achar C

Ex: Sabendo-se que o montante resgatado no vencimento foi de R$ 117.800,00, determinar o principal aplicado durante o prazo de 8 meses na taxa de 3% ao mês.

M = C (1 + i . t)

117 800 = C (1 + 0,03 . 8)

117 800 = C * 1,24

C = 117 800 / 1,24 = 95 000

Resposta: O principal aplicado foi de R$ 95.000,00



3o Grupo – Dados M, t, C, achar i

Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 172.000,00, o principal aplicado de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal relativa a aplicação.

1 ano = 12 meses

M = C (1 + i . t)172.000 = 100.000 (1 + i . 12)172.000 / 100.000 = 1 + i . 121,72 - 1 = 12 . i i = 0,72 / 12 = 0,06

Resposta: A taxa de juros da aplicação é de 6% a.m.



4o Grupo – Dados M, C, i, achar t

Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 368.000,00, o principal aplicado de R$ 200.000,00 e a taxa de juros de 7% ao mês simples, determinar o prazo da aplicação.

M = C (1 + i . t)368 000 = 200 000 (1 + 0,07 . t)368 000 / 200 000 = 1 + 0,07 . t)1,84 = 1 + 0,07 . t1,84 – 1= 0,07 . tt = 0,84 / 0,07 = 12

Resposta: O prazo da aplicação é de 12 meses.

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