Zailsrhr. 1. m d h . LWiP wrd Crimdlagen d . Math. Bd. 23, S. 273-282 ( I Y i 7 )

ESTSCHEIDBARBEIT DER THEORIE DER LINEBREN ORDNUNG I N LQ1

von H. HERRE und H. WOLTER in Berlin (DDR)

1. Einleitung

In [l] zeigte A. EHRENFEUCHT die Entscheidbarkeit der elementaren Theorie der linearen Ordnung. H. LA~CHLI und J. LEONARD erhielten in [3] mit anderen Methoden das gleiche Ergebnis. Spater zeigten LAUCHLI [2] und M. RABIN [5], dal3 die Theorie der linearen Ordnung sogar in der monadischen schwachen Logik bzw. die der abzahl- baren Modelle in der monadischen Logik 2. Stufe entscheidbar ist. S. SHELAH bewies in [6] die Unentscheidbarkeit der Theorie der Ordnung der reellen Zahlen in der 2. Stufe und damit auch die Unentscheidbarkeit der Theorie aller geordneten Mengen in dieser Logik .

Es erhebt sich nun die Frage. ob die Klasse der geordneten Mengen in den Logiken LQ eine entscheidbare Theorie besitzt, wobei L eine elementare Logik mit einem zwei- stelligen Relationenzeichen fur die Ordnung ist und LQ aus L durch Hinzunahme eines Machtigkeitsquantors Q entsteht.

Fiir Q = Qo (es gibt unendlich viele, so dup . . .) folgt die Entscheidbarkeit aus den Ergebnissen in [2], denn in der schwachen Logik 2. Stufe ist Qo durch

Qoz ~ ( x ) +-+ 3X VZ(X E X c-* ~ ( x ) )

definierbar, wobei ~ ( x ) ein elementarer Ausdruck und X eine Mengenvariable ist.

beantwortet. Fur Q = Q1 wird die Frage der Entscheidbarkeit in der vorliegenden Arbeit positiv

Die Beweisidee entspricht im wesentlichen der in [3]. Mit Hilfe gewisser Erzeugungs- regeln wird eine rekursiv aufzahlbare Menge M von Ordnungstypen gebildet, deren LQ1-Theorien rekursiv aufzahlbar sind. Unter Verwendung von spieltheoretischen Methoden wird gezeigt, daB M in der Klasse aller geordneten Mengen bzgl. LQl dicht liegt, d. h., daB eine in einer geordneten Menge erfiillbare Aussage schon in einem Ele- ment aus N erfiillt wird. Aus der Vollstandigkeit von LQ, erhalt man schliel3lich die Entscheidbarkeit der in Frage stehenden Theorie.

Die in [3] verwendeten Methoden und Ergebnisse miissen fur das vorliegende Problem auf Grund der starkeren Ausdrucksfahigkeit von LQI an vielen Stellen stark modifiziert und verfeinert werden (vgl. [7]).

Fur die metatheoretischen Betrachtungen setzen wir die Zermelo-Fraenkel-Mengen- lehre mit Kontinuumhypothesel) voraus, unabhiingig davon, ob alle Axiome wirklich benotigt werden. Kurdinalzahleiz seien ordinale Anfangszahlen.

1) Wir benotigen nur, daI3 eine geordnete Menge A der Machtigkeit o1 existiert, so daI3 auch jedes Teilintervall von A die Machtigkeit o1 besitzt und daI3 es eine abzahlbare in A dicht liegende Teil- menge gibt.

18 Ztschr. f. math. Logik

274 HEINRICH HERRE UND HELJIUT WOLTER

Wir wollen jetzt eine Reihe grundlegender Bezeichnungen und Definitionen angeben. In1 folgenden seien A , B, C, D, X geordnete Mengen, a, ,9, y Ordnungstypen und nz, n, k , 1; i, j natiirliche Zahlen. Mit, (0 , m*, q, 1, wl, co: bezeichnen wir der Reihe nach die Ordnungstypen der naturlichen Zahlen, cler negat'iven ganzeii Zahlen, der rationalen Zalilen, der reellen Zahlen, cler abzahlbaren Ordinalzahlen, den dazu inversen Ordnungs- tJyp. + und . stehen fur Addition und Mnltiplikation von Orclnnngstypen.

1st A eine geordnete Menge, S E 9 und S $. 0, dann heiBt S Segment von A , falls fur jedes a , b E S das abgeschlossene Intervall ( a , 6 ) eine Teilnienge von S ist. 8 heifit beschyankt in A , wenn X in einem abgeschlossenen Intervall oon A enthalten ist. Fur a E A heiI3en A<" = (x E A : x < a } bzw. A>" = { x E A : x > a ] Anfangs- bzw. E d - stuck von 9. A* heil3t Zerlepcng (oder splitting) von A , wenn'A* eine geordnete Menge von paarweise disjunkten Segmenten von A ist, so daJ3 jedes a E A einem Segment S E A* angeliort und S 2 X', falls x < y fiir jedes z E S und y E S' , wobei 2 die Ord- nungsre1at)ion in A* ist. Die Elemente aus A* heiI3en I-omponenten der Zerlegung.

Im folgenden schreiben wir fur den Quantor Q1 einfa,ch Q. Fur geordnet'e Mengen A , B wird jetzt induktiv eine Relation -2 eingefuhrt.

A -? B, A -2+1 B. wenn (1) fur jedes a E A ein b E B und fur jedes b E B ein a E A existiert,

so daB A<1L -2 W b und A>" -: B>IJ und wenn

( 2 ) fur jedes X 5 A mit card(X) = (ol ein Y E B mit card( Y ) = wl existiert,, so da13 fur jedes b E Y ein a E X existiert, so dal3 A<" -: B<b und A>" -: B'" und wenn fur jedes solche Y B ein entsprechendes X A existiert rnit den geforderteri Eigen- schaf ten - 2 erweist sich als Aquivalenzrelat,ion, fur die es nur endlich viele Aquivalenzklassen

gibt. Wenn A -: B, dann nennen wir A und B n-aquiwalent. Da die Isomorphie zweier Modelle ihre n-Aquivalenz nach sich zieht, geniigt es fur die folgenden Unter- suchungen, Ordnungstypen anstelle von geordneten Mengen zu bet>rachten.

Fur A , B gehe weiterhin: A = B bzw. A - - r l B, falls in A und B die gleichen Aus- sagen aus L bzw. die gleichen Sussagen init hochstens 71 Quantoren gultig sind. Analog seien A = Q B und A 3: B fiir LQ definiert. Wenn A = B bzw. A E Q B, dann heil3en A und B elem~entaraquivalent bzw. LQ-aquioale~it.

wenn ,4 und B beliebig (auch leer) sind.

2. Definition der Menge X Zunachst sol1 eine zweistellige Funktion CT (shuffling function) definiert werden, die

auf endliche Folgen von Ordnungstypen operiert. Dazu sei 1; die Menge der irrationalen Zalilen, und fur jedes nL seien AT, . . ., 1: uberabzahlbare Teilmengen von A;, so dal3

U A: = A: uncl fur jedes i, j = 1, . . . , m ist 1: n A7 = 0, falls i #= j, und zwischen

je zwei Elementen aus 1: liegen w1 viele Eleniente aus 1y.I)

IR

, = 1

l) Wir wahlen nianchmal fur geordnete Mengen und fur die entsprechenden Elementmengen (ohne Ordnung) gleiche Bezeichnungen, was aber nicht zu Verwechslungen fuhren mird.

ESTSCHEIDBARKEIT DER THEORIE DER LINEAREN ORDNUNG I N L Q ~ 275

7; sei die Nenge der rationalen Zahlen. Analog wie oben definieren wir Teilmengen

7: , . . . ~ 7:: von qi, so dafi u q; = 17: und fur jedes i , j = 1, . . . , n ist 7; n 7~ = 0,

falls i + j , und zwischen je zwei Elementen aus 7:' liegt ein Element aus 77. Nan iiberlegt sich leicht, dab es fur jedes m, n solche Mengen gibt und dal3 auf Grund

der Kontinuumliypothesel) alle die Machtigkeit w1 haben. Wegen 1 = 1; u 7: lie- gen dann zivischen je zwei Elementen aus 1 genau 01 Elemente aus &' (i = 1, . . . , n) nnd (0, viele Elemente aus ?,? ( i = 1, . . .) m).

Fur die folgenden Untersuchungen seien ilr) 7; fest gewahlt. Sind F , = (a,, . . . , a,,,), F , = (/I1 ~ . . . ~ /I,>) endliche Folgen von Orhungstypen, dann ist o(F,, F,) ein Ord- nungstyp. der aus 1, enhsteht, indem jedes Element x aus il ersetzt wird durch ai bzw. P j , je nachdem ob x E A? oder x E TI;. Sind F , bzw. F , Folgen der Lange 0, dann wer- den in A die Elemente aus A; bzw. aus gestrichen und nur die restlichen Elemente durch die entsprechenden Ordnungstypen ersetzt. Im folgenden wollen m i r voraus- setzen. daB wenigstens eine der Folgen F,, F , eine positive Lange besitzt. 1st F , von der Lange 0, dann ist o(F, , F 2 ) offenbnr die in [3] angegebene shuffling-Funktion. Aus o ( F , ~ F2) erhalt man in ka,nonischer Weise eine Zerlegung, cleren Komponenten a,; . . . an, ,

Xit Hilfe der a-Funktion und gewisser anderer Operationen bilden wir die folgende Menge M . Es sei M die kleinst,e Menge aller Ordnungstypen, die 1 enthalt und die abgeschlossen ist bzgl. der Operationen a + /I, a . o i , a . w*, a . w , ) a . of, @',) F J , wobci x. /I E &' und F,, F , endliche Folgen nus ~$2 sind.

In den nachfolgenden Untersuchungen wird gezeigt, clal3 jede geordnete Menge n-aquiralent ist zu einem a E X. Hierzu benojtigen wir eine Reihe bekannter bzw. leicht zu beweisender Hilfssatze.

n

i = l

. . . , /I,, sind.

3. Beziehungen zwischen -2 und ~2 fur I 5 n die Menge aller Ausdrucke aus L, der Gestalt ql+,xl+,. . .

q,,r,g(x,,. . ., x ,~) , wobei cp quantorenfrei ist und genau die Variablen xl, . . ., x,, ent- halt und qL E (3, V, Q, i Q } . xl. . . . . x1 sind also in jedeni Ausdruck a m Zn,n,l frei.

EP sei Z,,

Lemma 1. Fiir geordnete Mengen A , B gi l t :

(1) Piir I 5 n und a = (u,, . . ., a,) € A z , b = (b,, . . ., b,) EB' mit a, < . . . < a L , W:-~B<''' und (A>ai)<a*+l N$-L (B>6i)<bttl b, < . . . < bl i d fur ~EZ,,,, gi l t : W e n n

fiir i = 1, . . . , I - 1 u n d -?-l B>''[, so A 1 ~ ( a ) e B l= y(b).

(2) W e n n A -: B, so A E: B.

(3) Fur jedes n gibt es e i n m, so dua gilt: W e m A ~2 B, so A -: B. (3) ist allgemeiner fur beliebige Relationalstrukturen endlicher Signatur richtig,

wenn nur die Relation -: etwas modifiziert wird (-2 ergibt sich dann als Spezial- fall, vgl. [4] und [S]).

(1) beweist man leicht indulrtiv uber 7~ - 1. (2) folgt aus (1) .

l ) S u r zum Nachneis der Existenz soldier Mengen &", $' haben wir die Kontinuumhypothese vorausgeset zt.

18*

276 HEINRICH HERRE UND HELMET WOLTER

Lemma 2. Fur jedes n gibt es in der Klasse der geordneten Mengen hochstens endlich

Dieses Lemma gilt wiederum fur beliebige Relationalstrukturen endlicher Signatur

Lemma 3. Es seien A*, B* isomorphe Zerlegungen von A bzw. B, und f sei ein Iso-

(1) Wenn S -: f (S) fur jedes S E A*, so A -? B. (2) Wenn S -2 f (S ) fur jedes S E A* und jedes n, so A = Q B. (1) beweist man leicht induktiv fiber n . Da dieser Beweis eine einfache Verallgemei-

nerung des entsprechenden elementaren Falls ist, sol1 er hier weggelaseen werden (vgl. Lemma 3 in [3]). (2) folgt aus (1) und Lemma l (2) .

Lemma 4. Die Relationen -2 und EQ sind vertraglich mit den Operationen a + p, a . w , a . w*, ~1 ' c ~ ) ~ , a . (or, o(F,, F 2 ) , wobei b, /I E M und F,, F , endliche Fol- gen aus M sind.

vieb A'quivalenzklassen bzgl. - 2.

(vgl. [4] und [S]).

morphismus von A* auf B*. Dann gilt:

Der Beweis folgt unmittelbar aus Lemma 3.

4. Die rekursive Aufzahlbarkeit der in M erfiillbaren Aussagen aus L, Jedem Element a E iM wird jetzt eine naturliche Zahl r (a) (der Rang von a ) zu-

geordnet. Es sei M , = (l} und M,+, = M I , v {a: Es gibt Elemente p, y und endliche Folgen F,, F , in M,, , so daB a einer der folgenden Ordnungstypen ist : /3 + y , y + /3, 6 * 0, B . w*,

r(a) = min (n : DL E A f l l } .

Es ist klar, daB jedes a E M einen Rang besitzt, da13 jede naturliche Zahl als Rang auftritt und da13 es zu jedem k nur endlich viele Elemente aus M mit dem Rang k gibt.

Fur Elemente a, /3 E M fuhren wir jetzt eine Relation < * ein: p < * a, falls ein y E M und endliche Folgen F , = (a1, . . .,a,,,), F , = (/Il, . . ., Pn) in M existieren, so daB /? in F , oder F , vorkommt und a einer der Ordnungstypen /3 + y , y + /?, /3 . Q,

t!? * o * , 18 * m,, /3 . w:, o(F,, F2) ist, wobei r (p ) , r ( y ) , r (aJ, r(lgJ) < r (a) . Aus dieser De- finition erhalt man leicht, daB { p : f l <. a] fur jedes a E M endlich ist.l)

Fur jedes 01 E M erweitern wir LQ durch Hinzunahme der einstelligen Relationen- zeichen Ps fur f i < * 01 und durch das zweistellige Relationenzeichen -. Die so ent- standene Sprache wird mit LQ(a) bezeichnet.

Induktiv iiber die Kompliziertheit von a werden jetzt fur gewisse a E N Mengen ZG von Aussagen aus LQ(a) angegeben.2) 1st a = 1, dann sei .Za = {VxVy(x = y r \ A x - x A 1 5 < x)}. Es sei 01 + 1, und jedes f i E { y : y <- a> besitze ein kleinstes Element. Die Menge dieser 01 sei M,. Fur a E M , sei Za = ZvZL, wobei 2 die Axiome der linearen Ordnung fur < und die der Aquivalenzrelation fur - enthalt.

) Fuhrt man <* ohne Verwendung des Ranges ein, dann limn man nicht die Endlichkeit von { B : p <* a} sichern. 1st z. B. a = w und y = w , dann ist a = k + y fur jedes k < w und daher { p : /3 <. a} unendlich.

2, Die .Za sind Erweiterungen der entsprechenden in [3] definierten Mengen. Der besseren ffber- sicht wegen werden einige Aussagen nicht formalisiert angegeben.

* (01, /3 * ~ f , u(F;II 9 -B'z)}-

ESTSCHEIDBARREIT DER THEORIE DER LINEAREN ORDNUNG IN LQ, 277

Weiterhin gehoren zu 2: Vx Vy Vz(.r - y A x < z. < y .+ x - z ) ; ..Jedes Element gehort zu genau einem Pradikat Pa fur /? < * a, und die Ps sind nicht leer" :

,,\Venn x - y, dann gehoren x, y zum gleichen PP". 2: ist wie folgt festgelegt, wobei Ex eine Abkurzung fur Vy(y - x --f x E trifft auf genau die Anfangselement,e der Bquivalenzklassen zu :

(El) Wenn LX = /j + y und p, y <. a, dann enthalte Z;:

y) ist, d. h.,

,, - bestimmt eine Zerlegung rom Ordnungstyp 2";

VS vy(S < y A l x - y + Pax A P#). (E,) \Venn LY = B * 0) und B <* x , dann enthalte 2;:

,, - best.immt eine Zerlegung, deren Ordnungstyp LQ-aquivalent ist zu w " . ~ )

(EJ Fur a = /I * Q* wird 2; analog zu (E,) definiert.

(E,) Wenn x = /? w1 und B <. a, clam enthalte 2:: ~ ~ - bestimmt eine Zerlegung, deren Ordnungstyp LQ-aquiva,lent ist zu o ) ~ ' ' . ~ )

(E5) Fiir x = f l * cu: wird 2; analog zu (Ed) definiert.

(E6) Wenn x = o ( F l , F,) und F, = (al, . . ., am), F , = (PI, . . . .P,J und &i,Pj <- 01,

clann enthalte ZL: .: - bevtimmt eine dicht, geordnete Zerlegung ohne erstes und letztes Element" ;

,,Jede .%quivalenzklasse besitzt ein erstes Element'' ;

?€Fa

Fur olle N E X, ist damit eine Menge Za von Aussagen aim LQ(a) definiert. 1st p eine dussage aus L, und /j E M , dann sei vs = Vx(PBx -+ q) , wobei $j aus p durch Re- lat,ivieruiig aller Variablen von 9 auf das Pradikat ,,. . . -x" entsteht.

Weiterhin sei Fa = {pB: p E L,, /? <- 01 und P k p} und T, schlieBlich die Folge- rungsmenge von Za w r, fur 01 E M I . 1st A eine geordnete Menge und d = ( A ; -, P,l ~ . . . , P,.,) mit y i <. a , dann heil3t d Erweiterung von A .

I m folgenden soll gezeigt werden, daB Th(a) = {p E LQ: cx k p'} fur jedes a E M rekursiv aufzahlbar ist,. Dazu werden noch einige Hilfssatze benotigt.

Lemma 5. (1) Ist a E MI und d k T, und 9 eiiie A ~ s s a g e aus LQ, dann ist d k p * -4 b y.

') Dies IaBt sich mit Hjlfe von E ausdriicken. 2 ) 1st F; = (a;, . . ., a:) und F; = (p i , . . ., 8:) und {al. . . .. a",} = {a;, . . .,a&} und

{PI, . . .. p,4) = { p i , . . .. pi}, dann zeigt man leicht, indiilitiv uber k: cr(F,, F2) -9 cr(Fi, F;) fiir jedes b. Deshalb konnen F , , F2 im folgenden als Mengen aufgefaI3t werden.

27% HEINRICH HERRE UiVD HELJIVT IVOLTER

( 2 ) Fur jede geordnete Menge d voni Ordnungstyp ~ 1 ( E ill, gibt es eiiie Erweiterung id, so da/3 sd k T,.

Beweis. (1) ist trivial. ( 2 ) ist fur card(A) = 1 trivial. Anderenfalls besitzt ,4 eine Zerlegung A* entsprechend der Bildung des Ordnungst,yps a E ill1, so daI3 die Ele- mente von A* Ordnungstypen y mit y <- 01 besitzen. - wird als Aquivalenzrelation auf A interpretiert, S O daB durch - die Zerlegung A* definiert wird und dieaqui- valenzklavsen niit, den Eleinenten aus A* iibereinstinimen. P, sol1 auf genau die Ele- mente der y-Iiomponenten in A zut,reffen. Die so erhaltene Relationalstruktur ~2 ist offenbar ein Modell von T,. q. e. d.

Lemma 6. Es seien folge7ide Voraussetacngen erfiillt:

(1) A , B sind geordnete M e n g e n und A*, B* Zerlegungen von A bzu.. B z r n d -*, - B

Aquivalenerelatio~ielz in A bzw. B, durch welche die Zerlegungen ?nit d e n Ordmcngsrela- tionen < , < definiert u>ercle,n.

(2) Pt, . . ., pi' bew. P:, . . . , Pp sind einstellige Pradikate in A* bzu.. B*, SO dap jedes Element au.s A* bzw. B* z u gennzi pinein der P t bzw. PF g~l i i i r t .

(3) Jedes Elenient aus ,4* n Pii ist k-iiquivalent z u jedem Eleme>Tt ai ls B* n E ' f , i = 1 , . . . , 1 .

Dan?& gilt: W e n n .d* = (A* ; < A , . P f , . . . PiL) - g (B* ; < PF ~ . . . . P/> = .$*, d a m ist A -f B u,nd danait auch A -9 B.

Beweis. Den Beweis fuhrt man leicht spieltheoretisch (Lipner-Vinner-Spiel, vgl. [4] und [S]). Denn nach Voraussetzung besitzt Spider I1 in dem k-rundigen Spiel C((d*, B*) e k e Gewinnstrategie, mit deren Hilfe man leicht eine Gewinnst,rat,egie fur I1 in I',<(A> B ) konstruieren kann. q. e. d.

Lemma 7 . I.st cx E M I und sitid d, 9? iilcdelle vou T , , d a m ist A =Q B. Beweis. Fur .4, B, A*, B*, e?, Pf gelten die Voraussetzungen von Lemma G . Auf

Grund der Eigenschaften (El)-(E6) ist .cd* =Q 9l* und claher A?* -2 a* fiir jedes k. Folglich ist A =? B. q. e. d.

Koro l l a r 8. Ist a E M , und q einc Aussage aus LQ: d a m ist Q E T , 0 'x I= q.

Beweis. Es sei cp aus LQ, A eine geordnete Menge des Ordnungstyps J und a2 eine Erweit,erung von -4, so daJ3 $2 l= T, ( A und d esistieren nach Lemma 5 ( 2 ) ) . Es sei zunachst cp E T,%. Nach Lemma 5(1) ist dann A i= qc, also 01 I= q. Es sei jetzt um- gekehrt 01 i= p und angenommen Q $ T,. Da T, eine Polgerungsnienge ist, gibt es ein Modell von T, mit 93 k i p : also B 1 i p . Nach Lemma 7 ist dann B 1~ fur jedes Modell 9 von T,. Wegen N k q ist aucli A k p. Kach Voraussetzung ist s2 k T , und nach Lemma 5(1 ) ist $2 k v. Widerspruch! q. e. d.

Lemma 9. Fiir jedes 01 E M ist Th(n) rekzoi-siv aufziihlbar.

Bemeis. Der Beweis wird indulitiv uber den Rang von a gefuhrt. Der Fall r(a) = 0 ist trivial. Fur r(a) 5 12 gelte die Behauptuni schon, und es sei jetzt r(a) = = n + 1. Dann ist r ( y ) s n fur jedes y <. (Y. Folglich ist Th(y) rekursiv aufzahlbar und damit auch Th( l + 7 ) . Es sei {y l ~ . . . , y l } die Menge der Ordnungstypen in M mit y i < * 01, also r ( y , ) 2 n. Weiterhin sei y: = 1 + y ; und K' mit Hilfe der yl analog wie K definiert. Dann ist 01' E N , . Da LQ vollstiindig (vgl. H. J. KEISLER 191) und

EXTSC IEIDBARKEIT DER THEORIE DER LIKEAREK ORDhUKG I N L Q ~ 279

Z:, w Tmf rekursiv aufzahlbar ist, sind Tap und (nach Korollar 8) Th(a') rekursiv auf- zahlbar. 1st 9 E LQ und re1 p die Relativierte von 9 auf i E , also auf die Elemente, die nicht Anfangselement einer Aquivalenzklasse sind, dann gilt offenbar : DC k 9 0 0 A' b re1 y . Folglich ist Th(a) rekursiv aufzahlbar. q. e. d.

Theorem 10. Die Menge der in Modellen aus ill erfiillbaren Aussagen aus LQ ist rekursiti aufzahlbar.

Die Behauptung folgt unmittelbar aus Lemma 9 und der Tatsache, dalJ M rekursiv aufzahlbar ist.

5. Die Entscheidbarkeit der Thcorio der geordneten Rfengen in LQ In dieseni Abschriitt sol1 gezeigt werden, daB die Aussagen, die in geordneten Mengen

erfiillbar sind, schon in einem Modell aus M erfiillt werden. Wir wollen also zeigen, daB V in der Modellklasse der geordneten Mengen dicht liegt, woraus dann die Ent- scheidhrkeit folgt. Dazu sei k eine fiir den ganzen Abschnitt fest gewahlte natiirliche Zahl.

Eine geordnete Menge d (bzw. ein Ordnungstyp a) heiBt zulussig, wenn es ein p E M gibt, SO dal3 A -p/? (bzw. LX -2p).

Operationen @ + y , p * v) , /? . a*, Lemma 11. Die Klasse der zulassigen Ordnungstypen ist abgeschlossen beziiglich der

Der Bemeis folgt, unmittelbar aus Lemma 4.

Lemma 12.l) Is t A eine geordnete i l lenge des Konfinalitatstyps cf(A) = cu, mit erstem EIemerit uizd n eine natiirliche Zahl , dann gibt es Elemente a , b E A ? so dap A =? ACa +

Beweis. Es sei wi < ( I ) und (av)p<o, eine in A konfinale echt monoton wachsende Folge und I, = (a E A : < a 5 a"}, falls v eine Nachfolgerzahl ist und es sei I, = [ ( i E -4: fur jedes cc < Y ist. a,, < a av), falls 1' keirie Nachfolgerzahl ist. Nach Lemma 2 gibt es unter den I, bis aiif ni-Aquivalenz nur endlich viele; es seien dies

, I.,. Es sei Aq' eine (durch die Segniente definierte) Zerlegung von A und .J* = (A*: <*, P:. . . . , P:), wobei <* die Ordnung in A* ist und PT auf genau die Elemente aus A* zutrifft, die mit I,,i 9)s-aquivalent sind. A* besitzt den Ordnungs- typ o), . s a c h den1 Satz roil L O ~ ~ E S € I E I , l - S K ~ L E ~ l - T A R S K I (fiir die d* entsprechende elementme Sprache) gibt es ein abziihlbares elementares Teilmodell a* = (B' ; < ', Pi, . . . , P:) von d*> n-obei B' ein Anfangsstuck von A* ist und <', Pi' die Einschran- kungen von <*, P: auf B' sind. Offenbar ist. B = ( U B ' ; <) ein Anfangsstiick von A , wobei die Ordnung von B die Einschrankung der Ordnung von A auf UB' ist und cf(B) = w . Fur die Theorie der Ordnung definieren wir jetzt einen neuen Quantor q : qag(.r) c, 3yQr(z < y A y ( a ) ) . qzp(x) ist in einer geordneten Menge A, erfiillt, wenn es schon eine iiberabzalilbare nicht-konfinale Teilmenge X A , gibt, so daB jedes Element aus X den Ausdruck p(x) erfullt. Fiir die Sprache L, lal3t sich sehr einfach das Lipner-Vinner-Spiel verallgemeinern (indem nur nicht-konfinale iiberabziihlbare Mengeii gewahlt werden), so daIJ gilt,: Wenn A , -:, A,! so A , =:L A , . Spieltheoret,isch zeigt man leicht, daB A -: B. Denn wahlt Spieler I z. B. eine iiberabzahlbare nicht-

* O J ~ > p . COT, o(F,, F2) .

+ (a . 6) ' (01 + (<O* + ( I J ) ' (0,).

l ) Dieses Lemma ist unabhangig hiervon aucli von H. P. TUSCHIK [10] bewiesen worden. Der dort vorgelegte Beweis ist komplizierter und ron dem hier gegebenen grundlegend verschieden.

280 HEINRICH HERRE UND HELMET WOLTER

konfinale Menge X E A , dann gehort schon eine uberabzahlbare Teilmenge X ' einem der Segmente I, an. Also X' E a* fur ein a* E A*. Spieler I1 wahlt in B* nach seiner Gewinnstrategie im Ehrenfeuchtspiel rm(.d*, a*) ein b* und in b* eine uberabzahl- bare Menge Y' (entsprechend der m-bquivalenz von a* und b*). Wahlt I ein b E I", dann wahlt I1 ein geeignetes a E S'. Analog verlaufen auch die anderen Runden. Wegen cf(B) = (o 1aSt sich B mit Hilfe des RAMsEYschen Theorems (analog wie in [3 ] Lemma 8) na-aquivalent ersetzen: B -2 B<" + (a , 6 ) * 0 , wobei B<" = A<" und ( a , 6 ) ein beschranktes Segment von A ist,. Dann gilt offenbar auch B -: A<u + + ( a , b ) (0. Wegen u) E u) + (a* + (1 ) ) . u), = 5-? besitzt Spieler 11 in dem Ehren- feuchtspiel P,,,(w, Q) eine Gewinnstrategie. Hieraus erhalt man leicht mit Hilfe des Lipner-Vinner-Spiels fur Lq, dalj A<" + ( a , b ) . cu -% A<" + ( a , b ) . SZ = A , . Also A -2 A, und daher A =% A,. In geordneten Mengen des Konfinalitatstyps ist Q mit Hilfe von q durch Qzp(x) c, q.zp(z) v Vy 3z(x > y A p(x)) definierbar. Fiir m = 3n ist dann A ~2~ A,. q. e. d.

B o r o l l a r 13. Ist cf*(,4) = co: und besitxt d eiii letztes Element, dunn gilt Lemma 12 entsprechend.

Lemma 14. Ist cf(A) 5 (ol und jedes beschrankte Segment ?~'OIE A zulais.sig, d a m ist A zulassig.

Beweis. Wir nehmen an, da'S ,4 ein erstes, aber kein letztes Element besitzt. (Wenn cf(A) < 0 , dann folgt die Behauptung unmittelbar aus Lemma 11 bzgl. Addition.) Hat A ein letztes, aber kein erstes Element, dann verliiuft der Beweis analog. Besitzt B kein erstes und letztes Elemeyt, dann sei A = B + C + D, wobei B ein letztes, D ein erstes Element besitzt und C als beschranktes Segment von d zulassig ist. Hier- aus erhalt man clam die Behauptung. Wir nehmen folgende Fallunterscheidung vor.

1. cf(A) = w. Dann gibt es (analog wie in [3], Lemma 8) E1ement.e a , b E A, SO daB A -9 A<" + ( a , b ) . o . Da A<" und ( a , b ) nach Voraussetzung zulassig sind, ist nach Lemma 11 auch d zulassig.

2. ~ f ( ~ 4 ) = wl. Each Lemma 12 existieren Elemente a , b E -4, so daS A =: A<" + + ( a , b ) * (01 + (cu* + w) . ol) = A,, wobei A<a und ( a , b ) nach Voraussetzung zu- Iassig sind. Wahlt man 11 Iiinreichend groS (vgl. Lemma 1 (3)), dann ist A -f A, und damit A zulassig. g. e. d.

Theorem 15. Jede geordnete il;len.ge A ist zulassig.

Beweis. Da fur L, der absteigende Satz von LOWENHEIM-SKOLEM (bis zu wl) gilt,, konnen wir uns auf Mengen mit card(A) 2 (9, und damit auch cf(A) wI be- schranken. Fur a , b E A gelte: a - b , wenn jedes Segment von (a, b ) (bzw. von (6, a) , falls b 5 a) zulassig ist. Dann erhalt man:

1. - ist eine Aquivalenzrelat,ion in A mit der Zerlegungseigenschaft (nach Lemma 11 bezuglich Addition).

2. 1st a* eine Aquivalenzklasse, dann ist jedes Segment von a* und damit auch a* zulassig (nach Lemma 14).

3 . Die durch N definierte Zerlegung A* von 9 ist dicht, geordnet (d. h., wenn a*, b* E A* und a* < b*, dann gibt es ein c* E A*, so da13 a* < c* < b*. Hieraus folgt, dalj 1 ein dicht8er Ordnungstyp ist).

ESTSCHEIDBARXEIT DER THEORIE DER LIXEAREN ORDNUNG IN LQ, 281

Xngenommen. a* < b* und es gibt kein c* zwischen a* und b*. Wir wollen zeigen. da13 d a m a - b mit a E a* und b E b*, und folglich a* = b*, im Widerspruch zu An- nahme. Es sei S ein Segment von ( a , b ) 5 A . Dann sind S n a* und S n b* Segniente von a* bzw. b*. Xach 3. sind S n a*, S n b* zulassig, und nach Lemma 11 ist S = S n a* + S n b* zulassig; also a - b. 4. Es gibt nur eine Aquivalenzklasse in A beziiglich N .

hgenommen, es gibt Elemente a*, b* E A* mit a* < b*. Nach 3. ist jedes c* E A* zulassig. Folglich existiert ein y E M , so daB c* -kQ y . Nach Lemma 2 gibt es eine endliche Teilmenge F 5 M , so da13 jedes c* mit a* < c* < b* k-aquivalent ersetzt werden kann durch ein y E F . Es seien jetzt a*, b* so gewahlt, dalj die entsprechende Menge F minimal wird, d. h., fur jedes a,*, b$ mit a* 5 a t < b,* 5 b* ist die eiitspre- chende Menge Po = F . Da F endlich ist, gibt es solche Elemente a*, b*, wid da A* clicht geordnet ist, erhalt man F + 0. Aus der Minimalitat von F folgt, daB alle y E F bis auf k-Aquivalenz in (a*, b*) unendlich oft vorkommen. Es seien F,, F , 5 F und F, bzw. F , enthalten genau die Elemente aus F , die in (a*, b*) bis auf k-i%quivalenz c,l1 bzn. genau oj-ma1 vorkommen. Analog wie fur P lassen sich a*, b* so wahlen. dalj zusatzlich F , minimal wird, nobei auch F , = 0 und F , = F sein konnen. 1st 8* ein Segment von (a*, b*) A*, dann gilt offenbar: Zu jedem y E F, bzw. y E F , gibt es tol bzw. genau viele c* E S*, so dab c* -kQ y. Es sei jetzt a E a*, b E b* uncl S ein Segment von ( a , b) E A . Dann ist X = S , + S' + S,, wobei S, bzw. S, Endstiick bzw. Anfangsstiick gewisser ~quivalenzklassen sind und S ' ein Segment von &pi- valenzklassen ist. Induktiv uber k zeigt man leicht s' -? o(F, . F2) . Da F, uncl F , nur zulassige Ordnungstypen enthalten, ist a(P,, F,) und damit auch S' zulassig. S,, S , sind als Segmente von Aquivalenzklassen ebenfalls zulassig (wenn S, = 0 oder S, = 0, d a m vereinfacht sich der Beweis). Folglich ist ,S = 8, + 8' + 8, zulassip und a N 6 . Dies ist ein Widerspruch zu a* $: b*. Folglich gibt es genau eine Aqui- valenzklasse in A , und daher ist A zulassig.

I m folgenden sei KO die Klasse der geordneten Mengen und R $ " 1 bzw. K$"l die Teilklasse der abzahlbaren bzw. der iiberabziihlbaren Modelle. TQ uiid T seien die Theorien von KO in LQ bzw. in L und T;"l, Te"1 die Theorien der entsprechenden Teilklassen. Weiterhin sei TC die LQ-Theorie der dicht geordneten Mengen. Dann gilt :

Theorem 16. Die Menge der in K O erfullbaren Aussagen aus LQ id rekursiv auf- zahlbar.

Der Beweis folgt aus den Theoremen 10 und 15.

Theorem 15. Die Theorien TQ, T , T ~ " I , TBu1, T$ sind entsckeidbar.

Be w e i s. Auf Grund der Axiomatisierbarkeit von LQ ist TQ rekursiv aufzahlbar. Da auch die in K O erfiillbaren Aussagen rekursiv aufzahlbar sind, erhalt man die Ent- scheidbarkeit von TQ . Als einfache Folgerung hieraus ergibt sich die Entscheidbar- keit. der anderen Theorien. g . e. d.

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(Eingegangen am 15. Januar 1976)