epidemias em um mundo interligado
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Trabalho dos estudantes do Curso de Verão em Métodos Matemáticos em Biologia de Populações, Fev de 2008.TRANSCRIPT
Epidemias em um Mundo Interligado
Carolina Scatena (Unifesp)Eduardo Pereira (ITA)Marcelo Gomes (UFRGS)
Rachel Cabral (UFF)Rebeca Cabral (UFPE)Ygor Speranza (UFRJ)
Sumário
Conceitos Básicos Epidemias e epidemiologias Modelando diferentes transmissões O vírus Influenza e sua modelagem
SIR e Variações SIR clássico SIR com dinâmica vital SIR com dinâmica sazonal
Modelos SIR acoplados em Rede
Epidemias e globalização Modelo SIR em rede
Experimentos com uma Rede SIR
Dispersão do pico de infecção Efeito de bloqueios sanitários
Epidemias e Epidemiologia Uma doença é dita uma epidemia se o número de casos por unidade de tempo superar o valor da incidência máxima esperada.Modelos epidemiológicospermitem prever a evolução temporal e/ou espacial de uma infecção, possibilitando às autoridades a tomada de medidaspara controlá-la.
Epidemias Período
Peste de Atenas 428 a.C.
Peste Negra Século XIV
Dengue Século XVII (Brasil)
Gripe Espanhola Século XX
Gripe Aviária Século XX
Ebola 1976 (Zaire)
Hantavirose 1977 (Coréia)
Aids 1981 (EUA)
Hepatite C 1989 (EUA)
Doença da “Vaca Louca”
1986 (Reino Unido)
CONCEITOS BÁSICOS
Modelos e TransmissõesPara desenvolver um modelo matemático em epidemiologia, deve-se conhecer a biologia da propagação de doença para, então, empregar métodos de quantificação dos aspectos essenciais da dinâmica da transmissão do agente infeccioso.
Tipos de Transmissão
Vertical
Contato Direto
Horizontal
Contato Indireto
Vetor Fômito
CONCEITOS BÁSICOS
Exemplo de transmissão direta da Influenza através de um espirro
CONCEITOS BÁSICOS
A InfluenzaA Influenza é uma doença causada pelo vírus RNA da família Orthomyxoviridae, transmitida por via direta.
O modelo SIR se adequa bem à Influenza graças a sua transmissão direta e breve período de recuperação.
Nome Data Mortes Sorotipo
Gripe Espanhola
1910-1920
40- 100 milhões
H1N1
Gripe Asiática
1957-1958
1- 1,5 milhão
H2N2
Gripe de Hong Kong
1968-1969
0.75- 1 milhão
H3N3
CONCEITOS BÁSICOS
Modelo SIR
: taxa de infecciosidade.: taxa de recuperação.
dS SIdtdI SI IdtdR Idt
b
b g
g
= -
= + -
= +
S I R
SIR E VARIAÇÕES
Modelo SIR
SIR E VARIAÇÕES
Espaço de fases – Modelo SIR
SIR E VARIAÇÕES
SIR VitaldS SI SdtdI SI I IdtdR I Rdt
b m m
b g m
g m
= - + -
= + - -
= + -
: taxa de infecciosidade.: taxa de recuperação.: taxa de natalidade.
S I R
SIR E VARIAÇÕES
SIR Vital
SIR E VARIAÇÕES
Espaço de fases (dinâmica vital)
SIR E VARIAÇÕES
SIR com Efeitos Sazonais
( )
( )
dS t SI SdtdI t SI I IdtdR I Rdt
b m m
b g m
g m
= - + -
= + - -
= + -
S I R(t)
SIR E VARIAÇÕES
: taxa de infecciosidade em função do tempo.: taxa de recuperação.: taxa de natalidade.
SIR com Efeitos Sazonais
SIR E VARIAÇÕES
Epidemias e a GlobalizaçãoA globalização é um fator de propagação de epidemias, devido aos deslocamentos populacionais. As epidemias são reportadas rapidamente, o que influencia o risco de difusão além de fronteiras.
SIR ACOPLADOS EM REDE
Rede SIR
SIR ACOPLADOS EM REDE
Modelo de Rede SIR
N1
N1
N2
N3
I
R
S
P12
P21
P13P31
P32
P23
Pij: probabilidade do indivíduo do sítio i visitar o sítio j.Num modelo de visitas, os indivíduos voltam imediatamente após o contato com indivíduos de sítios vizinhos.
SIR ACOPLADOS EM REDE
Estudo de Caso: Duas Populações
p12
p21
População 1 População 2
SIR ACOPLADOS EM REDE
Probabilidade de Infecção
11
Sítio 1 Sítio 2
11
21 1 11
111 11 2 21
S I p
N p N p
br =+
21
21
1 2 12 2212
1 12 2 22
S I p p
N p N p
br =+
1 2 11 2121
1 11 2 21
S I p p
N p N p
br =+
21 1 12
222 22 1 12
S I p
N p N p
br =+
SIR ACOPLADOS EM REDE
Sítio 1 Sítio 2
Sítio 1 Sítio 2 Sítio 1 Sítio 2
Duas Populações Conectadas
11
111
222121222121
121
212111212111
111
1
idt
dr
idt
ds
dt
di
pIpIpNpN
ps
pIpIpNpN
ps
dt
ds
g
g
b
b
=
--=
+
+-
-
+
+-=
SIR ACOPLADOS EM REDE
Modelo para Rede SIR
j
n
lkn
mmkm
lkljkj
j
n
lkn
mmkm
lkljkj
j
i
pN
pIps
dt
di
pN
pIps
dt
ds
c
c
c
c
gb
b
-=
-=
=
=
=
=
1,
1
1,
1
SIR ACOPLADOS EM REDE
j
jj
jj
N
Ss
idt
dr
= g
Simulação da Rede: Duas Populações
EXPERIMENTOS
REDE COM DUAS POPULAÇÕES
REDE COM DUAS POPULAÇÕES
REDE COM DUAS POPULAÇÕES
Itália?!?
REDE COM DUAS POPULAÇÕES
Estudo de Caso: Quatro Populações
P1
P3 P4
P2
EXPERIMENTOS
Caso 1 Caso 2 (k = 2) (k = 3)P1
P3 P4
P2
P3 P4
P2P1
REDE COM QUATRO POPULAÇÕES
REDE COM QUATRO POPULAÇÕES
SIR sem RedeNo modelo SIR básico, se s0<β/γ, então dI/dt<0 Vt>0. A vacinação em massa pode tornar s0<β/ γ e, portanto, evitar a disseminação da infecção.
O comportamento previsto pelo SIR com sazonalidade reflete o padrão de determinadas epidemias (ex.:surtos de sarampo oscilam com períodos de ~2anos).
CONCLUSÕES
SIR com Rede
Os valores de I1 e I2 no auge da infecção nos respectivos sítios depende das constantes ρij e da razão entre o tamanho das cidades, porém na população total esta dependência é rapidamente quebrada.
Quanto antes ocorre o isolamento, mais tarde é o pico de infecção na cidade 2, o que permitiria um tempo maior para estudo de controle.
CONCLUSÕES
SIR com Rede
O número final de removidos, tanto na população total como nas cidades individuais, independe da probabilidade de interação entre as cidades. O tempo do pico total de infecção é menor quando a população em que a infecção se inicia possui um número maior de conexões.
CONCLUSÕES
Agradecimentos
Ao Prof. Roberto Kraenkel. Aos monitores Daniel e Fran. Ao IFT – UNESP pelo apoio. Aos colegas do curso.
VALEU!
FINALMENTE...