epidemien–dassir-modell · 2013. 7. 25. · geschichte der epidemien das sir-modell anwendungen...
TRANSCRIPT
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Epidemien – Das SIR-Modell
Breiling Camillo, Elshazli Sherif, Eisner David, Köck Matthias
28. Juni 2013
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Vortrags-Guideline
1 Geschichte der Epidemien
2 Das SIR-Modell
3 Anwendungen und Ausblick
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Historischer Überblick
Was ist Epidemie?Beispiele:
viele Tropenkrankheiten (wie die Dengue)CholeraGrippeTyphusPestKinderlähmungSchwarzer Tod (im 14. Jhdt. – ca. 1
3 der Bevölkerung Europas,85 Millionen, starb)Plage von Athen (430-428 v.Chr. – rund 1 050-4 000 Soldateneiner Expedition verendeten)
Thucydides: genaue Dokumentation der KrankheitSymptome: Hitze im Kopf, Augenentzündung, stinkenderAtem, Heiserkeit mit starken Hustenausbrüchen, . . .
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Historischer Überblick
Gründe für Krankheiten:verseuchter Wohnortdas jodarme Wasserdie Übertragung von Krankheiten durch die erste großeEpidemie in den USA: Gelbfieber in Philadelphia im Jahre 1793
1978 beschloss die UN das Programm »Health for All, 2000«wichtiger Aspekt der Krankheitsverbreitung: Überquerunginternationaler Grenzen → Ausbruch exotischer Krankheitenvier Hauptgruppen:
VirenBakterienPrasitenPilze
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Modellbildung
interessantes Modell:1973 in Bari (Italien) von CapassoPaveri Fontana (1979) zur Cholera-Epidemie
interessantes mathematisches Modell von Bernoulli (1760)2 Arten von Modellen
Es gibt:Suszeptible SInfizierte Idie Ausgestoßenen/Geheilten RErgo: S → I → R – kurz: SIR-ModellS(t), I(t) und R(t) stehen für die Anzahl der Individuen jeder.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Vorstellung:
Das SIR-ModellDynamik:
dSdt = −αSI dI
dt = αSI − βI dRdt = βI
Parameterwerte:α > 0 β > 0
Anfangsbedingungen:
S(0) = S0 > 0 I(0) = I0 > 0 R(0) = 0
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Eigenschaften der Modellfunktionen
Behauptung
S + I + R = konstant
Beweis: Addieren aller drei Gleichungen:
ddt(S + I + R
)=
dSdt +
dIdt +
dRdt
= −αSI + αSI − βI + βI
= 0
Definieren N := S + I + R
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Eigenschaften der Modellfunktionen
Behauptung
I(t) > 0 ∀t ∈ [0,∞)
Beweis: Integration der zweiten Gleichung:
dIdt = αSI − βI =⇒ dI
I = (αS − β)dt
ln |I| = −βt + α
∫ t
0S dt + c
I(t) = I0e−βt+α∫ t
0 S dt > 0
mit ec = I0 wegen I(0) = I0.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Eigenschaften der Modellfunktionen
Behauptung
S(t) > 0 und dSdt < 0 ∀t ∈ [0,∞)
Beweis:Integration der ersten Gleichung:
dSdt = −αSI =⇒ S(t) = S0e−α
∫ t0 I dt > 0
analog zu vorhin.Wegen α, I, S > 0 =⇒ dtS < 0.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Eigenschaften der Modellfunktionen
Behauptung
R(t) > 0 und dRdt > 0 ∀t ∈ (0,∞)
Beweis:dtR = βI > 0R ist monoton steigendWegen R(0) = 0 ist also immer R(t) > 0.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Eigenschaften der Modellfunktionen
Behauptung
limt→∞
S(t) = S∞ > 0I(t) = 0
R(t) = N − S∞I ∈ L1(R+)
Beweisskizze: AusN = S + I + RS,R, I > 0
=⇒ die Grenzwerte existieren.S > 0 und dtS < 0 =⇒ ∃S∞ ∈ (0,N)
Entwicklungsgleichung für R, dtR = βI =⇒ I → 0R > 0 und dtR > 0 und vorherigem =⇒ R → N − S∞
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Epidemie oder nicht?
Anders formuliert: Ist dt I positiv oder negativ?
dIdt = αSI − βI = I · (αS − β)
Also:dIdt =
{> 0 ⇐⇒ S > β
α
< 0 ⇐⇒ S < βα
Schwellenparameter % :=β
α
S > % . . . es kommt zu einer EpidemieS < % . . . die Krankheit stirbt aus
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
(I , S)-Ebene
Dividiere erste beiden Gleichungen:
dIdtdSdt
=dIdS =
I (αS − β)−αSI =
β − αSαS =
β
αS − 1 =%
S − 1
Sie ist elementar integrierbar:
I(S) = % ln(S)− S + c
c = I0 + S0 + % ln(S0) folgt aus den Anfangsbedingungen⇒
I(S) = S − % ln( S
S0
)+ N
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
(I , S)-Ebene
Kurze Diskussion:
dIdS = 0 ⇐⇒ %
S − 1 = 0 ⇐⇒ S = %
Es ist ein Maximum:
d2IdS2
∣∣∣∣∣S=%
= − %
S2
∣∣∣∣∣S=%
= −1%< 0
Maximalzahl der Erkrankten:
Imax = I(%) = N + %− % ln(%
S0
)
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
(I , S)-Ebene
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Die Ausscheidefunktion R
Dividiere erste und dritte Gleichung:
dSdtdRdt
=dSdR =
−αSIβI = −S
%
Auch sie ist elementar integrierbar:
S(R) = S0e−R/%
Dies erlaubt ein Umschreiben von dtR:
dRdt = β (N − R − S) = β
(N − R − S0e−R/%
)Sie ist in Parameterform lösbar, bei bekanntem (α, β,N, S0) leichtnumerisch.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Kermack-McKandrick-Modell (1927)
Kleine Epidemien ⇒ entwickle Exponentialfunktion:
e−R/% ≈ 1− R%+
12
R2
%2 + . . .
Einsetzen liefert mit
dRdt = β
[N −
(S0%− 1
)R +
S02%2 R2
]eine Riccati-Gleichung x = a + bx + cx2.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Kermack-McKandrick-Modell (1927)
Lösung dieser Gleichung:
R(t) = α2
S0
[ψ + φ tanh
(φβt2 − ϕ
)]mit
ψ =S0%− 1 ϕ =
artanh(ψ)φ
φ =
√ψ2 +
2S0(N − S0)
%2
Ausscheiderate:
dRdt =
βφ2%2
2S0sech2
(φβt2 − ϕ
)
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Bombay Epidemie (1905-1906)
Die Skizze veranschaulicht das Ver-hältnis zwischen den realen Datenund der Theorie des Epidemienmo-dells
dRdt =
βφ2%2
2S0sech2
(φβt2 − ϕ
),
mit den konkreten Parametern
dRdt = 890 sech2(0.2t − 3.4
)
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Epidemie Knabelschule (1978)
Die Skizze veranschaulicht so-wohl die zeitliche Entwick-lung der Infiziertenanzahl I(t)mit Einblendung der gemesse-nen Werte als auch die Ent-wicklung der Suszeptiblenan-zahl S(t).
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Plage von Eyam (1665-1666)
Sie ist ein Beispiel für eine ernste, den Großteil der Populationerfassende Seuche.Modellierung mit dem SIR-Modell mit
S0 = 350 und S∞ = 83
Ist eine Seuche nicht von kurzer Dauer, dann solltedSdt = −αSI, die Gleichung für die Suszeptilen, die Geburten-und Sterberaten enthalten.Die natürliche Sterblichkeitsrate sollte in der Gleichung derInfizierten dI
dt = αSI − βI sowie der Gleichung derAusgeschiedenen dR
dt = βI enthalten sein.Im Falle einer langen Inkubationszeit kann diese als KlasseE (t) in unser Modell eingehen.
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Modellierung sexuell übertragbarer Krankheiten
System:
dSdt = −SI∗ + aI dS∗
dt = −r∗S∗I + a∗I∗
dIdt = rSI∗ − aI dI∗
dt = r∗S∗I − a∗I∗
Anfangs- und Randbedingungen:
S(t) + I(t) = N S∗(t) + I∗(t) = NS(0) = S0 I(0) = I0
S∗(0) = S∗0 I∗(0) = I∗0
Reduzierte Gleichungen:
dIdt = rI∗(N − I)− aI
dI∗
dt = r∗I(N − I∗)− a∗I∗
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Multigruppenmodell für GonorrhöAcht Gruppen von Patienten:
N1 + N3 + N5 + N7 = N2 + N4 + N6 + N8 = 1
Gonorrhö-Modell:
d(Ni Ii)dt︸ ︷︷ ︸
rate of newinfectives
=8∑
j=1Lij(1− Ii)Nj Ij︸ ︷︷ ︸
rate of new infectives (in-cidence)
− Ni IiDi︸︷︷︸
recovery ra-te of infecti-ves
Anfangsbedingung: Ii(0) = Ii0Kontrollmodell:
d(Ni Ii)dt =
8∑j=1
Lij(1− Ii)Nj Ij −Ni IiDi− CRi − EPi
Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick
Ein natürliches Ende . . .
Danke für eure Aufmerksamkeit!