epanalhptika genikhs paideias

- 1 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 3399



Το γκράφιτι στο εξώφυλλο µε τον Αϊνστάιν και τον Καραθεωδορή βρίσκεται στην Ιερά Οδό αριθµός 23 σε παρκινγκ στον

Κεραµικό ,από µια ιδέα που προέκυψε από το TEDx Athens, και υλοποιήθηκε µε τη βοήθεια του οργανισµού designwars και

του street artist ino

ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΔΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ



Oδηγίες επανάληψης προς ναυτιλλοµένους στα µαθηµατικά γενικής παιδείας !! • Προσοχή στην εύρεση µέγιστης και ελάχιστης τιµής του ρυθµού µεταβολής συνάρτησης f(x) ή του συντελεστή διεύθυνσης εφαπτοµένης, όπου πρέπει να εξετάσουµε τη δεύτερη παράγωγο . • Προσοχή στην εύρεση µέγιστης και ελάχιστης τιµής του ρυθµού µεταβολής συνάρτησης f(x) ή του συντελεστή διεύθυνσης εφαπτοµένης, όπου πρέπει να εξετάσουµε τη δεύτερη παράγωγο . • Από το κεφάλαιο της στατιστικής είναι πολύ πιθανό να ζητηθεί η συµπλήρωση ελλιπούς πίνακα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων απολύτων και αθροιστικών (κυρίως οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων!). Συνδυαστικά πάντα µε την αντίστοιχη γραφική παράσταση στο mm χαρτί του τετραδίου! Ενδεχοµένως να απατηθεί η χρήση της τελευταίας χιλιοστοµετρικής σελίδας (ακόµα και για την εύρεση διαµέσου). Όπως επίσης και το εµβαδό που περικλείεται από την πολυγωνική γραµµή στο ιστόγραµµα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα! Δώστε βάση στην κανονική κατανοµή, καθώς επίσης και την σχέση διαµέσου-µέσης τιµής όταν έχουµε θετική ή αρνητική ασυµµετρία . • Προσοχή στις ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες είτε µε χρήση των βασικών σχέσεων των πιθανοτήτων, είτε σε συνδυασµό µε χρήση µονοτονίας ή ακροτάτων συνάρτησης ή σε συνδυασµό µε τον πίνακα. Ο αξιωµατικός ορισµός στις πιθανότητες επιβάλλει να χρησιµοποιηθεί όταν δεν αναφέρεται ότι τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα. • Κάποια άλλα σηµεία που θα πρέπει να προσέξετε είναι : άσκηση 3 σελίδα 146 οµάδα β΄, µην ξεχάσετε τα προβλήµατα των σελίδων 45 και 46 –οι εφαρµογές του σχολικού: σελίδα 34 εφαρµογή 2 – σελίδα 98 εφαρµογή 2 – σελίδα 99 εφαρµογή 3, πως εξετάζουµε αν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, τους τύπους της αριθµητικής και της γεωµετρικής

προόδου 1[2 ( 1) ]2v

a vS ω ν+ −= και 1

11vS a

νλλ−

=−

.

•Οι αγωνιστές της τελευταίας στιγµής µπορούν να επαναλάβουν την θεωρία στο φυλλάδιο: http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/03/blog-post_30.html •Εξαιρετική συλλογή επαναληπτικών ασκήσεων από το mathematica µπορείτε να βρείτε και στο σύνδεσµο http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/05/mathematica.html Διαβάζουµε προσεκτικά τα θέµατα αρκετές φορές και δεν αποχωρούµε προτού εξαντλήσουµε το τρίωρο της εξέτασης όσο σίγουροι και αν είµαστε. Καλή επιτυχία σε όλους!



Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους 1.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1) Όταν έχουµε κανονική κατανοµή η µέση τιµή συµπίπτει µε την διάµεσο.

2) Η µέση τιµή των παρατηρήσεων ενός δείγµατος είναι µεγαλύτερη ή ίση της µικρότερης

παρατήρησης και µικρότερη ή ίση της µεγαλύτερης τιµής των παρατηρήσεων του δείγµατος.

3)Η διάµεσος των παρατηρήσεων ενός συνόλου δεδοµένων δεν επηρεάζεται από τις ακραίες

τιµές .

4) Όταν ελαττώσουµε τις τιµές όλων των παρατηρήσεων ενός δείγµατος κατά c , τότε η τυπική

απόκλιση ελαττώνεται κατά c.

5) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα Δ και f '(x) 0< για κάθε εσωτερικό

σηµείο x∈∆ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

6)Υπάρχουν ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε

1P( )5

Α = , 4P(B)5

= , 3P(A B)5

∩ = .

7)Αν ' BΑ ⊆ τότε P( ) P(B) 1Α + < .

8)Αν για τα ενδεχόµενα Α και Β ισχύει P( ) 0.5Α = και P(B) 0.6= , τότε τα Α και Β είναι

ασυµβίβαστα.

9)Σε ένα σύνολο παρατηρήσεων αντικαθιστούµε την µικρότερη τιµή µε µια µικρότερη τότε

µεταβάλλεται η µέση τιµή αλλά όχι η διάµεσος .

10)Είναι δυνατό να υπάρξει δειγµατικός χώρος πειράµατος τύχης που να αποτελείται από ένα

µόνο απλό ενδεχόµενο.

11)Ένα τοπικό µέγιστο στην γραφική παράσταση µιας συνάρτησης είναι δυνατό να είναι

µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας γραφικής παράστασης.

12) Στην καµπύλη συχνοτήτων µιας κανονικής κατανοµής, το 68% περίπου των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστηµα ( x 2s− , x 2s+ )

13) Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής ονοµάζεται οµοιογενές όταν ο συντελεστής µεταβολής του CV δεν ξεπερνά το 10% 14) Το εύρος R ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων είναι µέτρο θέσης .

15) Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. 16) Το άθροισµα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιµών µιας µεταβλητής X είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος.



17) Πλάτος µιας κλάσης ονοµάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης.

18) Για την κλάση [α , β) η κεντρική τιµή είναι α-β2

.

19) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα Δ του πεδίου ορισµού της, όταν

για οποιαδήποτε σηµεία 1x , 2x Δ µε 1x < 2x ισχύει f( 1x )<f( 2x ).

20) Η συχνότητα της τιµής xi µιας µεταβλητής Χ µπορεί είναι αρνητικός αριθµός. ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ ΟΤΙ…. Μέση τιµή

Διάµεσος

Πλεονεκτήµατα Για τον υπολογισµό της χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές. Είναι µοναδική για κάθε σύνολο δεδοµένων. Είναι εύκολα κατανοητή. Ο υπολογισµός της είναι σχετικά εύκολος Έχει µεγάλη εφαρµογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Μειονεκτήµατα Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιµές . Συνήθως δεν αντιστοιχεί σε τιµή της µεταβλητής . Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα.

Πλεονεκτήµατα Είναι εύκολα κατανοητή. Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιµές. Ο υπολογισµός της είναι απλός . Είναι µοναδική για κάθε σύνολο δεδοµένων. Μειονεκτήµατα Δεν χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές για τον υπολογισµό της . Είναι δύσκολη η εφαρµογή της για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα.

Εύρος

Διακύµανση-τυπική απόκλιση

Συντελεστής µεταβολής

Πλεονεκτήµατα Ο υπολογισµός του είναι σχετικά εύκολος . Χρησιµοποιείται συχνά στον έλεγχο ποιότητας . Είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί για την

Πλεονεκτήµατα Λαµβάνονται υπόψη για τον υπολογισµό τους όλες οι παρατηρήσεις . έχουν µεγάλη εφαρµογή στην στατιστική συµπερασµατολογια. Σε πληθυσµούς που ακολουθουν την

Πλεονεκτήµατα Είναι καθαρός αριθµός. Χρησιµοποιείται ως µέτρο σύγκρισης της µεταβλητότητας ,όταν έχουµε ίδιες η και διαφορετικές µονάδες



εκτίµηση της τυπικής απόκλισης . Μειονεκτήµατα Δεν θεωρείται αξιόπιστο µέτρο διασποράς επειδή βασίζεται µόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις . Δεν χρησιµοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση

κανονική κατανοµή το 68%, το 95% και 99,7% των παρατηρήσεων ανήκουν στα διαστήµατα

( ),− +x s x s , ( )2 , 2− +x s x s , ( )3 , 3− +x s x s

αντίστοιχα. Μειονεκτήµατα Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισµό τους από άλλα µέτρα. Το κυριότερο µειονέκτηµα της διακύµανσης είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες µονάδες µε το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουµε το δείγµα. Το µειονέκτηµα αυτό παύει να υπάρχει µε την χρησιµοποίηση της τυπικής απόκλισης.

µέτρησης Χρησιµοποιείται ως µέτρο οµοιογένειας ενός στατιστικού πληθυσµού. Μειονεκτήµατα Δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η µέση τιµή είναι κοντά στο µηδέν.

2.Έστω 1 2 3 4 5 , , , , ω ω ω ω ωΩ = ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και

1 2 3 , , ω ω ωΑ = , 3 4 5 , , ω ω ωΒ = δυο ενδεχόµενα του Ω µε 1( )2

P Α = .Αν είναι 1 2( ) , ( ) ,P a Pω ω β= = µε 2 226 10 2 1 0α α αβ β− − + + = , 3( )P ω γ= και η συνάρτηση 3

4( ) ( ) ,g x P x xω= ∈ ,τότε :

Α)Να αποδείξετε ότι 15

α β= = και 110

γ = .

Β)Να βρείτε το 4( )P ω , αν η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της g,στο σηµείο (1,g(1)), είναι παράλληλη προς την ευθεία y=x,και στην συνέχεια να βρείτε το 5( )P ω .

Γ)Αν είναι 41( )3

P ω = , 51( )6

P ω = , τότε να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Κ,Λ, όπου:

Κ: «Ένα µόνο από τα Α και τα Β να πραγµατοποιείται» Λ: «Να πραγµατοποιείται το Α ή να µην πραγµατοποιείται το Β.» (Επαναληπτικές 2012) 3.Ο Γιάννης µπορεί να πάει στην δουλειά του από το σπίτι του επιλέγοντας ανάµεσα στο αστικό λεωφορείο της γραµµής Α ή το τρόλεϊ της γραµµής Β.Ο χρόνος που χρειάζεται και στις δυο περιπτώσεις ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Το αστικό λεωφορείο της γραµµής Α έχει µέσο χρόνο διαδροµής 20Ax = λεπτά µε τυπική απόκλιση 3As = λεπτά ενώ το τρόλεϊ της γραµµής Β έχει µέσο χρόνο διαδροµής 21Bx = λεπτά µε τυπική απόκλιση

2Bs = λεπτά. Ποιο από τα δύο µέσα πρέπει να επιλέξει ο Γιάννης για να φτάσει στο σπίτι του



Α) το λιγότερο σε 23 λεπτά. Β) το αργότερο σε 17 λεπτά. 4.Σε µια εταιρεία µε 400 υπαλλήλους πραγµατοποιήθηκαν σε διαφορετικές ηµεροµηνίες δυο σεµινάρια επαγγελµατικής κατάρτισης , το σεµινάριο Α και το σεµινάριο Β. Κάθε υπάλληλος ήταν υποχρεωµένος να παρακολουθήσει τουλάχιστον ένα από τα δυο σεµινάρια. Από τους 400 υπαλλήλους είναι γνωστό ότι 340 παρακολούθησαν το σεµινάριο Α και 240 το σεµινάριο Β. Επιλέγουµε τυχαία έναν υπάλληλο της παραπάνω εταιρείας . Α) να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα A και Β είναι ασυµβίβαστα.

Β) Να αποδείξετε ότι 3( )20

P B A− = .

Γ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε µόνο το σεµινάριο Α. Δ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε ακριβώς ένα από τα δυο σεµινάρια. 5.Δίνεται ο παρακάτω πίνακας µε τις τιµές ix µιας διακριτής µεταβλητής και οι αντίστοιχες συχνότητες.

ix iν

1x 1ν

2x 2ν

3x 3ν

4x 4ν ν

Είναι γνωστό ότι 3x x= και για την διάµεσο δ του δείγµατος ισχύει:

2

22 2

2

lim2 1 2x x

x xxx x

δ→

−=

− + −

Α) Να δείξετε ότι 2xδ = Β)Αν επιλέξουµε στην τύχη µια παρατήρηση και 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )P x P x P x P x είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες να επιλέξουµε παρατήρηση 1 2 3 4, , ,x x x x .

i)Να αποδείξετε ότι 11( )2

P x ≤ .

ii)Να δείξετε ότι η παράσταση 1 1 2 2 4 4

1 2 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x P x x P x x P xAP x P x P x

+ +=

+ +είναι µια από τις παρατηρήσεις

στου δείγµατος .



6.Έστω Α,Β δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε 1( )6

P A B∩ = .Στον παρακάτω

πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε µέση τιµή 3x = και οι αντίστοιχες

συχνότητες τους.

Α)Να αποδείξετε ότι 1( )2

P B = .

Β)Αν η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα µόνο από τα Α και Β

είναι 12

, να βρεθεί η πιθανότητα ( )P A . Στη συνέχεια αν επιλέξουµε

τυχαία κάποια από τις παρατηρήσεις της µεταβλητής Χ, να βρεθεί

η πιθανότητα αυτή να είναι µικρότερη του 3.

Γ) Να βρεθεί η διάµεσος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής µεταβολής της

µεταβλητής Χ.

7.Δίνεται η µεταβλητή Χ µε τιµές 0 και 1 και αντίστοιχες συχνότητες 1 2,v v .Το µέγεθος του

δείγµατος είναι ν.Δίνεται ότι 12

x = .

Α) Να δείξετε ότι 1 2v v= .

B) Βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγµατος.

Γ) Εξετάστε αν το δείγµα είναι οµοιογενές.

Δ) Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση:

2 2( ) 2f x s x xx= −

Ε) Να βρείτε την µέση τιµή των τετραγώνων των παρατηρήσεων του δείγµατος .

Δίνεται ο τύπος:

2

12 2

1

1 ii

ii

ts t

ν

ν

ν ν=

=

= −

∑∑

ix iν

1 3 ( )P B A−

2 2 ( )P B

3 3 ( ) 2P A +

4 3



8. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων.

Α) Να βρεθούν τα α, β, γ.

Β) ; ;x δ= =

9. Έστω 1 2 6, ,...,x x x 6 παρατηρήσεις µε 15x = και 3xS = . Αν στο παραπάνω δείγµα

επισυνάψουµε και το 7 8x = , να βρεθεί η , yy S .Ποια είναι η ποσοστιαία µεταβολή του x ;

10. Αν 1,2,3,4,5Ω = και ,Α Β⊆Ω :

( )( ) ( )2

/ 0 ln( 1) ln 3

/ 5 1 6 1

A x x

B x x x x x

= ∈Ω ≤ − <

= ∈Ω − − = − −

Α) ( ) ;P A B− = , ( ) ;P B A′∪ =

Β) Αν 1( )4

P A = , ( ) ;P A B′ ′∪ =

Γ) Αν 1( )4

P A = και ( ) 18

P B A− = , να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή του ( )P x

ώστε A X B∪ = .

11. Έστω οι 11 τιµές: 7,5, , 2,5, ,8,6, ,5,3a β γ όπου , ,α β γ φυσικοί µε α β γ< < . Αν 6, 6x δ= =

και 8R =

Α) 2 2 2; ; ; : 217α β γ α β γ= = = + + =

ix iv

11 2 10 50a γ− +

3 2 2aβ −

4 2 6γ β−

Σύνολα 15



Β) Για τις τιµές των , ,α β γ που βρέθηκαν, να δειχθεί ότι 5811

Sx = και να εξεταστεί αν το

δείγµα είναι οµοιογενές.

Γ) Έστω 1 2 11, ,...,y y y παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τις 1 2 11, ,...,x x x

επί µία θετική σταθερά 1C , και στη συνέχεια προσθέσουµε µία σταθερά 2C . Αν 9y = και

2Sy Sx= να βρεθούν τα 1C , 2C .

12. Έστω 1 2, ,...,x x xκ τιµές µιας x. Αν ( )2

22 101 , 1,2,..., , 0Ni Ni aFi Fi i aa

κ− ++ − = = ≠

Α) Δείξτε ότι 10v = .

Β) Αν 2

2

1 1

10 i i i ii i

x v x vκ κ

= =

⋅ = ⋅

∑ ∑ , δείξτε ότι:

i) 0s =

ii) 1 2 ...x x xκ= = =

13. ( ) ln ln( 1)f x x x= − + , 2,3,...,vΩ = . Αν 9 ( ) 22 ( ) (1)′= ∈ΩP f άκ κ για κ θε κ , δείξτε ότι:

10v = .

14. Δίνεται η συνάρτηση ( )3( ) 2f x x= + και τα σηµεία της καµπύλης f 1 2 10, ,...,A A A µε

τετµηµένες 1 2 10, ,...,x x x που έχουν µέση τιµή -2 και διασπορά 20.

Α) Να βρείτε την µέση τιµή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτοµένων της καµπύλης

f στα σηµεία 1 2 10, ,...,A A A .

Β) Να δείξετε: 1 2 10( ) ( ) ... ( ) 0f x f x f x′′ ′′ ′′+ + + = .

Γ) Αν τα σηµεία 1 2 10, ,...,B B B έχουν τετµηµένες 1 2 10, ,...,x x x και ανήκουν στην καµπύλη της

f ′′ να εξετάσετε αν ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής των τεταγµένων των σηµείων

1 2 10, ,...,B B B .



15. Έστω η συνάρτηση 2( ) ( 2)f x x= − και τα σηµεία της καµπύλης f, 1 2 10, ,...,A A A µε

τετµηµένες 1 2 10, ,...,x x x .

Α) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Αν η τυπική απόκλιση των τετµηµένων των σηµείων 1 2 10, ,...,A A A είναι 3s = και 2x = ,

να βρείτε την µέση τιµή των τεταγµένων τους.

Γ) Αν η µέση τιµή των 1 2 10, ,...,x x x είναι 3x = , να βρείτε τη µέση τιµή των εφαπτοµένων των

γωνιών που σχηµατίζουν οι εφαπτοµένες στην καµπύλη f στα σηµεία 1 2 10, ,...,A A A .

Δ) Αν ισχύουν 1 2 10... 2x x x< < < ≤ , το εύρος των 1 2 10, ,...,x x x είναι 5 και 2 210 1 15x x= − , να βρείτε

το εύρος των τεταγµένων των σηµείων 1 2 10, ,...,A A A .

16. Δίνεται η συνάρτηση 9( )f x xx

= + .

Α) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Να βρείτε την εφαπτοµένη ε στην καµπύλη της f στο 0 1x = .

Γ) Έστω τα σηµεία 1 2 10, ,...,A A A της ε που έχουν τετµηµένες 1 2 10, ,...,x x x µε µέση τιµή 4x =

και διασπορά 2 14

s = . Να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας των τεταγµένων των

σηµείων 1 2 10, ,...,A A A .Ποια σταθερά θα πρέπει να προσθέσουµε στις παραπάνω τιµές,ώστε

το δείγµα µας να γίνει οµοιογενές;

Δ) Έστω 1 2 100 ... 3x x x< < < < < .

i) Αν η διάµεσος των 1 2 9, ,...,x x x είναι 2, να βρείτε τη διάµεσο των αριθµών

( )1 2 9( ), ,..., ( )f x f x f x .

ii) Αν 10 154

x x⋅ = και 10 1 2x x− = , να βρείτε το εύρος των ( )1 2 10( ), ,..., ( )f x f x f x .



17. Έστω ο δειγµατικός χώρος 1 2 100, ,...,ω ω ωΩ = ενός πειράµατος τύχης και η συνάρτηση

( ) ( ) ( )3 3 31 2 100( ) ( ) ( ) ... ( )f x P x P x P xω ω ω= − + − + + − .

Α) Να βρείτε τη µέση τιµή των αριθµών 1 2 100( ), ( ),..., ( )P P Pω ω ω .

Β) Να δείξετε ότι: 21 300100

f s ′ = −

, όπου s η τυπική απόκλιση των ( ), 1,2,..,100iP iω = .

Γ) Αν η ευθεία 175

y = − είναι εφαπτοµένη στην καµπύλη της f ′ , να βρείτε το συντελεστή

µεταβολής των αριθµών 1 2 100( ), ( ),..., ( )P P Pω ω ω .

18. Έστω ο δειγµατικός χώρος 1 2, ,..., vω ω ωΩ = ενός πειράµατος τύχης και η συνάρτηση

31( )9

f x x = −

. Δίνεται ότι η µέση τιµή των αριθµών 1 2( ), ( ),..., ( )vP P Pω ω ω είναι 19

.

Α) Να βρείτε το πλήθος των απλών ενδεχοµένων.

Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάµεσο δ των αριθµών 1 2( ), ( ),..., ( )vP P Pω ω ω , ισχύει 0,2δ ≤ .

Γ) Αν ( ) ( ) ( )1 21( ) ( ) ... ( )

12vf P f P f Pω ω ω′ ′ ′+ + + = , να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής.

19. Έστω ,f g συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο τέτοιες ώστε

2 2( ) (3 2) ( 1)g x f x f x x= − + − + για κάθε x∈ και (1) 1f = − , (1) 1f ′ = .

Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της g στο

σηµείο ( )1, (1)A g είναι η 5 5y x= − + .

Β) Αν πάρουµε 2004 διαφορετικά σηµεία ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2004 2004, , , ,..., ,x y x y x y της προηγούµενης

εφαπτοµένης και οι τετµηµένες τους έχουν µέση τιµή 400x = και τυπική απόκλιση 200s = ,

αν βρεθούν:

i) Η µέση τιµή των τεταγµένων.

ii) Η µέση τιµή των τετραγώνων των τετµηµένων, δηλαδή των 2 2 21 2 2004, ,...,x x x .



20. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln 2011f x x x= − + και η κατανοµή x µε παρατηρήσεις 1 2, ,..., vt t t

µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s. Αν η µέση τιµή των τετραγώνων των

παρατηρήσεων είναι 10 και η µέση τιµή x είναι η θέση στην οποία η ( )f x παρουσιάζει

ακρότατο, τότε:

Α) Να µελετηθεί η ( )f x ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Να υπολογισθεί η x , η s και ο CV.

Γ) Αν 1 2 ... vt t t< < < να εξεταστεί η κατανοµή ως προς την ασυµµετρία της, αν επιπλέον

ισχύει ( )32

,..., 1,v vt t− ∈ +∞ .

21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )3 3 3

1 2 ...( )

3vt x t x t x

f xv

− + − + + −= , όπου 1 2, ,..., vt t t είναι

παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε τυπική απόκλιση s και µέση τιµή x . Η µέγιστη κλίση της

( )f x εµφανίζεται στο σηµείο ( )4, 4A − .

Α) Δείξτε ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

Β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της fC ′ στο σηµείο ( )2, 4B .

Γ) Αν 1 2 9, ,...,M M M είναι 9 σηµεία στην παραπάνω εφαπτοµένη µε µέση τιµή των

τεταγµένων 7 και τυπική απόκλιση των τεταγµένων 2, να βρείτε την µέση τιµή και την

τυπική απόκλιση των τετµηµένων. Επίσης βρείτε την µέση τιµή των τετραγώνων των

τεταγµένων.

22.Έστω ,2, , 3x y xΑ = + ένα σύνολο που αποτελείται από παρατηρήσεις που παίρνουµε

από την µελέτη ενός δείγµατος µε µέση τιµή 2.5x = και διάµεσο 2.5δ = . ( ,x y∈ , 2 3x y x< < < + ). A) Να βρεθούν οι αριθµοί , .x y B) Εκλέγουµε τυχαία έναν αριθµό α από το σύνολο Α και ένα αριθµό β από το σύνολο

2,4,8Β = .Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος Ω του πειράµατος .

Γ) Να βρεθεί η πιθανότητα να ισχύει :

2 2 2 3

2 2

2lim lim2 23 2x x

x ax a xxx a aα β

β ββ→ →

+ − −≥

−+ −



23. Δίνεται η συνάρτηση : 2

1 2 10( ) ( ... ) 5f x t t t x x= + + + − όπου 1 2 10, ,..,t t t οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος . Α) Μελετήστε την συνάρτηση ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα της . Β)Αν 2 2 2

1 2 10( ) ( ) ( ) .... ( )g x t x t x t x= − + − + + − µια άλλη συνάρτηση και ( ) 810g a = όπου α το x για το οποίο παρουσιάζει ακρότατο η f και '(0) 2000g = να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµογενές . 24.Δίνεται η συνάρτηση

3 3 31 2( ) ( ) .... ( )( )

3t x t x t xf x ν

ν− + − + + −

= όπου 1 2, ,..,x x xν οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε

τυπική απόκλιση s και µέση τιµή x . Α) Αποδείξτε ότι 2'( )f x s= − Β) Βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f . Γ) Μελετήστε την µονοτονία της συνάρτησης f. Δ)Μελετήστε την µονοτονία της πρώτης παραγώγου της συνάρτηση f . Ε) Βρείτε για ποια τιµή του x η f’ παρουσιάζει µέγιστη κλίση. 25. Θεωρούµε την συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο και την συνάρτηση g για την οποία ισχύει: 3( ) ( ) ( 1),g x f x x f x x= − − − ∈ Η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξονα y’y έχει εξίσωση y=2x+2011. Α)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης (ε) της καµπύλης της g στο σηµείο της Μ(1, g(1)) Β) Πάνω στην (ε )παίρνουµε τα σηµεία 1 1 2 2 3 3 11 11( 5, ), ( 4, ), ( 3, ),..... (5, )A y A y A y A y− − − .Να βρείτε την

µέση τιµή y , την τυπική απόκλισηy

S και τον συντελεστή µεταβολής yCV των

1 2 3 11, , ,.....,y y y y . Γ)Παίρνουµε στην τύχη ένα από τα σηµεία 1 2 3 11, , ,.....A A A A .Να βρείτε την πιθανότητα να βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα 'x x



26.Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω , που αποτελείται από 15.000 στοιχεία , τα οποία είναι ισοπίθανα . Θεωρούµε και τα συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α’ του Ω , µε 0 ( ) 1P A< < .

Α) Να αποδείξετε ότι ( ) 14 5( ') ( )

P A aP A P A⋅ + ≥ .

Όπου 24 2lim , , 0

2 2x

xxλ

λα λ λλ→

−= ∈ >

−

Β) Αν στην σχέση του ερωτήµατος (Α) ισχύει η ισότητα , τότε: i) να βρείτε το Ν(Α) , δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Α . ii) αν κάποιο ενδεχόµενο Β του Ω έχει 10.500 στοιχεία , να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα. 27. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 10 11,f x s x x x x= ⋅ + ⋅ + ∈ , όπου x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγµατος .Αν η εφαπτόµενη της καµπύλης της f στο σηµείο Α(-1,f(-1)) είναι παράλληλη στην : 2011yε = τότε : Α) Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f . B) Να δείξετε ότι το δείγµα είναι οµοιογενές. Γ)Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο. Δ) Αν η ελάχιστη τιµή της f είναι ίση µε 1 τότε: i)Να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγµατος . ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο Α. 28.Σε ένα δείγµα µεγέθους 20 µιας µεταβλητής Χ έχουµε :

20

1

100ii

t=

=∑ και 20

2

1

1000ii

t=

=∑

Έστω δείγµα του ίδιου µεγέθους µιας µεταβλητής Y , που συνδέεται µε το Χ µε την σχέση 2 5Y X= + .Να υπολογιστεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση κάθε µεταβλητής . 29.Σε ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι 1 2, ,..., vx x x ετών. Α) Αν το δείγµα 1 2, ,..., vx x x των ηλικιών τους έχει συντελεστή µεταβλητότητας 20% και µετά από 25 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές . i) Να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους . ii) Να βρείτε την µέση τιµή του δείγµατος 2 2 2

1 2, ,..., vx x x . iii) αν ο µικρότερος σε ηλικία είναι 10 ετών , να βρείτε προσεγγιστικά την µεγαλύτερη ηλικία, αν υποθέσουµε ότι η κατανοµή είναι κανονική. Β) Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν µονό 2 καφενεία , το Α και το Β. Αν το 30% των κατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50% πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δυο καφενεία, να βρείτε:



i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία. ii) Απ’ αυτούς που πηγαίνουν µονο στο ένα καφενείο, ποιοι είναι οι περισσότεροι , αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Β. Γ) Καθένα από τα ν άτοµα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθµηµένοι από το 1 έως το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης .Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι κατά 0.8% µεγαλύτερη από το να κληρωθεί άρτιος να βρείτε ποσά άτοµα έχει το χωριό. (οεφε 2007) 30 (Θέµα διασαφήνισης συντελεστή µεταβολής ) Α)Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος ,για τον συντελεστή µεταβολής CV ενός δείγµατος .

i) Κάθε δείγµα έχει συντελεστή µεταβολής .

ii) Ο τύπος sCVx

= ισχύει και όταν 0x < .

iii) Ο CV έχει ως µονάδα µέτρησης την ίδια µε τις παρατηρήσεις . iv) Ένα δείγµα είναι οµοιογενές , αν και µονό αν έχει 50%CV = . v) Όταν ορίζεται ο CV , τότε πάντα 100%CV ≤ . vi) Είναι δυνατόν να έχουµε και 0CV < . vii) Αν σε δείγµα παρατηρήσεων η µέση τιµή και η διάµεσος είναι ίσες, µπορούµε να

πούµε ότι η κατανοµή είναι κανονική. 31.Μια βιοµηχανία παράγει εξαρτήµατα πλοίων .Το αναµενόµενο κέρδος P(x) (σε χιλιάδες ευρώ) από την πώληση x εξαρτηµάτων µηνιαίως δίνεται από την συνάρτηση 3 2( ) 15 600 300,0 30P x x x x x= − + + − < < Α) Να υπολογίσετε το αναµενόµενο κέρδος από την πώληση 10 εξαρτηµάτων µηνιαίως . Β) Να βρείτε τον αριθµό των εξαρτηµάτων που πρέπει να πουληθούν µηνιαίως για να έχει η βιοµηχανία αυτή το µέγιστο κέρδος καθώς και την µέγιστη τιµή του κέρδους . Γ) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του κέρδους για 10x = . Δ) Να βρείτε την µέγιστη τιµή του ρυθµού µεταβολής του κέρδους . 32.Α)Δίνονται τα Α ,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω.Αν A B⊆ και ( ) 0.2P A = και

2

2

( ) 4 ( )( ) lim2x

x P A B P AP Bx→

∪ −=

−, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων ( ')P B και ( )P B A∩ .

Β) Δίνονται ο δειγµατικός χώρος 1,2,..,1.000Ω = µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα.

Αν Α ,Β δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα του Ω για τα οποία ισχύει: 216[ ( )] 25 ( ) ( ) 10 0(1)P B P B P− − Α + = να βρείτε:

i) τις πιθανότητες ( ), ( )P B P Α ii) το πλήθος των στοιχείων Α και Β.

Τι συµπέρασµα βγαίνει για τα Α και Β.



33.Το IQ αποτελεί το δείκτη ευφυΐας των ατόµων και ακόλουθει την κανονική κατανοµή µε µέσο x και διασπορά 2s .Αν είναι γνωστό ότι το IQ µικρότερο του 85 έχει το 16% του πληθυσµού και µεγαλύτερο από του 130 έχει το 2.5% του πληθυσµού, να βρείτε: Α) την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση της κατανοµής, το συντελεστή µεταβλητότητας. Είναι οµοιογενές το δείγµα; Β) το ποσοστό του πληθυσµού που έχει IQ µεγαλύτερο του 145. 34.Μια γαλακτοβιοµηχανία παρασκευάζει παγωτό το οποίο το συσκευάζει σε πλαστικά κύπελλα χωρητικότητας 210 gr .Σε δειγµατοληπτικό έλεγχο που έγινε για το βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κυπελλάκια πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας κατανοµής σχετικών συχνοτήτων. Βάρος παγωτού %if

[ )195 197− 10

[ )197 199− 10

[ )199 201− 55

[ )201 203− 20

[ )203 205− 5

Α) Να δείξετε ότι το µέσο βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κύπελλα είναι 200 gr. Β)Να βρείτε την διάµεσο του δείγµατος . Γ) Παίρνουµε στην τύχη ένα από τα κύπελλα του δείγµατος .Να βρείτε την πιθανότητα να περιέχει παγωτό βάρους µικρότερου των 200 gr. Δ)Λόγω λανθασµένου προγραµµατισµού µια ηµέρα το βάρος του παγωτού που περιείχαν τα κύπελλα αυξήθηκε κατά 8 gr. Παίρνουµε ένα από τα κύπελλα παγωτού που είχαν συσκευαστεί εκείνη την µέρα .Ποια η πιθανότητα το κύπελλο να ξεχειλίσει. 35.θεωρούµε 8 ευθύγραµµα τµήµατα που έχουν µήκη όχι µικρότερα από 1 και όχι

µεγαλύτερα από 10.

Α) Να βρείτε την µέγιστη τιµή που µπορεί να πάρει το εύρος R.

B) Να αποδείξετε ότι για την µέση τιµή x των µηκών των 8 ευθυγράµµων τµηµάτων

ισχύει [ ]1,10x∈ .

Γ)Αν 10x = να υπολογίσετε τα µήκη των 8 τµηµάτων.



36.Έστω ο δειγµατικός χώρος 1, 2 3 4, ,ω ω ω ωΩ = .Αν το δείγµα των αριθµών

1 2 3 41 1 1 1( ) , ( ) , ( ) , ( )4 4 4 4

P P P Pω ω ω ω+ + + + έχει τυπική απόκλιση 19

. Να δείξετε ότι:

2 2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1 2( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )4 4 4 4 9

P P P Pω ω ω ω− + − + − + − = και µετά να υπολογίσετε τον

συντελεστή µεταβολής CV του δείγµατος . 37.Μια εταιρεία που κατασκευάζει υπολογιστές παράγει την ηµέρα κ υπολογιστές τύπου Α, 6 υπολογιστές τύπου Β και λ υπολογιστές τύπου Γ. Επιλεγούµε τυχαία ένα υπολογιστή

της εταιρείας .Η πιθανότητα να είναι τύπου Α είναι 12

και η πιθανότητα να είναι τύπου Γ

είναι 15

.Αν οι τιµές πώλησης των υπολογιστών τύπου Α και Γ είναι 1400 ευρώ και 2000 ευρώ

αντίστοιχα, τότε: Α) Να βρεθεί το πλήθος των υπολογιστών τύπου Α και Γ. Β)Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s των τιµών πώλησης όλων των υπολογιστών της εταιρείας , ώστε ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος να είναι 20% και η τιµή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β να είναι 3000 ευρώ. Γ)Αν η εταιρεία αποφασίσει να διακόψει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Γ και να αυξήσει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Α κατά 80% , πόση πρέπει να είναι η τιµή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, ώστε ο συντελεστής µεταβολής να παραµείνει ο ίδιος και η τυπική απόκλιση s των τιµών πώλησης όλων των υπολογιστών να είναι 300 ευρώ. 38.Σε µια φανταστική χώρα ο ασφαλιστικός φορέας Μ.Ι.Κ.Α αύξησε τις συντάξεις όλων των συνταξιούχων του κατά 15%.Ταυτοχρονα παρακράτησε ένα σταθερό ποσό από την νέα σύνταξη κάθε συνταξιούχου ως εισφορά για την υγειονοµική περίθαλψη του ,ώστε ο συντελεστής µεταβολή των συντάξεων να είναι 10% µεγαλύτερος από τον αρχικό. Αν η αρχική µέση σύνταξη είναι 1000 ευρώ (είπαµε είναι µια φανταστική χώρα), να βρείτε: Α) Το ποσό της εισφοράς που ο ασφαλιστικός φορέας παρακράτησε από κάθε συνταξιούχο. Β) Βγήκαν κερδισµένοι οι συνταξιούχοι την απόφαση του Μ.Ι.Κ.Α;



39.Από ένα φύλλο λαµαρίνας σχήµατος τετραγώνου πλευράς 6 µέτρων κατασκευάζεται µια δεξαµενή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαµαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς x µέτρων, 0 x 3< < και στην συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα:

Α) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαµενής ως συνάρτηση του x είναι:

2f (x) 4x(3 x) ,0 x 3= − < <

(δίνεται ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α,β,γ είναι V = αβγ ).

Β) Να βρείτε για ποια τιµή του x η δεξαµενή έχει µέγιστο όγκο.

Γ) Να βρείτε το όριοx 0

f (x 2) 8limx→

+ − .

Δ) Θεωρούµε τις τιµές i iy f (x ), i 1,2,3,4,5= = µε 1 2 3 4 51 x x x x x 2= < < < < = , οι οποίες έχουν µέση

τιµή y 12= ,τυπική απόκλιση ys 2= και συντελεστή µεταβολής yCV .Να βρείτε το εύρος R των

τιµών iy , i 1, 2,3, 4,5= .Στην συνέχεια να βρείτε τον αριθµό α∈ µε 12 0− < α < ο οποίος , αν

προστεθεί σε καθεµία από τις τιµές iy προκύπτει δείγµα µε συντελεστή µεταβολής CV

τέτοιον ώστε yRCV 2CV12

= + .

Ε) Έστω Α,Β δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν είναι A ≠ ∅ , B ≠ ∅ και A B⊆ , να αποδείξετε ότι ισχύει:

2

P(A) 3 P(B)P(B) 3 P(A)

−≤ −



40.Εστω ο δειγµατικός χώρος 1,2,3,4,5,6Ω = του πειράµατος ρίψης ενός αµερόληπτου ζαριού. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) (4 ) 4,= − + − ∈xf x e x xλλ λ όπου ∈λ . Α)Nα βρείτε τις συναρτήσεις '( ), ''( )f x f x Β)Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη (ε) της καµπύλης της f στο σηµείο (0, (0))M f έχει εξίσωση 2(5 )= − −y xλ λ λ Γ)Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων

Α= /λ∈Ω η ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (η) µε εξίσωση 1 20144

= − +y x

Β= /λ ∈Ω η συνάρτηση 'f είναι γνησίως φθίνουσα E) Για 1λ = να υπολογίσετε: i)τις τιµές '(0), (0)f f

ii)το όριο0

3 3lim→

+ −h

h

e hh

.

41.( Μεζεδάκια θεωρίας) A)Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις 1)Ο λόγος της µέσης τιµής προς την τυπική απόκλιση καλείται συντελεστής µεταβολής και είναι καθαρός αριθµός. Σ Λ 2)Σε κάθε κατανοµή το 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες της µέσης τιµής και το 50% είναι µεγαλύτερες της µέσης τιµής Σ Λ 3)Αν σε ένα δείγµα 3 0x s= ≠ , τότε το δείγµα είναι οµοιογενές . Σ Λ 4)Αν όλες οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος έχουν την ίδια τιµή ,τότε η τυπική απόκλιση αυτών είναι ίση µε µηδέν. Σ Λ B)Τα παρακάτω διαγράµµατα παρουσιάζουν την κατανοµή του σωµατικού βάρους των αθλητών σε δυο οµάδες ποδοσφαίρου. i) Ποιο είναι το µέσο βάρος των δυο οµάδων;

ΟΜΑ∆Α Α ΟΜΑ∆Α Β

70 90 75 85



ii) Ποια οµάδα έχει την µεγαλύτερη διασπορά; iii) Ποια οµάδα έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια στο σωµατικό βάρος των παικτών; 42.Έστω ο δειγµατικός χώρος 1,2,3,...., 2 νΩ = ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν το εύρος R και η διάµεσος δ των αριθµών 1,2,3,..,2ν συνδέονται µε την σχέση 2 40R δ+ = .Να υπολογίσετε: Α)τους αριθµούς R,δ,ν. Β)την πιθανότητα του ενδεχοµένου 1,2,3,...., A R= Γ)την πιθανότητα λαµβάνοντας τυχαία ένα αριθµό λ από το σύνολο Ω η συνάρτηση 2( ) ln( 5 )f x x x λ= + + Να έχει πεδίο ορισµού το .

Δ) Αν 20

2

12870i

ix

=

=∑ να δείξετε ότι η τυπική απόκλιση των αριθµών 1,2,3,…,2ν ( ω η τιµή που

υπολογίσατε στο ερώτηµα α) είναι 33.25s = . 43.Δίνεται η συνάρτηση ( ) 39,xf x e xα λ= − + ∈ µε α πραγµατικό αριθµό. Α) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α( 0,f(0)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x να βρείτε την τιµή του α. Β) Δίνονται οι παρατηρήσεις 1 2 100( ), ( ),..., ( )f x f x f x µε 1 2 100( ) ( ) ... ( )f x f x f x< < < οι οποίες

ακολουθούν περίπου κανονική κατανοµή µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s.Αν το δείγµα δεν είναι οµοιογενές να αποδείξετε ότι i) η ελάχιστη τιµή της f είναι 40. ii) 40δ > iii) 4s > iv)Η συνάρτηση 3 2( ) 6 3 ,g x x x sx x x= + + + ∈ είναι γνησίως αύξουσα στο . 44.Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1 ln( ), 0f x x a a= + + > . Α)Αν η εφαπτοµένη της fC στο σηµείο Α(1,f(1)) σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία 45o να

υπολογίσετε την τιµή του α. Β)Για α=1 να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα . Γ)Εστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Α,Β δυο ενδεχόµενα του για τα οποία ισχύει η σχέση f(P(A))=P(B).Να αποδείξετε ότι το Β είναι το βέβαιο ενδεχόµενο και το Α το αδύνατο ενδεχόµενο.



45.Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις 1)Αν Α ,Β ενδεχόµενα ενός δ,χ Ω ενός πειράµατος τύχης και ισχύει A B≠ τότε ( ) ( )P A P B≠ .Σ Λ 2)Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες %iF µιας κατανοµής εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ίσες της τιµής ix .Σ Λ 3)Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση µόνο ποιοτικών δεδοµένων. Σ Λ 4)Η καµπύλη συχνοτήτων του παρακάτω σχήµατος εκφράζει µια ασύµµετρη κατανοµή µε θετική ασυµµετρία. Σ Λ 5)Το εύρος ενός δείγµατος βασίζεται στις δυο ακραίες παρατηρήσεις . Σ Λ 46.(Μεζεδάκια θεωρίας) Α) Εξετάζουµε δυο δείγµατα µεγέθους ν και µ ως προς µια ποσοτική µεταβλητή Χ.Αν x και y είναι οι µέσες τιµές των παρατηρήσεων των δυο δειγµάτων , να δείξετε ότι η µέση τιµή

του συνόλου των παρατηρήσεων των δυο δειγµάτων ισούται µε: x yz ν µµ ν+

=+

Β)Να αποδείξετε ότι σε µια κατανοµή συχνοτήτων η διακύµανση 2s δίνεται και από την

σχέση :

2

22 1

v

i ii

xs x

ν

ν== −∑

Γ)Αν σε ένα δείγµα µεγέθους ν( *v∈ ) η µεταβλητή x παίρνει µόνο τις τιµές 1 και 0, να

αποδείξετε ότι για την διακύµανση 2s ισχύει 2 14

s ≤ ( Υπόδειξη: χρησιµοποιήστε το

ερώτηµα (β)). Δ)Να αποδείξετε ότι αν από τις παρατηρήσεις 1 2, ,...., vx x x αφαιρέσουµε την µέση τιµή τους

x και στην συνέχεια διαιρέσουµε µε την τυπική τους απόκλιση xs , τότε οι νέες παρατηρήσεις που προκύπτουν έχουν µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 1, δηλαδή αν

ii

x

x xys−

= , τότε 0y = και 1ys = ( δίνεται ότι 0xs ≠ ).

Ε) Αν σε ένα δείγµα µεγέθους ν( *v∈ ) µε θετικές παρατηρήσεις η µεταβλητή x ακολουθεί την κανονική κατανοµή τότε για το συντελεστή µεταβολής CV ισχύει:

Do or do not… there is no try.

Yoda



13

CV < .

47)Αν ε η εφαπτοµένη (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα) της fC στο σηµείο της Α(1,1)

και 1 2 9....x x x< < < οι τετµηµένες των σηµείων 1 2 9, ,..,M M M αντίστοιχα µε µέση τιµή -2 και διάµεσο -1.

Α)Να βρείτε την µέση τιµή των τεταγµένων των σηµείων 1 2 9, ,..,M M M .

Β)Την διάµεσο των τεταγµένων των σηµείων 1 2 9, ,..,M M M .

Γ)το όριο 0

(1 ) (1)limh

f h fh→

+ −

1

x1 x2 x9

A(1,1)

Cf

M1

M2

M9

1

120ο



48)Δινεται η συνάρτηση 2 2 21( ) ( 20 ( 1) ( )),60

g x x x xγ β α γ= + + + − + ∈

µε α,β,γ πραγµατικές παραµέτρους.Αν η γραφική παράσταση της g τεµνει τον αξονα y’y

στο σηµείο A(0, 13

) και ισχύει : 20

(1 )lim1

x

x

e xx x

συνγηµ συν→

−=

+ −

Α)Να βρείτε τις τιµές των α,β,γ.

Β) Για α=1,β=0 και γ=1.

Αν έχουµε ένα δείγµα 30 παρατηρήσεων ως προς µια µεταβλητή Χ µε 1 2 3, ,x x x τις διακεκριµένες τιµές της µεταβλητές Χ, 1 2 3, ,ν ν ν οι αντίστοιχες συχνότητες και 1 2 3, ,f f f οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να αποδείξετε ότι:

α) 1 2 3( ) ( ) ( ) 1g΄ g΄ g΄ν ν ν+ + =

β) 1 2 31( ) ( ) ( )30

g΄ f g΄ f g΄ f+ + =

γ)αν x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση του δείγµατος ,τότε:

i) 1 1 2 2 3 3( )g΄ v x v x v x x+ + =

ii) 2

1 1 2 2 3 320( ) ( ) ( )

2sv g x x v g x x v g x x +

− + − + − =

Γ) Έστω µια συνάρτηση h δυο φορές παραγωγίσιµη στο µε ( 1) 7h − = .Αν ( ) (180 ( 2) 20) (2 5),f x g x h x x= − − ⋅ − ∈ τότε:

α) Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της Cf στο (2, (2))A f είναι παράλληλη στον άξονα χ’χ.

β)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο (2, (2))A f .

γ)Να υπολογίσετε την ''(2)f .



49.Εστω Α,Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω.Αν 1( )4

P B = και 1( )6

P A B∩ = ,τότε:

Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( )P B A− , ( ')P B .

Β)Να δείξετε ότι 1( ' ') ( )

12P A B P B A− = − =

Γ)Να δείξετε ότι 11( )12

P A ≤

50. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθουν ως σωστές ή λάθος .

1. lim( )ox x

x xσυν συν→

= Σ Λ

2. ( )( ) ' '( )cf x cf x= Σ Λ

3.Σε µια ποσοτική διακριτή µεταβλητή αντί του ραβδογράµµατος χρησιµοποιείται το διάγραµµα συχνοτήτων . Σ Λ

4.Ενα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται οµοιογενές όταν ο συντελεστής µεταβολής ξεπερνά το 10%. Σ Λ

5.Δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα , όταν A B∩ ≠ ∅ Σ Λ

51.Εστω Α,Β δυο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω.

Α)Να δείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B∩ + ∪ = +

Β)Αν ( ') 0.4P A ≤ και ( ') 0.5P B ≥ να δείξετε ότι :

i) ( ) 0.6P A ≥ και ( ) 0.5P B ≥ ii) ( ) ( ) 1.1P A B P A B∩ + ∪ ≥

iii)Να δείξετε ότι A B∩ ≠ ∅ . 52.Αν η µεταβλητή Χ παίρνει µόνο δυο τιµές 1 2,x x µε συχνότητες 1 2,ν ν αντίστοιχα , αποδείξετε ότι :

i)η τυπική απόκλιση s δίνεται από τον τύπο 1 21 2

1 2

v vs x x

v v⋅

= −+

ii)Αν 1 2v v= τότε 1 2

1 2

x xCV

x x−

=+

“May the Force be with you.”

Yoda



53.i)(άσκηση µπριαµ) Να εξετάσετε την συνάρτηση ln( ) , 0xf x x

x= > ως προς την

µονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισµού της . iii) Αν ,A B ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε ,A B A B⊆ ≠ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

( )3 2 ( ) ( )1( ) ( ) ( ) 1 19743

P A B P A Bg x x x P A B P A B x∩ ∪= − + ∪ − ∩ + + είναι γνησίως αύξουσα στο .

(Υπόδειξη: να χρησιµοποιήσετε το ερώτηµα(i))

iii)Αν η µέση τιµή των παρατηρήσεων 3 3 4 4 5 5 1 12 (2), ( ), ( ), ( ),...., ( )2 2 3 3 4 4

vf f f f f νν ν+ +

είναι

ln 2014xν

= .Να βρείτε το πλήθος ν του δείγµατος .

54.Αν 1 2, ,...,t t tν οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ µε µέση τιµή x και διάµεσο δ , τυπική απόκλιση s και η συνάρτηση:

2

1

( ) ( )ii

f x t xν

=

= −∑

Α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα 'y y στο σηµείο 22(0, ( ))A s xν +

Β)Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα 'x x , να δείξετε ότι xδ = . Γ) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι για κάθε x∈ ισχύει 2( )f x sν≥ . 55.Εστω 1 2, ,...,t t tν οι ηλικίες σε ακέραιο αριθµό ετών των µελών του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 2014. Θεωρούµε την συνάρτηση

3 3 31 2

1( ) [( ) ( ) ... ( ) ]3

f x t x t x t xν= − − + − + + −

Α) Να δείξετε ότι 2 '( )f xsν

= , όπου 2s η διακύµανση και x η µέση τιµή των τιµών της

µεταβλητής.

Β) Αν ισχύει ''(2 ) 3 5f x a= − , να βρείτε το 1

ii

tν

=∑ αν

3 2

21

1lim( 3 2)x

x x xax→

− − +=

+ −

Γ)Αν 3

1

6042ii

tν

=

=∑ , να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης

της f στο σηµείο (0, (0))fΑ είναι 22( ) 2014y s x xν= + −



Δ)Αν 1 2, ,...,t t tκ , (κ ν< ) οι ηλικίες σε ακέραιο αριθµό ετών των ιδρυτικών µελών του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 2014 και το δείγµα έχει συντελεστή µεταβολής 16% ενώ το 2029 θα γίνει πρώτη φορά οµοιογενές . i) να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιων των κ ιδρυτικών µελών. ii) Αν η κατανοµή του δείγµατος των κ ηλικιών είναι περίπου κανονική να βρείτε κατά προσέγγιση την µικρότερη ηλικία αν το µικρότερο σε ηλικία άτοµο είναι 13 ετών. iii)Να βρείτε το πλήθος των κ ατόµων που ίδρυσαν τον σύλλογο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν αν 8 υδρυτικά µέλη το 2014 έχουν ηλικία άνω των 29 ετών.

56.Α)Δίνεται η συνάρτηση 2( ) (0.6 ) ,0 0.6g x x x x= − ≤ ≤ .

Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισµού της.

Β)Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων της βαθµολογίας ν µαθητών µιας τάξης στο µάθηµα της Χηµείας .Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις .

i)Να δείξετε ότι 23 4 0.032f f ≤ .

( Υπόδειξη :µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το ερώτηµα (Α))

ii) Αν 4 0.3f = να βρείτε την µέση τιµή των παραπάνω βαθµολογιών και να βρείτε την διάµεσο. Ακολουθούν οι βαθµολογίες την κανονική κατανοµή; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.

iii) Αν επιλέξουµε τυχαία έναν από τους παραπάνω µαθητές, να βρεθεί η πιθανότητα ώστε να έχει βαθµολογία στα διαστήµατα:

α) [ )16, 20 β) [ )17,19 γ) [ )12,15

Βαθµολογία [ )− Σχετικές συχνότητες if

12-14 0.1

14-16 0.3

16-18 3f

18-20 4f



57.Εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν ως προς µία ποσοτική µεταβλητή Χ και οµαδοποιούµε τις παρατηρήσεις του δείγµατος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Δίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες 3F και 5F είναι οι ρίζες της εξίσωσης :

25 8 3 ,x x κ κ− + ∈ α) Να αποδείξετε κ =1 και λ=10. β)Να αποδείξετε ότι 1 2 3 4% 10, % 30, % 20, % 30f f f f= = = = και 5 % 10f = . γ)Αν το 25% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες του 16 και το 25% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες ή ισες του 24 , τότε να αποδείξετε ότι α=10 και c =4. Να συµπληρώσετε τον πίνακα. δ)Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ισες του 22 είναι 800, τότε να υπολογίσετε το µέγεθος των δείγµατος . 58.Εστω ο δ.χ Ω και τα ενδεχόµενα του Α,Β.Αν για τις πιθανότητες των ενδεχοµένων

, , ,A B A B A B B A∪ ∩ − − ισχύουν:

( ) ( )( )2 2

P B P AP A B< ∩ < , 1( )8

P A B∩ = ,

η µέση τιµή τους είναι 5

16x =

η διάµεσος τους είναι 14

δ = ,να βρείτε:

Α) τη πιθανότητα του ενδεχοµένου A B∪ .

Β) τη πιθανότητα των ενδεχοµένων ,A B .

Γ) τη πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα ,A B .

Δ)την διακύµανση των αριθµών ( ), ( ), ( ), ( )P A B P A P B P B A∪ −

"Είναι κάτι που οι µαθηµατικοί δεν µπορούν να αντιληφτούν πλήρως . Τα µαθηµατικά στην πραγµατικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτηµα αισθητικής!!"

John H.Conway



58.Επικαιρο!!!!

Στο εκλογικό τµήµα του χωριού Άνω Πλατανιά κάθε κάτοικος - µε δικαίωµα ψήφου-ψήφισε ένα από τα κόµµατα Α,Β,Γ και Δ. Κατά την καταµέτρηση διαπιστώθηκε ότι δεν υπήρξαν λευκά ή άκυρα .Το πλήθος των ψηφοφόρων του κόµµατος Α είναι το 150% του αριθµού των ψηφοφόρων του κόµµατος Β, οι ψηφοφόροι του κόµµατος Γ είναι το 10% όλων των κατοίκων του χωριού που ψήφισαν .Ενώ είναι γνωστό ότι το πλήθος των ψηφοφόρων του κόµµατος Δ είναι το 200% των ψηφοφόρων του κόµµατος Β. Επιλέγουµε τυχαία ένα κάτοικο του χωριού που ψήφισε. Ποια είναι η πιθανότητα

i)Να ψήφισε το κόµµα Α ή το κόµµα Γ.

ii)Να ψήφισε το κόµµα Γ.

iii)Να ψήφισε το κόµµα Γ ή να µην ψήφισε το κόµµα Β.

59.Εστω 0,1,2,3Ω = είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης έτσι ώστε 4 (0) (1) 2 (2) 4 (3)P P P P= = =

i)Να βρείτε τις πιθανότητες όλων των απλών ενδεχοµένων.

ii)Δίνεται η συνάρτηση 2 23( ) ( 3 5) 6662

f x x xλ λ= − − + + ,λ ∈Ω , x∈ .Να βρείτε την

πιθανότητα του ενδεχοµένου

/ 1f xλ η συναρτηση παρουσιαζει ελαχιστο γιαΑ = ∈Ω =

iii) Οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ είναι οι παρακάτω:

21,1,6, ,3,3,2,6 3λ λ− λ απλό ενδεχόµενο του Ω. Αν x η µέση τιµή των παραπάνω

παρατηρήσεων να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου

/ 2.5B xλ η µεση τιµη= ∈Ω ≥

iv)Να βρείτε τις πιθανότητες :

( ), ( ), ( ), ( ), ( ' ), ( ' ), ( ' '), ( ' ')P A B P A B P A B P B A P B A P A B P A B P A B∩ ∪ − − − − ∩ −



60.Σε ένα δείγµα µεγέθους ν , οι 1ν παρατηρήσεις έχουν την τιµή 0 και οι 2ν παρατηρήσεις την τιµή 1, µε 1 2ν ν ν+ = . Θεωρούµε τον δ.χ. Ω ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και τα ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α,Β του Ω, για τα οποία υποθέτουµε ότι ισχύει

1( )Pνν

Α = , 2( )P Bνν

= .

Να δείξετε ότι: Α) 'Α = Β . Β) το δείγµα έχει µέση τιµή ίση µε ( )P Β .

Γ) η διακύµανση του δείγµατος ισούται µε ( ) ( )P PΒ ⋅ Α .

Δ) Αν ν άρτιος, να βρείτε για ποιά τιµή του ( )P Α η διακύµανση του δείγµατος γίνεται

µέγιστη.

61.Δίνεται η συνάρτηση ( ) , , 1x xf x e e xλ λ λ= − ∈ >

Α) Να βρείτε τις '( ), ''( )f x f x

Β)Να δείξετε ότι ''( ) ( 1) '( ) ( )f x f x f xλ λ= + −

Γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της fC στο σηµείο της Α(0,f(0)).

Δ)Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της .

Ε)Να δείξετε ότι 1x xe eλ λ λ+ ≥ + για κάθε x∈ . 62.Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους οµαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις: A(8,0),B(10,10),Γ(12,20),Δ(14,yΔ),Ε(16,yΕ) Z(18,10),H(20,0) όπου yΔ , yΕ οι τεταγµένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ABΓΔΕΖΗ. A) Να υπολογιστούν οι τεταγµένες yΔ , yΕ των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα B) Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%. Γ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) της κατανοµής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους.

Το ενεργητικό άτοµο µαθαίνει µόνο του!!

Φ.Νίτσε



Δ) Να βρείτε την µέση τιµή x και την διάµεσο δ του δείγµατος . Ε) Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. ΣΤ) Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθµό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα.

63.ΜΕΖΕΔΑΚΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α)Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση.

1.Αν 2( ) ln 2f x x= + , τότε η '( )f x είναι :

Α. 122

x + Β. x Γ. 2x Δ. 122

xx

+

2.Αν για την συνάρτηση ( ) x xf x e ηµ+= ισχύει : ( ) '( )f a f a= , τότε

Α. 12

a = Β. 0α = Γ. ,2πα κπ κ= + ∈ Δ. ,α κπ κ= ∈

3.Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 2

( ) xf x e= στο σηµείο της (1, (1))fΑ είναι:

Α. 2y x e= + Β. 2y ex e= + Γ. 2y ex e= − Δ. 2y x e= − +

4.Δίνεται η συνάρτηση 2

2( )f xx

= .Η κάθετη στην εφαπτοµένη της fC στο σηµείο 1(2, )2

A

έχει συντελεστή διεύθυνσης :

Α.-2 Β. 12

Γ. 12

− Δ. 1 Ε. 2

5.Δίνεται η συνάρτηση 1 ( )( ) xf x e ηµ π+= τότε '(1)f =

Α.0 Β. e Γ. eπ Δ. eπ− Ε. 1

6.Δίνονται οι συνάρτησεις ( ) xf x e xσυν= , ( ) xg x e xηµ= τότε ισχυει:



Α. ''( ) 2 ( )f x g x= Β. ( )''( )2

g xf x = Γ. ''( ) 4 ( )f x g x= Δ. ''( ) 2 ( )xe f x g x=

Β)Στην στήλη του πίνακα Α αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα ενδεχόµενα Α και Β διατυπωµένες στη καθηµερινή γλώσσα , και στην στήλη Β αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωµένες στην γλώσσα των συνολων.Να κάνετε την αντιστοίχιση.

Στήλη Α Στήλη Β

1.Το ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται. Α. ω∈Α∩Β

2.Το ενδεχόµενο Α δεν πραγµατοποιείται. Β. ω∈Α∪Β

3.Ενα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγµατοποιείται.

Γ. ω∈Α−Β

4.Πραγµατοποιούνται αµφότερα τα Α και Β. Δ. ( ) 'ω∈ Α∪Β

5.Δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β Ε. 'ω∈Α

6. Πραγµατοποιείται µόνο το Α ΣΤ. Α ⊆ Β

7.Η πραγµατοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β

Ζ. ω∈Α

64.Δίνεται η συνάρτηση 2014( ) ,f x ax xβ= + ∈ , α,β πραγµατικές παράµετροι.

Α)Αν η fC έχει κοινά σηµεία µε την y x= τα σηµεία Α(0,0) και Β(1,1) ,να υπολογίσετε τις

τιµές των α,β.

B)Για α=1 και β=0 ,να βρείτε

i) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της fC στο σηµείο Α(3,f(3)).

ii) το όριο 2014 2014

0

(3 ) 3lim( 2014)h

hh h→

+ −+

iii) την εξίσωση της εφαπτοµένης της fC που είναι παράλληλη στην ευθεία

(η): 2014y x=

iv)Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο εφαπτόµενες της fC οι οποίες διέρχονται από το

σηµείο Μ(0,-2013).



65.Η προϋπηρεσία των συµβασιούχων µιας δηµόσιας υπηρεσίας έχει οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το εύρος είναι R=16.

Α)Να δείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c=4 και α=20.

Β)Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε στήλες :

2, , %, , %, ,i i i i i i i i ix f f F F x f x f

Γ)Να βρείτε την µέση τιµή x , την τυπική απόκλιση s και να εκτιµήσετε το ποσοστό των συµβασιούχων που έχουν χρόνια υπηρεσίας τουλάχιστον x s− και το πολύ x s+ .

Δ)Η πολιτεία αποφασίζει να απολύσει τους συµβασιούχους που έχουν προϋπηρεσία λιγότερη από 4 έτη. Να βρείτε την νέα µέση τιµή του χρόνου προϋπηρεσίας .

Χρόνια υπηρεσίας Κέντρα κλάσεων fi%

[ )− 2a

[ )− a

[ )− 10 32a

[ )− 2a

Σύνολο

G.H.Hardy

Είναι γεγονός ότι υπάρχουν λίγα µόνο αντικείµενα µελέτης πιο "δηµοφιλή" από τα µαθηµατικά .Οι περισσότεροι άνθρωποι τρέφουν κάποια εκτίµηση γι’ αυτά ,όπως ακριβώς οι περισσότεροι απολαµβάνουν ένα ευχάριστο µουσικό σκοπό. Και πιθανό να υπάρχουν περισσότεροι που να ενδιαφέρονται πραγµατικά για τα µαθηµατικά απ ΄ότι για την µουσική .Τα φαινόµενα ίσως να δείχνουν το αντίθετο , αλλά αυτό µπορεί εύκολα να εξηγηθεί.Η µουσική µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ενεργοποιήσει το συναίσθηµα των µαζών,ενώ τα µαθηµατικά δεν µπορούν .Και ενώ η µουσική ανικανότητα αναγνωρίζεται (σωστά, χωρίς αµφιβολία) ως ελαφρώς επικριτέα , οι περισσότεροι φοβούνται τόσο πολύ το όνοµα των µαθηµατικών ώστε είναι διατεθειµένοι, χωρίς να τους υποχρεώνει κανείς, να υπερβάλλουν την µαθηµατική τους ανοησία.



66.Εστω Α,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χωρου Ω και µια συνάρτηση

3 21 9 1( ) 2014,2 40 20

f x x x x x= − + − + ∈

Οι πιθανότητες ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P A B∩ ∪ είναι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ µε διάµεσο δ την θέση τοπικού µέγιστου της f και οι πιθανότητες

( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P B A P A B P A B∩ − − ∪ έχουν µέση τιµή x την θέση τοπικού ελαχίστου της f. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( ), ( )P A B P A B∩ ∪ .

67Εστω ο δειγµατικός χώρος Ω και ένα ενδεχόµενο του Α, A ≠ ∅ .

Α) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης 2( ) 2 2 1,f x x x x= − + ∈ .

Β) Θεωρούµε τις παρατηρήσεις: ( ), ( '), ( ), ( )P A P A P P∅ Ω

i)Να υπολογίσετε την µέση τιµή και την διάµεσο τους .

ii)Να δείξετε ότι η διακύµανση τους είναι:

2 21 (2 ( ) 2 ( ) 1)4

s P A P A= − +

iii)Να δείξετε ότι 2

2CV ≥ και ότι η ισότητα ισχύει όταν ( ) ( ')P A P A=

68.A)Έστω x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση 30 θετικών παρατηρήσεων

1 2 30, ,....,x x x .Αν ισχύει 30

2 2

1

3030ii

x s=

=∑ τότε να βρείτε το συντελεστή µεταβολής του δείγµατος

και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές .

Β) Έστω , , 'A B B A≠ ∅ ≠ δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω .Δίνονται οι συναρτήσεις:

3 240( ) 2 ( ) ( ) 2,3

f x CVx P A B x P A B x x= − ∪ + ∪ + ∈ , µε CV το συντελεστή µεταβολής του

ερωτήµατος (Α) και

23( ) 666,2

g x x ax x= − + ∈ , α πραγµατική παράµετρος .

i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.



ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Α(0,f(0)).

iii)Αν η παραπάνω εφαπτοµένη σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού 4 τ.µ, τότε να

αποδείξετε ότι 1( )2

P A B∪ = .

iv)Αν 0

(1 ) (1)lim 2h

g h gh→

+ −= να βρείτε την τιµή του α.

v) Αν η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση ( )x P A B= − να βρείτε την πιθανότητα ( )P B . 69.Α.Εξετάσαµε ένα δείγµα ως µια µεταβλητή Χ και πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων

Η µέση τιµή και η διάµεσος του δείγµατος διαφέρουν κατά

0.46

A1.Να δείξετε ότι λ=16.

A2.Να βρείτε την µέση τιµή x και την διάµεσοδ του δείγµατος.

B. Δίνεται µια συνάρτηση 2

( ) 1,xf x e xα α α= − + ∈ και ο

δειγµατικός χώρος ( )3 / 3.312

xα α δΩ = ∈ ≤ − + .

Β1) Να βρείτε τις ', ''f f .

Β2)Για ποια τιµή του α το '(0)f γίνεται ελάχιστο ;

ix iN

1 λ

2 30

3 50

4 100

Το να γνωρίζεις δεν είναι απολύτως τίποτα. Το να φαντάζεσαι είναι το παν.

Ανατόλ Φρανς



Β3) Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α,Β µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα έτσι ώστε να ισχύει:

/ '(0) (0)A f fλ= ∈Ω > και / ''(0) 256B fλ= ∈Ω <

Να βρείτε τις πιθανότητες:

i) ( )P A B∩ ii) ( )P A B−

iii) ( )P B A− iv) ( )( ) ( )P A B B A− ∪ −

δ)Αν x είναι µέση τιµή 5 , 6 ,3 ,10α α α α− µε α ∈Ω ,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου 1 / 11

xx

λ −Γ = ∈Ω >

+.

70. Έστω 1 2, ,..., νx x x οι ν παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε µέση τιµή 0≠x και τυπική

απόκλιση s. Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε ( )21( ) 18

f x xx s x= − + .

Α. Αν η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία 2y x= − + , να υπολογίσετε το συντελεστή CV του δείγµατος και να εξετάσετε αν το

δείγµα είναι οµοιογενές. Β. Αν είναι γνωστό ότι

2lim ( ) 2x s

f x→

= − , να βρείτε τη µέση τιµή x και την τυπική απόκλιση s.

Γ. Αν 4 και 1x s= = και γνωρίζουµε ότι ισχύει ο τύπος

2

12 2

1

1

ν

iνi

ii

Xs X

ν ν=

=

= −

∑∑ , να

υπολογίσετε το άθροισµά 1 2( ) ( ) ... ( )νf x f x f x+ + + , συναρτήσει του πλήθους ν των παρατηρήσεων.

Δ. Εάν υποθέσουµε ότι η καµπύλη κατανοµής του δείγµατος είναι περίπου κανονική, να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που περιέχονται στο διάστηµα (2, 5) καθώς και το εύρος R των τιµών του δείγµατος.



71. Στα δυο τµήµατα Γ1 και Γ2 της Γ τάξης ενός Λυκείου ο µέσος όρος της βαθµολογίας στο πρώτο τετράµηνο στο µάθηµα των Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας ήταν 12x = και η διακύµανση 4. Στο δεύτερο τετράµηνο όλοι οι µαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά 1 µονάδα, ενώ οι µαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά 10%. Α. Να βρείτε τη νέα µέση τιµή και τη νέα τυπική απόκλιση για το κάθε τµήµα. Β. Ποιου τµήµατος η βαθµολογία παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια κατά το δεύτερο τετράµηνο;

Γ. Αν το άθροισµα των τετραγώνων των βαθµών στο µάθηµα των Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας για τους µαθητές του Γ1 κατά το δεύτερο τετράµηνο ήταν 4325, να βρείτε το πλήθος των µαθητών του Γ1.

Δ. Αν οι βαθµολογίες των µαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανοµή, να βρείτε το πλήθος των µαθητών που είχε βαθµό τουλάχιστον 14 στο πρώτο τετράµηνο.

Ε. Αν σε ένα µαθητή του Γ1 κατά λάθος αντί 15 που ήταν ο βαθµός του στο δεύτερο τετράµηνο είχε σηµειωθεί 11, να υπολογίσετε την κανονική µέση τιµή και διακύµανση των βαθµών των µαθητών στο Γ1.

72. Δίνεται η συνάρτηση f µε ( ) ( )2 2 1, 0,f x x x x Rα α α µε και α= − + + ∈ ∈ +∞ .

Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της fC στο σηµείο της ( )( )0, 0fΜ

Β 1) Να δείξετε ότι το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζει η (ε) µε τους άξονες

x x′ και y y′ είναι ( ) ( )214

E+

=α

αα

.

2) Να βρείτε για ποιες τιµές του α το εµβαδό αυξάνεται και για ποιες µειώνεται. 3) Να βρείτε για ποια τιµή του α το εµβαδό γίνεται ελάχιστο και ποια είναι η ελάχιστη

τιµή του. 4) Να δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού αυξάνεται συνεχώς Γ. Αν οι τετµηµένες 10 σηµείων της ευθείας (ε) του Α ερωτήµατος έχουν µέση τιµή 4 και

διακύµανσή 14να βρείτε την τιµή του α ώστε οι τεταγµένες των παραπάνω 10 σηµείων

να έχουν συντελεστή µεταβλητότητας 10%.



73.Αν θεωρήσουµε ένα ενδεχόµενο Γ ενός δειγµατικού χώρου Ω που ικανοποίει την

ισότητα ( ) 2 ( ) 1 2 9,P P λ λΓ − − Γ + = + ∈ και µια συνάρτηση ( ) (2 3)2

xa ef x x β− ⋅= + + , x∈

µε ,α β αντίστοιχα την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή που µπορεί να πάρει το λ.

Α)Να βρείτε τις τιµές των α,β.

Β)Για 4, 5α β= − = − .

i) Να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

ii) Αν A,B δυο ενδεχόµενα του παραπάνω δειγµατικού χώρου Ω µε 1( )P A x= και

1( )( )6f xP B

e−

= όπου η f παρουσιάζει ελάχιστη τιµή στο 1x , να βρείτε τις τιµές των

( ), ( )P A P B .

iii) Αν 1 2( ) , ( )2 3

P A P B= = να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α,Β είναι ασυµβίβαστα.

iv) Να αποδείξετε ότι 1 2( ' ')6 3

P A B≤ − ≤ .

74.Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1,1

xf x xx

= + ∈+

και ο δειγµατικός χώρος 1 2 3 4 , , , ω ω ω ωΩ =

όπου 1 1ω = − , 2 0ω = και 3 41 ω ω< < .Δίνονται επίσης , οι πιθανότητες 1( ) ( )3i iP fω ω= − , 1,2i =

και 3 1

1 '( )( ) lim6 1x

f xPx

ω→

= −−

Α.Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α,Β,Γ του δειγµατικού χώρου Ω µε

/ '( ) 0A fω ω= ∈Ω ≤ , / ( ) 1fω ωΒ = ∈Ω > 2 1 / , 4

x x xω ω για καθεΓ = ∈Ω + ≥ − ∈

i)Να βρείτε τις πιθανότητες 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )P P P Pω ω ω ω ii)Να βρείτε τις πιθανότητες ( ), ( ), ( )P P PΑ Β Γ και ( )P BΑ−

Β.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της f , η οποία σχηµατίζει µε τον άξονα χ’χ γωνία 45ο .

Γ.Αν ( , )yκ κ κωΜ , 1,2,3,4κ = είναι σηµεία της εφαπτοµένης (ε): 1y x= + µε



2 yκ κωδ δ= και 5kyR = −

Τότε να υπολογίσετε τα 3ω και 4ω του δειγµατικού χώρου Ω,οπου

κωδ :η διάµεσος των τετµηµένων των σηµείων κΜ

yκδ :η διάµεσος των τεταγµένων των σηµείων κΜ

kyR : το εύρος των τεταγµένων των σηµείων κΜ

75.Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω=1,2,…,ν, *ν ∈ που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και ισχύει:

3 3 3(2014 100 ) (40 1000) (60 1014) 0ν ν ν− + − + − =

i) Να δείξετε ότι ( ) 25Ν Ω = .

ii) Αν επιλέξουµε τυχαία έναν αριθµό από το Ω, ορίζουµε τα ενδεχόµενα :

Α= ο αριθµός να είναι πολλαπλάσιο του 3 ή του 4

Β= ο αριθµός να είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 4

Να βρείτε τις πιθανότητες ( ), ( )P PΑ Β .

Bertrand A. W. Russell

Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε να αποστηθίσω:‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’. ∆εν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.



ΛΥΣΕΙΣ

1.1)Σ 2)Σ 3)Σ 4)Λ 5)Λ 6)Λ 7) Λ 8) Λ 9)Σ 10)Λ 11)Σ 12)Λ 13)Σ 14)Λ 15) Σ 16) Λ 17) Σ 18)

Λ 19) Λ 20)Λ

2.Α)

( )

2 2

2 2 2

22

26 10 2 1 025 10 1 2 0

(5 1) 05 1 0 0

15

α α αβ β

α α α αβ β

α α βα και α β

α β

− − + + = ⇔

− + + − + = ⇔

− + − = ⇔

− = − =

= =

1 2 31 1( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 1 12 5 5 2 10

P P P P

a

ω ω ω

β γ γ γ

Α = ⇔ + + = ⇔

+ + = ⇔ + + = ⇔ =

Β)

3

42

4

( ) ( )

( ) 3 ( )

g x P x

g΄ x P x

ω

ω

=

=

Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο (1,g(1)) είναι παράλληλη στην

ευθεία =y x άρα (1) 1g΄ = ⇔

4 413 ( ) 1 ( )3

= ⇔ =P Pω ω

1 2 3 4 5

5 5

5 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 5( ) 1 ( ) 15 5 10 3 6

5 1( ) 1 ( )6 6

P P P P P

P P

P P

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω

+ + + + = ⇔

+ + + + = ⇔ + = ⇔

= − ⇔ =

Γ) 1 2 5 4( ) ( ) , , , K A B B A ω ω ω ω= − ∪ − =

άρα 31 9( ) 1 ( ) 1

10 10P K P ω= − = − =

'A BΛ = ∪ = Α άρα 1( ) ( )2

P PΛ = Α =



3. Εφόσον οι χρόνοι των δυο διαδροµών ακολουθούν την κανονική κατανοµή έχουµε:

Α) Παρατηρούµε ότι και στα δύο µέσα ο επιβάτης φτάνει στο τέλος στις διαδροµής τουλάχιστον σε 23 λεπτά στο 16% των περιπτώσεων άρα δεν έχει σηµασία ποιο µέσο θα διαλέξει σε αυτήν την περίπτωση ο Γιάννης .

11 14 17 20 23 26 29

99,7%95%68%

34%34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15% 13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%2.35%2.35%

15 17 19 21 23 25 27

99,7%95%68%

34%34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15% 13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%2.35%2.35%

Αστικό λεωφορείο γραµµής Α µε

20Ax = λεπτά µε τυπική απόκλιση

3As = λεπτά

Τρόλει γραµµής Β µε

21Bx = λεπτά µε τυπική απόκλιση

2Bs = λεπτά



Β) Το αργότερο σε 17 λεπτά το λεωφορείο της γραµµής Α φτάνει στο 16% των περιπτώσεων ενώ το τρόλεϊ Β στο 2,5% των περιπτώσεων άρα σε αυτήν την περίπτωση ο Γιάννης πρέπει να επιλέξει το λεωφορείο της γραµµής Α.

4.Α)Από υπόθεση: 240 340( ) , ( )400 400

P B P A= =

Έστω ότι είναι ασυµβίβαστα τότε θα ισχύει:

240 340 580( ) ( ) ( ) 1400 400 400

P B A P B P A∪ = + = + = > άτοπο άρα δεν είναι ασυµβίβαστα.

Β) Εφόσον κάθε υπάλληλος παρακολούθησε ή το ένα ή το άλλο σεµινάριο θα ισχύει

( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )340 60 3( ) 1 ( ) ( )400 400 20

P B A P B P A P B A P B P B A P A

P B A P B A P B A

∪ = ⇔ + − ∩ = ⇔ − ∩ = − ⇔

− = − ⇔ − = ⇔ − =

Γ)Από το ερώτηµα Β)

3 3( ) ( ) ( )20 20

3 240 3( ) ( ) ( )20 400 20

180 9( ) ( )400 20

P B A P B P B A

P B A P B P B A

P B A P B A

− = ⇔ − ∩ = ⇔

∩ = − ⇔ ∩ = − ⇔

∩ = ⇔ ∩ =

340 9 8( ) ( ) ( ) ..4 2

2500 0 20

P A B P A P B A− = − ∩ = − = = =

Δ)

(( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )9 11( ) ( ) 120 20

P A B B A P A B P B AP A P B A P B P B A

P B A P B A

− ∪ − = − + − == − ∩ + − ∩ =

= ∪ − ∩ = − =

5.Α) ( )

( )( )2 2

22 2 22 2

2 2 2

( ) 1 11lim lim22 1 2 1 1 1 1x x x x

x x x x xx xxx x x x x x

δ→ →

− − + +−= = =

− + − − + − − + +

( )( )2

2 2 2

2 22

( ) 1 11lim2 1 1x x

x x x x x

x x→

− − + += =

− + −

( )2

2 2 2

2

( ) 1 11lim2 1 1x x

x x x x x

x x→

− − + +

− + −

( ) ( )2

2 2 2

2 2 2 2 22

( ) 1 11 1 1lim 1 1 22 2 2x x

x x x x xx x x x x

x x→

− − + += − + + = =

−



Β) i)Έστω ότι ισχύει 11 1

1 1( )2 2 2

P x ν ννν

> ⇔ > ⇔ > , αυτό σηµαίνει ότι περισσότερες από τις µισές

παρατηρήσεις έχουν τιµή 1x , άτοπο γιατί τότε η διάµεσος θα ήταν 1x και όχι 2x .Άρα 11( )2

P x ≤ .

ii) 1 2 4

1 2 41 1 2 2 4 4

1 2 41 2 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x xx P x x P x x P xAP x P x P x

ν ν νν ν νν ν νν ν ν

+ ++ += = =

+ + + +

33 3 3 3 3 3 31 1 2 2 4 4

31 2 4 3 3 3

(1 )1 1 1

x xx x f x x f x fx f x f x f xf f f f f f

=− − −+ += = = = =

+ + − − −

6.A)

ix iν i ixν

1 3 ( )P B A− 3 ( )P B A−

2 2 ( )P B 4 ( )P B

3 3 ( ) 2P A + 9 ( ) 6P A +

4 3 12

3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5v P B A P B P A= − + + +

3 ( ) 4 ( ) 9 ( ) 18P B A P B P A− + + +

3 ( ) 4 ( ) 9 ( ) 18 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 9 ( ) 1833 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5

1 17 ( ) 3 9 ( ) 18 7 ( ) 9 ( ) 186 23 31 15 ( ) 3 3 ( ) 5 5 ( ) 3 ( ) 56 2

315 ( ) 9 ( ) 15 7 (2

P B A P B P A P B P B A P B P AxP B A P B P A P B P B A P B P A

P B P A P B P A

P B P A P B P A

P B P A P

− + + + − ∩ + + += ⇔ = ⇔

− + + + − ∩ + + +

− + + − + += ⇔ = ⇔

− + + − + +

− + + =1 1) 9 ( ) 18 8 ( ) 14 18 8 ( ) 4 ( )2 2

B P A P B P B P B− + + ⇔ + = ⇔ = ⇔ =



B)

1(( ) ( ))2

1( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 1( ) 2 ( ) ( ) ( )2 2 3 2

1( )3

P B A A B

P B P B A P A P B A

P B P B A P A P A

P A

− ∪ − = ⇔

− ∩ + − ∩ = ⇔

− ∩ + = ⇔ − + = ⇔

=

1 1 1(( ) ( ) ( )2 6 3

P B A P B P B A− = − ∩ = − =

Άρα ο πίνακας παίρνει την µορφή:

ix iν

1 1

2 1

3 3

4 3

8

Και η ζητούµενη πιθανότητα είναι 14

.

Γ)δ=3

ix iν ix x− ( )2

ix x− ( )2

i iv x x−

1 1 1 3 2− = − 4 4

2 1 2 3 1− = − 1 1

3 3 3 3 0− = 0 0

4 3 4 3 1− = 1 3

8 8

2 8 1 18

s s= = ⇒ = άρα 13

CV = .

7.Α) Η µέση τιµή είναι 1 2 20 1x ν ν νν ν

⋅ + ⋅= = αλλά 2

21 1 22 2

x ν ν νν

= ⇔ = ⇔ = (1)

2 1ν ν ν+ = (2).Από (1) ,(2) προκύπτει 2 1 2 1 22ν ν ν ν ν+ = ⇔ = .



Β)

2 2

2 2 1 2 1 2 1 22 1 2

1 1 1 1 1 11 ( )(0 ) (1 ) 12 2 4 4 4 44

vx xsν ν ν ν ν νν ν

ν ν ν ν ν

+ − + + − + − = = = = = =

2 1 14 2

s s= ⇒ =

Γ)

12 112

sCVx

= = = ,άρα το δείγµα είναι ανοµοιογενές .

Δ) 2 2 21( ) 2 ( )4

f x s x xx f x x x= − ⇒ = − , έχουµε 1'( ) 12

f x x= −

Η µονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον πίνακα

x −∞ 2 +∞

( )f x - +

'( )f x

Ε) Ο τύπος της διακύµανσης παίρνει την µορφή:

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

i i i 2 2i 12 2 2 2 2i 1 i 1i

i 1

t t t1s t x x s x x

v

ν ν ν

ν= = =

=

= − = − = − ⇔ = − ν ν ν

∑ ∑ ∑∑ (3)

Με αντικατάσταση στον τύπο (3) 2 2

2 2 21 1 1 1 5x x x4 2 16 4 16

= − ⇔ + = ⇔ =

.

8. Α) 2 2 2

1 2 3 10 50 2 6 15v v v v a γ β α γ β+ + = ⇒ − + + − + − =

( ) ( ) ( )

50 15 352 2 2

25 9 12 2 2

2 5 25 2 3 9 2 1 0

5 3 1 0

5 0 53 0 31 0 1

γ γ β β α α

γ β α

γ γβ βα α

− = =

= + +⇒ − ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − + =

⇒ − + − + − = ⇒

− = =⇒ − = ⇒ =

− = =

Minf=f(2)=-1



Τα µεταφέρω στον πίνακα. 2 210 50 1 10 5 50 1a γ− + = − ⋅ + =

2 22 3 2 1 9 2 7aβ − = − ⋅ = − =

2 26 5 6 3 25 18 7γ β− = − ⋅ = − =

Β)

→

3

1 60 4 415

i ii

x vx x

v== = = ⇒ =∑

Αφού 15v = περιττός 1 15 1 16 8

2 2 2vi + +

= = = =

Άρα, 8 4 4tδ δ= = ⇒ =

Άρα, x δ=

9. 1 2 61 2 6

...15 15 ... 90 (1)6

x x xx x x x+ + += ⇒ = ⇒ + + + =

( )

26 62 2

612 2 1

1

2 2 2 22 2 2 2 2 21 6 1 61 2 6

2 2 21 2 6

19 9 96 6 6 6

... ...9 15 9 ... 15 9 66 6

... 234 6 (2)

i ix

i

xi xi xiS xi

x x x xx x x x

x x x

= =

=

= ⇒ − = ⇒ − = ⇒

+ + + +⇒ − = ⇒ − = ⇒ + + = + ⋅ ⇒

⇒ + + = ⋅

∑ ∑ ∑∑

Αφού επισυνάπτω την 7x οι παρατηρήσεις γίνονται 7, άρα:

ix iv

11 1

3 7

4 7

15

ix iv i ix v iN θέσεις

3 7 21 7 1η-7η

4 7 28 14 8η-14η

11 1 11 15 15η

15 60



(1)1 2 6 7... 90 8 98 14 14 (3)

7 7 7x x x xy y+ + + + +

= = = = ⇒ =

( )

2 27 7 72

712 2 2 1 1

1

2 2 2 2 2(2),(3)22 2 2 21 2 6 7

17 7 7 7

( ... ) 234 6 8 96 96147 7 7 7

i i iy y

i

y y y y

yi yi yiS yi S

x x x xS y S S S

= = =

=

= − ⇒ = − ⇒

+ + + + ⋅ +⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

∑ ∑ ∑∑

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ x

14 15100% 100% 6,67%15

ποσ ΤΕΛ −ΑΡΧ −= ⋅ = ⋅ = −

ΑΡΧ

Επήλθε µείωση 6,67%.

10.

•

0 ln( 1) ln 3 ln1 ln( 1) ln 3 1 1 3 2 4

2,3 2,3x

x x x x

x Ά Aρα∈Ω

≤ − < ⇒ ≤ − < ⇒ ≤ − < ⇒ ≤ <

⇒ = =

•

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2

5 1 6 1 1 5 6 1 0

1 5 6 0 1, 5 6 0 2,3

1, 2,3

x x x x x x x x

x x x x x x x

Άρα

− − = − − ⇒ − − + − = ⇒

⇒ − − + = ⇒ = − + = ⇒ =

Β =

Α) A B− ≠ ∅ ( ) 0P A B− =

( )

1,4,5

1,2,3,4,5 ( ) 1

A

B A P B A P

′ =

′ ′∪ = ∪ = Ω =

Β) 4,5 1, 4,5B A B′ ′ ′= ∪ = άρα

( ) (1) (4) (5) (1)P A B P P P′ ′∪ = + +

Όµως, 1 1( ) (2) (3)4 4

P A P P= ⇒ + =

(1)

1(1) (2) (3) (4) (5) 1 (1) (4) (5) 14

1 4 1 3( ) 14 4 4

P P P P P P P P

P A B

+ + + + = ⇒ + + = −

−′ ′⇒ ∪ = − = =



11 1( ) (1)8 8

1 1( ) (2) (3)4 4

B A

P B A P

P A P P

− =

− = ⇒ =

= ⇒ + =

Γ) 2,3 1, 2,3A B= =

Αφού A X B∪ = , τότε:

≠ ∅X ή 1 1, 2 1,3 1, 2,3X ή X ή X ή X= = = =

Άρα, min ( ) 0P X =

1 1 3max ( ) (1) (2) (3)8 4 8

P X P P P= + + = + =

11. Α) 7 5 2 5 8 6 5 36 6 41 66 25

11ax a aβ γ β γ β γ+ + + + + + + + + +

= ⇒ = ⇒ + + + = ⇒ + + =

Αφού 6δ = , τότε δεξιά του 6 βρίσκονται 5 αριθµοί και αριστερά άλλοι 5. Δηλαδή,

2,3,5,5,5,6, , , , , Άρα, οι αριθµοί 7, , ,8,α β γ βρίσκονται δεξιά του 6.

Όµως, 8 max min 8 max 2 8 max 10R = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

Άρα, 10γ = , αφού α β γ< < .

( )

2 2 2 2 22 2 2

22 2 2 2 2

2 2

25 10 25 15 1510 217 117217

117 15 117 225 30 117 0

2 30 108 0 15 54 054 6 915 9 6

6, 9

PΆ ύ

SΆ

α β γ α β α β α βα β α βα β γ

α β β β β β β

β β β ββ α

τοπο αϕο α ββ α

ρα α β

+ + = + + = + = ⇒ = −⇒ ⇒

+ + = + =+ + =

+ = ⇒ − + = ⇒ − + + − =

⇒ − + = ⇒ − + =

= = =⇒ ⇒ <

= = =

= =

Β) Άρα ( ) ( ) ( )

2,3,5,5,5,6, 6 ,7,8, 9 ,10α β γ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22

2

2 6 3 6 5 6 3 6 6 2 7 6 1 8 6 9 6 10 611

16 9 3 0 1 4 9 16 58 5811 11 11

S

S S

− + − + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − + − + −=

+ + + + + + +⇒ = = ⇒ =



Γ)

1 1 1 2

2 2 1 21 2

11 11 1 2

...

y x C Cy x C C

Y X C C

y x C C

= ⋅ += ⋅ +

⇒ = ⋅ +

= ⋅ +

Θέτω: 1 1 1 6z x C z C x C= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅

1 1Sz C Sx C Sx= ⋅ = ⋅

Άρα, 1 21 222 2 2

1 1 1

9 69 69 6 2 3

2 2C CC Cy z Cy z C C C

Sy C Sx Sx Sx C CSy Sz= += ⋅ += +

= + ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ = −= ⋅ = ⋅ ⇒ ==

12. Α) Αφού 1Fκ = , N vκ = , τότε θέτω i κ=

( ) ( )2 2

2 22 2

22 2

10 101 1 1 1

101 10 10 0 ( 10) 0

0

10 0 10

N N a v v aF Fa a

v v a a v v a v v v va

v ίή

v v

κ κκ κ

απορρ πτεται

− + − ++ − = ⇒ + − = ⇒

− +⇒ = ⇒ = − + ⇒ − = ⇒ − = ⇒

⇒ =

− = ⇒ =

Β) i)

2 22

1 12 2 2 12 2

1

110 10 10

i i i ii ii ii

i ii

x v x vx vs x v s

κ κκ

κ

κ= ==

=

= − ⇒ = − ⇒

∑ ∑∑∑

2 2 2 2

2 2 21 1 1 12

100 0

10 10 10 10

i i i i i i i ii i i i

x v x v x v x vs s s s

κ κ κ κ

= = = == − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

ii) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 22...

0 0x x v x x v x x v

sv

κ κ− + − + + −= ⇒ =



( )( )

( )

2

1 11

2

22 21 2

2

0

0 .........

0

x x v x x

x xx x v x x x

x xx x v

κ

κκ κ

− = =

=− =⇒ ⇒ = = =

=− =

13. 1 1( )

1f x

x x′ = −

+

( )

( )

( )

( ) [ ]

2

3( )

(1) 9 (2) 22 (2)

9 (3) 22 (3) 9 (2) (3) ... ( ) 22 (2) (3) ... ( )...

9 ( ) 22 ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 19 1 22 ...2 3 3 4 4 5 1 11 19 222 1

v

P f

P f P P P v f f f v

P v f v

v v v v

v

κ

κ

κ

=

=+

=

′⇒ =

′⇒ = ′ ′ ′⇒ + + + = + + +

′⇒ =

⋅ = − + − + − + + − + − − + ⇒ = − +

1 2 ( 1)9 22 9 112( 1) 1

9 9 11 11 2 20 10

v vv v

v v v v

+ − −⇒ = ⋅ ⇒ = + +

⇒ + = − ⇒ = ⇒ =

14. Α) 22, 20x s= − =

( )2( ) 3 2f x x′ = +

Οι συντελεστές διεύθυνσης είναι: ( ) ( ) ( )1 2 10, ,...,f x f x f x′ ′ ′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 21 2 10 1 2 10

2 2 22 1 2 10 2

... 3 2 3 2 ... 3 210 10

...3 3 3 20 60 60

10

x

f x f x f x x x xx

x x x x x xs x

ε

ε

=−

′ ′ ′+ + + + + + + + += = ⇒

− + − + + −⇒ ⋅ = = ⋅ = ⇒ =

Β) ( ) 6( 2)f x x′′ = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 10 1 2 10

1 2 10

... 6 2 6 2 ... 6 2

6 ... 20 6 10 20 6 10 ( 2) 20 6 20 20 6 0 0

f x f x f x x x x

x x x x

′′ ′′ ′′+ + + = + + + + + +

= + + + + = + = ⋅ − + = − + = ⋅ =

Γ) Οι τεταγµένες των σηµείων είναι: 1 2 10, ,...,y y y



( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 101 2 10

6 2

...... 0 0 010 10 10

i i iy x f x

f x f x f xy y yy y

′′= + =

′′ ′′ ′′+ + ++ + += = = = ⇒ =

Άρα δεν υπάρχει CV.

15. Α) ( )( ) 2 2f x x′ = −

( ) 0 2f x x′ = ⇒ =

Β) ( ) ( )2 2

1 101 2 10 2 ... 2...10 10

x xy y yy− + + −+ + +

= = =

( ) ( )2 2

1 10 2 2...

3 9 910

x x x xs y

− + + −= = = = ⇒ =

Γ) ( )( ) 2 2f x x εϕω′ = − =

( )( )

( )

1 1 1

2 2 2

10 10 10

( ) 2 2

( ) 2 2....

( ) 2 2

f x x

f x x

f x x

εϕω

εϕω

εϕω

′ = − =

′ = − =

′ = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 10 1 2 10

1 2 10

... 2 2 2 2 ... 2 210 10

2 10 2 102 ... 2 10 30 20 102 2 210 10 10 10

f x f x f x x x x

xx x x

′ ′ ′+ + + − + − + + −= =

− ⋅+ + + − ⋅ −= = = ⋅ = ⋅ =

Δ) 1 2 10... 2x x x< < < ≤

10 15 5R x x= ⇒ − =

Όµως, ( )( )2 2 2 210 1 10 1 10 1 10 115 15 15x x x x x x x x= − ⇒ − = − ⇒ − + = − ⇒

( )10 1 10 15 15 3 (1)x x x x⇒ + ⋅ = − ⇒ + = −

Τεταγµένες 1 1 2 2 10 10( ), ( ), ...., ( )y f x y f x y f x= = =



( ]1 2 10, ,..., , 2x x x ∈ −∞ όπου f

1 2 10 1 2 10... ( ) ( ) ... ( )f

x x x f x f x f x< < < ⇒ > > > . Άρα,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 21 10 1 10 1 10 1 10

1 10 1 10

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

4 5 3 4 5 7 35

R f x f x x x x x x x

x x x x

= − = − − − = − − + ⋅ − + − =

= − ⋅ + − = − − − = − ⋅ − =

16. Α) ( ) ( ),0 0,fD = −∞ ∪ +∞

2

2 2

9 9( ) 1 ( ) 0 3xf x f x xx x

−′ ′= − = ⇒ = ⇒ = ±

Β) 1 9(1) 8

1f −′ = = −

(1) 1 9 10(1) (1) ( 1) 10 8( 1) 8 18

fy f f x y x y x

= + =′− = ⋅ − ⇒ − = − − ⇒ = − +

Γ) 1 18 18y x= − +

2 2

10 10

8 18...

8 18

y x

y x

= − +

= − +

8 18

8 8 328 4

i i

i i

z x

y x

z x z xS S

= − +

= − ⇒ = − = −

= − =

18 32 18 1418 4

4 4 2 28,57%14 14 7

i i y z

y y

y zy z S S

CV CV

= + = − + = −= + = =

= = = ⇒ =−



Για να µειωθεί ο CV πρέπει να προσθέσω µια αρνητική σταθερά, αφού 0y < .

, 0 144

4 410% 0,1 0,1 4 1,4 0,1 26, 2614 14

y

yS S

CV ά

ω

ω

ω κ κ ω κ

κ κ τουλ χιστονκ κ

= − > ⇒ = − −= =

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ + ⇒ ≥− − +

Δ) i) Τιµές διεταγµένες και πλήθος περιττός, άρα 5 5 2x xδ = ⇒ =

Στο (0,3) η ( )f x άρα 1 2 9 1 2 9... ( ) ( ) ... ( )x x x f x f x f x< < < ⇒ > > >

Άρα 59 4 9 13( ) (2) 22 2 2

f x fδ += = = + = =

ii) 10 11 10 1 10

1 10 1 10

9( )9 9 9 2 18 4 62( ) ( ) 2 2 25 5 54

x xR f x f x x xx x x x

− ⋅ ⋅= − = + − − = − + = − + = − + =

⋅

17. Α) 1 2 100( ) ( ) ... ( ) 1 1100 100 100

P P Px xω ω ω+ + += = ⇒ =

Β) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 21 2 100( ) 3 3 ... 3f x P x P x P xω ω ω′ = − − − − − − −

( ) ( )

2 2 2

1 2 100

2 2

1 100 2 2

1 1 1( ) ( ) ... ( )100 100 1001 3 100

100 100

( ) ... ( )1 13 100 3 100 300100 100 100

P P Pf

P x P xf s f s

ω ω ω

ω ω

− + − + + − ′ = − ⋅

− + + − ′ ′= − ⋅ = − ⋅ ⇒ = −

Γ) Η 175

y = − εφαπτ. Της f g′ =

Έστω ( )0 0, ( )x g x σηµείο επαφής

( )0 0 0 0 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )75

y g x g x x x y g x x g x x g x y′ ′ ′− = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = −

0 0

0 00 0 0

( ) 0 ( ) 01 1( ) ( ) ( )1 75 100( ) ( )

75

g x f xg x f x f x f

g x x g x

′ ′= ⇒ = ′ ′ ′⇒ = − = = = ′− ⋅ + = −

2 2

1 1002

1 1( ) ... ( )100 100

100

P Ps

ω ω − + + − =



Άρα, 2 2 21 1 1 1 1 1300100 75 75 300 75 22500 150

f s s s s ′ = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

1100 2150

1 150 3100

sCVx

= = = =

18. Α) 1( ) ... ( ) 1 1 99

vP Px vv v

ω ω+ += ⇒ = ⇒ =

Β) 1 9( ),..., ( )P Pω ω . Όλες οι ( )iP ω είναι 1≤ , άρα σε οποιαδήποτε διάταξη επειδή είναι 9, τότε

έστω: ( )5= Pδ ω . Έστω 0,2δ > . Αφού 9 5v δ η= ⇒ = παρατήρηση. Άρα, οι επόµενες 4

παρατηρήσεις θα είναι και αυτές µεγαλύτερες του 0,2. Άτοπο, άθροισµα πάνω από 1.

Γ)21( ) 3 0

9f x x f ′ = − > ⇒

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 1 9

1 1 2 2( ) 1 9

2

2 29 9

1 3 ( ) ... ( )1 12( ) 3 ( )9 ( ) ... ( )1... 3 9

12 91 1 1 1( ) 3 ( ) 279 12 12 27 18

P x P xf P P

P x P x

f P P s s s

ω ωω ω

ω ω

ω ω

+

= − + + − ⇒ ′ = − − + + −

⇒ = ⋅ ⇒

′ = − = ⇒ = ⇒ = ⋅

Άρα,

19 1 118

1 18 2 29

sCV CVx

= = = = ⇒ =

19. Α) ( ) ( )22 2(1) (3 1 2) (1 1 1) (1) (1) 1 1 0g f f f f= ⋅ − + − + = + = − + − =

2

2

1

( ) 2 (3 2) (3 2)(3 2) ( 1)(2 1)( ) 2 (3 2) (3 2) 3 ( 1)(2 1)

(1) 2 (1) (1) 3 (1) 1 2( 1) 1 3 1 1 5x

g x f x f x x f x x xg x f x f x f x x x

g f f f=

′ ′ ′ ′= − − − + − + −

′ ′ ′⇒ = − − ⋅ + − + −

′ ′ ′⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = −

Άρα, ( )(1) (1) 1 0 5( 1) 5 5y g g x y x y x′− = ⋅ − ⇒ − = − − ⇒ = − +

Β) 5 5y x= − +

Θέτω: 5z x= − , άρα 5 5 400 2000z x z= − = − ⋅ ⇒ = −



5 5 2000 5 1995y z y z y= + ⇒ = + = − + ⇒ = −

( )

( ) ( )

( )

22004

2 2 2 2

1

2222 2 2

2 2 2 2

1200 2002004 2004

200 2002004 2004

200 400 200.000

ii

i

i i

xs x

x xx x

x x

=

= ⇒ − =

⇒ − = ⇒ − = ⇒

⇒ = + ⇒ =

∑∑

∑ ∑

20. Α) ( )0,fD = +∞ ( )f x :συνεχής

1 1( ) 1 ( ) xf x f xx x

−′ ′= − ⇒ =

( ) 0 1 0 1f x x x′ = ⇒ − = ⇒ =

• Αν ( ) ( ]0,1 ( ) 0 ( ) 0,1x f x f x x′∈ ⇒ > ⇒ ∀ ∈

• Αν ( ) [ )1, ( ) 0 ( ) 1,x f x f x x′∈ +∞ ⇒ < ⇒ ∀ ∈ +∞

Επίσης (1) 0f ′ = , άρα η ( )f x παρουσιάζει µέγιστο (ολικό) στο ( ) ( )1, (1) 1,2010A f A→

(1) ln1 1 2011 0 2010 (1) 2010f f= − + = + ⇒ =

Β) Αφού η x είναι η θέση στην οποία η f παρουσιάζει ακρότατο, τότε 1x = . Επίσης 2 10x = . Έχω:

( )

2 22

212 2 2 2 2 21 1

1

1 10 1

v v v

i i ivi i i

ii

t t ts t s s x x s

v v v v= = =

=

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

∑ ∑ ∑∑

2 9 3s s= ⇒ = . Άρα, 3 300%1

sCVx

= = =



Γ) Αφού ( )32

,..., 1,v vt t− ∈ +∞ ,περισσότερες από τις µισές παρατηρήσεις, τότε αναγκαστικά και η

διάµεσος (ασχέτως αρτίου ή περιττού πλήθους) θα ανήκει στο ( )1,+∞ , άρα ( )1,δ ∈ +∞ . Όµως

1x = , άρα x δ<

Οπότε έχει αρνητική ασυµµετρία.

21. Α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 23 3 ... 3( )

3v vt x t x t x t x t x t x

f xv

′ ′ ′− ⋅ − + − ⋅ − + + − ⋅ −′ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 21 2

2 2 21 2

2 2 21 2

3 3 ... 3( )

3...

( ) 33

...( ) (1)

v

v

v

t x t x t xf x

vt x t x t x

f xv

t x t x t xf x

v

− − − − − − −′⇒ =

− + − + + −′⇒ = −

− + − + + −′⇒ = −

Θέτω: ( ) ( ) ( )2 2 21 2( ) ... vg x t x t x t x= − + − + + −

Από εφαρµογή η ( )g x γίνεται ελάχιστη στο σηµείο ( ), ( )K x g x . Άρα,

( ) ( )1

(1)1 1( ) ( ) ( ) ( )v

g x g x x g x g x f x f xv v

⋅ −

′ ′≥ ∀ ∈ ⇒ − ≤ − ⇒ ≤

Άρα η ( )f x′ γίνεται µέγιστη στο ( ), ( )K x f x′ , όµως από τα δεδοµένα η f ′ γίνεται µέγιστη στο

( )4, 4A − και επειδή η ( )f x′ είναι τριώνυµο θα έχει µοναδικό ακρότατο, άρα A K≡ , δηλαδή

4x = .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2(1) 1 2 2 2

...4 4 4 4 2vt x t x t x

f x s s sv

− + − + + −′ = − ⇒− = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

Άρα, 2 1 50%4 2

sCVx

= = = = όχι οµοιογενές.



Β) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 22 2 ... 2

( ) v vt x t x t x t x t x t xf x

v

′ ′ ′− − + − − + + − −′′ = −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 ... 2 ...( ) ( ) 2

2 ( )( ) 2 ( ) ( ) 2( ) (2)

v vt x t x t x t t t v xf x f x

v vvx vx v x xf x f x f x x x

v v

− + − + + − + + + − ⋅′′ ′′= ⇒ =

− −′′ ′′ ′′⇒ = ⇒ = ⇒ = −

Θέλω την εξίσωση της εφαπτοµένης της fC ′ στο ( )2, 4B , άρα: ( )(2) (2) 2y f f x′ ′′− = ⋅ −

Όµως (2)

(2) 4, (2) 2( 2) 2(4 2) 4f f x′ ′′= + = − = − =

Άρα, ( )4 4 2 4 8 4 4 4 ( )y x y x y x ε− = ⋅ − ⇒ = − + ⇒ = −

Γ) ( )1 2 9, ,...,M M M εϕ∈ . Άρα,

1 1

2 2

9 9

4 44 4

: 7 2...

4 4

y

y xy x

y S

y x

µε και

= −= −

= =

= −

Λύνω ως προς ix

1 1

2 2

9 9

1 141 1 1 14

4...1 14

x y

x yX Y

x y

= +

= +⇒ = +

= +

Θέτω: 14

z y= , άρα 1 1 774 4 4

z y= = ⋅ =

1 1 2 124 4 4 2z yS S= = ⋅ = =

Άρα, 1x z= +

7 7 4 11 111 14 4 4 4

x z x+= + = + = = ⇒ =

1 12 2x z xS S S= = ⇒ =

Θέλω µέση τιµή των τετραγώνων των τεταγµένων (άρα διασπορά).



( )

2 29 9 92

9 212 2 2 2 21 1

1

2 2 2 2 2

19 9 9 9

2 7 4 49 53

i i ii i i

y i y yi

y y yS y S S y y

y y y

= = =

=

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ + = ⇒ =

∑ ∑ ∑∑

22.Α) Αν ,2, , 3Α = +x y x και 2 3< < < +x y x ,τότε 22.5 2.5 32+

= ⇔ = ⇔ =y yδ

2 3 32.5 2.5 14

+ + + += ⇔ = ⇔ =

x xx x

Β) Άρα το Α έχει την µορφή: 1,2,3,4Α = ,και το 2,4,8Β = επιλέγουµε τυχαία ένα αριθµό α

από το Α και έναν αριθµό β από το σύνολο Β, οπότε ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αποτελείται από διατεταγµένα ζεύγη της µορφής: (α,β) µε την χρήση ενός πινάκα διπλής εισόδου:

2 4 8 1 (1,2) (1,4) (1,8) 2 (2,2) (2,4) (2,8) 3 (3,2) (3,4) (3,8) 4 (4,2) (4,4) (4,8)

Ω= (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (1,8), (2,8), (3,8), (4,8).

Γ) 2

02 2 2 2 2 2 2 2 2 20

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 : , 2

2 2

2 ( 2 )( 3 2 ) ( 2 )( 3 2 )lim lim lim( 3 4 )3 2 ( 3 2 )( 3 2 )

( 2 )( 3 2 )lim( )

→ → →

− +

→

+ − + − + + + − + += = =

+ −+ − + − + +

+ − + +=

−

x x x

ί ύ ί ό x a

x

x ax a x ax a x a a x ax a x a ax a ax a a x a a x a a

x ax a x a ax a

α α α

οι ρ ζες του τριων µου ε ναι α α οπ τε

α

22 ( )( 2 )

( )lim

− = − +

→

=

−

x a x x

x

x

α α

α

α 2 2( 2 )( 3 2 )( )+ + +

−

x x a ax aα 2 2( 2 )( 3 2 ) (3 )(4 )lim 6

( ) (2 )( ) →

+ + += = =

++ x

x x a a ax a ax a α

α α α

2 3 2 2 ( )( )lim lim lim

2 2 2( )→ → →

−− −= =

− −x x x

xx xx xβ β β

β ββ β β ββ β

( )2 ( )

+

−

xx

ββ

2= β

2 2 2 3

2

2 2

2lim lim 62 23 2→ →

+ − −≥ ⇔ ≥

−+ −x x

x ax a xxx a aα β

β β α ββ

Το ενδεχόµενο την πιθανότητα του οποίου αναζητούµε είναι : Γ= (1,2), (2,2), (3,2), (4,2),(3,4), (4,4).

6( )12

Γ =P



23. A) 1 2 10'( ) ( ... ) 10= + + + −f x t t t x και έχω :

1 2 101 2 10

...'( ) 0 ( ... ) 10 010

+ + += ⇔ + + + − = ⇔ = =

t t tf x t t t x x t

x −∞ +∞

'( )f x + - ( )f x

max

Β) ( ) 810 ( ) 8102

= ⇔ = −

g a g t π θ

2 2 21 2 10

2

( ) ( ) .... ( ) 810

81 9

⇔ − + − + + − = ⇔

= ⇔ =

t t t t t t

s s

Ακόµα έχουµε : 1 2 10'( ) 2( ) 2( ) .... 2( )= − − − − − − −g x t x t x t x

Άρα

1 2 10 1 2 10

1 2 101 2 10 1 2 10

'(0) 2000 2 2 .... 2 2000 2( .... ) 2000....2000 1000( .... ) .... 1000

2 10 10100

= ⇔ − − − = ⇔ − + + = ⇔

+ + −+ + = ⇔ + + = − ⇔ = ⇔

−= −

g t t t t t tt t tt t t t t t

t

Άρα 9 0.09100

= = =sCVt

δηλαδή 9%<10% όποτε το δείγµα είναι οµοιογενές .

24.Α)

3 3 32 2 21 2

1 2( ) ( ) .... ( ) 1'( ) ( ) ' ( 3( ) 3( ) .... 3( ) )

3 313

− + − + + −= = − − − − − − − =

t x t x t xf x t x t x t xννν ν

( 3)−ν

2 2 22 2 2 21 2

1 2( ) ( ) .... ( )(( ) ( ) .... ( ) ) − + − + + −

− + − + + − = − = −t x t x t xt x t x t x Sν

ν ν

Β)

2 2 21 2

1 2

1 2

( ) ( ) .... ( ) 1''( ) ( ) ' (2( ) 2( ) .... 2( ))

2 (( ) ( ) .... ( ))

− + − + + −= − = − + − + + − =

− + − + + −

t x t x t xf x t x t x t x

t x t x t x

νν

ν

ν ν

ν

Γ) 2 2 2

1 2( ) ( ) .... ( )'( ) 0− + − + + −= − <

t x t x t xf x ν

ν για κάθε x∈ . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα

στο .

t



Δ) Η δεύτερη παράγωγος 1 22''( ) (( ) ( ) .... ( ))= − + − + + −f x t x t x t xνν

.

1 2 1 2

1 21 2

2''( ) 0 (( ) ( ) .... ( )) 0 (( ) ( ) .... ( )) 0

....( .... ) 0

= ⇔ − + − + + − = ⇔ − + − + + − =

+ + +⇔ + + + − = ⇔ = ⇔ =

f x t x t x t x t x t x t x

t t tt t t x x x t

ν ν

νν

ν

νν

x −∞ +∞ '( )f x + -

( )f x max

Ε) Η f’ παρουσιάζει µέγιστο στη θέση =x t . 25.Α) Το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα y’y έχει τετµηµενη χ=0 και η εφαπτόµενη 2 2011y x= + έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=2 ,άρα f’(0)=2. Για κάθε x∈ είναι:

3 3 3 2'( ) '( )( ) ' '( 1)( 1) ' '( )(3 1) '( 1)= − − − − − = − − − −g x f x x x x f x x f x x x f x έτσι έχουµε: 3 2'(1) '(1 1)(3 1 1) '(1 1) '(0)(2) '(0) '(0) 2= − ⋅ − − − = − = =g f f f f f

Επιπλέον είναι: 3(1) (1 1) (1 1) (0) (0) 0= − − − = − =g f f f f Άρα η εξίσωση της εφαπτόµενης της καµπύλης της g στο σηµείο της Μ(1,0) είναι της µορφής

2= +y x β .Επειδή το Μ είναι σηµείο της (ε) έχουµε: 0 2 1 2= ⋅ + ⇔ = −β β Όποτε η εξίσωση της εφαπτόµενης της (ε) είναι : 2 2= −y x Β) Η µέση τιµή των τετµηµένων των σηµείων 1 2 3 11, , ,.....A A A A είναι:

5 4 3 2 1 0 1 3 4 5 011

− − − − − + + + + += =x

Άρα 2 2 2 0 2 2= − = ⋅ − = −y x .Η διακύµανση των τετµηµένων των 1 2 3 11, , ,.....A A A A , είναι :

211

1112 2

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

111 11

1 0( 5) ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) (0) 1 2 3 4 5 .... 1011 11

=

=

= − =

= − + − + − + − + − + + + + + + − = =

∑∑

ii

x ii

xs x

Άρα 10=xs και έτσι 2 10 2 10= =ys .Ο συντελεστής µεταβολής των 1 2 3 11, , ,.....y y y y είναι;

2 10 102

= = =−

yy

sCV

y

Γ) Έστω ( , )k k kA x y κάποιο από τα σηµεία 1 2 3 11, , ,.....A A A A .Είναι 2 2= −k ky x .

t



Για να είναι το σηµείο kA κάτω απο τον άξονα 'x x , πρέπει : 0 2 2 0 1< ⇔ − < ⇔ <k k ky x x

Άρα τα σηµεία 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A είναι κάτω από τον άξονα 'x x και η ζητούµενη πιθανότητα

είναι η p= 611

26.Α) Υπολογίζουµε αρχικά την τιµή του α:

02 2 2 2 20

2 2

2 2

2

4 2 ( 4 2 )( 4 2 ) 4 4lim lim lim2 2 (2 2 )( 4 2 ) (2 2 )( 4 2 )

2 ( )4( )lim lim2( )( 4 2 )

→ → →

→ →

− − + −= = = =

− − + − +

−−=

− +

x x x

x x

x x x xx x x x x

xxx x

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λαλ λ λ λ λ

λλ

λ λ

( )

( )

+

−

x

x

λ

λ 2

4 14( 4 2 )

= =+x

λλλ

Ισοδύναµα και διαδοχικά βρίσκουµε:

2

2 2

2

2

( ) 14 5( ') ( )

( ) 14 51 ( ) ( )

4( ( )) 1 ( ) 5 ( )(1 ( ))

4( ( )) 1 ( ) 5 ( ) 5( ( ))

9( ( )) 6 ( ) 1 0

(3 ( ) 1) 0

⋅ + ≥

⋅ + ≥−

+ − ≥ −

+ − ≥ −

− + ≥

− ≥

P AP A P A

P AP A P A

P A P A P A P A

P A P A P A P A

P A P A

P A

που ισχύει. Β) i) Από το ερώτηµα (Α) έχουµε 3 ( ) 1 0− =P A , δηλαδή

1 ( ) 1 ( ) 15.000( ) ( ) 50003 ( ) 3 3 3

Ω= ⇔ = ⇔ = = =

ΩN A NP A N AN

ii)Αν τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα , τότε: ( ) ( ) 5000 10500 15500( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 15000 15000 15000

Ν Α Ν Β∪Β = + Β = + = + = >

Ν Ω Ν ΩP A P A P

άτοπο αφού ( ) 1P A∪Β ≤ άρα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα. 27. Α) 2'( ) (10 11) ' 20= ⋅ + ⋅ + = ⋅ +f x s x x x s x x Β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόµενης της καµπύλης της f στο σηµείο Α(-1,f(-1)) ισούται µε: '( 1) 20= − = − +f s xλ . Επειδή η εφαπτόµενη είναι παράλληλη στην ευθεία : 2011=yε

θα ισχύει: 0= =ελ λ οπότε 20 0 20 0− + = ⇔ = >s x x s και 100% 100% 5%20

= = =s sCV

sx οπότε το

δείγµα είναι οµοιογενές .

Γ) Είναι 20

'( ) 0 20 0 0 ( 1) 0 1=

= ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ + = ⇔ = −x s

f x s x x x x x x x x



Για 1< −x είναι '( ) ( 1) 0= ⋅ + <f x x x άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ], 1−∞ − .

Για 1> −x είναι '( ) ( 1) 0= ⋅ + >f x x x άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ )1,− +∞ .

Όποτε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1= −x ίσο µε το '( 1) 10 ( 1) 11 11 112 2

− = + − + = − + = −x xf s x x

Δ) i) Έστω ότι η ελάχιστη τιµή της f είναι ίση µε 1 .Τότε θα ισχύει:

11 1 202

− = ⇔ =x x ,οπότε 20 1

20 20= = =

xs .

ii)Είναι Α(-1,1) και '( 1) 0= − =fελ οπότε η εξίσωση της εφαπτόµενης της καµπύλης της f στο σηµείο Α(-1,1) είναι 1y = .

28.Έχουµε :

20

1 100 520 20== = =∑ ii

tx

Είναι: 2

12 2

1

1 1 10000 1 5001000 (1000 500) 2520 20 20 20 20

=

=

= − = − = − = =

∑∑

ii

x ii

tS t

ν

ν

ν

Οπότε 5=xS Επειδή 2 5= +Y X έχουµε : 2 5 10 5 15= + = + =y x Για την τυπική απόκλιση 2 2 5 10= = ⋅ =y xS S .

29.Α. i)Σήµερα ισχύει ότι 20%=CV άρα:

0.2 0.2= ⇔ =s s xx

(1)

Μετά από 25 χρόνια είναι ' 25= +x x ενώ η τυπική απόκλιση παραµένει ίδια.Επειδή το δείγµα γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές θα είναι 10%=CV ,άρα:

0.125

=+s

x ή 0.1 2.5= +s x (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε: 0.2 0.1 2.5= +x x ή 25x = έτη, 5s = έτη.

ii) Η µέση τιµή των 2 2 21 2, ,..., vx x x είναι

22 2 2

21 2 1... =+ + += =∑ i

v ix

x x x x

ν

ν ν

Ισχύει 2 2 2 2

2 2 1 2 3

1

( ) ( ) ( ) ..... ( )1 ( )=

− + − + − + + −= − =∑ i

i

x x x x x x x xs x xν

ν

ν ν µε 25=x και 5s = ,άρα

Αν = +Y aX β , τότε : = +y xα β και =y xS Sα



2 2 21 1 2 2

2 2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

2

50 625 50 625 ..... 50 62525

.. 50 50 ..... 50 625 625 ... 62525

.. 50( ..... ) 62525

.. 50( ..... ) 62525

25 5

− + + − + + + − += ⇔

+ + + − − − − + + + += ⇔

+ + + − + + + += ⇔

+ + + + + += − + ⇔

= −

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν

νν

νν

ν ν ν2 20 625 25 1250 625 650+ ⇔ = − + ⇔ =x x x

iii) Το εύρος είναι(η κατανοµή είναι κανονική)περίπου 6 30= =R s έτη. Άρα , max min 30− =X X η

max 10 30− =X ή max 40=X .Η µεγαλύτερη ηλικία κατά προσέγγιση είναι 40 έτη . Β) Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους κατοίκους του χωριού .Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α = «Ο κάτοικος πηγαίνει στο καφενείο Α» Β =«Ο κάτοικος πηγαίνει στο καφενείο Β» Είναι P(A)=0.3 και P(Β’)=0.6 η P(Β’)=1-P(Β)=1-0.6=0.4. Επίσης επειδή το 50% των κατοίκων πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία θα είναι ( ) 0.5∪ =P A B . i) Το ενδεχόµενο κάποιος να πηγαίνει και στα δυο καφενεία είναι A B∩ ,άρα

( ) ( ) ( ) ( ) 0.20∩ = + − ∪ =P A B P A P B P A B . Εποµένως το ποσοστό των κατοίκων που πηγαίνει και στα δύο καφενεία είναι 20%. ii) Το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Α είναι Α-Β, άρα

( ) ( ) ( ) 0.10− = − ∩ =P A B P A P A B δηλαδή το 10% των κατοίκων πηγαίνει µόνο στο Α καφενείο. Το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Β είναι Β-Α , άρα ( ) ( ) ( ) 0.20− = − ∩ =P B A P B P A B , δηλαδή το 20% των κάτοικων πηγαίνουν µόνο στο Β καφενείο. Εποµένως αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Β καφενείο είναι περισσότεροι. Γ)Αφού όλοι οι αριθµοί έχουν την ίδια πιθανότητα και η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός είναι µεγαλύτερη από την πιθανότητα να κληρωθεί άρτιος το πλήθος των περιττών είναι µεγαλύτερο και συµπεραίνουµε ότι το πλήθος ν είναι περιττός αριθµός. Τελικά οι περιττοί είναι κατά 1 περισσότεροι από τους αρτίους άρα: 1 0.8%=v

ή 1 0.008=v

ή 1 0.008= v ή 125=v .

30 . i) Λάθος , αφού όταν ένα δείγµα έχει 0x = , τότε δεν ορίζεται συντελεστής µεταβολής αυτού του δείγµατος.

ii) Λάθος .Ο τύπος sCVx

= ισχύει µονό όταν 0x > .γενικά , ισχύει sCVx

= , όπου 0x ≠ .

iii) Λάθος. Ο CV είναι καθαρός αριθµός , δηλαδή είναι ανεξάρτητος των µονάδων µέτρησης των παρατηρήσεων.

iv) Λάθος .Ένα δείγµα είναι οµοιογενές , αν και µόνο αν έχει 10%CV ≤ .

v) Λάθος ,αν 0 x s< < , τότε 1sCVx

= > , δηλαδή 100%CV > .



vi) Λάθος .Ο CV , όταν ορίζεται είναι πάντα θετικός ή µηδέν διότι 0sCVx

= ≥ .

vii) Λάθος. Πάρε για παράδειγµα τις παρατηρήσεις: 7, 7, 7, 7, 7. Έχουν µέση τιµή 7 και διάµεσο 7, αλλά κανονική δεν είναι. 31.Α) Είναι 3 2(10) 10 15 10 600 10 300 6200= − + ⋅ + ⋅ − =P χιλ.ευρώ Β)Η παράγωγος της συνάρτησης του κέρδους είναι:

3 2 2'( ) ( 15 600 300) ' 3 30 600= − + + − = − + +P x x x x x x Οπότε

2 2'( ) 0 3 30 600 0 10 200 0 10( ) .. 20= ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = − =P x x x x x x ί ή xαπορρ πτεται Επίσης είναι: '( ) 0P x > για 20<x και '( ) 0P x < για 20>x Εποµένως η συνάρτηση ( )P x παρουσιάζει µέγιστο για x=20 , µε µέγιστη τιµή

3 2(20) 20 15 20 600 20 300 8000 6000 12000 300 9700= − + ⋅ + ⋅ − = − + + − =P χιλ.ευρώ Γ) Η παράγωγος συνάρτηση του κέρδους είναι:

3 2 2'( ) ( 15 600 300) ' 3 30 600= − + + − = − + +P x x x x x x Ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους για x=10 είναι:

2'(10) 3 10 30 10 600 600= − ⋅ + ⋅ + =P χιλιάδες ευρώ ανά µονάδα. Δ) Η παράγωγος του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης του κέρδους είναι : 2''( ) ( 3 30 600) ' 6 30P x x x x= − + + = − + Και είναι ''( ) 0 6 30 0 6 30 5P x x x x= ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ = Επίσης είναι

''( ) 0P x > για 5<x και ''( ) 0P x < για 5>x . 32. Α) Επειδή A B⊆ έχουµε A B∩ = Α και A B∪ = Β .Άρα:

2 2 2

2 2 2

2

( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )( 4)lim lim lim2 2 2

( ) ( 2)lim

→ → →

→

∪ − − −= = =

− − −−

x x x

x

x P A B P A x P A P A P A xx x x

P A x ( 2)2

+

−

xx 2

lim( ( )( 2)) 4 ( ) 4 0.2 0.8→

= + = = ⋅ =x

P A x P A

Οπότε ( ) 0.8P Β = , ( ) ( ) 0.8Α∪Β = Β =P P και ( ') 1 ( ) 1 0.8 0.2Β = − Β = − =P P Β)

2 2

2 2

16[ ( )] 25 ( ) ( ) 10 0 16[ ( )] 24 ( ) ( ) ( ) 10 016[ ( )] 24 ( ) ( ( ) ( )) 10 0 16[ ( )] 24 ( ) 10 ( ) ( )

− − Α + = ⇔ − − − Α + =

− − + Α + = ⇔ − + = + Α

P B P B P P B P B P B PP B P B P B P P B P B P B P

Όµως ( ) ( ) ( ) 1Β + Α = Α∪Β ≤P P P .Άρα:



2 2

2

16[ ( )] 24 ( ) 10 1 16[ ( )] 24 ( ) 9 03(4 ( ) 3) 0 4 ( ) 3 0 ( )4

− + ≤ ⇔ − + ≤

⇔ − ≤ ⇔ − = ⇔ =

P B P B P B P B

P B P B P B

Αντικαθιστώντας το ( )P B στην (1) έχουµε : 1( )4

=P A .

Επειδή ( ) 1 ( )( )( ) 4 ( )

= ⇒ =Ω Ω

N A N AP AN N

.

Άρα ( ) 250=N A .Όµοια βρίσκουµε ότι ( ) 750Β =N .Επειδή A B∩ =∅ και ( ) ( ) 1000 ( )+ Β = = Ν ΩN A N θα πρέπει A∪Β = Ω . 33. Α) Από την καµπύλη της κανονικής κατανοµής είναι προφανές ότι :

85

2 130

− =

+ =

x s

x sκαι λύνοντας το σύστηµα προκύπτει ότι 100

15 =

=

xs

15 15%100

= = =sCVx

>10% .Το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

Β) Με τις τιµές της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης το σχήµα γίνεται:

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7%95%68%

34%34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15% 13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%2.35%2.35%



Από το σχήµα προκύπτει ότι το ποσοστό του πληθυσµού που έχει IQ µεγαλύτερο του 145 είναι 0.15%. 34.Α) Κατασκευάζουµε τον πινάκα Βάρος παγωτού Μέσο

κλάσης ix

if i ix f

[ )195 197− 196 0.1 19.6

[ )197 199− 198 0.1 19.8

[ )199 201− 200 0.55 110

[ )201 203− 202 0.2 40.4

[ )203 205− 204 0.05 10.2

1 200

Γενικά έχουµε:

1 1 1

1= = =

= = =∑ ∑ ∑ii i i i i

i i i

vx v x x f xν ν ν

ν ν. Άρα

1200

=

= =∑ i ii

x f xν

.

Β)Κατασκευάζουµε τον πινάκα κατανοµής αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων:

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7%95%68%

34%34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15% 13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%2.35%2.35%

55 70 85 100 115 130 145



Βάρος παγωτού if % %iF

[ )195 197− 10 10

[ )197 199− 10 20

[ )199 201− 55 75

[ )201 203− 20 95

[ )203 205− 5 100

Σύνολο 100

Το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα: Από το σχήµα και το θεώρηµα του Θαλή

30 6 125 12 6 1.092 25 2 5 11

= ⇔ = ⇔ = − ⇔ =− −x x x x x gr

x x

Άρα δ=199+1.09=200.09 gr. Γ)Από το επόµενο σχήµα και το θεώρηµα του Θαλή παίρνουµε: 75 1 9575 20 47.5

20 1 2−

= ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =−

x x x x xx



Έτσι το ποσοστό από τα κύπελλα που περιέχουν παγωτό µε βάρος µικρότερο από 200 gr είναι 47.5%. Εποµένως , η πιθανότητα που ζητάµε είναι p=47.5%=0.475. Δ)Επειδή το βάρος του παγωτού σε κάθε κύπελλο αυξήθηκε κατά 8 gr , θα έχουµε τον επόµενο πινάκα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Βάρος παγωτού if % %iF

[ )203 205− 10 10

[ )205 207− 10 20

[ )207 209− 55 75

[ )209 211− 20 95

[ )211 213− 5 100

Σύνολο 100



Το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων είναι:

Από το σχήµα και το θεώρηµα του Θαλή παίρνουµε: 95 1 95 75 85

75 1−

= ⇔ − = − ⇔ =−

x x x xx

Εποµένως το ποσοστό από τα κύπελλα που ξεχείλισαν είναι 100-85=15%. Έτσι η πιθανότητα που ζητάµε είναι q=15%=0.15. 35. Α) Έστω τα µήκη είναι 1 2 7 8, ,..., ,x x x x .Το µέγιστο εύρος είναι 10 1 9= − =maxR αν ένα µήκος

τουλάχιστον είναι ίσο µε 1 και ένα τουλάχιστον ίσο µε 10.

Β)



[ ]

1

2

( )3 1 2 3 7

1 2 3 8

8

1 101 101 10 ..8 808 .. 8 10

8 8 8..

1 10

1 10 1,10

+

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + ⇒ ≤ + + + + ≤ ⋅ ⇔ ≤ ≤ ⇔≤ ≤

⇔ ≤ ≤ ⇔ ∈

xxx x x x xx x x x

x

x x

Γ)Αν 10=x θα πρέπει τα 8 µήκη να είναι ίσα µε 10 δηλαδή 1 2 3 8.. 10= = = = =x x x x

36. Υπολογίζουµε την µέση τιµή

1 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44 4 4 4 4

4 41 1 2 1

4 4 2

+ + + + + + + + + + + ⋅= = =

+= =

P P P P P P P Px

ω ω ω ω ω ω ω ω

Όποτε εφόσον η τυπική απόκλιση είναι 19

η διακύµανση θα είναι 21 1( )9 81

= και θα ισχύει:

2 2 2 21 2 3 4

2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )4 2 4 2 4 2 4 2

41 1 1 1( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 14 4 4 4

4 81

+ − + + − + + − + + −=

− + − + − + −=

P P P P

P P P P

ω ω ω ω

ω ω ω ω

άρα τελικά: 2 2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1 2( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )4 4 4 4 9

− + − + − + − =P P P Pω ω ω ω .

Για τον συντελεστή µεταβολής CV θα έχω :

129 22.2%1 9

2

= = = =sCVx

.

37. Α) Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος που δηµιουργούν οι υπολογιστές όλων των τύπων της εταιρείας µε Ν(ω)=κ+λ+6 και τα ενδεχόµενα: Α: «ο υπολογιστής τύπου Α» µε Ν(Α)=κ Β: «ο υπολογιστής τύπου Β» µε Ν(Β)=6 Γ: «ο υπολογιστής τύπου Α» µε Ν(Γ)=λ Είναι:

1( ) 2 6 66 2

= = ⇔ = + + ⇔ − =+ +

P A κ κ κ λ κ λκ λ

(1)

1( ) 5 6 4 6

6 5Γ = = ⇔ = + + ⇔ − = −

+ +P λ λ κ λ κ λ

κ λ (2)



Από την λύση του συστήµατος των (1) και (2) προκύπτει κ=10 και λ=4. Β) Η µέση τιµή πώλησης όλων των υπολογιστών της εταιρείας είναι:

10 1400 6 3000 4 2000 14000 18000 8000 40000 200020 20 20

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = = =x

Έχουµε: 1 1 120% 4005 5 2000 5

= = ⇔ = ⇔ = ⇔ =s sCV sx

ευρώ.

Γ) Η εβδοµαδιαία παραγωγή της εταιρείας διαµορφώνεται ως εξής ,18 υπολογιστές τύπου Α και 6 υπολογιστές τύπου Β. Αν συµβολίσουµε x την νέα τιµή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, η νέα µέση τιµή πώλησης θα είναι:

18 1400 6 25200 6'24 24

⋅ + ⋅ + ⋅= =

x xx (3)

Είναι: 1 1 120% ' 5 5 300 15005 5 5''

= = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⋅ =s sCV x s

xx(4)

Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι: 18 1400 6 1500 .. 1800

24⋅ + ⋅

= ⇔ ⇔ =x x .

38. A) Έστω iy η τελική σύνταξη κάθε συνταξιούχου και ix η αρχική σύνταξη και α το σταθερό ποσό της εισφοράς που παρακράτησε το Μ.Ι.Κ.Α. Τότε:

1,15= −i iy x a και 1,15= −y x a και 1,15=y xS S

Ο συντελεστής µεταβολής είναι :

1,151,1 1,1 1,11,15

1,15 1 1,15 1,11,11,15 1000 1000 1150 1000

1150 1,1(1150 ) ... 104,55

= ⇔ = ⇔ = ⇔+

⇔ = ⇔ = ⇔⋅ + +

= + ⇔ ⇔ =

y x x xy x

S S S SCV CVy x x a x

a aa a

ευρώ.

B) Η µέση σύνταξη αυξήθηκε κατά 15% δηλαδή αυξήθηκε κατά151000 150

100= ευρώ. Άρα οι

συνταξιούχοι ευνοήθηκαν κατά 150-104,55= 45,45 ευρώ. 39.Α) Οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι:

6 2x, 6 2x,g xα = − β = − = .Κατά συνέπεια ο όγκος της δεξαµενής είναι:

2f (x) (6 2x)(6 2x)x 2(3 x)2(3 x)x 4(3 x) x,0 x 3= − − = − − = − < <



Β) 2'( ) (4 (3 ) ) ... 12(3 )(1 )f x x x x x= − = = − −

x 0 1 3

f '(x) + −

f (x)

Η δεξαµενή έχει µέγιστο όγκο όταν x=1 m.

Γ) x 0 x 0

f (x 2) 8 f (x 2) f (2)lim lim f '(2) 12x x→ →

+ − + −= = = −

Δ) [ ]f (x) 1,3

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 x x x x x 2 f (1) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (2)16 y y y y y 8= < < < < = ⇔ = > > > > = ⇔= > > > > =

R=16-8=8

yy

S 1CV6y

= =

Αν σε όλες τις τιµές iy τις µεταβλητής y προσθέσουµε µια σταθερά α τότε οι νέες τιµές iβ που

προκύπτουν , έχουν:

y

y 12 0S S 2β

β = + α = +α >= =

s 2CV12

β= =+ αβ

Κατά συνέπεια

yR 2 1 8CV 2CV 2 ... 1012 12 6 12

= + ⇔ = + ⇔ ⇔ α = −+α

Ε) [ ]f 0,1

2 20 P( ) P( ) 1 f (P(A)) f (P(B)) 4 P(A)(3 P(A)) 4 P(B)(3 P(B))∅ ≠ Α ⊆ Β⇒ < Α ≤ Β ≤ ⇒ ≤ ⇔ ⋅ − ≤ ⋅ −

Και επειδή P( ) 0Β > και ( )23 ( ) 0− Α >P

( )( )

22

2

3 P(B)P(A) P(A) 3 P(B)P(B) P(B) 3 P(A)3 P(A)

− −≤ ⇔ ≤ −−



40.Α) Οι συναρτησεις f ,f’είναι παραγωγωγισιµες στο σαν πολυωνιµικες ετσι: '( ) (4 ) xf x eλλ λ λ= − +

2''( ) (4 ) xf x eλλ λ λ= − B) 2'(0) (4 ) 5f λ λ λ λ λ= − + = − , (0) (4 ) 4f λ λ= − − = −

Η εφαπτοµένη έχει εξίσωση ( ) ( )2 2(0) '(0)( 0) 5 5y f f x y x y xλ λ λ λ λ λ− = − ⇒ − = − ⇔ = − +

Γ) 11 1 44ε η ε εε η λ λ λ λ ⊥ ⇒ = − ⇔ − = − ⇔ =

όµως 25ελ λ λ= − έτσι

2 24 5 5 4 0 1 5ήλ λ λ λ λ λ= − ⇔ − + = ⇔ = =

Άρα 2 1( )6 3

P Α = =

Αρκεί ''( ) 0f x > για κάθε x∈ , 2 2(4 ) 0 (4 ) 0 4xeλλ λ λ λ λ λ− > ⇔ − > ⇔ < οπότε 3 1( )6 2

P Β = =

Ε) Για 1λ = εχουµε: ( ) 3 4xf x e x= + − , '( ) 3 1xf x e= + οποτε 0'(0) 3 1 4f e= + = , 0(0) 3 0 4 1f e= + − = − .Οµως από τον ορισµο της παραγωγου,

0 0 0 0

(0 ) (0) ( ) (0) 3 4 ( 1) 3 3'(0) lim lim lim lim0

x x

h x x x

f h f f x f e x e xfh x x x→ → → →

+ − − + − − − + −= = = =

−

Τελικά 0

3 3lim 4x

x

e xx→

+ −=

41.i) 80 , 80A Bx x= = ii) A Bs s>

iii) 80 80

A B A BA B A B

A B

s s s ss s CV CVx x

> ⇔ > ⇔ > ⇔ >

άρα το δείγµα Β έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια από το Α. 42.

Α)

2 1 10( 1) ... 19

210.52 40

R

R

R

ν νν νδ

δδ

− = = + + = ⇔ ⇔ = =+ =

Β) 10( ) 19( )

( ) 20N AP AN

ν == =

Ω

γ) Πρέπει 2 5 0,x x λ+ + > για κάθε x∈ , δηλαδή

2

1 01 007,8,9,..., 20250 5 4 0

4

a λλ

λλ

∈>>> ⇔ ⇔ ⇒ = ∆ < >− <

, άρα 14( )20

P Β =



Δ)

2 220

2201 12 2 2 2 2

1 1

2 2 2

1 1 1 210( ) ( ) (2870 )20 20 20 20

1 665(2870 2205) 33.25 33.2520 20

i ii i

i ii i

x xs x s x s

v

s s s s

ν

ν

ν= =

= =

= − ⇒ = − ⇔ = − ⇔

= − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

∑ ∑∑ ∑

( )1

201 2 ... 20 1 20 2102

ν

=

= + + + = + =∑ ii

x

43.A) '( ) xf x e α= − , η εφαπτοµένη (ε) της fC στο Α είναι παράλληλη στο x΄x άρα

0'(0) 0 0 1f eελ α α= = ⇒ − = ⇔ = .Έτσι ( ) 39xf x e x= − +

Β) i) '( ) 0 .... 0f x x= ⇒ ⇔ = και f στο [ )0,+∞ , f στο ( ],0−∞ οποτε η f παρουσιαζει

ελαχιστο στο x=0 .Δηλαδη για κάθε x∈ ισχυει : ( ) (0) ( ) 40f x f f x≥ ⇒ ≥

ii) 1 2 100( ) ( ) ... ( ) 40 40 ... 40 100 40 40 40100 100 100

f x f x f xx x+ + + + + + ⋅= > = = ⇒ ≥ (1)

Η κατανοµη είναι περιπου κανονικη οποτε x δ= ,τελικα 40δ > . ( Το συγκεκριµένο ερώτηµα µπορεί να αποδειχθεί και µε χρήση του ορισµού της διαµέσου) iii)το δειγµα δεν είναι οµοιογενες αρα

(1)1 1 10 40 10 40 4

10 10sCV s x s sx

> ⇔ > ⇔ > > ⇒ > ⇔ > (2)

iv) 2 2'( ) 3 12 3 3( 4 )g x x x s x x s= + + = + +

16 4 4(4 ) 0s s∆ = − = − < άρα '( ) 0g x > για κάθε x∈ οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο . 44.Α) Αν (ε) η εφαπτοµένη της fC στο σηµείο Α(1,f(1)) σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία 45o

οπότε 2

2'( ) xf xx a

=+

, 0 2'(1) 45 1 1 11

faελ εϕ α= = = ⇒ = ⇔ =

+.

Οπότε 2( ) 1 ln( 1)f x x= + + .

Β) 2

2'( ) 0 0 ... 01

xf x xx

= ⇒ = ⇔ ⇔ =+

,

'( ) 0f x > όταν ( )0,x∈ +∞ , '( ) 0f x < όταν ( ),0x∈ −∞ .

Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 0=x f όταν [ )0,x∈ +∞ και f όταν ( ],0x∈ −∞

Γ)Είναι 0 ( ) 1P A≤ ≤ και 0 ( ) 1P B≤ ≤ Επειδή f στο [ )0,+∞ έχουµε:

0 ( ) 1 (0) ( ( )) (1) 1 ( ) 1 ln 2P A f f P A f P B≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ + άρα ( ) 1P B = και

( )2( ( )) 1 1 ln( ( ) 1) 1 ( ) 0f P A P A P A= ⇔ + + = ⇔ = .

45. 1) Σ 2) Λ3) Λ 4) Σ 5) Σ



46.Α) Έστω 1 2, ,...,t t tν οι παρατηρήσεις του 1ου δείγµατος και 1 2, ,...,t΄ t ΄ tµ οι παρατηρήσεις του 2ου

δείγµατος .Τότε είναι:

( )1 21 2

... ... 1t t tx t t t vxννν

+ + += ⇔ + + + =

1 21 2

...... (2)

t΄ t ΄ t ΄y t΄ t ΄ t ΄ yµ

µ µµ

+ + += ⇔ + + + =

( ) ( ) (2)1 2 1 2

(1)

... ...t t t t΄ t ΄ t ΄ x yz ν µ ν µµ ν µ ν

+ + + + + + + +=

+ +=

Β)

2 22 2

212 2 1 1 1

1

1

v v v v

i i i i i i i ivi i i i

i ii

x x x xs x x

ν ν ν νν

ν ν ν ν ν= = = =

=

= − = − = −

∑ ∑ ∑ ∑∑

Γ)Αν 1ν η συχνότητα της τιµής 1 0x = και 2ν η συχνότητα της τιµής 2 1x = τοτε 1 2ν ν ν+ = .

1 1 2 2 1 2 20 1x xx ν ν ν ν νν ν ν+ ⋅ + ⋅

= = = και

22

22 1 2 2

v

i ii

xs x

νν ν

ν ν ν= = − = −

∑.Η ζητούµενη σχέση

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 14 4 4 4

vs ν ν ν ν ν νν ν ν ν ν

− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔

( )22 2 2 22 2 2 2 24 4 0 4 4 0 2v vν ν ν ν ν ν ν ν− ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ ≤ − ,που ισχύει.

Δ) Με χρήση βασικής εφαρµογής του σχολικού βιβλίου αν i iz x x= − έχουµε 0z x x= − = και z xs s=

αν 1

i ix

y zs

= τότε έχουµε1 1 0 0

x x

y zs s

= = ⋅ = και 1 1 1y x z

x x

s s ss s

= = =

Ε) Επειδή όλες οι παρατηρήσεις είναι θετικές και υπάρχουν παρατηρήσεις αριστερότερα από το

3x s− , συµπεραίνουµε ότι 1 13 0 33 3

sx s x s CVx

− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > .



47) Α)Αν ε η εφαπτοµένη τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι 0120 3ελ εϕ= = −

Οπότε έχει την µορφή (1,1)

: 3 1 3 1 1 3y xε

ε β β βΑ ∈

= − + ⇒ = − ⋅ + ⇔ = +

Έτσι : 3 1 3y xε = − + +

Η µέση τιµή των τεταγµένων είναι 3 1 3 3 ( 2) 1 3 3 3 1y x= − ⋅ + + = − ⋅ − + + = +

Β) Η διάµεσος των τεταγµένων (*) είναι

3 1 3 3 ( 1) 1 3 2 3 1y xδ δ= − ⋅ + + = − ⋅ − + + = +

Γ) 0

(1 ) (1)lim '(1) 3h

f h f fh ελ→

+ −= = = −

(*)Έστω 1 2, ,....,x x xν ,ν παρατηρήσεις µε διάµεσο δ.

Α)Αν 1 2, ,....,y y yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουµε σε καθεµία από τις 1 2, ,....,x x xν µια σταθερά c , να δείξετε ότι για την διάµεσο τους ισχύει: y cδ δ= + .

Β)Αν 1 2, ,....,y y yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε σε καθεµία από τις 1 2, ,....,x x xν µε µια σταθερά c , να δείξετε ότι για την διάµεσο τους ισχύει:

y cδ δ= .

Λύση

‘Εχουµε: , 1, 2,...,i iy x c i ν= + = , οπότε αν το πληθος των παρατηρήσεων είναι περιττό µε µεσαία παρατήρηση yκ τότε είναι: y k k xy x c cδ δ= = + = + .Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο

µε τις δυο µεσαίες παρατηρήσεις ky , 1ky + τότε είναι

1 1 1 122 2 2 2

k ky x

y y x c x c x x c x x c cκ κ κ κ κ κδ δ+ + + ++ + + + + + += = = = + = +

Άρα σε κάθε περίπτωση y cδ δ= +

Β. Έχουµε: , 1, 2,...,i iy c x i ν= ⋅ = , οπότε αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό µε µεσαία παρατήρηση yκ τότε είναι: y k k xy c x cδ δ= = ⋅ = ⋅ .Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι

άρτιο µε τις δύο µεσαίες παρατηρήσεις ky , 1ky + τότε είναι

1 1 1 1( )2 2 2 2

k ky x

y y c x c x c x x x xc cκ κ κ κ κ κδ δ+ + + ++ ⋅ + ⋅ ⋅ + += = = = ⋅ = ⋅



Άρα σε κάθε περίπτωση y cδ δ= ⋅

48)Α) Αρχικά υπολογίζουµε το όριο

0/0

2 20 0

(1 ) (1 )lim lim1 1 1

x x

x x

e x e xx x x x

συν συνγηµ συν συν συν→ →

− −= = =

+ − − + −

20 0

(1 )(1 )lim limxx

x x

e xe xx x

συνσυνσυν συν→ →

−−= =

− + (1 )x xσυν συν− 0lim 1

x

x

exσυν→

= =

H Cg διέρχεται από από το Α(0, 13

) 1(0)3

g = .Οπότε

2 2

2 2 2

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 02 2

1 1(0) 0 (0 20 ( 1) (0 1))60 3

( 1) 0 0 1x x x x

g

και

β α

β α β και αΑ +Β = ⇔Α = Β =

= ⇔ + + + − + = ⇔

⇔ + − = ⇔ = =

Άρα 21( ) ( 20),60

g x x x= + ∈

Β) 2( )60 30

x xg΄ x = =

α) 3 1 2 31 21 2 3

30( ) ( ) ( ) 130 30 30 30 30

g΄ g΄ g΄ ν ν ν νν νν ν ν + ++ + = + + = = =

β) 1 2 31 2 3

1( ) ( ) ( )30 30

f f fg΄ f g΄ f g΄ f + ++ + = =

γ) i) 1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3( )

30v x v x v xg΄ v x v x v x x+ +

+ + = =

ii)



1 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3

22 23 3 31 1 1 2 2 2

2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3

21 1

( ) ( ) ( )1 1 1(( ) 20) (( ) 20) (( ) 20)60 60 60

( ) 20( ) 20 ( ) 2060 60 60 60 60 60

( ) ( ) ( ) 20 20 2060 60

( )

v g x x v g x x v g x x

v x x v x x v x x

v x x vv x x v v x x v

v x x v x x v x x v v v

v x x

− + − + − =

− + + − + + − + =

−− −+ + + + + =

− + − + − + ++ =

− + 2 22 2 3 3 1 2 3

2 2 21 1 2 2 3 3

2 2

( ) ( ) 20( )60 60

( ) ( ) ( )1 20 302 30 60

20 202 2 2

v x x v x x v v v

v x x v x x v x x

s s

− + − + ++ =

− + − + − ⋅+ =

++ =

Γ)α) 21( ) (180 ( 2) 20) (2 5) (180 (( 2) 20) 20) (2 5)60

f x g x h x x h x= − − ⋅ − = − + − ⋅ − =

2 2(3( 2) 20) 20) (2 5) 3( 2) (2 5)x h x x h x= − + − ⋅ − = − ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2

2

'( ) 3( 2) (2 5) ' 3( 2) ' (2 5) 3( 2) (2 5) '

6( 2)( 2) ' (2 5) 3( 2) '(2 5)(2 5) ' 6( 2) (2 5) 3( 2) '(2 5) 2

6( 2) (2 5) 6( 2) '(2 5)

f x x h x x h x x h x

x x h x x h x x x h x x h x

x h x x h x

= − ⋅ − = − ⋅ − + − ⋅ − =

− − ⋅ − + − ⋅ − − = − − + − ⋅ − ⋅ =

− − + − ⋅ − Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της cf στο Α(2,f(2)) είναι '(2)fλ = και

2'(2) 6(2 2) (2 2 5) 6(2 2) '(2 2 5) 0f h h= − ⋅ − + − ⋅ ⋅ − = ρα η εφαπτοµένη ευθεία είναι παράλληλη στο άξονα χ’χ

β) 2(2) 3(2 2) (2 2 5) 0f h= − ⋅ ⋅ − = . Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι :

(2) '(2)( 2) 0y f f x y− = − ⇔ =

γ) ( )2''( ) 6( 2) (2 5) 6( 2) '(2 5) 'f x x h x x h x= − − + − ⋅ − =

26 (2 5) 6( 2) '(2 5) 2 12( 2) '(2 5) 6( 2) ''(2 5) 2h x x h x x h x x h x⋅ − + − − ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ = .

26 (2 5) 12( 2) '(2 5) 12( 2) '(2 5) 12( 2) ''(2 5)h x x h x x h x x h x⋅ − + − − + − ⋅ − + − ⋅ − =

''(2) .. 6 ( 1) 6 7 42f h= = − = ⋅ =

49.Α) 1 1 1( ) ( ) ( )4 6 12

P B A P B P A B− = − ∩ = − =



1 3( ') 1 ( ) 14 4

P B P B= − = − =

Β) [ ]( ' ') ( ') ( ' ') 1 ( ) ( ) '

1 ( ) (1 ( )) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

P A B P A P A B P A P A BP A P A B P A P A B P A P A B

P A P A P B P A B P B P A B P B A

− = − ∩ = − − ∪ =

− − − ∪ = − − + ∪ = − + ∪ =

− + + − ∩ = − ∩ = − =

Γ) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 12

P A B P A P B P A B P A P A∪ = + − ∩ = + − = +

1 11( ) 1 ( ) 1 ( )12 12

P A B P A P A∪ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤

50. 1. Σ 2. Σ 3. Σ 4. Λ 5. Λ

51.Α) Από τον προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων έχουµε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A B P A B P A P B∪ = + − ∩ ⇔ ∪ + ∩ = +

Β)i) ( ') 0.4 1 ( ) 0.4 ( ) 0.6P A P A P A≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ (1)

( ') 0.5 1 ( ) 0.5 ( ) 0.5P B P B P B≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ (2)

ii) (1) +(2): ( ) ( ) 0.5 0.6 1.1P A P B+ ≥ + = και από το ερώτηµα (Α)

( ) ( ) 1.1P A B P A B∩ + ∪ ≥

iii) Υποθέτουµε ότι A B∩ =∅ οπότε τα ενδεχόµενα Α , Β είναι ασυµβίβαστα και ισχύει ο απλός προσθετικός νόµος : ( ) ( ) ( ) 1.1 ( ) 1.1P A B P A P B P A B∪ = + ≥ ⇒ ∪ ≥ , άτοπο . Αρα ισχυει : A B∩ ≠ ∅ .

52. i) 1 1 2 2

1 2

x v x vxv v+

=+

(1), θα είναι 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 21

1 2 1 2

( )v x v x v x v x v x xx xv v v v

+ − − −− = =

+ + και

1 2 1

21 2

( )... v x xx xv v

−− = =

+

2 2

2 21 1 2 2 1 21 2 2

1 2 1 2

( ) ( ) ... ( )( )

x x x xs x xν ν ν νν ν ν ν

− + −= = = −

+ + (1)



ii) Από την (1) :2 1

1 1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 1

( )2 2

v vx v x v v x x x xxv v v

=+ + += = =

+

Από την (2) :2 2

1 22 2 21 2 1 1 21 2 1 22 2

1 2 1

( )( ) ( )( ) (2 ) 4 2

x xx xs x x x x sν ν νν ν ν

−−= − = − = ⇒ =

+

Οπότε:

1 2

1 2

1 2 1 2

2

2

x xx xsCV x x x xx

−−

= = =+ +

53.i) H f είναι παραγωγίσιµη για κάθε 0x > .έτσι:

2 2

1 lnln 1 ln'( ) 'x xx xxf x

x x x

− − = = =

2

1 ln'( ) 0 0 1 ln 0xf x x x ex−

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

( ) ln

2

1 ln'( ) 0 0 1 ln 0 ln lnh x xxf x x e x e x

x

=−> ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >

( ) ln

2

1 ln'( ) 0 0 1 ln 0 ln lnh x xxf x x e x e x

x

=−< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <

Άρα η f παρουσιάζει µέγιστο στο 0x e= το 1( )f ee

=

Άρα η f στο ( ]0,e , η f στο [ ),e +∞

ii)H g είναι παραγωγίσιµη στο άρα

( )3 2 ( ) ( )

2 ( ) ( )

1'( ) ( ( ) ( ) 1 1974) '3

2 ( ) ( ) 1

P A B P A B

P A B P A B

g x x x P A B P A B x

x x P A B P A B

∩ ∪

∩ ∪

= − + ∪ − ∩ + + =

= − + ∪ − ∩ +

Για να βρούµε το πρόσηµο του τριωνύµου υπολογίζουµε την διακρίνουσα

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4( ( ) ( ) 1) 4 4( ( ) ( ) ) 44( ( ) ( ) )

P A B P A B P A B P A B

P A B P A B

P A B P A B P A B P A BP A B P A B

∩ ∪ ∩ ∪

∩ ∪

∆ = − ∪ − ∩ + = − ∪ − ∩ − =

− ∪ − ∩

Πρέπει να εξετάσουµε το πρόσηµο της παράστασης ( ) ( )( ) ( )P A B P A BP A B P A B∪ ∩∩ − ∪ Όµως



A B AA B A⊆ ∪Β = Β

⇒ ≠ ∩Β = Α και

( ] 0,

( ) ln (1)( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ln ( ) ln ( )0 ( ) ( ) 1 ( ( )) ( ( ))( ) ( )

( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

f e

h x xP B P A P B P A

P A B P A B P A B P A B

P A P BP A P B f P A f P BP A P B

P B P A P A P B P A P B P A P BP A B P A B P A B P A B

οταν

=

∪ ∩ ∩ ∪

< < < ⇔ < ⇔ < ⇔

< ⇔ < ⇔ < ⇔

∩ < ∪ ⇔ ∪ − ∩ >

Άρα 0, 1 0α∆ < = > οπότε '( ) 0g x > για κάθε x∈ και η g γνησίως αύξουσα στο . iii)

3 3 4 4 5 5 1 1 3 4 5 12 (2) ( ) ( ) ( ) .... ( ) ln 2 ln ln ln .... ln2 2 3 3 4 4 2 3 4

vf f f f fx x

ν νν ν ν

ν ν

+ + ++ + + + + + + + + +

= ⇔ = ⇔

ln 20143 4 5 1 ln 2ln 2 ....ln 20142 3 4

x

xν

νν

ν ν

=+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇔ =

3⋅

24

⋅3

5⋅

41.... ν

ν+

⋅ ⋅ln 2014 ln( 1) ... 2013ν ν

ν ν ν

+ ⇔ = ⇔ ⇔ =

54.Α) Έχουµε: 2 2

1 1(0) ( 0) (1)i i

i if t t

ν ν

= =

= − =∑ ∑

2 2 2

2 2 2

21 12 2 1 1 1 12

1

1 i ii i i ii ii i i i

ii

t tt t t ts t x

ν νν ν ν ν

ν

ν ν ν ν ν ν ν= == = = =

=

= − = − = − = −

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑

Οπότε

( )2

(1)2 2 2 22 2 2 2 2 21

1 1(0)

ii

i ii i

ts x s t x t s x f s x

ν

ν ν

ν ν ν ν νν=

= =

= − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = +∑

∑ ∑

Άρα η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα 'y y στο σηµείο 22(0, ( ))A s xν + .

Β) Εφόσον η γραφική παράσταση της f τέµνει τον 'x x θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της µορφής : 1( ,0)x τέτοιο ώστε

2 2 2 21 1 1 1 2 1 1 1 2 1

1( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) .... ( ) 0 .....i

if x t x t x t x t x t t t x

ν

ν ν=

= ⇔ − = ⇔ − + − + + − = ⇔ = = = =∑

Έτσι:

1 2 11

.....t t t tx tν νν ν

+ + += = =

-Αν ν είναι άρτιος τότε η διάµεσος είναι το ηµιαθροισµα των δυο µεσαίων παρατηρήσεων δηλαδή



1 1 11

22 2

t t t tδ += = =

-Αν ν είναι περιττός τότε η διάµεσος είναι η µεσαία παρατήρηση 1tδ =

Σε κάθε περίπτωση ισχύει x δ= . Γ) Είναι:

2 2 2 21 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )i

if x t x t x t x t x

ν

ν=

= − = − + − + + −∑

Άρα 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

'( ) 2( )( ) ' 2( )( ) ' ... 2( )( ) ' 2( ) 2( ) ... 2( )2( ... ) 2( ( ... ))

f x t x t x t x t x t x t x t x t x t xt t t x x t t t

ν ν ν

ν νν ν= − − + − − + + − − = − − − − + − − =

− + + + − = − + + +

Έχουµε: 1 2

1 2...'( ) 0 2( ( ... )) 0 t t tf x x t t t x x xν

ννν

+ + += ⇔ − + + + = ⇔ = ⇔ =

1 21 2

...'( ) 0 2( ( ... )) 0 t t tf x x t t t x x xννν

ν+ + +

< ⇔ − + + + < ⇔ < ⇔ <

'( ) 0 ..f x x x> ⇔ ⇔ >

Η f παρουσιάσει ελάχιστο για x x= Άρα κάθε x∈ τότε 2 2 2

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )f x f x f x t x t x t xν≥ ⇔ ≥ − + − + + − ⇔ 2 2 2

21 2( ) ( ) ... ( )( ) ( )t x t x t xf x f x sνν νν

− + − + + −≥ ⇔ ≥

55. Α)

3 3 3 2 2 21 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 21 2 1 2

1 1'( ) [( ) ( ) ... ( ) ] ' [3( ) ( ) ' 3( ) ( ) ' ... 3( ) ( ) ']3 3

1 3[( ) ( ) ... ( ) ] ( ) ( ) ... ( )3

f x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

t x t x t x t x t x t x

ν ν ν

ν ν

= − − + − + + − = − − − + − − + + − − =

− + − + − = − + − + −

2 2 2

21 2( ) ( ) ... ( )'( ) t x t x t xf x sν

ν ν− + − + −

= =

Β)



3 2 2 2

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

2 2 21 1 1

1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)lim lim lim lim( 3 2) ( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 3 2) ( 1) ( 1)( 3lim lim lim( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)

x x x x

x x x

x x x x x x x x x x xax x x x

x x x x x x x xx x x

→ → → →

→ → →

− − + − − − − − − − += = = = =

+ − + − + − + −

− + − + + + − + + += =

+ − + − + + ( )( )

( )( ) ( )

( )

2

2

2 2 2 2

2 221 1

2 22 2

21 1

2)3 2 3 2 )

( 1) ( 1)( 3 2) ( 1) ( 1)( 3 2)lim lim3 43 4

( 1) ( 1)( 3 2)lim lim( 1)( 3 2) 2( 1 3 2) 2 16 321

x x

x x

x x

x x x x x xxx

x x x x xx

→ →

→ →

=+ − + +

− + + + − + + += =

+ −+ −

− + + += + + + = + + = ⋅ =

−

Υπολογίζουµε την δεύτερη παραγωγό της f

( )2 2 21 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

''( ) ( ) ( ) ... ( ) ' 2( )( ) ' 2( )( ) '... 2( )( ) '

2( ) 2( )... 2( ) 2( ... ) 2( ... )

f x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

t x t x t x t x t x t x t t t xν ν ν

ν ν ν ν

= − + − + − = + − − + − − + − − =

− − − − − − = − − + − + − = − + + −

1 2''(2 ) 2( ... 2 ) 2( 2 ) 2f x t t t x x x xν ν ν ν ν= − + + − = − − =

1

1

91''(2 ) 3 32 5 2 91 45.5 45.52

ii

ii

tf x x x t

ν

ν

ν ν νν=

=

= ⋅ − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =∑

∑

Γ) 3 3 3 3 3 3 31 2 1 2

1

1 1 1 1(0) [( 0) ( 0) ... ( 0) ] ( ... ) 6042 20143 3 3 3i

i

f t t t t t t tν

ν ν=

= − − + − + + − = − + + + = − = − = −∑

2

1'(0) i

if t

ν

=

= ∑ Όµως ισχύει:

22

2 2 22 2 212 2 2 21

1 1 1

1 ... ( )i i

i ii i i

i i i

t ts t s x s t vx t s x

v

ν ν

ν ν ν

ν νν ν= =

= = =

= − ⇔ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +

∑ ∑∑ ∑ ∑

Οπότε 22'(0) ( )f s xν= + .Έτσι η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι:

2 22 2(0) '(0)( 0) 2014 ( ) ( ) 2014y f f x y s x x y s x xν ν− = − ⇔ + = + ⇔ = + −

Δ)Το δείγµα 1 2, ,...,t t tκ έχει µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s και CV=16%, δηλαδή 16

100s sCVx x

= ⇔ = (1)

Το 2029 το δείγµα ηλικιών θα είναι 1 215, 15,..., 15t t tκ+ + + µε µέση τιµή ' 15x x= + και τυπική

απόκλιση 's s= και CV’=10%,δηλαδη 10'

10015 15s sCV

x x= ⇔ =

+ +(2)



Από την λύση του συστήµατος (1) ,(2) προκύπτει 25x = και 4s = Το εύρος της κανονικής κατανοµής είναι 6 24R s R≈ ⇔ ≈ R =µεγαλύτερη ηλικία – µικρότερη ηλικία ή 24= µεγαλύτερη ηλικία – 13 άρα µεγαλύτερη ηλικία =37 Εφόσον οι χρόνοι των δυο διαδροµών ακολουθούν την κανονική κατανοµή έχουµε:

Παρατηρούµε ότι 25 4 29x s+ = + = .Από την κανονική κατανοµή το 16% των παρατηρήσεων έχουν τιµή πάνω από 29x s+ = Άρα: 16 8 50100

v v= ⇔ = .

56. A) Αν 0 0.6x≤ ≤ έχουµε

( )2 2'( ) (0.6 ) ' (0.6 ) 2 (0.6 ) (0.6 )(0.6 2 ) (0.6 )(0.6 3 )g x x x x x x x x x x x= − = − − − = − − − = − −

Όταν 0 0.2x≤ ≤ ισχύει '( ) 0g x < άρα g στο[ ]0,0.2

Όταν 0.2 0.6x≤ ≤ ισχύει '( ) 0g x > άρα g στο[ ]0.2,0.6

Οπότε η f παρουσιάζει µέγιστο όταν 0.2x = και ισχύει: ( ) (0.2) ( ) 0.032g x g g x≤ ⇒ ≤

Β)i) Επειδή 4

11i

if

=

=∑ και 4 3 30.6 , 0 0.6 (1)f f f= − ≤ ≤

Οπότε αρκεί να δείξουµε ότι 23 3(0.6 ) 0.032f f− ≤ που ισχύει από το ερώτηµα Α) διότι

3( ) 0.032g f ≤ όταν 30 0.6f≤ ≤ .

13 17 21 25 29 33 37

99,7%95%68%

34%34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15% 13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%2.35%2.35%



ii)

4 4

1 1... 16.4i i i i

i ix x f x f

= =

= ⇒ = =∑ ∑

Κατασκευάζουµε πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %iF και βρίσκουµε

16.5δ = . Έτσι x δ≠ οπότε η κατανοµή δεν είναι κανονική . iii) Θεωρούµε ότι οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στις κλάσεις . A=επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή ώστε η βαθµολογία του να ανήκει στο διάστηµα [ )16, 20

4 3( ) 0.6P A f f= + =

Β=επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή ώστε η βαθµολογία του να ανήκει στο διάστηµα [ )17,19

34( ) 0.32 2

ffP B = + =

Γ=επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή ώστε η βαθµολογία του να ανήκει στο διάστηµα [ )12,15

21( ) 0.25

2fP fΓ = + =

57.α) 5 1F = και 5 % 100F = Από τους τύπους του vieta έχουµε:

53 5 13

3 5

8 35 ... 5

3 15

FF F F

F F κ κ

= + = = ⇔ ⇔ ==

12 2

5 % 100 3 30 100 3 30 10010 7

Fή

κκλ λ λ λ

λ λ

=

= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= = −

Όµως 1% 0,F λ= ≥ άρα 10λ =

[ )− ix if i ix f iF %

12-14 13 0.1 1.3 10

14-16 15 0.3 4.5 40

16-18 17 0.4 7.6 80

18-20 19 0.2 3.4. 100



β)

1 1

2

2 2 1

3 3

3 3 22

4

4 4 3

5 5 4

% % 10% 3 10 40% % % 40 10 30% 100 60% % % 60 40 20

% 2 10 90% % % 90 60 30% % % 100 90 10

f FFf F FF Ff F F

Ff F Ff F F

λλ

κλ λ

= = == + == − = − == == − = − =

= − + == − = − == − = − =

γ)

21 1

45 4

(1)

4 2 (2)

%25% % ... 16 (1)2

%25% % ... 24 (2)2

2 2 8 4

ff x

f f x

x x c c c

= + ⇔ ⇔ =

= + ⇔ ⇔ =

− = ⇔ = ⇔ =

1η κλάση [ ), 4 ,a a + 2η κλάση [ )4, 8 ,a a+ +

24 8 4 8 2 1216 16 16 6 10

2 2 2a a a a ax a a+ + + + + + +

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ =

Κλάσεις Κεντρικές τιµές ix %if iF %iF

[ )10,14 12 10 0.1 10

[ )14,18 16 30 0.4 40

[ )18, 22 20 20 0.6 60

[ )22, 26 24 30 0.9 90

[ )26,30 28 10 1 100

ΣΥΝΟΛΑ 100

δ)Το 40% (f4%+ f5%) των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες ή ισες του 22.

Στο 40% των παρατηρήσεων αντιστοιχουν 800 παρατηρήσεις



Στο 100% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις

40 800 100 ... 2000ν ν= ⋅ ⇔ ⇔ =

57.Α) Είναι:

5 ( ) ( ) ( ) ( ) 516 4 16

P A B P A B P B A P B Ax ∪ + ∩ + − + −= ⇔ = ⇔

5( ) ( ) ( ) ( )4

P A B P A B P B A P B A∪ + ∩ + − + − = ⇔

5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

P A P B P A B P A B P A B P B P A B+ − ∩ + ∩ − ∩ + − ∩ = ⇔

5 5 52( ( ) ( ) ( )) 2 ( ) ( )4 4 8

P A P B P A B P A B P A B+ − ∩ = ⇔ ∪ = ⇔ ∪ =

Β) Από υπόθεση :

( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2

P B P AP A B P B P A B P A< ∩ < ⇔ < ∩ < ⇔

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )P B P A B P A B P A B P A P A B− ∩ < ∩ − ∩ < − ∩ ⇔

( ) ( ) ( )P B A P A B P A B− < ∩ < − (1)

Όµως διότι ( ) ( )A B A B P A B P A B− ⊆ ∪ ⇒ − ≤ ∪ (2)

Από (1) ,(2): ( ) ( ) ( ) ( )P B A P A B P A B P A B− < ∩ < − ≤ ∪

1 ( ) ( ) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2

P A B P A B P A B P A B P A B P A P A B

P A B P A P A B P A

δ ∩ + −= ⇔ = ⇔ ∩ + − = ⇔ ∩ + − ∩ = ⇔

∩ + − ∩ = ⇔ =

Από τον προσθετικό νόµο

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 1 1( ) ( )8 2 8 4

P A B P A P B P A B P B P A B P A P A B

P B P B

∪ = + − ∩ ⇔ = ∪ − + ∩ ⇔

= − + ⇔ =

Γ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B− ∪ − = − + − = − ∩ + − ∩ =

1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) 22 4 8 2

P A P B P A B+ − ∩ = + − ⋅ =



Δ) 1 2 3 45 1 1 1( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,8 2 4 8

x P A B x P A x P B x P A B= ∪ = = = = = = ∩ =

4

1

5 1 1 1 38 2 4 8 2ix = + + + =∑

2 2 2 224

1

5 1 1 1 238 2 4 8 32ix = + + + =

∑

24

2412

1

1 54 4 128

i

i

xs x

= − =

∑∑

58.Θεωρούµε τα ενδεχόµενα

Α: να ψήφισε το κόµµα Α

Β: να ψήφισε το κόµµα Β

Γ: να ψήφισε το κόµµα Γ

Δ: να ψήφισε το κόµµα Δ

Τα ενδεχόµενα Α,Β,Γ,Δ είναι ανά δυο ξένα µεταξύ τους .Από την εκφώνηση έχουµε:

•150 3( ) ( ) ( )100 2

N A N B N B= =

•10 1( ) ( ) ( )100 10

N N NΓ = Ω = Ω οπότε ( ) 1( )( ) 10

NP ΓΓ = =

Ν Ω

•200( ) ( ) 2 ( )100

N N N∆ = Β = Β όµως

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N Α +Ν Β + Ν Γ + Ν ∆ = Ν Ω ή 3 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 10

B N B BΝ + + Ν Ω + Ν = Ν Ω ή

9 9 2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )2 10 10 ( ) 10

2( )10

BB B

P B

ΝΝ = Ν Ω ⇔ Ν = Ν Ω ⇔ = ⇔

Ν Ω

=



3 ( ) 3 ( ) 3 2 3( ) ( ) ( )2 ( ) 2 ( ) 2 10 10

N A NN A N B PN N

Β= ⇔ = ⇔ Α = =

Ω Ω

Ι) Η πιθανότητα να ψήφισε το κόµµα Α ή το κόµµα Γ είναι 3 1 4( ) ( ) ( )

10 10 10P A P A P∪Γ = + Γ = + =

ii) 1( )

10P Γ =

iii)Η πιθανότητα να ψήφισε το κόµµα Γ ή να µην ψήφισε το κόµµα Β είναι :

( ') ( ) ( ') ( ') ( ) 1 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ( ) ( ))

2 8( ) 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) 110 10

P P P P P P PP P P P

P P P P

Γ∪Β = Γ + Β − Γ∩Β = Γ + − Β − Γ −Β =Γ + − Β − Γ − Γ∩Β =

= Γ + − Β − Γ + = − Β = − =

59.i)Θέτουµε 4 (0) (1) 2 (2) 4 (3)P P P P κ= = = = οπότε προκύπτει:

(0) , (1) , (2) , (3)4 2 4

P P P Pκ κ κκ= = = = και

1(0) (1) (2) (3) 1 1 ...4 2 4 2

P P P P κ κ κκ κ+ + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ =

1 1 1 1(0) , (1) , (2) , (3)8 2 4 8

P P P P= = = =

ii)Είναι 2 23( ) ( 3 5) 6662

f x x xλ λ= − − + + , x∈

2'( ) 3 ( 3 5)f x x λ λ= − − + . Η f είναι παραγωγίσιµη στο και παρουσιάζει ελάχιστο στο 1x = θα

έχουµε:

2 3 5'( ) 0 ..3

f x x λ λ− += ⇔ ⇔ =

2 3 5'( ) 03

f x x λ λ− +< ⇔ < και

2 3 5'( ) 03

f x x λ λ− +> ⇔ > .Άρα η f έχει ελάχιστο , οπότε

2 3 5 1 ... 1 23

ήλ λ λ λ− += ⇔ ⇔ = =



Άρα είναι 1,2Α = , οπότε 1 1 3( ) (1) (2)2 4 4

P P PΑ = + = + =

iii) Έχουµε τις παρατηρήσεις 21,1,6, ,3,3,2,6 3λ λ− .Η µέση τιµή των παρατηρήσεων ισούται µε:

2 21 1 6 3 3 2 6 3 3 22 2.58 8

x λ λ λ λ+ + + + + + + − − += = >

2 23 22 20 3 2 0 .. 2 1ήλ λ λ λ λ λ− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔ > < οπότε 3 0ήλ λ= = δηλ 0,3Β = .

iv) Έχουµε 1,2Α = , 0,3Β = , 0,1,2,3Ω = ,

ισχύει: Α∩Β =∅ ,Α∪Β = Ω ,Β−Α = Β ,Α−Β = Α , 'Α = Β , 'Β = Α ,

( ) 0P Α∩Β = , ( ) 1P Α∪Β = , 3( ) ( ) (1) (2)4

P P P PΑ−Β = Α = + =

1 1 1( ) ( ) (0) (3)8 8 4

P B A P B P P− = = + = + =

( ' ) ( ) ( ) 0P A B P B B P− = − = ∅ =

( ' ') ( ) ( ) 0P A B P B A P∩ = ∩ = ∅ =

1( ' ') ( ) ( )4

P A B P B A P B− = − = =

60.Α) Έχουµε:

11( ) ( )P P

νν ν

νΑ = ⇔ = Α (1) 2

2( ) ( )P B Pν

ν νν

= ⇔ = Β (2)

(1) +(2): 1 2 ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))P P B P P Bν ν ν ν ν+ = Α + ⇔ = Α + ⇔

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 'B B

P P B P B P B BΑ∩ =∅ Α∩ =∅

Α + = ⇔ Α∪ = Ω ⇔ Α∪ = Ω⇔ Α =

Β) Είναι 1 20 1 ( ) ( )v v P Bx P

v vν⋅ + ⋅

= = = Β και έχουµε το ζητούµενο.

Γ) Για τη διακύµανση έχουµε:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 21 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2

( ) ( ) 1

1 1 1( ) ( ( ) ) (0 ( )) (1 ( ))

1 1 1(0 ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i i ii i

P P B

s x x P B x P B P B

P B P P B P P P B P B P P P B P B P

P P B P P B P P B

ν ν

ν ν ν νν ν ν

ν ν ν ν ν νν ν ν

= =

Α + =

= − = − = − + − =

− + Α = + Α = Α + Α = Α + Α =

Α Α + = Α

∑ ∑

το οποίο αποδεικνύει το ζητούµενο.

Παρατήρηση Αν Α,Β είναι δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω- πεπερασµένου πλήθους - µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα .Τότε ισχύει: 1)Αν A B⊆ , A B≠ τότε ( ) ( )P A P B< 2) Αν ( ) 1P A = τότε A = Ω 3) Αν ( ) 0P A = τότε A = ∅ ∆εν ισχύουν εν γένει τα παραπάνω αν τα απλά ενδεχόµενα δεν είναι ισοπίθανα.



Δ) Είναι ( ) ( ) 1P P BΑ + = και 2 2( ) ( ) ( )(1 ( )) ( ) ( )s P P B P P P P= Α = Α − Α = Α − Α

Η διακύµανση γίνεται µέγιστη όταν η συνάρτηση 2( )f x x x= − , 0 1x≤ ≤ γίνεται µέγιστη, και αυτό

συµβαίνει στο 012

x = . Άρα η τιµή του 1( )2

P A =

61.Α) ( )'( ) ' ( )x x x x x xf x e e e e e eλ λ λλ λ λ λ= − = − = −

( ) 2''( ) ( ) 'x x x xf x e e e eλ λλ λ λ= − = −

Β) Έχουµε:

( )2 2 2

2 2 2 2

: ( 1) '( ) ( )

( 1) ( )

( ) ( )( ) ( ) ''( )

x x x x

x x x x

x x x x

f x f x

e e e e

e e e ee e e e f x

λ λ

λ λ

λ λ

µελος λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ

Β + − =

+ − − − =

+ − + − + =

+ − − + − = − =

Γ) (0) 1f λ= − ,άρα ( )0,1 λΑ − . Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο της Α ισούται µε 0 0'(0) ( ) 0f e eλ λ= = − = . Αν y xλ β= + η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης για 0λ = γίνεται y=β και επειδή αυτή διέρχεται από το σηµείο ( )0,1 λΑ − είναι

1β λ= − , οπότε η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης είναι 1 , 1y λ λ= − > .

Δ) Είναι 1

'( ) 0 ( ) 0 ( 1) 0 0x x x xf x e e e e x x x xλ

λ λλ λ λ>

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Για 0x < και 1λ > ισχύει 0 '( ) 0x x x xx x e e e e f xλ λλ < ⇒ < ⇒ − < ⇒ <

Για 0x > και 1λ > ισχύει 0 '( ) 0x x x xx x e e e e f xλ λλ > ⇒ > ⇒ − > ⇒ >

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ( ],0−∞ και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα

[ )0,+∞ .Η συνάρτηση f παρουσιάζει για 0x = ελάχιστο ισο µε (0) 1f λ= −

Ε) Επειδή η f έχει ελάχιστο ίσο µε 1 λ− ισχύει ( ) 1f x λ≥ − για κάθε x∈ , οπότε 1 1x x x xe e e eλ λλ λ λ λ− ≥ − ⇔ + ≥ + για κάθε x∈ .



62.Α) Είναι πολύγωνο σχ. συχνοτήτων επί τοις εκατό. Αφού ΔE// x’x θα είναι f3 %= f4 % ,έτσι: f1 %+ f2 % + f3 %+ f4 % + f5 %=100 ή 40+2f3 %=100 ή f3 %=30% . Οπότε yΔ = yΕ=30

Β) Πολύγωνο σχ. συχνοτήτων

Γ) Μια προσέγγιση είναι, να θεωρήσουµε ότι οι κλάσεις έχουν την µορφή

[ ) [ ), ,..., 4 , 5a a c a c a c+ + + και θα ισχύει:

10 22 ...4 5 918

2

cc

c c

α α

α α α

+ + = = ⇔ ⇔ + + + = =

Οπότε ο πίνακας κατανοµής σχ. Συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) είναι ο παρακάτω: Πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ [ )−

ix if iF if % iF %

9-11 10 0.1 0.1 10 10 11-13 12 0.2 0.3 20 30 13-15 14 0.3 0.6 30 60 15-17 16 0.3 0.9 30 90 17-19 18 0.1 1 10 100 Σύνολο 1 100 Δ) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 .. 14.2x x f x f x f x f x f= + + + + = = Για την διάµεσο κατασκευάζουµε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό και χρησιµοποιούµε όµοια τρίγωνα.

fi%

Z

H



15 13 60 30 ... 12.3

13 50 30δ

δ− −

= ⇔ ⇔ ≈− −

Ε) Το ποσοστό των πωλητών µε τουλάχιστον 15000 ευρώ είναι: 4 5% % 30% 10% 40%f f+ = + = ΣΤ) Αφού το εµβαδό του χωρίου µεταξύ του πολυγώνου συχνοτήτων και του οριζόντιου άξονα είναι 80 , τότε µε µονάδα το c ,το πλήθος των πωλητών είναι ν=80. Έτσι ο ζητούµενος αριθµός πωλητών είναι: 80(40/100)+32.

63. 1. Γ 2. Γ 3. Γ 4.Γ 5. Γ 6.

Β) 1.Ζ 2.Ε 3.Β 4.Α 5.Δ 6.Γ 7.ΣΤ

64.A) 2014(0) 0 0 0 0fC f a β βΑ∈ ⇒ = ⇔ ⋅ + = ⇔ =

2014(1) 1 1 1 1fC f a aβΒ∈ ⇒ = ⇔ ⋅ + = ⇔ =

Fi

9 11 19 17 15 13

δ

100

10

50

60

30

20

90



Β) i) 2014( )f x x= , 2013'( ) 2014f x x= .Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της fC στο

σηµείο Α(3,f(3)) είναι 2013'(3) 2014 3f = ⋅ . Όµως από 2014 2014

0

(3 ) 3'(3) limh

hfh→

+ −= έτσι

2014 20142013

0

(3 ) 3lim 2014 3h

hh→

+ −= ⋅ .

ii)Το ζητούµενο όριο θα είναι:

2014 2014 2014 20142013

0 0

(3 ) 3 (3 ) 3 1 1lim lim 2014 3( 2014) 2014 2014h h

h hh h h h→ →

+ − + −= = = + +

iii)Αν ε η ζητούµενη εφαπτοµένη ελ ο συντελεστής διεύθυνσης της και 0 0( , ( ))x f xΓ το σηµείο επαφής της ε µε την fC µε ε//η τότε θα ισχύει

2013 20130 0 0 0'( ) 2014 2014 2014 1 1f x x x xελ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .Άρα (1, (1))fΓ ή (1,1)Γ

Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι:

.... 2014 2013y x y xελ β= + ⇔ ⇔ = −

iv)Αν ζ: y xλ β= + η ζητούµενη εφαπτοµένη τότε 2013 0 2013λ β β− = ⋅ + ⇔ − =

Οπότε η ζητούµενη εφαπτόµενη έχει την µορφή 2013y xλ= −

Αν 0 0( , ( )x f x∆ το σηµείο επαφής τότε:

2014 20130 0 0 0 0 0 0

2014 2014 2014 20140 0 0 0 0

'( ) 2013 ( ) '( ) 2013 2014 2013

2014 2013 2013 2013 1 1

y f x x f x f x x x x x

x x x x x

ζ∆∈

= − ⇒ = − ⇔ = − ⇔

= − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

Οπότε έχουµε δυο σηµεία επαφής (1, (1))f και ( 1, ( 1))f− − ,κατά συνέπεια και δύο εφαπτόµενες.

65.A)Έστω ότι η πρώτη κλάση είναι [ ), cκ κ + τότε η τέταρτη κλάση είναι [ )3 , 4c cκ κ+ + άρα το

εύρος είναι ( 4 ) 4R c cκ κ= + − = και 4 16 4c c= ⇔ = .Έχουµε επίσης

1 2 3 43% % % % 100 2 100 ... 20

2 2af f f f a a aα

+ + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ =

Β)Η τρίτη κλάση είναι [ )2 , 3c cκ κ+ + και το κέντρο της είναι 10 άρα

42 3 2 2010 10 .... 02 2

cc cκ κ κ κ=+ + + +

= ⇔ = ⇔ ⇔ =

Έτσι οι κλάσεις είναι [ ) [ ) [ ) [ )0, 4 , 4,8 , 8,12 , 12,16 και ο ζητούµενος πίνακας γίνεται



Χρόνια υπηρεσίας

Κέντρα κλάσεων

fi fi% Fi Fi% i ix f 2i ix f

[ )0 4− 2 0.1 10 0.1 10 0.2 0.4

[ )4 8− 6 0.2 20 0.3 30 1.2 7.2

[ )8 12− 10 0.3 30 0.6 60 3 30

[ )12 16− 14 0.4 40 1 100 5.6 78.4

Σύνολο - 1 10 - - 10 116

Γ.Για την µέση τιµή : 4

1

10i ii

x x f=

= =∑ .Επίσης είναι:

( )

2 24 4

4 4 4 21 12 2 2 22

1 1 1

1 116 100 16i i i i

i iix i i i i i

i i i

x xs x x f x x

ν νν

νν ν ν ν

= =

= = =

= − = − = − = = − =

∑ ∑∑ ∑ ∑

Άρα 4xs = .Είναι 10 4 6xx s− = − = , 10 4 14xx s+ = + =

Έτσι το ζητούµενο ποσοστό είναι:

2 43

% % 20 40% 30 % 60%2 2 2 2

f ff + + = + + =

Δ) Αφού αποσύρθηκε η κλάση [ )0, 4 έχουµε τις κλάσεις [ ) [ ) [ )4,8 , 8,12 , 12,16 µε αντίστοιχες

συχνότητες 2 3 4, ,ν ν ν .Άρα οι σχετικές συχνότητες είναι:

2

2 21

11 1

'1

fff

νν ν

ν νν νν

= = =−− −

, 3

3 32

11 1

'1

fff

νν ν

ν νν νν

= = =−− −

, 43

1

'1

fff

=−

Η νέα µέση τιµή :



332 4

2 1 3 2 4 3 2 3 41 1 1 1

2 2 3 3 4 4

1

' ' ' ' '1 1 1

1.2 3 5.6 12.251 1 0.2

i ii

ff fx x f x f x f x f x x xf f f

x f x f x ff

=

= = + + = + + =− − −

+ + + += = =

− −

∑

66. 3 2 21 9 1 9 1'( ) 2014 '2 40 20 20 20

f x x x x x x = − + − + = − + −

1 21 1'( ) 0 ... ,4 5

f x x x= ⇔ ⇔ = = .Ο πίνακας µεταβολών είναι:

x −∞

15

14

+∞

f '(x) − + −

f (x)

Οπότε η διάµεσος των παρατηρήσεων ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P A B∩ ∪ είναι δ=14

ενώ η µέση τιµή

των παρατηρήσεων ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P B A P A B P A B∩ − − ∪ είναι 15

x = .

Είναι ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∩ ≤ ≤ ≤ ∪ ή

( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A P A B∩ ≤ ≤ ≤ ∪ σε κάθε περίπτωση όµως ( ) ( )2

P B P Aδ += . Άρα

( ) ( ) 1 1( ) ( )2 4 2

P B P A P B P A+= ⇔ + = (1)



(1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 513 2 ( )3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 12

6 5 6 53 4 ( )

1 3 4 ( ) 12 15 20 ( ) 126 5 12 5

20 ( ) 3 ( )

P A P B P A B P B A P A B P A Bx

P A P B P A B P B A P A B P A P B P A B

P A BP A P B P A B

P A BP A B P A B

P A B P A B

+ + ∩ + − + − + ∪= ⇔

+ + ∩ + − + − + + + ∩= ⇔

− ∩+ − ∩= ⇔ = ⇔

− ∩− ∩

= ⇔ = ⇔ − ∩ = ⇔

− ∩ = − ⇔ ∩320

=

Όµως:1 3 7( ) ( ) ( ) ( )2 20 20

P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = − =

67)A) ( )2'( ) 2 2 1 ' 4 2f x x x x= − + = − ,

1'( ) 0 4 2 02

f x x x= ⇒ − = ⇔ =

'( ) 0f x < για 12

x < άρα f στο διάστηµα 1,2

−∞

'( ) 0f x > για 12

x > άρα f στο διάστηµα 1 ,2 +∞

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για 12

x = το 1 1( ) ..2 2

f = =

Β) i)Έχουµε :

4

1 ( ) ( ') ( ) ( ) 1 0 1 14 4 4 2

ii

tP A P A P Px = + + ∅ + Ω + +

= = = =∑

Διατάσσουµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και λαµβάνουµε :

( ) 0, ( ), ( '), ( ) 1P P A P A P∅ = Ω = ( A ≠ ∅ άρα ( ) 0P A ≠ και ( ') 1P A ≠ οπότε0 ( ) 1P A< ≤ )

( ) ( ) ( ') ( )P P A P A P∅ < ≤ ≤ Ω ή 0 ( ) ( ') 1P A P A< ≤ ≤ .



( ) ( ') 12 2

P A P Aδ += =

ii)

( )4 22 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1[( ( ) ) ( ( ') ) ( ( ) ) ( ( ) ) ]4 4 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ( ) ) (1 ( ) ) ( ) ( ) ] [( ( ) ) ( ( )) ]4 2 2 2 2 4 2 2 4 41 1 1 1 1 1 1 1[2( ( ) ) ] [2( ( ) ( ) ) ] [2 ( ) 2 ( )4 2 2 4 4 2 4 2

ii

s t x P A P A P P

P A P A P A P A

P A P A P A P A P A

=

= − = − + − + Ω − + ∅ − =

− + − − + + − = − + − + + =

− + = − + + = − + +

∑

2

1]2

1 [2 ( ) 2 ( ) 1]4

P A P A

=

− +

iii)Είναι 2 1 ( ( ( ))4

s f P A= από το ερώτηµα (Α) έχουµε ότι 1( )2

f x ≥ για κάθε x∈ αφού η

ελάχιστη τιµή της f είναι 12

, άρα:

21 1 1 1 1 1( ( )) ( ( ))2 4 8 8 8 2 2

f P A f P A s s s≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ και η ισότητα ισχύει όταν

1( )2

P A = .Άρα

11 22 2

1 1 222 2

s sCVx

= = ≥ = = .Οπότε 2

2CV ≥ και η ισότητα ισχύει όταν

1( )2

P A = , άρα

1( ') 1 ( )2

P A P A= − = δηλαδή όταν ( ') ( )P A P A=

68.A)Έχουµε:

2 22 2 2

2 212 2 21 1 1 1

1

1 i i i i ii i i i i

ii

x x x x xs x x s x

ν ν ν ν ν

ν

ν ν ν ν ν ν= = = = =

=

= − = − = − ⇔ = −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑



302

2 2 02 2 2 22 2 2 2 212

3030 1 1 1101 10030 30 100 10 10

i xi

xs s ss x s x s s x x s CV

xx

>== − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =∑

Άρα το δείγµα είναι οµοιογενές .

Β.i) Από το ερώτηµα (Α)

3 2 3 2

3 2

40 40 1( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 23 3 104( ) 2 ( ) ( ) 23

f x CVx P A B x P A B x f x x P A B x P A B x

f x x P A B x P A B x

= − ∪ + ∪ + ⇒ = − ∪ + ∪ + ⇔

= − ∪ + ∪ +

3 2 24'( ) 2 ( ) ( ) 2 ' 4 4 ( ) ( )3

f x x P A B x P A B x x P A B x P A B = − ∪ + ∪ + = − ∪ + ∪

2'( ) 0 4 4 ( ) ( ) 0f x x P A B x P A B= ⇒ − ∪ + ∪ =

Η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι:

216 ( ) 16 ( ) 16 ( )( ( ) 1)P A B P A B P A B P A B∆ = ∪ − ∪ = ∪ ∪ −

Όµως

, ( ) 0, ( ) 00 ( ) 1

' 'A B P A P B

P A BB A B A

≠ ∅ ≠ ≠ ⇒ ⇒ < ∪ < ≠ ≠

Άρα 0∆ < για κάθε x∈ οπότε '( ) 0f x > για κάθε x∈ άρα f στο x∈ οπότε δεν έχει ακρότατα.

ii) (0) '(0)( 0) 2 ( ) ( ) 2y f f x y P A B x y P A B x− = − ⇒ − = ∪ ⇔ = ∪ +

iii)Τα σηµεία τοµής τις εφαπτοµένης µε τους άξονες της υπολογίζονται

Για τον x’x : 20 ( ) 2 0

( )y P A B x x

P A B= ⇔ ∪ + = ⇔ = −

∪ άρα

2( ,0)( )

AP A B

−∪

Για τον y’y : 0 2x y= ⇔ = άρα (0,2)A

Άρα το εµβαδό του τριγώνου είναι: 1 2 222 ( ) ( )

EP A B P A B

= − =∪ ∪

τ.µ

Όµως από υπόθεση 2 14 4 ( )

( ) 2E P A B

P A B= ⇔ = ⇔ ∪ =

∪



iv) 23'( ) 666 ' 32

g x x ax x a = − + = −

αλλά 0

(1 ) (1)'(1) lim 2 3 1 2 1h

g h gg a ah→

+ −= = ⇔ ⋅ − = ⇔ =

άρα 23( ) 6662

g x x x= − + .

v) 1'( ) 0 3 1 03

g x x x= ⇔ − = ⇔ =

1 1'( ) 0 3 1 0 , ,3 3

g x x x g xαρα > ⇔ − > ⇔ > ∈ +∞

1 1'( ) 0 3 1 0 , ,3 3

g x x x g xαρα < ⇔ − < ⇔ < ∈ −∞

η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση 13

x = ,από υπόθεση όµως 1( )3

P A B− =

Από τον προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 3 6

P A B P A P B P A B P A B P B P A B

P B P A B P A B P B

∪ = + − ∩ ⇔ ∪ = + − ⇔

= ∪ − − ⇔ = − =

69

Α1,

60 2 60 200 320 3.2100 100 100

x λ λ λ λ+ − + + −= = = −

3 4 3.52

δ += = , λ ∈ αρα xδ >

0.46 3.5 3.2 0.46 0.3 0.46 30 46 16100 100

x λ λδ λ λ− = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

ix iN iν i ixν

1 λ λ λ

2 30 30-λ 60-2λ

3 50 20 60

4 100 50 200



Α2.Οποτε 163.2 3.2 0.16 3.04100

x = − = − =

Β1. Για κάθε x∈ είναι:

( )2 22'( ) 1 'x xf x e x eα αα α α= − + = − και ( )2 22 4''( ) 'x xf x e eα αα α α= − =

B2.Ειναι 22 0 2'(0)f eαα α α α⋅= − = − .Θεωρουµε την συναρτηση

2( )g α α α= − και '( ) 2 1g α α= −

1'( ) 0 2 1 02

g α α α= ⇔ − = ⇔ =

1'( ) 0 2 1 02

g α α α> ⇔ − > ⇔ >

1'( ) 0 2 1 02

g α α α< ⇔ − < ⇔ <

Εποµενως το '(0)f γινεται ελαχιστο για 12

α =

Β3) ( )3 3 3 / 3.31 / 0.46 3.31 / 0.46 3.312 2 2

xα α δ α α α αΩ = ∈ ≤ − + = ∈ ≤ + = ∈ ≤ +

/ 4 / 4 4 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4α α α α= ∈ ≤ = ∈ − ≤ ≤ = − − − −

2 2'(0) (0) 2 2 0 1 2f f ήα α α α α α> ⇔ − > ⇔ − − > ⇔ < − > και α ∈Ω

4, 3, 2,3,4Α = − − −

Επιπλεον

4 4''(0) 256 256 256 4 4 4f α α α α< ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < < και α ∈Ω

3, 2, 1,0,1, 2,3B = − − −

i) ( ) 3 1( )

( ) 9 3A BP A B Ν ∩

∩ = = =Ν Ω

ii) 4,3,4A B− = − αρα( ) 3 1( )

( ) 9 3A BP A B Ν −

− = = =Ν Ω

iii) 1,0,1,2B −Α = − αρα ( ) 4( )

( ) 9NP

NΒ−Α

Β−Α = =Ω

α −∞

12

+∞

'( )g α − +

( )g α



iv) ( ) ( ) 4,1,0,1,2,3,4Α−Β ∪ Β−Α = − ,αρα :

(( ) ( )) 7(( ) ( ))( ) 9

NPN

Α−Β ∪ Β−ΑΑ−Β ∪ Β−Α = =

Ω

Δ)Εχουµε: 5 6 3 10 12 3

4 4x α α α α α α− + += = = .Ειναι:

1 3 1 11 1 ....3 1 31

xx

α αα

− −> ⇔ > ⇔ ⇔ < −

++

Αρα 4, 3, 2, 1Γ = − − − − , οποτε ( ) 4( )( ) 9

NPN

ΓΓ = =

Ω

70. Α) ( )1f (x) x x s 14

′ = ⋅ − + .

Αφού η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία 2y x= − +

έχουµε ότι 1 1f (1) 1 x 1 (s 1) 1 x s x 4s4 4

′ = − ⇔ ⋅ − + = − ⇔ = ⇔ = (1). Συνεπώς:

s s s 1CV 25% 10%x 4s 4s 4

= = = = = > , άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

Β) ( ) ( ) ( )2

2222 2

2 2 22

1 1lim ( ) lim 1 1 28 8→ →

= − −

= − + − + =x s x s

xss s sf x xx s x x s s

Οπότε 2 2(1)

2 2 3 2

2

42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 02 2

lim ( ) 2→

⋅− − = − − − = − ⇔ − − + == − ⇔ ⇔x s

xs s ss s s s s s sf x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 22s s 1 2 s 1 0 2 s 1 s 1 0 2 s 1 s 1 0 s 1 ή s 1⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = = − κι αφού s 0≥

είναι s 1= και από (1) x 4= .

Γ) 21 22

( ) = −f x x x , οπότε

2 21 2

1 1 1 1

1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 22 2= = = =

+ + + = = − = −

∑ ∑ ∑ ∑ν ν ν ν

ν i i i i ii i i i

f x f x f x f x x x x x (2)

Είναι: i

i 1i i

i 1 i 1

xx x x x 4

ν

ν ν=

= =

= ⇔ = ν ⇔ = νν

∑∑ ∑ (3) και



( )

2 22 2

212 2 2 21 1 1

1

1 = = = =

=

= − ⇔ = − ⇔ = −

∑ ∑ ∑ ∑∑

ν ν ν ν

i i i iνi i i i

ii

x x x xs x s s x

ν ν ν ν ν

( ) ( )2 22 2 2 2i i

i 1 i 1

s x x x s xν ν

= =

⇔ ν = −ν ⇔ =ν + ν∑ ∑ ,

άρα ( )22 2i

i 1x 1 4 17

ν

=

=ν ⋅ + ν = ν∑ (4).

Από (2), (3) και (4) προκύπτει ότι 1 21 1( ) ( ) ... ( ) 17 2 42 2

+ + + = − ⋅ =νf x f x f x ν ν ν .

Δ) Εύρος R 6 s 6⋅ = . Το διάστηµα ( )2,5 αντιστοιχεί στο διάστηµα ( )x 2s, x s− + όπου στην κανονική κατανοµή έχουµε

ότι αντιστοιχεί το 95 6868 % 81,5%

2− + =

των παρατηρήσεων.

71.Α) Στο δεύτερο τετράµηνο όλοι οι µαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά 1 µονάδα, οπότε η νέα µέση τιµή θα είναι y x 1 12 1 13= + = + = και η τυπική απόκλιση

ys s 2= = .

Στο δεύτερο τετράµηνο όλοι οι µαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά

10% , άρα οι νέες τιµές θα είναι i i i i10t x x 1,1 x

100= + = ⋅ ,για i 1, 2,...,= ν . Συνεπώς οι νέες τιµές θα

είναι t 1,1 x 1,1 12 13,2= ⋅ = ⋅ = η µέση τιµή και ts 1,1 s 1,1 2 2,2= = ⋅ = η τυπική απόκλιση.

Β) Κατά το δεύτερο τετράµηνο έχουµε ότι

- για το Γ1 ο συντελεστής µεταβολής είναι yy

s 2CVy 13

= =

- για το Γ2 ο συντελεστής µεταβολής είναι tt

s 2, 2 2CVt 13,2 12

= = =

συνεπώς αφού y t2 2 CV CV

13 12< ⇔ < , άρα η βαθµολογία του Γ1 στο µάθηµα παρουσιάζει

µεγαλύτερη οµοιογένεια κατά το δεύτερο τετράµηνο.

Γ) Έχουµε ότι y 13= , ys 2= και 2i

i 1

y 4325ν

=

=∑ . Ξέρουµε ότι:

( )

2 22 2

212 2 2 21 1 1

1

1 = = = =

=

= − ⇔ = − ⇔ = −

∑ ∑ ∑ ∑∑

ν ν ν ν

i i i iνi i i i

y i y yi

y y y ys y s s y

ν ν ν ν ν

( )( ) ( )22 2 2 2

1

2 13 4325 173 4325 25=

+ ⋅ = ⇔ + ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =∑ν

y ii

s y ν y ν ν ν .



Δ) Επειδή οι βαθµολογίες των µαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανοµή κατά το πρώτο τετράµηνο µε µέση τιµή 12x = και τυπική απόκλιση s 2= , βαθµό τουλάχιστον

14 x s= + έχει το 100 68 % 16%

2−

= των µαθητών, δηλαδή 16 25 4

100⋅ = µαθητές.

Ε) Είναι

25

i 25i 1

ii 1

yy 13 13 y 325

25=

=

= ⇔ = ⇔ =∑

∑ . Επειδή ο βαθµός ενός µαθητή από 15 είχε περαστεί

ως 11, η κανονική µέση τιµή θα είναι: 25

ii 1

1

y 11 15325 4 329y 13,16

25 25 25=

− ++

= = = =∑

.

Έχουµε επίσης ότι 2i

i 1

y 4325ν

=

=∑ , άρα το σωστό άθροισµα των τετραγώνων των βαθµών είναι

2 24325 11 15 4429− + = , οπότε η σωστή διακύµανση θα είναι : 1

22y

1 329s 4429 3,974425 25

= − =

.

72. Α. Είναι ( )f x 2 x 2′ = α − α .

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης (ε) της fC στο σηµείο της ( )( )0, 0fΜ είναι

f (0) 2′λ = = − α , οπότε (ε): y 2 x= − α +β . Το σηµείο ( )( ) ( )0, 0Μ ∈f ε , άρα

f (0) 2 0 1= α ⋅ +β⇔ α + = β . Οπότε η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι η (ε):

( )y 2 x 1, 0,= − α +α + α∈ +∞ .

Β. 1) Από την εξίσωση της ευθείας (ε) για x 0= είναι y 1= α + και για y 0= είναι 1x , 0

2α +

= α >α

.

Συνεπώς η (ε) τέµνει τον x x′ στο σηµείο 1A ,0

2α +

α και τον y y′ στο σηµείο ( )B 0, 1α+ . Το

εµβαδό που σχηµατίζει η (ε) µε τους άξονες είναι:

( )1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 1 , 0 και 1 0 για 02 2 2 2 2 2

α + α + α + Ε = ΟΑ ⋅ ΟΒ = ⋅ α + = α + > α + > α > α α α Άρα

( ) ( )21

( ) , µε 0,4

α +Ε α = α∈ +∞

α.

2) Για κάθε ( )0,α∈ +∞ είναι:

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2( 1) 1 4 ( 1) 4 8 8 4 8 4 4 4 1( )16 16 44

α + ⋅ ⋅ α − α + ⋅ α + α − α − α − α − α −′Ε α = = = =α α αα

, άρα

22 2

2

1( ) 0 0 1 0 1 1 ή 1( . αφού 0)4α −′Ε α = ⇔ = ⇔ α − = ⇔ α = ⇔ α = α = − απορ α >α



α 0 1 +∞ ( )E′ α

- 0

+

( )E α ελ

Συνεπώς το εµβαδό µειώνεται για ( ]0,1α∈ και αυξάνεται για [ )1,α∈ +∞ .

3) το εµβαδό παίρνει την ελάχιστή τιµή του για 1α = και αυτή είναι ( )21 1 4(1) 1

4 1 4+

Ε = = =⋅

4) Για κάθε ( )0,α∈ +∞ είναι:

( )

( )

2 22 3 3

22 4 4 32

2 4 1 81 8 8 8 8 1( ) 04 16 16 24

′ α ⋅ α − α − ⋅ α α − α − α + α α′′Ε α = = = = = > α α α α α για κάθε

( )0,α∈ +∞ . Συνεπώς η (x)′Ε γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ , οπότε ο ρυθµός µεταβολής του

εµβαδού αυξάνετε συνεχώς.

Γ. Για τις τετµηµένες 1 2 10x , x ,..., x των σηµείων της (ε) έχουµε x 4= και 1s2

= . Οι τεταγµένες των

αντίστοιχων σηµείων θα είναι i iy 2 x 1, i 1,2,...,10= − α⋅ + α + = , οπότε θα έχουν µέση τιµή

y 2 x 1 2 4 1 7 1= − α ⋅ + α + = − α ⋅ + α + = − α + και 2 0

y1s 2 s 22

− α<

= − α = α ⋅ = α . Για

17

α ≠ είναι: yy

s 1CV 10% 10 7 1y 7 1 7 1 10

α α= = = ⇒ = ⇒ α = − α +

− α + − α +

( )1 17 1 10 ή 7 1 10 ή απορ. αφού 017 3

−⇔ − α + = α − α + = − α ⇔ α = α = α >



73.A) 0 ( ) 1 2 ( ) 2 1 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 ( )P P P P P≤ Γ ≤ ⇔ − ≤ Γ − ≤ − ⇔ − ≤ Γ − ≤ − ⇒ Γ − = − Γ

0 ( ) 1 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1P P P P≤ Γ ≤ ⇔ ≤ Γ + ≤ ⇒ Γ + = Γ +

( ) 2 ( ) 1 2 9 2 ( ) ( ) 1 2 91 2 ( ) 2 9 2 ( ) 2 8 ( ) 4 ( ) 4P P P P

P P P Pλ λ

λ λ λ λΓ − − Γ + = + ⇔ − Γ − Γ − = + ⇔

− Γ = + ⇔ − Γ = + ⇔ − Γ = + ⇔ Γ = − −

Όµως 0 ( ) 1 0 4 1 4 5 5 4P λ λ λ≤ Γ ≤ ⇒ ≤ − − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

Άρα η ελάχιστη τιµή του λ είναι -5 και η µέγιστη -4, οπότε 4, 5α β= − = − ,

Β)Η συνάρτηση γίνεται( 4)( ) (2 5 3) ( ) 2 (2 3)

2

xxef x x f x e x− −

= − + ⇒ = −

i) ( )'( ) 2 (2 3) ' 2 (2 3) 2 (2 3) '

2 (2 3) 2 2 2 (2 3) 4 2 (2 3 2) 2 (2 1)

x x x

x x x x x x

f x e x e x e x

e x e e x e e x e x

= − = − + − =

− + = − + = − + = −

1'( ) 0 2 (2 1) 0 2 1 02

xf x e x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

1'( ) 0 ...2

f x x f> ⇔ ⇔ > ⇒ όταν 1 ,2

x ∈ +∞

1'( ) 0 ...2

f x x f< ⇔ ⇔ < ⇒ όταν 1,2

x ∈ −∞

Η f παρουσιάζει ελάχιστο όταν 12

x = το 1( ) 42

f e= −

ii) 112

x = τότε 1( )2

P A = ,4 2( )

36eP B

e−

= − =

iii) Υποθέτουµε ότι Α,Β είναι ασυµβίβαστα οπότε θα ισχύει ( ) 0A B P A B∩ =∅⇒ ∩ =

1 2 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,2 3 3

P A B P A P B P A B P A B άτοπο∪ = + ⇔ ∪ = + ⇔ ∪ = > .Άρα τα Α,Β δεν είναι

ασυµβίβαστα.

iv) ( )' ' ' ' ' ' 'A B A B A B B A B A− = ∩ = ∩ = ∩ = −

Ισχύει: 2 2( ) ( ) ( ) ( ' ')3 3

B A B P B A P B P B A P A B− ⊆ ⇒ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤



Έχουµε:

1 1 1( ' ') ( ) ( ) ( )6 6 6

P A B P B A P B P B A≤ − ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ∩ ⇔

1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 3 3 6 2

P B A P B A P B A P B A P A≤ − ∩ ⇔ ∩ ≤ − ⇔ ∩ ≤ ⇔ ∩ ≤ που ισχύει άρα ισχύει

και η αρχική.

74.Α. i) 1 11 1( ) ( ) ...3 6

P fω ω= − = =

2 21 2( ) ( ) ...3 3

P fω ω= − = =

( ) ( )2 2

2 22 2 2

1 (2 ) 1'( ) 1 '1 1 1

x x x x xf xx x x

+ − − + = + = = + + +

( ) ( )( )

2

2 22 2

3 21 1 1 1 2

1 ( 1)( 1)1 11 '( ) 1 1 1 ( 1) 1( ) lim lim lim lim

6 1 6 1 6 1 6 121x x x x

x x xx xf x xP

x x x xω

→ → → →

− + − − +

+ + − += − = − = − = − =

− − − +

4 1 2 31 2 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( ) 16 3 12 12

P P P Pω ω ω ω= − − − = − − − =

ii)

• 22 1 0

22 2

1'( ) 0 0 1 0 ... 1 1( 1)

f ήωωω ω ω ω

ω

+ >−≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ⇔ ≥ ≤ −

+

Άρα 3 4 1, , ω ωΑ = − και 3 41 1 1 1( ) ( 1) ( ) ( )6 12 12 3

P P P Pω ωΑ = − + + = + + =

• 2 1 0

2 2( ) 1 1 1 0 01 1

fωω ωω ω

ω ω

+ >

> ⇔ + > ⇔ > ⇔ >+ +

,οπότε 3 4 , ω ωΒ =

3 41 1 1( ) ( ) ( )

12 12 6P P Pω ωΒ = + = + =

• 2 21 4 4 1 04

x x x xω ω+ ≥ − ⇔ + + ≥ για κάθε x∈ .

Πρέπει 20 1 0 .. 1 1ω ω∆ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ άρα 1,0Γ = −



1 2 5( ) ( 1) (0)6 3 6

P P PΓ = − + = + =

• 1Α−Β = − οπότε 1( ) ( 1)6

P PΑ−Β = − =

Β. 2

0 00 02 2

0

1'( ) 45 1 ... 0( 1)

xf x xx

εϕ −= ⇔ = ⇔ ⇔ =

+ άρα '(0) 1, (0) 1f f= = έχουµε:

ε: (0) '(0)( 0) .. 1y f f x y x− = − ⇔ ⇔ = +

Γ. 3 41,0, ,iω ω ω= −

• 1 1 1 1 1 1 0M yε ω∈ ⇔ = + = − + = • 2 2 2 1 0 1 1M yε ω∈ ⇔ = + = + =

• 3 3 3 1M yε ω∈ ⇔ = + • 4 4 4 1M yε ω∈ ⇔ = +

Όµως από υπόθεση 3 41 ω ω< < άρα 1 2 3 4y y y y< < <

4 1 4 45 ( 1) 0 .. 4yR y y ω ω= − ⇔ = + − ⇔ ⇔ =

• 3 302 2κωω ωδ +

= = • 3 31 1 22 2yκ

ω ωδ + + += =

Από υπόθεση 3 33

22 2 ... 22 2yκ κωω ωδ δ ω+

= ⇔ = ⇔ ⇔ =

75.i) Η δοθείσα σχέση από την ταυτότητα του Euler παίρνει την µορφή:

3 3 3

3

(2014 100 ) (40 1000) (60 1014) 03(2014 100 )(40 1000)(60 1014) 0

20141002014 100 0

100040 1000 0 2540

60 1014 101460

ί

ήή

ή ή

ί

ν ν ν

ν ν ν

ν απορρ πτεταιν

ν ν

νν απορρ πτεται

− + − + − = ⇔

− − − = ⇔ ±

= ∉− =

− = ⇔ = =

− = ∉

Άρα ( ) 25Ν Ω = .

ii) ( ) 12 ( ) 2( ) , ( )( ) 25 ( ) 25

P PΝ Α Ν ΒΑ = = Β = =

Ν Ω Ν Ω



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

• Μαθηµατικά και στοιχεία Στατιστικής.Αδαµόπουλος ,Δαµιανου,Σβερκος

• Στατιστική, Α.Καραγεωργος

•Πιθανότητες, Θ. Καζαντζης

•Πιθανότητες, Γεωργακακης

•Μαθηµατικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας, Τζουβαρας –Τζιρωνης, εκδόσεις Σαββάλας

•Μαθηµατικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας , Μαυριδης, εκδόσεις Μαυρίδη

•Κριτήρια αξιολόγησης ,Ζανταριδης –Γκατζουλης,εκδοσεις Γκατζουλης

•Κριτήρια αξιολόγησης, Χαλιδης –Μουταφιδης, εκδόσεις Όλυµπος

• Επαναληπτικά θέµατα,Λεων παπαδοπουλος

• Επαναληπτικά θέµατα, Μ.Τουµάσης-Γ.Τσαπακίδης

•Το 4ο θεµα , Γ.Μπαιλακης

•M.Spigel, Πιθανοτητες και Στατιστικη

•Μαθηµατικα Γ λυκειου Γενικης παιδειας ,Στεργιου,Νακης

•Κ.Ε.Ε

•ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

•Μαθηµατικό βήµα

•Επαναληπτικά θέµατα ΟΕΦΕ

•Μαθηµατική κοινότητα Mathematica (http://www.mathematica.gr)

•Θέµατα Bacalaureat

•Θέµατα S.A.T

•Τράπεζα θεµάτων Σ.Ο.Κ.Ο.Ν

epanalhptika genikhs paideias

Documents