enunciado problemas trifasica y soluciones-1 (1)

7/23/2019 Enunciado Problemas Trifasica y Soluciones-1 (1)

http://slidepdf.com/reader/full/enunciado-problemas-trifasica-y-soluciones-1-1 1/85

Ejemplo de los apuntes:

En el circuito de la figura se sabe que el voltímetro V marca 380V, determinar, 1 E , 2 E

, 3 E , a I , b I y c I sabiendo que tiene secuencia inversa y tomando como referenciade fases 1 E .

a'

b'

E 1

E 2

E 3

c'

n'

Z !

Z !

a

b

c

n

I b

I a

I c

Z g

Z g

Z "

Z "U a'b'

U b'c'

U c'a'

I #$1% Z #

$2% Z g

V

Z ! $&% 3.

$3% 2. Z "

oluci(n.

)onsiderando el circuito monof*sico re+resentativo de la fase a

a'

E 1

n'

a

n

I a

$2% Z g

Z ! $&% 3.

$3% 2. Z "

-e acuerdo con la indicaci(n del voltímetro 380 Va'n ab'n c'n= = =

/omando como referencia de fases inicialmente 'n'aU ⇒ 0'n'a 380∠=U

Entonces

( ) a0 3 %&2 %3380 I ⋅⋅++⋅+=∠ ⇒& %8

380 0a

⋅+=

∠ I ⇒

32

0a

3.

380

∠

∠= I ⇒

32a 3.0 −∠= I 4or otro lado

( ) 321 3.03 %&2 %3 %2 −∠⋅⋅++⋅+++= E ⇒ ( ) 321 3.05 %10 −∠⋅⋅+= E ⇒

325.301 3.055.11 −∠∠ ⋅= E ⇒ 0.11 .5 −∠= E V



4uesto que tenemos que tomar como referencia de fase a 1 E , es necesario multi+licar +or 1∠1.0 6un giro de 1.0 del diagrama vectorial o +lano fasorial7 todas lasmagnitudes +ara referirlas a la nueva referencia, resulta

01 .5 ∠= E V 5.30a 3.0 −∠= I

1202 1.5 ∠= E V 1203 .5 −∠= E V

0.8 b 3.0 ∠= I 5.1&0c 3.0 −∠= I


En el circuito de la figura se sabe que el voltímetro V marca 380V, determinar, ab E , bc E ,

ca E , a I , b I e c I sabiendo que tiene secuencia directa y tomando como referencia de

fases ' b'aU

.

a'

b'

U a'b'

U b'c'

U c'a'

c'

a

b

c

I b

I c

Z "

Z "

Z ∆

Z ∆

E bc

E ca

E ab

I a

$1% Z "

$% 12. Z ∆

V

Z g

Z g∆ $2% 3.

Z g∆

Z g∆ ab

bc

b'a'

a'c'

ca

c'b'

oluci(n.

-e acuerdo con la lectura del voltímetro 380 Vbc = , entonces

380 Vab bc ca= = = . -ibu%ando el circuito monof*sico equivalente de la fase ab,resulta

a'

E ab

b'

Z ∆

a

b

I ab3. Z "

Z g∆

/omando inicialmente como origen de fases abU ⇒ 380 0 VabU = ∠

⇒∆

= Z U I abab ⇒ 13.&3

13.&3

00ab 33.2&

1&380

12 %380 −∠

∠

∠∠ ==⋅+

= I



( ) ( )( ) &313a b " ab3 3 1 % % 12 2& 33∠ −∆= + = × + + + × × . º ' ' U Z Z I . ⇒ ( ) 13.&3' b'a 33.2&1& %12 −∠⋅⋅+=U

13.&33.&1' b'a 33.2&21.1 −∠∠ ⋅=U ⇒ 9.1' b'a &.85 −∠=U V

4uesto que la referencia de fases debe ser ' b'aU , es necesario multi+licar los anterioresresultados +or 1∠1.9 6un giro a i:quierdas en el +lano com+le%o de todas lasmagnitudes de 1.97, resultando

0' b'a &.85 ∠=U V 120'c' b &.85 −∠=U V 120'a'c &.85 ∠=U

V

&3.13 1.9 &1.32&.33 1 2&.33ab I ∠ − × ∠ ∠ −= =

( )3ab g L ab E Z Z Z I ∆ ∆= + × + × ⇒ ( )( ) &1.32 3 3 1 12 2&.33ab E j j j ∠ −= + × + × + + + × ×

( ) &1.31 18 2&.33ab E j ∠ −= + × × ⇒ &2.13 &1.322.8 2&.33ab E ∠ ∠ −= × ⇒0.9&99.&2 Vab E ∠= ; 11.21&99.&2 Vbc E ∠ −= y 120.9&99.&2 Vca E ∠=

4or otro lado

30aba 3 −∠⋅= I I ⇒ 303.&1a 333.2& −∠−∠ ⋅= I ⇒3.81a 89.3 −∠= I ; 3.201 b 89.3 −∠= I e 55.38c 89.3 ∠= I

El mismo Ejemplo se +uede resolver +as*ndolo a estrella<estrella.


En el circuito de la figura se sabe que el voltímetro V marca 380V, determinar, ab E , bc E ,

ca E , a I , b I e c I sabiendo que tiene secuencia directa y tomando como referencia de

fases ' b'aU .

a'

b'

U a'b'

U b'c'

U c'a'

c'

a

b

c

I b

I c

Z "

Z "

Z ∆

Z ∆

E bc

E ca

E ab

I a

$1% Z "

$% 12. Z ∆

V

Z g

Z g∆ $2% 3.

Z g∆

Z g∆

oluci(n.

l ser equilibrado, de la lectura del voltímetro se deduce que 380 ca bcab === V

4asando el circuito a estrella<estrella



303

aba

E E

∠= ;

3

gg

∆ Υ =

Z Z ⇒ %

3

2g += Υ Z ;

3

∆ Υ =

Z Z ⇒ %3 ⋅+= Υ Z

a'

b'

E a

E b

E c

c'

n'

Z !

Z !

a

b

c

n

I b

I a

I c

Z "

Z "U a'b'

U b'c'

U c'a'

Z g! %2

3$

Z g!

Z g!

$3% . Z !

$1% Z "

)onsiderando el circuito monof*sico equivalente de la fase a

a'

E a

n'

a

n

I a

Z g! %2

3$

$3% . Z !

$1% Z "

4uesto que 2203

380

3

an

aban ===>= V

/omando como referencia de fases inicialmente anU ⇒ 0an 220∠=U V

Entonces, a+licando =>m ⇒ ( ) a0 %3220 I ⋅⋅+=∠ ⇒ %3

220 0a

⋅+=

∠ I ⇒

13.&3

0a

&

220

∠

∠= I ⇒

13.&3a −∠= I 4or otro lado

( ) 13.&3'n'a %3 %1 −∠⋅⋅+++=U ⇒ ( ) 13.&3'n'a & % −∠⋅⋅+=U ⇒13.&33.&1'n'a .5 −∠∠ ⋅=U

⇒ 9.1'n'a 5.281 −∠=U V; a+licando a>ora la relaci(n entre tensiones de línea y fase

30'n'a' b'a 3∠⋅= U U ⇒ 309.1' b'a 35.281 ∠−∠ ⋅=U ⇒ 21.28' b'a 9&.89 ∠=U V

4uesto que la referencia de fase es ' b'aU , es necesario multi+licar +or 1∠<28.21 lasanteriores magnitudes +ara referirlas a la nueva referencia, resultando



0' b'a 9&.89 ∠=U V 120'c' b 9&.89 −∠=U VV 120'a'c 9&.89 ∠=U

V30'n'a 5.281 −∠=U V

3.81a −∠= I V 3.201 b −∠= I V 55.38c ∠= I V21.28an 220 −∠=U V

⇒ 30

anab

3∠⋅= U U

⇒ 3021.28

ab

3220 ∠−∠ ⋅=U

⇒9.1ab 380∠=U Vy 21.118 bc 380 −∠=U V, 9.121ca 380∠=U V

4ara las intensidades de fase en el tri*ngulo, obtenemos

30aba 3 −∠⋅= I I ⇒30

3.81ab

3

−∠

−∠= I ⇒ &1.3' ' 2&.ab b a I I ∠ −= =

⇒ 191.3' ' 2&.bc c b I I ∠ −= = , e 58.55' ' 2&.ca a c I I ∠= =

4ara las tensiones en el generador en tri*ngulo se tiene' ' ' 'a b ab g b aU E Z I ∆= − × ( )0 &1.389.9& 2 3 2&.ab E j∠ ∠ −= − + × ×

0 &5.31 &1.389.9& 3.51 2&.ab E ∠ ∠ ∠ −= + × ⇒ 0 .989.9& 1.5ab E ∠ ∠= + ⇒ 0.98&9.1&ab E ∠=

V

! +or ser equilibradas 11.22&9.1&bc E ∠ −= y 120.98&9.1&ca E ∠=

PROBLEMA 1:/res im+edancias id?nticas de m(dulo$30 y fase ϕ$30 est*n conectadas en

tri*ngulo a un sistema trif*sico tambi?n en tri*ngulo y de secuencia directa, cuya tensi(nde línea es 280 V, siendo la im+edancia de línea de 0.80.5%. -eterminar

.<la intensidad de fase en la carga

.<la intensidad de línea

.<la tensi(n de línea en la carga.

i en +aralelo con la carga se conecta un con%unto de condensadores con una reactanciade <50%, calcular la intensidad de línea y la tensi(n de línea de la carga.



+ +

+Z

Z

Z

ZL

ZL

ZL

Ia

Ib

I c

<50%

<50% <50%

E 120

E <120

E 0a

b

a'

b'

c

c'

=")@#

4or ser el sistema totalmente equilibrado y estar tanto la carga como los generadores entri*ngulo, +or teoría se sabe que el circuito es equivalente a tres circuitos monof*sicos6uno +or fase7, viniendo dado el de la fase a<b +or el circuito

a Iab

+<50%Z

3L

Z

b

a'

b'

E 0

siendo Z = ∠ = +30 25 1&30 %

-el circuito anterior se obtiene

[ ]E % %∠ = ∠ = + + +0 0280 3 0 8 0 5 25 1& 6 . . 7 ' 'I a b

280 28 15 8 8 &0 30 &∠ = + ⇒ = ∠ − . 6 . . 7 .' ' ' ' % I Ia b a b

-ado que es un sistema trif*sico equilibrado, las restantes intensidades de fase son

Ib c' ' . . = ∠ −8 & 1&0 & y I c a' ' . . = ∠8 & 8 &

/eniendo en cuenta la relaci(n I IL != ∠ −3 30 , se obtiene +ara las intensidades delínea

I a = ∠ −1 9 50 &. . I b = ∠1 9 19 &. . y I c = ∠1 9 & &. .

+licando la ley de =>m, resulta



" ZIa b a b' ' ' ' . . .= = ∠ ⋅ ∠ = ∠− −30 8 & 2&&30 30 & 0 &

4or ser un sistema totalmente equilibrado, las tensiones de línea restantes est*ndesfasadas 120 con res+ecto a "a#b#

" b c' ' . = ∠ −2&& 120 & y " c a' ' = ∠2&& 11.&

l estar la carga conectada en tri*ngulo, la tensi(n de fase es igual a la tensi(n de línea.

i se conecta el condensador en +aralelo, la admitancia equivalente +or fase es

$Z

Z% %= + =∠

+∠

= ∠ + ∠ = ∠ ⇒ = ∠−

−1 1 1

30

1

50

1

50 2 1 0 02 3 5

30 030 0 0 0

%A ) 6 7 . .

+licando la ley de =>m, se obtiene

IZ Za b

% L

'. 6 . . 7 .

.' '

. . =

∠

+ =

∠

+ + =

∠

∠ = ∠ −

E

%

0 0 0

2 92 9

3

280

3 5 3 0 8 0 5

280

39 0 9 &5

Ib c' ' . . = ∠ −9 &5 122 9 y I c a' ' . . = ∠9 &5 119 21

-e la relaci(n entre intensidades de línea y fase resulta

I a ' . = ∠ −13 32 9 Ib ' . = ∠ −13 1&2 9 I c' . = ∠13 89 21

"as tensiones de línea son

" Z Ia b % a b' ' . . .' ' ' ' . . = = ⋅ ∠ = ∠− −3 5 9 &5 251&82 9 2 9

" b c' .' ' . = ∠ −251&8 122 9 y "c a

' .' ' . = ∠251&8 119 21

PROBLEMA &:

En el circuito de la figura, calcular

a7 "a intensidad de línea Il. b7 "as tensiones en bornes de los consumos B).



c7 "as intensidades de los consumos I& e I'.

Z Z Z

" " "

1 & '

ab bc ca

= ∠ = ∠ = ∠

= ∠ = ∠ = ∠

−

−

10

230 10

380 380 380

0 & &

0 120 120

+

+

+

Z&

Z&

Z&

I&

I'

I1

Z1

Z1

Z1

Z'

Z'

Z'

B

)

b

c

#

=")@#

El circuito anterior +uede +onerse como

+

+

+

Z&

Z& Z&

I&

I'I1

Z1

Z1

Z1

Z'

Z'

Z'

B

)

a

b

c #

Ea

Eb

Ec

En +rimer lugar transformamos la carga en tri*ngulo formada +or las im+edancias &Z en su estrella equivalente "as im+edancias &$Z de la estrella tienen +or valor

&& 103

30

3∠=∠== &

&$

ZZ

"as dos estrellas est*n en +aralelo, ya que +or ser un sistema equilibrado sus neutrosest*n al mismo +otencial

00&& 2

10

10

2

10

1

10

1111

∠=⇒∠=∠+∠=+= − $

'&$$

ZZZZ



4asando los generadores en tri*ngulo a su configuraci(n en estrella equivalente, seobtiene

+

+

+

Ea

Eb E

c

E1

E&

E'

+

++

a

bc c b

a

n

EE E "

" "

1

c b abab ab

= −

= − ∠

=

−

=

−

= ∠ −3

1 1

3

3

2

3

2

3

3

2

1

2

3220

12030

6 7 6 7 6 7

% %

donde se >a tomado la tensi(n "ab como origen de fases. El circuito monof*sicoequivalente +ara una fase es

+

Z1

Z$

I1

#n

220 <30

a

en donde se calcula f*cilmente la intensidad de línea I1 y la tensi(n de fase "A(

I "

Z Z

" Z I

1an

1 $

A( $ 1

=+

= ∠

∠= ∠

= = ∠ ∠ = ∠

−−

− −

220

10 21&&&

10

21& && 110

30

030

0 30 30

.

.

4ara la tensi(n de línea, al ser secuencia directa, se tiene

" "AB A(= ∠ = ⋅ ∠ = ∠3 1 3 110 1030 0 0

+or lo tanto, la intensidad de fase 2 e 3 de los consumos en tri*ngulo y estrella biendada +or

I "

Z

I "

Z

&

AB

&

'

A(

'

= = ∠

∠ = ∠

= = ∠∠

= ∠

−

−

−

10

305 33

110

1011

0

&&

30

&1&

.

PROBLEMA ':



una línea trif*sica equilibrada a 380 V de tensi(n com+uesta de &0 C:, est*nconectados tres rece+tores. El tercer rece+tor est* com+uesto +or tres elementos igualesde Z' $ 33%, en coneDi(n tri*ngulo.

)alcular

a7 ntensidades que consume cada uno de los rece+tores e intensidad de línea. b74otencia a+arente, activa y reactiva suministrada +or la línea. c7 e desea me%orar elfactor de +otencia con una batería de condensadores 6en estrella7. )alcular la ca+acidadde los mismos +ara obtener un factor de +otencia igual a uno.

100 V

cos $0.8 ca+.ϕ

100 F

cos $0.8 ind.ϕ )

B

)

1

2

3

G3

IL1 I

L& IL'

#

'I

1

1 2

=")@#

a7 )arga 1

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1

cos 0.8 35.89

cos 100000 0.8 80000 80 F

s 100000 6 35.897 50 Vr

1000003 1&2

3 380 L L L

cap

P S

Q S en sen

S U I I A

= → = −

= × = × = =

= × = × − = −

= × × → = =×

φ φ

φ

φ

i elegimos como referencia la tensi(n de fase "1n en los consumos 1 y 2 6su+uestos enestrella7, resulta 6H$"I√3$380I√3$220 V7

" 1n = ∠220 0

! >allamos las intensidades de línea de la carga 1 6que al su+onerla en estrella coincidencon las intensidades de fase en la carga7

11 12 11 13 111&2 35.89 120 1&2 83.13 120 1&2 1&5.89

L L L L L I A I I A I I A= = − = − = = −

/ambi?n se +odría utili:ar la ecuaci(n de la +otencia com+le%a +ara el c*lculo de laintensidad en una de las fases, +.e. la 1

&J J J 3

1 1

1

80 50 10 35.893 3 10 1&2 35.89

3 220 0 3 220 0

1&2 35.89

j− ∠ −= = ⇒ = = = ∠ − ⇒

× ∠ × ∠

= ∠

! ! 1n L1 L 1

L 1

) " I " I I

I

)arga 2



2 2

22

2

2 2 2

2 2 2

cos 0.8 35.89

10000012& V

cos 0.8

12&000 635.897 9& Vr

12&0003 10 3 380

L L L

ind

P S

Q S sen sen

S I U I

= → =

= = =

= × = × =

= × × → = =×

φ φ

φ

φ

! >allamos las intensidades de línea de la carga 2 6que al su+onerla en estrella coincidencon las intensidades de fase en la carga7

21 22 21 23 2110 35.89 120 10 1&5.89 120 10 83.13 L L L L L I I I I I = − = − = − = =

)arga 3 4ara el tercer consumo, +asando el tri*ngulo a estrella se tiene +ara la

intensidad del conductor de línea de la fase 1

1

220 01 2 & 1&& &

3 2 & j

∠= = + = ∠ ⇒ = = = ∠ −

∠' 1n

'$ L'

'$

Z "Z I

Z

! +ara las otras intensidades de línea de la carga 3

32 31 33 31120 1&& 15& 120 1&& 9&

L L L L I I I I = − = − = =

"a corriente total de la línea 1 es

1 1 1 1&2 35.89 10 35.89 1&& & 0& 1 = + + = ∠ + ∠ − + ∠ − = ∠−1 L1 L & L 'I I I I

)onsiderando que las cargas son equilibradas, se obtiene +ara las restantes intensidadesde línea

0& 13 0& 101 = ∠ − = ∠& '

I I

b7 4otencias suministradas +or la línea ya se conocen las +otencias activa yreactiva de las cargas 1 y 2. 4ara la carga 3 +odemos calcular las +otencias consumidasde diferentes formas. 4.e. calculamos la intensidad de fase en la carga en tri*ngulo y a

+artir de ella las +otencias

1

J

1&& & 8.&5 1&3 30 3 30

3 3 380 30 8.&5 1& 102.1 &

∠ −= = = ∠ −∠ − ∠ −

⇒ = = × ∠ × ∠ = ∠

L'

AB

' AB AB

II

) " I

3 102.1 V= 3 3 34 cos 102.1cos & 92.2 F= ϕ = =

3 3 3K sen 102.1sen & 92.2 Vr = ϕ = =

/ambi?n +odríamos usar el valor de la im+edancia de la carga 3 +ara calcular la +otencia com+le%a 6o tambi?n su equivalente en estrella y la intensidad de línea

calculada +reviamente7



( )

1

2 2

3

1&& &8.&5 1&

3 30 3 30

3 3 3 3% 8.&5 102.1 & Z

∠ −= = = ∠ −

∠ − ∠ −⇒ = = × + × = ∠

L'

AB

' AB

II

) I

4or tanto, las +otencias totales activa, reactiva y a+arente suministradas +or lalínea son

t 1 2 34 $4 4 4 80 100 92.2 2&2.2 F= + + =

t 1 2 3K $K K K 50 9& 92.2 89.2 Vr = − + + =

2 2

t t t 4 K 255.8& V= =

c7 4ara lograr que el factor de +otencia sea la unidad, es necesario colocar en +aralelocon las cargas una batería de condensadores que cedan la +otencia reactiva queconsumen el con%unto de las tres cargas, es decir, la batería de condensadores debesuministrar una +otencia reactiva de 89.2 Vr. /eniendo en cuenta la relaci(n entre la

+otencia reactiva y la susce+tancia, y que los condensadores colocados en estrellaso+ortan la tensi(n de fase, resulta

2 2 cc c '# '# 2 2

'#

K 89200K $<3B $3 ) )$ $

3 3L100 L220ω ⇒ ⇒

ω π

) H H= ⋅ = ⋅−1 10 1 103 3. . µ +or fase necesarios +ara obtener un factor de +otencia

unidad.

PROBLEMA *:

En el circuito de la figura, en el que las tensiones son equilibradas y desecuencia directa, calcular a7 ntensidades de línea e intensidades consumidas +or cadarece+tor. b7 4otencias activa, reactiva y a+arente suministradas +or el generador. c7)ondensadores o bobinas en estrella que >ay que colocar en +ara que el factor de

+otencia sea 0. inductivo +ara el con%unto. d7 "a batería de condensadores o bobinas enestrella que >ay que colocar en B +ara que el factor de +otencia batería<carga entri*ngulo sea 1.



380 V

Ia

100 Vcos $0.8ϕca+acitivo

100 Fcos $0.8ϕinductivo

2%

a

2%

2%

b

c

∆G $&&%

B

Ib

Ic

Ia1 Ib1 Ic1 Ia& Ib& Ic&

Ia'

Ib'

Ic'

1 2

=")@#

a7 4uesto que es un sistema equilibrado +odemos considerar un neutro MnN quecoincidir* +ara las dos cargas trif*sicas 6si estas se consideran en estrella7 y +ara el

generador que alimenta al sistema 6su+uesto en estrella7, si consideramos como origende fases la tensi(n "an

" an = ∠ = ∠380

32200 0

" bn = ∠ −220 120 y " cn = ∠220 120

" ab = ∠380 30 " ab = ∠380 30 y " ca = ∠380 1&0

"ca

"cn

"bn

"bc

"ab

"an

4ara la carga trif*sica 1, considerada en estrella

cos . . . ϕ ϕ1 10 8 35 89= ⇒ = −ca+

11 " "1 "1

"

100000 3 1&1.

3 3 380= ⇒ = =

×

! teniendo en cuenta el *ngulo de la carga y el origen de fases elegido resulta +ara lasintensidades de que consume la carga 1 6que son intensidades de fase y de línea alsu+onerla en estrella7

1&1. 35.89 ⇒ = ∠a1

I , 1&1. 83.13 = ∠ −b1

I y 1&1. 1&5.89 = ∠c1

I



/ambi?n +odríamos calcular directamente la intensidad teniendo en cuenta la ecuaci(nde la +otencia com+le%a, que +or ser un circuito equilibrado es tres veces la +otencia deuna fase

J J 100000 35.893 1&1. 35.89

3 3 220 0

∠ −= ⇒ = = = ∠ −

× ∠

1

1 an a1 a1

an

)) " I I

"

1&1. 35.89⇒ = ∠a1

I , 1&1. 83.13= ∠ −b1

I y 1&1. 1&5.89= ∠c1

I

4ara la carga trif*sica 2cos . . . ϕ ϕ2 20 8 35 89= ⇒ =ind

4

22

2

100000

0812&000= = =

cos .ϕ

22 " "2 "2

"

12&000 3 18.

3 3 380= ⇒ = =

×! teniendo en cuenta el *ngulo de la carga y el origen de fases elegido resulta +ara lasintensidades de que consume la carga 2 6que son intensidades de fase y de línea alsu+onerla en estrella7

18. 35.89 ⇒ = ∠ −a&

I , 18. 1&5.89 = ∠ −b&

I y 18. 83.13 = ∠c&

I

/ambi?n +odríamos calcular directamente la intensidad teniendo en cuenta la ecuaci(nde la +otencia com+le%a, que +or ser un circuito equilibrado es tres veces la +otencia de

una fase

J J 12&000 35.893 18. 35.89

3 3 220 0

∠= ⇒ = = = ∠

× ∠&

& an a& a&

an

)) " I I

"

18. 35.89 ⇒ = ∠ −a&

I , 18. 1&5.89 = ∠ −b&

I y 18. 83.13 = ∠c&

I

4ara la carga trif*sica 34asando la carga en tri*ngulo a estrella, se tiene

ZZ

$ = = +∆

3

&

3

&

3 %

umando a la im+edancia en estrella la im+edancia de línea, resulta

& & & 112 .03 5&.&5

3 3 3 3 j j j+ = + + = + = ∠ Ω

L $Z Z

El neutro en este caso tambi?n es MnN. Entonces tendremos



220 0&.5 5&.&5

.03 5&.&5

∠= = = ∠ −

+ ∠an

a'

L $

"I

Z Z

"as intensidades de las otras fases son

&.5 18&.&5 = ∠ −b'I y &.5 &. = ∠c'

I

"as intensidades de línea totales son

1&1. 35.89 18. 35.89 &.5 5&.&5 30.8 13.9& = + + = ∠ + ∠ − + ∠ − = ∠ −a a' a& a1

I I I I

30.8 133.9& = ∠ −b

I y 30.8 105.2& = ∠c

I

b7 "as +otencias activa y reactiva cedidas +or el generador vienen dadas +or la suma delas consumidas +or las cargas y la línea

K 1 1 1 100000 0 5 50= = − ⋅ = −sen .ϕ Vr

4 1 1 1 80= =cos ϕ F

K 42 2 2 100000 0 9& 9&= = ⋅ =tg .ϕ Vr J3 3 220 0 &.5 5&.&5 3502. 5&.&5 105.8 32800.%= = × ∠ × ∠ = ∠ = +

' an a') " I

3

3

4 1.F

K 32.8 Vr

=

=

y sumando, resulta

/ 1 2 34 $4 4 4 80 100 1. 1. F= + + =

/ 1 2 3K $K K K 50 9& 32.8 9.8 Vr = − + + =

! +ara la +otencia a+arente2 2 2 2

/ / / $ 4 K 1. 9.8 200.9 V+ = + =c7 4uesto que no cambia la tensi(n corres+ondiente al generador, la tensi(n en elcon%unto ZLZ$ sigue siendo la misma cuando se colocan los condensadores +or lo quela +otencia activa y reactiva del con%unto de cargas no varía. 4odemos deducir el *ngulodel con%unto de cargas y la im+edancia de línea a +artir de los datos de las +otencias

// /

/

K 9.8tg 0.2& 13.9&

4 1.ϕ ϕ = = = ⇒ =

Este valor tambi?n se +odría >aber deducido a +artir del desfase entre la tensi(n "1n y laintensidad Ia ya que su+one obtener el equivalente estrella de todo el con%unto 6 como se>a calculado antes Ia tiene un *ngulo de <13.9& con res+ecto a "1n7



l colocar los condensadores o bobinas, dado que el nuevo factor de +otencia debe ser 0. ind, nos +ermite determinar el nuevo *ngulo de desfase total 6este factor de +otenciaes inferior a que se tiene +reviamente, ya que cos ϕ/$ cos 13.9& $ 0.9 ind, +or lo quelos elementos a colocar deben ser bobinas7

' 'cos 0. 2&.8T T ϕ ϕ = ⇒ = ⇒-ado que no se modifica la +otencia activa del con%unto 1. F, la nueva +otenciareactiva ser*

'

/ /K' $4 tg 1. 0.8 . Vr

T ϕ = × =

Este valor es su+erior al eDistente antes de colocar los elementos +or lo que +ara que seconsuma m*s +otencia reactiva >a de colocarse una batería de bobinas que consumanuna +otencia reactiva K"

/ / " " / /K' $K K K $K' <K . 9.8 5.5 Vr ⇒ = − = Vr

4ara la batería de bobinas en estrella, al ser equilibrada tendr* el neutro MnN

2 2 22 an an

" " an

"

220K $<3B $3 "$3 3 0.00 C$. mC

O" 2PfK 100 5500π ⇒ = =

×

d7 4asando la carga en tri*ngulo a estrella, resulta

a'

'

c'

n

n

B

ZL$

$ %&3

&3$

Z

i se considera solo una fase

a'

n

ZL+$

$Z

& 23

$ &

i se calcula la admitancia equivalente



$e, =

∠

+ = ∠ + = + −−1

& 2

3

0 2 0 3 0 3

&

&

. . 6 . 7 %B %B % B")! ")! ")!

El *ngulo de fase de la admitancia es igual al *ngulo de fase de la admitancia cambiadade signo. n nuevo factor de +otencia unidad, im+lica que el nuevo *ngulo de la carga

y los elementos com+ensadores debe ser nulo 6dado que la carga es inductiva +ara tener factor de +otencia unidad es necesario colocar condensadores como elementoscom+ensadores7

' ' ' 'cos 1 0 0 tg 0ϕ ϕ = ⇒ = ⇒ Ψ = ⇒ Ψ =En consecuencia

tg.

.

.

..Ψ =

−⇒ =

−⇒ =

B BB")! ")!

")!

0 3

0 30

0 3

0 30 3

-ado que el valor de la susce+tancia es +ositivo la batería es de condensadores. "aca+acidad de cada condensador es

")!")!

B 0.3B $ ) )$ &&QH

2Pf 100ω

π ⇒ = =

PROBLEMA-:

En el circuito de la figura la línea +roviene de un generador que +resenta unsistema equilibrado de tensiones de secuencia directa; a7 -eterminar las intensidades

+or cada consumo y +or la línea, sabiendo que F1 F2 $200 F. b7 -eterminar lasca+acidades de la batería de condensadores o bobinas en tri*ngulo Z1 que >ay queconectar en +aralelo +ara que el factor de +otencia del con%unto consumo 1 consumo 2 consumo 3 línea batería sea 0. inductivo. )7 determinar la batería decondensadores en bornes de las tres cargas +ara factor de +otencia 0. inductivo.

Ia

Ib

Ic

Ia'Ib'Ic'Ia1 Ib1 Ic1

$100 V1

cos $0.8 ca+.1

ϕ

-emanda 1

Ia& Ib& Ic&

4 $100 F2

cos $0.8 ind.2ϕ

-emanda 2-emanda 3

a

b

c

0.1%

0.1%

0.1%

a'

b'

c'

F2

F1

Z

1

Z 1 Z

1 Z' Z'

Z' $&&%

=")@#



a7 4uesto que el sistema es equilibrado el neutro del generador n coincide con el de lascargas 6real o ficticio7 y con el corres+ondiente a aR, bR y cR. "os dos vatímetros est*nconectados segSn la coneDi(n aron. egSn las medidas de F1 y F2

"ca

"an

"ab

Ia"

ac

30

30ϕ

( ) ( )F a c a " "1 30= = −' ' cos , ' cos" Iac a ϕ

"bn

"bc

I b

30

ϕ

( ) ( )F b c b " "2 30= = +' ' cos , ' cos" Ibc b ϕ

Entonces

( ) ( )[ ] ( )F F 4" " " " " "1 2 30 30 2 30 3+ = − + + = − = = ⇒' cos cos ' cos cos ' cosϕ ϕ ϕ ϕ

4 F= 200

"as +otencias de las demandas 1 y 2 son

cos . . . ϕ ϕ1 10 8 35 89= ⇒ = −ca+

) 1 = ∠ = − ⇒ =

= −−100000 80000 50000

80000

500003589

1

1

. %4 F

K Vr

cos . . . ϕ ϕ2 20 8 35 89= ⇒ =ind

K 42 2 2 100000 35 89 9&000= = =tg tg . ϕ Vr

Entonces la +otencia activa de la demanda 3 es



4 4 4 4 F3 1 2 200000 80000 100000 20000= − − = − − =

i las im+edancias de fase se +asan a admitancias se tiene

1 1 & & 1 1$ <% $0.1<%0.1& %& 2& 2& 10 10

j−= = =+ +'

'

$Z

Entonces +ara cada fase

23 33 a'b' a'b'

3

4 4 20000$T $ 2&8.2 V

3 3T 3 0.1⇒ = =

×

"a +otencia reactiva consumida +or la demanda 3 es

( )2 2

3 3 a'b'K $3 <B 3 0.1 2&8.2 20000 Vr = × × =

"a +otencia reactiva corres+ondiente a los tres consumos es

1 2 3K$K K K 50000 9&000 20000 3&000 Vr = − + + =

)onsiderando inicialmente como origen de fases "a#b#. determinamos la tensi(n de faseaRn

' ' ' 2&8.22&8.2 0 30 1.1 30 V3= ∠ ⇒ = ∠ − = ∠ −a b a n" "

4ara cada fase se tiene

I a

a

0.1%a'

n

4

3

K

3

J J

'

'

200000 3&0005959.8 .3 3 &.01 3.

1.1 30 1.1 30

j+ ∠= ⇒ = = = = ∠ ⇒

∠ − ∠ −/

/ a n a a

a n

)) " I I

"

&.01 3. = ∠ −a

I

! +ara las otras dos intensidades b &.01 1&. = ∠ −I e c &.01 80.1 = ∠I

"a tensi(n a la entrada de la línea, a+licando irc>>off, es



' 0.1 0 &.01 3. 1.1 30 153.15 1.1 V= + = ∠ × ∠ − + ∠ − = ∠ −an L a a n

" Z I "

! 153.15 13.1 V= ∠ −bn

" y 153.15 10&. V= ∠cn

"

4or lo que la tensi(n de línea en bornes de las cargas es

3 153.15 1.1 30 282.5 1&. V⇒ = × ∠ − ×∠ = ∠ab" 282.5 10.1 V= ∠ −

bc" y 282.5 13&. V= ∠

ca"

4ara la intensidad en la carga 1, se obtiene

"

"

' 11 1 1 '

100000 3 223.5

3 3 2&8.2= ⇒ = =

×

! teniendo en cuenta que el *ngulo de la carga es <35.89 im+lica que la intensidad defase 6que son intensidades de fase y de línea su+oniendo la carga en estrella7 adelanta35.89 a la tensi(n de fase "a#n que tiene un *ngulo de <30 +or lo +or lo que resulta

223.5 5.89 ⇒ = ∠a1

I , 223.5 113.13 = ∠ −b1

I y 223.5 125.89 = ∠c1

I

/ambi?n +odemos llegar al mismo resultando utili:ando la ecuaci(n de la +otenciacom+le%a en una sola fase 6las restantes a +artir de ?sta7

J

'

80000 5000033333.33 35.893 3 223.5 5.89 223.5 5.89

1.1 30 1.1 30

j− ∠ −= = = = ∠ − ⇒ = ∠

∠ − ∠ −1/

a1 a1

a n

)I I

"


"

"

' 22 2 2 '

12&000 3 29.&

3 3 2&8.2= ⇒ = = =

×

! teniendo en cuenta que el *ngulo de la carga es 35.89 im+lica que la intensidad defase 6que son intensidades de fase y de línea su+oniendo la carga en estrella7 atrasa35.89 a la tensi(n de fase "a#n que tiene un *ngulo de <30 +or lo +or lo que resulta

229.& 55.89 = ∠ −

aI , 2

29.& 185.89 29.& 193.13 = ∠ − = ∠b

I e

2 29.& &3.13 = ∠c

I

/ambi?n +odemos llegar al mismo resultando utili:ando la ecuaci(n de la +otenciacom+le%a en una sola fase 6las restantes a +artir de ?sta7

J

'

100000 9&0001555.59 35.893 3 29.& 55.89 29.& 55.89

1.1 30 13.1 30

j+ ∠= = = = ∠ ⇒ = ∠ −

∠ − ∠ −&/

a& a&

a n

)I I

"


3

"

" "

2 2

3' 33 3 3 ' '

4 K 20000 2 3 53.2&

3 3 3 2&8.2

×= ⇒ = = = =

×



! teniendo en cuenta que el *ngulo de la carga es & im+lica que la intensidad de fase6que son intensidades de fase y de línea su+oniendo la carga en estrella7 atrasa & a latensi(n de fase "a#n que tiene un *ngulo de <30 +or lo +or lo que resulta

353.2& 9& ⇒ = ∠ −

aI , 3

53.2& 1& 53.2& 15& = ∠ − = ∠ −b

I y 353.2& & = ∠

cI

-e igual forma que en los casos anteriores, tambi?n +odemos llegar al mismo resultandoutili:ando la ecuaci(n de la +otencia com+le%a en una sola fase 6las restantes a +artir de?sta7

J

'

20000 2000028.0 &3 3 53.2& 9& 53.2& 9&

1.1 30 1.1 30

j+ ∠= = = = ∠ ⇒ = ∠ −

∠ − ∠ −'/

a' a'

a n

)I I

"

b7 e su+one que no varía la tensi(n que suministra el generador. "a colocaci(n de los

condensadores o bobinas al inicio de la línea no afecta a las tensiones e intensidades delas cargas +or lo que +odemos re+resentar una sola fase con un tercio del consumo de +otencia activa y reactiva. i su+onemos la batería de condensadores o bobinas enestrella

I a

a

0.1%a'

n

Z

1

4 $55555.59 Ff

K $11555.59 Vr f

"a intensidad que consume el con%unto de las cargas se calcul( en el anterior a+artado

&.01 3. = ∠ −a

I

"as +otencias activa y reactiva totales +or fase son 6teniendo en cuenta el consumo de

+otencia reactiva en la im+edancia de línea7

tf 4 $55555.59 F y 2

tf K 11555.59 0.1 &.01 3229.18 Vr = + × =

El factor de +otencia antes de colocar los elementos de com+ensaci(n, se +uede obtener de las +otencias anteriores o del desfase entre "an e Ia . +artir de las +otencias

tf

tf

K 3229.18tg 0.8 2&.8

4 55555.59ϕ = = = ⇒ ϕ =

-ado que el nuevo factor de +otencia solicitado es

cos ' . . ' . ϕ ϕ= ⇒ =0 2& 8ind

4or lo que no sería necesario colocar ningSn elemento de com+ensaci(n.



i en ve: de utili:ar los valores de +otencia +ara el c*lculo del factor de +otencia, seutili:ase el desfase entre "an e Ia resulta

1.1 6 3. 7 2&.ϕ = ϕ − ϕ = − − − =an a"

Kue, debido a errores de redondeo, es ligeramente distinto al calculado con las

+otencias. i +arti?semos de este valor, entonces sería necesario colocar condensadores.

c7 "a com+ensaci(n en bornes de las tres cargas da lugar a que la caída de tensi(n en lalínea sea distinta antes y des+u?s de com+ensar +or lo que la tensi(n en bornes de lascargas varía. #o obstante, su+oniendo que las cargas son est*ticas 6im+edancias fi%as7tambi?n se modifica de forma +ro+orcional las +otencias de tal forma que los resultadosson los mismos utili:ando los valores antes de com+ensar 6+otencias y tensiones7 quelos valores des+u?s de com+ensar. En consecuencia se utili:an los valores antes decom+ensar ya que son conocidos. i se su+usiese que son cargas din*micas 6es decir,

+otencia constante y, +or tanto im+edancia variable7, el c*lculo se com+lica ligeramenteya que en este caso se desconoce la tensi(n que >ay en bornes de las cargas 6necesaria

+ara calcular el valor del elemento com+ensador7. )omo esta situaci(n se ver* en algSnotro e%ercicio, se su+one que las cargas son est*ticas.

4or tanto si los elementos de com+ensaci(n se colocan en bornes de las tres cargas +aracom+ensar las mismas a un factor de +otencia 0. ind, resultalas +otencias activa y reactiva totales +or fase de las tres cargas son

tf 4 $55555.59 F y tf K 11555.59 Vr =

El factor de +otencia antes de colocar los elementos de com+ensaci(n, se +uede obtener

de las +otencias anteriores o del desfase entre "#an e Ia . +artir de las +otenciastf

tf

K 11555.59tg 0.19& cos 0.8& ind .

4 55555.59ϕ = = = ⇒ ϕ = ⇒ ϕ =

Este mismo resultado se obtiene si utili:amos el desfase entre "#an e Ia

' 30 6 3. 7 .ϕ = ϕ − ϕ = − − =an a"

-ado que el nuevo factor de +otencia solicitado escos ' . . ' . ϕ ϕ= ⇒ =0 2& 8ind

Es evidente que el nuevo factor de +otencia es +eor 6inferior7 al que ya dis+oníamos, +or lo que debe colocarse bobinas como elementos com+ensadores"a +otencia reactiva consumida incluyendo el elemento de com+ensaci(n debe ser

tf tf K' $4 tg ' 55555.59 tg2&.8 3228&.39 Vr ϕ = =

4or lo que la +otencia reactiva de la bobina es

1G tf tf K $K' <K 3228&.39 11555.59 20518.9 Vr = − =

Entonces

1

1

2 22 an

G an !

! G

1 1.1

K $< < " $ 3.3mC" K 2 &0 20518.9

⇒ = = ÷ω ω π ×



i las bobinas se colocan en tri*ngulo es

!" $3" 10.2 mC∆ =

PROBLEMA 0:

En el circuito de la figura, la línea +roviene de un generador que +resenta unsistema equilibrado de tensiones de secuencia directa; a7 -eterminar las tensiones "ab,"bc y "ca y las intensidades en los tres consumos, sabiendo que a3$0.2 a2 y que elam+erímetro marca 800 . b7 -eterminar las ca+acidades de la batería decondensadores en tri*ngulo que >ay que conectar a la entrada +ara que el factor de

+otencia del con%unto sea 0.& inductivo.

=")@#

"as +otencias activas y reactivas de las distintas cargas son

)arga 1

cos . . . ϕ ϕ1 10 8 35 89= ⇒ = −ca+

) 1 = ∠ = − ⇒

== −

−100000 80000 5000080000

500003589

1

1

. %4 F

K Vr

)arga 2

cos . . . ϕ ϕ2 20 8 35 89= ⇒ =ind

K 4 Vr 2 2 2 100000 35 89 9&000= = =tg tg .ϕ

"as +otencias a+arentes de las demandas 2 y 3 son

Ia

)∆

Ib

Ic

Ia1 Ib1 Ic1Ia& Ib& Ic&

Ia'Ib'Ic'

$100 V1 4 $100 F2

cos $0.8 ind2ϕcos $0.8 ca+.

1ϕ cos $0.909 ind.

3ϕ

carga 1 carga 2 carga 3

a

b

c

0.1%

0.1%

0.1%

a'

b'

c'



a b a

a b a

a

a

a

a

3 3

2 2

3

2

3

23 2

3

2

3

3

==

⇒ = ⇒ = ⇒' '

' '

⇒ = + ⋅ ⋅ =3

2 2 3

100 9& 10 0 2 2&000. V

cos . . ϕ ϕ3 30 909 &= ⇒ =ind

) ' = ∠ = + ⇒

==

2&000 1959& 1959&1959&

1959&&

3

3

%4 F

K Vr

4ara determinar la tensi(n en bornes de la carga 2 y 3, usamos la ecuaci(n de la +otencia a+arente +ara las cargas 2 y 3 y la relacionamos con la intensidad de línea quemide el am+erímetro

"

' 2 2 2 2 3

23 " 2 3 2 3 3 64 4 7 6K K 7 6100 19.97 69& 19.97 10 1821.8⇒ = = + + + = + + + × =

"

' 23

"

1821.8 108.1 V

3 3 800⇒ = = =

×

/omando como referencia la tensi(n de fase en bornes de las cargas 2 y 3 del +unto aRcon res+ecto al neutro n de la estrella de las cargas 6real o ficticio7

na ve: fi%ada la referencia, determinamos las intensidades de los consumos 2 y 3

"

"

' 22 2 2 '

12&000 3 559.5

3 3 108.1= ⇒ = = =

×

! teniendo en cuenta que el *ngulo de la carga es 35.89 im+lica que la intensidad defase 6que son intensidades de fase y de línea su+oniendo la carga en estrella7 atrasa35.89 a la tensi(n de fase "a#n que tiene un *ngulo de 0 +or lo +or lo que resulta

2 559.5 35.89 = ∠ −a

I , 2 559.5 1&5.89 = ∠ −b

I y 2 559.5 83.13 = ∠c

I

"

"

' 3

3 3 3 '

2&000 3 133.&

3 3 108.1= ⇒ = = =

×

aRbR

bRcR

cRaR

aRn

bRn

cRn



! teniendo en cuenta que el *ngulo de la carga es & im+lica que la intensidad de fase6que son intensidades de fase y de línea su+oniendo la carga en estrella7 atrasa & a latensi(n de fase "a#n que tiene un *ngulo de 0 +or lo +or lo que resulta

3133.& & = ∠ −

aI , 3

133.& 15& = ∠ −b

I y 3133.& 9& = ∠

cI

"a intensidad que consumen las cargas 2 y 3 es

23 2 3 559.5 35.89 133.& & 800 38.2 = + = ∠ − + ∠ − = ∠ −a a a

I I I y +ara los otrosconductores de línea

23 800 1&8.2 = ∠ −b

I y 23 800 81.8= ∠c

I

"os c*lculos anteriores tambi?n se +odrían reali:ar considerando una fase 6+or e%em+lola fase a7

I 1&a

a0.1% a'

n

423f

K23f

41

3

K1

3

4 4 4

K K K

44

F

KK

Vr

f

f

23 2 3

23 2 3

2323

2323

100000 1959& 11959&

9&000 1959& 259&3

322&

3308159

= + = + =

= + = + = ⇒

= =

= = .

Caciendo balance de +otencias +ara las cargas 2 y 3

2 2 2 223f 23f 2 2

a'n 23a 23f 23f a'n

23a

4 K 322& 3081.59 28.1 $ 4 K $ 52.1 V

800 800

+⇒ = = =

! tomando el mismo origen de fases "a#n

" a n' . = ∠52 1 0

23 23

3081.59tg 0.9 38.2

322&ϕ = = ⇒ ϕ =

4uesto que la carga total tiene car*cter inductivo la intensidad que consumen la carga 2y 3 es

800 38.2 = ∠ −&'a

I



4ara obtener la tensi(n en el origen de la línea, a+licamos irc>>off

23 '0.1% 0.1 0 800 38.22 52.1 0 128.3& 2.3 V= + = ∠ × ∠ − + ∠ = ∠an a a n

" I "

"a tensi(n de línea es3 30 222.3 &.3 V= ∠ = ∠

ab an" "

! las otras dos c 222.3 50.9 V= ∠ −b

" y 222.3 19.3 V= ∠ca

"

4ara la carga trif*sica 1, considerada en estrella

cos . . . ϕ ϕ1 10 8 35 89= ⇒ = −ca+

11 " 1 1

"

100000 3 2&.9 3 3 222.3= ⇒ = =×

! teniendo en cuenta que la carga es ca+acitivo, la intensidad adelanta un *ngulo de35.89 a la tensi(n de fase del mismo origen, es decir la tensi(n "an que tiene un *ngulode 2.3 +or lo que resulta7

2&.9 55.2 ⇒ = ∠a1

I , 2&.9 &3.8 = ∠ −b1

I y

2&.9 185.2 2&.9 193.8 = ∠ = ∠ −c1

I

4ara las intensidades totales de línea, resulta

1 23 2&.9 55.2 800 38.2 $999.2& 1.3 = + = ∠ + ∠ − ∠ −a a a

I I I

999.2& 13.3 = ∠ −b

I 999.2& 100.9 = ∠c

I

"as intensidades de los consumos tambi?n las +odríamos determinar a +artir de la +otencia com+le%a +ara una fase

)arga 1

J

80000 50000

33333.33 35.893 3 2&.9 55.2128.3& 2.3 128.3& 2.3

j−

∠ −= = = = ∠∠ ∠1/ a1

an

)I"

resultando2&.9 55.2 = ∠

a1I

)arga 2

J

'

100000 9&0001555.59 35.893 3 559.5 35.89

52.1 0 52.1 0

j+ ∠= = = = ∠

∠ ∠

&/ a&

a n

)I

"



resultando559.5 35.89 = ∠ −

a&I

)arga 3

J

'

1959& 1959&8332.09 &3 3 133.& &

52.1 0 52.1 0

j+ ∠= = = = ∠

∠ ∠'/

a'

a n

)I

"

resultando133.& & = ∠ −

a'I

b7 El circuito que resulta es

i la tensi(n en a, b, c no cambia, tam+oco cambian las intensidades que circulan +or laslíneas, con lo que la +otencia total de la demanda 1 demanda 2 demanda 3 líneaes

4 4 4 4 Ft = + + = + + =1 2 3 80000 100000 1959& 1959&

K K K K Kt linea= + + + = − + + + ⋅ ⋅ =1 2 3 250000 9&000 1959& 3 01 800 2259&. Vr

4ara una fase y considerando el condensador en estrella

a

n

4 $5&81.59 Ftf

K $981.59 Vr tf

)!

Ia

)∆

Ib

Ic

Ia1 Ib1 Ic1Ia& Ib& Ic&

Ia'Ib'Ic'

$100 V1 4 $100 F2

cos $0.8 ind2ϕcos $0.8 ca+.1ϕ cos $0.909 ind.3ϕ

carga 1 carga 2 carga 3

a

b

c

0.1%

0.1%

0.1%

a'

b'

c'



"a +otencia reactiva del con%unto es

cos ' . . ' . ϕ ϕt tind= ⇒ =0 & 181

K 4tf tf tf ' tg ' . tg . .= = =ϕ 5&8159 181 215&9 & Vr

"a +otencia reactiva del condensador es

K K K) tf tf != − = − = −' . . .215&9 & 981 59 &323 13 Vr

Entonces la ca+acidad del condensador en estrella es

!)

! 2 2

an

K &323.13) $< 10.2 mH

2 &0 128.3&= =

ω π ×

En tri*ngulo

!)) 3.3 mH

3∆ = =

4odríamos calcularlo tambi?n directamente a+licando la f(rmula de com+ensaci(n

t

2

ab

4 6tgU<tgU'7) $

3 ∆

ω

El factor de +otencia antes de colocar los elementos de com+ensaci(n, se +uede obtener de las +otencias anteriores o del desfase entre "#an e Ia . +artir de las +otencias

t

t

K 2259&tg 1.1355 cos 0.55 ind 8.54 1959&

ϕ = = = ⇒ ϕ = ⇒ ϕ =

Este mismo resultado se obtiene si utili:amos el desfase entre la tensi(n de fase "an a laentrada de la línea y la intensidad total Ia 6que es intensidad de fase su+uesto todo elcon%unto en estrella7

2.3 6 1.3 7 8.5ϕ = ϕ − ϕ = − − =an a"

-ado que el nuevo factor de +otencia solicitado escos ' . . ' . ϕ ϕ= ⇒ =0 2& 8ind

Es evidente que el nuevo factor de +otencia es me%or 6su+erior7 al que dis+oníamos, +or lo que debe colocarse condensadores como elementos com+ensadores. tili:ando laecuaci(n, resulta

t

2 2

ab

4 6tgU<tgU'7 1959&61.1355 0.32857) 3.3 mH

3 3 100 222.3

−= = =

× ×Vω π

PROBLEMA :

n generador trif*sico suministra en sus bornes un sistema equilibrado detensiones senoidales de secuencia directa B) y frecuencia &0 C:. e alimenta un

rece+tor en estrella cuyo neutro +uede unirse con el del generador mediante el



interru+tor -. Estando abierto -, se registran las lecturas de a+aratosVB$VB)$V)$300 V, $10 , F$ 1000 3 F, V $ 300 3 V.

a7 =btener las indicaciones de los a+aratos V", V) ! V #. b7 )alcular las indicaciones de B, ), FB, F) y el valor de A" y A).c7 e cierra el interru+tor -. )alcular las lecturas de los a+aratos V , V", V), B,

), =, F, FB y F)

B

)

=

-

"

)

#

VB

F

V)

VB)

B

-

)

V #

V) V

"V

FB

F)

AI

BI

I

=")@#

a7 /omando como origen de fases la tensi(n de fase " AO , y +uesto que" "L != ∠3 30 , se tiene

"A

"B

"AB

"AO

"BO

"O

F a = a a a= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ∠cos6 , 7 cos " IAO a 1000 3 10300

30 10 0ϕ ϕ

Ia est* en fase con "AO 6 7ϕ a = 0 y +or otro lado, dado que en la fase >ay unaresistencia, Ia est* en fase con "A( , +or lo tanto "AO est* en fase con "A(. 4or otra

+arte, teniendo en cuenta la ley de irc>>off, se tiene

" " " " " "AO A( (O (O AO A(

= + ⇒ = −

" AO = ∠300

30 y V = ⇒ = ∠300 3 300 3 0" A(

⇒ = ∠ − ∠ = − ∠ ⇒ = ∠" "(O O(

300

3300 3 200 3 200 30 0 0 0

es decir, el voltímetro V # = 200 3 V



/ambi?n de la figura es f*cil ver que

" " "AB A( (B= + ⇒ ∠ = ∠ + ∠ ⇒300 300 330 0 #B ϕ

300 30 300 3

300 30

1&0 3

1&0

cos cos

sen sen

cos

sen

= +

=⇒

− =

=

#B

#B

#B

#B

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

-ividiendo ambas ecuaciones resulta

tg

ϕ ϕ= − ⇒ =

−

1

3

1&0

30

i se sustituye la segunda +osible soluci(n en la +rimera ecuaci(n resulta #B$<300 y elm(dulo no +uede ser negativo, mientras que +ara la +rimera +osible soluci(n resulta

B# = 300 y ϕ = ⇒ = ∠1&0 300 1&0 " (B

4or lo tanto la tensi(n "B( viene dada +or

" "B( (B= − = ∠ −300 30

es decir, el voltímetro V" = 300 V

sí mismo

" " "B B( (= + ⇒ ∠ = ∠ + ∠ ⇒− −300 3000 30 ' #) ϕ

0 300 30

300 300 30

1&0 3

1&0

= −

− = − +⇒

− =

− =

cos cos '

sen sen '

cos '

sen '

#)

#)

#)

#)

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

-ividiendo ambas ecuaciones resulta

tg '

ϕ ϕ= ⇒ =

−

1

3

30

1&0

i se sustituye la +rimera +osible soluci(n en la +rimera ecuaci(n resulta #)$<300 y elm(dulo no +uede ser negativo, mientras que +ara la segunda +osible soluci(n resulta

#) = 300 y ϕ' = − ⇒ = ∠ −1&0 300 1&0" (

4or lo tanto la tensi(n "+( viene dada +or

" "( (= − = ∠300 30

es decir, el voltímetro V) = 300 V



b7 /eniendo en cuenta que en la fase B >ay una bobina, la intensidad Ib atrasa 0res+ecto a "B(, es decir

Ib = ∠ − b 120

-ado que en la fase ) >ay un condensador, la intensidad Ic adelanta 0 res+ecto a "+(,es decir

I c = ∠ c 120

+or lo tanto las intensidades de línea est*n desfasadas entre sí 120. -ado que el neutroest* a circuito abierto, se tiene que

I I Ia b c+ + = ⇒ ∠ + ∠ + ∠ =−0 10 00 120 120 b c

b c

b c

b c

b b b

32

32

0

101

2

1

20

101

2

1

20 10

− =

− − =⇒

=− − = ⇒ =

Es decir Ib = ∠ −10 120 y I c = ∠10 120

/ambi?n +odríamos llegar al mismo resultado teniendo en cuenta que son tres fasoresdesfasados 120 y su suma es nula +or lo que sus m(dulos deben ser iguales a$ b$c$10

4or lo tanto los am+erímetros indican

B = 10 , ) = 10 y = = 0

4ara los vatímetros se obtiene

F B B= b= = =cos6 , 7 cos " IBO b

300

310 0 1000 3 F

F ) )= c= = =cos6 , 7 cos " I+O c

300

3

10 0 1000 3 F

-e los resultados anteriores se calculan f*cilmente los valores de la resistencia y lasreactancias de la bobina y el condensador

= = ∠

∠=

"

I

A(

a

300 3

1030 3

0

0

%A %W" A" "= = = ∠

∠ = ∠ ⇒ =

−

−

"

I

B(

b

300

1030 30

30

1200



%A %W)

A) )= − = = ∠

∠ = ∠ ⇒ = −−

1 300

1030 30

30

1200

"

I

(

c

c7 i se cierra el interru+tor -, los +untos neutros = y # de las estrellas de lageneraci(n y la carga est*n al mismo +otencial, +or lo tanto =#$0 V, y +uesto que elgenerador no cambia sus tensiones

" " "AO BO +O= ∠ = ∠ = ∠−300

3

300

3

300

30 120 120

" " "AB B A= ∠ = ∠ = ∠−300 300 30030 0 1&0

Entonces

" "A( AO

= = ∠ ⇒ =300

3

300

3

0 V

V

" "B( BO= = ∠ ⇒ =−300

3

300

3120 V" V

" "( O= = ∠ ⇒ =

300

3

300

3120 V) V

4ara las intensidades se deduce

I "

a

A(= =∠

∠ = ∠ ⇒ =

300

3

30 3

10

3

10

3

0

00

I"

b

B(= =∠

∠ = ∠ ⇒ =

−

%A

"B

300

3

30

10

3

10

3

120

01&0

I"

c

(= =∠

∠

= ∠ ⇒ =− %A

)

)

300

3

30

10

3

10

3

120

0

210

I I I I( a b c= + + = ∠ + ∠ + ∠ = ∠10

3

10

3

10

3

20

30 1&0 210 180

+or lo tanto = =20

3

4ara los vatímetros resulta

F = a= = =cos6 , 7 cos " IAO a

300

3

10

3 0

1000

3F

F B B= b= = =cos6 , 7 cos " IBO b

300

3

10

3 0 0 F



F ) )= c= = − =cos6 , 7 cos6 7" I+O c

300

3

10

3 0 0 F

PROBLEMA 2:

n generador trif*sico sim?trico y de secuencia directa alimenta las cargas ,AB y G), no accesibles, +or lo que no +ueden reali:arse mediciones directas. Estando elinterru+tor - abierto, los a+aratos +resentan las lecturas siguientes VB$VB)$V)$100V, $12 , B$5 , F1$ 00 3 F y F2$0 F. a7 Estando abierto el interru+tor -,calcular las tensiones de línea, las tensiones de fase en la carga, la tensi(n "3 y lasim+edancias de la carga. b7 )uales ser*n las indicaciones de los a+aratos cuando secierra - c7 C*llese la corriente del neutro.

B

Z

=

-

A

)

#

VB

F1

V)

VB)

B

F2

AI

BI

I

-V

B

(I

=")@#

a7 /omando como referencia de fases la tensi(n de fase en generaci(n "AO, setiene

"A

"B

"AB

"AO

"BO

"O

4uesto que " "AB AO= ∠3 30 , resulta

" " "AO BO +O= ∠ = ∠ = ∠−100

3

100

3

100

30 120 120

" " "AB B A= ∠ = ∠ = ∠−100 100 10030 0 1&0

-e la indicaci(n del vatímetro 2 se deduce



F B) ) B) )2 0 0 0= = = ⇒ = ⇒ = ±cos6 , 7 cos cos " IB ϕ ϕ ϕ

es decir, la intensidad Ic adelanta o atrasa 0 res+ecto a la tensi(n "B+. /eniendo encuenta el origen de fases

I c = ∠ c 180 ( I c = ∠ c 0

+artir del vatímetro 1 resulta

F = = 1 00 3100

312

00 3 3

100 12 1 0

= = = =

⇒ =⋅

= ⇒ =

cos6 , 7 cos ' cos '

cos ' '

" IAO A ϕ ϕ

ϕ ϕ

es decir, la intensidad Ia est* en fase con la tensi(n "AO, +or lo tanto

I a = ∠12 0

-el am+erímetro B se deduce que

I b = ∠5 α

+licando la 1X ley de irc>>off y considerando que el interru+tor - est* abierto, secum+le que IaIbIc$0. /eniendo en cuenta los dos +osibles valores +ara la intensidadIc se tiene

17 I c = ∠ c 180

IaIbIc$0 ⇒ ∠ + ∠ + ∠ ⇒12 50 180 α c

12 5 0

5 00

+ − =

=⇒ =

cos

sen

α

αα

c ( α = ⇒180

si α = ⇒ =0 18 c si α = ⇒ =180 5 c

27 I c = ∠ c 0

IaIbIc$0 ⇒ ∠ + ∠ + ∠ ⇒12 50 0 α c

12 5 0

5 00

+ + =

=⇒ =

cos

sen

α

αα

c ( α = ⇒180

si α = ⇒ = −0 18 I c lo cual no es +osiblesi α = ⇒ = −180 5 I

c lo cual no es +osible

+or lo tanto de 17 y27 se deduce que



I c = ∠ c 180 e Ib = ∠5 0 ( Ib = ∠5 180

4or otra +arte se tiene que la tensi(n "A( est* en fase con la intensidad Ia, +or ser laim+edancia de fase una resistencia. sí mismo la tensi(n "B( est* adelantada 0res+ecto a la intensidad Ib +or ser la im+edancia de fase B una bobina. /eniendo en

cuenta los *ngulos de fase de las intensidades, de lo anterior tenemos que

" A( = ∠ # 0 y " B( = ∠B# 0 ( " B( = ∠ − B# 0

a+licando la segunda ley de irc>>off y considerando los dos +osibles *ngulos +ara"B(, se tiene que

# B#

# B#

17 5 0 100 30 0 0

27 5 180 100 30 0 0b

b

I

I

= ∠ ⇒ ∠ = ∠ − ∠= − ⇒

= ∠ ⇒ ∠ = ∠ − ∠ −AB A( B(" " "

17 ⇒ == −

⇒ = −100 30

100 30&0

cos

sen

#

B#B# V lo cual es im+osible

27#

#

B#

100 cos 30 &0 3 85.5

100 sen 30

=⇒ ⇒ = =

=V y B# = &0 V

es decir, de lo anterior deducimos que

&0 3 0 85.5 0= ∠ = ∠A(

" y " B( = ∠ −&0 0

I c = ∠5 180 y Ib = ∠5 180

+licando la 2X ley de irc>>off se tiene" " " " " " "B B( ( ( B( B (= − ⇒ = − = ∠ − ∠ ⇒ = ∠− −&0 100 &00 0 0

4or a+licaci(n de la 2X ley de irc>>off se tiene

" " " " " " "AO A( O( O( A( AO O(= − ⇒ = − = ∠ − ∠ ⇒ = ∠&0 3100

3

&0

30 0 0

es decir, el voltímetro V- indica&0

3V



"(

"A(

"B(

Ia

Ib

Ic

+licando la ley de =>m, se obtiene +ara las im+edancias

= = ∠

∠=

"

I

A(

A

&0 3

129 22

0

0

.

%A AB B= = ∠∠

= ∠ ⇒ =−"

I

B(

B

&0

58 33 8 33

0

1800

. .

%A A) )= = ∠∠

= ∠ ⇒ = −−"

I

(

&0

58 33 8 33

0

1800

. .

b7 l cerrar el interru+tor -, los +untos neutros = y # est*n al mismo +otencial. 4or lotanto, a+licando =>m

I

" "

a

AO A(

= = =

∠

= ∠ ⇒ =

100

39 22 8 8

0

0

.

I"

b

B(=∠

=∠

∠ = ∠ = ∠ ⇒ =

−

−A

B

B0

120

0210 1&0

100

3

8 33

12

3

12

3

12

3

.

I "

Zc

(

= =∠

∠ = ∠

− −

100

3

8 33

12

3

120

01&0

.

c7 +licando la 1X ley de irc>>off, se obtiene +ara la intensidad del neutro

I I I I( a b c= − − − = − ∠ − ∠ − ∠ ⇒−8 123

123

0 1&0 1&0

I ( = ∠ 0



"A(

"B(

"(

Ia

Ib

Ic

I(

/eniendo en cuenta los *ngulos de fase, se obtiene +ara los vatímetros

F # 1

100

38 0

800

3= = =cos6 , 7 cos " IA( A F

2 B) ) )12 500F $ cos6 , 7 100 cos 50

3 3= =

B" I F

PROBLEMA 4:

n sistema trif*sico de secuencia directa y cuya tensi(n de línea es 100 Valimenta una carga en tri*ngulo cuyas im+edancias son Ga$1& y a$50, G b$10 y b$0, Gc$10 y c$30 y una carga monof*sica de valor Zm$1.&2%, donde G"$3 y"$20. )alcular 17 ntensidades de fase Ia, Ib, Ic e Ic#, línea IAB, IB+ e I+A y corriente

monof*sica Im. 27 "ectura de los vatímetros y +otencia absorbida +or la carga trif*sica.37 i el +unto neutro del sistema en estrella equivalente de la carga trif*sica lo unimosdirectamente con tierra, considerando que el neutro del generador est* unido tambi?n atierra, determinar el estado de tensiones e intensidades en bornes de la carga. 7)onsiderando que el neutro del generador est* unido a tierra, se +roduce un fallo decortocircuito entre la fase ) y tierra. -eterminar la corriente +ermanente decortocircuito.

++

+

W1

W2

E 120

E 0

E <120

ZL

Zm

ZA

ZBZ

B)

a

bc

I a

I b

I c

I m

Ic

I AB I A

I B

=")@#



17 /eniendo en cuenta la tensi(n de línea, la tensi(n de los generadores es

E E E1 & '= ∠ = ∠ = ∠−100

3

100

3

100

30 120 120

4ara las tensiones de línea se obtiene

" " "ab bc ca

= ∠ = ∠ = ∠−100 100 100 1&030 0

"as im+edancias +ueden +onerse como

%8.23&.2 %2&.1 2013.&3 +=∠=∠=+= Lm

ZZ

Z Z ZA B

= ∠ = + = ∠ = = ∠ = +1& 9 & 13 10 10 10 8 9 &50 0 30 . . % %

-ado que la im+edancia monof*sica Zm est* en +aralelo con ZA, se obtiene +ara su

im+edancia equivalente Z#A

Z Z Z

Z Z

m A

m A

' .

.. . .

.

. . %=

+=

∠ ∠

∠ + ∠= ∠ = +

2 & 1&

2 & 1&21 1 2 1 9

&313 50

&313 50&13

/ransformando la carga en tri*ngulo formado +or ZA#, ZB y Z+ a su estrella equivalenteZ1, Z& y Z', se tiene

ZA

ZBZ+ Z1

Z& Z'

B )

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

1

B

A B

&

A

A B

A B

=

+ +

= ∠

+

= + = ∠

=+ +

= ∠

+ = + = ∠

=+ +

= ∠

+ = + = ∠

' . .

. . .

'

' . .. .

' . .. .

.

. .

. .

100

1 5 9

9 0 & 8

21

1 5 90 2 0 1 1

21

1 5 90 81 0 &8 1

3011

8135&&

&133&&3

%

%

% %

% %

quedando el circuito como



++

+

E 0

E 120E <120

Ia

Ib

Ic

I1

I&

Z1

Z& Z

'

ZL

i asociamos las im+edancias

23 53 3 2 8 0 81 0 &8 3 51 1 &8 3 . º L Z' = Z Z . j . . j . j . .+ = + + + = + × = ∠

+licando el teorema de Yillman

11 0 5& & 120 23 5 120'1 1 2 2 3 3

'1 2 3 11 5& & 23 5

1 100 100 1 1001 8 3 3 3 3

1 11

8 3

. º º . º º . º º

nn'

. º . º . º

Y E Y E Y E . .U

Y Y Y . .

− − − −

− − −

∠ × ∠ + ∠ × ∠ + ∠ × ∠× + × + ×

= =+ + ∠ + ∠ + ∠

⇒ 11 18& & 5 35 120

11 5& & 23 5

1 1 1001

100 8 3 31 13 1

8 3

. º . º . º º

nn'

. º . º . º

. .U

. .

− −

− − −

∠ + ∠ + ∠ × ∠= ×

∠ + ∠ + ∠

⇒

( ) ( )

( ) ( )

0 2 1 0 03 0 0 0 1 0 2&100

0 2 0 1 0 23 0 0 0 1 0 13nn'

. . j . . .

U . . . j . . .

− − + × − + +

= × + + + × − − −

⇒1& &2

210 85&1 3

100 0 83 0 31 100 0 8939 8

0 8 1 0& 1 33 3

. º . º nn'

. º

. j . .U .

. j . . −

− + × ∠= × = × = ∠

− × ∠

na ve: calculada la tensi(n entre neutros, a+licando irc>>off, obtenemos

( )0 210 85

12 0510 55

11 11 11 1

10039 8

&9 93 32 19 1 2 1 331 1&

8 8 8

º . º . º nn'

. º a. º . º . º

.. . j . E U .

I . Z . . .

∠ − ∠ + + ×− ∠= = = = = ∠

∠ ∠ ∠

n*logamente

( ) ( )120 210 85

83882

5& & 5& & 5& &2

10039 8

28 89 32 19 &0 1 2 30 83

1 1 1

º . º . º nn'

b. º . º . º

.. . j . E U .

I Z

−−

∠ − ∠ − + + × − +− ∠= = = =

∠ ∠ ∠

⇒ 1 38 210 5230 8 30 8. º . º b I . .−= ∠ = ∠

( ) ( )

120 210 85

89293 5353' 23 5 23 5 23 53

10039 8

28 89 32 19 &0 1 2 5 283 19 &83 3 3

º . º

. º nn' . º c. º . º .

.

. . j . E U . I .. . . º Z

∠ − ∠

− + + × +− ∠= = = = = ∠∠ ∠ ∠



na ve: obtenidas las intensidades de línea y volviendo al circuito original, se obtiene +ara la intensidad monof*sica 6v?ase fig.7.

20 53 53 83 533 19 &8 &2 9º . º . º c' m L cU Z I . .= × = ∠ × ∠ = ∠

( ) ( ) 82 2 3 28 89 28 89 & 8& &0 &0 &2 1 9 & . º b' m c' mU E E U . . . j . . −= − + = − + + + × − − + = ∠

82 135 12

&3 13

9 &1 18

2 &

. º b' m. º m

. º m

U . I .

Z .

−−

∠= = = ∠

∠

na ve: obtenidas las intensidades de línea y volviendo al circuito original, seobtiene +ara la intensidad monof*sica 6v?ase fig.7.

" Z IcM L c= = ∠ ∠ = ∠3 2 83 9 20 20 1 22 1 . . . .

" E E "BM & ' cM= − + = − + = ∠&3 21 9 89 91&9 138 02. . . . %

I"

Zm

BM

m

= = ∠

∠= ∠

91&9

2 &2853

138 02

&3138 8

.

..

.

. .

++

+

E 120

E 0

E <120

ZL

Zm

ZA

ZBZ

B)

a

bc

I a

I b

I c

I m

Y

Ic

4ara la intensidad c I' se tiene

( ) ( )53 53 135 1219 &8 1 18 9 81 13 82 1& 9& 13 2. º . º c c m I' I I . . . . j . .−= + = ∠ + ∠ = − + × −

1&9 95 01 2 5 5 . º c I' . j . .= − + × = ∠

4ara obtener las intensidades de fase en la carga +reviamente se calculan las tensionesen bornes de la carga a +artir de las intensidades anteriores

30 0 30 301

1003 1 3 1 100

3º º º º ab a' b' U U E = = × × ∠ = × ∠ × ∠ = ∠ ÷

82 9 & . º bc b' mU U . −= = ∠

83 53 120 30 83 53 1&0100

&2 9 3 1 &2 9 1003

. º º º . º º ca mc' c' a' c' m c' a' U U U U U . .

= + = − + = − ∠ + × ∠ × ∠ = − ∠ + ∠ ÷

( ) ( ) 1 9185 5 & 8& &0 &2 1 80 9& 2 1 80 9 . º caU . . j . . j . . −= − + × − = − × = ∠



+artir de las tensiones de fase 6o línea7, se obtienen las intensidades de fase en lacarga

300

30

10010

10

º abº

ab º ab

U I

Z

∠= = = ∠

∠

8212

50

9 &3 20

1&

. º bc. º bc

º bc

U . I .

Z

−−

∠= = = ∠

∠

1 911 91

0

80 98 09

10

. º ca. º ca

º ca

U . I .

Z

−−

∠= = = ∠

∠

27 "ectura de los vatímetros

30 0 551 ab aF 100 1 1& cos6 7 100 1 1& 2 3 155 35 Fab a

º . º ab a U I Re U I * Re . . cos . .ϕ ϕ −= × = ∠ × ∠ = − = × × =

9 01 1&9 92 bc cF 9 & 5 cos6 7cb c

. º . º cb c bc c U I Re U I * Re U I * Re . . ϕ ϕ −= × = − × = ∠ × ∠ = −

⇒ ( )2F 9 & 5 50 93 1&2 1& F. . cos . .= × − =

-ado que los vatímetros est*n conectados en coneDi(n aron, la +otencia activaabsorbida +or la carga trif*sica viene dada +or la suma de las indicaciones de los dosvatímetros

F&1.1821FFF 21 =+=

37 El circuito resultante es

E 0

E <120

E 120

I 1

I 2

Z 1

Z 2

Z 3

a

b c

n

I 3

I m

Z " Z m I' 3

"as im+edancias de la estrella equivalente son

&1 3 1&ab ca. º

ab bc ca

Z Z Z .

Z Z Z −

×= = ∠

+ + && &2 9bc ab. º

ab bc ca

Z Z Z .

Z Z Z

×= = ∠

+ + y 2& &3 9ca bc. º

ab bc ca

Z Z Z .

Z Z Z

×= = ∠

+ +

"a coneDi(n a tierra de ambos neutros equivale a la uni(n de los mismos con unconductor sin im+edancia 6cortocircuito7, +or lo que a+licando irc>>off, se obtiene



01 &1

&1

&9 918 3

3 1&

º . º

. º

E . I .

Z . −

∠= = = ∠

∠ e1202

19& &2&& &2

&9 912 3

9

º . º

. º

E . I .

Z .

−−

∠= = = ∠

∠

4ara calcular 3 I +lanteamos

3 3 3 3

2 3 3

3 3

0

0

L

L m m

m

E Z I' Z I

E E Z I' Z I

I' I I

− + × + × =− + × − × =

= − $Z

3 3 3 3

3

0

0 L L m

b' c' L L m m m

E Z I Z I Z I

U Z I Z I Z I

− + × − × + × =+ × − × − × =

( )

( )

3 3 3

3 0

Lm

L

b' c' L L m m

E Z Z I I

Z

U Z I Z Z I

− + + ×=

+ × − + × = $Z ( )

( )3 3 33 0

Lb' c' L L m

L

E Z Z I U Z I Z Z

Z

− + + ×+ × − + × =

( ) ( ) ( )( )3 3 3 0 L b' c' L m L L L m L Z U Z Z E Z Z Z Z Z Z I × + + × + × − + × + ×

( )

( )3

33

L b' c' L m

m L L m

Z U Z Z E I

Z Z Z Z Z

× + + ×=

× + × + $Z90 1& 221

152 193&3 13 50 & 93

300 302 3& 2308 8

2 & 2 53 29 12

º . º . º . º

. º . º . º

. I .

. . .

−∠ + ∠ ∠= = = ∠

∠ + ∠ ∠

"as tensiones en bornes de la carga resultan

301 2 100 Vº abU E E = − = ∠

183 333 3 1 1 9 3 V. º caU Z I Z I .= × − × = ∠

95 52 3 3 & V. º bc b' cU U E Z I . −= = − × = ∠

"a intensidad monof*sica se obtiene a +artir de

95 512 93

&3 13

& 18 35

2 &

. º bc. º m

. º m

U . I .

Z .

−−

∠= = ∠

∠

7 i la fase c se cortocircuita con tierra, resulta el circuito

E 0

E <120

b c

a

bcE 120

a

I cc1 Z bc

Z ca Z ab

Z m

I cc2

I cc3

I cc

Z "

m



)alculando +or se+arado cada una de las com+onentes de la intensidad de cortocircuito,se tiene

1202 193 131&313

12031002

20

12021803

50

010

0

&9 9 23 08 2 &

&9 91 23

3

&9 93 8&

1&

&9 9& 99

10

º b' m . º cc. º m m

º c' mº cc

º L L

º bc b' mº cc

º bc bc bc

º ac a' mº cc

º ca ca ca

U E . I . Z Z .

U E . I .

Z Z

U U E . I .

Z Z Z

U U E . I .

Z Z Z

− −

−

∠= = = = ∠∠

∠= = = = ∠

∠⇒

∠= = = = = ∠

∠

∠= = = = = ∠

∠

19 38

1

2 33 15 18 2 22 i

. º cc cci

i

I I . j . .=

== = − + × = ∠∑

PROBLEMA 15:

un generador trif*sico equilibrado en estrella , se conecta una carga en estrellaequilibrada a$ b$ c. abiendo que la tensi(n de línea 1$220 V, e a$ b$c$1 ,calcular las intensidades de línea 6o de fase7 y las tensiones de fase en la carga, así comolos diagramas +ara cada uno de los casos siguientes a7 "os interru+tores 1 y 3 cerradosy el 2 abierto. b7 "os interru+tores igual que en el a+artado 1 +ero la resistencia a sesustituye +or un condensador de la misma im+edancia que a. c7e abre el interru+tor 1,

+ermaneciendo el 2 y el 3 igual que en el a+artado 1. d7 /odos los interru+tores abiertos.e7"os interru+tores 1 ! 2 cerrados y el 3 abierto.

++

+

Ia

Ib

Ic

R aI

(

B )

a

bc R b

R c

1

2

3n #

=")@#

a7 Eligiendo la tensi(n "an como origen de fases, considerando que es de secuenciadirecta y que las im+edancias de la estrella son resistencias +uras, se tiene

" " " " "

" "

" "

AB ab an AB ab

B bc

A ca

= = ∠ ⇒ = = ∠

= = ∠

= = ∠

−

3 220

220

220

30 30

0

1&0



-ada la relaci(n entre tensiones de línea y tensiones de fase, se obtiene +ara estasSltimas

""

" "

A(AB

B( +(

=∠

= ∠

∠= ∠

= ∠ = ∠−

3

220

3129

129 129

30

30

30

0

120 120

,

,

"as resistencias resultan

B )

H

H

= = = = =129

1129 Ω

"as intensidades son

I I Ia b c

= ∠ = ∠ = ∠−1 1 10 120 120 , ,

4or ser el sistema totalmente equilibrado la intensidad del neutro es nula.

"+A

"+(

"B(

"B+

"A(

"AB

I a

I b

I c

b7 l sustituir +or un condensador la tensi(n de fase no se modifica 6"A( $ "an7 +erola intensidad Ia se desfasa 0 en adelanto res+ecto a la "an

"a intensidad del neutro viene dada +or

I I I In a b c= + + = ∠ + ∠ + ∠ = ∠−1 1 1 20 120 120 13&

I A

I B

I +

I (



c7 l abrir el interru+tor 1 mientras 2 +ermanece abierto y 3 cerrado se verifica que

" " "A( B( bn= = = ∠ −0 1 120, y " "( cn= = ∠1 120

I

I"

I"

I I I

a

b

bn

c

cn

n b c

=

= = ∠

= ∠

= = ∠

= ∠

= + = ∠ ∠ = ∠

−−

− +

0

1

11

1

11

1 1 1

120120

120120

120 120 180

b

c

Ic

Ib

In

d7 /odos los interru+tores est*n abiertos. En este caso la tensi(n de los neutros degeneraci(n y de la carga +ueden ser diferentes

dado que B$ ) y que I I " "b c B( (

= − ⇒ = ⇒

" " " "B B( ( B(= + = 2

" " " " "

"

" "

" "

n( bn B( bn

B

n(

B(B

( B(

= − + = − + = −

∠ + ∠

⇒ = ∠

= = − ∠ = ∠

= − = − ∠ = ∠

− −

− −

−

2

220

3

220

253&

2220

2110

110 110

1200

0

0 0

0 0

.

I"

I I

b

B(

c b

= =∠

= ∠

= − = ∠

−−

B

110

129 0855

0855

00

0

.

.



I B

I +

e7 "os interru+tores 1 y 2 est* cerrados y 3 abierto. En este caso, los +untos a, y #est*n al mismo +otencial. 4or lo tanto, se tiene que

" " "

" "

I" " "

I" "

I I I

B( b( ba

( ca

b

B( ba ab

c

( ca

a b c

= = = − ∠ = ∠

= = ∠

= = = −

= − ∠

= ∠

= = = ∠

= ∠

= − − = − ∠ ∠ = ∠

−

−

− +

220 220

220

220

1293

220

1293

3 1 3

30 1&0

1&0

301&0

1&01&0

1&0 1 1&0 0

6 7

B B B

) )

resultando el diagrama fasorial

I A

I B

I +

PROBLEMA 11:

egSn el esquema de la figura, un generador trif*sico equilibrado de secuenciadirecta /, alimenta tres consumos de diversa naturale:a. a7 e cierra el interru+tor -1,estando abiertos los otros, registr*ndose las siguientes lecturas 1$50 , V = 1&0 3 V,V"$1&0 V. )alcular la lectura de los restantes a+aratos y las +otencias activa y reactiva

+ro+orcionadas +or el generador. b7 e cierra a>ora -2 continuando abierto -3, con lo

que el generador, sin variar sus tensiones, suministra en el con%unto de las tres fasesdoble +otencia activa y reactiva que en el +rimer caso. )alcular las nuevas indicaciones



, /, F1 ! F2 y las +otencias activa y reactiva suministrada +or el generador. c7 ecierra -3 quedando a>ora todos los interru+tores cerrados. En esta condiciones G32 y G33

son tales que el con%unto de todas las cargas forman un sistema equilibrado. -eterminar las indicaciones de 32, 33 ! #. d7 )alcular las im+edancias G32 y G33 +ara que secum+la el a+artado anterior.

'

/

#

'

/

#

F1

F2

"V

V

1

2

32

33

1-

2-

3-

1

G32

A1

2

G33

6&

R I

)I

%I

(I

1I

&I

'&I

''I

=")@#

a7 l cerrar -1, con la lectura dada de los a+aratos, se tiene

1 1 50 = = 1 V 1&0 3 V= = y A1 " $ 1&0 V= V

/omando como origen de fases la tensi(n de fase #, resulta

I I I I IR 1 ) 1 R = = ∠ ⇒ = − = − = ∠ ⇒ =50 50 500 180

sí mismo I I% (

= = ⇒ = =0 0 / #

4or otra +arte la intensidad 1 circula +or la resistencia 1 y la reactancia A1 +or lo que lacaída de tensi(n en estos elementos est* en cuadratura

1

1&0 3 0 V

1 150 0 A 1&0 0 V1 1

R

U

R I I U X

⇒ = ∠= = ∠ ⇒ ⇒ = ∠

4or tanto, se obtiene +ara la tensi(n de línea

1&0 3 0 1&0 0 300 30= + = ∠ + ∠ = ∠R) R1 61

" " "

! +or ser equilibrado en generaci(n

" )% = ∠ −300 120 y " %R = ∠300 120

4ara los vatímetros se tiene



F 1 300 50 30 000 3= = ⋅ ⋅ =cos6 , 7 cos F

F / / / /2 300 0 0= = ⋅ =cos6 , 7 F

El vatímetro F1 mide la +otencia activa consumida +or la carga conectada

1 1F 4 000 3 F= =El *ngulo de la carga ϕ1 viene dado +or el desfase entre la tensi(n en bornes de lacarga y la intensidad 1 que circula +or la misma

11 30 0 30 RS U I

ϕ = ϕ − ϕ = − =

4or lo que se obtiene +ara la +otencia reactiva consumida +or la carga 1

1 1 1

1K 4 tg 000 3 $000 Vr

3

= ϕ = ×

/ambi?n +odríamos >aber utili:ado la ecuaci(n de la +otencia com+le%a +ara la carga 1

J 300 30 50 0 18000 30 000 3 000 %= = ∠ × ∠ = ∠ = +1 R) 1

) " I

-ado que solo est* conectada la carga 1, las +otencias totales coinciden con lasconsumidas +or esta carga

t 1 t 14 $4 000 3 F K $K $000 Vr ⇒ =

b7 l cerrar el interru+tor -2 no se modifica el r?gimen de tensiones, mientras que la

+otencia total consumida es el doble que en el +rimer caso. Yanteniendo el origen defases, las tensiones resultan

" " "R( )( %(= ∠ = ∠ = ∠−300

3

300

3

300

30 120 120

)omo las tensiones +ermanecen fi%as, el +rimer rece+tor consume igual +otencia que enel +rimer caso, +or lo que la segunda carga consume igual +otencia que el +rimer rece+tor

4 F

K Vr

4 K VK

4ind

2

2

2 2

2

2

2

22

2

2

000 3

000

18000

30==

⇒ = + == ⇒ =tg .ϕ ϕ

i consideramos que el segundo consumo est* en estrella, utili:amos la ecuaci(n de la +otencia com+le%a que ser*, al ser la carga y sus tensiones en bornes equilibradas, tresveces la consumida en una fase. i utili:amos la fase la intensidad I& viene dada +or

) " I I )

"& R(& &R &R

&

R(&

= ⇒ = = ∠

∠= ∠3

3

18000

3300

3

20 330

0

30J J

20 3 30 , 20 3 1&0 e 20 3 0 R⇒ = ∠ − = ∠ − = ∠

& &) &%I I I



+licando irc>>off, obtenemos +ara las intensidades de línea totales

50 0 20 3 30 1.9 10.

20 3 0

50 180 20 3 1&0 1.9 10.

= + = ∠ + ∠ − = ∠ −

= = ∠

= − + = ∠ + ∠ − = ∠

R 1 &R

% &%

) 1 &)

I I I

I I

I I I

4ara los vatímetros resulta

1 F $ cos6 , 7 300 1.9 cos630 10.7 2099 F RS RU I = × × + = F

F / / / /2 = cos6 , 7 ya que " ")% %)= ∠ ⇒ = ∠−300 3000 0

Entonces 7& = ⋅ ⋅ =300 20 3 0 1032 3cos . F

F F F/ = + =1 2 31155 3. F

c7 l cerrar el interru+tor -3 se tiene un sistema trif*sico equilibrado tanto en cargacomo en generaci(n, +or lo tanto, la intensidad del neutro es nula I($0. -ado que laSnica carga conectada al neutro es el consumo 3, se deduce que

I I'' '&= −

sí mismo se cum+le que

I I IR ) %+ + = = =0 / y desfasadas 120

4uesto que la carga tres no est* conectada a la fase , la intensidad de línea IR es igualque en el a+artado anterior, es decir

50 0 20 3 30 1.9 10. = ∠ + ∠ − = ∠ −R

I

-ado que son equilibradas, las restantes intensidades de línea son

1 120 1.9 130. e 1 120 1.9 10.1 = ∠ − = ∠ − = ∠ = ∠) R % R

I I I I

4or otra +arte I I I I) 1 &) '&

= − + + ⇒

50 50 50 120 = + − = ∠ − ⇒ = − = ∠'& ) 1 &) '' '&

I I I I I I

es decir 33 32 50= = y # = 0

d7 +licando la ley de =>m se tiene +ara las im+edancias



Z "

I

Z "

I

'&

)(

'&

''

%(

''

= =∠

∠ = ∠

= =∠

∠ = ∠

−

−−

300

3

50

&

3

300

3

50

&

3

120

5050

120

1200

PROBLEMA 1&:

En el circuito de la figura la línea +roviene de un generador que +resenta unsistema equilibrado de tensiones de secuencia directa. El voltímetro V marca 380 V, elinterru+tor -1 est* abierto y el interru+tor -2 est* cerrado. a7 -eterminar las

intensidades en los tres consumos, así como In, sabiendo que la +otencia de cada líneaes ) ZL1 = ∠1 &0 V. b7 e cierra el interru+tor -1 y se abre el interru+tor -2,determinar las nuevas intensidades en los tres consumos, así como In. c7 -eterminar lasca+acidades de la batería de condensadores en tri*ngulo que >ay que conectar en

+aralelo con el consumo 3 +ara que el factor de +otencia del con%unto consumo 3 batería de condensadores sea 0.& inductivo.

4 $& F3

cos $0.9 ind.3

ϕ

-emanda 3

)∆

Ia'

Ib'

Ic'

a'

b'

c'

ZL1

ZL1

ZL1

Ia& Ib& Ic&Ia1 Ib1 Ic1

a

c

nIn

V

Z&

$10 30

Z&

Z&

Z1c

$1& 0

Z1a

$10 &

Z1b

$20 <30

-2

-1 -emanda 2

-emanda 1

Zn

$23%

n 1

=")@#

/omando como origen de fases "an

Van ab an= ⇒ = =380

3220

" an = ∠220 0 " bn = ∠ −220 120 y " cn = ∠220 120

" ab = ∠380 30 " bc = ∠ −380 0 y " ca = ∠380 1&0



El circuito que resulta es

4 $& F3

cos $0.9 ind.3

ϕ

-emanda 3

I a'

I b'

I c'

a'

b'

c'

ZL1

ZL1

ZL1

I a& I b& I c&I a1 I b1 I c1

a

c

nI n

Z&

$10 30

Z&

Z&

Z1c

$1& 0

Z1a

$10 &

Z1b

$20 <30

-emanda 2

-emanda 1

Zn

$23%

n'

I n

n1

V

4ara la demanda 1, +or el teorema de Yillman, calculamos la caída de tensi(n entre elneutro n1 de la carga desequilibrada y el neutro del generador. e tiene

1 1 1 1 1 1220 0 220 120 220 120

10 & 20 30 1& 01 1 1 1 1 1

10 & 20 30 1& 0

+ + ∠ + ∠ − + ∠∠ ∠ − ∠= ⇒ =

+ + + +∠ ∠ − ∠

1 1

an bn cn

1a 1b 1c

n n n n

1a 1b 1c

" " "Z Z Z

" "

Z Z Z

"n n1

= ∠ + ∠ + ∠

∠ + ∠ + ∠=

− − − +

− + + +=

−

−=

− −

−

22 11 1 59

0 1 0 0& 0 09

1& &5 1& &5 11 9 3 12 9

0 09 0 09 0 0 0 03 0 09

8 23 13 85

0 18 0 0

1

0

& 0 120

& 30 0

.

. . .

. . . .

. . . . .

. .

. .

% % %

% %

%

%

8.5 5.8 V= ∠ −1n n

"

+artir de la tensi(n entre neutros obtenemos las intensidades de la carga 1

220 0 8.5 5.8 1&8.9 5&.3 191.5 22.19.2 22.5

10 & 10 & 10 &

j− ∠ − ∠ − + ∠= = = = = = ∠ −

∠ ∠ ∠1 1

an an n n

a1

1a 1a

" " "I

Z Z

220 120 8.5 5.8 191.3 12&.3 212.3 215.210.5 25.2

20 30 20 30 20 30

j− ∠ − − ∠ − − − ∠= = = = = = ∠

∠ − ∠ − ∠ −1 1

bn bn n n

b1

1b 1b

" " "I

Z Z

220 120 8.5 5.8 191.3 2&&.8 309. 123.820.& 123.8

1& 0 1& 0 1& 0

j− ∠ − ∠ − − + ∠= = = = = = ∠

∠ ∠ ∠1 1cn cn n n

c1

1c 1c

" " "I

Z Z

4ara la carga 2, dado que es equilibrada y tambi?n lo son las tensiones en bornes de lamisma

380 3038 0

10 30∆

∠= = = ∠

∠ab

ab&

&

"I

Z

+licando la relaci(n entre intensidades de línea y fase en una carga en tri*nguloequilibrado, obtnemos +arala intensidad Ia& de línea



3 30 3 38 30 5&.82 30 = ∠ − = × ∠ − = ∠ −a& ab&

I I

En las otras fases

5&.82 1&0 = ∠ −b&I e 5&.82 0 = ∠c&

I

4ara determinar las intensidades de la carga 3, dado que conocemos la tensi(n en bornesde las im+edancias de línea situadas antes de la carga 3, +odemos a+licar la ecuaci(n dela +otencia a+arente +ara las im+edancias de línea y la carga 3

2 2

"3 " 3 " 3 " 3 3 64 4 7 6K K 7⇒ = = + + +

"as +otencias consumidas +or las im+edancias de línea, de acuerdo con el enunciado

son" "4 %K 3 1000 &0 128. %228.1= = × ∠ = +

LZ)

! la carga 3 consume una +otencia activa 43$&000 F con un factor de +otencia 0.9 ind,es decir ϕ3$&.5, +or lo que la +otencia reactiva K3 es

3 3 3K 4 &000 tg&.5 &101 Var !g = × ϕ = × =

2 2 2 2

"3 " 3 " 3 " 3 3 64 4 7 6K K 7 6128. &0007 6&101 228.17 10135.& V⇒ = = + + + = + + + =

"33

"

10135.& 1&.

3 3 380⇒ = = =

×4ara determinar el *ngulo de las intensidades, calculamos el *ngulo del con%unto de lacarga 3 y las im+edancias de línea utili:ando las +otencias consumidas

" 3"3 3

" 3

K K 93.11.058 5.

4 4 528. L!g ϕ = = = ⇒ ϕ =

Este es el desfase entre las intensidades que circulan >acia la carga 3 y las tensi(n defase 6su+oniendo el con%unto de las im+edancias de línea y la carga 3 en estrella, las

intensidades de línea son intensidades de fase y las tensiones en bornes de la estrella sonlas tensiones de fase7

a3 b3 c3 1&. 5. , 1&. 155. e 1&. 93.1 ⇒ = ∠ − = ∠ − = ∠

na ve: conocidas las intensidades, +odemos calcular la tensi(n de línea en bornes de lacarga 3

' 2 2 2 2

3 " 3 3 3 3 64 7 6K 7 &000 &101 912. V⇒ = = + = + =



"

' 3

3

912. 259.8 V

3 3 1&.⇒ = = =

×

/ambi?n +odríamos anali:ar una sola fase, +or e%em+lo la a

ZL1 a'I a'

a

n

cos $0.9 ind.3

ϕ

-emanda 3

4 $ F3f

&000

3

"a +otencia de la im+edancia ZL1 es

) ZL1= ∠ = +1000 52 9 955 0&0 . . %

"as +otencias +or fase +ara la carga 3 son

4 Ff 3

&000

31555 59= = .

cos . . . ϕ ϕ3 30 9 &&9= ⇒ =ind

K f 3 1555 59 & &9 1900 3= =. tg . . Vr

Entonces las +otencias totales +or fase son

4 4 4 F"f G f "3 3152 9 1555 59 230 5= + = + =. . .

K K K"f G f "3 31955 0 1900 3 255 38= + = + =. . . Vr

"a +otencia a+arente +or fase es

J J 230.5 255.38 3398.8& 5.881&. 5.

220 0 220 0

j+ ∠= ⇒ = = = = ∠ ⇒

∠ ∠'L/

'L/ an a' a'

an

)) " I I

"

1&. 5. = ∠ −a'

I

! en las otras fases

1&. 155. = ∠ −b'

I e 1&. 93.1 = ∠c'

I

"as intensidades totales de línea se obtienen a+licando irc>>off

9.& 31.5

8.1 18.9 2.8 9.5

= + + = ∠ −

= + + = ∠ −= + + = ∠

a a1 a& a'

b b1 b& b'

c c1 c& c'

I I I I

I I I II I I I



+esar de que las intensidades totales son desequilibradas, +or el neutro no circulaintensidad al no >aber ninguna carga conectada al mismo 0=

nI

b7 El circuito que resulta es

4 $& F3

cos $0.9 ind.3

ϕ

-emanda 3

I a'

I b'

I c'

a'

b'

c'

ZL1

ZL1

ZL1

I a& I b& I c&I a1 I b1 I c1

a

b

c

nI n

Z&

$10 30

Z&

Z&

Z1c

$1& 0

Z1a

$10 &

Z1b$20 <30

-emanda 2

-emanda 1

Zn

$23%

n 1

4uesto que no >an cambiado las tensiones en a<b<c, las intensidades Ia&, Ib&, Ic&,Ia', Ib' e Ic' son las mismas.

En cuanto a la carga 1 las intensidades >an cambiado, la nueva tensi(n " n n1 es +or el teorema de Yillman

" Z

"Z

"Z

"

Z Z Z Z

n n1a

an

1b

bn

1c

cn

1a 1b 1c n

1=

+ +

+ + += ∠

∠ +∠

∠ +∠

∠

∠ +

∠ +

∠ +

∠

=−−

−

1 1 1

1 1 1 1

1

10220

1

20220

1

1&220

1

10

1

20

1

1&

1

3 51

&0

30120

0120

& 30 0 &5 3

. .

22 & 11 0 1.59 120 8.23 13.85 15.12 &.339.& 20. V

0.1 & 0.0& 30 0.09 0 0.28 &5.3 0.3 0.29 0.3 38.&

j

j

∠ − + ∠ − + ∠ − ∠ −= = = = ∠ −

∠ − + ∠ + ∠ + ∠ − − ∠ −

Entonces las intensidades son

220 0 39.& 20. 18.9 13.3 18&.& .118.5 0.8

10 & 10 & 10 &

j− ∠ − ∠ − + ∠= = = = = = ∠ −

∠ ∠ ∠1 1an an n n

a1

1a 1a

" " "I

Z Z

220 120 39.& 20. 1&.03 199.1 22 230.11.& 250.

20 30 20 30 20 30

j− ∠ − − ∠ − − − ∠= = = = = = ∠

∠ − ∠ − ∠ −1 1

bn bn n n

b1

1b 1b

" " "I

Z Z

220 120 39.& 20. 1&.03 203.89 2&0.2 12&.15.9 12&.

1& 0 1& 0 1& 0

j− ∠ − ∠ − − + ∠= = = = = = ∠

∠ ∠ ∠1 1

cn cn n n

c1

1c 1c

" " "I

Z Z



18.5 0.8 11.& 250. 15.9 12&.

1.0 12.13 181 1.31 .59 13.& 2.&5 .8& 10.2 9&. j j j j

= + + = ∠ − + ∠ + ∠ =

= − − − − + = − = ∠ −

n a1 b1 c1I I I I

c7 4uesto que las tensiones en a, b, c no cambian, si se su+one que la carga 3 est*formada +or im+edancias fi%as, se +uede reali:ar el c*lculo utili:ando la ecuaci(n decom+ensaci(n. En caso de que se su+onga que es una carga din*mica 6+otenciasconstantes7 el +roceso es algo m*s com+licado. En +rimer lugar resolvemos el a+artadosu+oniendo que la carga 3 est* formada +or im+edancias fi%as

'

3 3 3

2

ab

4 6tgU <tgU 7) $

3 ∆

ω

El factor de +otencia de la carga 3 es 0.9 ind, es decir ϕ3$&.5 ; el nuevo factor de +otencia solicitado al colocar los condensadores es 0.& ind, es decir, ϕR3$18.2/eniendo en cuenta que la tensi(n en bornes de la carga 3 la >emos calculado en ela+artado a7 resulta

'

3 3 3

2 2

"

4 6tgU <tgU 7 &0006tg&.5 tg18.2 7) $ &1.2 H

3 ' 3 100 259.8∆

−= =

× × × µ

ω π

i consideramos que la carga 3 es una carga din*mica y que +or tanto consume lasmismas +otencias activa y reactiva antes y des+u?s de colocar los condensadores, si

consideramos inicialmente que los condensadores se colocan en estrella +odemosreali:ar el an*lisis +ara una fase

ZL1 a'Ia'

a

n

4 $1555.59 F3f

K $1900.3 Vr 3f

)!

En este caso desconocemos la tensi(n en bornes de la carga 3 la cual esnecesaria +ara determinar la ca+acidad del condensador. En +rimer lugar >ay quecalcular ZL1, lo cual se +uede >acer con los datos del a+artado a7

) ZL1= +52 9 955 0. . %

1&. 5.= ∠ −a'

I

Entonces

1

1

2

a3 2 2a3

52.9 955.0 2.92 %3.2&

1&.

L

L

j+= ⇒ = = = +Z

Z L1 L1

)) Z Z



4ara el factor de +otencia deseado

3 3cos ' 0.& . ' 18.2ind ϕ = ⇒ ϕ =

"a +otencia reactiva de una fase del con%unto carga 3 condensador es

3f 3f 3K' 4 tg ' 1555.59 tg18.2 &9.81 Vr = ϕ = =

4or tanto, la +otencia reactiva suministrada +or el condensador debe ser

!) 3f 3f K $K <K' $1900.3 &9.81 11&2.&3 Vr − =

Caciendo balance de +otencias

( ) ( ) 4 V K A an a f " a f " a' ' ' '3 3 1 32

2

3 1 32

2= + + + ⇒

( ) ( )220 1555 59 2 92 &9 81 3 2&3 3

2 2

3

2 2

a a a

' . . ' . . '= + + + ⇒

⇒ = + + + + +8000 2999988 8 9 055 58 3000& 8 10 &5 3&50 9932

3

32

3

32 a a a a a' . . ' . ' . . ' . '

⇒ − + = ⇒ − + = ⇒19 5 3&992 && 309988 5 0 11 9 19139 3 03

32

3

32. ' . ' . ' . ' . a a a a

⇒ = ± − ⋅

= ±

= a' . . . . . .

.3

2211 9 11 9 19139 3

2

119 1811&&

2

10159

012

e considera la m*s +eque[a 6ya que el valor su+erior daría lugar a que +r*cticamentetoda la tensi(n cae en la im+edancia de línea y la tensi(n en bornes de la carga sería casides+reciable. "o usual en el funcionamiento de los circuitos el?ctricos es que la caída enla línea sea +eque[a7

a3' . =

4ara determinar el m(dulo de tensi(n aRn se reali:a el balance de +otencias

2 2

3f

3f a'n a3 a'n

a3

1555.59 &9.81

$ ' $ 18. V' .

+⇒ = =

Entonces

!

!

)2

) ! a'n ! 2 2

a'n

K 11&2.&3K $ ) ) $ 109.3 H

2 &0 18.ω ⇒ = = µ

ω π ×

"a ca+acidad del condensador en tri*ngulo es

!)) 3&.8 H

3∆ = = µ



PROBLEMA 1':

En el circuito de la figura la línea +roviene de un generador que +resenta unsistema equilibrado de tensiones de secuencia directa al que se conecta dos cargas

est*ticas. a7 -eterminar las intensidades +or cada consumo y +or la línea, sabiendo queF1 F2 $80 F. b7 -eterminar las ca+acidades de la batería de condensadores entri*ngulo que >ay que conectar en +aralelo a la entrada de la línea +ara que el factor de

+otencia del con%unto sea 0. inductivo. c7 "a im+edancia G2 conectada entre las fases ay b se sustituye +or otra de valor G 2$9∠0 Ω, +ermaneciendo las otras dos im+edanciasG2 entre b y c y entre c y a iguales que en el a+artado a. )alcular las nuevas intensidadesy tensiones 6los condensadores obtenidos en el a+artado b se su+one que no est*nconectados7.

Ia

Ib

Ic

Ia1 Ib1 Ic1

$0 V1

cos $0.8 ca+.1

ϕ

)arga 1

Ia&Ib&Ic&

a

b

c

0.1%

0.1%

0.1%

a'

b'

c'

F2

F1

Z&

$&&%

)arga 2

Z&

Z&

=")@#

a7 )arga 1 1 $0 \V y 1cos 0.8 ca+=ϕ , +or lo tanto se deduce que

1 1 1 1 1 1 135. 4 $ cos 32 F y K $ sen 2 \Vr = − ⇒ × = × = −ϕ ϕ ϕ

-ado que la coneDi(n de los vatímetros +resentan la coneDi(n aron y su suma da la +otencia activa total consumida aguas deba%o de los mismos, a +artir de la +otenciaactiva 41 de la carga 1 calculamos la +otencia activa 42 consumida +or la carga 2

t 1 2 1 2 24 $4 4 $F F $80 \F 4 $80<32$8 \F⇒

)arga 2 una ve: conocida la +otencia y ϕ2$&, determinamos

22

2

2 2 2

4 8 $ 59.88 \V

cosU cos &

K $ senU $59.88 sen&$8 \Vr

= =

× ×

En la carga 2 se +uede obtener la tensi(n en bornes utili:ando la ecuaci(n de la +otenciaactiva donde T2 es la conductancia de G2

2 2 2

1 1 &<&%$&&%$ T %B 0.1 0.1% T 0.1

&&% &0

⇒ = = = = − ⇒ =& &

&

Z $

$



2' ' 2

2 2 " "

2

4 80004 $3T 00 V

3T 0.3⇒ = = =

Es decir, la tensi(n de línea en bornes de la carga 1 y 2 es de 00 V +or lo que la tensi(nde fase 6con res+ecto al neutro real o ficticio7 es RH$230 V

i tomamos como referencia la tensi(n de fase ' 230 0 Va nU = , tendremos el siguientediagrama fasorial en bornes de las cargas

"as intensidades consumidas son' 2

2 " 2 2 '

"

59880 $59.88 \V$ 3 8

3 3 00⇒ = = =

×)omo ϕ2$&, determinamos los *ngulos de las intensidades en la línea que llega a lacarga 2 6y que son intensidades de fase si se transforma en estrella7

2 8 & = ∠ −aI , 2 8 15& = ∠ −b

I y 2 8 9& = ∠cI

/ambi?n +odríamos >aber +artido de la ecuaci(n que liga la resistencia y la intensidaden la carga 2 transformada a estrella +or lo G2y$G2I3$&I3&%I3, es decir, 2y$&I3 Ω

2 22 2 2 2

2y

4 80004 3 8

&3 33

= × × ⇒ = = =× ×

En la carga 1 como ϕ1$<35., la intensidad de fase adelanta 35. res+ecto a la tensi(n

de fase

1 1 1

11 '

"

0000 $ &9.9

3 3 00

&9.9 35. &9.9 83.1 e &9.91&5. a b c I I I

= =× ×

= = − =

"as intensidades totales de línea son

1 2

1 2

1 2

120.3 15.5

120.3 135.5

120.3103.

a a a

b b b

c c c

I I I

I I I

I I I

= + = −

= + = −

= + =

b7 Es necesario conocer la tensi(n a la entrada de la línea

aRbR

bRcR

cRaR

aRn

bRn

cRn



1

' 0.1 0 120.3 15.5 230 0 23. 2.8 V

23. 119.2 V y 23. 122.8 V

an L a an

bn bn

U Z I U

U U

= × + = × − + =

⇒ = − =

"as tensiones de línea a la entrada son

3 30 05 32.8 V 05 89.2 V y 05.1&2.8 Vab an bc caU U U U = = ⇒ = − =

El *ngulo de fase equivalente del con%unto lo +odemos determinar a +artir del desfaseentre la tensi(n y la intensidad de fase a la entrada de la línea

an a U$U <U 2.8 6 15.5 7 1.= − − =

! como queremos que cosU ' 1 U ' 0= ⇒ =

"a ca+acidad de los condensadores debe ser

t

2 2

"

4 6/gU</gU'7 800006 g1. tg07) 181. QH3 3 100 05

! −= = =× × × ×Vω π

c7 4ara +oder resolver este a+artado es necesario obtener las im+edancias equivalentesde la carga 1. El valor de la im+edancia equivalente en estrella +odemos obtenerlosa +artir de la tensi(n de fase y la intensidad de fase en la carga

1

'1

230 0 39

&9.9 39

a n

a

U Z

I = = = − Ω

)omo debemos asociar las dos cargas, es necesario >acerlo en tri*ngulo ya que la carga

2 es a>ora desequilibrada. 4or lo tanto, la carga 1 en tri*ngulo tiene como im+edancia6en las tres fases al ser equilibrada7

1 13 12 39 Z Z Z = ⇒ = − ΩV V

)alculamos el +aralelo entre tri*ngulos1

.59 13.51 1

12 39 9.09 0

1&.9& 15.9

1 112 39 & 2 &

ab

bc ca

Z

Z Z

= = − Ω+

−

= = − Ω =

+−

V

V V

4asamos a estrella el tri*ngulo equivalente

1.91 &

1.91 &

2.12&.3

ab caa

ab bc ca

ab bcb

ab bc ca

bc cac

ab bc ca

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

×= = − Ω

+ +×

= = − Ω+ +

×= = Ω

+ +



cada im+edancia de la estrella equivalente le sumamos la im+edancia de la línea yobtenemos la estrella equivalente a toda la carga y línea

0.1 1.9 1.5

0.1 1.9 1.5

0.1 2.1 29.9

a

b

c

Z j

Z j

Z j

+ = − Ω

+ = − Ω

+ = Ω+licando el teorema de Yillman +ara obtener la tensi(n entre neutros

'a an b bn c cn

nn

a b c

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + ×=

+ +

'

1 1 11.5 23. 2.8 1.5 23. 119.1 29.9 23.122

1.9 1.9 2.11 1 1

1.5 1.5 29.91.9 1.9 2.1

2.9 3.2 V

nnU

× + × − + − ×= =

+ + −

=

+artir de la tensi(n entre neutros, obtenemos las intensidades

'

'

'

23. 2.8 2.9 3.3113.& .3

11.5

1.9

23. 119.2 2.9 3.31&3.1 123.8

11.5

1.9

23.122.8 2.9 3.3120.&103.

129.9

2.1

an n na

a

bn n nb

b

cn n nc

c

U U I

Z

U U I

Z

U U I

Z

− −= = =

− − −= = = −

− −= = =

−

+licando irc>>off, obtenemos las nuevas tensiones de fase en bornes de las cargas

1

2

'

'

' 3

23. 2.8 11.5 .3 23& 0 V

23.119.2 1&.3 33.8 233.2 120 V

23.122.8 12.1155.5 230.9 120 V

a n an L a

b n bn L b

c n cn L c

U U Z I

U U Z I

U U Z I

= − × = − =

= − × = − = −

= − × = − =

"as tensiones de línea en bornes de las cargas se obtienen a+licando irc>>off a las de

fase' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

23& 0 233.2 120 0&.& 2. V

233.2 120 230.9 120 01.8 0.2 V

230.9120 23& 0 03.31&0.3 V

a b a n b n

b c b n c n

c a c n a n

U U U

U U U

U U U

= − = − − =

= − = − − = −

= − = − =

"as intensidades en las cargas se +ueden obtener calculando las intensidades de fase encada una de las cargas en tri*ngulo y obtener las de línea a+licando irc>>off a cadanudo)arga 1



1

1

1

' '

1

' '

1

' '

1

0&.& 2.33.8 55.

12 39

01.8 0.233.& &3.2

12 39

03.31&0.3 33.5 192.9 12 39

a bab

b cbc

c aca

U I

Z

U I

Z

U I Z

∆

∆

∆

= = =−

−= = = −

−

= = = −−

1 1 1

1 1 1

1 1 1

33.8 55.<33.5 192.9$ &8.& 39.2

33.& &3.2 33.8 55.$&8.3 83.3

33.5 192.9 33.& &3.2$&8.01&9.0

a ab ca

b bc ab

c ca bc

I I I

I I I

I I I

= − = −

= − = − − −

= − = − − −

)arga 2

2

2

2

' '

2

' '

2

' '

2

0&.& 2.

&9.3 2. 9 0

01.8 0.2&5.82 13&.2

& 2 &

03.31&0.3&9.010&.3

& 2 &

a b

abab

b cbc

bc

c aca

ca

U

I Z

U I

Z

U I

Z

= = =−

= = = −

= = =

2 2 2

2 2 2

2 2 2

&9.3 2.<&9.010&.3$ 90.3 21.8

&5.82 13&.2 &9.3 2.$113.8 12.9

&9.010&.3 &5.82 13&.2$8. 9&.1

a ab ca

b bc ab

c ca bc

I I I

I I I

I I I

= − = −

= − = − − −

= − = − −



PROBLEMA 1*:

En el circuito de la figura la línea +roviene de un generador que +resenta un

sistema equilibrado de tensiones de secuencia directa y el interru+tor - est* abierto. a7-eterminar las intensidades Ia1, Ib1 e Ic1, sabiendo que el voltímetro V1 marca 100 3 V,el am+erímetro marca 1& y el vatímetro F1 marca 0. b7 e cierra el interru+tor - yen estas condiciones el voltímetro V1 sigue marcando 100 3 V, los vatímetros F1 yF2 marcan 1000 F y 1&00 F res+ectivamente y los am+erímetros y " marcan 10 y 8 res+ectivamente. -eterminar las intensidades Ia&, Ib& e Ic& así como la medidadel voltímetro V2. c7 En estas condiciones cuales son las medidas del resto de losvatímetros indicados en la figura.

n 1

Ia

%A)1 2

Ib

Ic

Ia1 Ib1 Ic1

Ia& Ib& Ic&

1 1 1

%A)1 %A)1

%A)2

%A"2

F 1

F 2

F 1

F B1

F )1

F 2

F B2

F )2

"

V2

n 2

a

b

c

-

-emanda 1

V1

=")@#

)onsiderando "an entre la fase a y el neutro 6real o ficticio7 del generador quesuministra las tensiones equilibradas como origen de fases

100 3 30= ∠ab" 100 3 0= ∠ −bc" 100 3 1&0= ∠ca"

ab

bc

ca

an

bn

cn



100 0= ∠an

" 100 120= ∠ −bn

" 100 120= ∠cn

"

egSn la medida del Watímetro F1

( ) ( ) ( )1 ac a ac aF $0$ cos , cos , 0 cos , 0

⇒ = ⇒ =ac a ac a ac a" I " I " I

Es decir, la tensi(n "ac y la intensidad Ia est*n en cuadratura

Entonces +uesto que 100 3 1&0 100 3 30= − = − ∠ = ∠ −ac ca

" " , se obtienen los

siguientes dos +osibles valores +ara Ia

$Za

a

50

120

∠=

∠ −aI

"a carga 1 es equilibrada, con lo que el neutro n1 coincide con n, y +uesto que +ara unaconfiguraci(n en estrella la intensidad de línea coincide con la de fase

a1

a1

50

120

∠=

∠ −a1I

El car*cter de la carga es ca+acitivo, con lo que la intensidad Ia1 debe adelantar res+ectoa la tensi(n "an un *ngulo entre 0 y 0, +or lo que, de los dos +osibles valores del*ngulo de Ia1 descartamos el de <120 ya que en este caso estaría retrasada 6adem*s deque no sería com+atible con un *ngulo de una im+edancia +asiva7, +or lo tanto

a 50= = ∠a1 a

I I

4or otro lado +ara una fase

egSn la medida del am+erímetro

A

)

an

aA1

1

100

1&5 59= = = . Ω

4uesto que la intensidad +or la resistencia est* en fase con su tensi(n y la intensidad +or el condensador est* adelantada 0 res+ecto a su tensi(n

a1 0= ∠aR1I 1& 0= ∠a61I

%A)1

Ia1

1

a

Ia61

IaR1

1n n



4or otro lado

a a1 a1

a1

a1

50 0 1& 0 1&%

1& 1&tg50 & 3 8.55

tg50

& 3 0

& 3 0 1& 0 10 3 50 19.32 50

= + ⇒ ∠ = ∠ + ∠ = + ⇒

= ⇒ = = = ⇒

= ∠

= + = ∠ + ∠ = ∠ = ∠

a1 aR1 a61

aR1

a1 aR1 a61

I I I

I

I I I

l ser la carga 1 equilibrada las intensidades en las otras fases son

19.32 50 = ∠ −b1

I 19.32 180 = ∠c1

I

"a resistencia 1 es

an

a 1

1

100

8 5511&&= = =

.. Ω

"a indicaci(n del vatímetro F2 es

( )2 bc bF $ cos , 100 3 19.32cos6 0 65077 2&& F= × − − =bc b

" I

b7 i se cierra el interru+tor -, +uesto que no se >an modificado las tensiones en lalínea, las intensidades Ia1, Ib1 e Ic1 son las mismas que en el a+artado a7.

egSn la medida del vatímetro F1 y el am+erímetro

( ) ( ) ( )1 an a2F 1000 cos , 1000 100 10cos , cos , 1= = ⇒ = × ⇒ =an a& an a& an a&

" I " I " I

Es decir, la tensi(n "an y la intensidad Ia& est*n en fase10 0 = ∠

a&I

El vatímetro F2 mide

( )2 an2 a2F $ cos , 1&00 F=

an& a&" I

En la fase an2 est* la resistencia 2 +or lo que la tensi(n en bornes y su intensidadest*n en fase

( )cos , cos" Ian& a& = =0 1

4or lo tanto las tensiones "an, "an& y la intensidad Ia& est*n en fase. +artir de la medidadel vatímetro F2 y del am+erímetro , deducimos

2 an2 an2

1&00F 1&00 10 1 1&0 1&0 0 V

10= = × × ⇒ = = ⇒ = ∠

an&"

+licando irc>>off, resulta0 1&0 0 100 0 &0 0 V− + − = ⇒ = − = ∠ − ∠ = ∠an an& nn& nn& nn& an

" " " " " "



Es decir el voltímetro V2 marca &0 V

/ambi?n +or irc>>off, tenemos

0 100 120 &0 0 &0 3 0 V− + − = ⇒ = + = ∠− + ∠ = ∠ −bn bn& nn& bn& bn nn&

" " " " " "

c c0 100 120 &0 0 &0 3 0 V− + − = ⇒ = + = ∠ + ∠ = ∠cn cn& nn& n& n nn&

" " " " " "

El am+erímetro " mide la intensidad Ib&$8 que circula +or la bobina " 2 +or lo quedeber estar retrasada 0 con res+ecto a su tensi(n en bornes "bn&

8 180 = ∠b&

I

4or otra +arte, a+licando irc>>off, la suma de las tres intensidades de la carga 2 debeser nula

0 10 0 8 180 2 180 + + = ⇒ = − − = − ∠ − ∠ = ∠a& b& c& c& a& b&I I I I I I

c7 "as medidas de los vatímetros son

( ) ( ) J J

B1F e e 100 120 8 0 e 100 120 8 0 e 800 120 00 F= − = ∠ − × ∠ = ∠ − × ∠ = ∠ − = −bn b&

" I

( ) ( ) J J

)1F e e 100 120 2 180 e 100 120 2 0 e 200 120 100 F= − = ∠ × − ∠ = ∠ × ∠ = ∠ = −cn c&

" I

J

B2F e e &0 3 0 8 0 e 00 3 0 0= = ∠ − × ∠ = ∠ − =b n& b &

" I

J

)2F e e &0 3 0 2 0 e 100 3 0 0= = ∠ × ∠ = ∠ =cn& c&

" I

4ara determinar las medidas de los vatímetros F1 y F2 debemos calcular Ia y Ib

19.32 50 10 0 23. 38.8 = + = ∠ + ∠ = ∠a a1 a&

I I I

19.32 50 8 180 1&.01 89.& = + = ∠ − + ∠ = ∠ −b b1 b&

I I I

Entonces los vatímetros F1 y F2 marcan

J

1F e e 100 3 30 23. 38.8 1.& F= = ∠ − × ∠ − ==ac a

" I

J

2F e e 100 3 0 1&.01 89.&1 e 2&.81 2. 2&9. F= = ∠ − × ∠ = ∠ − =bc b

" I

PROBLEMA 1-:

En el circuito de la figura la tensi(n de línea es de 380 V, siendo las tensionesequilibradas a la entrada de la línea. a7 )errando los interru+tores -2 y -3 6los dem*sabiertos7 se tiene que c$30 y F2$0 F. =btener la lectura de los restantes a+aratos.

b7 e cierra -1 6-2 y -3 cerrados7, >allar las nuevas indicaciones. c7 e cierra - 6-1,



-2 y -3 cerrados7, obtener las indicaciones de los am+erímetros y el voltímetro. d7 ecierra -& 6-1, -2, -3 y - cerrados7, >allar las nuevas indicaciones. e7 e abre -& y secierra -5 6-1, -2, -3 y - cerrados7, >allar las nuevas indicaciones.

=")@#

a7 Hi%amos como referencia de tensi(n A" U

" B B) )

"H # B# )#

$ $ $ $380 V

$ $ $ $ $220 V

3

-e la lectura del vatímetro F2, deducimos

( )2 ,F $0 380 30 cos6 , 7 cos6 , 7 0 0

ca # ca c ca c ca c U I U I U I U I = × × ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ = ±ϕ

! como)

)

30 50 o3801&0 V

30 120

caU = ∠

= ⇒ = ∠ −

"+A

"+(

"B(

"B+

"A(

"AB



-ado que la im+edancia conectada entre y B al cerrar los interru+tores - 1 y -2

G/$22%A es inductiva, la intensidad I B que circula +or la misma debe estar atrasadares+ecto a la tensi(n U BC en sus bornes un *ngulo entre 0 y 0. 4or otro lado, I B $< I C

+or lo que se deduce que

) B

B )

) B

30 50 30 120 o 30 120 30 50 = ∠ ⇒ = ∠ −= − ⇒ = ∠ − ⇒ = ∠

B

B )

inductiva y 380 0 V 180 0

30 120 y 30 50

T bc Z U = − ⇒ − < < −

⇒ = ∠ − = ∠

ϕ

4or tanto el am+erímetro B$30

+artir de los datos de la tensi(n y la intensidad, calculamos el valor de Z T y el de Z $ Z T I2$%A

380 012.59 30

30 120 $#

T

$

U Z

I

−= = = Ω

− $Z 5.3 302

T Z

Z = = Ω

"a lectura del vatímetro F1 es

1 B BF $ cos6 , 7 380 30 cos6 1&0 6 120 77 .89 \F $A $U I × × = × × − − − =

b7 l cerrar -3 y al ser equilibrada la carga trif*sica, resulta

1 1 1

220 03.9 30 3.9 1&0 y 3.9 0

5.3 30 A"

A $ #

U I I I

Z

∠= = = − ⇒ = − =

∠

4or lo que se obtiene las siguientes lecturas de los a+aratos

B ) #

1 B B

2 ) )

$ $ $3.9 , 0

F $ cos6 , 7 380 3.9 cos6 1&0 6 1&0 77 13201.2 F

F $ cos6 , 7 380 3.9 cos6 1&0 0 7 5500.5 F $A $

#A $

U I

U I

=× × = × × − − − =× × = × × − − =

c7 Kue se cierre - no afecta a la carga equilibrada y +ara la carga desequilibrada,calculamos la tensi(n que +resenta su neutro #R con res+ecto al neutro # de la línea y lacarga 1.

+licando el teorema de Yillman

1 2 3'

1 2 3

A" $" #" " "

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + ×= =

+ +0.1 20 220 0 0.059 10 220 120 0.083 &0 220 120

5.11.1 V0.1 20 0.059 10 0.083 &0

− × + × − + − ×=

− + + −

4or tanto el voltímetro V marca 5. V

4ara las intensidades que circulan +or la carga desequilibrada se obtiene



2

2

2

'

'

'

220 0 5.11.112.53 28.&

10 20

220 120 5.11.11.&3 11.8

1&10

220120 5.11.1 22.3 0.0 12 &0

A" " " A

A

$" " " $

$

#" " " #

#

U U I

Z

U U I

Z

U U I Z

− −= = = −

− − −= = = −

− −= = =

! +ara las intensidades totales

1 2

1 2

1 2

&0.39 2.52

&.82 138.0

&9.30.01

A A A

A A A

A A A

I I I

I I I

I I I

= + = −

= + = −

= + =

d7 e cierra -&. l unir los neutros de las cargas 1 y 2, ambos estarían al mismo +otencial y el con%unto de las dos cargas en +aralelo es desequilibrado. -ado que est*nen +aralelo, tendremos las siguientes cargas equivalentes +or fase

1

2

3

1 1 1 1 13. 25.2

5.3330 10 20

1 1 1 1 1.918.

5.33 30 1& 10

1 1 1 1 1.2 35.

5.3330 12 &0

A

A

$

$

#

#

Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z

= + = + ⇒ = Ω

= + = + ⇒ = Ω−

= + = + ⇒ = Ω

+licamos Yillman +ara obtener la tensi(n entre el neutro #R de la estrella equivalentey el neutro # del generador

' A A" $ $" # #"

" "

A $ #

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + ×= =

+ +1 1 1

25.2 220 0 18. 220 120 35. 220 1203. .9 .2 31.819.1& V

1 1 125.2 18. 35.

3. .9 .2

− × + − × − + − ×= =

− + − + −

4or lo que las intensidades que circulan +or la carga 1 y 2 son

1

1

1

'

'

'

2. 32.8

38.& 1&&.1

35.2 9.8

A" " " A

$" " " $

#" " " #

U U I

Z

U U I

Z

U U I

Z

−= = −

−= = −

−= =



2

2

2

'

'

'

1 22.8

15.3 11&.1

1.1 99.8

A" " " A

$" " " $

#" " " #

U U I

Z

U U I

Z U U

I Z

−= = −

−= = −

−= =

! +ara las intensidades totales, resulta

1 2

1 2

1 2

3.5 11.9

&2.1 13.&

&.& 0.

A A A

$ $ $

# # #

I I I

I I I

I I I

= + = −

= + = −

= + =

"a intensidad que circula +or el conductor que une ambos neutros viene dada +or

( )1 1 1 2 2 2

1&.1155.8 " A $ # A $ # I I I I I I I = + + = − + + =

e7 l abrir -& y cerrar -5 estamos en el caso del a+artado c con la diferencia deque adem*s de las im+edancias G1, G2 y G3.tenemos la im+edancia del neutro 23%conectada al neutro #R, +or tanto

1 2 3'

1 2 3

22.25 3.923.3 2&.3 V

1 0.9 332.&& 0.28 303.92 3%

A" $" #" " "

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + ×= = =

++ + + +! se obtiene +ara las intensidades de la carga 2 "as intensidades de la carga 1son las mismas que las calculadas en el a+artado b7

2

2

2

'

1

'

2

'

3

1. 22.

15 113.2

18.5 95

A" " " A

$" " " $

#" " " #

U U I

Z

U U I

Z

U U I

Z

−= = −

−= = −

−= =

! +ara las intensidades totales, resulta

1 2

1 2

1 2

2 2 2

&9.& 29.5

&1.& 13.3

&5 8&.

19.11.

A A A

$ $ $

# # #

" A $ #

I I I

I I I

I I I

I I I I

= + = −

= + = −

= + =

= + + =

4ara los vatímetros se obtiene

1 B B

2 ) )

F $ cos6 , 7 380 &1.& cos6 1&0 6 13.3 77 122.93 FF $ cos6 , 7 380 &5 cos6120 8&. 7 19&15.3 F

$A $

#A $

U I U I

× × = × × − − − =× × = × × − =



PROBLEMA 10:

En el circuito de la figura con tensiones de entrada a la línea equilibradas, a7 calcular intensidades y tensiones con -1 abierto sabiendo que el am+erímetro marca 23 . b7e cierra -1, calcular las intensidades y tensiones en cada consumo. c7 )om+ensar el

consumo est*tico de 1& \F en bornes del mismo +ara un factor de +otencia de 0.& ind.

=")@#

a7 Hi%amos como referencia la tensi(n de fase U AN . El diagrama fasorialcorres+ondiente de las tensiones a la entrada de la línea es

En la carga bif*sica, tenemos

)omo sabemos que el am+erímetro marca 23

"+A

"+(

"B(

"B+

"A(

"AB

I a&

I b&

I n

Z=&∠ ()º

Z=&∠ ()º

B

#



( )

# #1 1

# #

0 12023

10 50 10 50

1 1 120 500.10

10 50 10 50

n

A" $" n I a b

A"

U U I I I

Z Z

U

φ −

= = + = + = + =− −

+ − −= = = ×

− −

4or lo que obtenemos

# 230 V 230 0 V

120 230 120 V y 120 230 120 V

0n

A"

$" A" #" A"

I

U

U U U U

φ

= ⇒ == − = − = =

=

=tra forma de +lantear el +roblema

1 1

H H H H1 1

H H

0

0 120 50 50

10 50 10 10 50 10

50 50 23 010 10

a b n

A" $" a b

In

I I I

U U I I

Z Z

ϕ

+ − =

−= = = = = = −

− −⇒ + − − =

H H

H H

cos50 cos 50 23cos 0

10 10

sen50 sen50 23sen 0 sen 0 0 o 180

10 10

In

In In In In

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ − =

− − = ⇒ = ⇒ = =

HH

HH

23 100 2 cos 50 23cos 0 0 230 V

10 2 cos 50 23 10180 2 cos 50 23cos180 0 230 V im+osible

10 2 cos 50

In

In

ϕ

ϕ

×= ⇒ − = ⇒ = =

× ×= ⇒ − = ⇒ = − = −

×

4or lo tanto H0 y 230 V Inϕ = =

=btenemos a +artir de las tensiones de fase las intensidades y las tensiones de línea

1

1

230 023 50

10 50

230 120 23 50 10 50

A" a

$" b

U I

Z

U I Z

= = =−

−= = = −−

3 30 38. 30 V, 38. 0 V y 38.1&0 V A$ A" $# #AU U U U = = = − =

"a carga 2 en una carga trif*sica desequilibrada +or lo que +ara calcular las intensidadescalculamos +rimero la caída de tensi(n entre el neutro #R de la carga y el neutro # delgenerador



'

0.1 & 230 0 0.0& 30 230 120 0.059 0 230 120

0.1 & 0.0& 30 0.059 0

8.9 &.13 V

A A" $ $" # #" " "

A $ #

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + × − × + × − + ×= = =

+ + − + +

= −

2

2

2

'

'

'

230 0 8.9 &.13

19.8 2.13 10 &

230 120 8.9 &.1311.20 112.9

20 30

230120 8.9 &.1321.19 12.15

1& 0

A" " "

A

A

$" " " $

$

#" " " #

#

U U

I Z

U U I

Z

U U I

Z

− − −= = = −

− − − −= = = −

−

− − −= = =

m+edancia de línea y carga 3. "as im+edancias de línea consumen una +otenciacom+le%a que viene dada +or

/ /" "3 3 2 0 \V 5 0 \V 4 %K .5 3. %T L LS S = × = × − = − = + = −

4or lo tanto, las +otencias activa y reactiva son.5 \F

3. \Vr

T

T

L

L

P

Q

=

= −

4ara la )arga 3

3 3 3

3 3 3

2 2 2 2

3 3 3

4 1& \F, cos 0.9 &.&9

K $4 g 1& 6&.&9 7 1&.3 \Vr

$ 4 K 1& 1&.3 21.3 \V

ind

! !g

ϕ ϕ

ϕ

= = ⇒ =

× = × =

= + =

-ado que conocemos las tensiones antes de las im+edancias, a+licamos balance de +otencias +ara calcular las intensidades que circulan +or las im+edancias de línea y lacarga 3. "lamando 3" la +otencia a+arente que consumen las im+edancias de línea y lacarga 3, resulta

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3" " "3 3 "/ 3 "/

3" "3 "3

3 4 4 K K $ 1&000500 1&300<300

2259 $2259$ 3 38. 32.

3 38.

= × × ⇒ + +

⇒ × × ⇒ = =×

El desfase entre la intensidad y las tensiones de fase se +uede determinar a +artir de las

+otencias3

3

3

K 1&.3 3.arctg arctg 30.18

4 1& .5

L L

L

ϕ ++

+

−= = =

+ +or lo tanto, resulta +ara las intensidades

3 3 332. 30.18 , 32. 1&0.18 e 32. 8.82 A $ # I I I = − = − =

/ambi?n +odríamos >aber utili:ado una sola fase +ara calcular la intensidad( ) ( ) 3

J J 33 3 3

3

1& .5 % 1&.3 3. 10

3 32. 30.18230 0

32. 30.18

a aLa aL A"

A"

S S U

U

++

+ + −

= × ⇒ = = =

⇒ = −



+licando irc>>off calculamos las intensidades totales

1 2 3

1 2 3

2 3

&5.31 3.9

52.03 8.53

&1.89 103.0

A A A A

$ $ $ $

# # #

I I I I

I I I I

I I I

= + + = −

= + + = −

= + =

b7 El cerrar el interru+tor -1 no afecta a las cargas 1 y 3 +or lo que 1, B1, 3, B3 e)3 son iguales que en el a+artado anterior. 4ara la carga 2 al conectar el neutro semodifica el con%unto de im+edancias conectadas al neutro #R +or lo que a+licandoYillman, obtenemos

'

0.1 & 230 0 0.0& 30 230 120 0.059 0 230 120

0.1 & 0.0& 30 0.059 0 0.28 &5.3

38.81 1.9

A A" $ $" # #" " "

A $ # "

Y U Y U Y U U

Y Y Y Y

× + × + × − × + × − + ×= =

+ + + − + + + −

= −

2

2

2

'

'

'

230 0 38.81 1.9 1. 1.12 10 &

230 120 38.81 1.912.0 .1

20 30

230120 38.81 1.919.12&.&

1& 0

A" " " A

A

$" " " $

$

#" " " #

#

U U I Z

U U I

Z

U U I

Z

− − −= = = −

− − − −= = = −

−− − −

= = =

c7 4ara calcular los condensadores, debemos conocer la tensi(n eDistente en el +unto de coneDi(n de los mismos. +artir de la +otencia a+arente que consume la carga

3 y la intensidad, obtenemos +ara la tensi(n de línea "

R

en bornes de la carga 33 " 3 "

2130 $ 3 ' ' 395.1 V

3 32.× × ⇒ = =

×)om+ensamos el consumo est*tico con tres condensadores en tri*ngulo conectados enaR, bR y cR

3 3

3 3 3

2 2

"

cos ' 0.& ' 18.1

4 6tgU gU '7 1&0006 g&.&9 g18.1 7) 99.8 QH

3O ' 3 100 395.1

! ! !

ϕ ϕ

π

= ⇒ =− −

= = =× × × ×V

PROBLEMA 1:

En el circuito de la figura, de secuencia directa, las tensiones son equilibradas ala entrada de la línea. )alcular a7 ntensidades de línea e intensidades consumidas +or cada rece+tor. b7 4otencias activa, reactiva y a+arente suministradas +or el generador. c7)ondensadores o bobinas en estrella que >ay que colocar en +aralelo con la carga de 10\V +ara que el factor de +otencia sea 0. inductivo.



00 V

Ia

10 Vcos $0.8ϕca+acitivo

2%

a

2%

2%

b

c

∆G $3030%

Ib

Ic

Ia1 Ib1 Ic1

Ia& Ib& Ic&

1

Z1c

$1& 0Z1a

$10 &

Z1b

$20 <30

I a' I b' I c'

n 1

=")@#

a7 Hi%amos como referencia la tensi(n de fase U an entre el terminal a y el neutro ndel generador 6real o ficticio7 que suministra las tensiones equilibradas. "as tensiones delínea son "$00V +or lo que las tensiones de fase son H$230 V. El diagrama fasorialcorres+ondiente de las tensiones a la entrada de la línea es

-ado que la carga 3 es desequilibrada el con%unto de las cargas 2 y 3 y las im+edanciasde línea es desequilibrado ya que al circular +or las mismas intensidades desequilibradasdan lugar a tensiones desequilibradas en bornes de las cargas. "as dos cargas deben

+onerse en tri*ngulo +ara asociar el +aralelo de los dos y el tri*ngulo resultante +asarlo

a estrella a la que se le asocian las im+edancias de la línea, teniendo una estrella finalcon neutro a +otencial distinto al neutro del generador que suministra las tensionesequilibradas. 4or otra +arte, dado que a la entrada de la línea, +unto de coneDi(n de lacarga 1, las tensiones son equilibradas y la carga 1 tambi?n, se +uede calcular comocon%unto equilibrado en el que no influyen las cargas 2 y 3

)arga 1

11 " 1 1

"

10000 3 1.3

3 3 00= ⇒ = = =

×

! teniendo en cuenta que el f.d.+ de la carga 1 es 0.8 ca+ $Z ϕ1$ <35., y el origen de

fases elegido resulta +ara las intensidades que consume la carga 1 6que son intensidadesde fase y de línea al su+onerla en estrella7

ab

bc

ca

an bn

cn



1.3 35. ⇒ = ∠a1

I , 1.3 83.1 = ∠ −b1

I y 1.3 1&5. = ∠c1

I

/ambi?n +odríamos calcular directamente la intensidad teniendo en cuenta la ecuaci(nde la +otencia com+le%a, que +or ser un circuito equilibrado +ara la carga 1 es tres veces

la +otencia de una fase

J J 10000 35.3 1.3 35.

3 3 230 0

∠ −= ⇒ = = = ∠ −

× ∠1

1 an a1 a1

an

)) " I I

"

1.3 35. ⇒ = ∠a1

I , 1.3 83.1 = ∠ −b1

I y 1.3 1&5. = ∠c1

I

4ara la carga 2 y 34asamos la carga 3 a tri*ngulo

1 1

3 1 1

1

10 & 20 30

10 & 20 30 39.29 0.81& 0a b

ab a b

c

Z Z

Z Z Z ∆

× ∠ × ∠ −= + + = ∠ + ∠ − + = ∠ Ω∠Z

1 13 1 1

1

20 30 1& 020 30 1& 0 &&.1 .2

10 &b c

bc b c

a

Z Z Z Z

Z ∆

× ∠ − × ∠= + + = ∠ − + ∠ + = ∠ − Ω

∠Z

1 13 1 1

1

1& 0 10 &1& 0 10 & 2.19 &.&

20 30c a

ca c a

b

Z Z Z Z

Z ∆

× ∠ × ∠= + + = ∠ + ∠ + = ∠ Ω

∠ −Z

sociamos en +aralelo los dos tri*ngulos de las cargas 2 y 3

3

1 1 1 1 121.121.

39.28 0.830 2 & Tab

Tab ab

Z Z Z Z ∆ ∆

= + = + ⇒ = Ω

3

1 1 1 1 133.9 9.&&.1 .230 2 &

Tbc

Tbc bc Z Z Z Z ∆ ∆

= + = + ⇒ = Ω−

3

1 1 1 1 11&.0 &.3

2.19 &.&30 2 & Tca

Tca ca

Z Z Z Z ∆ ∆

= + = + ⇒ = Ω

4asamos el tri*ngulo resultante a estrella21.1 21. 1&.0 &.3

.83 5.921.1 21. 33.9 9. 1&.0 &.3

Tab Tcaa

Tab Tbc Tca

Z Z

Z Z Z

× ∠ × ∠= = = ∠ Ω

+ + ∠ + ∠ + ∠Z

33.9 9. 21.1 21.10.&9 .3

21.1 21. 33.9 9. 1&.0 &.3Tbc Tab

b

Tab Tbc Tca

Z Z

Z Z Z

× ∠ × ∠= = = ∠ Ω

+ + ∠ + ∠ + ∠Z

1&.0 &.3 33.9 9.9.51 33.2

21.1 21. 33.9 9. 1&.0 &.3Tca Tbc

c

Tab Tbc Tca

Z Z

Z Z Z

× ∠ × ∠= = = ∠ Ω

+ + ∠ + ∠ + ∠Z

sociamos a las im+edancias de la estrella las im+edancias de línea

2% 2 0 .83 5.9 5.3 &.0Ta a

Z Z = + = ∠ + ∠ = ∠ Ω2% 2 0 10.&9 .3 11.09 1.5Tb b Z Z = + = ∠ + ∠ = ∠ Ω2% 2 0 9.51 33.2 8.85 .1

Tc c Z Z = + = ∠ + ∠ = ∠ Ω



+licamos Yillmann entre el neutro nR de la estrella de las cargas 2 y 3 %unto con lasim+edancias de línea y el neutro n del generador +ara calcular la caída de tensi(n entreellos

'Ta an Tb bn Tb cn

n n

Ta Tb Tc

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + ×= =

+ +1 1 1

&.0 230 0 1.5 230 120 .1 230 12020. 5.85.3 11.09 8.85 50.53 20.3 V

1 1 1 0.3& .&&.0 1.5 .1

5.3 11.09 8.85

− × + − × − + − × −= = = −

−− + − + −

4or lo que las intensidades que circulan +or las im+edancias de línea y el con%unto de lascargas 2 y 3 son

'

'

'

29.12 &2.1

22.35 1&3.5

31.&383.

an n na

Ta

bn n nb

Tb

cn n nc

Tc

U U I

Z

U U I

Z U U

I Z

−= = −

−= = −

−= =

"as intensidades totales a la entrada de la línea son la suma de las intensidades delcon%unto de las cargas 2 y 3 a la que >ay que sumar las de la carga 1

1 1.3 35.29.12 &2.1$ 30. 2.3 Ta a a

I I I = + = − −

11.3 83.122.35 1&3.5$ 30.3 129.0

Tb b b I I I = + = − − −

1 1.31&5.31.&383.$ 38.3210&.0 Tc c c I I I = + =

4ara calcular las intensidades de los consumos 2 y 3, es necesario determinar lastensiones en bornes de las cargas 2 y 3. -es>aciendo la estrella total en las im+edanciasde línea y la estrella resultante de las dos cargas, denominando los +untos de coneDi(nde ambas cargas como aR, bR y cR, a+licando irc>>off, resulta

a ' ' b ' ' a b2% 2% 0 2% 2 %

00 30 2 0 29.12 &2.1 2 0 22.35 1&3.5 353.3 28. V

ab a b a b ab− + × + − × = ⇒ = − × + × =

∠ − ∠ × ∠ − + ∠ × ∠ − = ∠" " " "

b ' ' c ' ' b c2% 2 % 0 2% 2 %

00 0 2 0 22.35 1&3.5 2 0 31.&3 83. 3&.5 102.& V

bc b c b c bc− + × + − × = ⇒ = − × + × =

∠ − − ∠ × ∠ − + ∠ × ∠ = ∠ −

" " " "

c ' ' a ' ' c a2% 2 % 0 2% 2 %

00 1&0 2 0 31.&3 83. 2 0 29.12 &2.1 391.2 133.0 Vca c a c a ca− + × + − × = ⇒ = − × + × =∠ − ∠ × ∠ + ∠ × ∠ − = ∠

" " " "

+artir de las tensiones en bornes de las cargas calculamos las intensidades de fase enlos tri*ngulos de las cargas)arga 2

' '2

353.3 28.8.&5 15.5

30 2 &a b

ab

U I

Z ∆= = = −

' '2 3&.5 102.& 8.8 19.&

30 2 &b c

bc U I Z ∆

−= = = −



' '2

391.2133.08.9& 88.0

30 2 &

c aca

U I

Z ∆= = =

)arga 3

' '3

3

353.3 28..9& 29.5 39.29 0.8

a bab

ab

U I Z ∆

= = =

' '3

3

3&.5 102.&5.3 &8.3

&&.1 .2b c

bc

bc

U I

Z ∆

−= = = −

−

' '3

3

391.2133.01&.3 89.&

2.19 &.&c a

ca

ab

U I

Z ∆

= = =

! +ara las intensidades de línea que llegan a las cargas 2 y 3, resulta a+licandoirc>>off a cada nudo de las cargas

)arga 22 2 2

8.&5 15.5<8.9&88.0$ 13.90 &.8 a ab ca

I I I = − = − −

2 2 2 8.8 19.&<8.&5 15.5$ 1&.&0 192.2 b bc ab

I I I = − = − − −

2 2 2 8.9&88.0<8.8 19.&$ 1&.2& 50.9 c ca bc I I I = − = −

)arga 3

3 3 3 .9& 29.5<1&.3 89.&$ 13.3 &3.5 a ab ca

I I I = − = −

3 3 3 5.3 &8.3<.9& 29.5$ 11.2 119.8 b bc ab I I I = − = − −

3 3 3 1&.3 89.&<5.3 &8.3$ 20.9 9. c ca bc

I I I = − = −

b7 4ara el c*lculo de +otencias suministradas +or el generador, utili:amos el c*lculode la +otencia com+le%a +ara cada fase

J

a a

J

b b

J

c c

4 %K 230 0 30. 2.3 9115 2.3 $585228%

4 %K 230 120 30.3129.0 50 9.0 $5388&2%

4 %K 230120 38.32 10&.0 8811&.0 $8&12281%

a an Ta

b bn Tb

c cn Tc

S U I

S U I

S U I

= × = = × =

= × = = − × =

= × = = × − =

"as +otencias totales son

/ /

/ / /

4 %K 2138 5051% 22950 1&. V4 2138 F, K 5051 Vr y 22950 V

T a b cS S S S = + + = = + == = =

c7 -ado que conocemos la tensi(n en bornes de la carga 1 a com+ensar,dis+onemos de los datos necesarios +ara el c*lculo de los elementos necesarios +araobtener del con%unto de la carga 1 m*s los elementos com+ensadores un factor de

+otencia 0. inductivo. En +rimer lugar, la carga +resenta un f.d.+. 0.8 ca+, +or lo que +ara obtener un nuevo f.d.+. 0. ind. es necesario colocar bobinas como elementoscom+ensadores



1 1

1 1

cos 0.8 ca+ 35.89

cos ' 0. ind ' 2&.8

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= ⇒ = −= ⇒ =

i denominamos +or K1 la +otencia reactiva que consume la carga 1 y +or K1R la +otencia reactiva consumida +or la carga 1 mas las bobinas, a +artir del tri*ngulo de +otencias, determinamos la +otencia reactiva K" que deben consumir las bobinas

' '

1 1 1 1 1K K <K 4 6tgU gU 7 100006tg2&.8 tg6 35.89 7 1233 V L ! = = − = − − =

4or otra +arte, +odemos +oner K" en funci(n de la reactancia de las 3 bobinas. isu+onemos que se colocan en tri*ngulo, so+ortan en bornes la tensi(n de línea, +or loque se obtiene +ara la inductancia "∆ de cada bobina

2 22 " "

" " "

"

2 2

"

"

K 1233 V$<3B 3 3

AO"

3 3 00" 12 mC

OK 100 1233π

∆

∆

= = = ⇒

×= = =

×

PROBLEMA 12:

En el circuito de la figura, de secuencia directa, las tensiones son equilibradas ala entrada de la línea. )alcular a7 ntensidades de línea e intensidades consumidas +or cada rece+tor. b7 4otencias activa, reactiva y a+arente suministradas +or el generador.

00 V

Ia

2%

a

2%

2%

b

c

∆G $3030%

Ib

Ic

Ia& Ib& Ic&

Z1c

$10 0Z1a

$20 0

Z1b

$20 0

Ia' Ib' Ic'

n 1

=")@#

a7 -ado que la carga 2 es desequilibrada el con%unto de las cargas y lasim+edancias de línea es desequilibrado ya que al circular +or las mismas intensidadesdesequilibradas dan lugar a tensiones desequilibradas en bornes de las cargas. "as doscargas deben +onerse en tri*ngulo +ara asociar el +aralelo de los dos y el tri*nguloresultante +asarlo a estrella a la que se le asocian las im+edancias de la línea, teniendouna estrella final con neutro a +otencial distinto al neutro del generador que suministralas tensiones equilibradas

4asamos la carga 2 a tri*ngulo



1 11 1

1

20 0 20 020 0 20 0 80 0

10 0a b

ab a b

c

Z Z Z Z

Z ∆

× ∠ × ∠= + + = ∠ + ∠ + = ∠ Ω

∠&Z

1 11 1

1

20 0 10 020 0 10 0 0 0

20 0b c

bc b c

a

Z Z Z Z

Z ∆

× ∠ × ∠= + + = ∠ + ∠ + = ∠ Ω

∠&Z

1 11 1

1

10 0 20 010 0 20 0 0 020 0

c aca c a

b

Z Z Z Z Z

∆ × ∠ × ∠= + + = ∠ + ∠ + = ∠ Ω∠&

Z

sociamos en +aralelo los dos tri*ngulos

2

1 1 1 1 12.8 2.9

80 030 2 & Tab

Tab ab

Z Z Z Z ∆ ∆

= + = + ⇒ = Ω

2

1 1 1 1 122.3 21.80

0 030 2 & Tbc

Tbc bc

Z Z Z Z ∆ ∆

= + = + ⇒ = Ω

2

1 1 1 1 122.3 21.80

0 030 2 & Tca

Tca ca

Z Z Z Z ∆ ∆

= + = + ⇒ = Ω

4asamos el tri*ngulo resultante a estrella2.8 2.9 22.3 21.8

8.& 25.&5.8 2.9 22.3 21.8 22.3 21.8

Tab Tbca

Tab Tbc Tca

Z Z

Z Z Z

× ∠ × ∠= = = ∠ Ω

+ + ∠ + ∠ + ∠Z

22.3 21.8 2.8 2.98.& 25.&5

.8 2.9 22.3 21.8 22.3 21.8Tbc Tab

b

Tab Tbc Tca

Z Z

Z Z Z

× ∠ × ∠= = = ∠ Ω

+ + ∠ + ∠ + ∠Z

22.3 21.8 22.3 21.85.90 18.52

.8 2.9 22.3 21.8 22.3 21.8Tca Tbc

c

Tab Tbc Tca

Z Z

Z Z Z

× ∠ × ∠= = = ∠ Ω

+ + ∠ + ∠ + ∠Z

sociamos a las im+edancias de la estrella las im+edancias de línea

2% 2 0 8.& 25.&5 10 35.85Ta a Z Z = + = ∠ + ∠ = ∠ Ω

2% 2 0 8.& 25.&5 10 35.85Tb b

Z Z = + = ∠ + ∠ = ∠ Ω2% 2 0 5.90 18.52 9.5 33.1Tc c

Z Z = + = ∠ + ∠ = ∠ Ω

Hi%amos como referencia la tensi(n de fase U an entre el terminal a y el neutro n delgenerador 6real o ficticio7 que suministra las tensiones equilibradas. "as tensiones delínea son "$00V +or lo que las tensiones de fase son H$230 V. El diagrama fasorialcorres+ondiente de las tensiones a la entrada de la línea es

ab

bc

ca

an

bn

cn



+licamos Yillmann entre el neutro nR de la estrella y el neutro n del generador +aracalcular la caída de tensi(n entre ellos

'Ta an Tb bn Tb cn

n n

Ta Tb Tc

Y U Y U Y U U

Y Y Y

× + × + ×= =

+ +1 1 1

35.85 230 0 35.85 230 120 33.1 2301209.9 8.&&10 10 9.5 22.&133. V

1 1 1 0.331 3&.3935.85 35.85 33.1

10 10 9.5

− × + − × − + − ×= = =

−− + − + −

4or lo que las intensidades que circulan +or la línea y el con%unto de las cargas 1 y 2son

'

'

'

2.5 0.5

23.9 1&1.5

29. 8&.

an n na

Ta

bn n nb

Tb

cn n nc

Tc

U U I

Z

U U I

Z U U

I Z

−= = −

−= = −

−= =

4ara calcular las intensidades de cada consumo, es necesario determinar las tensiones en bornes de las cargas 1 y 2. -es>aciendo la estrella total en las im+edancias de línea y laestrella resultante de las dos cargas, denominando los +untos de coneDi(n de ambascargas como aR, bR y cR, a+licando irc>>off, resulta

a ' ' b ' ' a b2% 2% 0 2% 2 %

00 30 2 0 2.5 0.5 2 0 23.9 1&1.5 3&8.0 1.9 V

ab a b a b ab− + × + − × = ⇒ = − × + × =

∠ − ∠ × ∠ − + ∠ × ∠ − = ∠

" " " "

b ' ' c ' ' b c2% 2 % 0 2% 2 %

00 0 2 0 23.9 1&1.5 2 0 29. 8&. 352.2 102.3 V

bc b c b c bc− + × + − × = ⇒ = − × + × =

∠ − − ∠ × ∠ − + ∠ × ∠ = ∠ −" " " "

c ' ' a ' ' c a2% 2% 0 2 % 2 %

00 1&0 2 0 29. 8&. 2 0 2.5 0.5 38. 138.1 V

ca c a c a ca− + × + − × = ⇒ = − × + × =

∠ − ∠ × ∠ + ∠ × ∠ − = ∠" " " "

+artir de las tensiones en bornes de las cargas calculamos las intensidades de fase enlos tri*ngulos de las cargas

)arga 1' '

1

3&8.01.98. 2&.3

30 2 &

a bab

U I

Z ∆= = = −

' '1

352.2 102.38.& 19.3

30 2 &

b cbc

U I

Z ∆

−= = = −

' '1

38.138.18.22 3.1

30 2 &c a

ca

U I

Z ∆= = =

)arga 2

' '2

2

3&8.01.9 .81.9 80 0

a bab

ab

U I Z ∆

= = =



' '2

2

352.2 102.3.05 102.3

0 0b c

bc

bc

U I

Z ∆

−= = = −

' '2

2

38.138.18.92138.1

0 0

c aca

ca

U I

Z ∆= = =

! +ara las intensidades de línea que llegan a las cargas , resulta a+licando irc>>off acada nudo de las cargas)arga 1

1 1 1 8. 2&.3<8.22 3.1$ 1.31 &&.9 a ab ca I I I = − = − −

1 1 1 8.& 19.3<8. 2&.3$ 1.8& 195.1 b bc ab

I I I = − = − − −

1 1 1 8.22 3.1<8.& 19.3$ 1. 52.3 c ca bc I I I = − = −

)arga 2

2 2 2.81.9<8.92138.1$ 11.& 21.

a ab ca I I I = − = −

2 2 2 .05 102.3<.81.9$ 12.0& 120.9 b bc ab I I I = − = − −

2 2 2 8.92138.1<.05 102.3$ 1&.39109.3 c ca bc

I I I = − = −

b7 4ara el c*lculo de +otencias suministradas +or el generador, utili:amos el c*lculode la +otencia com+le%a +ara cada fase

J

a a

J

b b

J

c c

4 %K 230 0 2.5 0.5 &5&8 0.5 $253582%

4 %K 230 120 23.91&1.5 &&131.5 $5328&5%

4 %K 230120 29. 8&. 5302 3.5 $&1893&9%

a an a

b bn b

c cn c

S U I

S U I

S U I

= × = = × =

= × = = − × =

= × = = × − =

"as +otencias totales son

/ /

/ / /

4 %K 1125 10119 % 1939& 3&.5 V

4 1125 F, K 10119 Vr y 1939& VT a b cS S S S = + + = = + =

= = =

PROBLEMA 14:

En el circuito de la figura, de secuencia directa, las tensiones son equilibradas ala entrada de la línea 6"$380 V7.

a7 =btener las intensidades de línea e intensidades consumidas +or cadarece+tor +ara -1 y -2 abiertos.

b7 e cierra -2; obtener tensiones e intensidades en bornes de las cargas.c7 e cierra -1 6-2 tambi?n cerrado7; obtener los nuevos valores de tensiones eintensidades.d7 )om+ensar la carga de 10 \F en bornes de la misma +ara un factor de

+otencia 0. inductivo.



=")@#

a7 Hi%amos como referencia la tensi(n de fase U AN . El diagrama fasorialcorres+ondiente de las tensiones a la entrada de la línea es

4or lo que tenemos

" 3800 0 220 0 V, 230 120 V y 230120 V

3 3

380 30 V 380 0 V y 3801&0 V

A" $" #"

A$ $# #A

U U U

U U U

= = = = − =

= = − =

"a carga 1 es desequilibrada. +licamos Yillman +ara obtener la caída de tensi(n entreel neutro de la carga y el neutro del generador y una ve: conocida, obtenemos lasintensidades

1 2 3

'1 2 3

0.2 30 220 0 0.159 20 220 120 0.333 0 220 120

0.2 30 0.159 20 0.333 0

9.113310.83135.9 V

0.55& 3.9

A" $" #"

" "

Y U Y U Y U

U Y Y Y

× + × + × − × + × − + ×

= = =+ + − + +

= =−

1

1

1

'

1

'

2

'

3

220 0 10.83135.9&.5 31.

& 30

220 120 10.83135.939.1 9.3

5 20

220120 10.83135.9

5.11.1 3 0

A" " " A

$" " " $

#" " "

#

U U I

Z

U U I

Z

U U

I Z

− −= = = −

− − −= = = −

−

− −

= = =

"+A

"+(

"B(

"B+

"A(

"AB



4ara la carga 2 equilibrada 2 $5 \V y 2cos 0.8 ca+ϕ = , +or lo tanto se deduce que

2 2 2 2 2 2 235. 4 $ cos .8 \F y K $ sen 3.5 \Vr ϕ ϕ ϕ = − ⇒ × = × = −

2 " 2 2 2 2

5000 3 $5000$ 3 380 .12

3 380= × × ⇒ × × ⇒ = =

×

/eniendo en cuenta el *ngulo de la carga, resulta +ara las intensidades2 2 2

.12 35. , .12 83.1 e .121&5. A $ # I I I = = − =

/ambi?n +odríamos >aber utili:ado una sola fase +ara calcular la intensidad3

J J 22 2 2

2

5 10 35.

3 .135.220 0

.1 35.

aa A"

A"

S S U

U

× −

= × ⇒ = = =

⇒ = −

b7 e cierra el interru+tor -2. )onocemos las tensiones en bornes de las

im+edancias de línea. e+resentando una sola fase

"as +otencias consumidas +or la im+edancia de línea se +ueden eD+resar como

2 2 2 2

" 3 3 " 3 34 $ 2 K $A 2= = −

! +ara la carga 3

3 3 3 3 34 $10 \F , cos $0.909 ind $&, K $10 \Vr y 1.1 \Vϕ ϕ ⇒ =

4lanteando un balance de +otencias +ara la fase a, resulta2 22 2 3 3

2 23 33" # 3 " " 3 34 K 10 10 10 10 4 K $ 2 <2

3 3 3 3 × × = × ⇒ + + ÷ ÷ ÷ ÷

2 23 3

2 2 2 22 2 2

3" # 3 3 3 3

2 28 82 2 3 3

3 3 3

8 2 2

3 3

10 10 10 10 $230 2 <2

3 3

10 10 10 10220

3 3

108 2 220

× ×= × × = + ÷ ÷

× ×

× = + + + − ⇒

+ = ×

Caciendo 32$ *, resulta

2<2%4

3I3

K3I3

#

3



82

82

2 10800 800 8

10 800 031.28 800 2 0

2 8 15

×± − × ×

±− + = ⇒ = =

×

3

&00.&& 22.39 800 031.2

&&.& 9.& 15 A

I ±

= = ⇒ = =

mbos valores son +osibles. #o obstante se o+ta +or el valor inferior ya que el segundoim+licaría un consumo en la im+edancia de línea muy su+erior al de la carga y unacaída de tensi(n en la carga muy ale%ada del valor nominal de alimentaci(n, situaci(nque no es la >abitual en la eD+lotaci(n de los circuitos el?ctricos. na ve: conocida laintensidad de la carga 3, determinamos sus *ngulos a +artir de las +otencias

2 2 2 2 2 2

" 3 3 " 3 34 $ 2 $2 22.39 $1000.83 F y K $A 2 2 22.39 1000.83 Vr = × = − − × = −

3"

3" 3"3

"

K 10000K 1000.83

3 3tg 0.&38 28.34 100001000.834

33

ϕ ϕ

+ −⇒ = = = ⇒ =

++

4or lo tanto resulta

3 3 322.39 28.3 , 22.39 18.3 e 22.39 1.9

A $ # I I I = − = − =

4odemos a+licar tambi?n el balance de +otencias en bornes de la carga 3 +ara conocer latensi(n en sus bornes

c7 l cerrar -1 no afecta a la carga 2 y 3 +or lo que las intensidades que circulan +or estas cargas son las mismas que las calculadas en los a+artados a y b. "a im+edanciadel neutro conectada a>ora al neutro de la carga 1 afecta a la caída de tensi(n entre elneutro #R de la carga y el neutro # del generador. 4ara conocer las intensidades de lacarga 1 debemos determinar la caída de tensi(n entre neutros

1 2 3'

1 2 3

0.2 30 220 0 0.159 20 220 120 0.333 0 220 120

0.2 30 0.159 20 0.333 0 0.299 33.9

9.1133

9.851&. V0.1& 12.

A" $" #" " "

"

Y U Y U Y U U

Y Y Y Y

× + × + × − × + × − + ×= = =

+ + + − + + + −

= =−

1

1

1

'

1

'

2

'

3

220 0 9.851&.&.3 31.1

&30

220 120 9.851&.35.8 8.0

5 20

220120 9.851&.90.011.0

3 0

A" " " A

$" " " $

#" " " #

U U I

Z

U U I

Z

U U I

Z

− −= = = −

− − −= = = −

−− −

= = =

d7 4ara calcular los condensares de com+ensaci(n en bornes de la carga 3, debemos

conocer la tensi(n eDistente en el +unto de coneDi(n de los mismos. +artir de la



+otencia a+arente que consume la carga 3 y la intensidad, obtenemos +ara la tensi(n delínea "

R en bornes de la carga 3

3 " 3 "

10000 2 $ 3 ' ' 35&.0 V

3 22.39× × ⇒ = =

×)om+ensamos el consumo est*tico con tres condensadores en tri*ngulo conectados enaR, bR y cR

3 3

3 3 3

2 2

"

cos ' 0. ' 2&.8

4 6tgU gU '7 100006 g& g2&.8 7) 1.1 QH

3O ' 3 100 35&

! ! !

ϕ ϕ

π

= ⇒ =− −

= = =× × × ×V

enunciado problemas trifasica y soluciones-1 (1)

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