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선형대수학의 개요 Introduction to Linear Algebra
Keon M. Lee
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선형대수학
선형대수학 학습의 필요성
선형대수학의 응용사례
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선형대수학
선형 대수학 (linear algebra, 線型 代數學) 벡터공간(vector space), 벡터공간 사이의 선형 변환(linear mapping)을 다루는 수학 분야
– 행렬, 벡터, 선형결합, 행렬연산, 행렬식(determinant), 역행렬, 벡터 공간, 부공간(subspace), 대칭행렬, 기저(basis)벡터, 좌표계, 계수(rank), 선형변환, 직교변환, 좌표계 변환, 행렬분해, 이차형식
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선형대수학(線型 代數學)
선형 방정식 (linear equation) 변수(미지수)간의 관계가 1차방정식으로 표현
선형 변환 (linear mapping, linear transformation)
벡터공간 간의 변환이 선형 방정식으로 표현
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선형대수학
행렬 行列 matrix /matrices 수, 기호, 수식을 행(row)과 열(column)이 있는 사각형 배열에 나타낸 것
row (행)
column (열)
column vector 열벡터
row vector 행벡터
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선형대수학 학습의 필요성
데이터 표현 많은 데이터가 행렬을 통해 자연스럽게 표현 정형 데이터, 비정형 데이터
데이터 변환
다른 벡터 공간을 사용한 데이터 표현 좌표계 변환 코딩 변환 차원변환 : 차원축소
데이터처리
분석정보 획득 특징추출 - 행렬 분해
수학적 기술의 편의성
명확하고 간결한 표현
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선형대수학의 응용
정형화된 데이터 표현 행렬 표현 및 행렬 연산
• 데이터의 표현 및 필요정보 추출
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선형대수학의 응용
통계학적 데이터의 표현 및 분석 통계학적 이론 전개의 기초
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선형대수학의 응용
이미지 처리(image processing) 이미지 자체가 2차원 행렬로 표현 다양한 이미지처리 작업이 행렬에 대한 처리
Image source: http://www.mathworks.co.kr/kr/help/images/image-types-in-the-toolbox.html
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선형대수학의 응용
문서 데이터 표현 비정형 데이터의 행렬 표현
Image source: http://mlg.postech.ac.kr/research/nmf.html
documents term-document matrix
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선형대수학의 응용
그래프 데이터의 표현
Königsberg 다리
인접행렬
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선형대수학의 응용
네트워크 데이터 표현 소셜 네트워크(social network)
Image source: http://www.smartinsights.com/social-media-marketing/social-media-analytics/reporting-on-social-media-marketing-effectiveness/attachment/nt-social-network-big/
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선형대수학의 응용
네트워크 데이터 표현 웹페이지의 중요도 : PageRank
http://en.wikipedia.org/wiki/PageRank
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선형대수학의 응용
컴퓨터 그래픽의 모델 변환 데이터에 의한 물체의 모델을 통해 이미지 생성 모델의 변환
Image source: http://www.vrarchitect.net/anu/cg/Transformation/translations.en.html
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선형대수학의 응용
좌표계 변환 컴퓨터 그래픽스에서 카메라 위치 및 방향 변환
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선형대수학의 응용
로보틱스 (robotics) 운동학(Kinematics)
Puma 560
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선형대수학의 응용
데이터 변환 : 코딩 (coding) Fourier 변환
• 시간 또는 공간 데이터를 주파수 공간에 표현 • 벡터공간의 선형변환 : 기저(basis) 변환 • 함수 f(x)를 eiwx를 기저로 하는 벡터공간에서 표현
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선형대수학의 응용
차원축소(Dimensionality reduction) 고차원의 데이터를 저차원으로 변환하는 것
Image source : http://www.nlpca.org/fig_pca_principal_component_analysis.png
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선형대수학의 응용
공학적 연산의 효과적 표현 Kalman Filter : 동적으로 변하는 시스템의 상태를 확률적으로 추정하는 기법
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선형대수학의 응용
연립방정식
선형계획법(linear programming)
주어진 선형 조건들을 만족시키면서 선형인 목적 함수를 최적화하는 문제 스케줄링(scheduling), 물류계획(logistics) 문제
Image source: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24816-plotfeasible-m
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선형대수학의 응용
네트워크의 흐름 분석
전기회로 분석
Image source: 선형대수학, 김대수
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선형대수학의 응용
경제학 경제 수리 모델 : Leontief 입출력 모델
• 경제에서 생산량, 중간 수요량, 최종 수요량의 관계 모델
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Summary
선형대수학은 벡터공간(vector space), 벡터공간 사이의 선형 변환(linear mapping)을 다루는 학문이다.
선형대수학은 데이터의 표현, 분석 및 변환에서 많이 활용되고 있으며, 수학적 기술의 편리함 때문에 많이 사용되고 있다.
선형대수학적 기법은 많은 공학, 과학 분야의 기반 도구로 활용되고 있다.