Teori Dasar Fungsi

Julan HERNADI1

Program Studi Pendidikan MatematikaUniversitas Muhammadiyah, Ponorogo

December 27, 2012

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

PENGERTIAN DASAR

De�nition

Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A→ B adalahaturan pengawanan (pemetaan) di mana setiap anggota A mempunyai tepat satupasangan anggota B. Himpunan A disebut domain, B disebut kodomain, danhimpunan f (A) := {y ∈ B|y = f (x), x ∈ A}disebut range fungsi f , kadang ditulis Rf .Bila f (a) = b maka b disebut bayangan (image) dari a, a disebut pre-image dari b.Untuk E ⊆ A, himpunan f (E) := {y ∈ B|y = f (x), x ∈ E} disebut image dari E .

Bahan Diskusi:

Misalkan A= {a,b,c} dan B = {1,2,3}.

1 Susunlah semua pemetaan yang merupakan fungsi.

2 Susunlah semua pemetaan yang bukan merupakan fungsi.

Sajikan konstruksi Anda dengan diagram!

Misalkan A= {a,b,c,d ,e} dan B = {1,2,3,4}. Dide�nisikanf (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 4, f (d) = 1, f (e) = 1.

1 Tentukan range fungsi f . Apakah range dan kodomainnya sama ?

2 Tentukan image himpunan S = {b,c,d}.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Fungsi dalam Narasi

1 Apakah pemetaan f yang mengawankan himpunan semua string-bit ke integermerupakan fungsi atau bukan?

1 f (S) adalah posisi bit 0 pada string-bit S2 f (S) adalah banyaknya bit 1 pada S .3 f (S) adalah integer terkecil i sehingga bit ke-i pada S adalah 1.4 f (S) adalah banyaknya bit 0 pada posisi genap.

2 Temukan domain dan range fungsi berikut

1 Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke digit terakhirnya.2 Fungsi yang mengawankan setiap bit-string ke banyaknya bit 1 dalam

string tersebut3 Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke bilangan kuadrat

terbesar yang tidak melebihi bilangan tersebut4 Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terkecil

yang tidak kurang dari bilangan real terebut.5 Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terbesar

yang tidak melebihi bilangan real tersebut.6 Fungsi yang mengawankan setiap pasangan bilangan real ke nilai

maksimumnya.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Operasi Aljabar Fungsi

De�nition

Misalkan f1 dan f2 fungsi dari A ke B. Fungsi f1+ f2 dan f1f2 dari A ke B dide�nisikansebagai (f1+ f2)(x) := f1(x)+ f2(x) dan (f1f2)(x) = f1(x)f2(x). Pembagian dua fungsi

dide�nikan sebagai(fg

)(x) := f (x)

g(x) asalkan g(x) 6= 0.

Example

Misalkan f ,g : R→ R dengan f (x) = x2+1 dan g(x) = 1+x−x2.

1 Tentukan formula untuk f +g dan fg

2 Tentukan Rf ,Rg , Rfg dan Rf+g .

3 Tentukan fg dan R f

g.

Penyelesaian:

1 (f +g)(x) = x2+1+(1+x−x2) = 2+x ,(fg)(x) = (x2+1)(1+x−x2) = 1+x+x3−x4.

2 Rf = {y |y ≥ 1},Rf+g = {y |−∞ < y < ∞}.Berikan alasan mengapa bisa demikian.Lanjutkan pertanyaan berikutnya.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Fungsi Monoton

Fungsi monoton terbagi dua, yaitu monoton naik atau naik saja dan monoton turunatau turun saja.

De�nition

Fungsi f : A→ R dikatakan naik tegas jika ia memenuhi pernyataan berikut

∀x ,y ∈ A [x < y → f (x)< f (y)]

Fungsi f dikatakan turun tegas jika pernyataan berikut TRUE

∀x ,y ∈ A [x < y → f (x)> f (y)] .

Sebuah fungsi yang bersifat f (x) = C ,∀x ∈ A disebut fungsi konstan. Pada fungsikonstan berlaku ∀x ,y ∈ A, f (x) = f (y).

Example

Identi�kasilah sifat monoton fungsi berikut pada domain R.

1 f (x) := x2

2 f (x) := 1−x23 f (x) := x+14 f (x) :=−x

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Fungsi Injektif dan Surjektif

De�nition

Sebuah fungsi f : A→ B dikatakan satu-satu atau injektif jika pernyataan berikutberlaku:

∀x ,y ∈ A [f (x) = f (y)→ x = y ] .

Dikatakan kepada atau surjektif jika pernyataan berikut TRUE:

∀y ∈ B,∃x ∈ A sehingga f (x) = y .

Fungsi yang surjektif dan injektif disebut bijektif.

Fungsi injektif tidak terjadi percabangan. Sedangkan pada fungsi surjektif, semuaelemen pada domain habis terpasang.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Surjektif dan Injektif lanj...

Bahan diskusi

Selidikah sifat surjektif dan injektif fungsi berikut

1 f (x) = x2 dari Z ke Z.2 f (x) = x+1 dari R ke R.3 Fungsi f : {a,b,c,d}→ {1,2,3} yang dide�nisikan sebagai

f (a) = 3, f (b) = 2, f (c) = 1 dan f (d) = 3.

4 f (x) = |x | dari R ke R.5 f (n) = n3 dari Z ke Z.6 f (m,n) =m2−n dari Z×Z ke Z.7 f (m,n) = |n| dari Z×Z ke Z.8 f (m,n) = |m|− |n| dari Z×Z ke Z.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Fungsi Identitas dan Fungsi Invers

De�nition

Fungsi identitas adalah fungsi iA : A→ A di mana iA(x) = x untuk setiap x ∈ A.Untuk fungsi bijektif f : A→ B kita selalu dapat membaliknya dengan mende�nisikanfungsi f −1 : B → A

b = f (a)←→ f −1(a) = b (*)

Fungsi f −1 yang memenuhi (*) disebut invers dari fungsi f . Fungsi f dikatakaninvertibel jika ia mempunyai invers. Jadi fungsi bijektif adalah invertibel.

a = f-1(b) a = f-1(b)

A Bf

f-1

Bila f fungsi invertibel pada A maka berlaku f (f −1(x)) = f −(f (x)) = iA(x) = x .Buktikan!

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Bahan Diskusi Fungsi Invers...

Selidikilah apakah fungsi berikut invertibel. Bila tidak invertibel, berikan alasannya.Bila invertibel, tentukan fungsi inversnya.

1 f : {a,b,c}→ {1,2,3} di mana f (a) = 2, f (b) = 3 dan f (3) = 1.

2 f (x) = x+1 dari dari Z ke Z.3 f (x) = x−1

x+2 dari R\{−2} ke R.

4 f (x) = x2 dari Z ke Z.5 f (x) = x2+1

x2+2dari R ke R.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Komposisi Fungsi

Misalkan g : A→ B, f : B → C . Komposisi fungsi f dan g , ditulis f ◦g adalah fungsidari A ke C yang dide�nisikan sebagai

(f ◦g)(x) = f (g(x)) . (#)

Syarat agar fungsi f ◦g terde�nisi sebagai fungsi maka haruslah Rg ⊆ B.

f

A B C

gf

g f

Berdasarkan sifat sebelumnya diperoleh f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = iA sebuah fungsi identitaspada A.

Bahan Diskusi:Misalkan f dan g fungsi dari R ke R di mana f (x) = x2+1 dan g(x) = x−2.Temukan formula untuk kombinasi fungsi berikut

1 f ◦g dan g ◦ f . Apakah f ◦g = g ◦ f .2 f +g dan fg .

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Fungsi Pembulatan

1 Fungsi lantai (�ooring): bxc :=bilangan bulat terbesar yang kurang dari atausama dengan x .

2 Fungsi plafon (ceiling): dxe :=bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau samadengan x .

3 Fungsi pembulatan (rounding): [x] :=bilangan bulat terdekat dari x .

Example

b1.2c= 1, b0.7c= 0, b−0.5c=−1, b3c= 3. d1.2e= 2, d0.7e= 1, d−0.5e= 0, d3e= 3.[1.2] = 1, [0.7] = 1, [−0.5] =−1, [3] = 3.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

ceiling flooringrounding

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Sifat-sifat Fungsi Pembulatan

1 Misalkan n ∈ Z dan x ∈ R. Maka berlaku

1 bxc= n jika dan hanya jika n ≤ x < n+12 dxe= n jika dan hanya jika n−1< x ≤ n3 bxc= n jika dan hanya jika x−1< n ≤ x4 dxe= n jika dan hanya jika x ≤ n < x+1.

2 Untuk setiap x ∈ R, berlaku x−1< bxc ≤ x ≤ dxe< x+1.

3 Untuk setiap x ∈ R, beralku b−xc=−dxe dan d−xe=−bxc.4 Untuk n ∈ Z dan x ∈ R, berlaku

1 bx+nc= bxc+n2 dx+ne= dxe+n.

Bukti 4:

1 Misalkan bxc=m. Dengan sifat 1(1) berlaku m ≤ x < n+1. Tambahkan ketigaruas dengan n diperoleh (m+n)≤ x+n < (m+n)+1. Dengan sifat yang sama(kebalikannya), diperoleh bx+nc=m+n= bxc+n.

2 Misalkan dxe=m. Dengan sifat 1(2) berlakum−1< x ≤m→ (m+n)−1< x+n ≤ (m+n). Dengan sifat yang sama(kebalikannya), disimpulkan dx+ne=m+n= dxe+n.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi

Bahan Diskusi Fungsi Pembulatan

1 Apakah berlaku bx+yc= bxc+ byc. Bila tidak, berikan contoh pengingkarnya.

2 Buktikan berlaku b2xc= bxc+⌊x+ 1

2

⌋.

3 Diberikan himpunan S = {−1,0,2,4,6}. Temukan f (S) jika

1 f (x) = dx/3e2 f (x) =

⌊x2+32

⌋3 f (x) =

⌊x3

⌋+⌈x3

⌉4 Gambarkan gra�k fungsi pembulatan berikut pada domain −5≤ x ≤ 5.

1 f (x) = d2x+1e2 f (x) = bxc+ dx/2e3 f (x) = dx/2ebx/2c4 f (x) =

⌊2dx/2e+ 1

2

⌋.

Soal-soal yang dipecahkan: hal 108 - 111.

Julan HERNADI Teori Dasar Fungsi